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Algebraische Strukturen

8. Algebraische Strukturen - Themenubersicht

Mengen mit einer Operation

Halbgruppen

Monoide

Gruppen

Mengen mit zwei Operationen

Korper

Ringe

Strukturerhaltende Abbildungen

Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 210 / 669

Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Halbgruppen

Definition 8.1

Eine Menge G mit Verknupfung ⊕ : G × G → G heißt Halbgruppe g.d.w.sich ⊕ auf G assoziativ verhalt:

∀a, b, c ∈ G : (a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b ⊕ c)

Beispiel

Halbgruppe?

〈Z,−〉 Nein, da (−3− 4)− 5 6= −3− (4− 5).

〈Z,+〉 Ja, Addition in Z assoziativ.

〈A+, ·〉 Ja, Konkatenation ist assoziativ.



Eindeutigkeit von neutralen Elementen

Definition (Neutrales Element)

Sei G mit ⊕ eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G heißt neutrales Elementg.d.w. fur alle a ∈ G

a⊕ e = e ⊕ a = a.

Lemma 8.2

Neutrale Elemente in einer Halbgruppe sind eindeutig bestimmt.

Proof.

Seien e, e ′ neutrale Elemente. Dann gilt:

e = e ⊕ e ′ = e ′



Monoid

Definition

Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, heißt Monoid.

Beispiel 8.3

Monoid?

〈A+, ·〉 Nein, ε 6∈ A+.

〈Z,+〉 Ja, 0 ∈ Z.

〈A∗, ·〉 Ja, ε ∈ A∗ neutrales Element (A∗ =df A+ ∪ {ε}).

〈AA, ◦〉 (Funktionen f : A→ A,Komposition) Ja, identischeAbbildung idM ist neutrales Element.



Gruppen

Definition 8.4 (Inverses Element)

Sei G mit ⊕ ein Monoid und a ∈ G . Ein Element a−1 ∈ G mit

a⊕ a−1 = a−1 ⊕ a = e

heißt inverses Element zu a.

Definition 8.5 (Gruppe)

Ein Monoid, bei dem zu jedem Element a ∈ G ein inverses Elementa−1 ∈ G existiert, heißt Gruppe.



Gruppen: Beispiele

Beispiel 8.6

Gruppen?

〈R\{0}, ·〉 Ja, mit neutralem Element 1 und inversem Element x−1

zu x .

〈R,+〉, 〈Z,+〉 Ja, mit neutralem Element 0 und inversem Element−x zu x .

〈R−, ·〉 Nein, aufgrund fehlender Abgeschlossenheit.

〈A+, ·〉 Nein, da Elemente in A+ keine inversen Elemente besitzen.

〈Z, ·〉 Nein, da Elemente in Z i.A. keine inversen Elemente besitzen.

〈{−1, 1}, ·〉 Ja, da alle Eigenschaften erfullt.



Strukturtafeln

+n 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 0

2 2 3. . .

3 3 44 4 55 5 0

∗n 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5

2 0 2. . .

3 0 34 0 45 0 5

Figure : Additions- und Multiplikationstafeln fur Z6



Rechenregeln in Gruppen

Lemma 8.8

Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt:

1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c,

2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1

Proof.

1 Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Pramisse:

a(Neu.)

= a⊕ e(Def . Inv .)

= a⊕ (b ⊕ b−1)

(Assoz.)= (a⊕ b)⊕ b−1 (Vor .)

= (c ⊕ b)⊕ b−1

(Assoz.)= c ⊕ (b ⊕ b−1)

(Def . Inv .)= c ⊕ e

(Neu.)= c



Rechenregeln in Gruppen

Lemma 8.8

Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt:

1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c,

2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1

Proof.

2 Ubungen



Untergruppen

Definition 8.9

Ist 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G , so dass 〈H,⊕〉auch eine Gruppe ist, so nennen wir 〈H,⊕〉 Untergruppe von 〈G ,⊕〉.

Analog fur Halbgruppen und Monoide

Unterstrukturen mussen insbesondere mit der gleichen Operationdefiniert sein, so ist z.B. die Gruppe 〈Z,−〉 keine Untergruppe derGruppe 〈R,+〉, obwohl Z ⊆ R.

Beispiel 8.10

Die Gruppe 〈R,+〉 hat als Untergruppe 〈Z,+〉.



Neutrale Elemente in Untergruppen

Beispiel 8.11

Bei einem Monoid mit Untermonoid mussen die neutralen Elemente nichtdie gleichen sein. Gegeben sei das Monoid 〈G ,⊕〉 gemaß der folgendenVerknupfungstabelle:

⊕ a b

a a bb b b

〈G ,⊕〉 besitzt als neutrales Element a. Das Untermonoid 〈{b},⊕〉 hatjedoch neutrales Element b.

Satz 8.12

Eine Untergruppe 〈H,⊕〉 von 〈G ,⊕〉 besitzt das gleiche neutrale Elementewie 〈G ,⊕〉.



Symmetrische Gruppe

Definition 8.13

Sn = {f | f ist Bijektion von {1, . . . , n} auf {1, . . . , n}} mit derKomposition bildet die symmetrische Gruppe. Die Elemente in Sn konnenals Permutation angesehen werden.

S3 ={( 1 2 3

1 2 3

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 32 1 3

),(

1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

),

(1 2 33 2 1

)}



Symmetrische Gruppe

Die Komposition ist von rechts nach links zu lesen, d.h. fur f ◦ g wendetman zuerst die Permutation g und dann f an.

f ◦ g =

(1 2 33 2 1

)◦(

1 2 32 1 3

)=

(1 2 32 3 1

)

Zyklenschreibweise: f = (1, 3), g = (1, 2) und f ◦ g = (1, 2, 3).Dabei steht (c1, c2, c3 . . . , ck−1, ck) fur c1 7→ c2, c2 7→ c3,. . .,ck−1 7→ ck ,ck 7→ c1. Kommt ein ci nicht vor so bedeutet dies, dass ci 7→ ci .

S3 = {(), (23), (12), (123), (132), (13)}



Nebenklassen

Definition 8.14

Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉 und a ∈ G . Dann bezeichne

aH =df {a⊕ h | h ∈ H}Ha =df {h ⊕ a | h ∈ H}

die Links- und Rechtsnebenklassen von a.

Beispiel 8.15

Betrachten wir die Untergruppe H = 〈{id , (1, 2)}, ◦〉 von 〈S3, ◦〉 und dasElement a = (23) ∈ G . Dann gilt:

aH = {(23) ◦ id , (23) ◦ (12)} = {(23), (132)}Ha = {id ◦ (23), (12) ◦ (23)} = {(23), (123)}



Satz von Lagrange

Satz 8.16

Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von G. Esgilt

|H|∣∣∣ |G |

Proof.

Wir zeigen: Die Menge der Rechtsnebenklassen bildet eine Partition mitgleichgroßen Klassen. Im Detail:

1⋃g∈G

gH = G

2 gH paarweise disjunkt

3 |gH| = |H|



Beweis:

1⋃a∈G

aH = G

Klar, da e ∈ H (H ist Untergruppe).



Beweis:

2 ∀a, a′ ∈ G . aH ∩ a′H 6= ∅ ⇒ aH = a′H.Beweis:Seien a, a′ ∈ G mit aH ∩ a′H 6= ∅. Dann gibt es h, h′ ∈ H mita⊕ h = a′ ⊕ h′, also

a = a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 (2.1)

Zeige o.B.d.A. aH ⊆ a′H (Antisymmetrie-Beweisprinzip). Sei g ∈ aH.Dann gibt es ein h′′ ∈ H mit g = a⊕ h′′. Also folgt:

g = a⊕ h′′(1)=

a︷︸︸︷a′a′⊕ h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′︸︷︷︸

∈H

∈ a′H

Beachte: h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′ ∈ H, da H eine Untergruppe ist.



Beweis:

3 ∀a, a′ ∈ G . |aH| = |a′H|.Beweis:Sei f : aH → G mit b 7→ a′ ⊕ a−1 ⊕ b. Zu zeigen

1 ∀b ∈ aH. f (b) ∈ a′H2 f ist injektiv

Zu 1) Wegen b ∈ aH gibt es ein h ∈ H mit b = a⊕ h ∈ aH. Es gilt:

f (b) = f (a⊕ h)

= a′ ⊕ a−1 ⊕ a︸︷︷︸e

⊕h

= a′ ⊕ h ∈ a′H.



Beweis:

Es gelte: f (b1) = f (b2). Zu zeigen: b1 = b2.

b1 = a⊕ h1

b2 = a⊕ h2

f (b) = a′ ⊕ a−1 ⊕ b

b1 = a⊕ h1

= a⊕

e︷︸︸︷a′−1 ⊕ a′⊕a−1︸︷︷︸

e

⊕b1︷︸︸︷

a⊕ h1

= a⊕ a′−1 ⊕ a′ ⊕ a−1 ⊕ a⊕ h1︸︷︷︸f (b1)

Vor .= a⊕ a′−1 ⊕ f (b2)

= a⊕ a′−1 ⊕

f (b2)︷︸︸︷a′ ⊕ a−1 ⊕ a⊕ h2

= a⊕

e︷︸︸︷a′−1 ⊕ a′⊕a−1︸︷︷︸

e

⊕b2︷︸︸︷

a⊕ h2

= a⊕ h2

= b2Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 228 / 669


Normalteiler

Definition 8.17

Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉. Wenn die Rechts- undLinksnebenklassen fur alle a ∈ G ubereinstimmen (Ha = aH), wird H einNormalteiler von G genannt (Notation: H / G ).

Beispiel 8.18

〈{id , (123), (132)}, ◦〉 / 〈S3, ◦〉

Wahle z.B. a = (23) ∈ S3. Dann gilt

(23) ◦ N = {(23) ◦ id , (23) ◦ (123), (23) ◦ (132)}= {(23), (13), (12)}

N ◦ (23) = {id ◦ (23), (123) ◦ (23), (132) ◦ (23)}= {(23), (12), (13)} = (23) ◦ N



Normalteiler

Definition 8.17

Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉. Wenn die Rechts- undLinksnebenklassen fur alle a ∈ G ubereinstimmen (Ha = aH), wird H einNormalteiler von G genannt (Notation: H / G ).

Beispiel 8.18

〈{id , (123), (132)}, ◦〉 / 〈S3, ◦〉

〈{id , (123), (132)}, ◦〉 wird auch als A3 (alternierende Gruppe) bezeichnet.〈A3, ◦〉 ∼= 〈Z3,+3〉 (Isomorphie: spater formal)

◦ id 123 132

id id 123 132123 123 132 id132 132 id 123

+3 0 1 2

0 0 1 21 1 2 02 2 0 1



Faktorgruppen

Lemma 8.19

Sei 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und N ein Normalteiler von G . Dann ist〈G/N,⊕N〉 mit

G/N =df {aN | a ∈ G}

eine Gruppe, wobei ⊕N wie folgt definiert ist:

aN ⊕N bN = (a⊕ b)N

Wir nennen 〈G/N,⊕N〉 die Faktorgruppe von G bezuglich N.

Zu zeigen:1 Wohldefiniertheit (Representantenunabhangigkeit)2 G/N hat ein neutrales Element eN .3 ∀a ∈ G .∃a−1 ∈ G . aN ⊕ a−1N = eN



Die Faktorgruppe ist eine Gruppe

1 Wohldefiniertheit, d.h.∀a, a′, b, b′ ∈ G .aN = a′N ∧ bN = b′N ⇒ aN ⊕N bN = a′N ⊕N b′N

Beweis:Seien a, a′, b, b′ gegeben mit aN = a′N ∧ bN = b′N. Zu zeigen:

a′N ⊕ b′N = aN ⊕N bNZunachst gilt: ∃n, n′, n′′ ∈ N. mit a′ = a⊕ n, b′ = b ⊕ n′ undn ⊕ b = b ⊕ n′′. Dann gilt:

a′N ⊕N b′N = (a′ ⊕ b′)N

= ((a⊕ n)⊕ (b ⊕ n′))N

= (a⊕ (n ⊕ b)⊕ n′)N = (a⊕ (b ⊕ n′′)⊕ n′)N

= ((a⊕ b)⊕ n′′ ⊕ n′︸︷︷︸n′′′

)N

= (a⊕ b)N = aN ⊕N bN



Die Faktorgruppe ist eine Gruppe

2 G/N hat ein neutrales Element eN .Behauptung:

eGN = N = NeG ist neutrales Element.Sei a ∈ G . Dann gilt:

aN ⊕N eGN = (a⊕ eG )N = aN

3 G/N hat inverse Elemente:

∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G . aN ⊕ a−1N = eN

Sei N ′ ∈ G/N.Dann ist zu zeigen: ∃N ′′.N ′ ⊕N N ′′ = N. Zunachst gilt∃a ∈ G .N ′ = aNund damit:

aN ⊕ a−1N = (a⊕ a−1)N = eGN



Korollar zum Satz von Lagrange

Lemma 8.20

Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und H ein Normalteiler von G . Es gilt

|G | = |H| · |G/H|



Homomorphismen

Definition 8.21

Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen und

f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉

eine Abbildung. f heißt (Gruppen-)Homomorphismus gdw.

∀a, b ∈ G1. f (a⊕1 b) = f (a)⊕2 f (b)

Die Abbildung heißtMonomorphismus, wenn f zusatzlich injektiv ist.

Epimorphismus, wenn f zusatzlich surjektiv ist.

Isomorphismus, wenn f zusatzlich bijektiv ist.

Bei Gleichheit der beiden Gruppen nennt man f ferner

Endomorphismus

Automorphismus, wenn f auch Isomorphismus ist.Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 235 / 669


Homomorphismen - Eigenschaften

Lemma 8.22

Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen mit neutralen Elementen e1 und e2.Ferner sei

f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉

ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

1 f (e1) = e2

2 ∀a ∈ G1. f (a−1) = (f (a))−1



Beispiele fur Homomorphismen

Beispiel 8.23

1 ϕ : 〈A∗, ·〉 → 〈N,+〉 mit w 7→ |w | bildet einen Monoidepimorphismus,denn es gilt ϕ(ε) = |ε| = 0 und

ϕ(w1 · w2) = ϕ(w1w2) = |w1w2| = |w1|+ |w2| = ϕ(w1) + ϕ(w2)

Surjektiv: Sei a ∈ A. ∀n ∈ N : ϕ(an) = n.

Nicht injektiv: ϕ(ab) = ϕ(ba) = 2.

2 ϕ : 〈Z,+〉 → 〈N,+〉 mit f (x) = x2 bildet keinen Homomorphismus,denn

ϕ(x + y) = (x + y)2 6= x2 + y2 = ϕ(x) + ϕ(y)



Beispiele fur Homomorphismen

Beispiel 8.23

3 Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G . Dann ist

f : G → G/N mit f (g) = gN

ein Gruppenepimorphismus.

4 Sei G eine Gruppe und b ∈ G . Dann ist

Ab : G → G mit Ab(g) = b−1gb

ein Gruppenautomorphismus.



Kern eines Homomorphismus

Definition 8.24

Fur einen Homomorphismus

ϕ : 〈G1,⊕〉 → 〈G2,⊕2〉

mit neutralem Element e1 und e2, ist der Kern von ϕ die Menge derElemente die auf das neutrale Element in G2 abgebildet werden:

kern(ϕ) = {x ∈ G1 | ϕ(x) = e2}

Beispiel 8.25

ϕ : 〈Z6,+6〉 → 〈Z6,+6〉 mit ϕ(x) = 2x ist ein Homomorphismus. Es gilt:

Kern(ϕ) = {0, 3}



Gruppenstruktur und Morphismen

Satz 8.27

Sei ϕ ein Gruppenhomomorphismus.

1 Kern(ϕ) bildet einen Normalteiler von G1,

2 Bild(ϕ) = {y ∈ G2 | ∃x ∈ G1. ϕ(x) = y} bildet eine Untergruppe vonG2.

Homomorphiesatz

G/Kern(ϕ) ist isomorph zu Bild(ϕ).

Satz 8.28

Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe ist zusammen mit derKomposition selbst eine Gruppe.



Konstruktionsmuster fur Gruppen

Lemma 8.31 (Schnitte von Unter(halb)gruppen)

Sei 〈G ,⊕〉 eine Gruppe (Halbgruppe) und 〈H1,⊕〉, 〈H2,⊕〉 Untergruppen(Unterhalbgruppen) von G . Dann gilt: Der Schnitt 〈H1 ∩ H2,⊕〉 istebenfalls eine Untergruppe (Unterhalbgruppe) von G.

Achtung: Gilt nicht fur Monoide (siehe Beispiel 8.11 mit Untermonoiden{a} und {b}. )




Analog zu Produktverbanden definiert man:

Produktstruktur

Fur Halbgruppen (Monoiden, Gruppen) 〈A,⊕A〉 und 〈B,⊕B〉 definierenwir das Produkt als Struktur 〈A× B,⊕〉, wobei die Verknupfung wie folgtdefiniert ist:

(a1, b1)⊕ (a2, b2) =df (a1 ⊕A a2, b1 ⊕B b2).




Lemma 8.32 (Produkte von (Halb)gruppen)

Seien 〈A,⊕A〉 und 〈B,⊕B〉 Halbgruppen (Monoide, Gruppen). Dann gilt:Das Produkt 〈A× B,⊕〉 ist ebenfalls eine Halbgruppe (ein Monoid, eineGruppe).

Sind A und B (mindestens) Monoide, und sind eA bzw. eB die neutralenElemente in A bzw. B, so ist (eA, eB) das neutrale Element desProduktmonoids.

Sind A und B Gruppen, und sind zu a ∈ A, b ∈ B die inversen Elementejeweils a−1 und b−1, so ist (a−1, b−1) in der Produktgruppe das zu (a, b)inverse Element.




Lemma (Erweiterte Produkte von (Halb)gruppen)

Sei 〈A,⊕A〉 Halbgruppe (Monoid, Gruppe) und M eine Menge. Dann gilt:Das erweiterte Produkt 〈AM ,⊕〉 ist ebenfalls eine Halbgruppe (einMonoid, eine Gruppe). Dabei ist die Verknupfung ⊕ komponentenweisewie folgt definiert:

(f ⊕ g)(m) =df f (m)⊕A g(m).




Lemma 8.33 (Produkthomorphismen)

Seien 〈A1,⊕A1〉, 〈B1,⊕B1〉, 〈A2,⊕A2〉 sowie 〈B2,⊕B2〉 Halbgruppen(Monoide, Gruppen), und seien ferner hA : 〈A1,⊕A1〉 → 〈A2,⊕A2〉 sowiehB : 〈B1,⊕B1〉 → 〈B2,⊕B2〉 Halbgruppen- (Monoid-,Gruppen-)Homomorphismen. Dann ist h : A1 × B1 → A2 × B2 mit

h((a, b)) =df (hA(a), hB(b))

ein Halbgruppen- (Monoid-, Gruppen-)Homomorphismus von〈A1 × B1,⊕1〉 nach 〈A2 × B2,⊕2〉, wobei ⊕1 und ⊕2 wie ublich durchkomponentenweise Anwendung von ⊕A1 und ⊕B1 bzw. ⊕A2 und ⊕B2

definiert sind.



Themenubersicht

Mengen mit einer Operation

Halbgruppen√

Monoide√

Gruppen√


Korper

Ringe


Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen





Ruckblick

Bisher: Mengen mit einer Operation

• Halbgruppen√

• Monoide√

• Gruppen√

Halbgruppe

+Neutrales Element bezuglich ⊕

Monoid

+ Inverses Element bezuglich ⊕

Gruppe

Jetzt: Weitere Operation � : G × G → G definiert.



Ringe

Definition 8.34

Eine Menge R mit Operationen ⊕ und � heißt Ring gdw.

〈R,⊕〉 bildet eine kommutative Gruppe,

〈R,�〉 bildet eine Halbgruppe,

Es gelten die Distributivgesetze:

∀a, b, c ∈ R. a� (b ⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)

∀a, b, c ∈ R. (a⊕ b)� c = (a� c)⊕ (b � c)

Ein Ring 〈R,⊕,�〉 heißt kommutativ gdw. auch 〈R,�〉 kommutativ ist.



Ringe

Beispiel 8.35

Ringe?

〈Z,+, ·〉Ja, kommutativer Ring mit neutralem Element 0 (bzgl. +) undneutralem Element 1 (bzgl. ·).

〈mZ,+, ·〉 Unterring von 〈Z,+, ·〉Ja.

〈P(M),∆,∩〉 (Potenzmenge, symmetrische Differenz, Schnittmenge)Ja.

〈{∑n

i=0 aixi | n ∈ N ∧ ai ∈ R},+, ·〉 (Menge aller Polynome mit

reellen Koeffizienten). Ja.



Unterringe

Definition

Analog zum Begriff der Untergruppe bildet eine nichtleere TeilmengeR ′ ⊆ R eines Ringes 〈R,⊕,�〉 einen Unterring, wenn 〈R ′,⊕,�〉 ein Ringist.

Bemerkungen:

Ein Unterring eines kommutativen Ringes ist kommutativ.

Ein Unterring eines Ringes mit Einselement hat nicht notwendig selbstein Einselement. Beispiel: 2Z ⊆ Z.

Triviale Unterringe von 〈R,⊕,�〉:〈R,⊕,�〉 und 〈{0},⊕,�〉.



Unterringe von Z8

Beispiel 8.36

Ring Z8 mit Unterring {[0], [2], [4], [6]}.

[0]8[1]8

[2]8

[3]8[4]8

[5]8

[6]8

[7]8

Weitere Unterringe: Z8 selbst und {[0]} und {[0], [4]}.



Ideale

Definition 8.37

Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring. I ⊆ R heißt Linksideal gdw.

1 〈I ,⊕〉 ist Untergruppe von 〈R,⊕〉2 ∀a ∈ I , r ∈ R. r � a ∈ I

(Mit ∀a ∈ I , r ∈ R. a� r ∈ I analog Rechtsideal)I ⊆ R heißt Ideal gdw. I Links- und Rechtsideal. Notation: I / R.

Bemerkungen

Wegen 1) gilt I 6= ∅Falls R kommutativ ist gilt:

I Linksideal ⇔ I Rechtsideal ⇔ I Ideal



Ideale

Bemerkungen

2 · Z ist Ideal in ZSowohl 0 als auch R sind Ideale in jedem Ring. Triviale Ideale.

Ein Ring heißt einfach gdw. nur triviale Ideale.

Beispiel 8.38

Unterringe mZ von Z mit m ∈ N\{0} sind Ideale.

Endlichen oder co-endlichen Teilmengen von N sind Unterring von〈P(N),∆,∩〉. Kein Ideal.

Polynome p(x) mit p(1) = 0 sind Ideal der Menge der Polynome mitreellen Koeffizienten.



Abgeschlossenheitseigenschaften

Satz 8.39

Es gilt fur beliebige Ideale I , J / R, auch, dass

I ∩ J / R (Infimum)

I + J =df {a⊕ b | a ∈ I , b ∈ J} / R (Supremum !)

Ideale sind.

Satz 8.40 (Verband der Ideale)

Die Menge aller Ideale eines Rings bildet einen algebraischen Verband.

({I | I / R},+,∩)



Faktorringe

Lemma 8.41

Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring. und I ein Ideal von R. Dann bezeichne

R/I =df {a + I | a ∈ R} mit a⊕ I =df {a⊕ i | i ∈ I}

und(a⊕ I )⊕F (b ⊕ I ) = (a⊕ b)⊕ I

(a⊕ I )�F (b ⊕ I ) = (a� b)⊕ I

den Faktorring 〈R/I ,⊕F ,�F 〉 von R bezuglich I .



Ringhomomorphismen

Definition 8.42

Eine Funktionf : 〈R,⊕R ,�R〉 → 〈S ,⊕S ,�S〉

heißt Ringhomomorphismus gdw. ∀a, b ∈ R:

1 f (a⊕R b) = f (a)⊕S f (b)

2 f (a�R b) = f (a)�S f (b)

Sind R und S Ringe mit Einselement, also solche, fur die 1R und 1Sexistieren, so gilt zusatzlich:a

3) f (1R) = 1S .

aDiese Bedingung ist ohnehin erfullt, wenn f surjektiv ist.



Ringhomomorphismen

Beispiel 8.43

ϕn : Z→ Z\nZ mit z 7→ (z mod n)Zαr : 〈{

∑ni=0 aix

i | n ∈ N, ai ∈ R},+, ·〉 → 〈R,+, ·〉 mit∑ni=0 aix

i 7→∑n

i=0 ai ri

Satz 8.44

Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und I ein Ideal von R. Dann bildet die Funktion

f : R → R/I mit a 7→ a⊕ I

einen Ringepimomorphismus mit Kern(f ) = I .



Ringhomomorphismen

Satz 8.45

Sei f ein Ringhomomomorphismus. Dann gilt:

Kern(f ) =df {a ∈ R | f (a) = 0}

bildet ein Ideal



Verbandshomomorphismen

Lemma 8.46

Die Abbildung

f : 〈{nZ | n ∈ N\{0}},⊇〉 → 〈N, |〉, nZ 7→ n

aller Ideale nZ ⊆ Z nach 〈N, |〉 ist ein Ordnungshomomorphismus aufVerbanden.

1 · Z

2 · Z 3 · Z 5 · Z

4 · Z 6 · Z

...

1

2 3 5

4 6

...



Nullteiler

Definition 8.47

Ein Element 0 6= a ∈ R in einem Ring 〈R,⊕,�〉 heißt Nullteiler gdw.

∃b 6= 0 ∈ R. a� b = 0 ∨ b � a = 0.

Existieren keine Nullteiler in einem Ring, so heißt er nullteilerfrei.

Beispiel 8.48

Nullteilerfrei?

〈Z,+, ·〉, 〈Z7,+7, ·7〉 Ja, nullteilerfrei.

〈Z6,+6, ·6〉 Nicht nullteilerfrei. Nullteiler sind 2, 3 und 4, denn2 ·6 3 = 0 und 3 ·6 4 = 0.

Rn×m (n ×m-Matrizen uber R). Nicht nullteilerfrei(Sogar unendlich viele Nullteiler)



Nullteiler

Lemma

Ist 〈G ,⊕,�〉 ein Ring und a ∈ R Nullteiler, so hat a kein multiplikativInverses.

Beweis

O.B.d.A sei a� b = 0 fur a, b 6= 0.

Annahme es gabe multiplikativ inverses Element zu a. Dann gilt:b = 1� b

= (a−1 � a)� b= a−1 � (a� b) (Assoziativitat)= a−1 � 0 (Voraussetzung)= 0 (Widerspuch!)



Integritatsbereich

Definition 8.49

Ist 〈G ,⊕,�〉 ein nullteilerfreier kommutativer Ring, so heißt 〈G ,⊕,�〉Integritatsbereich.

Definition 8.50

Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring und P ⊂ R ein Ideal von R, so heißtP Primideal genau dann, wenn

∀a, b ∈ R. a� b ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P



Integritatsbereich

Satz 8.51

Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring. Dann gilt

R/P nullteilerfrei ⇔ P Primideal

Korollar 8.52

Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring mit 1. Dann gilt:

R/P Integritatsbereich ⇔ P Primideal



Konstruktionsmuster fur Ringe

Schnitte von Unterringen

Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und 〈R1,⊕1,�1〉, 〈R2,⊕2,�2〉 Unterringe von R.Dann gilt: Der Schnitt 〈R1 ∩ R2,⊕,�〉 ist ebenfalls ein Unterring von R.



Konstruktionsmuster fur Ringe

Produkte von Ringen

Seien 〈A,⊕A,�A〉 und 〈B,⊕B ,⊕B〉 Ringe. Dann gilt: Das Produkt〈A× B,⊕,�〉 ist ebenfalls ein Ring, wobei

(a1, b1)� (a2, b2) =df (a1 �A a2, b1 �B b2).

Das Nullelement ist (0A, 0B).

Sind sowohl A als B Ringe mit 1, so ist (1A, 1B) Einselement von A× B.

Achtung: Das Produkt erhalt nicht die Nullteilerfreiheit.

Beispiel Z2 × Z2: (0, 1) · (1, 0) = (0, 0).



Korper

Definition 8.53

Ein Integritatsbereich 〈R,⊕,�〉 heißt Korper, falls 〈G\{0},�〉 ebenfallseine Gruppe ist.

Beispiel 8.54

Korper?

〈Z,+, ·〉 Nein, bzgl. Multiplikation i.A. keine Inverse.

〈Zp,+p, ·p〉, p Primzahl. Ja (siehe folgenden Satz 8.50).

〈Q,+, ·〉 Ja.

〈R,+, ·〉 Ja.

Bemerkung: Ist die multiplikative Gruppe nicht kommutativ, liegt einsogenannter Schiefkorper vor.



Korper

Satz 8.55

Ein endlicher Integritatsbereich 〈R,⊕,�〉 ist bereits schon ein Korper.

Beweisidee

Zu zeigen ist die Existenz der multiplikativ Inversen fur R\{0}.

Sei r ∈ R\{0}. Betrachte (wg. Nullteilerfreiheit):

fr :R\{0} → R\{0}s 7→ r � s

fr ist injektiv. Weil R endlich ist folgt, dass fr auch surjekiv ist.Also existiert ein s ∈ R\{0} mit r � s = 1.

Wegen der Kommutativitat von � gilt dann auch: r � s = s � r = 1.



Unterkorper

Definition (Unterkorper)

Analog zum Begriff des Unterringes bildet eine nichtleere TeilmengeK ′ ⊆ K eines Korpers 〈K ,⊕,�〉 einen Unterkorper, wenn 〈K ′,⊕,�〉 einKorper ist.

Beispiele:

Q ist Unterkorper von RR ist Unterkorper von C



Korper und Ideale

Satz 8.56

Sei 〈R,⊕,�〉 kommutativer Ring mit 1 6= 0. Dann gilt:R ist Korper ⇔ R ist einfach (d.h. hat nur die trivialen Ideale).

Beweis:

“⇒”: Sei I ⊆ K Ideal mit I 6= {0}.

Dann existiert a ∈ I , so dass a 6= 0.

Weil K Korper ist, gilt a� a−1 = 1 ∈ I .

Wegen 1 ∈ I gilt I = K .



Korper und Ideale

Satz 8.56

Sei 〈R,⊕,�〉 kommutativer Ring mit 1 6= 0. Dann gilt:R ist Korper ⇔ R ist einfach (d.h. hat nur die trivialen Ideale)

Beweis:

“⇐”: Per Kontraposition. Wenn R nicht Korper ist, existiert a ∈ R/{0}ohne multiplikativ Inverses. Dieses gilt insbesondere, wenn R Nullteilerbesitzt (Lemma auf Folie 251).

Betrachte Ideal (a) =df a� R (Hauptideal zu a).

Wegen 1 /∈ (a) gilt: {0} ⊂ (a) ⊂ R.

Also ist R nicht einfach.



Faktorstrukturen

Satz 8.57

Sei 〈R,⊕,�〉 kommutativer Ring mit 1 6= 0 und {0} ⊂ I ⊂ R nichttrivialesIdeal. Dann:

R/I ist Korper ⇔ I ist maximal.

Beweis:

I maximal ⇔ 6 ∃ Ideal J. I ⊂ J ⊂ R⇔ R/I ist einfach (*)⇔ R/I ist Korper (Satz 8.56)

Zu (*): Einem Ideal {0} ⊂ J ⊂ R ordne das Ideal {0} ⊂ J/I ⊂ R/I zu.Einem Ideal {0} ⊂ J ⊂ R/I ordne das Ideal {r ∈ R | (r) ∈ J} zu.



Korperhomomorphismen

Satz 8.59

Korperhomomorphismen sind injektiv, also stets Korpermonomorphismen.

Beweis:

Sei h : K → K ′ Korperhomomorphismus.

Weil h insbesondere Ringhomomorphismus ist, folgt dass Kern(h) Ideal ist(analog Satz 8.27).

Weil K nach Satz 8.56 nur triviale Ideale besitzt, kommen nurKern(h) = {0} oder Kern(h) = K in Frage.

Kern(h) = K scheidet aus wegen h(1K ) = 1K ′ 6= 0K ′ .

Aus Kern(h) = {0} folgt, dass h injektiv ist . (→ Ubungen)



Konstruktionsmuster fur Korper

Schnitte von Unterkorpern

Sei 〈K ,⊕,�〉 ein Korper und 〈K1,⊕,�〉, 〈K2,⊕,�〉 Unterkorper von K .Dann gilt: Der Schnitt 〈K1∩K2,⊕,�〉 ist ebenfalls ein Unterkorper von K .



Konstruktionsmuster fur Korper

Produkte von Korpern

Seien 〈A,⊕A,�A〉 und 〈B,⊕B ,⊕B〉 Korper. Dann gilt: Das Produkt〈A× B,⊕,�〉 ist ein kommutativer Ring mit 1, i.A. aber kein Korper(siehe Produkte von Integritatsbereichen).

Veralleinerte Produkte

Sei M eine Menge und 〈K ,⊕K ,�K 〉 ein Korper. Dann ist das erweiterteProdukt 〈KM ,⊕〉 eine kommutative Gruppe. Definiert man eine außere(skalare) Multiplikation · : K × KM durch

(k · v)(m) =df k �K v(m) fur alle m ∈ M

so erhalt man einen K -Vektorraum (→ naheres im Teil “Lineare Algebra”).


Zusammenfassung Aussagen und Mengen

Was bisher geschah...

2 Aussagen und Mengen

3 Relationen undFunktionen

4 Induktives Definieren

5 Darstellung und derenBedeutung

6 Induktives Beweisen

7 Ordnungsstrukturen

8 Algebraische Strukturen

Aussagenlogik /Pradikatenlogik

Semantische Aquivalenz

Beweisprinzipien(semantisch / syntaktisch)

Mengengesetze

. . .


Zusammenfassung Relationen und Funktionen









Kartesische Produkte /Bitvektoren

Funktionen und derenEigenschaften

Beweisprinzipien( Direkter Beweis

Kontraposition /

Widerspruchsbeweis /

Quantoren Auflosung /

Diagonalverfahren )

Machtigkeiten

Aquivalenzrelationen /Partitionen

. . .Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 277 / 669

Zusammenfassung Induktives Definieren









Peano-Axiome

Induktive Mengen,Algorithmen undOperationen

Boolesche Terme

. . .


Zusammenfassung Darstellung und deren Bedeutung









Zeichenreihen

Semantikschemata

Backus Naur Form

. . .


Zusammenfassung Induktives Beweisen









Partielle Ordnungen /Hasse-Diagramme

Noethersche Induktion

Strukturelle Induktion

Vollstandige Induktion

VerallgemeinerteInduktion

Ringschluss(AntisymmetrieBeweisprinzip)

. . .


Zusammenfassung Euklidischer Algorithmus


Euklid, ca. 360 - 280 v. Chr.

EUKLID (a, b)

wenn b = 0

dann return a

sonst wenn a = 0

dann return b

sonst wenn a > b

dann EUKLID (a− b, b)

sonst return EUKLID (a, b − a)

Kern: InvarianteGGT(a,b) = GGT(a,a-b)= GGT(b,b-a)


Zusammenfassung Ordnungsstrukturen









Algebraische Verbande

OrdnungsstrukturelleVerbande

Vollstandige Verbande

Boolesche Verbande

Homomorphismen

. . .


Zusammenfassung Algebraische Strukturen









Halbgruppen, Monoide,Gruppen

Untergruppen

Normalteiler

Satz von Lagrange

Homomorphismen

Faktorstrukturen

Ringe, Korper

Ideale

Schubfachprinzip

. . .


Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11

Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11

”Inwieweit werden die folgenden Kompetenzen in Ihrer gegenwartigenErwerbstatigkeit gefordert?”




”Inwieweit werden die folgenden Kompetenzen in Ihrer gegenwartigenErwerbstatigkeit gefordert?”




”Warum haben Sie langer studiert, als in der Regelstudienzeitvorgesehen?”




”Ergebnisse der Absolventenbefragung des Prufungsjahrgangs 2008/09 imWS 2010/11”




Halbgruppe

Monoid

Gruppe

Ring

Korper

︷︸︸

︷

〈G ,⊕〉

︷︸︸

︷

〈G ,⊕,�〉

Normalteiler

Ideale

HG ⊇ M ⊇ G ⊇ R ⊇ K

〈N\{0}, +〉6∈∈

〈A∗, ·〉∈ 6∈

〈Z, +,−〉6∈∈

〈Z, +, ·〉∈ 6∈

〈R, +, ·〉∈




Halbgruppe

Monoid

Gruppe

Ring

Integritatsbereich

Korper

Vektorraum




Gruppe

1 Operation ⊕Assoziativitat, Neutrales und Inverses Element

Untergruppen

FaktorgruppenNormalteiler

Ring

2 Operationen ⊕,�Keine inv. bzgl. �Unterringe, Ideale

Faktorringe

(endl.) Korper

Existenz von e�

Nullteilerfreiheit

Existenz von Inversen

Vektorraum

Lineare Abbildungen

Matrizen

DeterminantenEigenvektoren

u.v.m . . .

und: H o m o m o r p h i s m e nProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 291 / 669

Zusammenfassung Teil1/Teil2-Schnittstelle

Teil1/Teil2-Schnittstelle

StrukturenGruppe/Ringe/Korper VektorraumeNormalteiler/Ideal/Unterkorper UntervektorraumeFaktor-Gruppe/-Ringe Faktorraume

LosungsansatzHomomorphismen Lineare Abbildung / Matrizen(Nebenklassen des ) Kerns LosungsraumIsomorphismen Determinante 6= 0

Damit eindeutige Losbarkeit deszug. lin. Gleichungssystems.

EngineeringFinden geeigneter Reprasentationen BasistransformationenInduktiv definierte Strukturen Basis aus Eigenvektoren


algebraische strukturen 8. algebraische strukturen ...ls5- · algebraische strukturen 8.1 mengen...

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