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Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Markus Daniel Mayer

October 31, 2017

Markus Daniel Mayer Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat October 31, 2017 1 / 22

Einfuhrung

Der Zwei-Quadrate-SatzWelche Zahlen konnen als Summe von zwei Quadraten dargestelltwerden?

1 =12 + 02

2 =12 + 12

3 =

4 =22 + 02

5 =22 + 12

...


Aufwarmubung

Jede Primzahl ist in der Form p = 2, p = 4m + 1 oder p = 4m + 3darstellbar.Wir konnen zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen der Formp = 4m + 3 gibt. (nach Euklid)Waren es endlich viele, dann gabe es eine hochste Primzahl pk dieserForm. Wir setzen

Nk := 22 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ · · · ∗ pk − 1


Aufwarmubung

Nun ist es leicht zu sehen, das

Nk := 22 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ · · · ∗ pk − 1 ≡ 3(mod 4)

also einen Primfaktor der Form p = 4m + 3 besitzt, welcher großer istals pk.


Primkorper

Fur jede Primzahl p bildet Zp = {0, 1, 2, . . . , p− 1} mit Addition undMultiplikation ”modulo p” einen endlichen Korper. Von diesem Korperbrauchen wir die 3 Aspekte:

Fur x ∈ Zp, x 6= 0, ist das Inverse bezuglich Addition (fur das wirublicherweise −x schreiben) durch p− x ∈ {1, 2, ..., p− 1}gegeben. Wenn p > 2 ist, dann sind x und −x verschiedeneElemente von Zp.Jedes x ∈ Zp\{0} hat ein eindeutiges multiplikatives Inversesx ∈ Zp\{0}, mit xx ≡ 1(mod p). Aus der Definition der Primzahlenfolgt namlich, dass die Abbildung Zp → Zp, z 7→ xz fur x 6= 0injektiv ist. Auf der endlichen Menge Zp\{0} muss sie damit aberauch surjektiv sein, und deswegen gibt es fur jedes x eineindeutiges x 6= 0 mit xx ≡ 1(mod p).


Die Quadrate 02, 12, 22, . . . , h2 definieren verschiedene Elementevon Zp fur h = bp/2c. Dies folgt daraus, dass x2 ≡ y2 bzw.(x + y)(x− y) ≡ 0 impliziert, dass entweder x ≡ y oder x ≡ −ygilt. Die 1 + bp/2c Elemente 02, 12, . . . , h2 nennt man die Quadratein Zp .


Lemma 1

Lemma 1Fur jede Primzahl p der Form p = 4m + 1 hat die Gleichungs2 ≡ −1(mod p) zwei Losungen s ∈ {1, 2, . . . , p− 1}, fur p = 2 gibt esgenau eine solche Losung, wahrend es fur Primzahlen der Formp = 4m + 3 keine Losung gibt.


Lemma 1 Beweis

BeweisFur p = 2 ist s = 1. Fur ungerades p konstruieren wir eineAquivalenzrelation auf der Menge 1, 2, . . . , p− 1, die dadurch erzeugtwird, dass wir jedes Element mit seinem additiven und seinemmultiplikativen Inversen in Zp in Relation setzen, die wir mit −x bzw. xbezeichnen.Damit enthalten die ”allgemeinen” Aquivalenzklassen vier Elemente{x,−x, x,−x} weil eine solche vierelementige Menge die Inversen furalle ihre Elemen- te enthalt. Es gibt jedoch auch kleinereAquivalenzklassen, die auftreten, wenn einige dieser vier Elementenicht voneinander verschieden sind:

x ≡ −x ist fur ungerades p unmoglichx ≡ x ist aquivalent zu x2 ≡ 1. Dies hat zwei verschiedeneLosungen, namlich x = 1 und x = p− 1, und entspricht derAquivalentsklasse {1, p− 1} der Große 2.Markus Daniel Mayer Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat October 31, 2017 8 / 22

Beweis fort.

x ≡ −x ist aquivalent zu x2 ≡ −1. Diese Gleichung hat entwederkeine Losung, oder zwei verschiedene Losungen x0, p− x0 : indiesem Fall ist die Aquivalenzklasse {x0, p− x0}.

Die Menge {1, 2, ..., p− 1} hat p− 1 Elemente, und wir haben sie inQuadrupel (Aquivalenzklassen der Große 4) aufgeteilt, plus ein oderzwei Paare (Aquivalenzklassen der Große 2). Fur p− 1 = 4m + 2 folgtdaraus, dass es nur ein Paar 1, p− 1 gibt, der Rest besteht ausQuadrupeln, und damit hat s2 ≡ −1(mod p) keine Losung. Furp− 1 = 4m muss es aber ein zweites Paar geben, und dieses enthaltdie beiden Losungen von s2 ≡ −1, nach denen gefragt war.


Lemma 2

Lemma 2Keine Zahl n = 4m + 3 ist eine Summe von zwei Quadraten.

Beweis.

Das Quadrat einer geraden Zahl ist (2k)2 = 4k2 ≡ 0(mod 4), wahrendQuadrate von ungeraden Zahlen (2k + 1)2 = 4(k2 + k) + 1 ≡ 1(mod 4)ergeben. Damit ist jede Summe von zwei Quadraten zu 0, 1 oder 2(mod 4) kongruent.


Proposition

PropositionJede Primzahl der Form p = 4m + 1 ist eine Summe von zweiQuadraten, sie kann also durch p = x2 + y2 dargestellt werden mitx, y ∈ N.


Proposition

Beweis

Wir betrachten die Paare (x′, y′) von ganzen Zahlen, mit0 ≤ x′, y′ ≤ √p, dass heißt x′, y′ ∈ {0, 1, 2, . . . , b√pc}. Es gibt genau(b√pc+ 1)2 solcher Paare. mit der Abschatzung bxc+ 1 > x furx =√p sehen wir, dass es mehr als p solcher Paare gibt. Also konnen

wir fur ein festes s ∈ Z die Werte x′ − sy′, die man aus den Paaren(x′, y′) erzeugt, nicht alle (mod p) verschieden sein. Also gibt es furjedes s zwei verschiedene Paare:

(x′, y′), (x′′, y′′) ∈ {0, 1, 2, . . . , b√pc}2

mitx′ − sy′ ≡ x′′ − sy′′(mod p).


Proposition

Beweis fort.

Nun nehmen wir Differenzen: Wir haben x′ − x′′ ≡ s(y′ − y′′)(mod p).Wenn wir also

x := |x′ − x′′|, y := |y′ − y′′|

definieren, erhalten wir

x, y ∈ {0, 1, . . . , b√pc} mit x ≡ ±sy(mod p)

Weiterhin wissen wir, dass nicht beide Null sein konnen, da die Paare(x′, y′) und (x′′, y′′) verschieden sind.


Proposition

Beweis fort.

Sein nun s eine Losung von s2 ≡ −1(mod p), die nach Lemma 1existieren muss. Dann gilt: x2 ≡ s2y2 ≡ −y2(mod p) und wir erhalten:

(x, y) ∈ Z2 mit 0 < x2 + y2 < 2p und x2 + y2 ≡ 0(mod p)

Die Primzahl p ist aber die einzige Zahl zwischen 0 und 2p, die durch pteilbar ist. Deshalb ist x2 + y2 = p.


Die Beantwortung der Frage

SatzEine naturliche Zahl n kann genau dann als Summe von zweiQuadraten dargestellt werden, wenn jeder Primfaktor der Formp = 4m + 3 in der Primfaktorzerlegung von n mit geradem Exponentenauftritt.



BeweisWir nennen eine Zahl n darstellbar, wenn sie eine Summe von zweiQadraten ist, also n = x2 + y2 fur ganzzahlige x und y ist.

1 = 12 + 02, 2 = 12 + 12 und alle Primzahlen der Form p = 4m + 1sind darstellbar.Das Produkt von zwei darstellbaren Zahlen n1 = x21 + y21 undn2 = x22 + y22 ist darstellbar:n1n2 = (x1x2 + y1y2)

2 + (x1y2 − x2y1)2

Wenn n darstellbar ist, n = x2 + y2 , dann ist auch nz2 darstellbar,wegen nz2 = (xz)2 + (yz)2 .



Beweis fort.Wenn p = 4m + 3 eine Primzahl ist, die eine darstellbare Zahln = x2 + y2 teilt, dann teilt p sowohl x als auch y, und damit ist nauch durch p2 teilbar. Wenn namlich x 6≡ 0(mod p) ware, dannkonnten wir ein x finden mit xx ≡ 1(mod p), dann die Gleichungx2 + y2 ≡ 0 mit x2 multiplizieren, und damit1 + y2x2 = 1 + (xy)2 ≡ 0(mod p) erhalten, was fur p = 4m + 3nach Lemma 1 unmoglich ist.Wenn n darstellbar und durch p = 4m + 3 teilbar ist, dann ist nauch durch p2 teilbar, und n/p2 ist ebenfalls darstellbar. Dies folgtaus dem vorangegangenem Punkt und beendet den Beweis.


Proposition

BeweisWir untersuchen die Menge

S := {(x, y, z) ∈ Z3 : 4xy + z2 = p, x > 0, y > 0}.

Diese Menge ist endlich: aus x ≥ 1 und y ≥ 1 folgt namlich y ≤ p/4und x ≤ p/4. Damit gibt es aber nur endlich viele mogliche Werte fur xund y, und fur gegebenes x und y gibt es hochstens zwei Werte fur z.


Beweis (Involution 1)

f : S → S, (x, y, z) 7→ (y, x,−z)

f bildet die Losungen in

T := {(x, y, z) ∈ S : z > 0}

auf die Losungen in S\T ab. Also vertauscht f die Vorzeichen vonx− y und von z, und bildet somit auch die Losungen in

U := {(x, y, z) ∈ S : (x− y) + z > 0}

auf die Losungen in S\U ab. Dafur mussen wir nur uberprufen, dasses keine Losungen gibt mit (x− y) + z = 0. Aber die gibt es nicht, weildaraus sofort p = 4xy + z2 = 4xy + (x− y)2 = (x + y)2 folgen wurde.Wir konnen sehen, dass es hier zwischen T und S\T , bzw. U und S\Ueine bijektion gibt. Damit konnen wir sagen dass T und U beide dieselbe Kardinalitat haben (die halfte von S).


Proposition

Beweis (Involution 2)Die zweite Involution, die wir betrachten wollen, lebt auf der Menge U :

g : U → U, (x, y, z) 7→ (x− y + z, y, 2y − z)

.


Proposition

Beweis (Involution 2)


Proposition

Beweis (Involution 3).Die dritte, triviale, Involution lebt auf der Menge T , und sie vertauschteinfach x und y:

h : T → T, (x, y, z) 7→ (y, x, z).

Diese Abbildung ist nun ganz offensichtlich wohldefiniert und sie isteine Involution. Wir kombinieren jetzt das Wissen, das wir aus denbeiden anderen Involutionen abgeleitet haben: T hat dieselbeKardinalitat wie U , und die ist ungerade. Aber da h somit eineInvolution auf einer endlichen Menge von ungerader Kardinalitat ist,muss h einen Fixpunkt haben: Es gibt einen Punkt (x, y, z) ∈ T mitx = y, also eine Losung von

p = 4x2 + z2 = (2x)2 + z2.


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