calculul grinzii transversale

UNIVERSITATEA DIN ORADEA FACULTATEA DE ARHITECTURĂ ȘI CONSTRUCȚII CATEDRA DE CONSTRUCȚII

108 | P a g i n a

6.3.3. CALCULUL GRINZII TRANSVERSALE


109 | P a g i n a

Prevederi suplimentare pentru grinzi Pentru grinzile monolite înălţimea se adoptă, de regulă, multiplu de:

- 50 mm, dacă h < 600 mm

- 100 mm, dacă h > 600 mm

Lăţimea grinzii b se ia de regulă multiplu de 50 mm.

Pentru grinzile monolite cu b < 200 mm se poate alege: b=120; 150; 180; 200 mm

Grinzile se armează cu carcase spaţiale, în care barele sunt legate cu sârmă, sau sunt

sudate.

Armăturile longitudinale de rezistență

Diametre utilizate şi distanţe între armături

Diametrul minim este de 10 mm; diametrul maxim admis este de regulă, 25 mm. La

grinzile din beton uşor, barele cu diametrul > 12 mm trebuie să fie din oţel cu profil periodic.

Distanţele libere între armături trebuie să respecte condiţiile date. Pentru a permite

introducerea previbratorului, unul din spaţiile dintre barele de la partea superioară a grinzii, de

preferinţă situat în axul grinzii, trebuie să fie cel puţin 50 mm. Distanţa interax pentru barele

din zona întinsă va fi de maxim 200 mm.

Se recomandă ca armăturile să se aleagă astfel încât, să fie dispuse pe cel mult două

rânduri, atât în partea inferioară, cât şi în partea superioară a grinzilor. Dacă sunt necesare

armături şi pe rândul al treilea, acestea se dispun la distanţe interax duble faţă de cele admise

pentru barele de pe primele două rânduri. Armăturile se plasează pe aceeaşi verticală; nu este

permisă intercalarea lor deoarece împiedică pătrunderea betonului.

Procente de armare longitudinale

Procente minime pentru armăturile longitudinale în zonele întinse ale grinzilor, pmin.

Rigle de cadru participante la structuri din zone seismice

- în zonele seismice de calcul A...E:

- pentru armăturile întinse de pe reazeme 0,45

- pentru celelalte armături întinse 0,15

In secţiunile de reazem ale riglelor cadrelor participante la structuri din zone seismice

raportul între cantitatea de armătură de la partea inferioară şi cea de la partea superioară


110 | P a g i n a

trebuie să fie cel puţin 0,4 la construcţii aflate în zonele seizmice de calcul A,B şi C şi cel

puţin 0,3 în zonele D şi E.

Ancorarea şi înnădirea acestor armături ca pentru bare solicitate la întindere, chiar

dacă din gruparea specială ele rezultă solicitate numai la compresiune.

Armăturile longitudinale ale grinzilor, în cazul barelor legate cu sârmă în carcase, pot

fi drepte, sau cu porţiuni drepte şi porţiuni înclinate.

Tendinţa actuală este de a arma grinzile cu bare longitudinale drepte şi cu etrieri,

pentru reducerea consumului de manopere necesare fasonării şi montării armăturilor, ca de

exemplu în cazul grinzilor continue obişnuite sau în cazul riglelor, cadrelor în zone seismice.

Dacă se utilizaează şi bare cu porţiuni înclinate specifice grinzilor la care încărcările

gravitaţionale sunt preponderente, se respectă următoarele:

- unghiul de înclinare este de regulă 45˚, iar racordarea porţiunilor drepte cu cele

înclinate se face cu o rază de curbură ≥ l0·d; nu se admit armături înclinate sub formă de bare

flotante;

- barele înclinate se termină cu porţiuni drepte - cel puţin o treime din armăturile din

cîmpul grinzilor şi cel puţin barele longitudinale din colţurile etrierilor se menţin drepte şi se

ancorează dincolo de reazeme cu bare solicitate la întindere; barele înclinate nu se plasează

lângă feţele laterale ale grinzilor, pentru a evita fisurarea prin despicarea stratului de acoperire

cu beton, datorită presiunii mari care acţionează asupra betonului în porţiunile curbe ale

armăturilor;

- barele înclinate pot fi ridicate într-o singură secţiune sau în mai multe secţiuni, după

cum rezultă necesar din calculul la forţă tăietoare. Prima secţiune de înclinare se prevede la o

distanţă de cel mult 50 mm de la marginea reazemului; se recomandă ca distanţa între prima și

a doua secţiune de înclinare să nu fie mai mare decât înălţimea grinzii, iar în cazul în care sunt

necesare mai mult de 2 secţiuni de înclinare, distanţele dintre aceste secţiuni să fie cel mult

l,5·h.

Pentru riglele cadrelor făcând parte din structuri amplasate în zone seismice, cel mai

frecvent se utilizează armarea cu bare drepte şi etrieri.

În nodurile intermediare, ancorarea armăturilor longitudinale ale riglelor se realizează

prin îndoirea barelor în interiorul nodului; acest mod de armare decurge din necesitatea de a

evita ancorarea în zona potenţial plastică din deschiderea următoare. Din acest motiv în


111 | P a g i n a

nodurile marginale, armăturile de la partea superioară şi cele de la partea inferioară trebuie să

fie independente.

Armăturile longitudinale din grinzi care se ancorează în noduri, se prelungesc de la

planul median al nodului cu lungimea de ancorare la.

Dacă lungimea de ancorare nu se poate realiza din cauza dimensiunilor insufuciente

ale nodurilor cadrelor, ancorarea barelor laminate la cald cu profil periodic poate fi

înbunătățită prin sudarea unor bare transversale.

Armăturile longitudinale de montaj

Se dispun:

- la fiecare colţ de etrier, în zonele în care nu sunt necesare din calcul armături

comprimate de rezistenţă, de exemplu, în zona de câmp la partea superioară a grinzii.

- pe feţele laterale ale grinzilor, cu h >700 mm la distanţe de cel mult 400 mm; aceste

bare se leagă între ele în sens transversal cu agrafe, dispuse din doi în doi etrieri.

Armăturile transversale

Etrierii închişi se prevăd:

- pe toate lungimea grinzilor independente fără placă la partea superioară

- în zonele în care există armături de rezistenţă la partea superioară a grinzilor

Diametrele minime ale etrierilor sunt:

- în cazul carcaselor legate cu sârmă (PC52, PC60, OB37) cel puţin ¼ din

diametrul maxim al armăturilor longitudinale, respectiv cel puţin:

- 6 mm pentru grinzi cu h ≤ 800mm

- 8 mm pentru grinzi cu h > 800 mm.

Calculul static al grinzii se va face cu programul Axis VM10

Se vor lua rezultatele din programul Axis Vm10 pentru fiecare grinda (transversala si

longitudinala).

Dimensionarea armăturilor

Dimensiuni ale grinzii:

𝑏 = 250 𝑚𝑚


112 | P a g i n a

ℎ = 500 𝑚𝑚

Caracteristicile materialelor:

Beton C20/25 (minim pentru clasa de expunere XC1)

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

=201,5 = 13,33

𝑁𝑚𝑚2

Armătură PC52

𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘𝛾𝑐

=3451,15 = 300

𝑁𝑚𝑚2

a) La moment încovoietor:

În câmpul A-B:

𝑀𝐸𝑑 ,1 = 72 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

Placa fiind situată în zona comprimată a grinzii, aceasta se dimensionează ca o

secțiune T simplu armată. Lățimea activă de placă trebuie să indeplinească condițiile:

𝑏𝑒𝑓𝑓 ≤ 𝑚𝑖𝑛

⎩⎪⎨

⎪⎧ �𝑏𝑒𝑓𝑓 ,1 + 𝑏𝑔 = 1125 ∙ 2 + 250 = 2500 𝑚𝑚

𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏𝑔 =5500

2 +5500

2 + 250 = 5750 𝑚𝑚

𝑏 = 5500 𝑚𝑚

𝑏𝑒𝑓𝑓 1,2 = 0,2 ∙ 𝑏1,2 + 0,1 ∙ 𝐿0 = 0,2 ∙ 2875 + 0,1 ∙ 5500 = 1125 𝑚𝑚

𝑏1,2 = 0,5 ∙ (6 − 0,25) = 2875 𝑚𝑚

⇒ 𝑏𝑒𝑓𝑓 = 2500 𝑚𝑚

Înălțimea utilă a grinzii pentru un rand de armături longitudinale cu diametrul de 20

mm se obține cu relația:

𝑑 = ℎ𝑔 − 𝑐𝑛𝑜𝑚,𝑠𝑙 −∅𝑠𝑙2 = 500− 25−

202 = 465 𝑚𝑚

Stratul de acoperire cu beton:

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑠𝑙 = 𝑚𝑎𝑥�

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑏 = 20 𝑚𝑚

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 = 15 𝑚𝑚

10 𝑚𝑚

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑠𝑤 = 𝑚𝑎𝑥�

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑏 = 10 𝑚𝑚

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 = 15 𝑚𝑚

10 𝑚𝑚


113 | P a g i n a

𝑐𝑛𝑜𝑚,𝑠𝑙 = 𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑠𝑙 + ∆𝑐𝑡𝑜𝑙 = 20 + 10 = 30 𝑚𝑚

𝑐𝑛𝑜𝑚,𝑠𝑤 = 𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑠𝑤 + ∆𝑐𝑡𝑜𝑙 = 15 + 10 = 25 𝑚𝑚

Se verifică poziția axei neutre cu relația:

𝑏𝑒𝑓𝑓𝑏𝑔

=2500250 = 10 > 5

𝜇 =𝑀𝐸𝑑,1

𝑏𝑔 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

72 ∙ 106

250 ∙ 4652 ∙ 13,33 = 0,1 <𝑏𝑒𝑓𝑓𝑏𝑔

∙ℎ𝑓𝑑 ∙ �1− 0,5 ∙

ℎ𝑓𝑑 �

= 2,7 ș𝑖 𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡ă 𝑐𝑎 𝑒𝑎 𝑠𝑒 𝑎𝑓𝑙ă î𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑐ă 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑐ă 𝑥 < ℎ𝑓.

𝜇 =𝑀𝐸𝑑,1

𝑏𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

72 ∙ 106

2500 ∙ 4652 ∙ 13,33 = 0,01 ⇒ 𝜔 = 0,0101

𝐴𝑠𝑙 = 𝜔 ∙ 𝑏𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝑑 ∙𝑓𝑐𝑑𝑓𝑦𝑑

= 5,22 𝑐𝑚2 ⇒ 4∅14 𝑐𝑢 𝐴𝑒𝑓 = 6,16 𝑐𝑚2

(𝑠 − 𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟ă 𝑚𝑎𝑖 𝑚𝑎𝑟𝑒 ț𝑖𝑛â𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑡 𝑐ă 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑢𝑛𝑒

𝑎𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟ă 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙ă)

În reazemul B:

𝑀𝐸𝑑𝐵 = 86,27 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝜇 =𝑀𝐸𝑑𝐵 ,𝑟𝑒𝑑

𝑏𝑔 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑=

77,6 ∙ 106

250 ∙ 4652 ∙ 13,33 = 0,108 ⇒ 𝜔 = 0,1168

𝐴𝑠𝑙 = 𝜔 ∙ 𝑏𝑔 ∙ 𝑑 ∙𝑓𝑐𝑑𝑓𝑦𝑑

= 6,03 𝑐𝑚2 ⇒ 4∅14 𝑐𝑢 𝐴𝑒𝑓 = 6,16 𝑐𝑚2

𝜉𝑒𝑓𝑓 =𝐴𝑠𝑙 ∙ 𝑓𝑦𝑑

𝑏𝑔 ∙ 𝑑 ∙ 𝜆 ∙ 𝑓𝑐𝑑= 0,146

𝛿𝑚𝑖𝑛 = 0,44 + 1,25 ∙ 0,146 = 0,62 < 𝛿𝑒𝑓𝑓 = 0,9

𝑆𝑛ℎ = 𝑚𝑎𝑥 �∅𝑚𝑎𝑥 = 14 𝑚𝑚𝑑𝑔 + 5 = 21 𝑚𝑚

𝑆𝑛ℎ ,𝑒𝑓𝑓 =250− (2 ∙ 30 + 4 ∙ 14)

4 = 33,5 𝑚𝑚 > 21 𝑚𝑚

b) La forță tăietoare:

Reazemul A:

𝑉𝐸𝑑,𝐴 = 133,28 𝑘𝑁

𝑉𝐸𝑑𝐴,𝑟𝑒𝑑 = 𝑉𝐸𝑑𝐴 − (𝑎1 + 𝑑) ∙ 𝑝𝑑 = 133,28− (0,15 + 0,47) ∙ 27 = 116,54 𝑘𝑁


114 | P a g i n a

- greutate proprie grindă:

𝑏𝑛 ∙ �ℎ𝑛 − ℎ𝑓� ∙ 𝛾𝑏 = 0,25 ∙ (0,5− 0,15) ∙ 25 = 2,2 𝑘𝑁 𝑚⁄

- greutate perete: 9,34 kN/m

- greutate straturi: 8,46 kN/m

gk = 2,3 kN/m + 9,34 kN/m + 8,46 kN/m = 20 kN/m

pd = 1,35 · 20 kN/m = 27 kN/m

𝑉𝑅𝑑𝑐 = �𝐶𝑅𝑑𝑐 ∙ 𝜂1 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌𝑡 ∙ 𝑓𝑐𝑘)13 + 𝑘 ∙ 𝜎𝑐𝑝� ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 49,9 𝑘𝑁

𝐶𝑅𝑑𝑐 =0,18𝛾𝑐

= 0,12 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑎𝑡 î𝑚 𝑎𝑛𝑒𝑥𝑎 𝑛𝑎ț𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙ă

𝑘 = 1 + �200𝑑 = 1 + �200

465 = 1,66 < 2,00

𝜌𝑡 =𝐴𝑠𝑙,𝑒𝑓𝑓𝑏 ∙ 𝑑 =

616250 ∙ 465 = 0,005 ≤ 0,02

𝜎𝑐𝑝 = 0

𝜂1 = 1

𝑉𝑅𝑑𝑐 ,𝑚𝑖𝑛 = �𝜈𝑚𝑖𝑛 + 𝑘 ∙ 𝜎𝑐𝑝� ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 30,2 𝑘𝑁

𝜈𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 𝑘1,5 ∙ 𝑓𝑐𝑘0,5 = 0,035 ∙ 1,661,5 ∙ 200,5 = 0,26 𝑁/𝑚𝑚2

𝑉𝐸𝑑𝐴,𝑟𝑒𝑑 > 𝑉𝑅𝑑𝑐 > 𝑉𝑅𝑑𝑐 ,𝑚𝑖𝑛

Se determină capacitatea portantă a diagonalelor comprimate de beton VRd,max pentru

unghiul minim de înclinare, adică 𝑐𝑡𝑔𝜃 = 2,5:

𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝛼𝑐𝑤 ∙ 𝑏 ∙ 𝑧 ∙ 𝜗1 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙1

2,5 + 12,5

= 1 ∙ 250 ∙ 419 ∙ 0,552 ∙ 13,33 ∙ 0,345

= 265,9 𝑘𝑁

𝑧 = 0,9 ∙ 𝑑 = 0,9 ∙ 465 = 419 𝑚𝑚

𝜗1 = 0,6 ∙ �1 −𝑓𝑐𝑘250� = 0,552

Deoarece VEdA,red < VRd,max, se alege o valoare medie pentru 𝑐𝑡𝑔𝜃 = 1,75, cu care se

determină distanţa dintre etrieri, pentru etrieri cu două ramuri de forfecare şi diametrul barei

de 8 mm cu Asw = 2 · 50,3 = 101 mm2.


115 | P a g i n a

𝑠 =𝐴𝑠𝑤 ∙ 𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃

𝑉𝐸𝑑 ,𝑟𝑒𝑑=

101 ∙ 419 ∙ 435 ∙ 1,75116,54 ∙ 103 = 276 𝑚𝑚

𝜌𝑤𝑒𝑓𝑓 =𝐴𝑠𝑤𝑏 ∙ 𝑠 =

101250 ∙ 276 = 0,0015 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,001

𝑠 < 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,75 ∙ 𝑑 = 0,75 ∙ 465 = 349 𝑚𝑚

𝑉𝐸𝑑𝐴,𝑟𝑒𝑑 < 𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 1 ∙ 250 ∙ 419 ∙ 0,552 ∙ 13,33 ∙1

1,75 + 11,75

= 332,2 𝑘𝑁

Reazemul B:

𝑉𝐸𝑑,𝐵 = 77,21 𝑘𝑁

𝑉𝐸𝑑𝐵 ,𝑟𝑒𝑑 = 𝑉𝐸𝑑𝐵 − (𝑎1 + 𝑑) ∙ 𝑝𝑑 = 77,21− (0,15 + 0,47) ∙ 27 = 60,47 𝑘𝑁

- greutate proprie grindă:

𝑏𝑛 ∙ �ℎ𝑛 − ℎ𝑓� ∙ 𝛾𝑏 = 0,25 ∙ (0,5− 0,15) ∙ 25 = 2,2 𝑘𝑁 𝑚⁄

- greutate perete: 9,34 kN/m

- greutate straturi: 8,46 kN/m

gk = 2,3 kN/m + 9,34 kN/m + 8,46 kN/m = 20 kN/m

pd = 1,35 · 20 kN/m = 27 kN/m

𝑉𝑅𝑑𝑐 = �𝐶𝑅𝑑𝑐 ∙ 𝜂1 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌𝑡 ∙ 𝑓𝑐𝑘)13 + 𝑘 ∙ 𝜎𝑐𝑝� ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 49,9 𝑘𝑁

𝐶𝑅𝑑𝑐 =0,18𝛾𝑐

= 0,12 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑎𝑡 î𝑚 𝑎𝑛𝑒𝑥𝑎 𝑛𝑎ț𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙ă

𝑘 = 1 + �200𝑑 = 1 + �200

465 = 1,66 < 2,00

𝜌𝑡 =𝐴𝑠𝑙,𝑒𝑓𝑓𝑏 ∙ 𝑑 =

616250 ∙ 465 = 0,005 ≤ 0,02

𝜎𝑐𝑝 = 0

𝜂1 = 1

𝑉𝑅𝑑𝑐 ,𝑚𝑖𝑛 = �𝜈𝑚𝑖𝑛 + 𝑘 ∙ 𝜎𝑐𝑝� ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 30,2 𝑘𝑁

𝜈𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 𝑘1,5 ∙ 𝑓𝑐𝑘0,5 = 0,035 ∙ 1,661,5 ∙ 200,5 = 0,26 𝑁/𝑚𝑚2

𝑉𝐸𝑑𝐵 ,𝑟𝑒𝑑 > 𝑉𝑅𝑑𝑐 > 𝑉𝑅𝑑𝑐 ,𝑚𝑖𝑛

Se determină capacitatea portantă a diagonalelor comprimate de beton VRd,max pentru

unghiul minim de înclinare, adică 𝑐𝑡𝑔𝜃 = 2,5:


116 | P a g i n a

𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝛼𝑐𝑤 ∙ 𝑏 ∙ 𝑧 ∙ 𝜗1 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙1

2,5 + 12,5

= 1 ∙ 250 ∙ 419 ∙ 0,552 ∙ 13,33 ∙ 0,345

= 265,9 𝑘𝑁

𝑧 = 0,9 ∙ 𝑑 = 0,9 ∙ 465 = 419 𝑚𝑚

𝜗1 = 0,6 ∙ �1 −𝑓𝑐𝑘250� = 0,552

Deoarece VEdB,red < VRd,max, se alege o valoare medie pentru 𝑐𝑡𝑔𝜃 = 1,75, cu care se

determină distanţa dintre etrieri, pentru etrieri cu două ramuri de forfecare şi diametrul barei

de 8 mm cu Asw = 2 · 50,3 = 101 mm2.

𝑠 =𝐴𝑠𝑤 ∙ 𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃

𝑉𝐸𝑑 ,𝑟𝑒𝑑=

101 ∙ 419 ∙ 435 ∙ 1,7560,47 ∙ 103 = 532 𝑚𝑚

𝜌𝑤𝑒𝑓𝑓 =𝐴𝑠𝑤𝑏 ∙ 𝑠 =

101250 ∙ 300 = 0,0013 > 𝜌𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,001

𝑠 < 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,75 ∙ 𝑑 = 0,75 ∙ 465 = 349 𝑚𝑚

𝑉𝐸𝑑𝐵 ,𝑟𝑒𝑑 < 𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥 = 1 ∙ 250 ∙ 419 ∙ 0,552 ∙ 13,33 ∙1

1,75 + 11,75

= 332,2 𝑘𝑁

c) La moment de torsiune:

Reazemul A:

TEd,A = 2,35 kN · m

𝑐𝑡𝑔𝜃 = 1,75 ⇒ 𝜃 = 29,74°

𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0,496

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,868

𝑡𝑒𝑓1 = �30 +142 � ∙ 2 = 74 𝑚𝑚

𝑡𝑒𝑓2 = 44 ∙ 2 = 88 𝑚𝑚

𝐴𝑘 = �𝑏 − 𝑡𝑒𝑓1� ∙ �ℎ −𝑡𝑒𝑓1

2 −𝑡𝑒𝑓2

2 � = (250− 74) ∙ (500− 37− 44)

= 73744 𝑚𝑚2

𝑢𝑘 = 2 ∙ �𝑏 − 𝑡𝑒𝑓1� + 2 ∙ �ℎ −𝑡𝑒𝑓1

2 −𝑡𝑒𝑓2

2 �

= 2 ∙ (250− 74) + 2 ∙ (500− 37− 44) = 1190 𝑚𝑚


117 | P a g i n a

𝑇𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 2 ∙ 𝛼𝑐𝑤 ∙ 𝜗 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑡𝑒𝑓 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

= 2 ∙ 1 ∙ 0,552 ∙ 13,33 ∙ 73744 ∙ 74 ∙ 0,496 ∙ 0,868

= 36,57 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑇𝑅𝑑,𝑐 = 2 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑡𝑒𝑓 = 2 ∙ 1,2 ∙ 73744 ∙ 74 = 13,1 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑇𝐸𝑑,𝐴

𝑇𝑅𝑑,𝑐+𝑉𝐸𝑑 ,𝐴

𝑉𝑅𝑑 ,𝑐=

2,3513,1 +

133,2849,9 = 2,88 > 1

𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑣𝑜𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟ă 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐ă 𝑇𝐸𝑑,𝐴

𝑇𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥+

𝑉𝐸𝑑 ,𝐴

𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥=

2,3536,57 +

133,28265,9 = 0,57 < 1

Armătura transversală, sub formă de etrieri, necesară din torsiune:

�𝐴𝑠𝑤𝑠 �

𝑇=

𝑇𝐸𝑑,𝐴

2 ∙ 𝑓𝑧𝑑 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃=

2,35 ∙ 106

2 ∙ 435 ∙ 73744 ∙ 1,75 = 0,021

(𝑠)𝑇 =50,3

0,021 = 2395 𝑚𝑚

Distanța unică dintre etrieri se obține cu formula:

𝑠 =(𝑠)𝜗 ∙ (𝑠)𝑇

(𝑠)𝜗 + (𝑠)𝑇=

276 ∙ 2395276 + 2395 = 247 𝑚𝑚

etrieri Ø8 la s = 200 mm

Armătura longitudinală necesară din torsiune:

�𝐴𝑠𝑙 =𝑇𝐸𝑑,𝐴 ∙ 𝑢𝑘 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃

2 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑓𝑦𝑑=

2,35 ∙ 106 ∙ 1190 ∙ 1,752 ∙ 73744 ∙ 300 = 111 𝑚𝑚2 → 2∅12

Reazemul B:

TEd,B = 3,77 kN · m

𝑐𝑡𝑔𝜃 = 1,75 ⇒ 𝜃 = 29,74°

𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0,496

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,868

𝑡𝑒𝑓1 = �30 +142 � ∙ 2 = 74 𝑚𝑚

𝑡𝑒𝑓2 = 44 ∙ 2 = 88 𝑚𝑚

𝐴𝑘 = �𝑏 − 𝑡𝑒𝑓1� ∙ �ℎ −𝑡𝑒𝑓1

2 −𝑡𝑒𝑓2

2 � = (250− 74) ∙ (500− 37− 44)

= 73744 𝑚𝑚2


118 | P a g i n a

𝑢𝑘 = 2 ∙ �𝑏 − 𝑡𝑒𝑓1� + 2 ∙ �ℎ −𝑡𝑒𝑓1

2 −𝑡𝑒𝑓2

2 �

= 2 ∙ (250− 74) + 2 ∙ (500− 37− 44) = 1190 𝑚𝑚

𝑇𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 2 ∙ 𝛼𝑐𝑤 ∙ 𝜗 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑡𝑒𝑓 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

= 2 ∙ 1 ∙ 0,552 ∙ 13,33 ∙ 73744 ∙ 74 ∙ 0,496 ∙ 0,868

= 36,57 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑇𝑅𝑑,𝑐 = 2 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑡𝑒𝑓 = 2 ∙ 1,2 ∙ 73744 ∙ 74 = 13,1 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑇𝐸𝑑,𝐵

𝑇𝑅𝑑,𝑐+𝑉𝐸𝑑 ,𝐵

𝑉𝑅𝑑,𝑐=

3,7713,1 +

77,2149,9 = 1,83 > 1

𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑣𝑜𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟ă 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐ă 𝑇𝐸𝑑,𝐵

𝑇𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥+

𝑉𝐸𝑑,𝐵

𝑉𝑅𝑑 ,𝑚𝑎𝑥=

3,7736,57 +

77,21265,9 = 0,39 < 1

Armătura transversală, sub formă de etrieri, necesară din torsiune:

�𝐴𝑠𝑤𝑠 �

𝑇=

𝑇𝐸𝑑,𝐵

2 ∙ 𝑓𝑧𝑑 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃=

3,77 ∙ 106

2 ∙ 435 ∙ 73744 ∙ 1,75 = 0,034

(𝑠)𝑇 =50,3

0,034 = 1479 𝑚𝑚

Distanța unică dintre etrieri se obține cu formula:

𝑠 =(𝑠)𝜗 ∙ (𝑠)𝑇

(𝑠)𝜗 + (𝑠)𝑇=

300 ∙ 1479300 + 1479 = 250 𝑚𝑚

etrieri Ø8 la s = 250 mm

Armătura longitudinală necesară din torsiune:

�𝐴𝑠𝑙 =𝑇𝐸𝑑,𝐵 ∙ 𝑢𝑘 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃

2 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑓𝑦𝑑=

3,77 ∙ 106 ∙ 1190 ∙ 1,752 ∙ 73744 ∙ 300 = 177 𝑚𝑚2 → 2∅12

d) Ancorarea armăturilor:

Armăturile longitudinale de la partea inferioară a grinzii, la reazemul marginal se

ancorează la forță de întindere:

𝐹𝐸 =𝑉𝐸𝑑 ,𝐴 ∙ 𝑎1

𝑧 =133,28 ∙ 0,875 ∙ 𝑧

𝑧 = 116,62 𝑘𝑁

𝑎1 = 0,5 ∙ 𝑧 ∙ (𝑐𝑡𝑔𝜃 − 𝑐𝑡𝑔𝛼) = 0,5 ∙ (1,75− 0) ∙ 𝑧 = 0,875 ∙ 𝑧

𝑁𝐸𝑑 = 0

Efortul unitar în cele patru bare de Ø14 din care se scade cantitatea de armătură de

torsiune (2Ø12):


119 | P a g i n a

𝜎𝑠𝑑 =𝐹𝐸

𝐴𝑠𝑙,𝑒𝑓𝑓=

116,62 ∙ 103

616− 2 ∙ 113 = 324𝑁𝑚2

𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 = 0,25 ∙ ∅ ∙𝜎𝑠𝑑𝑓𝑏𝑑

= 0,25 ∙ 14 ∙3242,25 = 504 𝑚𝑚

𝛼1 = 1

𝛼2 = 1 − 0,15 ∙𝑐𝑑 − ∅∅ = 1 − 0,15 ∙

15 − 1414 = 0,99 < 1,00

𝑐𝑑 = 𝑚𝑖𝑛 �𝑎2 , 𝑐1� = 𝑚𝑖𝑛 �

302 , 30� = 15

𝛼3 = 1 𝑓ă𝑟ă 𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑟𝑖 𝑝𝑒 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑖𝑚𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑟𝑒

𝛼4 = 1 𝑓ă𝑟ă 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟𝑖 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑑𝑎𝑡𝑒

𝛼5 = 1 − 0,04 ∙ 3 = 0,88 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙ă 𝑑𝑒 3,0𝑁 𝑚2⁄

𝑙𝑏𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 �0,3 ∙ 𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 = 152 𝑚𝑚

10 ∙ ∅ = 140 𝑚𝑚100 𝑚𝑚

→ 𝑙𝑏𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 155 𝑚𝑚

𝑙𝑏𝑑 = 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛼3 ∙ 𝛼4 ∙ 𝛼5 ∙ 504 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0,88 ∙ 504 = 443 𝑚𝑚 ≈ 440 𝑚𝑚

În reazemul intermediar armăturile întinse sunt ancorate pe lungimea 𝑙𝑏𝑑 = 10 ∙ ∅ =

140 𝑚𝑚 < 𝑙𝑏𝑑,𝑚𝑖𝑛 → 𝑙𝑏𝑑 = 200 𝑚𝑚

Pentru barele de la partea superioară a grinzii (ancorate în câmp) lungimea de ancorare

de bază conform tabelului XVI.5 (pentru condiții nesatisfăcătoare de aderență) sunt:

∅14 → 𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 = 960 𝑚𝑚 (î𝑛𝑡𝑖𝑛𝑠𝑒)

𝛼1 = 1

𝛼2 = 1 − 0,15 ∙𝑐𝑑 − ∅∅ = 1 − 0,15 ∙

15 − 1414 = 0,99 < 1,00

𝑐𝑑 = 𝑚𝑖𝑛 �𝑎2 , 𝑐1� = 𝑚𝑖𝑛 �

302 , 30� = 15

𝛼3 = 1 − 0,1 ∙ 2,1 = 0,79 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟ă î𝑛 𝑐𝑜𝑙ț𝑢𝑙 𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑟𝑖𝑙𝑜𝑟

𝛼3 = 1 − 0,05 ∙ 2,1 = 0,9 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟ă 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑟ă

𝜆 =∑𝐴𝑠𝑙 − ∑𝐴𝑠𝑙,𝑚𝑖𝑛

𝐴𝑠=

50,3 ∙ 7 − 0,25 ∙ 154154 = 2,1

𝛼4 = 1 𝑓ă𝑟ă 𝑎𝑟𝑚ă𝑡𝑢𝑟𝑖 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑑𝑎𝑡𝑒

𝛼5 = 1 − 0,04 ∙ 3 = 0,88 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙ă 𝑑𝑒 3,0𝑁 𝑚2⁄

𝛼2 ∙ 𝛼3 ∙ 𝛼5 = 1 ∙ 0,79 ∙ 0,88 = 0,69

𝛼2 ∙ 𝛼3 ∙ 𝛼5 = 1 ∙ 0,9 ∙ 0,88 = 0,79


120 | P a g i n a

∅14 → 𝑙𝑏𝑑 = 1 ∙ 1 ∙ 0,79 ∙ 1 ∙ 0,88 ∙ 960 = 667 𝑚𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑒 î𝑛 𝑐𝑜𝑙ț𝑢𝑙 𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑟𝑖𝑙𝑜𝑟

∅14 → 𝑙𝑏𝑑 = 1 ∙ 1 ∙ 0,90 ∙ 1 ∙ 0,88 ∙ 960 = 760 𝑚𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑟𝑒

Lungimea armăturilor de la partea superioară (reazemul marginal și intermediar):

0,3 ∙ 𝑙𝑛2 = 0,3 ∙ 5500 = 1650 𝑚𝑚

𝑙𝑏𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 �0,3 ∙ 𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 = 288 𝑚𝑚

10 ∙ ∅ = 140 𝑚𝑚100 𝑚𝑚

→ 𝑙𝑏𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 290 𝑚𝑚

e) Forfecarea dintre inimă și placa grinzii:

∆𝐹𝑐𝑑 =12 ∙

∆𝑀𝑧 ∙

𝑏𝑒𝑓𝑓 − 𝑏𝑏𝑒𝑓𝑓

=12 ∙

62− 00,42 ∙

2,5 − 0,252,5 = 66,4 𝑘𝑁

𝑉𝐸𝑑 ,1 =∆𝐹𝑐𝑑ℎ𝑓 ∙ ∆𝑥

=66,4 ∙ 103

150 ∙ 1200 = 0,37𝑁 𝑚𝑚2⁄

𝑉𝐸𝑑 ,1 < 𝜗 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,47 ∙ 13,33 ∙ 0,496 ∙ 0,868 = 2,7𝑁 𝑚𝑚2⁄

�𝐴𝑠𝑓𝑠𝑓�𝑛𝑒𝑐,𝑓

=𝑉𝐸𝑑 ,1 ∙ ℎ𝑓𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝜃

=0,37 ∙ 150300 ∙ 1,75 = 0,110


121 | P a g i n a

Verificarea grinzii cu programul AxisVM10:

calculul grinzii transversale

Documents