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Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Arithmetische Progressionen von Primzahlen
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Sei N := {1, 2, 3, . . . } die Menge der naturlichen Zahlen.
Definition
Eine Primzahl ist eine naturliche Zahl > 1, die nur durch 1 unddurch sich selbst teilbar ist.
Beispiel
2, 3, 5, 7, 11, . . . , 232582657 − 1, . . .
Theorem (Eindeutige Primfaktorzerlegung)
Jede naturliche Zahl lasst sich als Produkt von Primzahlenschreiben, und diese Darstellung ist eindeutig bis auf dieReihenfolge der Faktoren.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Sei N := {1, 2, 3, . . . } die Menge der naturlichen Zahlen.
Definition
Eine Primzahl ist eine naturliche Zahl > 1, die nur durch 1 unddurch sich selbst teilbar ist.
Beispiel
2, 3, 5, 7, 11, . . . , 232582657 − 1, . . .
Theorem (Eindeutige Primfaktorzerlegung)
Jede naturliche Zahl lasst sich als Produkt von Primzahlenschreiben, und diese Darstellung ist eindeutig bis auf dieReihenfolge der Faktoren.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sogar:
1
2+
1
3+
1
5+
1
7+ · · · =
∑p Primzahl
1
pdivergiert.
Viele andere Fragen uber die Struktur der Menge der Primzahlensind offen, zum Beispiel
Vermutung
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Primzahlen p, sodass auch p + 2 eine Primzahl ist.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sogar:
1
2+
1
3+
1
5+
1
7+ · · · =
∑p Primzahl
1
pdivergiert.
Viele andere Fragen uber die Struktur der Menge der Primzahlensind offen, zum Beispiel
Vermutung
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Primzahlen p, sodass auch p + 2 eine Primzahl ist.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Definition
Eine arithmetische Progression von Primzahlen der Lange k isteine Folge p1, p2, . . . , pk von Primzahlen, derart dass je zweiaufeinander folgende Glieder der Folge den gleichen Abstandhaben:
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1 6= 0
Beispiel
5, 11, 17, 23, 29 (Lange 5, Abstand 6)
5 + 12 · i , i = 0, 1, . . . , 4.
56.211.383.760.397 + 44.546.738.095.860i , i = 0, 1, . . . , 22
(M. Frind, P. Jobling, P. Underwood 2004)
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Definition
Eine arithmetische Progression von Primzahlen der Lange k isteine Folge p1, p2, . . . , pk von Primzahlen, derart dass je zweiaufeinander folgende Glieder der Folge den gleichen Abstandhaben:
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1 6= 0
Beispiel
5, 11, 17, 23, 29 (Lange 5, Abstand 6)
5 + 12 · i , i = 0, 1, . . . , 4.
56.211.383.760.397 + 44.546.738.095.860i , i = 0, 1, . . . , 22
(M. Frind, P. Jobling, P. Underwood 2004)
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156
157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
2 3 5 7 11
13 17 19 23
29 31
37 41 43 47
53 59
61 67 71
73 79 83
89
97 101 103 107
109 113
127 131
137 139
149 151
157 163 167
173 179
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Theorem (Green, Tao 2004)
Zu jeder naturlichen Zahl k gibt es unendlich viele arithmetischeProgressionen von Primzahlen der Lange k.
Vorher bekannte Resultate:
van der Corput 1939: Es gibt unendlich viele arithmetischeProgressionen von Primzahlen der Lange 3.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Theorem (Green, Tao 2004)
Zu jeder naturlichen Zahl k gibt es unendlich viele arithmetischeProgressionen von Primzahlen der Lange k.
Vorher bekannte Resultate:
van der Corput 1939: Es gibt unendlich viele arithmetischeProgressionen von Primzahlen der Lange 3.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Offensichtliche Einschrankungen:Ist p, p + r , . . . , p + (k − 1)r eine AP von Primzahlen der Lange k,mit Abstand r , so gilt
Alle Primzahlen < k teilen r .
Beispiel (k=23)
r ≥ 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 223.092.870
Frind, Jobling, Underwood: r = 44.546.738.095.860
Abschatzung nach oben
Green, Tao: moglich ist p + (k − 1)r ≤ 2222222100k
Vermutung: moglich ist p + (k − 1)r ≤ k! + 1,fur k = 23: 23! + 1 = 25.852.016.738.884.976.640.001
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Offensichtliche Einschrankungen:Ist p, p + r , . . . , p + (k − 1)r eine AP von Primzahlen der Lange k,mit Abstand r , so gilt
Alle Primzahlen < k teilen r .
Beispiel (k=23)
r ≥ 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 223.092.870
Frind, Jobling, Underwood: r = 44.546.738.095.860
Abschatzung nach oben
Green, Tao: moglich ist p + (k − 1)r ≤ 2222222100k
Vermutung: moglich ist p + (k − 1)r ≤ k! + 1,fur k = 23: 23! + 1 = 25.852.016.738.884.976.640.001
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Offensichtliche Einschrankungen:Ist p, p + r , . . . , p + (k − 1)r eine AP von Primzahlen der Lange k,mit Abstand r , so gilt
Alle Primzahlen < k teilen r .
Beispiel (k=23)
r ≥ 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 223.092.870
Frind, Jobling, Underwood: r = 44.546.738.095.860
Abschatzung nach oben
Green, Tao: moglich ist p + (k − 1)r ≤ 2222222100k
Vermutung: moglich ist p + (k − 1)r ≤ k! + 1,fur k = 23: 23! + 1 = 25.852.016.738.884.976.640.001
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Der Primzahlsatz
Seiπ(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|.
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
0 10 20 30 40 50
Theorem (Hadamard, de la Vallee-Poussin 1896)
π(x) ∼ x
log x.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Der Primzahlsatz
Seiπ(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|.
0
2 · 103
4 · 103
6 · 103
8 · 103
1 · 104
1.2 · 104
0 2 · 104 4 · 104 6 · 104 8 · 104 1 · 105
Theorem (Hadamard, de la Vallee-Poussin 1896)
π(x) ∼ x
log x.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Der Primzahlsatz
Seiπ(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|.
0
2 · 103
4 · 103
6 · 103
8 · 103
1 · 104
1.2 · 104
0 2 · 104 4 · 104 6 · 104 8 · 104 1 · 105
Theorem (Hadamard, de la Vallee-Poussin 1896)
π(x) ∼ x
log x.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Der Primzahlsatz
Seiπ(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|.
0
2 · 103
4 · 103
6 · 103
8 · 103
1 · 104
1.2 · 104
0 2 · 104 4 · 104 6 · 104 8 · 104 1 · 105
Theorem (Hadamard, de la Vallee-Poussin 1896)
π(x) ∼ x
log x.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Die Hardy-Littlewood-Vermutung
Wir konnen den Primzahlsatz benutzen, um eine heuristischeUberlegung durchzufuhren, wie viele arithmetische Progressionenvon Primzahlen wir erwarten sollten.
“Wahrscheinlichkeit”, dass x ∈ {1, 2, . . . ,N} prim ist: 1log(N)
Sei 1 ≤ r ≤ N. Wir konnen hoffen, dass die Ereignisse, dass xbzw. x + r prim sind, im wesentlichen unabhangig sind, also
P(x prim und x + r prim) = P(x prim)P(x + r prim) =1
log(N)2.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Die Hardy-Littlewood-Vermutung
Wir konnen den Primzahlsatz benutzen, um eine heuristischeUberlegung durchzufuhren, wie viele arithmetische Progressionenvon Primzahlen wir erwarten sollten.
“Wahrscheinlichkeit”, dass x ∈ {1, 2, . . . ,N} prim ist: 1log(N)
Sei 1 ≤ r ≤ N. Wir konnen hoffen, dass die Ereignisse, dass xbzw. x + r prim sind, im wesentlichen unabhangig sind, also
P(x prim und x + r prim) = P(x prim)P(x + r prim) =1
log(N)2.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Wir fuhren das fort, lassen außerdem den Startpunkt x und denAbstand r variieren, und erhalten heuristisch, dass fur x , r imBereich {1, 2, . . . ,N} ungefahr
N2
log(N)k
arithmetische Progressionen von Primzahlen der Lange k existierensollten.
Diese Argumentation ist offensichtlich zu naiv: wir haben schongesehen, dass r von allen Primzahlen ≤ k geteilt werden muss.
Vermutung (Hardy, Littlewood 1923)
Fur alle k gilt
|{AP von PZ der Lange k mit Startpkt., Abstand in {1, . . . ,N}}|
=γkN2
log(N)k(1 + o(1)).
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Wir fuhren das fort, lassen außerdem den Startpunkt x und denAbstand r variieren, und erhalten heuristisch, dass fur x , r imBereich {1, 2, . . . ,N} ungefahr
N2
log(N)k
arithmetische Progressionen von Primzahlen der Lange k existierensollten.
Diese Argumentation ist offensichtlich zu naiv: wir haben schongesehen, dass r von allen Primzahlen ≤ k geteilt werden muss.
Vermutung (Hardy, Littlewood 1923)
Fur alle k gilt
|{AP von PZ der Lange k mit Startpkt., Abstand in {1, . . . ,N}}|
=γkN2
log(N)k(1 + o(1)).
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Wir fuhren das fort, lassen außerdem den Startpunkt x und denAbstand r variieren, und erhalten heuristisch, dass fur x , r imBereich {1, 2, . . . ,N} ungefahr
N2
log(N)k
arithmetische Progressionen von Primzahlen der Lange k existierensollten.
Diese Argumentation ist offensichtlich zu naiv: wir haben schongesehen, dass r von allen Primzahlen ≤ k geteilt werden muss.
Vermutung (Hardy, Littlewood 1923)
Fur alle k gilt
|{AP von PZ der Lange k mit Startpkt., Abstand in {1, . . . ,N}}|
=γkN2
log(N)k(1 + o(1)).
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Die Vermutung von Erdos und Turan
Statt nach der Struktur der Menge aller Primzahlen zu fragen,kann man auch fragen, unter welchen Bedingungen eine TeilmengeA ⊆ N arithmetische Progressionen beliebiger Lange enthaltenmuss.
Vermutung (Erdos, Turan 1936)
Ist A ⊆ N eine Teilmenge, so dass∑a∈A
1
adivergiert,
dann enthalt A arithmetische Progressionen beliebiger Lange.
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Die Vermutung von Erdos und Turan
Statt nach der Struktur der Menge aller Primzahlen zu fragen,kann man auch fragen, unter welchen Bedingungen eine TeilmengeA ⊆ N arithmetische Progressionen beliebiger Lange enthaltenmuss.
Vermutung (Erdos, Turan 1936)
Ist A ⊆ N eine Teilmenge, so dass∑a∈A
1
adivergiert,
dann enthalt A arithmetische Progressionen beliebiger Lange.
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Der Satz von Szemeredi
Theorem (Szemeredi 1975)
Sei A ⊆ N eine Teilmenge mit positiver oberer Dichte, d. h.
lim supN→∞
|A ∩ [1,N]|N
> 0
Dann enthalt A arithmetische Progressionen beliebiger Lange.
Allerdings ist die Dichte von {p Primzahl} ⊂ N gleich 0.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Furstenbergs Beweis
Theorem (Furstenberg 1977)
Sei (X ,B, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, T : X −→ X einemaßerhaltende Abbildung, d. h. µ(T−1(M)) = µ(M) fur alleM ∈ B. Seien A ∈ B mit µ(A) > 0 und k ∈ N.Dann existiert n ∈ N, so dass
µ(k−1⋂j=0
T−jnA) > 0.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Wende dies an wie folgt: Sei Λ ⊆ Z eine Teilmenge mit positiverDichte.
Definiere T : P(Z) −→ P(Z) durchTM := {n ∈ Z; n + 1 ∈ M}.Sei X der Abschluss von {T nΛ; n ∈ Z} in P(Z),
sei A = {M ∈ X ; 0 ∈ M}.Definiere ein T -invariantes Maß µ auf X mit µ(A) > 0 undfolgere
T n′Λ ∈k−1⋂j=0
T−jnA
fur n, n′ geeignet.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Der schwach mischende Fall
Bernoulli-System:
Seien p1, . . . , pr ∈ R≥0 mit∑r
i=1 pi = 1.
Betrachte (X ,B, µ,T ) gegeben durch
X = {(ωi )i∈Z;ωi ∈ {1, 2, . . . , r}},B die kleinste σ-Algebra, so dass alle Abb. (ωi )i 7→ ωi0
messbar sind,
µ das Produktmaß
µ(ωi1 = j1, ωi2 = j2, . . . , ωin = jn) = pj1 · · · pjn .
T ((ωi )i ) = (ωi+1)i .
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Satz
Sei (X ,B, µ,T ) ein Bernoulli-System, und seien A0, . . . ,Ak ∈ B.Dann gilt
limn→∞
µ(A0 ∩ T−nA1 ∩ · · · ∩ T−knAk) = µ(A0)µ(A1) · · ·µ(Ak).
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Der kompakte Fall
Sei X = R/Z, B die Borel-σ-Algebra und µ das vomLebesgue-Maß auf R induzierte W-Maß auf X . Sei T : X −→ Xgegeben durch x 7→ x + α, α ∈ R.
Satz
In dieser Situation gilt fur alle k ≥ 1:
lim infN→∞
1
N
N∑n=1
µ(A ∩ T−nA ∩ · · · ∩ T−knA) > 0.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Umformulierung von Szemeredis Satz
Identifiziere {1, . . . ,N} = Z/N.
Fur eine Funktion f : Z/N −→ R und A ⊆ Z/N setze
E (f (n)|n ∈ A) =1
|A|∑n∈A
f (n).
Theorem (Szemeredi)
Sei k ≥ 3, 0 < δ ≤ 1, und sei N ≥ 1 eine Primzahl. Seif : Z/N −→ R mit
0 ≤ f (n) ≤ 1 fur alle n ∈ Z/N, und
E (f (n)|n ∈ Z/N) ≥ δ.
Dann gilt
E (f (n)f (n + r) · · · f (n + (k − 1)r)|n, r ∈ Z/N) ≥ c(k, δ)− oδ(1).
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Die Idee von Green und Tao
Finde P ⊆ A ⊆ N, so dass P in A relative Dichte > 0 hat, und dassA so beschaffen ist, dass Szemeredis Satz auch fur Teilmengen vonA gilt.
1. Schritt: Verallgemeinere den Satz von Szemeredi.
Theorem (Green, Tao)
Sei k ≥ 3, 0 < δ ≤ 1. Sei ν : Z/N −→ R≥0 einek-Pseudozufallsdichte. Sei f : Z/N −→ R≥0, so dass
0 ≤ f (n) ≤ ν(n) fur alle n ∈ Z/N, und
E (f (n)|n ∈ Z/N) ≥ δ.
Dann gilt
E (f (n)f (n + r) · · · f (n + (k − 1)r)|n, r ∈ Z/N) ≥ c(k, δ)− oδ,ν(1).
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Die Idee von Green und Tao
Finde P ⊆ A ⊆ N, so dass P in A relative Dichte > 0 hat, und dassA so beschaffen ist, dass Szemeredis Satz auch fur Teilmengen vonA gilt.
1. Schritt: Verallgemeinere den Satz von Szemeredi.
Theorem (Green, Tao)
Sei k ≥ 3, 0 < δ ≤ 1. Sei ν : Z/N −→ R≥0 einek-Pseudozufallsdichte. Sei f : Z/N −→ R≥0, so dass
0 ≤ f (n) ≤ ν(n) fur alle n ∈ Z/N, und
E (f (n)|n ∈ Z/N) ≥ δ.
Dann gilt
E (f (n)f (n + r) · · · f (n + (k − 1)r)|n, r ∈ Z/N) ≥ c(k, δ)− oδ,ν(1).
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Pseudo-Zufallsdichten
Definition
Eine k-Pseudozufallsdichte ist eine Familie von Funktionen
νN : Z/N −→ R≥0, N ∈ N
die eine
“Linearformenbedingung” und eine
“Korrelationsbedingung”
erfullen.
Beispiel (Konsequenzen der Linearformenbedingung)
E (ν) = 1 + o(1)
E (ν(x)ν(x + h1)ν(x + h2)ν(x + h1 + h2)|x , h1, h2 ∈ Z/N) =1 + o(1)
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Anwendung auf die Primzahlen
Seien k ≥ 1, N ∈ N, W =∏
p∈Pp≤w(N)
p, εk = 12k (k+4)!
.
von Mangoldt-Funktion
Λ(n) =
{log p wenn n = pr , p prim,
0 sonst.
W-Trick
Λ(n) =
{φ(W )
W log(Wn + 1) wenn Wn + 1 prim,0 sonst.
f (n) =
{k−12−k−5Λ(n) wenn εkN ≤ n ≤ 2εkN,
0 sonst.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Anwendung auf die Primzahlen
Seien k ≥ 1, N ∈ N, W =∏
p∈Pp≤w(N)
p, εk = 12k (k+4)!
.
von Mangoldt-Funktion
Λ(n) =
{log p wenn n = pr , p prim,
0 sonst.
W-Trick
Λ(n) =
{φ(W )
W log(Wn + 1) wenn Wn + 1 prim,0 sonst.
f (n) =
{k−12−k−5Λ(n) wenn εkN ≤ n ≤ 2εkN,
0 sonst.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Anwendung auf die Primzahlen
Seien k ≥ 1, N ∈ N, W =∏
p∈Pp≤w(N)
p, εk = 12k (k+4)!
.
von Mangoldt-Funktion
Λ(n) =
{log p wenn n = pr , p prim,
0 sonst.
W-Trick
Λ(n) =
{φ(W )
W log(Wn + 1) wenn Wn + 1 prim,0 sonst.
f (n) =
{k−12−k−5Λ(n) wenn εkN ≤ n ≤ 2εkN,
0 sonst.
Primzahlen Primzahlsatz Satz von Szemeredi Verallg. von Green/Tao Anwendung
Es gilt
Λ(n) =∑d |n
µ(d) log(n/d).
Definiere abgeschnittene Version von Λ (nach Goldston, Yildirim):
ΛR(n) =∑d|n
d≤R
µ(d) log(R/d).
Theorem
Seien R = Nk−12−k−4und εk = 1
2k (k+4)!. Definiere
ν(n) :=
{φ(W )
WΛR(Wn+1)2
log R wenn εkN ≤ n ≤ 2εkN,
1 sonst.
Dann ist ν eine k-Pseudozufallsdichte, die f majorisiert.