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Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate- Approximation

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Ausblick 1. Wiederholung 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? 2.2. Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel 3. Literatur

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1. Wiederholung Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt Approximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe Nherungsfunktion Gesucht: Das Minimum der Funktion

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Zugehriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:

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2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt Ziel: Funktion f(x) durch Nherungsfunktion P(x) zu ersetzen

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2.2. Polynomapproximation Gesucht ist das jenige Polynom, dass im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate mglichst gut den funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervallapproximiert. Gesucht: Minimum der Funktion

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Notwendige Bedingungen fr Minimum: Man erhlt: Daraus ergibt sich: Gausche Normalengleichungen

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Dieses Gleichungssystem lsst sich in der blichen Form linearer Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektoren und die Matrixwie folgt definiert ist:

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Satz: Es sei gegeben und es gelte. Dann besitzen die Normalengleichungen eine eindeutige Lsung.

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Beispiel Man approximiere die Funktion auf dem Intervall durch ein Polynom zweiten Grades. Damit ist gesucht, fr das gilt:

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Das Gleichungssystem, was es zu lsen gilt, lautet:

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2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen Sei ein System von n+1 stetigen Funktionen gegeben, die auf dem Intervall,, linear unabhngig sind. Satz: Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann sind auf jedem beliebigen Intervall,, linear unabhngig.

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Definition: Eine integrierbare Funktion heit Gewichtsfunktion auf dem Intervall, falls gilt: fr und auf jedem Teilintervall von. Zweck: Teilabschnitte vom Intervall knnen hervorgehoben werden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.

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Verallgemeinertes Polynom: Gesucht: Minimum der Funktion

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Notwendige Bedingungen fr ein Minimum: Normalengleichungen

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Definition: Ein System stetiger Funktionen heit orthogonal auf dem Intervall bezglich der Gewichtsfunktion, falls: Gilt des weiteren, dann nennt man das Funktionensystem orthonomiert.

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Definition: Die Zahl heit die Norm der Funktion auf dem Intervall.

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Satz:

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2.4. Harmonische Analyse Sei orthonormiertes Funktionensystem auf dem Intervall mit den Funktionen

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Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode auf dem Intervall. Dann lautet das verallgemeinerte Polynom: Die Summanden heien Harmonische.

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Gesucht: Minimale Abweichung des Polynomsvon der Fkt. im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate. Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen: Man erhlt: Die Koeffizienten und heien trigonometrische Fourierkoeffizienten

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Fall 1: f(x) ist gerade Funktion Dann:

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Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion Dann:

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Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den Grenzbergang, so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe: mit,, Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion

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Sgezahnschwingung

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Lsung der Harmonischen Analyse Ungerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen

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Lsung der Harmonischen Analyse

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Beispiel Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom, das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmglich approximiert. Gerade Funktion -> b fllt weg: Zu berechnen

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Lsung der Harmonischen Analyse

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3. Literatur HERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. Mnchen: Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas: [http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf; 21.05.2014] [http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-Stimme- Klangkurve.png; 21.05.2014]