primzahlen und ihre verteilung. warum besch¤ftigt man sich mit primzahlen?

Download Primzahlen und ihre Verteilung. Warum besch¤ftigt man sich mit Primzahlen?

Post on 05-Apr-2015

105 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Folie 1
  • Primzahlen und ihre Verteilung
  • Folie 2
  • Warum beschftigt man sich mit Primzahlen?
  • Folie 3
  • Primzahlen sind die Atome der natrlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlen sind die Atome der natrlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!)
  • Folie 4
  • Warum beschftigt man sich mit Primzahlen? Primzahlen sind die Atome der natrlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlen sind die Atome der natrlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung z.B. RSA: Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung z.B. RSA: Prinzip: Multiplikation von Primzahlen ist leicht Aufspaltung von groen Zahlen in ihre Primteiler ist schwer
  • Folie 5
  • Warum beschftigt man sich mit Primzahlen? Primzahlen sind die Atome der natrlichen Zahlen (eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlen sind die Atome der natrlichen Zahlen (eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung (z.B. RSA) Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung (z.B. RSA) Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der modernen Zahlentheorie Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der modernen Zahlentheorie
  • Folie 6
  • Definition Eine natrliche Zahl n heit Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat. Eine natrliche Zahl n heit Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat. Merke: 1 ist nicht prim!
  • Folie 7
  • Definition Eine natrliche Zahl n heit Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat. Eine natrliche Zahl n heit Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat. Merke: 1 ist nicht prim! In dieser Darstellung werden folgende Konventionen benutzt: p bezeichnet immer eine Primzahl P bezeichnet die Menge aller Primzahlen
  • Folie 8
  • Primzahlentheorie in der Antike Es ist nicht genau bekannt wann Menschen das erste Mal ber Primzahlen nachdachten Es ist nicht genau bekannt wann Menschen das erste Mal ber Primzahlen nachdachten Erstes Wissen ber Primzahlen nachweisbar bei den antiken Griechen, genauer bei den Pythagorern ca. 500-300 v.Chr. Erstes Wissen ber Primzahlen nachweisbar bei den antiken Griechen, genauer bei den Pythagorern ca. 500-300 v.Chr. Um 300 v.Chr.: Euklids Elemente Buch IX: Der Beweis fr die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Um 300 v.Chr.: Euklids Elemente Buch IX: Der Beweis fr die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. 200 v.Chr.: Das Sieb des Eratosthenes (Algorithmus zur Bestimmung von Primzahlen bis zu einer Zahl x) 200 v.Chr.: Das Sieb des Eratosthenes (Algorithmus zur Bestimmung von Primzahlen bis zu einer Zahl x)
  • Folie 9
  • Das antike China Die antiken Chinesen beschftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Die antiken Chinesen beschftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. In der chinesischen Vorstellung waren ungerade Zahlen mnnlich und gerade weiblich. Ungerade Zahlen mit vielen Teilern galten als unmnnlich. Primzahlen galten daher als besonders mnnlich
  • Folie 10
  • Das antike China Die antiken Chinesen beschftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Die antiken Chinesen beschftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Sie stellten jedoch auch einige Vermutungen auf, die erst von Fermat bewiesen werden konnten Sie stellten jedoch auch einige Vermutungen auf, die erst von Fermat bewiesen werden konnten
  • Folie 11
  • Das antike China Das Mittelalter Die antiken Chinesen beschftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Die antiken Chinesen beschftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Sie stellten jedoch auch einige Vermutungen auf, die erst von Fermat bewiesen werden konnten Sie stellten jedoch auch einige Vermutungen auf, die erst von Fermat bewiesen werden konnten Keine Weiterentwicklung der Primzahlentheorie.
  • Folie 12
  • Primzahltheorie nach dem Mittelalter Die ersten neuen Erkenntnisse zur Primzahltheorie wurden durch Fermat und Mersenne erzielt: Die ersten neuen Erkenntnisse zur Primzahltheorie wurden durch Fermat und Mersenne erzielt: Mersennesche Primzahlen: Nicht jede Zahl dieser Form ist prim!
  • Folie 13
  • Die grte bekannte Primzahl Die grte bekannte Primzahl ist eine Mersennesche Primzahl und wurde am 14.12.2005 durch GIMPS* entdeckt: Die grte bekannte Primzahl ist eine Mersennesche Primzahl und wurde am 14.12.2005 durch GIMPS* entdeckt: Eine Zahl die 9.152.052 Dezimalstellen lang ist. *(Great Internet Mersenne Prime Search)
  • Folie 14
  • Leonard Euler und die Primzahlen Euler fand einen weiteren Beweise fr die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Euler fand einen weiteren Beweise fr die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Dieser stand im engen Zusammenhang zur Eulerschen Zetafunktion: Dieser stand im engen Zusammenhang zur Eulerschen Zetafunktion:
  • Folie 15
  • Eulers Beweis fr die Existenz von unendlich vielen Primzahlen
  • Folie 16
  • Leonard Euler und die Primzahlen Darber hinaus bewies er weitere Zusammenhnge zur Primzahlverteilung: Darber hinaus bewies er weitere Zusammenhnge zur Primzahlverteilung: daraus folgerte er, dass Primzahlen dichter in N liegen als Quadratzahlen. daraus folgerte er, dass Primzahlen dichter in N liegen als Quadratzahlen. Euler fhrte auerdem als erster analytische Methoden in die Zahlentheorie ein! Euler fhrte auerdem als erster analytische Methoden in die Zahlentheorie ein!
  • Folie 17
  • Wie sind die Primzahlen in den natrlichen Zahlen verteilt? Betrachte die Funktion Einige Werte fr (x) x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (x)0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5
  • Folie 18
  • Wie sind die Primzahlen in den natrlichen Zahlen verteilt? Betrachten wir zunchst den Graph von (x) im Zahlenraum bis 100:
  • Folie 19
  • (x) im Bereich [0,100]
  • Folie 20
  • Wie sind die Primzahlen in den natrlichen Zahlen verteilt? Die Grafik verdeutlicht, dass die Funktion (x) unregelmig Ihren Funktionswert ndert. Die Grafik verdeutlicht, dass die Funktion (x) unregelmig Ihren Funktionswert ndert. Es stellt sich die Frage, ob es mglich ist, eine elementare Funktion anzugeben, welche die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Zahl x angibt. Es stellt sich die Frage, ob es mglich ist, eine elementare Funktion anzugeben, welche die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Zahl x angibt.
  • Folie 21
  • Wie sind die Primzahlen in den natrlichen Zahlen verteilt? Wollen wir eine elementare Funktion finden, die (x) angibt, so stoen wir zunchst auf ein Problem: Es gibt beliebig groe Primzahllcken! Eine Primzahllcke ist ein Intervall der natrlichen Zahlen in dem keine Primzahl existiert. Beispiel: [8,10] Eine Primzahllcke ist ein Intervall der natrlichen Zahlen in dem keine Primzahl existiert. Beispiel: [8,10]
  • Folie 22
  • Existenz von beliebig groen Primzahllcken. Beweis: Betrachte k aus N. Bilde [k!+2,k!+k]. Fr jede Zahl aus [k!+2,k!+k] gilt: sie wird von mindestens einer Zahl 2,3,,k geteilt. Fr jede Zahl n aus [k!+2,k!+k] gilt: sie wird von mindestens einer Zahl 2,3,,k geteilt. Damit ist n keine Primzahl! Es existieren also beliebig groe Bereiche in den natrlichen Zahlen, die keine Primzahlen enthalten
  • Folie 23
  • Wie knnen wir dennoch etwas ber die Verteilung von P in N erfahren? Wir mssen eine Funktion finden die (x) approximiert! Ist dies mglich?
  • Folie 24
  • Wie knnen wir dennoch etwas ber die Verteilung von P in N erfahren? Wir mssen eine Funktion finden die (x) approximiert! Ist dies mglich? - Ja! Betrachte (x) auf einem greren Intervall:
  • Folie 25
  • (x) im Bereich der ersten 800 Primzahlen
  • Folie 26
  • (x) im Bereich der ersten 8000 Primzahlen
  • Folie 27
  • Wie knnen wir dennoch etwas ber die Verteilung von P in N erfahren? Wir mssen eine Funktion finden die (x) approximiert! Betrachte (x) auf einem greren Intervall: (x) scheint sich global in Form einer stetigen Funktion annhern zu lassen. Dabei gilt jedoch, dass (x) lokal immer unstetig bleibt, und somit auf keinem Intervall mit einer stetigen Funktion bereinstimmen kann!
  • Folie 28
  • Wie knnen wir dennoch etwas ber die Verteilung von P in N erfahren? Definition: Eine Funktion f(x) heit asymptotisch gleich zu einer Funktion g(x) wenn gilt: In Zeichen f(x)~g(x) In Zeichen f(x)~g(x) d.h. der Funktionswert der Funktionen ist fr beliebig groe x annhernd gleich.
  • Folie 29
  • Gau 1792 und Legendre 1798 Beim Studium von Logarithmentafeln und Primzahltabellen entdeckte C.F. Gau einen Zusammenhang zwischen den Logarithmen und der Primzahlen in N. Beim Studium von Logarithmentafeln und Primzahltabellen entdeckte C.F. Gau einen Zusammenhang zwischen den Logarithmen und der Primzahlen in N. Er stellte folgende Vermutung auf, Er stellte folgende Vermutung auf, konnte diese jedoch nicht beweisen.
  • Folie 30
  • Gau 1792 und Legendre 1798 Legendre stie ebenfalls auf die Gausche Vermutung und verffentlichte diese 1798. Legendre stie ebenfalls auf die Gausche Vermutung und verffentlichte diese 1798. Die besondere Leistung von Gau und Legendre liegt darin, dass Sie den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Primzahlen erkennen konnten, ohne unsere (wesentlich erweiterten) Primzahltabellen Die besondere Leistung von Gau und Legendre liegt darin, dass Sie den Zus

Recommended

View more >