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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Der Satz von Ceva& Satz von Menelaus
Fast Viktor
21. November 2007
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Inhaltsverzeichnis
• Satze und ihre Beweise• Satz von Menelaus• Satz von Ceva
• Anwendungen der Satze• Winkelhalbierendenschnittpunkt• Hohneschnittpunkt• Winkelhalbierendenschnittpunkt• Trapezaufgabe• Inkreisaufgabe
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Satz (Transversale und Dreieck)Sei ein Dreieck ∆ABC und eine Transversale g gegeben, sodass g dieGerade BC im Punkt A′, die Gerade AB im Punkt C ′ und die Gerade ACim Punkt B ′ schneidet. Dann gilt:
|A′C ||A′B|
· |C′B|
|C ′A|· |B
′A||B ′C |
= 1.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Beweis.Wir fallen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf dieTransversale g , die die Transversale in den Punkten L, M und Nschneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz:
DaBC ‖ CN :A′C
A′B=
CN
BM(1)
DaBM ‖ AL :C ′B
C ′A=
BM
AL(2)
DaCN ‖ AL :B ′A
B ′C=
AL
CN(3)
Durch Multiplikation der Beziehungen (1), (2) und (3) folgt:
A′C
A′B· C ′B
C ′A· B ′A
B ′C=
CN
BM· BM
AL· AL
CN= 1
Somit ist der Beweis erbracht.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Beweis.Wir fallen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf dieTransversale g , die die Transversale in den Punkten L, M und Nschneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz:
DaBC ‖ CN :A′C
A′B=
CN
BM(1)
DaBM ‖ AL :C ′B
C ′A=
BM
AL(2)
DaCN ‖ AL :B ′A
B ′C=
AL
CN(3)
Durch Multiplikation der Beziehungen (1), (2) und (3) folgt:
A′C
A′B· C ′B
C ′A· B ′A
B ′C=
CN
BM· BM
AL· AL
CN= 1
Somit ist der Beweis erbracht.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Beweis.Wir fallen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf dieTransversale g , die die Transversale in den Punkten L, M und Nschneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz:
DaBC ‖ CN :A′C
A′B=
CN
BM(1)
DaBM ‖ AL :C ′B
C ′A=
BM
AL(2)
DaCN ‖ AL :B ′A
B ′C=
AL
CN(3)
Durch Multiplikation der Beziehungen (1), (2) und (3) folgt:
A′C
A′B· C ′B
C ′A· B ′A
B ′C=
CN
BM· BM
AL· AL
CN= 1
Somit ist der Beweis erbracht.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Beweis.Wir fallen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf dieTransversale g , die die Transversale in den Punkten L, M und Nschneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz:
DaBC ‖ CN :A′C
A′B=
CN
BM(1)
DaBM ‖ AL :C ′B
C ′A=
BM
AL(2)
DaCN ‖ AL :B ′A
B ′C=
AL
CN(3)
Durch Multiplikation der Beziehungen (1), (2) und (3) folgt:
A′C
A′B· C ′B
C ′A· B ′A
B ′C=
CN
BM· BM
AL· AL
CN= 1
Somit ist der Beweis erbracht.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Beweis.Wir fallen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf dieTransversale g , die die Transversale in den Punkten L, M und Nschneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz:
DaBC ‖ CN :A′C
A′B=
CN
BM(1)
DaBM ‖ AL :C ′B
C ′A=
BM
AL(2)
DaCN ‖ AL :B ′A
B ′C=
AL
CN(3)
Durch Multiplikation der Beziehungen (1), (2) und (3) folgt:
A′C
A′B· C ′B
C ′A· B ′A
B ′C=
CN
BM· BM
AL· AL
CN= 1
Somit ist der Beweis erbracht.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Satz von Menelaus
Satz (Satz von Menelaus)Erfullen drei Punkte A′ ∈ BC, B ′ ∈ AC und C ′ ∈ AB die Beziehung:
|A′C ||A′B|
· |C′B|
|C ′A|· |B
′A||B ′C |
= 1,
dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden (A′,B ′,C ′ sind dannkollinear).
Beweis.Ist die Ruckrichtung des obigen Beweises.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Der Satz von Ceva
Satz (Geraden durch einen Eckpunkt und einen inneren Punkteines Dreiecks)Sei ein ∆ABC ein Dreieck und Q ein Punkt in diesem Dreieck. Seien dieSchnittpunkte Geraden AQ, BQ und CQ mit den Seiten des Dreiecks diePunkte A′, B ′ und C ′. Dann gilt:
|A′C ||A′B|
· |B′A|
|B ′C |· |C
′B||C ′A|
= 1
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Der Satz von Ceva
Beweis.Fur das Dreieck ∆ABA′ und die Transversale CC ′ gilt nach dem Satz desMenelaus:
|CA′||CB|
· |C′B|
|C ′A|· |QA||QA′|
= 1 (4)
Analog gilt fur das Dreieck ∆AA′C und die Transversale BB ′:
|BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |= 1 (5)
Wir multiplizieren die Beziehungen (4) und (5):
1 =|BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |· |BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |=|A′C ||A′B|
· |B′A|
|B ′C |· |C
′B||C ′A|
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Der Satz von Ceva
Beweis.Fur das Dreieck ∆ABA′ und die Transversale CC ′ gilt nach dem Satz desMenelaus:
|CA′||CB|
· |C′B|
|C ′A|· |QA||QA′|
= 1 (4)
Analog gilt fur das Dreieck ∆AA′C und die Transversale BB ′:
|BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |= 1 (5)
Wir multiplizieren die Beziehungen (4) und (5):
1 =|BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |· |BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |=|A′C ||A′B|
· |B′A|
|B ′C |· |C
′B||C ′A|
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Der Satz von Ceva
Beweis.Fur das Dreieck ∆ABA′ und die Transversale CC ′ gilt nach dem Satz desMenelaus:
|CA′||CB|
· |C′B|
|C ′A|· |QA||QA′|
= 1 (4)
Analog gilt fur das Dreieck ∆AA′C und die Transversale BB ′:
|BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |= 1 (5)
Wir multiplizieren die Beziehungen (4) und (5):
1 =|BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |· |BC ||BA′|
· |QA′||QA|
· |B′A|
|B ′C |=|A′C ||A′B|
· |B′A|
|B ′C |· |C
′B||C ′A|
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Der Satz von Ceva
Der Kehrsatz dieses Satzes ist der Satz von Ceva
Satz (Satz von Ceva)Sei ∆ABC ein Dreieck mit A′ ∈ BC, B ′ ∈ AC und C ′ ∈ AB. Wenn dieBeziehung:
|A′C ||A′B|
· |B′A|
|B ′C |· |C
′B||C ′A|
= 1
gilt, dann schneiden sich die Graden AA′, BB ′ und CC ′ in einem Punkt.
Beweis.Ist die Ruckrichtung des obigen Beweises.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
SatzSei ∆ABC ein Dreieck, w die Winkelhalbierende durch den Punkt A undF der Fusspunkt von w auf BC. Dann gilt:
AC
CF=
AB
BF.
Beweis.Da EB ‖ AF folgt nach dem Strahlensatz von C aus:
CF
AC=
AE + AC
CF + FB⇔ CF · (AE + AC ) = AC · (CF + FB)
⇔ CF ·AE+CF ·AC = AC ·CF+AC ·FB ⇔ CF ·AE = AC ·FB ⇔ CA
CF=
AE
BF
Und da AE = AB ist die Aussage bewiesen.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
SatzSei ∆ABC ein Dreieck, w die Winkelhalbierende durch den Punkt A undF der Fusspunkt von w auf BC. Dann gilt:
AC
CF=
AB
BF.
Beweis.Da EB ‖ AF folgt nach dem Strahlensatz von C aus:
CF
AC=
AE + AC
CF + FB⇔ CF · (AE + AC ) = AC · (CF + FB)
⇔ CF ·AE+CF ·AC = AC ·CF+AC ·FB ⇔ CF ·AE = AC ·FB ⇔ CA
CF=
AE
BF
Und da AE = AB ist die Aussage bewiesen.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der WinkelhalbierendenSatzSei ∆ABC ein Dreick. Sei A′ der Fusspunkt der Winkelhalbierendendurch den Punkt A auf CB, B ′ der Fusspunkt der Winkelhalbierendendurch den Punkt B auf AC und C ′ der Fusspunkt der Winkelhalbierendendurch den Punkt C auf AB. Dann schneiden sich AA′, BB ′ und CC ′ ineinem Punkt.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Beweis.Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir:
AC
AB=
A′C
A′B(6)
BA
BC=
B ′C
B ′A(7)
CB
CA=
C ′B
C ′A(8)
Wir multiplizieren die Verhaltnisse (6)(7)(8):
A′C
A′B· B ′A
B ′C· C ′B
C ′A=
AC
AB· BA
BC· CB
CA= 1
Und somit gilt nach dem Satz von Ceva, dass sich dieWinkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Beweis.Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir:
AC
AB=
A′C
A′B(6)
BA
BC=
B ′C
B ′A(7)
CB
CA=
C ′B
C ′A(8)
Wir multiplizieren die Verhaltnisse (6)(7)(8):
A′C
A′B· B ′A
B ′C· C ′B
C ′A=
AC
AB· BA
BC· CB
CA= 1
Und somit gilt nach dem Satz von Ceva, dass sich dieWinkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Beweis.Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir:
AC
AB=
A′C
A′B(6)
BA
BC=
B ′C
B ′A(7)
CB
CA=
C ′B
C ′A(8)
Wir multiplizieren die Verhaltnisse (6)(7)(8):
A′C
A′B· B ′A
B ′C· C ′B
C ′A=
AC
AB· BA
BC· CB
CA= 1
Und somit gilt nach dem Satz von Ceva, dass sich dieWinkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Beweis.Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir:
AC
AB=
A′C
A′B(6)
BA
BC=
B ′C
B ′A(7)
CB
CA=
C ′B
C ′A(8)
Wir multiplizieren die Verhaltnisse (6)(7)(8):
A′C
A′B· B ′A
B ′C· C ′B
C ′A=
AC
AB· BA
BC· CB
CA= 1
Und somit gilt nach dem Satz von Ceva, dass sich dieWinkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Hohen
SatzDie Hohen eines Dreiecksschneiden sich in einem Punkt.
Beweis.
ha
a = tanα, ha
a′ = tanβ, hb
b = tanβ, hb
b′ = tanγ, hc
c = tanγ, hc
c′ = tanα,Wir multiplizieren die Verhaltnisse:
a
a′ ·b
b′ ·c
c ′ =ha
tanα:
ha
tanβ· hb
tanβ:
hb
tanγ· hc
tanγ:
hc
tanα
⇔ ha
tanα· tanβ
ha· hb
tanβ· tanγ
hb· hc
tanγ· tanα
hc= 1
Somit gilt nach Ceva, dass sich die Hohen in einem Dreieck in einemPunkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Hohen
SatzDie Hohen eines Dreiecksschneiden sich in einem Punkt.
Beweis.ha
a = tanα, ha
a′ = tanβ, hb
b = tanβ, hb
b′ = tanγ, hc
c = tanγ, hc
c′ = tanα,
Wir multiplizieren die Verhaltnisse:
a
a′ ·b
b′ ·c
c ′ =ha
tanα:
ha
tanβ· hb
tanβ:
hb
tanγ· hc
tanγ:
hc
tanα
⇔ ha
tanα· tanβ
ha· hb
tanβ· tanγ
hb· hc
tanγ· tanα
hc= 1
Somit gilt nach Ceva, dass sich die Hohen in einem Dreieck in einemPunkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Hohen
SatzDie Hohen eines Dreiecksschneiden sich in einem Punkt.
Beweis.ha
a = tanα, ha
a′ = tanβ, hb
b = tanβ, hb
b′ = tanγ, hc
c = tanγ, hc
c′ = tanα,Wir multiplizieren die Verhaltnisse:
a
a′ ·b
b′ ·c
c ′ =ha
tanα:
ha
tanβ· hb
tanβ:
hb
tanγ· hc
tanγ:
hc
tanα
⇔ ha
tanα· tanβ
ha· hb
tanβ· tanγ
hb· hc
tanγ· tanα
hc= 1
Somit gilt nach Ceva, dass sich die Hohen in einem Dreieck in einemPunkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Hohen
SatzDie Hohen eines Dreiecksschneiden sich in einem Punkt.
Beweis.ha
a = tanα, ha
a′ = tanβ, hb
b = tanβ, hb
b′ = tanγ, hc
c = tanγ, hc
c′ = tanα,Wir multiplizieren die Verhaltnisse:
a
a′ ·b
b′ ·c
c ′ =ha
tanα:
ha
tanβ· hb
tanβ:
hb
tanγ· hc
tanγ:
hc
tanα
⇔ ha
tanα· tanβ
ha· hb
tanβ· tanγ
hb· hc
tanγ· tanα
hc= 1
Somit gilt nach Ceva, dass sich die Hohen in einem Dreieck in einemPunkt schneiden.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
BemerkungDie Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt
Der Beweis ist mit Ceva trivial.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CBβ = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′ABγ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BCAC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.⇒ hc = mc′ , ha = m′
a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CB
β = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′ABγ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BCAC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.⇒ hc = mc′ , ha = m′
a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CBβ = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′AB
γ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BCAC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.⇒ hc = mc′ , ha = m′
a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CBβ = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′ABγ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC
⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BCAC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.⇒ hc = mc′ , ha = m′
a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CBβ = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′ABγ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BC
AC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.⇒ hc = mc′ , ha = m′
a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
![Page 33: Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus · Wir f¨allen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053002/5f06ce2b7e708231d419d2f7/html5/thumbnails/33.jpg)
Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CBβ = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′ABγ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BCAC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.
⇒ hc = mc′ , ha = m′a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
![Page 34: Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus · Wir f¨allen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053002/5f06ce2b7e708231d419d2f7/html5/thumbnails/34.jpg)
Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
SatzDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis.Sei ∆ABC ein Dreieckund ∆A′B ′C ′ sein Umdreieck.⇒ α = ∠CAB = ∠ABC ′ = ∠B ′CA = ∠A′CBβ = ∠ABC = ∠CB ′A = ∠BCA′ = ∠C ′ABγ = ∠ACB = ∠CBA′ = ∠AC ′B = ∠B ′AC⇒ ∆ABC ∼= ∆ABC ′ ∼= ∆AB ′C ∼= ∆A′BCAC = C ′B = A′B, BC = AC ′ = AB ′ und AB = B ′C = CA′.⇒ hc = mc′ , ha = m′
a und hb = mb′
Da sich die Hohen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch dieMittelsenkrechten in einem Punkt.
![Page 35: Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus · Wir f¨allen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022053002/5f06ce2b7e708231d419d2f7/html5/thumbnails/35.jpg)
Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Mittelsenkrechtenschnittpunkt
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Inkreistransversalen
SatzSei ∆ABC ein Dreieck und K sein Inkreis mit dem Mittelpunkt M. Seiendie Beruhrungspunkte von K mit den Seiten des Dreiecks A′, B ′ und C ′.Dann schneiden sich die Transversalen AA′, BB ′ und CC ′ in einem Punkt.
Beweis.Da die Seiten von ∆ABC K beruhrensind sie Tangenten von Kund somit senkrecht auf K .∆AC ′M ∼= ∆AB ′M, dar = C ′M = B ′M, π
2 = ∠AC ′M = ∠AB ′M,AM in beinen Dreiecken ist. ⇒ AC ′ = AB ′.Analog ist BB ′ = BA′ und CA′ = CC ′.
Daraus folgt sofort:AC ′
C ′C· CA′
A′B· BB ′
B ′A= 1
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Inkreistransversalen
SatzSei ∆ABC ein Dreieck und K sein Inkreis mit dem Mittelpunkt M. Seiendie Beruhrungspunkte von K mit den Seiten des Dreiecks A′, B ′ und C ′.Dann schneiden sich die Transversalen AA′, BB ′ und CC ′ in einem Punkt.
Beweis.Da die Seiten von ∆ABC K beruhrensind sie Tangenten von Kund somit senkrecht auf K .∆AC ′M ∼= ∆AB ′M, dar = C ′M = B ′M, π
2 = ∠AC ′M = ∠AB ′M,AM in beinen Dreiecken ist. ⇒ AC ′ = AB ′.Analog ist BB ′ = BA′ und CA′ = CC ′.
Daraus folgt sofort:AC ′
C ′C· CA′
A′B· BB ′
B ′A= 1
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Satze und ihre Beweise Anwendungen der Satze
Aufgabe
Sei ∆ABC ein Dreieck und g eine Gerade, die parallel zu AB ist, dieSeite AC im Punkt E und die Seite BC im Punkt F schneitet. Weiter seiG der Fusspunkt der Seitenhalbierenden auf AB.Zeigen Sie, dass sich die Transversalen GC , FA und EB in einem Punkt
schneiden.