ฟสกส 1

ยอดยง ชาวพงษ

วท.ม.(การสอนฟสกส)

คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2553

คานา

ตาราวชาฟสกส 1 เลมนเรยบเรยงขนมาเพอใชในการเรยนการสอนรายวชาฟสกส 1 รหส 4011103 ซงเปนวชาบงคบของนกศกษาหลกสตรวทยาศาสตรวทยาศาสตรบณฑต และนกศกษาหลกสตรครศาสตรบณฑต วชาเอกวทยาศาสตร มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน โดยในหลกสตรจะมเนอหาทเกยวกบ ศกษาการวดความแมนยาและความเทยงตรงในการวด หนวย ปรมาณทางฟสกส การเคลอนทของวตถเชงเสน กฎการเคลอนทของนวตน งาน กาลง พลงงาน กฎการอนรกษของพลงงานและโมเมนตม การเคลอนทแบบซมเปลฮาโมนคส ความยดหยนของวตถ ระบบอนภาค คลนกล ปรากฏการณทางความรอน หลกการเบองตนทางอณหพลศาสตร การขยายตว การเปลยนสถานะและการถายเทความรอน

ดงน นผเขยนจงเรยบเรยงจานวนบทออกเปน 11 บท โดยเรยบเรยงจากเนอหาทเขาใจงายไปหาเนอหาทละเอยดขน โดยในตวอยางจะวเคราะหใหนกศกษาเขาใจในการแกปญหาโจทยจากการใชสมการทางคณตศาสตรและตวอยางโจทยจะเขากบหลกการทางฟสกสทสอดคลองกบสภาพจรงในชวตประจาวน ในตอนทายบทผเขยนจะมบทสรปและแบบฝกหดทายบทเพอใหผเรยนไดเหนความสาคญของเนอหาหลกและไดฝกแกปญหาโจทย

ตาราเลมนจงเหมาะสาหรบผทสนใจศกษาวชาฟสกสข นเรมตนรวมท ง คร อาจารยทสอนในรายวชาฟสกสสามารถนาไปเปนเอกสารเพอใชในการเรยนการสอนได ผเขยนหวงวาตาราวชาฟสกส 1 นจะทาใหผเรยนและผสนใจเพมพนความรในทางวทยาศาสตรฟสกสและนาไปใชประโยชนไดตอไป

ยอดยง ชาวพงษ พฤษภาคม 2553

สารบญ

หนา

คานา..............................................................................................................................................(1)

สารบญ...........................................................................................................................................(2)

สารบญรป.......................................................................................................................................(8)

สารบญตาราง................................................................................................................................(16)

บทท 1 หนวยและการวด..................................................................................................................1

หนวยเอสไอ.........................................................................................................................1

หนวยฐาน............................................................................................................................1

หนวยเสรม...........................................................................................................................3

หนวยอนพทธ......................................................................................................................4

คาอปสรรค..........................................................................................................................7

การแปลงหนวย....................................................................................................................9

เลขนยสาคญ......................................................................................................................10

ความผดพลาดหรอความไมแนนอนของผลลพธ...................................................................12

สรป...................................................................................................................................15

แบบฝกหดทายบท.............................................................................................................17

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร….......................................................................................................19

ปรมาณทางฟสกส..............................................................................................................19

ลกษณะของปรมาณเวกเตอร..............................................................................................20

การรวมเวกเตอร................................................................................................................22

การแยกเวกเตอร...............................................................................................................27

การคณเวกเตอร................................................................................................................29

อนพนธของเวกเตอร..........................................................................................................36

ปรพนธของเวกเตอร..........................................................................................................38

เกรเดยนต ไดเวอรเจนซ และเครล.....................................................................................40

สรป..................................................................................................................................41

แบบฝกหดทายบท............................................................................................................45

(2 )

สารบญ

หนา

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง..............................................................................................47

การกระจด.......................................................................................................................47

ระยะทาง.........................................................................................................................48

อตราเรว..........................................................................................................................48

ความเรว..........................................................................................................................51

ความเรง..........................................................................................................................53

การวเคราะหกราฟ...........................................................................................................54

การเคลอนทเชงเสนดวยความเรงคงท..............................................................................57

การเคลอนทดวยความเรงทเปนฟงกชนของเวลา..............................................................62

การเคลอนทในแนวดงอยางเสร........................................................................................63

สรป................................................................................................................................67

แบบฝกหดทายบท..........................................................................................................69

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ.....................................................................................................73

เวกเตอรบอกตาแหนง.....................................................................................................73

เวกเตอรความเรง...........................................................................................................76

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล..........................................................................................79

การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ............................................................................86

ความสมพนธระหวางความเรวเชงมม,การกระจดเชงมมและความเรงเชงมม.....................91

การเคลอนทสมพทธ.......................................................................................................94

สรป...............................................................................................................................98

แบบฝกหดทายบท.......................................................................................................100

(3 )

(4)

สารบญ

หนา

บทท 5 แรงและกฎการเคลอนท....................................................................................................103

แรงและมวล.....................................................................................................................103

กฎการเคลอนทของนวตน................................................................................................104

นDาหนก............................................................................................................................114

การใชกฎของนวตน.........................................................................................................115

แรงเสยดทาน..................................................................................................................125

พลศาสตรของการเคลอนทเปนวงกลม.............................................................................129

แรงทขDนอยกบความเรว...................................................................................................132

ทอรก..............................................................................................................................136

สรป................................................................................................................................140

แบบฝกหดทายบท..........................................................................................................142

บทท 6 โมเมนตมและการชน.......................................................................................................147

โมเมนตมเชงเสน............................................................................................................147

แรงกบการเปลยนโมเมนตม............................................................................................148

การอนรกษโมเมนตม......................................................................................................149

การดล............................................................................................................................154

การชนกน.......................................................................................................................156

การชนกนในสองมต........................................................................................................162

โมเมนตมเชงมม.............................................................................................................165

สรป................................................................................................................................168

แบบฝกหดทายบท..........................................................................................................169

สารบญ

หนา

บทท 7 งานและพลงงาน...............................................................................................................173

งาน.................................................................................................................................173

กาลง...............................................................................................................................180

พลงงาน...........................................................................................................................181

พลงงานจลน....................................................................................................................181

พลงงานศกยและแรงอนรกษ.............................................................................................184

กฎการอนรกษพลงงานกล................................................................................................190

สรป.................................................................................................................................196

แบบฝกหดทายบท...........................................................................................................198

บทท 8 การแกวงกวด...................................................................................................................201

การเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว..................................................................................202

การเคลอนทเปนวงกลมกบการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว……………………………..210

พลงงานของการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว...............................................................213

ลกตมนาฬกาเชงเดยว......................................................................................................216

ฟสกลเพนดลม.................................................................................................................219

การรวมกนไดของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว....................................................221

การเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยวของสองวตถ..............................................................230

การแกวงกวดแบบถกหนวง.............................................................................................236

การแกวงกวดทมแรงเสรม...............................................................................................240

การวเคราะหแบบฟเรยร..................................................................................................241

สรป................................................................................................................................242

แบบฝกหดทายบท..........................................................................................................245

(5)

(6)

สารบญ

หนา

บทท 9 คลน..................................................................................................................................247

ลกษณะของคลน...............................................................................................................247

คลนกล.............................................................................................................................250

การบรรยายคลนเชงคณตศาสตร.......................................................................................251

ฟงกชนคลนรปไซน...........................................................................................................252

สมการคลน.......................................................................................................................255

อตราเรวของคลนตามขวาง................................................................................................257

อตราเรวของคลนตามยาว..................................................................................................260

พลงงานในการเคลอนทแบบคลน.......................................................................................263

หลกการทบซอน...............................................................................................................266

การแทรกสอดของคลน.....................................................................................................270

คลนนง.............................................................................................................................273

การหกเหของคลน............................................................................................................281

การเลDยวเบนของคลน.......................................................................................................283

สรป.................................................................................................................................284

แบบฝกหดทายบท...........................................................................................................287

บทท 10 สมบตของสสาร..............................................................................................................291

ความหนาแนน.................................................................................................................291

ความดนในของไหล.........................................................................................................292

แรงลอยตว......................................................................................................................298

ความตงผว......................................................................................................................300

ความซมตามรเลก............................................................................................................302

ความหนด.......................................................................................................................303

ความเคน และความเครยด..............................................................................................305

สภาพยดหยนและสภาพพลาสตก....................................................................................311

สรป...............................................................................................................................312

สารบญ

หนา

แบบฝกหดทายบท.......................................................................................................... 314

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร........................................................................................ 317

อณหภมและกฎขอทศนยของอณหพลศาสตร................................................................... 317

การขยายตวตามอณภมของของแขง................................................................................ 321

ปรมาณความรอน........................................................................................................... 324

ความจความรอนความรอนจาเพาะ.................................................................................. 325

การถายโอนความรอน.................................................................................................... 329

งานทางอณหพลศาสตร.................................................................................................. 337

กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร...................................................................................... 339

การประยกตกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบกระบวนการตางๆ................................... 341

กฎขอทสองของอณหพลศาสตร....................................................................................... 343

เอนโทรป........................................................................................................................ 344

สรป................................................................................................................................ 347

แบบฝกหดทายบท.......................................................................................................... 350

เฉลยแบบฝกหดทายบท...............................................................................................................353

ภาคผนวก...................................................................................................................................361

ดชน............................................................................................................................................367

บรรณานกรม...............................................................................................................................379

(7)

(8)

สารบญรป

หนา

รปท 1.1 มวลมาตรฐาน.................................................................................................................. 2

รปท 2.1 การเขยนรปแสดงปรมาณเวกเตอรดวยเสนตรงทมหวลกศร..............................................20

รปท 2.2 แสดงเวกเตอรหนวยของระบบพกดฉาก...........................................................................21

รปท 2.3 เวกเตอรเทากน...............................................................................................................21

รปท 2.4 เวกเตอรตรงกนขาม........................................................................................................22

รปท 2.5 การรวมเวกเตอร.............................................................................................................22

รปท 2.6 การหาเวกเตอรลพธโดยวธสรางรป..................................................................................23

รปท 2.7 แสดงรปของ และ ........................................................................................ ....24

รปท 2.8 การรวม และ ไดผลลพธเปน .........................................................................24

รปท 2.9 การหาเวกเตอรลพธโดยวธคานวณ.................................................................................25

รปท 2.10 การลบเวกเตอร............................................................................................................26

รปท 2.11 การแยกเวกเตอรใน 2 มต.............................................................................................27

รปท 2.12 การแยกเวกเตอรใน 3 มต............................................................................................28

รปท 2.13 การแสดงทศทางของผลคณเชงเวกเตอรตามกฎมอขวา.................................................31

รปท 2.14 ผลคณเชงสเกลารสามช Dน.............................................................................................33

รปท 2.15 ทศทางของเวกเตอรผลลพธ.........................................................................................42

รปท 2.16 อธบายโจทยขอ 3 .......................................................................................................45

รปท 2.17 อธบายโจทยขอ 4 .......................................................................................................45

รปท 3.1 เสนทางทวตถเคลอนทจากจด A ไปยงจด B ..................................................................47

รปท 3.2 แสดงมาตรวดอตราเรวรถยนต.......................................................................................49

รปท 3.3 แสดงรถสารวจโซจนเนอรกาลงจะเคลอนทเขาหากอนหน................................................50

รปท 3.4 แสดงระยะทางเปรยบเทยบกบระยะกระจด.....................................................................51

รปท 3.5 กราฟการเคลอนทเชงเสนตรงของรถยนต.......................................................................55

รปท 3.6 การหาความเรวจากกราฟการเคลอนทไมเปนเชงเสน......................................................56

รปท 3.7 พDนทใตกราฟระหวางความเรวกบเวลาคอระยะทางทวตถเคลอนทได...............................56

สารบญรป

หนา

รปท 3.8 กราฟการเคลอนทเชงเสนของวตถโดยมความเรงคงท….................................................. 57 รปท 3.9 กราฟการเคลอนทดวยความเรวคงท............................................................................... 59 รปท 3.10 รถตารวจวงไลตามรถเกงโดยรถตารวจมความเรงคงท................................................... 60 รปท 3.11 กราฟแสดงขอมลของรถเกงและรถตารวจ….................................................................. 62 รปท 3.12 ความเรงของวตถตกอยางอสระ..................................................................................... 64 รปท 3.13 โยนลกบอลใหเคลอนทในแนวดง…................................................................................65 รปท 3.14 กราฟการเคลอนทของรถยนต....................................................................................... 69 รปท 3.15 อธบายโจทยขอ 13 ..................................................................................................... 71 รปท 4.1 เวกเตอรบอกตาแหนงของวตถในระนาบ XY .................................................................. 73 รปท 4.2 องคประกอบของความเรวทจด P .................................................................................. 75 รปท 4.3 แสดงความเรวของอนภาค….......................................................................................... 76

รปท 4.4 ทศทางของ ∆............................................................................................................ 77 รปท 4.5 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล…...................................................................................... 79 รปท 4.6 แสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทลเปนกราฟพาราโบลา....................................... 83 รปท 4.7 แสดงแนวการเคลอนทของนDาจากปากปลา...................................................................... 85 รปท 4.8 การเปลยนความเรวของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม...................................................... 86 รปท 4.9 แสดงเวกเตอรการเปลยนแปลงความเรว เมอ θ มคานอยๆ............................................. 87 รปท 4.10 การเคลอนทเปนวงกลม…............................................................................................ 88 รปท 4.11 ตาแหนงของวตถ O เทยบกบจด A และ B ................................................................. 95 รปท 4.12 การเคลอนทสมพทธของเครองบน A และ B................................................................ 97 รปท 4.13 อธบายโจทยขอ 1 .................................................................................................. 100 รปท 4.14 อธบายโจทยขอ 10 .................................................................................................. 101 รปท 4.15 อธบายโจทยขอ 12 .................................................................................................. 102 รปท 5.1 การเคลอนทของรถทดลองบนรางลม........................................................................... 105 รปท 5.2 การออกแรงภายนอกกระทาตอวตถทมมวลเทาเดม..................................................... 106 รปท 5.3 แรงทเทาเดมกระทาตอรถทดลองซงมมวลเพมขDน........................................................ 107 รปท 5.4 แรงกรยาและแรงปฏกรยา........................................................................................... 109 รปท 5.5 แรงกรยาตางๆตองมแรงคปฏกรยาเกดขDนเสมอ…..........................................................110 รปท 5.6 ออกแรงยกถงนDาขDนดวยความเรวคงท............................................................................110 รปท 5.7 นกกฬาขวางลกเบสบอล................................................................................................111

(9)

(10)

สารบญรป

หนา

รปท 5.8 การช งนDาหนกบนลฟททกาลงเคลอนท............................................................................112 รปท 5.9 การออกแรงผลกกนของคนบนเรอเปนการใชกฎขอสามของนวตน...................................113 รปท 5.10 แสดงการเขยนแผนภาพวตถเสรของนกเบสบอล...........................................................116 รปท 5.11 การออกแรงดงฉดใบเรอยแบบหมน..............................................................................116 รปท 5.12 ดานขวามอเปนแผนภาพวตถเสรของการออกแรงกระทาตอเลอย...................................117 รปท 5.13 แสดงแรงทกระทาตอเลอย ณ เวลาตางๆ.......................................................................118 รปท 5.14 การลาเลยงรถยนตขDนรถบรรทกเพอขนยาย..................................................................119 รปท 5.15 แผนภาพวตถเสรของรถยนตขณะขDนรถลาเลยง............................................................120 รปท 5.16 วตถทแขวนไวดวยเชอกเดยวกน..................................................................................122 รปท 5.17 แสดงแผนภาพวตถเสรของมวล และ .............................................................122 รปท 5.18 ก. แสดงแรงทกระทาตอตมตะก วถวงทหอยบนรถทกาลงเคลอนทดวยความเรง ข. แผนภาพวตถเสร.....................................................................................................124 รปท 5.19 แสดงทศทางของแรงเสยดทานทกระทาตอวตถ.............................................................126 รปท 5.20 แสดงแผนภาพของวตถเสรของวตถทวางบนพDนเอยง....................................................127 รปท 5.21 วางวตถ A ไวหนารถทกาลงวง…..................................................................................128 รปท 5.22 แผนภาพวตถเสรของวตถ A ........................................................................................128 รปท 5.23 เพนดลมแบบกรวย.......................................................................................................130 รปท 5.24 รถเลDยวโคงบนถนนเอยง...............................................................................................131 รปท 5.25 แผนภาพวตถเสรของการปลอยกอนหนลงนDา.................................................................133 รปท 5.26 แสดง ความเรง,ความเรวและตาแหนงของวตถทกาลงตกโดยมแรงตาน..........................134 รปท 5.27 ออกแรงหมนวตถทาใหเกดทอรก..................................................................................136 รปท 5.28 แรงหลายแรงกระทาตอคานทจดตางๆกน......................................................................139 รปท 5.29 มวล 50 กโลกรมหอยกบเชอกทาใหเชอกหยอนลงเปนมม 10 องศา................................142 รปท 5.30 กลองเคลอนทลงตามพDนเอยง........................................................................................143 รปท 5.31 ลากวตถ 3 กอนทผกตดกนดวยเชอกเบา…...................................................................143 รปท 5.32 ออกแรงกระทาตอวตถทอยตดกน.................................................................................143 รปท 5.33 วตถสองกอนทมเชอกผกโยงเคลอนทลงตามพDนเอยง.....................................................144 รปท 5.34 อธบายโจทยขอท 11 ...................................................................................................144

สารบญรป หนา รปท 6.1 การชนกนของลกบลเลยดทาใหเกดการอนรกษโมเมนตม................................................150 รปท 6.2 การชนกนของรถรางเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตม................................................151 รปท 6.3 เดกขวางกลองออกไปจากเรอ กฎการอนรกษโมเมนตมจะทาใหเรอถอยหลง....................152 รปท 6.4 การชนกนของลกบลเลยดในสองมต................................................................................153 รปท 6.5 แสดงแรงดล ( )............................................................................................................155 รปท 6.6 กราฟระหวางแรงทลกบอลกระทบกาแพงกบเวลา............................................................156 รปท 6.7 การชนกนของวตถทมขนาดไมเทากน.............................................................................157 รปท 6.8 การชนกนของโปรตอนและนวเคลยสฮเลยม....................................................................158 รปท 6.9 การชนแบบไมยดหยนสมบรณของมวล 5 kg และ 3 kg ..................................................160 รปท 6.10 ยงกระสนฝงใน Ballistic pendulum..............................................................................161 รปท 6.11 การชนกนในสองมต…..................................................................................................162 รปท 6.12 วตถเคลอนทเปนทางโคงรอบจดหมนทาใหเกดโมเมนตมเชงมม.....................................165 รปท 6.13 กอนหนเคลอนทรอบจด O............................................................................................167 รปท 6.14 วตถ A และ B ถกอดเขาหาสปรง..................................................................................169 รปท 6.15 ยงกระสนเขาไปยงบลลสตกเพนดลม.............................................................................170 รปท 6.16 โมเมนตมเชงมมของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม..........................................................171 รปท 7.1 แรง F กระทาในทศทามม θ ทาใหเกดงาน......................................................................173 รปท 7.2 แรงขนาดคงทกระทากบกลองใหเคลอนทไปตามพDนราบ...................................................174 รปท 7.3 งานเนองจากแรงกระทาไมคงตว......................................................................................176 รปท 7.4 กราฟแสดงงานทเกดจากแรงไมคงท................................................................................176 รปท 7.5 พDนทใชกราฟของกราฟระหวางแรงกบระยะทางคองาน.....................................................177 รปท 7.6 การยดหรออดสปรง.........................................................................................................178 รปท 7.7 (ก) แขนกลกลองวดโอ (ข) พDนทใตกราฟคองานทแขนกลทา.............................................179 รปท 7.8 รถเกงจะแซงรถบรรทกจะตองมกาลงเพยงพอในชวงเวลาแซง...........................................182 รปท 7.9 ทางานโดยการออกแรงยกกลองหนงสองานจะเปลยนเปนพลงงานจลน..............................183 รปท 7.10 พลงงานศกยทเกดจากการออกแรงยกวตถ.....................................................................185 รปท 7.11 เสนทางการเคลอนทของวตถทถกแรงอนรกษกระทา…...................................................187 รปท 7.12 พลงงานศกยยดหยน.....................................................................................................189 รปท 7.13 ลกตมตกกระแทกเสาเขม...............................................................................................191 รปท 7.14 ปลอยมวลลงตามรางและพงไปชนสปรง.........................................................................193

(11)

(12)

สารบญรป หนา รปท 7.15 แผนภาพวตถเสรของมวล 1 kg ในการเคลอนทชวง BC ...............................................193 รปท 7.16 งานคอพDนทใตกราฟของแรงกบระยะทาง......................................................................196 รปท 7.17 ปลอยวตถจากสปรงทถกอด.........................................................................................199 รปท 7.18 ปลอยวตถจากพDนเอยงชนเขาสปรง..............................................................................199 รปท 8.1 แสดงการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยวในแนวราบของวตถมวล m …..........................203 รปท 8.2 การนา a และ b มาเปนดานประกอบของสามเหลยมมมฉาก…........................................205 รปท 8.3 ประกอบตวอยางท 8.1...................................................................................................207 รปท 8.4 โจทยตวอยางท 8.2 ......................................................................................................209 รปท 8.5 วตถ Q เคลอนทเปนวงกลมและเงา P เคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว............................210 รปท 8.6 ความเรงของเงาของอนภาค P ......................................................................................211 รปท 8.7 ก. กราฟการกระจดกบมมเฟส........................................................................................212 รปท 8.7 ข. กราฟความเรวกบมมเฟส..........................................................................................212 รปท 8.7 ค. กราฟระหวางความเรงกบเฟส...................................................................................212 รปท 8.8 ตาแหนงตางๆของการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว...................................................214 รปท 8.9 พลงงานของการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว............................................................215 รปท 8.10 ลกตมนาฬกาอยางงาย................................................................................................216 รปท 8.11 ประกอบตวอยางท 8.3 ...............................................................................................218 รปท 8.12 ฟสกลเพนดลม............................................................................................................219 รปท 8.13 การหาโมเมนตความเฉอยของแทงไมไมสมาเสมอ........................................................221 รปท 8.14 แผนภาพเวกเตอรหมนของฮารโมนกสองอน ความถเทากนผลตางเฟสδ……………….223 รปท 8.15 ก. กราฟระยะกระจดกบเวลาของฮารโมนกรวมทเกดจากฮารโมนกสยอย ทมเฟสเทากน.............................................................................................................224 รปท 8.15 ข. แผนภาพเวกเตอรหมนของฮารโมนกรวมทเกดจากฮารโมนกยอย ทมเฟสเทากน.............................................................................................................224 รปท 8.16 แผนภาพเวกเตอรของฮารโมนกรวมทเกดจากฮารโมนกยอย ทมผลตางเฟสเปน π เรเดยน.....................................................................................225 รปท 8.17 แผนภาพเวกเตอรหมนของฮารโมนกรวมทเกดจาก ฮารโมนกยอยทมความถตางกน..................................................................................226 รปท 8.18 แอมปลจดของฮารโมนกรวมทเกดจากฮารโมนกสยอย ทมความถไมเทากนมคาไมคงท..................................................................................227

สารบญรป หนา รปท 8.19 แผนภาพเวกเตอรหมน.................................................................................................228 รปท 8.20 วถเคลอนทของฮารโมนกรวมแบบตางๆ........................................................................230 รปท 8.21 การเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยวของสองวตถในสปรงเดยวกน..................................230 รปท 8.22 การเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยวของวตถมวล μ .....................................................232 รปท 8.23 ระบบทประกอบดวยมวลสองกอนผกตดกบสปรง...........................................................234 รปท 8.24 มวล m เคลอนทภายใตแรงจากสปรงสองตว..................................................................235 รปท 8.25 การแกวงกวดแบบถกหนวง...........................................................................................236 รปท 8.26 กราฟการแกวงกวดแบบถกหนวง..................................................................................238 รปท 8.27 การแกวงกวดของลกตมนาฬกาเชงเดยวทมแรงหนวง....................................................238 รปท 8.28 วางวตถ m บนวตถ M ทตดอยกบสปรง........................................................................246 รปท 9.1 ลกษณะของคลนตอเนอง................................................................................................248 รปท 9.2 ลกษณะของคลนตอเนองรปไซน.....................................................................................248 รปท 9.3 คลนตามขวางโมเลกลของตวกลางจะส นในทศต Dงฉากกบทศของคลน...............................250 รปท 9.4 คลนตามยาวจากสปรง โมเลกลของสปรงจะส นกลบไปกลบมา ในทศทขนานกบทศการเคลอนทของคลน ซงอยในแนวราบ............................................251 รปท 9.5 กราฟของฟงกชนคลน...................................................................................................253 รปท 9.6 คลนจากเสนเชอก.........................................................................................................257 รปท 9.7 ระยะกระจดของคลนในเสนเชอก...................................................................................257 รปท 9.8 คลนดลในเสนเชอก.......................................................................................................259 รปท 9.9 อตราเรวของคลนตามยาวในของเหลว...........................................................................261 รปท 9.10 การนาพลงงานของคลนทมความเรว v........................................................................263 รปท 9.11 การแผออกของคลนทรงกลม......................................................................................264 รปท 9.12 คลนสะทอนทปลายตรง..............................................................................................267 รปท 9.13 คลนสะทอนทปลายอสระ............................................................................................268 รปท 9.14 ก แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน ข แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศตรงขาม...........................................269 รปท 9.15 แสดงลวดลายการแทรกสอด......................................................................................270 รปท 9.16 แสดงการแทรกสอดของคลนนDา.................................................................................271 รปท 9.17 แสดงคลนนงขณะใดขณะหนง....................................................................................273

(13)

(14)

สารบญรป หนา รปท 9.18 คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายท Dง 2 ขาง......................................................................274 รปท 9.19 คลนนงในเสนเชอกทตรงขางเดยว................................................................................276 รปท 9.20 คลนนงในทอ...............................................................................................................278 รปท 9.21 คลนนงในทอปลายปด..................................................................................................279 รปท 9.22 คลนนงในทอปลายเปด.................................................................................................280 รปท 9.23 การหกเหของคลน........................................................................................................282 รปท 9.24 การเลDยวเบนของคลนนDา..............................................................................................283 รปท 9.25 จดบพและปฏบพของคลนนง........................................................................................286 รปท 9.26 อธบายโจทยขอ 2........................................................................................................287 รปท 9.27 อธบายโจทยขอ 7........................................................................................................288 รปท 10.1 พDนทขนาดเลกๆ dA ภายในของไหลมแรงขนาดเลก ในแนวต Dงฉาก dF กระทาท Dงสองดานทาใหเกดความดน...............................................293 รปท 10.2 แรงตางทกระทาตอผวสมมตในของไหล........................................................................294 รปท 10.3 ความดนในของเหลว....................................................................................................295 รปท 10.4 มาโนมเตอรรปตวย......................................................................................................296 รปท 10.5 บารอมเตอรปรอท........................................................................................................297 รปท 10.6 วตถทลอยในของเหลวเพราะมแรงลอยตว.....................................................................299 รปท 10.7 การหาความตงผวของของเหลว....................................................................................300 รปท 10.8 ก. การซมตามรเลกของนDา ข. การซมตามรเลกของปรอท.......................................................................................302 รปท 10.9 แสดงแรงดงทพยายามดงวตถใหยดออก…...................................................................305 รปท 10.10 การผดรปเมอวตถไดรบแรงเคน.................................................................................306 รปท 10.11 แสดงวตถถกกระทาดวยความเคนดงและความเคนอด................................................308 รปท 10.12 วตถไดรบความเคนเฉอนทาใหรปรางเปลยนไป..........................................................310 รปท 10.13 แผนทองเหลองไดรบแรงเฉอน...................................................................................311 รปท 10.14 แสดงตาแหนงขดจากดความยดหยน.........................................................................312 รปท 10.15 แบบฝกหดขอ 4…....................................................................................................314 รปท 10.16 แบบฝกหดขอ 8 ......................................................................................................315

สารบญรป หนา รปท 11.1 เทอรโมมเตอรภายในบรรจของเหลว............................................................................319 รปท 11.2 ระบบทอณภมถกกาหนดดวยความดน.........................................................................319 รปท 11.3 ความสมพนธระหวางความดนและอณภมของกาซเมอปรมาณคงท................................320 รปท 11.4 การทดลองของ จล......................................................................................................324 รปท 11.5 ความจความรอนจาเพาะของนDาในรปฟงกชนของอณภม…............................................326 รปท 11.6 การถายโอนความรอนของวสดทหนา L ดานขางท Dงสองมอณภมตางกน........................331 รปท 11.7 การถายโอนความรอนผานผนงกลองสไตโรโฟม...........................................................333 รปท 11.8 การถายโอนความรอนผานแผนนาความรอนทมคาการนาความรอนตางกน...................334 รปท 11.9 งานททาโดยระบบในระหวางการขยายตวเปนระยะ dx ................................................337 รปท 11.10 งานจากระบบเปลยนแปลงปรมาตรคอพDนทใตกราฟ PV.............................................338 รปท 11.11 ระบบทมการเปลยนแปลงสถานะเปนวฏจกรครบ 1 รอบ.............................................340 รปท 11.12 การขยายตวอยางเสรของกาซอดมคตซงก Dนไวดวยฉนวน...........................................346 รปท 11.13 วฏจกรการเปลยนสถานะของระบบ............................................................................351

(15)

(16)

สารบญตาราง

หนา ตารางท 1.1 หนวยฐานในระบบเอสไอ.......................................................................................... 2 ตารางท 1.2 หนวยอนพทธในระบบเอสไอ.................................................................................... 4 ตารางท 1.3 คาอปสรรคใชแทนตวพหคณ.................................................................................... 7 ตารางท 3.1 ระยะกระจดและระยะเวลาของการเคลอนทของรถยนต.............................................. 54 ตารางท 4.1 เปรยบเทยบปรมาณเชงเสนกบปรมาณเชงมม........................................................... 90 ตารางท 10.1 ความหนาแนนของสาร...........................................................................................291 ตารางท 10.2 คาความตงผวของของเหลวท 20°C ...................................................................301 ตารางท 10.3 ความหนดของไหลทอณภมตางๆ...........................................................................304 ตารางท 10.4 มอดลสของความยดหยน.......................................................................................307 ตารางท 11.1 สมประสทธ lการขยายตวตามเสนของของแขง.........................................................322 ตารางท 11.2 สมประสทธ lการขยายตวเชงปรมาตรของของแขงและของเหลว............................. .323 ตารางท 11.3 ความจความรอนจาเพาะ (c) และความจความรอนโมลาร ()ของสาร.................328 ตารางท 11.4 สภาพนาความรอนของสาร............................................................................…....331

บทท 1 หนวยและการวด

คาวาฟสกส(Physics) มาจากภาษากรกมความหมายวาความรเกยวกบธรรมชาต(knowledge of nature) ฟสกสจงเปนวชาทคนหาความรและกฏเกณฑของปรากฏการณในธรรมชาตของจกรวาลวามระบบการทางานอยางไรเชน ฟสกสจะอธบายวาทาไมรงกนนCา(rainbows)จงมสตางๆกนหรอดาวเทยมทสงไปโคจรรอบโลกจะรกษาวงโคจรใหคงทไดอยางไร วธหาความร นกฟสกสจะออกแบบโครงสรางของระบบทจะศกษากอน โดยใหมโครงสรางอยางงายๆไมสลบซบซอน และเปนโครงสรางทอยในระดบจนตนาการกอนแลวจงนาไปสระบบจรง เชน แมวาเราจะมองไมเหนอะตอม แตเรากสามารถทจะจนตนาการโครงสรางของอะตอมเพออธบายพฤตกรรมของอนภาคทประกอบเปนอะตอมได การศกษาทางฟสกสจะเนนการทดลอง ซงจะทาใหเกดความเชอม นในทฤษฎทไดและนาเอาทฤษฎไปอธบายในเชงเหตและผลกบสภาวะจรงไดถกตอง ฉะน Cนฟสกสจงเกยวของกบการวดปรมาณตางๆและตองระบหนวยของการวดปรมาณเหลาน Cนดวย ประเทศตางๆจะมหนวยวดปรมาณตางๆเปนของตนเอง เชน มาตราช งตวงวดของไทย ใชหนวยวดความยาวเปนวา แตประเทศองกฤษใชหนวยเปนหลา ทาใหเกดปญหาความเขาใจไมตรงกน ดงน Cนเพอใหมระบบหนวยการวดเปนระบบเดยวกนท วโลก ในป พ.ศ. 2503 องคกรระหวางประเทศวาดวยมาตรฐาน(International Standardization Organization ) ไดมการประชมกนของผเกยวของตกลงใหมระบบการวดปรมาณตาง ๆ เปนระบบมาตรฐานระหวางชาต เรยกชอวา ระบบหนวยระหวางชาต (International System of Unit)และกาหนดใหใชอกษรยอแทนชอระบบวา “SI” เพอใชในการวดทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย หนวยเอสไอ(SI unit)

ประกอบดวยหนวยฐาน(base units) หนวยเสรม (supplementary unit) หนวยอน

พทธ (derived units) และคาอปสรรค (prefixes) ซงจะอธบายรายละเอยดดงนC 1. หนวยฐาน (base units) ใชเปนหลกของหนวยเอสไอ ม 7 หนวย ดงแสดงในตารางท1.1

บทท 1 หนวยและการวด 2

ตารางท 1.1 หนวยฐานในระบบเอสไอ ปรมาณ สญลกษณปรมาณ หนวยฐาน สญลกษณหนวย ความยาว (length) l เมตร (metre) m มวล (mass) m กโลกรม (kilogramme) kg เวลา (time) t วนาท (second) s กระแสไฟฟา(electric current) i แอมแปร(ampere) A อณหภมอณหพลวต T เคลวน(kelvin) K (thermodynamic temperature) ความเขมของการสองแสง lv แคนเดลา(candela) cd (luminous intensity) ปรมาณของสาร n โมล(mole) mol (amount of substance) โดยมนยามปรมาณของหนวยฐานจากตารางท 1.1 ดงนC 1.1 เมตร ความยาว 1 เมตรหมายถงระยะทางทแสงเดนทางไดในสญญากาศในชวง เวลา 1/299 792 458 วนาท 1.2 กโลกรม เปนหนวยของมวลซงเทากบมวลรปทรงกระบอกทาดวยโลหะพลาตนม-อรเดยม(platinum-irridium cylinder) เกบไวท สานกงานมาตราช งตวงวดระหวางชาตท แชรเรอ ใกลกบกรงปารส ประเทศฝร งเศส ดงรปท 1.1

รปท 1.1 มวลมาตรฐาน ทมา (Walker S. James, 2004, p.4)

บทท 1 หนวยและการวด 3

2. วนาท คอหนวยของชวงเวลา 9 192 631 770 เทาของคาบการแผรงสทเกดจากการเปลยน

สถานะระดบไฮเพอรไฟนของสถานะพCนของอะตอมซเซยม-133 ทอณหภม 0 เคลวน 3. แอมแปร

หนวยของกระแสไฟฟาคงตวซงเมอใหอยในตวนาตรงและขนานกน 2 เสน ทมความยาว ไมจากดและมพCนทหนาตดนอยจนไมตองคานงถง และวางหางกน 1 เมตรในสญญากาศ แลว จะทาใหเกดแรงระหวางตวนาท Cงสองเทากบ 2x -7

10 นวตนตอความยาว 1 เมตร 4. เคลวน เคลวน คอ หนวยวดอณหภมอณหพลวต ซงทประชมใหญแหงมาตราช งตวงวดคร Cงท

10 ไดวนจฉยใหนยามมาตราสวนของอณหภมอณหพลวต โดยอาศยจดรวมสาม (triple point) ของนCาเปนจดหลกมล และใหจดดงกลาวมอณหภมเทากบ 273.16 เคลวน อยางแมนตรง

5. แคนเดลา แคนเดลา คอ หนวยความเขมของการสองสวางในทศต CงฉากของพCนผววตถดาทมพCนท1/600000 ตารางเมตร ณ อณหภมซงธาตแพลทนมแขงตว ภายใตความดน 101325 นวตนตอตารางเมตร

6. โมล โมล คอ หนวยปรมาณของสารในระบบซงประกอบดวยธาตใด ๆ ทเทยบเทากบธาตคารบอน 12 จานวน 0.012 กโลกรม หนวยเสรม (supplementary units)

หนวยเสรมของระบบเอสไอ ม 2 หนวย คอ 1. เรเดยน (radian)

สญลกษณของเรเดยน คอ rad เปนหนวยวดมมระนาบ (plane angle) 2. สตเรเดยน (steradian) สญลกษณของสตเรเดยน คอ sr เปนหนวยวดมมตน (solid angle)

บทท 1 หนวยและการวด 4

หนวยอนพทธ (derived units) เมอนกฟสกสไดทาการทดลองและสรปผลเปนทฤษฎและกฎขCนมาน Cน สวนใหญจะ

แสดงอยในรปสมการทางคณตศาสตร ซงจะมขอมลปรมาณฐานหลายปรมาณฐานมาเกยวโยงกนดวยเครองหมายทางคณตศาสตร และไดผลลพธเปนปรมาณอนพทธ เชน ความเรวมหนวยเปนเมตรตอวนาท ซงเกดจากความสมพนธของหนวยฐาน คอ เมตรและวนาท หรอแรงมหนวยเปนนวตน เกดจากหนวยเมตรตอวนาทตอวนาท หนวยอนพทธมหลายหนวยทไดจากความสมพนธของหนวยฐานหลายหนวยแลวเรยกชอเฉพาะเปนอยางอนดงแสดงในตารางท 1.2 ตารางท 1.2 หนวยอนพทธในระบบเอสไอ ปรมาณ หนวย สญลกษณ หนวยอนพทธ สญลกษณหนวย เทยบหนวย ปรมาณ

ความถ f เฮรตซ(hertz) Hz s-1 แรง F นวตน (newton) N kg. m/s2

งานและพลงงาน W,E จล (joule) J N.m ความดน P พาสคล

(pascal) Pa N/m2

กาลง P วตต (watt) W J/s ประจไฟฟา q คลอมบ (coulomb) C A.s ความตางศกย V โวลต(volt) V W/A

ความจไฟฟา C ฟารด(farad) F A.s/V ความตานทาน R โอหม(ohm) Ω V/A ความนา G ซเมนส

(siemens) S 1−Ω ฟลกซแมเหลก Φ B เวเบอร(weber) Wb V.s

บทท 1 หนวยและการวด 5

ตารางท 1.2 หนวยอนพทธในระบบเอสไอ (ตอ)

ปรมาณ สญลกษณ หนวยอนพทธ สญลกษณหนวย เทยบหนวย ปรมาณ

ความหนาแนน B เทสลา(tesla) T Wb/m2

ความเหนยวนา L เฮนร (henry) H V.s/A ฟลกซสองสวาง Φ ลเมน(lumen) lm cd.sr ความสวาง L ลกซ(lux) lx lm/m2

ทมา (วนชย เคยนทอง , (2542), หนา 4)

นยามปรมาณของหนวยอนพทธจากตารางท 1.2 ดงนC 1.ความถ

ความถ 1 เฮรตซ คอ คาความถของปรากฏการณทเกดขCนครบ 1 รอบ ในเวลา 1 วนาท 2. แรง

แรง 1 นวตน คอ คาแรงทสามารถทาใหมวล 1 กโลกรม เคลอนทไปตามแนวแรงน Cน ดวยความเรง 1 เมตรตอ(วนาท)2

3. งานหรอพลงงาน งานหรอพลงงาน 1 จล คอ คางานหรอพลงงานทมขนาดเทากบแรง 1 นวตน กระทาตอวตถ ทาใหวตถพCนเคลอนทไปไดระยะทาง 1 เมตร ตามแนวแรงน Cน

4. ความดน ความดน 1 พาสคล คอ คาความดนทเกดจากการใชแรง 1 นวตน กระทาอยางสมาเสมอในแนวต CงฉากบนพCนท 1 ตารางเมตร

5. กาลง กาลง 1 วตต คอ คากาลงทสามารถทางานหรอใหพลงงาน 1 จลในเวลา 1 วนาท

6. ประจไฟฟา ประจไฟฟา 1 คลอมบ คอ คาปรมาณไฟฟาทกระแสไฟฟาขนาด 1 แอมแปร ผานพCนทภาคตดขวางของตวนาในเวลา 1 วนาท

บทท 1 หนวยและการวด 6

7. ความตางศกย ความตางศกย 1 โวลต คอ คาความตางศกยไฟฟาระหวางจดสองจด บนตวนาทมกระแสไฟฟาขนาด 1 แอมแปร ผานทาใหเกดกาลงงาน 1 วตต ระหวางสองจดน Cน

8. ความจ ความจ 1 ฟารด คอ คาความจไฟฟาระหวางสองตวนา ซงถาถายเทประจไฟฟาปรมาณ 1 คลอมบ จากตวนาหนงไปยงอกตวนาหนงแลวจะทาใหความตางศกยไฟฟาระหวางตวนาท Cงสองเปลยนไป 1 โวลต

9. ความตานทาน ความตานทาน 1 โอหม คอ คาความตานทานไฟฟาระหวางจดสองจดบน

ตวนา ซงไมมแรงเคลอนไฟฟาระหวางจดสองจดน Cน และเมอใหความตางศกยไฟฟาระหวางจดท Cงสองเปน 1 โวลต จะทาใหเกดกระแสไฟฟาผานตวนา 1 แอมแปร

10. ความนา ความนา 1 ซเมนส คอ คาความนาไฟฟาของตวนาซงมความตานทาน 1 โอหม

11. ฟลกซแมเหลก ฟลกซแมเหลก 1 เวเบอร คอ คาฟลกซแมเหลกซงผานตวนาวงหนง และสามารถทาใหเกดแรงเคลอนไฟฟา 1 โวลต ในวงน Cนไดถาลดฟลกซดวยอตราสมาเสมอจนหมดในเวลา 1 วนาท พอด

12. ความหนาแนนฟลกซแมเหลก ความหนาแนนฟลกซแมเหลก 1 เทสลา คอ คาความหนาแนนฟลกซแมเหลก 1 เวเบอรในพCนท 1 ตารางเมตร

13. ความเหนยวนา ความเหนยวนา 1 เฮนร คอ คาความเหนยวนาไฟฟาของวงจรปด ซงเมอกระแสไฟฟาทผานวงจรน Cนลดลงอยางสมาเสมอดวยอตรา 1 แอมแปรตอวนาท จะทาใหเกดแรงเคลอนไฟฟา 1 โวลตในวงจรปดน Cน

14. ฟลกซสองสวาง ฟลกซสองสวาง 1 ลเมน คอ คาฟลกซสองสวางทสงออกในมม 1 สตเรเดยน จากจดกาเนด ซงมความเขมของการสองสวาง 1 แคนเดลา

15. การสองสวาง การสองสวาง 1 ลกซ คอ คาการสองสวางของฟลกซสองสวาง 1 ลเมน บน

พCนท 1 ตารางเมตร

บทท 1 หนวยและการวด 7

คาอปสรรค (prefixes)

ในกรณทหนวยฐานหรอหนวยอนพทธ มปรมาณมากหรอนอยเกนไปยอมไมสะดวกตอการอานและการเขยน จงนยมใชคาอปสรรคเปนตวพหคณใสไวขางหนาหนวยฐานหรอหนวยอนพทธ คาอปสรรคใชแทนตวพหคณดงแสดงในตารางท 1.3 เนองจากระบบเอสไอเปนระบบมาตรฐานระหวางชาต เปนทยอมรบกนท วโลก สญลกษณของหนวยไมวาชาตภาษาใดควรใชเหมอนกนหมด ดงน Cนไมควรใชสญลกษณของหนวยเปนสญลกษณภาษาไทย ถาตองการเขยนหนวยเปนภาไทยควรเขยนคาเตม เชน เมตร ไมใชสญลกษณ ม สญลกษณของหนวยทยงใชผดพลาดกนมากไดแก สญลกษณของหนวยช วโมง เปน h ไมใช hr ,วนาท เปน s ไมใช sec ปจจบนยงมหนวยอนๆทยงใชแพรหลายและมความสาคญทางปฏบต องคการระหวางประเทศวาดวยมาตรฐานยอมใหใชรวมกนกบระบบเอสไอ เชนการวดมมในระนาบนยมใชหนวยองศา(degree) แตในระบบเอสไอใชหนวยเรเดยน โดยมความสมพนธกนคอ 180 องศา เทากบ 1 เรเดยน หรอ การวดพCนทบางประเทศนยมวดออกมาเปนหนวยเฮคเท(hectare)ใชสญลกษณ ha โดยมความสมพนธกบหนวยเอสไอคอ

1 ha = 104 m2 ตารางท 1.3 คาอปสรรคใชแทนตวพหคณ ตวพหคณ คาอปสรรคใชแทนตวพหคณ ชอ สญลกษณ 1810− อตโต(atto) a

1510− เฟมโต(fermto) f 1210− พโก(pico) p 910 − นาโน(nano) n

610 − ไมโคร(micro) µ 310 − มลล(milli) m 210 − เซนต(centi) c 110 − เดซ(deci) d

บทท 1 หนวยและการวด 8

ตารางท 1.3 คาอปสรรคใชแทนตวพหคณ(ตอ) ตวพหคณ คาอปสรรคใชแทนตวพหคณ ชอ สญลกษณ 10 เดคา(deca) da

210 เฮกโต(hecto) h 310 กโล(kilo) k 610 เมกะ(mega) M 910 จกะ(giga) G 1210 เทระ(tera) T 1510 เพตะ(peta) P

1810 เอกซะ(exa) E ทมา( วนชย เคยนทอง,(2542) , หนา 7 )

ตอไปนCเปนตวอยางการเขยนโดยใชตวพหคณของ 10 และคาอปสรรคของมน ของหนวยความยาว มวล และเวลา บางหนวยอาจรวมถงการแปลงคาอปสรรคใหมเขาไปดวย

1. ความยาว 1 นาโนเมตร = 1 nm = 10-9 m (ขนาดประมาณ 100 เทาของขนาด

อะตอม) 1 ไมโครเมตร = 1 µm = 10-6 m (ขนาดของแบกเตเรยและเซลล) 1 มลลเมตร = 1 mm = 10-3 m (ขนาดของปลายปากกาลกลน) 1 เซนตเมตร = 1 cm = 10-2 m (ขนาดเสนผาศนยกลางของปลาย

นCวกอย) 1 กโลเมตร = 1 km = 10-3 m (ระยะทางเดนประมาณ 10 นาท) 2. มวล

1 ไมโครกรม = 1 µg = 10-9 kg (มวลของฝนละอองเลกๆ) 1 มลลกรม = 1 mg = 10-6 kg (มวลของเมดเกลอ) 1 กรม = 1 g = 10-3 kg (มวลของแผนกระดาษ)

3. เวลา 1 นาโนวนาท = 1 ns = 10-9 s (เวลาทแสงเดนทางได 0.3 เมตร) 1 ไมโครวนาท = 1 µs = 10-6 s (เวลาทเครองคอมพวเตอรบวกเลข)

บทท 1 หนวยและการวด 9

การแปลงหนวย

ในบางคร Cงกมความจาเปนตองเปนหนวยจากระบบหนงไปสอกระบบหนง เชน ระหวางหนวย SI กบหนวยอนๆ ดงตวอยางตอไปนC 1 ไมล = 1609 เมตร = 1.609 กโลเมตร 1 เมตร = 39.37 นCว = 3.281 ฟต 1 ฟต = 0.3048 = 30.48 เซนตเมตร 1 นCว = 0.0254 = 2.54 เซนตเมตร 1 กโลกรม = 0.685 สลก (slug) 1 สลก = 14.60 กโลกรม 1 ปอนด (lb) = 4.4482 นวตน (N) 1 นวตน = 0.2248 ปอนด การแปลงหนวยสามารถทาไดโดยการคานวณแบบพชคณตธรรมดา ตวอยางเชน สมมต เราตองการเปลยนความยาว 12.0 นCวใหเปนเซนตเมตร เรารวา 1 นCว = 2.54 เซนตเมตร

( ) ( ) cm48.30in

cm54.2in0.12in0.12 ==

ตวอยางท 1.1

ก. จงเปลยนความเรวขนาด 1019.5 กโลเมตรตอช วโมง )hkm

( ใหเปน เมตรตอวนาท sm

ข. จงเปลยนปรมาตร 1.84 ลกบาศกนCว (in3) เปนลกบาศกเซนตเมตร (cm3) และเปนลกบาศกเมตร (m3) วธทา

ก. เนองจาก 1 310km = m และ 1 3600h = s

ดงน Cน ))) 3600s1

(kmm

(10hkm

(1019.5hkm

1019.53=

283.2= sm

บทท 1 หนวยและการวด 10

ข. เนองจาก 1 in = 2.54 cm ดงน Cน

1.84 in3 = (1.84 in3) 3

54.2

in

cm

= 30.2 cm3 และ 1 cm = 10-2 m 30.2 cm3 = (30.2 ×10-2m)3 = 30.2 ×10-5m3

ตวอยางท 1.2 มวลของวตถแขงรปลกบาศกเทากบ 856 กรม แตละดานยาว 5.35 เซนตเมตร จงหาความหนาแนนของวตถในหนวย SI

วธทา เนองจาก 1 g = 10-3 kg และ 1 cm = 10-2 m

มวลของวตถ m = 856 g = 856 g × 10-3 g

kg = 0.856 kg

และปรมาตร V = L3 = (5.35 cm × 10-2 cmm )3

= (5.35)3 × 10-6 m3 = 1.53 × 10-4 m3 ดงน Cน

ความหนาแนน, p = vm = 0.856 kg / 1.53 × 10-4 m3

= 5.59 × 10-3 3m

kg

เลขนยสาคญ(Significant Figures)

คอ เลขทมความหมายตอการวดในการทดลองทางวทยาศาสตรโดยเฉพาะในสาขา

ฟสกส การวดปรมาณตาง ๆ ตองอาศยเครองมอในการวดออกมาเปนตวเลข ซงจะละเอยด

มากหรอนอยกขCนอยกบความละเอยดของเครองวดชนดน Cน ๆ วธการวดและอปกรณทใชในการวด จะทาใหความละเอยดทสามารถวดไดอยในขอบเขตจากด เชน ถาใชไมบรรทดทแบงสเกลละเอยดถงมลเมตรวดความยาวของเสนตรง สมมตวดได 6.43 เซนตเมตร แสดงวาเลขตวสดทาย(คอเลข 3) เปนเลขตวทผวดคาดคะเนเอาเองไมสามารถอานไดโดยตรงจากไมบรรทด ซงผวดอาจคาดวาถาจะผดไปจากเลข 3 กไมนาจะขาดหรอเกน 1 หรอผดพลาดไมเกน 0.01 เซนตเมตร ดงน Cนการบนทกผลการวดตองเปน 6.43 ± 0.01 เซนตเมตร คออยระหวาง 6.42 กบ 6.44 เซนตเมตร แตถาใชไมเมตรทมแตขดเซนตเมตร ไมละเอยดถง

บทท 1 หนวยและการวด 11

มลลเมตรมาวดแทนการบนทกผลการวดเปน 6.43 ± 0.01 เซนตเมตร จะละเอยดจะเกนความเปนจรง เพราะตวเลข 4 เกดจากการคาดคะเนดวยสายตา จงควรบนทกเปน 6.4 ± 0.1 หากคดวาการคาดคะเนผดไมเกน 0.1 เซนตเมตร ผลจากการวดดวยอปกรณดงกลาว คอ 6.43 และ 6.4 เรยกวาม เลขนยสาคญ 3 ตว และ 2 ตว ตามลาดบ ถาใชไมบรรทดและไมเมตรดงกลาวขางตน วดความยาวของลวดเสนหนงได 15 เซนตเมตรพอด การบนทกจะตองเปน 15.00 เซนตเมตรสาหรบไมบรรทด และเปน 15.0 เซนตเมตรสาหรบไมเมตร เพอบงบอกถงความละเอยดของเครองมอวดวาตวทไมนอนคอเลข 0 ตวสดทาย การบนทกเชนนCเรยกวา มเลขนยสาคญ 4 ตว และ 3 ตวตามลาดบ เลขนยสาคญจงเปนตวเลขทนาเชอถอไดหรอบอกความแนนนอน ซงเปนผลจากการวดหรอการคานวณ

1. หลกในการหาเลขนยสาคญ 1.1 เลขทกตวทไมใช 0 เปนเลขนยสาคญ เชน 3.14, 412, 7825, 5.1,9.812 มเลขนยสาคญ3, 3, 4, 2, และ 4 ตว ตามลาดบ

1.2 เลข 0 ทอยระหวางตวเลขนยสาคญเปนเลขนยสาคญ เชน 304, 1602, 1.305, 10.001มเลขนยสาคญ 3, 4, 4 และ 5 ตวตามลาดบ 1.3 เลข 0 ทอยปลายสดทางดานซายมอไมเปนเลขนยสาคญ เชน 0423, 0527, 0.00135,0.0000104 ทกคามเลขนยสาคญ 3 ตว 1.4 เลข 0 ทอยทางปลายดนขวามอ แตอยหลงจดทศนยมเปนเลขนยสาคญ เชน 120.0,12.40, 0.1400, 0.001500, 1.040 ทกคามเลขนยสาคญ 4 ตว

1.5 เลข 0 ทอยทางปลายขวามอของเลขจานวนเตมทไมมทศนยม จะบงบอกเลขนยสาคญไมชดเจน เชน เลขจานวน 1500 ถามเลขนยสาคญ 4 ตว ควรเขยนในรป 1.500 × 103 ถามเลขนยสาคญ 3 ตว ควรเขยนในรป 1.50 × 103 ถามเลขนยสาคญ 2 ตว ควรเขยนในรป 1.5 × 103

2. หลกในการปดเศษ 2.1 ถาเลขตวสดทายทางขวามอเปนเลข 0 ถง 4 ใหตดทCงได เชน ถาตองการเลขนยสาคญ 3 ตว ของจานวนตอไปนC 3.142 เปน 3.14 ,40.64 เปน 40.64 และ 5.0000 เปน 5.00 2.2 ถาเลขตวสดทายทางขวามอเปนเลข 5 ขCนไปถงเลข 9 ใหเพมคาของตวเลขตวสดทายทเอาไวอก 1 (หรอปดเศษขCน) เชน ถาตองการเลขนยสาคญ 2 ตว ของเลข 8.07 เปน 8.1 เลข 9.16 เปน 9.2 และเลข 1.986 เปน 2.0

บทท 1 หนวยและการวด 12

2.3 ถาตองการปดออกมากกวาหนงตว ตวทปดออกถามคาเทากบหรอมากกวา 50, 500, 5000 เปนตน กเพมคาของตวเลขตวสดทายทเอาไวอก 1 เชน ถาตองการเลขนยสาคญ 3 ตว ของเลข 2.6746 เปน 2.67 เลข 1.4559 เปน 1.46 และเลข 3.87205 เปน 3.87

3. การบวกและการลบเลขนยสาคญ ผลลพธจะมตวเลขหลงจดทศนยมเทากบจานวนตวเลขหลงจดทศนยมทนอยทสดของชดตวเลขทมาบวกหรอลบกน เชน 2.825 + 586.3 = 589.1 ไมใช 589.125 80.27 - 75.1 = 5.2 ไมใช 5.17

ตวอยางท 1.3 ในหองปฏบตการฟสกสนกศกษาสามคนทาการช งชCนโลหะขนาดตาง ๆ กนสามชCนคนแรกใชตาช งทมสเกลหยาบช งได 5 กรม คนทสองใชเครองช งละเอยดขCนช งได 3.27 กรม คนท สามใชเครองช งละเอยดมากช งได 4.156194 กรม ถาหากท Cงสามคนเอามวลโลหะท CงสามชCนมาบวกกนมวลรวมจะเปนกกรม

วธทา เอามวลท Cงสามมาบวกกน = 5 + 3.27 + 4.156194 = 12 กรม คาตอบไมมทศนยมเพราะวาเลข 5 ไมมทศนยม

4. การคณและการหารเลขนยสาคญ

ผลลพธทไดจะมเลขนยสาคญเทากบตวเลขทมจานวนเลขนยสาคญทนอยทสดของกลมตวเลขทมาคณหรอหารกน เชน 2.21 × 3.5 = 7.7 ไมใช 7.735 (8.25)2 = 68.06 ไมใช 68.0625

0.4

5.26 = 6.6 ไมใช 6.625

ขอยกเวน เมอผลลพธไดเลข 0 เปนเลขนยสาคญกอนทจะปดเลขอนทบขCนไปอก 1 แทนทเลข 0 ไมตองปดเลขน CนขCนมาใหคงคาตอบไวเกนจานวนตวเลขนยสาคญทนอยทสดในกลมทนามาคณหรอหารกนได เชน 0.92 × 1.14 = 1.0488 ตอบเปน 1.05 ความผดพลาดหรอความไมแนนอนของผลลพธ การวดเปนกระบวนการ ทผวดทาการเปรยบเทยบ ปรมาณทตองการวด กบปรมาณทถกกาหนด ใหเปนมาตรฐานสากล โดยอาศยเครองวดแบบใดแบบหนง ผลการวดจะเปนตวเลข

บทท 1 หนวยและการวด 13

บอกจานวนเทา ของปรมาณมาตรฐานน Cน ตวอยางเชน การวดความยาวของโตะ ดวยไมเมตรอานคาได 2.52 เมตร หมายความวา ความยาวทวดไดเปน 2.52 เทาของความยาว 1 เมตรมาตรฐาน กระบวนการวดเกยวของกบสงสาคญ 4 ประการ คอ

1. ผวด จะตองมความรความเขาใจ เกยวกบปรมาณทตองการวด เครองมอทจะใชวด วธการและเทคนคในการวด รวมท Cงอทธพลของสงแวดลอม ขณะทาการวด ความผดพลาดในผลการวด มกเกดจากความบกพรอง ของผทาการวด เชน ไมมความรความเขาใจ ในธรรมชาตของปรมาณทจะวด เลอกใชเครองมอวดทไมเหมาะสม ใชเครองมอไมถกวธ ประมาทหรอเลนเลอในการวด เปนตน ขอบกพรองเหลานC อยในขอบเขตทจะปรบปรงแกไขได จงไมอาจนามาเปนขออาง เพอปรบแกความผดพลาดในผลการวด

2. เครองมอทใชวด ควรอยในสภาพทใชงานไดตามปกต (ไมมสวนหนงใดชารด) โดยท วไปแลว กอนและหลงการทาการวด ผใชเครองวด จะตองตรวจสอบสภาพพรอม ทจะใช งานไดของเครองวดเสมอ เพอเปนสงยนยนวา ผลการวดทไดมาจากเครองวด ทอยในสภาพใชงานไดด

3. ปรมาณทจะวด มความสาคญ ตอการออกแบบวธการวด การวดกระทากบผลการวด รวมท Cงการแปลความหมาย ของผลการวดปรมาณน Cน ๆ

4. สงแวดลอมขณะวด ซงอาจมผลตอการวดไดแก สงแวดลอมตามธรรมชาต เชน แสงแดด ลม ฝน อณหภม ความดนบรรยากาศ ความชCน สนามแมเหลกไฟฟา เปนตน และ สงแวดลอมเฉพาะกรณ เชน การส นสะเทอน เนองจากขบวนรถบรรทก แลนผานหองทดลอง การรบกวนจากสนามแมเหลก จากแทงแมเหลก ในลCนชกโตะทดลอง เสยงรบกวนจากการซอมดนตร ในหองขางเคยง เปนตน ผทาการวด จะตองศกษาใหแนใจวา สงแวดลอมใดบาง ทมผลตอการวด และปรมาณการรบกวนมากนอยเพยงใด ท CงนCเพอหาวธ ควบคมสงแวดลอมเหลาน Cน ใหรบกวนผลการวดนอยทสด หรออาจวเคราะห หาปรมาณปรบแก (Correction term) เพอเปลยนขอมลดบ จากการวด ใหเปนผลการวด ทปราศจากการรบกวน จากสงแวดลอม เนองจากการวด เปนการเปรยบเทยบปรมาณมาตรฐาน ผลการวดทได จะมตวเลขทไดจากการประมาณคา (estimation) รวมอยดวยเสมอ เชน การประมาณตาแหนงเขมชCกบขดบนสเกล หรอการปดเศษในเครองวด แบบแสดงผลเปนตวเลข (digital - display meter) เปนตน ดงน Cน ทก ๆ ผลการวดจะมความไมแนนอน (uncertainty of measurement) อยในระดบหนงเสมอ

บทท 1 หนวยและการวด 14

ความไมแนนอนของการวด สามารถประมาณไดจาก ชวงจากดของสเกล (scale limit interval) ตวอยางเชน ไมบรรทดวดคาได 10.45 เซนตเมตร แสดงวา ชวงจากดของสเกลเทากบ 0.01 เซนตเมตร ในกรณนC ความไมแนนอนของการวด โดยใชไมบรรทดจะอยในชวง บวกลบ 0.01 เซนตเมตร อยางไรกตามเมอเราวดปรมาณทางฟสกสและไดคาการวดทบอกความไมแนนอนมาดวยเมอจะนาปรมาณเหลาน Cนมาบวก,ลบหรอนามาคณและหารกนจะตองนาความไมแนนอนมาคดดวยดงนC 1.เมอบวกหรอลบกน ความไมแนนอนของผลบวกหรอผลลบเทากบผลบวกของความไมแนนอนของเลขทนามาบวกหรอลบกนน Cน เชน (2.4 ± 0.1) + (4.35 ± 0.01) = 6.75 ± 0.11 = 6.8 ± 0.1 (4.35 ± 0.01) - (2.4 ± 0.1) = 1.95 ± 0.11 = 2.0 ± 0.1 2.เมอคณหรอหารกนใหคดความไมแนนอนเปนเปอรเซนต เปอรเซนตความไมแนนอนของผลคณหรอผลหารเปอรเซนตความไมแนนอนของแตละปรมาณ เชน

( x ± ∆ x) เปอรเซนตความไมแนนอนของ x คอ ×x

x∆ 100

( y ± ∆ y ) เปอรเซนตความไมแนนอนของ y คอ ×y

y∆ 100

( z ± ∆ z) เปอรเซนตความไมแนนอนของ z คอ ×z

z∆ 100

ถา A = x

xy ดงน Cนเปอรเซนตความไมแนนอนของ A คอ

×A

A∆ 100 = ×x

x∆ 100 + ×y

y∆ 100 + ×z

z∆ 100

คาของ A = A ± ∆A

บทท 1 หนวยและการวด 15

ตวอยางท 1.4 จงหาผลลพธของ 0.14.20.12.5

±±

วธทา 4.22.5 = 0.5952 = 0.60

เปอรเซนตความไมแนนอนของ 2.5 = ×5.2

1.0 100 = 4 %

เปอรเซนตความไมแนนอนของ 4.2 = ×4.20.1 100 = 2 %

ดงน Cน 0.14.20.12.5

±± = ( )%244.2

2.5+±

= 0.60 ± 6 %

6 % ของ 0.60 = 0.601006

× = 0.036 = 0.04

ดงน Cน 0.14.20.12.5

±± = 0.60 ± 0.04

สรป 1. หนวยเอสไอประกอบดวย หนวยฐาน หนวยเสรม หนวยอนพทธ และคาอปสรรค 2. หนวยฐานเปนหนวยหลกมท Cงหมด 7 หนวยคอ

2.1 ความยาว มหนวยเปน เมตร 2.2 มวล มหนวยเปน กโลกรม 2.3 เวลา มหนวยเปน วนาท 2.4 อณหภม มหนวยเปน เคลวน 2.5 กระแสไฟฟา มหนวยเปน แอมแปร 2.6 ความเขมแหงการสองสวาง มหนวยเปน แคนเดลา 2.7 ปรมาณสาร มหนวยเปน โมล

3. หนวยเสรม เปนหนวยในการวดมมคอมมในระนาบใชหนวยเรเดยนและมมตนใชหนวยสตเรเดยน

4. หนวยอนพทธ เปนหนวยทเกดจากความสมพนธของหนวยฐานหลายๆหนวยฐานมาสมพนธกน เชน หนวยของกาลงใชวตตเกดจากหนวยของงานซงเปนจลหารดวยหนวยวนาทและหนวยจลเกดจากหนวยของแรงคอนวตนคณหนวยเมตร ขณะทหนวยนวตนเกดจากหนวยกโลกรมคณกบเมตรตอวนาทตอวนาท

บทท 1 หนวยและการวด 16

5. คาอปสรรค เปนตวพหคณทใสไวขางหนาหนวยฐานหรอหนวยอนพทธเพอใหการเขยนปรมาณทมคาตวเลขมากๆหรอตวเลขนอยมากๆส Cนกะทดรด เชน 30,000 กรม(g)สามารถเขยนเปน 30 กโลกรม(kg) คาวากโล(k) หมายถง 1,000

6. การแปลงหนวย เปนการเปลยนหนวยจากหนวยระบบอนมาเปนหนวยระบบเอสไอหรอ จากระบบเอสไอเปนหนวยระบบอน โดยมการเทยบกนไดไวเชน ความยาว 1 เมตรมคา 3.281 ฟต เปนตน 7. เลขนยสาคญ คอตวเลขทไดจากการวดและไดรบการยอมรบวาเชอถอไดในทาง

วทยาศาสตร โดยเลขนยสาคญจะบอกคาความไมแนนอนมาพรอม 7.1 การบวกเลขนยสาคญ มหลกสาคญวาผลลพธจะตองมเลขหลงจดทศนยมเปนจานวน เทากบตวต Cง,ตวบวกหรอตวลบทนามาบวกหรอลบกน 7.2 การคณและหารเลขนยสาคญ มหลกสาคญคอ ผลลพธของการคณและหารจะมเลขนยสาคญเทากบเลขทนามาคณหรอหารกนตวทมเลขนยสาคญนอยทสด 8. ความผดพลาดหรอความไมแนนอนของผลลพธ องคประกอบทไดมาจากการวดยอมมความผดพลาดไดเสมอความผดพลาดนCอาจเกด จาก ตวผวด เครองมอทใชวด วธวดและสงแวดลอมขณะวด ความผดพลาดจากการวด จะบอกในรปความไมแนนอนของการวดเปนรอยละหรอเปอรเซนต

บทท 1 หนวยและการวด 17

แบบฝกหดทายบท

1. จงหาวาระยะทาง 1 กโลเมตร(km) มกไมล(mi) ถากาหนดวา 2.54 เซนตเมตรเทากบความยาว 1 นCว 2. ประมาณวาโลกมลกษณะเปนทรงกลมมรศม 6.37 x 10 6 เมตร จงหา (ก) ความยาวของเสนรอบวงในหนวยกโลเมตร (ข) พCนผวในหนวยตารางกโลเมตร (ค) ปรมาตรในหนวยลกบาศกกโลเมตร 3. ในขณะทเกดสรยปราคาแบบเตมดวง ดวงจนทรบงดวงอาทตยมดดวงพอด ถา ระยะทาง จากผสงเกตถงดวงอาทตยมความยาวเปน 400 เทา ของระยะทางจากผสงเกตถงดวง จนทร จงหา (ก) อตราสวนระหวางขนาดเสนผานศนยกลางของดวงอาทตยกบดวงจนทร (ข) อตราสวนระหวางปรมาตรของดวงอาทตยและดวงจนทร 4. จงคานวณหามวลในหนวยกรมของทองแดงทมรปรางเปนทรงกลมกลวงทมรศมภายในเปน 5.70 เซนตเมตร และรศมภายนอกเปน 5.75 เซนตเมตร เมอความหนาแนนของทองแดงเทากบ 8.93 กรมตอลกบาศกเซนตเมตร 5. ในหนงปมจานวน 365.25 วน จะเปนกวนาท 6. มนษยมกาเนดมาในโลกประมาณ 106 ป ขณะทเอกภพมอายประมาณ 1010 ป ถากาหนดวาอายของเอกภพเทยบไดเทากบ 1 วนอายการกาเนดของมนษยจะเทยบไดกวนาท 7. ระยะทาง 1 หนวยดาราศาสตร หมายถงระยะจากโลกถงดวงอาทตย มคาประมาณ 1.50 x 108 กโลเมตร กาหนดอตราเรวของแสงเทากบ 3.0 x 108 เมตรตอวนาท จงหา อตราเรวของแสงในหนวยดาราศาสตรตอวนาท 8. หนงโมเลกลของนCาประกอบดวย อะตอมไฮโดรเจน จานวน 2 อะตอม และอะตอม ออกซเจน 1 อะตอม โดยอะตอมไฮโดรเจนมมวล 1 u และอะตอมออกซเจนมมวล 16 u โดยประมาณจงหา (ก) มวลหนงโมเลกลของนCาหนวยกโลกรม (ข) จานวนโมเลกลของนCาในมหาสมทรของโลก ซงมมวล 1.4 x 1021 กโลกรม

บทท 1 หนวยและการวด 18

9. กาหนดความหนาแนนของนCาเทากบ 1 กรมตอลกบาศกเซนตเมตร ความหนาแนนของนCาจะเปนเทาใดในหนวย กโลกรมตอลกบาศกเซนตเมตร 10. จงหาเลขนยสาคญของเลขตอไปนC (ก) 56 cm (ข) 4.267 s (ค) 5.36 x 103 m/s (ง) 0.0054 m 11. รศมของวงกลมหนงวงวดไดเปน 10.5 ± 0.2 เมตร จงคานวณหา พCนทและเสนรอบวงของวงกลมนCและจงบอกความไมแนนอนในการวดของแตละปรมาณดวย 12. ถาความยาวและความกวางของแผนสเหลยมผนผาอนหนงวดไดเปน 15.30 ± 0.05 cm และ 12.80 ± 0.05 cm ตามลาดบ จงหาพCนทของแผนสเหลยมนCและคาประมาณ คาประมาณความคลาดเคลอนของพCนท

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

อนภาคทเคลอนทเปนเสนตรงจะมทศการเคลอนทเพยงสองทศทาง ซงเราสมมตใหทศทางหนงมเครองหมายเปนบวกและอกทศทางหนงจะเปนลบ แตสาหรบการเคลอนทในสามมต เครองหมายบวกหรอลบยงไมเพยงพอทจะเปนตวบอกทศทางการเคลอนทของอนภาคได น นคอการบอกทศทางการเคลอนทโดยท วๆไปเราจะใชปรมาณซงเรยกวา เวกเตอร(vector) เปนตวบอกทศทางการเคลอนท ในบทน7จะกลาวถงปรมาณเวกเตอร การบวกปรมาณเวกเตอร การคณปรมาณเวกเตอรรวมท 7งการนาปรมาณเวกเตอรไปใชในทางฟสกส ปรมาณทางฟสกส ปรมาณทางฟสกสเราสามารถจาแนกออกเปน 2 ประเภทใหญๆไดแก 1. ปรมาณสเกลาร (scalar product) คอ ปรมาณทมแตเพยงขนาดไมจาเปนตองมหรอไมอาจระบทศทางได ตวอยางปรมาณสเกลาร เชน ปรมาตร มวล อณหภม ความหนาแนน พลงงาน เวลา เปนตน 2. ปรมาณเวกเตอร (vector product) คอ ปรมาณทมท 7งขนาดและทศทาง เมอกลาวถงปรมาณน7จะตองระบท 7งขนาดและทศทาง จงจะใหความหมายไดสมบรณ ตวอยางปรมาณเวกเตอร เชน แรง ความเรว ความเรง สนามไฟฟา สนามแมเหลก เปนตน สาหรบปรมาณสเกลารน 7นสามารถกาหนดไดดวยตวเลขจานวนจรงใด ๆ จาก -∞ ถง +∞ ซงคาตวเลขน 7นจะแสดงขนาดมากนอยของปรมาณ การดาเนนการไดจากการพจารณาจากขนาดของปรมาณแตเพยงอยางเดยว สวนปรมาณเวกเตอรน 7นจะตองแสดงท 7งขนาดและทศทางของปรมาณดงน 7นการดาเนนการระหวางปรมาณเวกเตอร จงตองพจารณาท 7งขนาดและทศทางของปรมาณดวย ซงจะไดกลาวถงรายละเอยดตอไปในบทน7

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

20

ลกษณะของปรมาณเวกเตอร ลกษณะของปรมาณเวกเตอรน 7น สญลกษณของปรมาณน 7น ๆ จะระบดวยลกศร วางไว ทดานบนหรอดานลางของสญลกษณน 7นดวย ตวอยางเชน ปรมาณเวกเตอรของความเรว คอ v ปรมาณเวกเตอรของแรง คอ F

ถาตองการเขยนเฉพาะขนาดจะใชสญลกษณเดมแตไมมลกศรกากบ

หรออาจเขยนในรปของคาสมบรณเชน F หรอ F คอขนาดของ F

การแสดงปรมาณเวกเตอรดวยรปน 7น เนองจากปรมาณเวกเตอรเปนปรมาณทมท 7งขนาดและทศทาง จงใชเสนตรงทมหวลกศรแสดงปรมาณเวกเตอรได โดยความยาวของเสนตรงจะแสดงขนาดและหวลกศรทกากบเสนตรงน 7นจะแสดงทศทางของปรมาณเวกเตอรน 7น ดงรปท 2.1 y F

P 30๐

O X

รปท 2.1 การเขยนรปแสดงปรมาณเวกเตอรดวยเสนตรงทมหวลกศร จากรปท 2.1 ปรมาณเวกเตอรของแรง F

ทมขนาด 4 หนวย มทศทามม 30 องศากบแกน x จะแสดงไดดวยเสนตรง OP ทมความยาว 4 หนวย มทศทางจาก O ไป P ทามม 30 องศากบแกน x จด O เรยกวา จดเรมตน (initial point) จด P เรยกวา จดส7นสด (teminal point)

ลกษณะของปรมาณเวกเตอรในทางคณตศาสตรทสาคญ เชน 1.เวกเตอรหนวย (unit vector)

หมายถงเวกเตอรใด ๆ ทมขนาดหนงหนวย และมทศทางเดยวกนกบเวกเตอรน 7น ๆ ในการเขยนสญลกษณของเวกเตอรหนวยนยมใช อกษรตวเลกของชอเวกเตอรน 7นโดยมเครองหมาย ∧ กากบอยดานบนของอกษรตวเลกน 7น เชน เวกเตอรหนวยของ A

เปน a และสามารถเขยน

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 21

เวกเตอรใดๆในรปของเวกเตอรหนวยได เชน A เขยนไดเปน A

a หรอ A a โดย A

แทนขนาด

ของเวกเตอร A และ a แสดงทศทางของ เวกเตอร A สาหรบระบบแกนพกดฉาก(rectangular coordinate) เวกเตอรหนวยทช7บอกทศทางบวกของแกน X,Y และ Z คอ i , j และ k ตามลาดบดงแสดงในรปท 2.2 Z

k j O Y

i X รปท 2.2 แสดงเวกเตอรหนวยของระบบแกนพกดฉาก

2. เวกเตอรศนย (null vector) ใชสญลกษณ O หมายถงเวกเตอรทมขนาดเปนศนย 3. เวกเตอรเทากน เวกเตอร 2 เวกเตอรจะเทากนกตอเมอเวกเตอรท 7งสองมขนาดเทากน และมทศทางเดยวกน

A

B

รปท 2.3 เวกเตอรเทากน ( BA

= )

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

22

4. เวกเตอรตรงกนขาม เวกเตอรตรงกนขามจะแสดงดวยเครองหมายลบ เชน - A

หมายถงเวกเตอรทมขนาด

เทากบ A แตมทศทางตรงกนขามกบ A

A

A

− รปท 2.4 เวกเตอรตรงกนขาม

การรวมเวกเตอร

สมมตวาอนภาคอนหนงเคลอนทจากจด A ไปยงจด B และเลยไปถงจด C ดงรปท 2.5 เราแทนระยะกระจดของการเคลอนทดงน7 ในชวง A ถง B แทนดวย a ในชวง B ถง C แทนดวย b

B

a b

A C

s

รปท 2.5 การรวมเวกเตอร

จากรปท 2.4 เวกเตอรผลลพธของ a

และ b

คอ เวกเตอรจาก A ไป C ในทน7คอ s ซงสามารถ

เขยนไดวา s

= a + b

(2.1)

จากสมการท 2.1 หมายความวา s เปนเวกเตอรผลลพธทเกดจากการรวมกนของ a

และ b

ซงในกรณน7เปนการรวมแบบวธสรางรป

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 23

1.การรวมเวกเตอรโดยวธสรางรป การรวมเวกเตอรหลาย ๆ เวกเตอรใหเปนเวกเตอรเดยว โดยเวกเตอรทนามารวมกนเรยกวา เวกเตอรยอย เวกเตอรทเปนผลรวมเรยกวา เวกเตอรลพธ ตวอยางเชน DCBA

=++ จะเหน

วาเวกเตอรยอย คอ C,B,A

และเวกเตอรลพธคอ D

การหาเวกเตอรลพธจากการรวมเวกเตอร สามารถทจะหาไดโดยวธการสรางรปและการคานวณ การหาเวกเตอรลพธโดยวธการสรางรป กระทาไดโดยการเขยนรปของเวกเตอรตอกนโดยมหลกอยวาใหนาจดเรมตน (หางลกศร) ของเวกเตอรทสองไปตอกบจดส7นสด (หวลกศร) ของเวกเตอรแรก แลวนาจดเรมตนของเวกเตอรทสามไปตอกบจดส7นสดของเวกเตอรทสอง เชนน7เรอย ๆ ไปจนถงเวกเตอรสดทายเวกเตอรลพธจะเปนเวกเตอรทลากจากจดเรมตนของเวกเตอรแรกไปยงจดส7นสดของเวกเตอรสดทาย

C

D

A

B

C

B

A

รปท 2.6 การหาเวกเตอรลพธโดยวธสรางรป

จากรปท 2.6 เวกเตอรยอยทนามารวมกนคอ C,B,A

เวกเตอรลพธ คอ D

จะไดวา

CBAD

++= การหาขนาดของเวกเตอรลพธจากการสรางรปน7จะใชวธใชไมบรรทดวดความยาว โดยความยาวทวดไดจะเปนขนาดของเวกเตอรผลลพธซงมหนวยเดยวกบเวกเตอรยอย หรออย ในสดสวนเดยวกนกบเวกเตอรยอยทนามารวมกนน 7น ทศทางของเวกเตอรลพธมทศทางจากจดเรมตนของเวกเตอรยอยตวต 7ง ช7ไปยงจดส7นสดของเวกเตอรยอยตวสดทาย

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

24

ตวอยางท 2.1 จงเขยนเวกเตอร P และเวกเตอร Q โดย P = j3i2 ˆˆ + และ

Q = j2i4 ˆˆ + และจงรวมเวกเตอรท 7งสองโดยการเขยนรป

วธทา Y 3 P

Q

0 2 4 X รปท 2.7 แสดงรปของ P

และ Q

ถาเราจะหาเวกเตอรผลลพธโดยการสรางรปทาไดโดยนา Q

มาตอ P ดงรปท 2.8

Y 5 Q

3 P

R

1 0 2 4 6 X รปท 2.8 การรวม P

และ Q ไดผลลพธเปน R

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 25

จากรปท 2.7 ถานา Q มาตอ P

จะไดผลลพธเปน R เขยนเปนสมการได

P + Q = R

และจากรป R

= j5i6 ˆˆ + 2. การรวมเวกเตอรโดยการคานวณ สาหรบการหาเวกเตอรลพธโดยวธการคานวณ

น 7น กระทาไดโดยวธความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต ของเวกเตอรยอยทละค

α C

B

β θ

A

รปท 2.9 การหาเวกเตอรลพธโดยวธคานวณ จากรปท 2.9 เวกเตอรจากการรวมเวกเตอรยอย A

และ B

คอ C

จะไดวา BAC

+= (2.2)

โดยท A

และ B

ทามมกน θ จะคานวณหาขนาดของเวกเตอรลพธ C

ไดจากความสมพนธ

cosAB2BAC22 ++= θ (2.3)

และหาทศทางของเวกเตอรลพธ C

ไดจากกฎของไซน (law of sine) โดยพจารณา

จากรปท 2.9 จะไดวา

( )θ−=β

=α °180sin

C

sin

B

sin

A (2.4)

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

26

ซงจากสมการท (2.2) จะไดขอสงเกตของขนาดเวกเตอรลพธดงน7 (1) ถา A

และ B

มทศทางเดยวกน ( )°=θ 0 จะไดวา C = A + B โดยท C

จะมทศทางเดยวกนกบ A

และ B

(2) ถา A

และ B

มทศตรงกนขาม ( )°=θ 180 และ A > B แลว C = A – B

โดยท C

จะมทศทางเดยวกนกบ A

และในกรณท B > A แลว C = B – A โดยท C จะม

ทศทางเดยวกนกบ B

(3) ถา A

และ B ต 7งฉากกน ( )90=θ จะไดวา 22 += BAC โดยท C

จะมทศทามมกบ A เปนมม

A

Btan =β

ขอสงเกตการรวมเวกเตอรกคอการบวกและการลบเวกเตอร ซงการบวกเวกเตอรน 7น เปนการรวมเวกเตอรยอยหลายเวกเตอรใหเปนเวกเตอรลพธเวกเตอรเดยว โดยบวกกนตามสวนประกอบของมตหรอคลาดบชนดตวตอตวสวนการลบเวกเตอรน 7นกเชนเดยวกนกบการบวกเวกเตอรเพยงแตกระทาใหเวกเตอรทจะนาไปบวกเปนเวกเตอรตรงกนขาม ตวอยางเชน A

- B

กคอ A + ( - B

) น นเอง ดงรปท 2.10 B

- B - B

A A

A

- B

รปท 2.10 การลบเวกเตอร

สรปกฎการรวมเวกเตอร โดยกาหนด C,B,A เปนปรมาณเวกเตอร n,m เปน

ปรมาณ สเกลาร จะไดวา (1) ABBA

+=+

(2) ( ) ( ) CBACBA

++=++ (3) mAAm

=

(4) ( ) ( ) AmnAnm

= (5) ( ) AnAmAnm

+=+

(6) ( ) BmAmBAm

+=+

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 27

การแยกเวกเตอร 1. การแยกเวกเตอรเปนเวกเตอรยอย เวกเตอรใดๆเราสามารถทาใหเวกเตอรน 7นแยกเปน

เวกเตอรยอยหลาย ๆ เวกเตอร ดงน 7นการแยกเวกเตอรกคอกระบวนการทตรงกนขามกบการรวมเวกเตอรน นเอง จะกลาวถงวธแยกเวกเตอรออกเปนเวกเตอรยอยโดยพจารณาเวกเตอรทอยในระบบพกดฉาก ท 7งใน 2 มต และ 3 มต ในกรณ 2 มต พจารณาเวกเตอร A

ในระนาบ XY มทศทามมกบแกน x และ y เปนมม θ และ φ ตามลาดบ ตองการแยก A

เปนเวกเตอรยอยตามแนวแกน x และ y จะสามารถกระทาไดโดยการฉายเงาของ A

ในแนวต 7งฉากกบแกนท 7งสอง โดยเงาของ A ตดต 7งฉากบนแกน x จะ

เปนเวกเตอรยอยของ A บนแกน x คอ xA

และทานองเดยวกบเงาของ A ตดต 7งฉากบนแกน

y จะเปนเวกเตอรยอยของ A บนแกน y คอ yA

Y yA

A

φ θ xA

X

รปท 2.11 การแยกเวกเตอรใน 2 มต

จากรปท 2.11 จะไดความสมพนธวา yx AAA

+=

หรอเขยนในรปเวกเตอรหนวยไดเปน jAiAA

yx+=

โดยท φ=θ= sinAcosAAx φ=θ= cosAsinAA y ดงน 7น jsinAicosAA θ+θ=

หรอ jAcosiAsinA φ+φ=

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

28

และจะไดความสมพนธของขนาดของ A กบ xA

และ yA เปน

222 += yx AAA ในกรณ 3 มต พจารณาเวกเตอร A

ในปรภม (space) x, y, z มทศทามมกบแกน x, y, z เปนมม γβα ,, ตามลาดบ ตองการแยก A

เปนเวกเตอรยอยตามแนวแกน x, y, z จะสามารถกระทาไดในทานองเดยวกนกบกรณ 2 มต จะไดเวกเตอรยอยของ A

ตามแนวแกน x, y, z เปน zyx A,A,A

ตามลาดบ ดงรปท 2.12 Z zA

α A

yA O Y β xA X รปท 2.12 การแยกเวกเตอรใน 3 มต จากรปท 2.12 จะไดความสมพนธวา zyx AAAA

++=

หรอเขยนในรปเวกเตอรหนวยตามแนวแกน x, y, z เปน kAjAiAA

zyx++=

โดยท βα= cossinAAx βα= sinsinAA y γβ= cosAsin α= cosAAz

γ

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 29

ดงน 7น A

= kAcosjsinAsinicossinA α+βα+βα และจะไดความสมพนธของขนาดของ A

กบ zyx A,A,A เปน

2222 ++= zyx AAAA φθ cos, cos ในกรณ 2 มต และ γβα cos, cos, cos ในกรณ 3 มต เรยกวา โคไซนแสดงทศทาง (direction cosine) สวน zyx A,A,A

เรยกวา โพรเจกชน (projection) ของ A บนแกน x, y, z ตามลาดบ

2. การรวมเวกเตอรยอยทอยในรปของเวกเตอรหนวย ถาเวกเตอรทเราพจารณาอยในรปของเวกเตอรหนวยของระบบพกดฉากเราจะสามารถนาเวกเตอรเหลาน 7นมารวมกนอยางงายๆคอ นาคาเวกเตอรทอยในทศเดยวกนมามาบวกลบกนตามเครองหมายแลวจะไดเปนเวกเตอรผลลพธ พจารณา A

= kˆˆA x zyAjAi ++ และ B

= kˆˆBx zyBjBi ++

ให C = A

+ B จะได

C = k(Aj(Ai)B(A

zyxxˆ)Bˆ)Bˆ

zy +++++ ตวอยางท 2.2 จงหา P

- Q ถากาหนดให

P = k6j7-i5 ˆˆˆ +

Q = k8-i2 ˆˆ

วธทา ให R

= P - Q

R = ( k6j7-i5 ˆˆˆ + ) – ( k8-i2 ˆˆ )

= (5-2) i + (-7-0) j + (6-(-8)) k R

= 3 i -7 j +14 k การคณเวกเตอร

1. การคณปรมาณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลาร ถากาหนดให A

เปนปรมาณเวกเตอร และ m เปนปรมาณสเกลาร ผลคณของ m กบ A คอ m A

จะเปนปรมาณเวกเตอรใหมทมขนาดเปน m เทาของ A และมทศทางข7นกบลกษณะ

ของ m กลาวคอ ถา m >0 แลว m A จะมทศทางเดยวกนกบ A

และถา m < 0 แลว m A

จะมทศทางตรงกนขามกบ A

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

30

2. การคณปรมาณเวกเตอรดวยปรมาณเวกเตอร

การคณเวกเตอรสองเวกเตอรจะใหผลคณ 2 ลกษณะ คอ ผลคณเชงสเกลาร (scalar product หรอ dot product) และผลคณเชงเวกเตอร (vector product หรอ cross product) 2.1 ผลคณเชงสเกลาร การคณเวกเตอรสองเวกเตอรทใหผลคณเปนปรมาณสเกลาร เรยกวา การดอท(dot) ใชสญลกษณ • ตวอยางเชนการคณเวกเตอรสองเวกเตอรคอ A

กบ B ทให

ผลคณเชงสเกลารคอ BA

• อานวา A ดอท B

นยามวา θ=• cosBABA

(2.5) โดยท A

และ B คอ ขนาดของ A

และ B ตามลาดบ θ คอ มมระหวาง A

และ B

โดย ( )πθ≤ ≤0 น นคอ BA

• จะเปนปรมาณสเกลารทมขนาดเทากบผลคณของขนาดเวกเตอรท 7งสองคณกบโคไซนของมมระหวางเวกเตอรท 7งสอง กาหนด C,B,A

เปนปรมาณเวกเตอร i, j , k เปนเวกเตอรหนวยตามแนวแกน x, y, z ตามลาดบ และ m เปนปรมาณสเกลาร จะสรปสมบตผลคณเชงสเกลารดงน7

(1) ABBA

•=• (2) ( ) CABACBA

•+•=+•

(3) ( ) ( )mmmm BABABABA

•=•=•=• (4) 1kkjjii =•=•=• ˆˆˆˆˆˆ 0ikkjji =•=•=• ˆˆˆˆˆˆ

(5) กาหนด kji ˆAˆAˆAA zyx ++=

kji ˆBˆBˆBB zyx ++=

จะได zzyyxx BABABABA ++=•

2222 ++==• zyx AAAAAA

2222 ++==• zyx BBBBBB

(6) ถา 0=• BA

โดยท A และ B

ไมใชเวกเตอรศนยแลวแสดงวา A และ B

ต 7งฉากกน

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 31

2.2 ผลคณเชงเวกเตอร

การคณเวกเตอรสองเวกเตอรใหผลคณเปนปรมาณเวกเตอร เรยกวา การครอส(cross) ใชสญลกษณ × ตวอยางเชนการคณเวกเตอรสองเวกเตอร คอ A

และ B ทใหผลคณเชง

เวกเตอรคอ BA

× อานวา A ครอส B

นยามวา

nsinBABA θ=×

(2.6)

โดยท A และ B

คอขนาดของ A และ B

ตามลาดบ θ คอมมระหวาง A กบ B

( )πθ≤≤0 และ n คอเวกเตอรหนวยทมทศต 7งฉากกบระนาบของ A

, B ตามกฎมอขวา จาก

นยามในสมการท 2.5 จะเหนวา BA

× จะเปนปรมาณเวกเตอรทมขนาดเทากบผลคณของขนาดเวกเตอรท 7งสองคณกบไซนของมมระหวางเวกเตอรท 7งสอง และมทศทางในทศต 7งฉากกบระนาบของเวกเตอรท 7งสองตามกฎมอขวา กลาวคอ “กาน7วท 7งสของมอขวายกเวนน7วหวแมมอ ใหรอบแกนซงต 7งฉากกบระนาบของเวกเตอรทคณกน โดยใหน7วท 7งสวนตามมมทเลกทสดจากเวกเตอรแรกไปยงเวกเตอรหลง เหยยดน7วหวแมมอใหต 7งฉากกบระนาบดงกลาวจะแสดงทศทางของเวกเตอรทเปนผลคณ”

BAC

×=

B

θ A

รปท 2.13 การแสดงทศทางของผลคณเชงเวกเตอรตามกฎมอขวา

ถากาหนด C,B,A

เปนปรมาณเวกเตอร i, j , k เปนเวกเตอรหนวยตาม

แนวแกน x, y, z ตามลาดบ และ m เปนปรมาณสเกลาร จะสรปสมบตของผลคณเชงเวกเตอร ดงน7

(1) BA

× = AB-

× (2) ( ) CABACBA

×+×=+×

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

32

(3) ( ) ( ) ( ) ( )mmmm BABABABA

×=×=×=×

(4) 0kkjjii =×=×=× ˆˆˆˆˆˆ

jik

ikj

kji

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

=×

=×

=×

(5) กาหนด kji ˆAˆAˆAA zyx ++=

kji ˆBˆBˆBB zyx ++=

จะได =× BA (AyBz – AzBy) i + (AzBx – AxBz) j +(AxBy – AyBx) k

หรอเขยนในรปตวกาหนด (determinant) อนดบ 3 คอ

=× BA

x

x

B

A

i

y

y

B

A

j

z

z

B

A

k

(6) ขนาดของ BA

× กคอพ7นทขอบรปสเหลยมดานขนานทมความยาวของดานเปน A และ B

(7) ถา BA

× 0= โดยท A และ B

ไมใชเวกเตอรศนย แลวแสดงวา A

และ B ขนานกน

3. การคณปรมาณเวกเตอรสามเวกเตอร การคณเวกเตอรสามเวกเตอรจะใหผลคณ 2 ลกษณะเชนเดยวกน คอ ผลคณเชงสเกลารสามช 7น (triple scalar product) และ ผลคณเชงเวกเตอรสามช 7น (triple vector product) 3.1 ผลคณเชงสเกลารสามช 7น คอการคณปรมาณเวกเตอรสามเวกเตอรทใหผลคณเปนปรมาณสเกลารเมอกาหนดเวกเตอรสามเวกเตอรคอ C,B,A

จะนยามผลคณเชงสเกลารสามช 7นเปน ( )CBA

ו วธดาเนนการจะทาการครอสสองเวกเตอรกอน ซงผลทไดจะเปนปรมาณเวกเตอร เมอนาไปดอทกบเวกเตอรทสาม จะไดผลคณสดทายเปนปรมาณสเกลาร ซงผลคณเชงสเกลารสามช 7นน7 จะเทากบปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทมความยาวของดานเปน A, B และ C

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 33

)CB(A

ו = Ax Ay Az

Bx By Bz Cx Cy Cz

A n

H

C

B

รปท 2.14 ผลคณเชงสเกลารสามช 7น

จากรปท 2.14 ให n เปนเวกเตอรหนวยทช7ต 7งฉากกบระนาบของ B

และ C และให h เปนความสงของรปทรงสเหลยมดานขนาน ซงจะยาวเทากบภาพฉายของ A

ในทศของ n ดงน 7น h คอองคประกอบของ A

ในทศ n หรอทศทต 7งฉากกบระนาบของ B และ C

หรอต 7งฉากกบฐานของรปทรงสเหลยมดานขนานทมดานประกอบ A

, B และ C

ปรมาตรของรปทรงสเหลยามดานขนาน = ความสง x พ7นทฐาน ถา V เปนปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานจะได

V = h CB

× แต h = nA •

ดงน 7น V = ( nA •

) CB

× V = nCBA

ו

แต nCB

× = ( θsinBC ) n = CB

× น นคอ V = )CB(A

ו

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

34

สรปสมบตของผลคณเชงสเกลารสามช 7นดงน7

(1) ( ) ( ) ( )BACACBCBA

ו=ו=ו (2) ถา C,B,A

อยในระนาบเดยวกน แลว ( ) 0=ו CBA

(3) ถาเวกเตอรคใดคหนงในผลคณเชงสเกลารสามช 7นเทากนจะไดวา ( ) ( ) ( ) 0=ו=ו=ו CBCBBACAA

3.2 ผลคณเชงเวกเตอรสามช Bน คอ การทเวกเตอรสามเวกเตอรคณกนแลวไดผลคณเปนปรมาณเวกเตอร เมอกาหนดเวกเตอรสามเวกเตอร คอ C,B,A

จะนยามผลคณเชงเวกเตอรสามช 7นเปน )CB(A

×× วธดาเนนการจะกระทาไดโดยการครอสเวกเตอรคใดกอนกได ซงผลทไดจะเปนปรมาณเวกเตอรเมอนาไปครอสกบเวกเตอรทสาม กจะไดผลคณสดทายเปนปรมาณเวกเตอร ผลลพธของการคณเวกเตอรสามช 7นคอ )CB(A

×× = ( B)CA

• - ( C)BA

• (2.8)

สาหรบผลคณเวกเตอรสามช 7นพบวา )CB(A

×× ≠ ( C)BA

××

เนองจาก )CB(A

×× = - A)CB(

××

จากสมการท 2.7 ดงน 7น A)CB(

×× = ( C)BA

• - ( B)CA

•

และ ( C)BA

×× = B)AC(

• - A)BC(

• ( C)BA

×× = B)CA(

• - A)CB(

•

น นคอ )CB(A

×× ≠ ( C)BA

××

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 35

ตวอยางท 2.3 จงหาขนาดของ A

+ B และหาเวกเตอรหนวยของ A

+ B เมอกาหนด

A = k5j3-i2 ˆˆˆ +

B = k4-ji3 ˆˆˆ +

วธทา ให C

= A + B = kj2-i5 ˆˆˆ +

C = 222

1)-25 ++ ( = 30 ให c เปนเวกเตอรหนวยของ C

c = CC

= 30

kj2-i5 ˆˆˆ +

ตวอยางท 2.4 จงหาคาของ x ททาใหเวกเตอร P และเวกเตอร Q ต 7งฉากกนเมอกาหนดให P

= 5 k2j3i ˆˆˆ ++ Q

= kxj-i3 ˆˆˆ + วธทา P

และ Q จะต 7งฉากกนเมอ QP

• = 0

QP

• = (5 ()k2j3i •++ ˆˆˆ kxj-i3 ˆˆˆ + ) = 0 = 15 – 3 + 2x = 0 x = - 6

ตวอยางท 2.5 จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน ทดานประกอบดวยเวกเตอร

A = k-j3i2 ˆˆˆ + , B

= k2j2-i ˆˆˆ + , C = k2-j-i3 ˆˆˆ

วธทา จากผลคณเชงสเกลารสามช 7นเปนปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทมสามเวกเตอรเปนดาน V = )CB(A

ו

CB

× = k5j8i6 ˆˆˆ ++ )CB(A

ו = ( k-j3i2 ˆˆˆ + () • k5j8i6 ˆˆˆ ++ )

V = 12+24-5 = 31 ลกบาศกหนวย

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

36

ตวอยางท 2.6 กาหนดให A

= ji ˆˆ + , B = kj3-i2 ˆˆˆ + และ

C = k3-j4 ˆˆ

จงหา )CB(A

×× วธทา )CB(A

×× = ( B)CA

• - ( C)BA

•

)CA(

• = ( )k3-j(4)ji ˆˆˆˆ •+ = 4

B)CA(

• = 4( kj3-i2 ˆˆˆ + ) = k4j12-i8 ˆˆˆ + )BA(

• = ( )kj3-i(2)ji ˆˆˆˆˆ +•+ = 2-3 = -1

C)BA(

• = (-1)( k3-j4 ˆˆ ) = k3j4- ˆˆ + ดงน 7น )CB(A

×× = ( k4j12-i8 ˆˆˆ + ) – ( k3j4- ˆˆ + )

= kj8-i8 ˆˆˆ + อนพนธของเวกเตอร สมมตให u เปนปรมาณสเกลารทแปรคาได และ A

เปนเวกเตอรทเปนฟงกชนของ u ซงสามารถเขยนสญลกษณของ A

ทเปนฟงกชนของ u เปน )(A u หลงจากทไดใหคาจากดความแลวก

อาจเขยน A เฉยๆแทนได โดยละ (u) ไวในฐานเขาใจ

อนพนธ(derivative)ของ A ใหนยามดงน7

duAd

= lim0u→∆ u

(u)A-u)u

∆∆

+(A (2.9)

ถา u)(A

= k(u)Aju)Aiu)zy

ˆˆ(ˆ(A x ++ อนพนธอนดบหนงของ A

เปน

duAd

= kdu

dAjdu

dAidu

dAzyx ˆˆˆ ++ (2.10)

และอนพนธอนดบสองของ A เปน

2

2

du

d A

= kdu

Adj

du

Adi

du

Ad2

z

2

2

y

2

2

x

2

ˆˆˆ ++ (2.11)

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 37

สตรการหาอนพนธทสาคญคอ

(1) dxdc = 0 เมอ c คอคาคงท

(2) dxdx = 1

(3) dxd (u+v+w) = dx

dwdxdv

dxdu

++

(4) dxd (cv) = c dx

dv

(5) dxd (uv) = v dx

du +u dxdv

(6) dxd ( n

v ) = nvn – 1 dxdv

(7) dxd ( v

u ) = 2v

dxdv

u-dxdu

v

(8) dxd ( c

u ) = dxdu

c1

(9) dx

dy = ))(( dx

dvdv

dy

(10) dx

dy =

dydx1 โดย dy

dx ตองไมเทากบ 0

(11) dxd (ln v) = dx

dvv1

(12) dxde

n

= en dxdn

(13) dxd sin θ = cos θ

dx

dθ

(14) dxd cos θ = - sin θ

dx

dθ

(15) dxd tan θ = sec2 θ

dx

dθ

(16) dxd cot θ = -csc2 θ

dx

dθ

(17) dxd sec θ = (sec θ )(tan θ )

dx

dθ

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

38

ตวอยางท 2.7 กาหนดให A

= 5 i - sin t j และ B = cos2t i + 3 j

จงหา dtd ( BA

• )

วธทา BA

• = (5 i - sin t j )•( cos2t i + 3 j )

= 5cos2t - 3sint

dtd ( BA

• ) = -10sint – 3cost

กฎตางๆทสาคญของการหาอนพนธเวกเตอรพจารณาไดดงน7 ให (u)A

และ (u)B เปนเวกเตอรซงเปนฟงกชนของ u

φ (u) เปนปรมาณสเกลารทเปนฟงกชนของ u จะไดกฎตางๆดงน7

)A(du

d

φ = du

AdA

du

d

φ+φ (2.12)

)BA(

•dud = du

BdduAd

•+• AB (2.13)

)BA(

×dud = du

BdduAd

×+× AB (2.14) ปรพนธของเวกเตอร กาหนดให u)(A

= k(u)Aju)Aiu)zy

ˆˆ(ˆ(A x ++ เปนเวกเตอรซงเปนฟงกชนของ u การหาปรพนธแบบไมมขดจากด(infinite integral)ของ A

คอ

u)du (A∫ = du Akdu Ajdu Ai

zyx∫+∫+∫ ˆˆˆ

ถา u)dud

(B = u)(A

จะไดวา

u)du (A∫ = du(u)du

d B

∫

= (u)Bd

∫

น นคอ u)du (A∫ = C(u)

+B (2.15)

โดย C

เปนเวกเตอรคงทไมข7นอยกบ u

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 39

ในกรณการปรพนธทมขอบเขตจากด(finite integral) เชน จากคา u = a ถง u = b เรยก a วาเปน ขอบเขตลาง(lower limit) และเรยก b วา ขอบเขตบน(upper limit) ดงน 7นเมอแทนคา u ในสมการ 2.14 จะได

b

a ∫ (u)duA

= [ ]baCB

+(u) = )C(a)B(-)C(b)

++B(

= (a)B-(b)

B

สตรการปรพนธทใชบอยไดแก

(1) d∫ f(x) = f(x) + C

(2) a∫ du = a du∫ = a(u+c)

(3) ∫ (du ± dv ± dw ∫ ...) = du∫ ± dv∫ ± dw ± ….

(4) nu∫ du = C

1n

u1n

++

+

(n ≠ -1)

(5) u

du∫ = In u + C

(6) dueau∫ = C

a

eau

+

(7) ∫ sinu du = -cosu + C

(8) ∫ cosu du = sinu + C

(9) ∫ tanu du = -In cosu + C

(10) ∫ tanu du = -In cosu + C

(11) ∫ secu du = In (secu + tanu) + C

(12) ∫ cscu du = In (cscu - cotu) + C

(13) ∫ sec2 u du = tanu + C

(14) ∫ csc2u du = -cotu + C

(15) ∫ secu tanu du = secu + C

(16) ∫ cscu cotu du = -cscu + C

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

40

เกรเดยนต ไดเวอรเจนซ และเครล ในการแกปญหาทางฟสกสบางคร 7งเราตองเปลยนฟงกชนทเปนสเกลารใหเปนเวกเตอร หรอจะเปลยนฟงกชนทเปนเวกเตอรใหเปนสเกลารไดน 7น เราจะตองอาศยตวดาเนนการทางคณตศาสตรซงเรยกวาตวดาเนนการเดล (del operator) ใชสญลกษณ ∇

โดยนยามวา

∇

= X∂∂

i +y ∂∂

j + z ∂∂

k (2.16)

1. เกรเดยนต(gradiant) เปนวธนาเอาตวดาเนนการเดล มาทาใหฟงกชนทเปนสเกลารเปนฟงกชนเวกเตอร เชน ให ψ (x,y,z) เปนฟงกชนสเกลารใดๆเราสามารถทาใหฟงกชนน7เปนฟงกชนแบบเวกเตอรโดยใชตวดาเนนการเดล

∇

ψ = X ∂

∂ψi +

y ∂

∂ψj +

z ∂

∂ψk (2.17)

สมการท 2.17 คา ∇

ψ เรยกวา เกรเดยนตของ ψหรอ grad ψ ซงเปนปรมาณเวกเตอร

2. ไดเวอรเจนซ(divergence) เปนการนาตวดาเนนการเดลมาทาใหฟงชนกเวกเตอรเปลยนเปน ฟงกชนสเกลาร ให A

= kAjAizyˆˆˆA x ++ เปนฟงกชนเวกเตอรใดๆ เราสามารถทาให A

เปนฟงกชนสเกลารโดยใชตวดาเนนการเดลคอ

A

•∇ = ( x∂∂

i +y ∂∂

j + z ∂∂

k )•( kAjAizyˆˆˆA x ++ )

A

•∇ = x

∂∂ xA

+ y

Ay

∂

∂ +

z

∂∂ zA

(2.18)

คา A

•∇ ในสมการท 2.17 เรยกวา ไดเวอรเจนซของ A หรอ div A

3. เครล(curl) เปนการนาเอาตวดาเนนการเดลมาครอสกบฟงกชนเวกเตอร โดยไดผลลพธเปนเวกเตอร เชน กาหนดให A

= kAjAizyˆˆˆA x ++ เราสามารถหาเครล A ซงใช

สญลกษณเปน A

×∇ คอ

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 41

i j k

A

×∇ = x∂∂

y ∂∂

z ∂∂

(2.19)

Ax Ay Az ในเรอง เกรเดยนต ไดเวอรเจนซและ เครล มคณสมบตสาคญคอ div curl A

= )A(

×∇•∇ = 0 (2.20) curl grad ψ = )( ψ∇×∇

= 0 (2.21) ตวอยางท 2.8 จงหาไดเวอรเจนซ ของ เวกเตอรบอกตาแหนง r

= kzjyix ˆˆˆ ++ วธทา

r

•∇ = ( x∂∂

i +y ∂∂

j + z ∂∂

k )•( kzjyix ˆˆˆ ++ )

= x

x

∂ ∂

+ y

y

∂∂

+ z

z

∂∂

= 3

สรป 1. ปรมาณทางฟสกสประกอบดวย 1.1 ปรมาณสเกลารอธบายดวยขนาดทแทนดวยพชคณตเพยงอยางเดยว ตวอยางของปรมาณสเกลารไดแก เวลา ระยะทาง พ7นท อตราเรว พลงงาน เปนตน

1.2 ปรมาณเวกเตอร ตองอธบายดวยขนาดและทศทางจงจะสมบรณ เชน ความเรว แรงความเรง ระยะกระจด เปนตน 2. ลกษณะของเวกเตอร การเขยนสญลกษณแทนเวกเตอรใชตวอกษรสญลกษณและมลกศรอยดานบน เชน A

, B

การเขยนสญลกษณเพยงอยางเดยวไมสามารถบอกรายละเอยดของเวกเตอรไดจะตองเขยนรปเสนตรงหวลกศร โดยความยาวของเสนตรงแทนขนาดของเวกเตอร ทศทางของเสนตรงคอทศของหวลกศร 2.1 เวกเตอรเทากน เวกเตอรสองเวกเตอรจะเทากนไดเมอขนาดเทากนและอยในทศทางเดยวกนเทาน 7น

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

42

2.2 เวกเตอรหนวย คอเวกเตอรยอยทมขนาดเทากบ 1 หนวยโดยมทศช7ในทศของเวกเตอรหลก วธการน7ทาใหเราสามารถเขยนสญลกษณแทนเวกเตอรทประกอบดวยขนาดและทศทาง ไดคอ A

สามารถเขยนไดเปน A a โดย A หมายถงขนาดของ A

และ a หมายถง

ทศทางของ A

มทศตามเวกเตอรหนวย a 2.3 เวกเตอรตรงกนขาม หมายถงเวกเตอรทมขนาดเทากนแตมทศตรงกนขามกน

3. การรวมเวกเตอร หมายถงการนาเวกเตอรต 7งแตสองเวกเตอรข7นไปมาบวกกน ม 2 วธคอ 3.1 วธการเขยนรป ทาไดโดยรปนาสวนทายเวกเตอรตวบวกมาตอหวลกศรเวกเตอรตวต 7ง ถามตวบวกหลายตว จะนาเวกเตอรตวบวกตวตอไปมาตอเวกเตอรตวบวกกอนหนาน 7นและทาเชนน7ไปเรอยๆไปจนหมดเวกเตอรตวบวก เวกเตอรผลลพธหาไดจากการ ลากเสนตรงจากทายเวกเตอรตวต 7งไปหาหวลกศรของเวกเตอรตวบวกตวสดทาย

3.2 วธคานวณ ขนาดของเวกเตอรผลลพธของ สองเวกเตอรหาไดจากสมการ

C2 = A2 + B2 + 2ABcosθ

C

α B

β θ

A

รปท 2.15 ทศทางของเวกเตอรผลลพธ ทศทางของ C

หาไดจาก

( )θ−=β

=α °180sin

C

sin

B

sin

A

4. การแยกเวกเตอร เปนการแยกเวกเตอรออกเปนเปนเวกเตอรยอย และเมอนาเวกเตอร

ยอย มารวมกนอกคร 7งหนงจะไดเวกเตอรอนเดมกอนแยก

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 43

5. การคณเวกเตอร ไดผลลพธการคณเปนสองกรณคอ 5.1 ผลลพธเปนปรมาณสเกลาร เรยกวา ผลคณเชงสเกลาร เชน A

คณดวย B

จะได C

C

= BA

• = ABcos θ

θ คอมมระหวาง A

และ B

ซงอยระหวาง 0 ถง 90 องศา 5.2 ผลลพธเปนปรมาณเวกเตอร เรยกวาผลคณเชงเวกเตอร เชน A

คณดวย B

จะได C

C

= A

X B = n ABsin θ

n เปนเวกเตอรหนวยทต 7งฉากกบ A

และ B และเปนไปตามกฎมอขวา

ถา i , j และ k เปนเวกเตอรหนวยทมทศตามแกน +X,+Yและ +Z ตามลาดบ สามารถหา ผลคณเชงเวกเตอรและผลคณเชงสเกลาร ซงกนและกนดงน7

0kkjjii =×=×=× ˆˆˆˆˆˆ

jik

ikj

kji

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

=×

=×

=×

1kkjjii =•=•=• ˆˆˆˆˆˆ , 0ikkjji =•=•=• ˆˆˆˆˆˆ 6. ผลคณเวกเตอรสามเวกเตอรแยกเปนสองกรณคอ 6.1 ผลคณเชงสเกลารสามช 7น คอ )CBA

ו ( คาน7เปนปรมาณสเกลารและ

เทากบปรมาตรของรปทรงสเหลยมทมเวกเตอรท 7งสามเปน ดานของรปทรงสเหลยม 6.2 ผลคณเชงเวกเตอรสามช 7น คอ )CBA

×× ( = ( C)BA(-B)CA

••

7. อนพนธของเวกเตอร คอการนาเวกเตอรมาหาอนพนธเทยบกบตวแปรทไมทราบคา 8. ปรพนธของเวกเตอร คอการรวมฟงกชนเวกเตอรตามตวแปรยอย 9. การนาตวดาเนนการใชกบฟงชนกเวกเตอรหรอฟงกชนสเกลารทาได 3 แบบคอ 1. เกรเดยนต เปนการทาใหฟงกชนสเกลาร เปนเวกเตอรฟงกชน โดยใชตวดาเนนการเดล หาไดจาก

∇

ψ = X ∂

∂ψi +

y ∂

∂ψj +

z ∂

∂ψk

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

44

2. ไดเวอรเจนซ เปนการทาใหฟงกชนเวกเตอรเปนฟงกชนสเกลาร โดยใชตวดาเนนการ

A

•∇ = x

∂∂ xA

+ y

Ay

∂

∂ +

z

∂∂ zA

3. เครล เปนการนาเอาตวดาเนนการเดล มาครอสกบเวกเตอรซงจะไดผลลพธเปนเวกเตอรเชนเดม i j k

A

×∇ = x∂∂

y ∂∂

z ∂∂

Ax Ay Az 10. สมบตทสาคญของ เกรเดยนต,ไดเวอรเจนซและเครล div curl A

= )A(

×∇•∇ = 0 curl grad ψ = )( ψ∇×∇

= 0

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร 45

แบบฝกหดทายบท

1.ชายผหนงกล7งลกหนสามคร 7งลงหลมพอด คร 7งแรกกล7งไปทางเหนอไดระยะทาง 12 เมตร คร 7ง ทสองกล7งไปทางตะวนออกเฉยงใตไดระยะทาง 6 เมตร และคร 7งทสามกล7งไปทางตะวนตก เฉยงใตไดระยะทาง 3 เมตร จงหาวาถากล7งลกหนเพยงคร 7งเดยวใหลงหลมจะตองกล7งลกหนเปนระยะทางเทาใด 2. เวกเตอรสองเวกเตอรขนาด 6 และ 9 หนวย จงหาขนาดและทศทางของผลบวกของเวกเตอร น 7นเมอเวกเตอรท งสองทามมกน 60 องศา 3. จงหา P

+ Q

โดยวธสรางรป และหาขนาดของแรงลพธเมอกาหนดขนาดของแรงดงน7 P = 6 หนวย Q = 4 หนวย

Q

60 P

รปท 2.16 อธบายโจทยขอ 3 4. กลองรปทรงสเหลยมน7าหนก 50 นวตน วางนงอยบนผวพ7นเอยง ดงรปท 2.17 จงหาขนาดและเขยนองคประกอบของแรงน7าหนกในแนวขนานและต 7งฉากกบพ7นเอยง W

= 50 N

37 รปท 2.17 อธบายโจทยขอ 4

บทท 2 เวกเตอรและสเกลาร

46

5. ถา BA

+ = k6j3-i11 ˆˆˆ + และ B-A

= k2-ji4 ˆˆˆ + จงหา A

และ B

6. จงหาขนาดและมมท R

ทากบแกน X เมอ R

= 6 j12-i ˆˆ

7. วตถกอนหนงเคลอนทจากจด A ซงมตาแหนงในระบบแกนพกดฉากเปน (20,15,0) หนวยกโลเมตร ไปยงจด B ซงมพกดเปน (0,0,7) หนวยกโลเมตร โดยมแรง กระทา ตอวตถเปน F

= k3ji2 ˆˆˆ ++ นวตน

ถางานกาหนดจาก W = SF

• หนวยของงานถาแรงมหนวยเปนนวตนและระยะ กระจด(S)มหนวยเปนเมตร งานจะมหนวยเปน จล จงหางานจากแรงกระทาน7 8. กาหนด M

= k5-j3i4 ˆˆˆ + และ N

= k3j2-i2 ˆˆ + จงหามมระหวาง M

และ N

9. จงหาเวกเตอรหนวยในทศทางของเวกเตอร M

- N

เมอกาหนดให M

= k2-j3i3 ˆˆˆ + และ N

= k2j-i5 ˆˆˆ +

10. จงหาคาของ a ทจะทาใหเวกเตอร k5j3-i2 ˆˆˆ + และ kj3-ia ˆˆˆ + ต 7งฉากกน 11. กาหนดให A

= k3j-i2 ˆˆˆ + , B

= kj3-i2 ˆˆˆ + และ C

= k-j4-i ˆˆˆ จงหา

ก. )CB(A

ו ข. )CB(A

×× 12. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน(parallelepiped) ทมดานประกอบดวย เวกเตอรตอไปน7 A

= j-i3 ˆˆ , B

= k2j ˆˆ + , C

= k4j5i ˆˆˆ ++

13. กาหนดให r

= k2sin5t3e-i2t)t-2t3 ˆjˆ( ++ ทเวลา t = 0 จงหา

ก. dtrd

ข. dtrd

ค. 2

2

dt

rd

14. ถา φ (x,y,z) = x2yz จงหา φ∇

15. จงหา (u)duA2

1

∫ ถา (u)A

= k4u)-(6uj3)-(2ui1)-(3u

22 ˆˆˆ ++

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง

ในการบรรยายการเคล อนท ของวตถใดๆ เราจาเปนตองทราบปรมาณอะไรบางจงจะบรรยายไดสมบรณ เชนถาโยนลกบอลข+นไปในอากาศ เราจะทราบไดอยางไรวาลกบอลจะข+นไปไดสงเทาใดและถาลกบอลตกลงพ+นอกคร +งหน งจะใชเวลาเทาใด คาตอบของคาถามเหลาน+จะอธบายในบทน+น นคอ เน+อหาของบทน+เปนการพฒนาวธการท วไปท ใชบรรยายการเคล อนท ซ งเปนสวนหน งของวชากลศาสตรแบบด +งเดม (classical mechanics) และเราเรยกเน+อหาในสวนน+วา จลนศาสตร(kinematics) ซ งไดแกการศกษาเก ยวกบการกระจด (displacement) ความเรว (velocity) ความเรง (acceleration) และเวลา (time) เปนตน การกระจด เม อวตถเคล อนท จากจดหน งไปยงอกจดหน งน +น เสนทางการเคล อนท อาจมไดหลายเสนทางท แตกตางกนดงรปท 3.1

1 2 A B 3 รปท 3.1 เสนทางท วตถเคล อนท จากจด A ไปยงจด B

จากรปท 3.1 เราอาจเลอกเดนทางท ออกจากจด A ตามเสนทางท 1 หรอ 2 หรอ 3 กถงจด B เหมอนกนแตเราไดระยะทางไมเทากนเสนทางท ส +นท สดคอเสนทางท 3 ซ งเราจะเรยกวาการกระจด(displacement) น นคอการกระจดเปนระยะทางตามแนวเสนตรงท ลากจากจดเร มตนตรงไปยงจดสดทาย การกระจดจงเปนระยะทางท ส +นท สด การกระจดเปนปรมาณ

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 48

เวกเตอรซ งมทศทางจากจดเร มตนไปยงจดสดทาย การกระจดอาจจะไมใชเสนทางการเคล อนท จรงของวตถกไดเพราะในบางคร +งวตถอาจจะไมเคล อนท ตามการกระจด จากรปท 3.1 ไมวาจะเคล อนท ตามเสนทางท 1,2 หรอ 3 กตามจะไดขนาดของการกระจดเทากนหมดคอเทากบความยาวของเสนทางท 3 มทศจาก A ไป B หนวยของการกระจดในระบบเอสไอ คอ เมตร ระยะทาง (distance)

เปนปรมาณสเกลาร หมายถง ระยะทางท วดไดจากเสนทางท วตถเคล อนท จรงใน รปท 3.1 ถาวตถเคล อนท ตามเสนทางท 2 ระยะทางคอความยาวของเสนทางท 2 ในบางคร +งระยะทางกบขนาดของการกระจดอาจมขนาดเทากนกไดซ งมกรณเดยวคอ วตถเคล อนท ตามเสนทางท 3 ระยะทางถอวาเปนปรมาณสเกลารเพราะกาหนดดวยขนาดเพยงอยางเดยวกไดความหมายสมบรณ หนวยของระยะทางมหนวยเดยวกนกบหนวยของการกระจด

อตราเรว (speed) ในการเคล อนท ของวตถ ตาแหนงของวตถจะเปล ยนไปขณะมการเคล อนท การอธบายการเคล อนท จะใชปรมาณทางฟสกสสองปรมาณ คอระยะทางกบชวงเวลาของการเคล อนท ความสมพนธของปรมาณท +งสองจะเรยกวาอตราเรวดงน+

1. อตราเรวเฉลย(average speed) ใชสญลกษณเปน v av เปนอตราสวนระหวางระยะทางท เคล อนท ไดท +งหมดตอชวงเวลาท ใชในการเคล อนท น +นดงสมการท 3.1

v av = t

D

∆∆

(3.1)

เม อ D∆ = ระยะทางท เคล อนท มหนวยเปนเมตร(m) t∆ = ชวงเวลาท ใชในการเคล อนท มหนวยเปนวนาท(s) ระยะทางและเวลาเปนปรมาณสเกลารทาใหอตราเรวเปนปรมาณสเกลารดวยโดยมหนวยเปน เมตรตอวนาท(m/s) ซ งเปนหนวยในระบบเอสไอ ในทางปฏบตเราอาจจะใชหนวยท ใหญกวาน+เชน กโลเมตรตอช วโมง(km/h) หรอไมลตอช วโมง(mi/h) การวดระยะทางเปนเร องคอนขางยงยากถาการเคล อนท น +นไมเปนเสนตรง เชน ถาเราขบรถยนตบนแผงหนาปดรถยนตจะมมาตร(odometer)บอกระยะทางท รถเคล อนท ได กอนท รถจะเร มตนเคล อนท เราจะ

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 49

อานมาตรบอกระยะทางเร มตนสมมตวาอานได 184,550 กโลเมตร เม อเราขบรถออกไปเปนเวลา 5 ช วโมงและหยดรถเม ออานคาระยะทางท รถเคล อนท ไดอกคร +งหน ง สมมตวาอานคาได 184,950 กโลเมตร แสดงวารถเคล อนท ไดระยะทาง 400 กโลเมตร หรอมอตราเรวเฉล ย 80 กโลเมตรตอช วโมง ซ งไมไดหมายความวารถจะมอตราเรวน+ตลอดเสนทางการเคล อนท เพราะบางคร +งตองว งเรวหรอว งชากวาอตราเรวเฉล ย คาอตราเรวเฉล ยจงเปนการบอกคาตวแทนของอตราเรวท +งหมดท รถเคล อนท ถาตองการทราบอตราเรวท รถกาลงว งในขณะใดขณะหน งน +นสามารถดจากมาตรวด (speedometer)อตราเรวท หนาปดดงรปท 3.2 ซ งจะมเขมช+บอกอตราเรวท รถยนตกาลงเคล อนท ในขณะน +น ซ งเรยกอตราเรวน+วาอตราเรวขณะใดขณะหน ง(instantaneous speed)

รปท 3.2 แสดงมาตรวดอตราเรวรถยนตซ งเขมช+จะแสดงวารถยนต กาลงเคล อนท ดวยอตราเรว 70 กโลเมตรตอช วโมง ทมา (Buffa A.J. & Wilson J.D., 2003, p .34) 2. อตราเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous speed) ใชสญลกษณ v เปนคาอตราเรวจรงของวตถท กาลงเคล อนท ขณะเวลาใดๆ ซ งหาไดจากอตราเรวเฉล ยแตใชชวงระยะเวลาส +นๆหรอเวลาเขาใกลศนยคอ

v = lim∆ 0t→ t

D

∆

∆ (3.2)

v = dt

dD (3.3)

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 50

ตวอยางท 2.1 เม อวนท 4 กรกฎาคม 2540 ยานอวกาศมารพารทไฟเดอร(mars pathfinder) ไดลงจอดบนพ+นผวดาวองคารและไดนารถสารวจช อ โซจนเนอร(Sojourner) ไปสารวจพ+นผวและกอนหนบนดาวองคารดวย ดงรปท 3.3 รถสารวจโซจนเนอรมอตราเรวสงสดเปน 0.6 เมตรตอนาท(m/min) ถากอนหนท รถจะเคล อนเขาไปสารวจอยหางจากรถน+เปนระยะทางตรง 3.0 เมตรจงหาวารถจะใชเวลาเดนทางเทาใดจงจะถงกอนหน

รปท 3.3 แสดงรถสารวจโซจนเนอรกาลงจะเคล อนท เขาหากอนหน ทมา (Buffa A.J. & Wilson J.D., 2003, p .34) วธทา จากโจทยบอกคาอตราเรวเฉล ยสงสดเปน 0.6 เมตรตอนาท เราเปล ยนเปนหนวยเมตรตอวนาทได avv = 0.010 m/s จากสมการท 3.1 จะได

t∆ = avv

D∆

= 10.0

0.3 = 3.0 x 102 วนาท

น นคอรถสารวจโซจนเนอร จะใชเวลาเคล อนท ถงกอนหนเทากบ 300 วนาทหรอ 5 นาท

3 เมตร

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 51

ความเรว(velocity) ในชวตประจาวนเรามกจะใชคาวา อตราเรว และ ความเรว ในความหมายเดยวกน แตในทางฟสกสท +งสองคามความหมายท แตกตางกน เม อเราบอกวารถเดนทางดวยอตรา 80 กโลเมตรตอช วโมง น +นจะเปนอตราเรว แตถาเราบอกวารถเดนทางไปทางทศเหนอดวยอตรา 80 กโลเมตรตอช วโมงน +น จะเปนความเรว นกแขงรถจะใสใจกบอตราเรวของรถ คอขบรถไดเรวเทาไร สวนนกบนจาเปนตองใสใจกบความเรวคอเคร องบนจะบนไปไดเรวเทาไรและไปในทศทางใด น นคอเม อเราอธบายการเคล อนท ดวยอตราเรวและทศทาง เรากาลงพดถงความเรว ความเรวเฉล ยและความเรว ณ ขณะใดขณะหน ง จะนยามไดเหมอนกนในเทอมของอตราเรว โดยท วไปถาเรากลาวถงความเรว จะหมายถงความเรว ณ ขณะเวลาใดๆ ถารถว งไปดวยความเรวไมเปล ยนและคงท แลวความเรวเฉล ยและความเรว ณ ขณะใดขณะหน งจะมคาเทากน เหมอนอยางท เราพดถงอตราเรว แตความเรวคงท และอตราเรวคงท อาจไมเหมอนกนได เพราะความเรวคงท หมายถงการเคล อนท ดวยอตราเรวคงท และไมมการเปล ยนทศทาง รถว งวนเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท จะไมมความเรวคงท เน องจากความเรวเปล ยนเม อทศการเคล อนท เปล ยนไป น นคอความเรวเปนปรมาณเวกเตอรท ตองอธบายดวยขนาดและทศทาง การหาคาความเรวจะคลายกนกบการหาอตราเรวแตอตราเรวเราใชระยะทางซ งไมมทศทางตอหน งหนวยเวลา ในขณะท ความเรวเราจะใชการกระจดซ งเปนปรมาณเวกเตอรแทนระยะทาง ซ งสามารถพจารณาจากรปท 3.4

รปท 3.4 แสดงระยะทางเปรยบเทยบกบระยะกระจด

ทมา (Buffa A.J. & Wilson J.D., 2003, p .34)

นกศกษาชาย

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 52

จากรปท 3.4 นกศกษาชายเดนเคล อนท ตามเสนตรง(ทศตามแกนx)จากตเกบของ(lockers) ไปยงประตหองปฏบตการฟสกส โดยเร มตนเดนท ระยะ x1 ไดระยะทางเปน 8.0 เมตร ถาหาขนาดของการกระจดระหวาง จด x1 และ x2 จะได

x

∆ = x2 - x1 = +8.0 เมตร 1, ความเรวเฉลย(average velocity) หมายถง อตราสวนระหวางการกระจดตอชวงเวลาท +งหมด

v =

t

x

∆

∆

= 12

12

tt

xx

−

− (3.4)

หนวยของความเรวเฉล ยในระบบ เอสไอ เปนเมตรตอวนาท จากสมการท 3.4

x

∆ เปนการกระจด และ t∆ เปนชวงระยะเวลาท +งหมดโดย t1 เปนเวลาเร มตนและ t2 เปนเวลาสดทาย ตวอยางท 3.2 นกกฬาฟตบอลว งออกจากจดเร มตนเปนเสนตรงไดขนาดของการกระจด 300 เมตรใชเวลา 2.50 นาทและกลบมายงจดเร มตนโดยใชเวลา 3.00 นาท จงหาความเรวเฉล ยของแตละชวงการว ง

ก. เม อว งจากจดเร มตนไปจดสดทาย ข. เม อว งจากจดสดทายมายงจดเร มตน ค. เม อว งไปจดเร มตนและกลบมาจดเร มตนอก

วธทา จากโจทยกาหนดใหเราสามารถหาการกระจด ดงน+ ชวงท ว งจากจดเร มตนไปจดสดทาย 1x

∆ = + 300 เมตร ชวงท ว งจากจดสดทายมายงจดเร มตนเปนการว งสวนทาง 2x

∆ = - 300 เมตร ชวงเวลา 1t∆ = 2.50 นาท = 150 วนาท 2t∆ = 3.00 นาท = 180 วนาท

ก. ความเรวเฉล ยหาไดจากสมการ 3.4

1v =

1

1

t

x

∆

∆ = s150

m300 = + 2.00 m/s

ข. ทานองเดยวกนเม อเคล อนท กลบ

2v =

2t

2x

∆

∆

= s180

m300− = - 1.67 m/s

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 53

ค. กรณหาความเรวเฉล ยตลอดการว งจะรวมการกระจดท +งหมด แลวหารดวยระยะเวลาท +งหมด

3v =

21

21

tt

xx

∆∆

∆∆

++

= ( )

s180s150

m300m300

+−+

= 0 m/s

2. ความเรวขณะใดขณะหนง ( instantaneous velocity )

หมายถง ความเรวท เกดข+น ณ จดๆหน งหรอในชวงเวลาท ส +นๆ เน องจากความเรวเฉล ยไมใชความเรวท แทจรงของการเคล อนท จงกาหนดความเรวในขณะเคล อนท วาเปนความเรวเฉล ยในชวงเวลาเขาใกลศนย เหมอนกบอตราเรวขณะใดขณะหน ง สาหรบกรณท วตถเคล อนท ไปตามแกน x จะได

v = lim

∆ 0t→

t

x

∆

∆

(3.5)

หรอ v =

dt

xd

(3.6)

หนวยของความเรวขณะใดขณะหน งในระบบ เอสไอ คอ เมตรตอวนาท(m/s) และมทศทางเดยวกบการกระจด ความเรง ( acceleration ) ในการเคล อนท ของวตถใด ๆ ถากอนการเคล อนท วตถหยดน ง แลวตอมาจงมความเรวแสดงวาวตถมการเปล ยนแปลงความเรว ซ งเราพบเหนอยท ว ๆ ไป หรอในบางกรณวตถมขนาดความเรวเทาเดมแตทศทางเปล ยนไปเรากถอวาความเรวเปล ยนไป เพราะความเรวเปนปรมาณเวกเตอร ตองประกอบดวยท +งขนาดและทศทาง อตราการเปล ยนแปลงความเรวน+จะเรยกวา ความเรง สาหรบความเรงจะมท +งความเรงเชงมมและความเรงเชงเสน ในบทน+จะกลาวถงความเรงเชงเสนเทาน +น และจะเรยกส +นๆวาความเรง ใชสญลกษณ a

โดยความเรงเปนปรมาณเวกเตอร

ava =

t

v

∆

∆

(3.7)

ava =

1t2t

1v2v

−

−

(3.8)

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 54

ความเรงตามสมการ 3.7 เปนความเรงเฉล ย ( average acceleration ) โดยมหนวยในระบบ เอสไอเปน เมตรตอวนาทตอวนาท หรอ เมตร/วนาท(m/s2) ในการเปล ยนแปลงความเรวอาจจะเปล ยนแปลงในทางท นอยลง หรอ เคล อนท ชาลง ซ งจะทาใหสมการ 3.8 เปนลบ แตกยงเรยกวาเกดความเรงเหมอนกนแตเปนความเรงท มเคร องหมายลบ ในทานองเดยวกนกบความเรว เราสามารถหาคาความเรงขณะใดขณะหน ง (instantaneous acceleration) จากความเรงเฉล ยในกรณท มชวงเวลาเขาใกลศนยตามสมการท 3.7

a = lim

∆ 0t→

t

v

∆

∆

(3.9 )

หรอ a =

dt

vd

(3.10)

การวเคราะหกราฟ ( graphical analysis ) การวเคราะหการเคล อนท จากกราฟการเคล อนท นยมใชเพ อหาความสมพนธของปรมาณท เก ยวของกบการเคล อนท ซ งสามารถแยกเปนกรณดงน+

1. การเคลอนทเชงเสนดวยความเรวคงท พจารณา รถยนตเร มตนเคล อนท เปนเสนตรงจากจดหยดน งไปตามแกน x โดยมระยะกระจดและเวลาตามตารางท 3.1 ตารางท 3.1 ระยะกระจดและระยะเวลาของการเคล อนท หารถยนต

( )kmx∆ ( )ht∆ ( )hkmtx /∆/∆ 50 100 150

1.0 2.0 3.0

50 50 50

โดย x∆ = ขนาดของการกระจดของรถมหนวยเปนกโลเมตร t∆ = ระยะเวลาท เคล อนท มหนวยเปนช วโมง

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 55

เราสามารถเขยนกราฟซ งแกนต +งเปนขนาดของการกระจดและแกนนอนเปนระยะเวลา ไดดงรปท 3.5 ( )kmx∆ 150 100

slope = t

x

∆

∆=

12

50100

−

−

50 = 50

1.0 2.0 3.0 t(h)

รปท 3.5 กราฟการเคล อนท เชงเสนตรงของรถยนต จากกราฟเราสามารถหาความชน(slope) ของกราฟเปนความเรวของรถยนตคนน+โดย

slope = t

x

∆

∆ =

12

50100

−

−

ความชนของกราฟ = ความเรวของรถยนต เราจงกลาวไดวาความชนของกราฟระหวางขนาดของการกระจดของวตถซ งเปนแกนต +งกบเวลาท ใชในการเคล อนท ซ งเปนแกนนอนคอ ความเรวของการเคล อนท น +น ในกรณท การเคล อนท น +นไมเปนเชงเสน ดงรปท 3.6 เราสามารถหาความเรวขณะใดขณะหน งโดยการหาความชนของกราฟ ณ จดเวลาน +น ๆ เชนความชน ณ จด A ในรปท 3.6

มคาเปน t

x

∆

∆ ซ งถา t∆ มคาเขาใกลศนย อตราสวนน+ จะเปนความเรวขณะใดขณะหน งท จด A

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 56

x A

x∆ t∆ t รปท 3.6 การหาความเรวจากกราฟการเคล อนท ไมเปนเชงเสน

การเคล อนท เชงเสนดวยความเรวคงท ถาเราเขยนกราฟระหวางความเรวเปนแกนต +งกบเวลาเปนแกนนอน ดงรปท 3.8 พ+นท ใตกราฟจะเปนขนาดของการกระจดท +งหมดของการเคล อนท ในชวงเวลาน +นตามสมการ 3.11 เปน x∆ = tv∆ (3.11) ความเรว v เวลา

t∆ รปท 3.7 พ+นท ใตกราฟระหวางความเรวกบเวลาคอการกระจดท วตถเคล อนท ได

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 57

การเคลอนทเชงเสนดวยความเรงคงท โดยท วไปแลววตถจะเร มเคล อนท จากจดหยดน งและมความเรวเพ มข+น น นคอตลอดการเคล อนท วตถมการเปล ยนแปลงความเรวหรอเกดความเรงข+นในหวขอน+จะศกษาการเคล อนท เชงเสนท วตถเคล อนท ดวยมความเรงคงท เราจะสามารถหาคาความสมพนธระหวางปรมาณท เก ยวของกบการเคล อนท ได 1.สมการการเคลอนท สมมตวาวตถเคล อนท จากจดเร มตนซ งเวลาเปนศนย (t = 0) ตามแกน x โดยมการกระจดกอนเร มเคล อนท เปน x0 มความเรงเปน a และความเรวตนเปน v0 เม อเวลาผานไป t วตถมความเรวเปน v และไดการกระจดเปน x โดยเขยนกราฟระหวางความเรวกบเวลา ดงรปท 3.8

ความเรว V

V0

0 t เวลา

รปท 3.8 กราฟการเคล อนท เชงเสนของวตถโดยมความเรงคงท

จากสมการท 3.10

a = dt

dv

dv = adt ∫ dv = a ∫ dt

v = 1cat + (3.12)

1c = คาคงท ของการปรพนธ

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 58

ชวงการปรพนธ มเง อนไขวาท เวลา t = 0 ความเรวเปน 0v และเวลา t = t ความเรวเปน v จากสมการ 3.13 จะไดหาคา 1c เปน 0v ดงน +น

v = atv0 + (3.13)

จากสมการท 3.6 และ 3.14 จะได

dx = ( )dtatv0 + ∫ dx = ∫ ∫+ atdtdtv0

x = 22

0 cat2

1tv ++ (3.14)

จากเง อนไขเร มตนท เวลา t = 0 มการกระจดเปน 0x และเม อเวลา t = t ไดการกระจดเปน x จะได 02 xc = สมการ 3.14 จะเปน

200 at

2

1tvxx +=− (3.15)

จากสมการท 3.13 และ 3.15 จะได

( )020

2xxa2vv −+= (3.16)

2. กราฟการเคลอนทเชงเสนดวยความเรงคงท ถาเราเขยนกราฟระหวางความเรวและเวลา สาหรบการเคล อนท ดวยความเรง

คงท จะไดกราฟเสนตรง ดงรปท 3.9 และความเรงของการเคล อนท จะเปนความชนของกราฟ โดยการเรยนเปรยบเทยบกบสมการเสนตรง

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 59

ความเรว ความชนของกราฟคอความเรง b

เวลา

รปท 3.9 กราฟการเคล อนท ดวยความเรงคงท

จากสมการของกราฟเสนตรง bmxy += (3.17)

=b จดตดแกน y , =m ความชนของกราฟ เม อเปรยบเทยบกบสมการการเคล อนท ดวยความเรงคงท (สมการท 3.13) ความชน

ของกราฟจะเปนความเรงของการเคล อนท โดยแกน y เทยบกบความเรว แกน x เทยบกบ เวลา ตวอยางท 3.3 รถจกรยานยนตคนท หน งว งดวยความเรว 48 กโลเมตร/ช วโมง แลวลดความเรวลงเหลอ 36 กโลเมตร/ช วโมงในชวงเวลา 10 วนาท จงหาความเรวของรถ ?

วธทา จากโจทยกาหนดความเรวตน ( )0v เปน 48 km/h3

40= m/s

ความเรวปลาย ( )v เปน 36 km/h 10= m/s จากสมการ atvv 0 +=

10

3

4010

t

vva

0−

=−

=

3

1

30

10a

−=

−= เมตรตอวนาท2

น นคอ ความเรงของรถจกรยานยนตมคา - 31 เมตรตอวนาท2

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 60

ตวอยางท 3.4 ถงลมนรภย(air bags) เปนอปกรณท ตดต +งในรถยนตเพ อปองกนการกระแทกของคนขบรถกบพวงมาลย ขณะรถเกดการชนกน โดยถงลมนรภยจะพองตวออกทนทท รถหยดกะทนหน สมมตวารถกาลงว งดวยความเรว 100 km/h และหยดน งทนทในระยะทาง 1 เมตร จงหาวาถงลมจะตองพองตวออกเตมภายในเวลาอยางนอยเทาใด วธทา รถว งมาดวยความเรว 100 km/h หรอเทากบ 100 x 103 m/3,600 s = 28 m/s และจะมความเรวเปน 0 m/s ภายใตระยะทางส +นๆ 1 เมตร จากสมการท 3.17

a = - 2x

v2

0 = - 2.0m

(28m/s)2

= - 390 m/s2

หาเวลาท รถหยดจากสมการท 3.14

t = a

-0

vv = 2

390m/s-

28m/s-0 = 0.07 s

น นคอถงลมนรภยจะตองพองตวออกเตมเปนเวลานอยกวา 0.07 วนาท ตวอยางท 3.5 รถยนตเกงคนหน งว งดวยความเรวคงท ขนาด 100 กโลเมตรตอช วโมง ผานรถตารวจทางหลวงซ งจอดน งอยใตรมไม ตารวจเหนวารถคนดงกลาวว งเรวเกนกาหนดจงขบรถตารวจตามไปทนท จงหาวารถตารวจจะว งทนรถเกงในเวลาเทาใด ถารถตารวจว งดวยความเรวคงท และขณะน +นรถตารวจมความเรวขนาดเทาใด ถารถตารวจมสมรรถนะกากบไววาสามารถเรงความเรวจากจดหยดน งเปนความเรว 60 กโลเมตรตอช วโมงภายในเวลา 6 วนาท ดงรปท 3.10

รปท 3.10 รถตารวจว งไลตามรถเกงโดยรถตารวจมความเรงคงท ทมา(Giancoli D. (2000), P. 31)

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 61

วธทา โจทยขอน+เราไมจาเปนตองเปล ยนหนวยเปนระบบเอสไอท +งหมดเพราะบางหนวยจะหกลางกนเอง การหาคาความเรงของรถตารวจ(ap)ท เร มเคล อนท (

0v = 0)จากจดหยด

น งหาไดจากสมการ 3.14 และโจทยบอกสมรรถนะของรถ( v = 60 km/h , t = 6 s) v =

0v + ta

p

ap = s 6km/h 60 = 10 (h)(s)

km

สมมตใหรถตารวจว งตามทนรถเกงในเวลา t วนาทหลงจากท รถเกงว งผานรถตารวจ น นคอรถตารวจจะว งไดระยะทาง

px วดจากจดท รถตารวจจอด

p

x = vopt + 2

pta

2

1

= 2

1 (10 (h)(s)km

)t2

และรถเกงว งไดระยะทาง xs โดยวดจากจดท รถตารวจจอด

xs = (100 hkm )t

ในเวลาเดยวกนรถท +งสองจะว งไดระยะทางเทากน น นคอ xp = xs

(100 hkm )t =

2

1 (10 (h)(s)km

)t2

t = 0 และ t = (h)(s)km

5

hkm

100 = 20 s

น นคอรถท +งสองจะทนกนเม อเวลาผานไป 20 วนาทและขณะน +นรถตารวจมความเรว

P

v = 0 + (10 (h)(s)km

)(20 s) = 200 km/h

ขณะท รถตารวจทนรถเกงเม อมความเรว 200 กโลเมตรตอช วโมง จากคาตอบน+ในทางปฏบตเปนไปไดยากมากเพราะความเรว ขนาดน+มคามากและเส ยงตออนตราย แตในความเปนจรงรถตารวจจะบบแตรและรถเกงจะว งชาลง สาหรบกราฟแสดงการเคล อนท ของโจทยขอน+แสดงในรปท 3.11

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 62

ระยะทาง(กโลเมตร) ความเรว(กโลเมตรตอช วโมง) รถเกง รถเกง รถตารวจ รถตารวจ 20 s เวลา(วนาท) เวลา(วนาท) ก ข รปท 3.11 กราฟแสดงขอมลของรถเกงและรถตารวจ

ก. เปนกราฟท แสดงระยะทางกบเวลา ข. กราฟแสดงความเรวกบเวลา

การเคลอนทดวยความเรงทเปนฟงกชนของเวลา ในกรณท ความเรงของการเคล อนท เชงเสนไมคงท แตเปนฟงกชนของเวลาเราสามารถหา ปรมาณท เก ยวของไดดงน+

สมมตความเรงเปน ( )taa= จาก dt)t(adv = เราสามารถหาความเรวไดเปน dt)t(adv∫ ∫= ∫ += cdt(t)av (3.19) c คอ คาคงท ของการปรพนธ

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 63

ตวอยางท 3.6 เรอลาหน งแลนออกจากจดหยดน งดวยความเรงท เปนฟงกชนของเวลาตามสมการ

1t3a2 +=

จงหาวาเม อเวลาผานไป 5 วนาทเรอลาน+จะมความเรวเทาใด (ไมคดแรงตานการเคล อนท ) วธทา จากโจทยกาหนดใหความเรวตน ( )0v เปนศนยจากสมการท 3.19

จะได cdt)1(3tv2 ++= ∫

cttv3 ++=

เม อเวลา 0t = ; 0vv = c00v0 ++= น นคอ 0vc 0 ==

จะได ttv3 +=

ถาใชเวลา 5 วนาทจะได 130v = เมตรตอวนาท

การเคลอนทในแนวดงอยางเสร (free fall body) การเคล อนท เชงเสนในหน งมตอกกรณหน งท เราพบเหนอยบอย ๆ คอ การปลอยวตถตกจากท สงในแนวด ง เราอธบายการเคล อนท ลกษณะน+วาเปนการเคล อนท ภายใตสนามของแรงโนมถวงของโลก โดยความเรงของการเคล อนท มคาเทากบความเรงเน องจากแรงโนมถวงของโลก(acceleration of gravity) และมคาคงท สาหรบระดบใกลผวโลก(เปรยบเทยบกบรศมของโลก) ถาเราไมคดแรงตานจากอากาศ และไมคานงถงมวลของวตถ คาความเรงเน องจากแรงโนมถวงของโลกใชสญลกษณ g มทศลงสพ+นโลกซ งสวนทางกบระบบแกนมมฉาก แกน y ท เราสมมตใหพงข+นจากพ+นโลก ดงน +น คาความเรงเน องจากแรงโนมถวงของโลกจงมเคร องหมายลบ ดงรปท 3.12

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 64

y g

x ระดบ พ+นโลก

รปท 3.12 ความเรงของวตถตกอยางอสระ

ซ งเราสามารถใชสมการท 3.13,3.15 และ 13.16 มาใช โดยใชคาความเรงเปน g คาความเรงเน องจากแรงโนมถวงของโลก โดยความเรวและการกระจดอยในแนวแกน y และคา g มคาเทากบ 9.8 เมตรตอวนาท2

gtvv 0 −= (3.20)

200 gt

2

1tvyy −=− (3.21)

( )020

2yyg2vv −−= (3.22)

ตวอยางท 3.7 คนงานกอสรางท ยนอยบนน งรานของบอรดโยนลกบอลข+นไปในแนวด งโดยมความเรวตนเปน 11.2 m/s เม อลกบอลข+นไปถงจดสงสดแลวกหลนลงมาในทศทางตรงกนขามกบตอนแรก ดงรปท 3.13

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 65

รปท 3.13 โยนลกบอลใหเคล อนท ในแนวด ง จะเคล อนท ภายใตสนามของแรงโนมถวง ทมา (Buffa w. (2003), p.54) จงหา

1. ลกบอลข+นไปสงสดเทาใดเม อวดจากจดขวาง 2. เวลาท ลกบอลกลบมาถงจดขวางอกคร +งหน ง 3. ตาแหนงของลกบอลในแนวด งเม อเวลาผานไป 2 วนาท

วธทา ขวางลกบอลข+นในแนวด งแสดงวาขวางในทศสวนทางกบความเรงของแรงโนมถวงของโลกและโจทยกาหนดให

211v0 .= m/s 89g .= m/s2 0v = m/s (ความเรวในแนวด งท จดสงสด)

1. จากสมการ

( )020

2yyg2vv −−=

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 66

โจทยตองการหา 0yy − จงได

g2

vvyy

220

0

−=−

( ) ( )

892

021122

.

.

×−

=

406yy 0 .=− m

2. ใหเวลาท ลกบอลท เคล อนท จากจดขวางข+นไปจดสงสดเปน t และเวลาท ลกบอลกลบมาถงจดท ขวางอกคร +งหน งเปน T

t2T = จาก gtvv 0 −=

14.18.9

02.11

g

vvt

0 =−

=−

=

28.214.12T =×= วนาท 3. ตาแหนงในแนวด งของลกบอลเม อเวลาผานไป 2.00 วนาท

จากสมการ 20 gt

2

1tvy −=

( )( ) ( )( ) 22s00.2s/m8.9

2

1s00.2s/m2.11 −=

m8.2= น นคอ เม อเวลาผานไป 2 วนาท ลกบอลอยสงจากจดขวางในแนวด งเปนระยะเทากบ 2.8 เมตร

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 67

สรป

1.การเคล อนท หมายถง การเปล ยนตาแหนงของวตถเม อเวลาเปล ยนไป เราสามารถอธบายการเคล อนท หาวตถตาง ๆ ไดจากระยะทางหรอการกระจดกบเวลา

2.ระยะทาง เปนระยะทางตามเสนทางท วตถเคล อนท จรง ระยะทางอาจจะเปนเสนตรงหรอเสนโคงกได บางคร +งระยะทางอาจจะเปนขนาดของการกระจด ระยะทางเปนปรมาณ สเกลาร

3.การกระจด เปนปรมาณเวกเตอรจากการลากเสนตรงจากจดเร มตนเคล อนท ไปยงจดสดทาย ของการเคล อนท และมทศทางตามทศดงกลาวขนาดความยาวของเสนตรงคอขนาดของการกระจด

4.อตราเรวเฉล ย คออตราสวนระหวางระยะทางตอเวลาเปนปรมาณสเกลารในระบบ เอสไอมหนวยเปนเมตรตอวนาท โดยมสมการเปน

av

v = ts∆∆ เม อ s∆ คอระยะทางท เคล อนท ได

5.อตราเรว หมายถงอตราเรวเฉล ยท ชวงเวลามคาเขาใกลศนยมหนวยเหมอนกนกบ

อตราเรวเฉล ย

av

v = lim0t→∆ t

s∆∆

6.ความเรวเฉล ย เปนปรมาณเวกเตอรหาไดจากอตราสวนระหวางการกระจดท +งหมด

ตอเวลาท +งหมดท ใชในการเคล อนท มหนวยเดยวกนกบอตราเรว ในกรณท การเคล อนท ตามแนวแกน x

v =

tx∆∆

7.ความเรวขณะใดขณะหน ง เปนปรมาณเวกเตอร เปนความเรวเฉล ยท คดชวงเวลา

เคล อนท เขาใกลศนยมหนวยเดยวกนกบความเรว ในกรณท การเคล อนท ตามแนวแกน x

v =

t 0lim∆→

tx∆∆

8.ความเรงขณะใดขณะหน ง เปนปรมาณเวกเตอรและหาไดจากเหมอนความเรงเฉล ยแตคดในชวงเวลาเขาใกลศนย มหนวยเหมอนกบความเรงเฉล ย

a = t 0lim∆→ t

v∆∆

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 68

9.การเคล อนท เชงเสนดวยความเรงคงท หมายถงการเคล อนท ของวตถตามแนวเสนตรงและมความเรงสม าเสมอสามารถแบงเปนการเคล อนท ในแนวราบหรออาจจะเปนการเคล อนท ในแนวด งสาหรบการเคล อนท ในแนวราบหาความสมพนธระหวางตาแหนงเวลา ความเรวและความเรงไดจาก

atvv 0 += 2

00 at2

1tvxx +=−

( )020

2xxa2vv −+=

ซ งจากสมการขางบนใชสาหรบวตถท เคล อนตามแนวแกน x 10. การเคล อนท อยางเสรในแนวด งอยางเสร เปนการเคล อนท เชงเสนอกลกษณะหน งแตเสนทางการเคล อนท อยในแนวด งและความเรงของการเคล อนท เปนความเรงเน องจากแรงโนมถวงของโลกซ งถาการเคล อนท น +นอยใกล ๆ ผวโลกจะใชคา 9.8 m/s2 และใชสมการเดยวกบการเคล อนท เชงเสนดวยความเรงคงท คอ 10.1. gtvv 0 −=

10.2. 200 gt

2

1tvyy −=−

10.3. ( )020

2yyg2vv −−=

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 69

แบบฝกหดทายบท

1. สนขว งบนทางตรงเปนระยะ 100 เมตรใชเวลา 8.4 วนาท และว งยอนกลบไดคร งทางแตใชเวลาหน งในสามของตอนแรก จงหา ก. อตราเรวเฉล ย ข. ความเรวเฉล ย 2. รถยนตคนหน งเคล อนท ตามถนนตรง ซ งสามารถเขยนกราฟการเคล อนท ระหวางความเรวกบเวลาดงรปท 3.14 จงหาวาภายในเวลา 5 ช วโมงรถยนตเคล อนท ไดระยะทางเทาใด ความเรว(กโลเมตรตอช วโมง) 100 50 2 4 เวลา(ช วโมง) รปท 3.14 กราฟการเคล อนท ของรถยนต 3. รถยนตเคล อนท บนถนนตรงเปนระยะทาง 40 กโลเมตรดวยความเรว 30 กโลเมตรตอช วโมง และเคล อนท ตอไปอกดวยความเรว 40 กโลเมตรตอช วโมงเปนระยะทาง 40 กโลเมตร จงหา

ก. ความเรวเฉล ยของรถยนตในชวงระยะทาง 80 กโลเมตรท เคล อนท ข. อตราเรวเฉล ยของรถยนต

4. จงหาคานวณหาความเรวเฉล ยในการเคล อนท เปนเสนตรงจากกรณตอไปน+ ก. คนเดนเปนระยะทาง 73.2 เมตรท อตราเรว 1.22 เมตรตอวนาท แลวว งดวย อตราเรว 3.05 เมตรตอวนาท เปนระยะทาง 73.2 เมตร ข. คนเดนดวยอตราเรว 1.22 เมตรตอวนาท เปนเวลา 1 นาท แลวว งดวย อตราเรว 3.05 เมตรตอวนาทอก 1 นาท

บทท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง 70

5. รถยนตว งดวยความเรว 90 กโลเมตรตอช วโมง ตามหลงรถบรรทกซ งกาลงว งดวยอตราเรว 75 กโลเมตรตอช วโมง อย 100 เมตร จงหาวาจะใชเวลานานเทาใดรถยนตจงจะว งทน รถบรรทก 6. ตาแหนงของวตถท เคล อนท ตามแนวแกน x กาหนดตามสมการ X = 3t – 4t2 +t3 โดย x และ t มหนวยเปน เมตร และวนาทตามลาดบ จงหา

ก. ตาแหนงของวตถเม อเวลาผานไป 1,2,3 และ 4 วนาท ข. การกระจดในชวงเวลา t = 0 ถง t = 4

7. รางกายมนษยรอดพนจากการบาดเจบเน องจากความเรงลบอยางฉบพลน (การหยดลงอยางทนท) ไดถาความเรงมคานอยกวา 250 m/s2 ถาขณะเกดอบตเหตรถยนตมอตราเรวตน 105 km/h และถงลมนรภยท พองออกมาจากแผงหนาปดรถหยดคนน งขางหนา ถงลมน+จะหยดการเคล อนท ของคนน งตอนหนาในระยะทางเทาใดจงจะปลอดภยจากอบตเหตน+ 8. ความเรวของอนภาคช+นหน งวดคาไดเปน V(t) = α - β t2 โดยท α = 4.00 m/s และ β = 2.00 m/s3 ท t = 0 วตถอยท x = 0 จงหา

ก. ตาแหนงและความเรงของวตถท เปนฟงกชนของเวลา ข. การกระจดคาบวกท มากท สดของวตถ

9. รถไฟใตดนขบวนหน งเร มเคล อนท จากจดหยดน งและเรงดวยอตรา 1.60 m/s2 เปนเวลานาน 14.0 วนาท แลวแลนดวยอตราเรวคงตวเปนเวลา 70.0 วนาท และแลนชาลงดวยอตรา 3.50 m/s2 จนกระท งหยดท สถานถดไปจงหาระยะทางท +งหมดท แลนได 10. เคร องบนลาหน งแลนไปในระยะทางตรง 280 เมตร ตามลานว งกอนทะยานข+น ถาเคร องบนเร มจากหยดน ง เคล อนท ดวยความเรงคงตวและเร มข+นสอากาศในเวลา 80 วนาท จงหาอตราเรวของเคร องบนขณะทะยานข+น 11. กอนหนกอนหน งหลนจากหนาผาซ งสง 100 เมตรจากพ+นดน จงหาเวลาท ใชในการเคล อนท (ไมคดแรงตานจากอากาศ)

ก. เม อเคล อนท ไปไดระยะ 50 เมตรจากจดท ตก ข. เม อถงพ+นดน

บทท 3 การเคลอนทเปนเสนตรง 71

12. เฮลคอปเตอรลาหน งทะยานข+นจากพ+นในแนวด ง เม อถงความสง 115 เมตร มความเรวเทากบ 5.6 เมตรตอวนาท จงปลอยถงยงชพลงมา จงหาวาถงยงชพจะถงพ+นดนโดยใชเวลาเทาใด 13. โยนวตถช+นหน งข+นไปตามแนวด งจากขอบหลงคาตกสงดวยความเรวตน 20 เมตรตอวนาท เม อวตถตกกลบลงมามนตกเฉยดผนงตกลงสพ+นดนขางลางใชเวลาท +งหมดต +งแตเร มโยนถงพ+นดน 6 วนาท ดงรปท 3.15 จงคานวณหา ก. ตาแหนงและความเรวของวตถเม อเวลาผานไป 1 และ 4 วนาท ข. ความเรวของวตถขณะอยสงจากหลงคาตก 15 เมตร ค. ความสงของตก Y

0yv = 20 m/s

j

รปท 3.15 อธบายโจทยขอ 13 14. โยนวตถกอนท หน งข+นตามแนวด งดวยความเรวตน 98 เมตรตอวนาทตอมาอก 4 วนาทกโยนกอนหนอกกอนหน งข+นไปอกดวยความเรวตนเทากบความเรวตนของหนกอนแรก จงหาวาหลงจากโยนหนกอนแรกออกไปแลวเปนเวลาเทาใด กอนหนท +งสองจงจะสวนทางกน

เวลา(วนาท)

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ

โลกเราเปนโลกสามมต การเคลอนทสวนใหญทเราพบเหนลวนเปนการเคลอนทในสองหรอสามมต เชน การขวางลกบอลออกไปในอากาศ รถยนตเคลอนทบนทางโคง ดาวเทยมโคจรรอบโลก เปนตน ในบทน(เราจะบรรยายการเคลอนทของวตถในสองมตซงจะเปนพ(นฐานตอ การเคลอนทในสามมตโดยจะไดศกษาระบบการบอกตาแหนงของวตถซงแตกตางจากการเคลอนทเชงเสนตรงเพราะ เวกเตอรบอกตาแหนงน (นมสององคประกอบและหลงจากน (นเราจะไดศกษา การเคลอนทแบบโพรเจกไทล และการเคลอนทเปนวงกลม ซงเปนตวอยางของการเคลอนทในระนาบ และในตอนทายจะบรรยายการเคลอนทในกรณทผสงเกตทกาลงเคลอนทสมพทธกบวตถ เวกเตอรบอกตาแหนง (position vector) ในการบอกตาแหนงของวตถในระนาบเปนสงสาคญ ทจะเปนพ(นฐานในการหาความเรวและความเรงของวตถ ซงระบบการบอกตาแหนงเราจะตองมจดอางอง สาหรบการอางถงเมอวตถเคลอนทไป พจารณาอนภาคทอย จด P ณ เวลา 1t ใดๆ ตามรปท 4.1

Y 2r

y2 Q

1r y1 P

O x1 x2 X รปท 4.1 เวกเตอรบอกตาแหนงของวตถในระนาบ XY

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 74

ถาเราใหจด O ในระนาบ XY เปนจดอางอง และ 1r เปนเวกเตอรบอกตาแหนงของ

อนภาคขณะอยทจด P 1r = jyix 11 + (4.1) x1 และ y1 เปนองคประกอบของ 1r ในแนวแกน x และ y ตามลาดบ ทาใหจด P มพกดเปน x1 และ y1 ถาอนภาคน(เคลอนทจากจด P ไปยงจด Q ซงจด Q ม 2r เปนเวกเตอรบอกตาแหนง โดย 2r = jyix 22

ˆˆ + (4.2) โดยขณะทอนภาคอยทจด Q เปนเวลา t2 ในการเคลอนทน(การกระจดเปน r∆ และใชเวลา t∆ โดย r∆ = 12 rr − (4.3) และ t

∆ = 12 tt − (4.4)

ความเรวเฉลยของอนภาค ( avv ) เรานยามเชนเดยวกบความเรวเฉลยในบทท 3 คอ การกระจดเทยบกบชวงเวลา

avv = 12

12

tt

rr

−−

= t

r

∆∆ (4.5)

ทศทางของ avv มทศทางตาม r∆ และความเรวขณะใดขณะหนง ( v ) จะเปน

v = ot

lim→∆ t

r∆

∆

= dt

rd (4.6)

ทศทางความเรว ณ จดใด คอ ทศทางของเสนสมผสเสนทางการเคลอนท ณ จดน (น เน องจากเวกเตอรบอกตาแหนงในระนาบอยในรปของ jyixr += เราจงมองคประกอบ ของความเรว (component velocity) ตามแกน x และแกน y เปน xv และ yv ดงรปท 4.2

yx vvv += (4.7) หรอ jvivv yx += (4.8)

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 75

Y

yv

v P α

xv

O X

รปท 4.2 องคประกอบของความเรวทจด P

จากสมการท 4.6 จะได =v dtdx

i + jdtdy

(4.9)

น นคอ idtdx

v x = (4.10)

dtdy

v y = j (4.11)

ขนาดของ v คอ

2

y

2

x vvv += (4.12)

และทศทางของ v หาไดจากการทามมกบแกน x จากรป 4.2 ทามม α

tan α = x

y

v

v (4.13)

ตวอยางท 4.1 นกออกแบบสรางภาพเคลอนไหวบนคอมพวเตอรโดยทาใหเกดจด(dot)บนจอคอมพวเตอรมตาแหนงในหนวยเซนตเมตรทเปลยนไปตามเวลา ตามสมการ ( )2t5.20.4r += i + 5.0 t j

ก. จงหาขนาดและทศของความเรวเฉลยของจดต (งแตเวลา 0 วนาท ถง เวลา 2 วนาท

ข.จงหาขนาดและทศของความเรวขณะใดขณะหนง ทเวลา 0 วนาท และ 2 วนาท

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 76

วธทา ก. ทเวลา 0t = วนาท ตาแหนงของจดเปน i0.4r0 =

ทเวลา =t 2 วนาท ตาแหนงหาจดเปน 2r

= 14 i + 10 j และใชเวลาท (งหมด =t∆ 2 - 0 = 2 วนาท จากสมการท 4.5

2

i0.4j10i14tt

rrv

12

12av

−+=−

−=

ความเรวเฉลย = j5i5 + เซนตเมตรตอวนาท ทศทางทามมกบแกน x เปนมม θ โดย

tan θ = 5

10 = 2

ข. ความเรวขณะใดขณะหนงทเวลาใด ๆ หาไดจากสมการ 4.6

( )[ ]jt0.5it5.20.4dtd

dtrd

v 2 ++==

j5it5v += ความเรวเมอ 0t = เปน j5v 0 =

เซนตเมตรตอวนาท มทศ+ y ความเรวเมอ 2t = เปน j5+i10=v0

ˆˆ เซนตเมตรตอวนาท มทศทา

มม 1α กบแกน x โดย tan 1α 21

105 ==

เวกเตอรความเรง ถาอนภาคเคลอนทในระนาบ ณ เวลา 1t อยทจด 1p และมความเรวเปน 1v เมอเวลาผานไปเปน 2t อนภาคน(เคลอนมาอยทจด 2p และมความเรวเปน 2v ดงรปท 4.3

2v

1v 2p

1p

รปท 4.3 แสดงความเรวของอนภาค เมอเวลา 1t และ 2t ซงอนภาคอยทจด 1p และ 2p ตามลาดบ

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 77

ความเรงเปนการเปลยนแปลงของความเรวเมอเทยบกบเวลา การเปลยนแปลงความเรวหมายถง ขนาดของความเรวเปลยนไป หรอ ทศทางความเรวเปลยนไปหรอท (งสองอยางเปลยนไปกได แตในกรณในรปท 4.3 เปนการเปลยนแปลงของความเรวโดยเปลยนท (งขนาดและทศทาง น นคอ เราสามารถหาทศทางของความเรงเฉลยไดจากรปท 4.4 2v

- 1v

12 vvv −=∆ ava

รปท 4.4 ทศทางของ v∆ ซงเกดจาก 12 vv − มทศเดยวกนกบ ava

จาก t

v

∆∆

==12

12av t-t

v-va (4.14)

ซงทศทางของ a คอทศทางเขาหาดานในของสวนโคง ดงรปท 4.4 เชนเมอเราน งรถทกาลงเล(ยวโคง เราจะถกแรงกระทาใหเคลอนทในทศสวนทางกบความเรงของรถเสมอ โดยความเรงของรถมทศเขาหาจดศนยกลางความโคงแตเราจะไถลออกไปดานนอกของโคง โดยท วไปเรามกจะสนใจความเรงขณะใดขณะหนง มากกวาความเรงเฉลย ตอจากน(ไปถากลาวคาวา ความเรง จะหมายถงความเรงขณะใดขณะหนงเทาน (น ถาเวลา t∆ เขาใกลศนย ความเรงเฉลยจะเปนความเรงขณะใดขณะหนง

a = ot

lim→∆ t

v∆

∆

a = dtvd (4.15)

จากสมการท 4.8 และ 4.15 เราจะไดความเรงทแยกเปนองคประกอบตามแกน x และแกน y เปน

jdtdv

idtdv

a yx +=

jaiaa yx += (4.16)

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 78

นอกจากน( เนองจากแตละองคประกอบของความเรวคอ อนพนธของตาแหนงทเทยบกบเวลาเราสามารถเขยนองคประกอบตาง ๆ ของเวกเตอรความเรงเปน

2

2

x dt

xda = (4.17)

2

2

y dtyd

a = (4.18)

หรอ เขยนเวกเตอรความเรง a เปน

2

2

2

2

dt

ydj

dt

xdia += (4.19)

ตวอยางท 4.2 อนภาคกอนหนงเคลอนทดวยความเรงคงท 3.0 เมตรตอวนาท 2 ในทศทามมกบแกน x เปนมม 30 องศา ถาเวลาเรมตน อนภาคน(มความเรวเปน

j0.4i0.2v o +−= เมตรตอวนาท จงหาองคประกอบของความเรวของอนภาคน( เมอเวลา ผานไป 5 วนาท วธทา เมออนภาคเคลอนทดวยความเรงคงท เราสามารถหาความเรวไดจาก สมการ atvv o += แยกความเรวเปนองคประกอบของความเรวตามแกน x และแกน y ไดเปน

tavv

tavv

yoyy

xoxx

+=

+=

จากสมการ 4.8 เมอเปรยบเทยบกบ j0.4i0.2v o +−= จะไดวา 0.2vox −= เมตรตอวนาท 0.4voy = เมตรตอวนาท สาหรบองคประกอบของความเรง ตามแนวแกน x และ y จะมขนาดเปน

( )2

3323

0.330cosaa x =

== ° m/s 2

( ) ( )23

21

0.330sinaa x === ° m/s 2

แทนคาเพอหา xv และ yv เมอเวลา 5t = วนาท

( )52

330.2v x +−= = 10.99 m/s

( )523

0.4v y += = 11.5 m/s

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 79

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (projectile motion) เมอเราขวางวตถออกไปในอากาศในทศทามมกบแนวราบไมเทากบมมฉาก วตถน (นจะ เคลอนทในระนาบในแนวดง อทธพลของสนามโนมถวงของโลกและแรงตานจากอากาศจะเปนตวกาหนดเสนทางการเคลอนทของวตถน (น เรยกการเคลอนทแบบน(วา การเคลอนทแบบโพรเจกไทล

ในการอธบายการเคลอนทแบบโพรเจกไทลน (น เราจะจาลองการเคลอนทโดยละเวน ปจจยทจะทาใหการคานวณยงยากข(น น นคอ แบบจาลองการเคลอนทแบบโพรเจกไทล จะไมคดแรงตานการเคลอนท ไมคดความโคงของโลกและไมคดถงแรงเนองจากการหมนของโลก การเคลอนทแบบโพรเจกไทลเปนการเคลอนทสองลกษณะรวมอยในการเคลอนทเดยวกนคอการเคลอนทเชงเสนในแนวราบทมความเรวคงทและการเคลอนทอยางอสระในแนวดง โดยมความเรงเทากบความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก พจารณาในกรณทวตถถกขวางข(นจากจด O ในระนาบดง ดวยความเรวตน 0v ในทศทามม θ กบแนวราบ ดงรปท 4.5 เมอเวลาผานไป t วตถเคลอนทมาถงจด B และไดระยะกระจด R

ม

ความเรวเปน Bv และจด A คอจดสงสดทวตถเคลอนทได ขณะทวตถไปตกทจด C ซงเปนจดทอยในแนวระดบเดยวกนกบจด O Y A B oyv 0v Bv

y θ R

ymax

O oxv D C X รปท 4.5 การเคลอนทแบบโพรเจกไทล โดยมมมขวางจากแนวราบเปนมม θ การคานวณการเคลอนทแบบโพรเจกไทล จะแยกการเคลอนทออกเปนแนวราบและแนวดง จงไดความเรวตนในแนวราบซงคงทตลอดการเคลอนทเปน vox = cosv o θ (4.20)

x

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 80

และความเรวตนในแนวดงเปน oyv = sinv o θ (4.21) สาหรบการคานวณหาคาอนๆของการเคลอนทในแนวดงจะใชสมการการเคลอนทเชงเสน ในแนวอยางเสรคอ Vy = Voy - gt (4.22)

y = Voyt - 21 gt2 (4.23)

2

yv = 2oyv - 2gy (4.24)

จากสมการ 4.22,4.23 และ 4.24 เครองหมายลบหมายถงเรมตนเคลอนทในทศทางทตรงกนขามกบทศของความเรงของแรงโนมถวง สาหรบเวลา เราถอวาเวลาทเคลอนทในแนวดงเทากบเวลาทเคลอนทในแนวราบ น นคอ เวลาในชวง OA = เวลาในชวง OC = เวลาในชวง OD = เวลาในชวง DC = เวลาในการเคลอนทในแนวดงจากพ(นถงจดสงสด เวลาท (งหมด = สองเทาของเวลาในชวง OA 1. การหาระยะกระจด การหาระยะกระจดตองทราบจดเรมตนและจดสดทาย จากรปท 4.5 ถาวตถ เคลอนทมาถงจด B สมมตใชเวลา t′ไดระยะการกระจด คอ OB หรอ R

ซง R

มองคประกอบตามแกน X เปน x และองคประกอบตามแกน Y คอ y

jyixR +=

(4.26)

หรอ 22 yxR += 1.1 ระยะกระจดตามแนวราบ การเคลอนทตามแนวราบอนภาคมความเรวคงท จงไดระยะทางเปน

x = ( 0v cos θ ) ( t′ ) (4.27)

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 81

1.2 ระยะกระจดตามแนวดง เนองจากเปนเคลอนทภายใตแรงโนมถวงของโลก จงมความเรวเปน g เราสามารถหาระยะตามแนวดงเปน

y = (v0 sin θ ) 2tg21-t ′′ (4.28)

เมอนาสมการท 4.27 และ 4.28 แทนในสมการท 4.26 จะไดระยะกระจด ของการเคลอนท

1.3 ระยะกระจดตามแนวราบทไกลสด สมมตอนภาคทเคลอนทแบบโพรเจกไทล ตามรปท 4.5 ถกยงจากพ(นทจด O และมาตกทพ(นทจด C จะไดวา OC คอระยะทางในแนวราบทไกลทสดหรอ maxR จะใชสมการท 4.16 แตเวลาทใชจะเปนเวลาทอนภาคเคลอนทจาก Oถง C ซงในทน( คอ T ซงมคาเปนสองเทาของเวลาจาก O ถง A ถาเราพจารณาการเคลอนทในแนวดงจากจดเรมตนจนถงจดสงสด สมมตวาใชเวลา t จากสมการท 4.21 และ 4.22 โดย Vy = 0 จะได

g

sinvt o θ=

และเวลาทใชในการเคลอนทจาก O ถง C เปน

g

sinθ2v=T o (4.29)

จากสมการท 4.27 จะได

( )

θθ=

g

sinv2cosvR o

o (4.30)

แต θθ=θ cossin22sin

g

2sinvR

2

o θ= (4.31)

จากสมการท 4.31 คา R จะมคาสงสดเมอ θsin2 จะตองมคาสงสดคอเทากบหนงจงได ระยะกระจดในแนวราบทไกลสด โดย sin 90 = 1 ดงน (น θsin2 = sin 90

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 82

θ = 45 องศา

maxR = gv 2

0 (4.32)

1.4 การหาระยะสงสดในแนวดง ระยะสงสดทอนภาคเคลอนทไดในแนวดง ( )maxy ในทน(คอ ระยะ DA จากสมการท 4.22 เมอเคลอนทถงจดสงสด ความเรวสดทายในแนวดงเปนศนยหาเวลาได

g

sinvt o θ= แทนคาลงใน 4.23

และ ( )2

ooo

g

sinvg

2

1

g

sinvsinvy

θ−

θθ=

g2

sinvy

22

o θ= (4.33)

จากสมการท 4.33 เปนระยะสงสดในแนวดงของการเคลอนทแบบโพรเจกไทลเมอขวางวตถข(นดวยมม θ

2. การหาความเรวของโพรเจกไทล ถาเราแทนคา t จากสมการท 4.27 ลงในสมการ 4.28 จะได

( ) 2

22

o

xcosv2

gxtany

θ−θ= (4.34)

จากสมการ 4.33 คา θtan และ θ

22o cosv2

g ซงเปนคาคงทใหเปน A

และ B ตามลาดบจะได 2CxAxy −= (4.35)

สมการท 4.35 เปนสมการของกราฟพาราโบลา (parabola) น นคอ เสนทางการเคลอนทของการเคลอนทแบบโพรเจกไทลเปนรปพาราโบลา ตวอยางของอนภาคทเคลอนทแบบโพรเจกไทลในชวตประจาวนจะไมเปนกราฟแบบพาราโบลา เพราะมแรงตานการเคลอนทจากอากาศมาเกยวของ ระยะสงสดในแนวดงและระยะกระจดตามแนวราบจะลดลง ดงแสดงในรปท 4.6

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 83

ก ข รป 4.6 แสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทลเปนกราฟพาราโบลา ก. เศษโลหะ จากการเชอมไฟฟาเคลอนทเกอบเปนพาราโบลาเพราะม แรงตานอากาศนอย ข. น(าพทพงข(นและตกลงมาทแรงตานมากกวา เสนทางการเคลอนทเปน พาราโบลานอยกวารป ก. ทมา ( Giancoli C. Douglas, 2000 p. 63) ตวอยางท 4.3 นกกฬากอลฟตลกกอลฟจากพ(นราบทาใหลกกอลฟเคลอนทแบบโพรเจกไทลดวยความเรวตน 20.0 เมตรตอวนาท โดยทามม 60 องศากบแนวราบ ลกกอลฟไปตกในสนามในระดบเดยวกนกบจดทตลกกอลฟและลกกอลฟข(นไปไดสง 5.00 เมตร ถาไมคดแรงตานการเคลอนท จงหา

ก. ลกกอลฟลอยอยในอากาศนานเทาใด ข. ลกกอลฟไปตกหางจากจดตเทาใด ค. ขนาดของความเรวและทศทางทลกกอลฟขณะกระทบพ(น

วธทา ก. จากสมการ 5gt21vy 2

0y =+=

5(t(9.8m/s21)(t)m/s)(sin60 (20.0 22 =+= ))

=t 2.14 วนาท จาก ก. เวลาทลกกอลฟใชในการเคลอนทถงจดสงสดเปน 2.14 วนาท เพราะฉะน (น

เวลาทลกกอลฟอยในอากาศจงเปน

28.414.22T =×= วนาท

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 84

ข. จากสมการท 4.27 x = ( 0v cos θ ) t

( ) ( )( )s28.460coss/m20 °= 8.42x = m น นคอ ระยะไกลสดทลกกอลฟตกถงพ(นเทากบ 42.8 เมตร ค. ความเรวมองคประกอบ 2 ความเรว คอ ความเรวในแนวราบ xv และความเรวใน

แนวดง yv โดยลกกอลฟใชเวลาท (งหมด =T 4.28 วนาท vx = v0 cos θ ( ) ( ) s/m1060coss/m20 =°= vy = v0 sinθ - gt ×= 4.289.8-)n60(20m/s)(si 62.25v y −= m/s จากสมการท 4.12 จะได

( ) ( )22 62.2510v −+=

50.27v = m/s และมทศทางทามม θ กบแนวราบเปนมม θ โดย

tan θ 562.21062.25 ==

ตวอยางท 4.2 เมอปลาจะกนแมลงทจบอยบนใบไมดงรปท 4.7 มนจะพนน(าออกมาจากปากมนไปยงตวแมลง ทาใหแมลงหลนลงสน(าตามแนวดง ขณะทปลาพนน(าออกจากปากทนททนใดมนกจะพงออกไปตามแนวราบเพอไปงบแมลงทหลนลงมา สมมตวาปลาพนน(าออกไปดวยความเรวขนาด 4.9 เมตรตอวนาท โดยทามม 30 องศากบแนวราบ และจดทแมลงเกาะอยเปนจดสงสดทน(าพนถงพอด จงหา ก. เวลาทน(าจากปลาปลาพงถงแมลง ข. แมลงอยสงจากระดบน(าเทาใด ค. ระยะทางตามแนวระดบน(าทปลาพงไปงบแมลง

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 85

รปท 4.7 แสดงแนวการเคลอนทของน(าจากปากปลา ทมา ( Walker S. James, 2004. p. 95) วธทา จากรปท 4.8 ให v0 เปนความเรวตนของน(าทพนออกจากปลา = 4.9 m/s θ เปนมมทน(าทพนจากปลาทากบแนวราบ = 30 องศา d เปนระยะทางตามแนวราบทปลาพงไปงบแมลง h เปนความสงของแมลงวดจากระดบน(า ก. จากโจทย กลาวถงจดทแมลงเกาะอยเปนจดสงสดทน(าพงไปถง ฉะน (นความเรวในแนวดงของน(า ณ จดน(จงเปนศนย จาก V0 = V0sin θ - gt 0 = (4.9 m/s)(sin 30) – (9.8 m/s)(t) t = 0.25 s น(าจะเดนทางถงแมลงในเวลา 0.25 วนาท ข. จากรปท 4.8 ความสงของจดทอยของแมลงเทากบระยะสงสดของน(าทพงข(นในแนวดง จากสมการท 4.23

จาก h = (V0sin θ )(t) - 21 gt2

= (4.9 m/s)(sin 30)(0.25 s) - 21 (9.8 m/s2)(0.25 s) 2

= 0.306 m แมลงอยสงจากระดบน(า 30.6 เซนตเมตร

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 86

O R

ค. ระยะทางทปลาเคลอนทตามแนวราบไปงบแมลง d d = (V0cos θ )(t) = (4.9 m/s)(cos 30)(0.25 s) = 1.060 m ระยะทางทปลาพงไปงบแมลงไปแนวราบคอ 106.0 เซนตเมตร การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ (uniform circular motion) จากทเราไดศกษาความเรงของอนภาคทผานมาโดยความเรงเกดจากการเปลยนแปลงความเรวเมอเวลาเปลยนไปแตความเรวเปนปรมาณเวกเตอร น นคอถาขนาดความเรวเปลยนไปแตทศทางไมเปลยนแปลงกเกดความเรงได เชน กรณวตถ เคลอนทตกลงมาในแนวดง ในหวขอน(เราจะพจารณาการเกดความเรง เมออนภาคมขนาดของความเรวคงทแตมทศ เปลยนแปลง จากรป 4.8 อนภาคกอนหนงเคลอนทเปนวงกลม รอบจด O ซงมรศม R ดวยความเรวทมขนาดคงท แตทศทางเปลยนไปสมมตวา เมอเวลา t อนภาคอยทจด p มความเรวเปน v และเมอเวลา tt ∆+ อนภาคเคลอนทมาถงจด p′ มความเรวเปน v ′ เราสามารถหา การเปลยนแปลงความเรว v∆ จากรปท 4.9

v ′ P′ v s∆ θ P รปท 4.8 การเปลยนความเรวของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 87

v ′ M O Q P′ θ

v∆ s∆ - v P L รปท 4.9 แสดงเวกเตอรการเปลยนแปลงความเรว เมอ θ มคานอยๆ s∆ เกอบเปนเสนตรง สามเหลยม OPP′คลายสามเหลยม MLQ ถาพจารณาหาคา การเปลยนแปลงความเรว ( v∆ ) จากรปท 4.9 vvv −′=∆ (4.36) ซงเราจะไดทศทางของ v∆ พงเขาหาจดศนยกลางถาชวงเวลาจาก P ไปยง P′ นอยมากจนเขาสศนยซงมม θ จะเลกมากจนเกอบจะเทากบศนยองศา ซงในตอนน( s∆ ส (นมากจนเกอบจะเปนเสนตรงจงถอเสมอนวา POP ′ เปนสามเหลยม และสามเหลยม MLQ จะเปนสามเหลยมคลาย เพราะเปนสามเหลยมหนาจ วเหมอนกนเพราะขนาดหาความเรวทจด P เทากบ ขนาดความเรวทจด p′

vv ′= (4.37) จากสามเหลยมคลาย

Rv

sv=

∆

∆

sRv

v ∆∆ =

ความเรงเฉลย ava มขนาดเปน

t

sRv

t

v

∆∆

∆∆

==

ava

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 88

และความเรง a จะเปน

ot

lima→∆

= ts

Rv∆

∆

ts

limRv

ot ∆

∆

→∆=

Rv

a2

c = (4.38)

ความเรงน(มทศทางเขาหาจดศนยกลางเสมอ และเรยกความเรงน(วาความเรงสศนยกลาง(centripetal acceleration) น นคอ ความเรงสศนยกลางจะต (งฉากกบความเรวของการเคลอนท เนองจากการเคลอนทเปนวถโคง มความเรงเกดข(นสองชนดเพอไมใหสบสนจงกาหนดใหสญลกษณของความเรงสศนยกลางเปน ca 1. ความเรวเชงมม การเคลอนทเปนวงกลมจะมลกษณะการเคลอนทซ(ารอยเดมถามการเคลอนทเกนหนงรอบจงนยมอธบายตาแหนงอนภาคเมอเวลาตาง ๆ เปนเชงมม ดงรปท 4.10

P′ s∆ P

รปท 4.10 การเคลอนทเปนวงกลม ถาอนภาคเคลอนทเปนวงกลมจากจด p ไปถงจด p′ ไดระยะทางเปนเสนโคง s∆ และกวาดมมรอบจด o ไปเปนจด θ∆ เราจะกาหนดความเรวเชงมม (average angular velocity) ใชสญลกษณ avω

เปน

R

θ

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 89

ความเรวเชงมมเฉลย =

avω =

t∆θ∆

(4.39)

ทานองเดยวกน ความเรวเชงมมขณะใดขณะหนง (instantaneous angular velocity) ซงใชสญลกษณ w ซงตอไปน(จะเรยกความเรวเชงมม

o→∆t

lim=ω

t∆θ∆

(4.40)

dt

θd=

ω (4.41)

หนวยของความเรวเชงมมมหนวยเปนเรเดยนตอวนาท หรอ rad/s และมทศทางตาม θ∆ ซง θ∆

กาหนดใหมทศช(ออกต (งฉากกบระนาบการเคลอนทถาอนภาคเคลอนทเปนวงกลมในทศ

ทวนเขมนาฬกา รอบจดศนยกลาง และจะช(เขาหาระนาบถาอนภาคเคลอนทในทศตามเขมนาฬกา 2. ความเรงเชงมม (angular acceleration) ซงใชสญลกษณ α จะเปน

α 2

2

dt

θd=

dt

d=

ω (4.42)

โดยความเรงเชงมมมทศเดยวกนกบความเรวเชงมม ในระบบเอสไอความเรงเชงมมมหนวยเปนเรเดยนตอวนาท2 หรอ rad/s2 3. ความถ (frequency) และคาบ (period) ในการอธบายการเคลอนทเปนวงกลมมกนยมกลาวถงความถและคาบของการเคลอนทซงมความหมายดงน( 3.1 คาบ ใชสญลกษณ T หมายถง เวลาทอนภาคใชในการเคลอนทไดหนงรอบในระบบเอสไอมหนวยเปนวนาท น นคอ ถาใชเวลาหนงคาบอนภาคจะกวาดมมรอบจดศนยกลางไปได 360 องศา หรอ 2 π เรเดยน 3.2 ความถ ใชสญลกษณ f เปนปรมาณทมความหมายตรงกนขามกบคาบ หมายถง จานวนรอบทอนภาคเคลอนทไดภายในเวลาหนงหนวย ในระบบเอสไอมหนวยเปนรอบตอวนาท (round per second) หรอ เฮรตซ (Hertz) ใชสญลกษณ Hz

การเปลยนแปลงมมทกวาดไปไดรอบจดศนยกลาง ชวงเวลาทใชในการเคลอนท

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 90

ความสมพนธระหวางคาบและความถจงเปน

T = f1 (4.43)

4. ความสมพนธระหวางปรมาณเชงมมกบปรมาณเชงเสน

ถาเราเปรยบเทยบปรมาณตาง ๆ ทอธบายการเคลอนทเปนวงกลมในรปเชงมมและเชงเสนจะไดดงตารางท 4.1

ตารางท 4.1 เปรยบเทยบปรมาณเชงเสนกบปรมาณเชงมม

ปรมาณ เชงเสน หนวย เชงมม หนวย

ตาแหนงของวตถ ระยะกระจดระยะทาง(s) m

มม(θ ) rad

ความเรว ความเรวเชงเสน(v) m/s ความเรวเชงมม

( ω ) rad/s

ความเรง ความเรงเชงเสน(a) m/s2 ความเรงเชงมม

(α ) rad/s2

เวลา - s - s จากรปท 4.10 ถาอนภาคเคลอนทไดหนงรอบแสดงวาไดระยะทางการเคลอนทเปน 2 πR อตราเรว ( v ) จงได

v = T

R2π (4.44) และอตราเรวเชงมมเปน

T

2=

πω (4.45)

จากสมการท 4.44 และ 4.45 จะได Rv ω= (4.46)

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 91

สมการท 4.46 เปนความสมพนธระหวางอตราเรวทเปนเชงเสนกบอตราเรวเชงมม สมการน(จะไมเปนจรง ถาคดทศทางของอตราเรวสมการท 4.44 เมอเราเทยบกบชวงเวลาเดยวกนจะไดความสมพนธระหวางอตราเรงเชงเสนกบอตราเรงเชงมมจะได a = αR (4.47) ถาพจารณาสมการท 4.38 และ 4.46 จะไดความเรงสศนยกลางในรปเชงมมเปน R=a 2

c ω (4.48) ความสมพนธระหวางความเรวเชงมม,การกระจดเชงมมและความเรงเชงมม ในกรณทวตถเรมเคลอนทเปนวงกลมดวยความเรวเชงมม 0ω เมอเวลาผานไป t อนภาคน(มความเรวเชงมมเพมข(นเปน ω โดยความเรงเชงมมเปน α เราสามารถหาความสมพนธระหวางปรมาณทเกยวของจาก

dt

dω = α

ωd = α dt เมอเวลาเรมตน(t = 0) อนภาคมความเรวเชงมม 0ω เมอเวลาผานไปเปน t มความเรวเชงมมเปน ω

∫ω

ω0

d ω = ∫αt

0

dt

ถา α เปนฟงกชนของ t จะไดวา ω = 0ω + ( )dtt∫α (4.49) จากสมการท 4.48 ถา α มคาคงท จะได ω = 0ω + α t (4.50) การกระจดเชงมม θ ไดจาก

ω = dt

dθ

ดงน (น θd = ω dt

∫θ

θ

θ0

d = ∫ωt

0

dt

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 92

θ - 0θ = ∫ωt

0

dt (4.51)

ถา ω เปนฟงกชนของเวลาจะได θ - 0θ = ( )dtt∫ω (4.52) ถา α มคาคงท จะได θ - 0θ = 2

21

0 tt α+ω (4.53) เมอ 0θ เปนการกระจดเชงมมเมอเวลาเรมตน ตวอยางท 4.3 ดวงจนทรเปนบรวารของโลก โคจรรอบโลกเกอบเปนวงกลมโดยมรศมเฉลย 384,000 กโลเมตร และเวลาในการเคลอนทครบหนงรอบเปน 27.3 วน จงหาความเรงเขาสศนยกลางของดวงจนทรรอบโลก วธทา จากโจทยจะได T = (27.3 d )(24.0 h/d)(3600 s/h) = 2.36 ×106 s ระยะหางของดวงจนทรจากจดศนยกลางของโลก = 384,000 × 103 m R = 3.84 × 108 m จากสมการ 4.38 ได

R

R =

R

v=a

222

c

ω = 2

T

2

π R

m)10(3.84s102.36

3.142a 86c ×

××

=2

23

c s/m1072.2a −×= เมอเปรยบเทยบกบความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก g ซงเทากบ 80.9 2s/m จะได

223

c 9.8m/sg

m/s10×(2.72=a )

( )g1078.2a 4c ×=

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 93

ตวอยางท 4.4 วงลออนหนงมรศม 1 เมตร หมนรอบเพลาทไมมความฝดดวยความเรงเชงมมทเปนฟงกชนของเวลา ตามสมการ α = 4t + 3 เรเดยนตอวนาท2 เมอเวลา 5 วนาท ถาลอเรมเคลอนทจากจดหยดนง จงหา ก. อตราเรวของจด ๆ หนงทอยบนขอบลอ ข. การกระจดเชงมมของจด ๆ น (น วธทา ก. จากสมการ (4.49) จะไดวา

dtt

00 α∫+ω=ω

และเนองจาก 00 =ω ดงน (น

( )3t+2t=3)dt(4t 2t

0+∫=ω

t)(ω = 3t)(2t 2 + เมอแทนคา 5=t วนาท จะได ( ) ( )53+52= 2ω 65=ω รอบ/วนาท หรอ π=ω 130 เรเดยน/วนาท

และเนองจากจดบนขอบลออยหางจากศนยกลางของลอ 1 เมตร ดงน (นจดน(จะมอตราเรวเมอเวลา 5=t วนาท เปน

408.41301130Rv =π=×π=ω= เมตร/วนาท

ข. หาการกระจดเชงมมไดจากสมการ (4.52) คอ θ - 0θ = ( )dtt∫ω

แต 0=0θ และ ( ) ( )3t2t=tω 2 +

ดงน (น θ = 3t)dt(2t 3t0 +∫

ดงน (น 23 t2

3t

3

2+=θ

เมอแทนคา 5=t วนาท จะได

( ) ( ) 8.12052

35

3

2 23 =+=θ รอบ

หรอ π×=θ 28.120 เรเดยน 2.759= เรเดยน

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 94

การเคลอนทสมพทธ(relative motion) ตาแหนงและความเรวของวตถทผสงเกตหนงๆจะเหนไดยอมข(นอยกบตาแหนงและความเรวของผสงเกตน (น เชนผสงเกตทน งอยในรถไฟทกาลงเคลอนทจะมองเหนรถไฟทตวเอง น งอยหยดนง แตผสงเกตทอยขางทางรถไฟจะเหนวารถไฟกาลงวงไปเมอเทยบกบตวเอง น นคอ เมอวตถท (งหลายมการเคลอนท ตาแหนง, ความเรว, ความเรง ของวตถท (งหลายเหลาน (นจงไมสามารถจะกาหนดใหแนนอนลงไปไดถาผวดหรอผสงเกตมไดกาหนดจดอางองข(นมา การวดตาแหนงความเรวหรอความเรง จงข(นอยกบตาแหนงอางอง ปรมาณทวดจงเปนคาสมพทธกบจดอางอง หรอสมพทธกบผสงเกต เชนถารถยนต 2 คน กาลงแลนอยบนถนนตรงไปทางทศเหนอ รถคนหลงแลนดวยความเรว 80 กโลเมตรตอช วโมง รถคนหนาแลนเรวกวาคนหลง 20 กโลเมตร/ช วโมง ในกรณน(จะเหนวาผขบรถยนตคนหลงวดความเรวของคนหนาได 20 กโลเมตร/ช วโมง ไปทางทศเหนอเมอเทยบกบตวเองและรถยนตคนหนาจะวดความเรวรถคนหลงไดความเรว 20 กโลเมตร/ช วโมง ไปทางทศใต (แลนถอยหลง) เมอเทยบกบตวเอง ท (ง ๆ ทเมอเทยบกบพ(นดนหรอผสงเกตทยนอยกบทบนพ(นดนรถยนตท (งสองคนหลงกาลงแลนดวยความเรว 80 กโลเมตร/ช วโมง และ 100 กโลเมตรตอช วโมง ดงน (นการวดความเรวจะเหนวาข(นอยกบผสงเกต บนรถยนตคนหลงจะเหนรถยนตคนหนาแลนหางออกไปเรอย ๆ ช วโมงละ 20 กโลเมตรเสมอนหนงตวเองอยกบท สวนผสงเกตบนพ(นดนจะเหนรถคนหนาแลนหางตวเองออกไปช วโมงละ 100 กโลเมตร ซงแตกตางกนมาก ในกรณท วไปการวดปรมาณตาง ๆ เกยวกบการเคลอนท เรามกจะเทยบกบจดหยดนงจด หนง (ซงอาจจะกาลงเคลอนทเมอเทยบกบจดหยดนงจดอนๆ เชน จดหยดนงบนผวโลก ยอมไมหยดนงเมอเทยบกบจดนงบนดวงอาทตย เปนตน) เมอวตถต (งแตสองอนข(นไปเคลอนทยอมเปนการเคลอนทสมพทธกบจด ๆ น( ตาแหนง, ความเรว, หรอความเรง ของวตถหนงสมพทธกบอกวตถหนงสามารถหาความสมพนธไดดงตอไปน( ดงรปท 4.11

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 95

Y O

r r′ R

B

A X รปท 4.11 ตาแหนงของวตถ O เทยบกบจด A และ B สมมตวาผสงเกตอยทจด A และอยนง ผสงเกต B ซงกาลงเคลอนท ทเวลาใดๆอยทจด B ซงมเวกเตอรบอกตาแหนงเปน R

เมอวดเทยบกบ A และมวตถ O กาลงเคลอนทอยทตาแหนง

ทแทนดวยเวกเตอรบอกตาแหนง r เทยบกบ A หรออยทตาแหนง r′ เมอวดเทยบกบ B ผสงเกต A และผสงเกต B จะมองเหนวตถ O เคลอนทดวยความเรวและความเรงตางกนคอ จากรปท 4.12 r = R

+ r′ (4.54)

ผสงเกต A จะเหนวตถ O เคลอนทดวยความเรว dtrd และผสงเกต B จะเหนวตถ O

เคลอนทดวยความเรว dtrd ′ และจากสมการ 4.54 จะได

dtrd = dt

rd ′ + dtRd

(4.55) น นคอ v = v′ + V

(4.56)

v เปนความเรวท A เหนวตถ O เคลอนท v′ เปนความเรวท B เหนวตถ O เคลอนท V

เปนความเรวท A เหนผสงเกต B เคลอนท

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 96

น นคอวตถ O มความเรว v เมอเทยบกบ A หรอเปนความเรวท A เหน B จะเหนวตถน (นมความเรว v′ ซงมคาเทากบ v - V

เมอ V

เปนความเรวของ B เทยบกบ A และผสงเกตท (ง

สองจะเหนวตถ O มความเรวเทากนกตอเมอ V

= 0 หรอท (ง A และ B หยดนง หรอท (งสองมความเรวเทากนน นเอง การหาความเรงทผสงเกต A และผสงเกต B มองเหนวตถ O สามารถหาจากการหาอนพนธของสมการ 4.55 เทยบกบเวลา

dtvd = dt

dVdtvd

+′ (4.57)

OAa = OBa + BAa (4.58) เมอ OAa เปนความเรงของวตถ O เมอเทยบกบผสงเกต A OBa เปนความเรงของวตถ O เมอเทยบกบผสงเกต B BAa เปนความเรงของวตถ B เมอเทยบกบผสงเกต A จากสมการท 4.56 ถาผสงเกต B มความเรวคงทท (งขนาดและทศทางเมอเทยบกบ A ดงน (น A และ B จะเหนวตถ O มความเรงอยางเดยวกนท (งท B มความเรวเมอเทยบกบ A การท B เหนวตถ O มความเรงเชนเดยวกบท A เหน มผลสาคญตอปรมาณตางๆ เชน แรงในกฎของนวตนทกระทาตอ O พบวา A และ B จะเหนเปนคาเดยวกน ดงน (นถาระบบพกดทผสงเกตตางๆใชเคลอนทสมพทธกนดวยความเรวคงตว ระบบพกดน (นกจะไมมผลตอการสงเกตความเรงและแรงทกระทาตอวตถ ระบบพกดทใชเปนแกนอางองสาหรบกาหนดตาแหนงของวตถชนดทอยนงหรอมความเรวคงตวเรยกวา กรอบอเนอรเชยหรอกรอบเฉอย(inertial frame) ตวอยาง 4.5 เครองบน A กาลงบนไปทางทศเหนอดวยความเรว 300 ไมล/ช วโมง ในขณะเดยวกนเครองบน B กาลงบนโดยมทศทางทามม 60

กบแนวทศเหนอไปทางตะวนตกดวยขนาด 200 ไมล/ช วโมง จงหาความเรวของเครองบน A เมอเทยบกบผสงเกตในเครองบน B

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 97

รปท 4.12 การเคลอนทสมพทธของเครองบน A และ B วธทา จากรปท 4.12 จะพบวา BAAB vvv −= ( )BA vv

−+= ขนาดของ ABAB vv = ( )60cosvv2vvv BA

2

B

2

AAB ++=

( ) ( ) ( )21

2003002200300 22 −++=

6.264= ไมล/ช วโมง มมทเวกเตอร ABv ทากบแนวทศเหนอไปตะวนออก หาไดจากกฎของไซน คอ

60sin

v

sin

v ABB =θ

654.02

3

6.264

20060sin

v

vsin

AB

B =×==θ

7.40654.0sin 1 ==θ − องศา ดงน (น เครองบน A มความเรว 264.6 ไมล/ช วโมง ไปทางทศ 40.7 องศา จากทศเหนอไปตะวนออกเมอเทยบกบเครองบน B

N

60° θ

VA VB

- VB

VAB

W E

S

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 98

สรป 1. เวกเตอรบอกตาแหนง เปนการบอกตาแหนงของเวกเตอรใดๆในระนาบ ซงสามารถ

แยกเปนองคประกอบของเวกเตอรในแกน X และแกน Y เชนในกรณ 2 มต jyixr +=

2. ความเรวของอนภาคในระนาบ ไดจากการหาอนพนธของเวกเตอรบอกตาแหนงเทยบกบเวลา ซงจะไดองคประกอบของความเรวบนแกน X และ Y

jvivv yx +=

3. ความเรงของอนภาคในระนาบ ไดจากการหาอนพนธของความเรวเทยบกบเวลา

ซงจะไดองคประกอบของความเรงบนแกน X และ Y

jaiaa yx +=

4. การเคลอนทแบบโพรเจกไทล เปนการเคลอนทในระนาบดง การคานวณจะแยกคานวณการเคลอนทในแนวราบและการเคลอนทในแนวดงแยกจากกน 4.1 การเคลอนทในแนวราบถอวาขนาดความเรวคงทตลอดการเคลอนท

4.2 การเคลอนทในแนวดง ถอวาเปนการเคลอนทอยางเสรภายใตสนามโนมถวงของโลก

4.3 เวลาทใชในการเคลอนท ถอวาเวลาในการเคลอนทในแนวราบเทากบเวลาในการเคลอนทตามแนวดง 4.4 วถการเคลอนทแบบโพรเจกไทล เปนรปกราฟพาราโบลา

5. การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ เปนการเคลอนทในระนาบอกแบบหนงซงในกรณ

ทขนาดความเรวมคาคงท จะเกดความเรงเขาสศนยกลาง(aC) มทศเขาหาจดศนยกลาง 6. การอธบายการเคลอนทเปนวงกลมนยมอธบายปรมาณทเกยวของในรปเชงมม คอ ระยะ

กระจดเชงมม (θ

) ความเรวเชงมม (ω ) และความเรงเชงมม(α )

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 99

7. การเคลอนทสมพทธ เปนการเคลอนทของวตถสองอยางเปรยบเทยบกน ซงการบอกความเรว ความเรงของวตถใดๆจะตองคานงถงตาแหนงและความเรวของผสงเกตเปนสาคญตามสมการ

V v v

+′= v เปนความเรวทผสงเกตท 1 เหนวตถเคลอนท , v

′ เปนความเรวทผสงเกตท 2 เหนวตถเคลอนท และ V

เปนความเรวทผสงเกตท 1 เหนผสงเกตท 2 เคลอนท

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 100

แบบฝกหดทายบท

1. เครองบนลาหนงเคลอนทดวยความเรว 625 กโลเมตรตอช วโมงในทศทามม 45 องศา อยระหวางทศเหนอและทศตะวนตก ดงรปท 4.13 จงหาวาเครองบนจะบนไดระยะทางเทาใดในแนว ทศเหนอและทศตะวนตก เมอเวลาผานไป 3.00 ช วโมง 625 km/h

รปท 4.13 อธบายโจทยขอ 1 2. ตาแหนงของอนภาคๆหนงเปนฟงกชนของเวลาตามสมการ )k t j 4.85 i(7.6t r 2−+=

3. จงหาความเรวและความเรงของอนภาคน( อนภาคกอนหนงเคลอนทจากจดหยดนงในระนาบ XY ดวยความเรงทมคาเปน

) j 3.0 i (4.0 a += เมตรตอวนาท จงหา

ก. องคประกอบของความเรวตามแนวแกน X และแกน Y ข. อตราเรวของอนภาคน( ค. ตาแหนงของอนภาคทเปนฟงกชนของเวลา

4. อนภาคกอนหนงมตาแหนง(หนวยเมตร) ทเวลาใดๆเปน j t 3.0sin 6.0 i t 3.0 cos 6.0 r += จงหา

ก. ความเรวของอนภาคทเวลาใดๆ ข. ความเรงทเวลาใดๆ

45°

N

E W

บทท 4 การเคลอนในระนาบ 101

5. นกยงธนยงลกธนออกไปในแนวระดบไปยงเปาซงอยหางออกไป 15 เมตร ลกธนพงตรงไปยงศนยกลางของเปา แตมนปกตรงจดทตากวาจดกงกลางเปาเปนระยะ 52 เซนตเมตร จงหาวาเขายงธนออกไปดวยความเรวเทาใด 6. นกกระโดดน(าพงออกจากกระดานบอรดในแนวระดบดวยอตราเรว 1.75 เมตรตอวนาท ถากระดานบอรดอยสงกวาระดบน(า 3.00 เมตร จงหาวา นกกระโดดน(ามอตราเรวเทาใดกอนทจะกระทบผวน(า 7. นกฟตบอลเตะลกบอลออกจากพ(นสนามดวยความเรว 18.0 เมตรตอวนาท ในทศทามม 30.0 องศากบแนวระดบ จงหาวาลกฟตบอลจะกระทบพ(นสนามอกคร (งเมอเวลาผานไปเทาใด 8. โพรเจกไทลถกยงออกจากพ(นราบดวยความเรว 51.2 เมตรตอวนาทในทศทามม 44.5 องศากบแนวราบ จงหา ก. โพรเจกไทลน(ข(นไปสงสดเปนระยะเทาใด ข. เวลาทงหมดทโพรเจกไทลลอยอยในอากาศ ค. ความเรวของโพรเจกไทลเมอเวลาผานไป 1.50 วนาท 9. เครองบนบรรทกอาหารแหงเพอชวยเหลอผประสบภยน(าทวมกาลงบนในแนวระดบดวย

ความเรวคงท 160 กโลเมตรตอช วโมง และบนสงจากพ(น 160 เมตร นกบนมองเหน ผประสบภยน(าทวมอยทพ(น จงหาวาชวงระยะเวลาทเขาปลอยอาหารแหงออกจากเครองบน จนถงขณะทเครองบนอยเหนอหวผประสบภย 10. วตถอนหนงเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม สามารถเขยนกราฟระหวางความเรวใน หนวยเมตรตอวนาท กบเวลาในวนาท ดงแสดงในรป 4.14 เสนสมผสทผานจด C ผานจด A(1,2) และจด B(5,3) จงหา ความเรงของวตถน(ทจด C

รปท 4.14 อธบายโจทยขอ 10

C

A(1,2)

B(5,3)

T (s)

v (m/s)

บทท 4 การเคลอนทในระนาบ 102

11. รถยนตคนหนงวงเขาโคงรศม 300 เมตร ดวยความเรวคงท กาหนดใหความเรงในแนวตงฉากกบเสนทางโคงน (นตองไมเกน 0.8 g รถจงจะไมไถล จงหาความเรวสงสดของรถคนน(ทจะไมแหกโคง 12. ขณะทลกตมอยทตาแหนง A เชอกเอยงทามมกบแนวดงเปนมม θ ดงรปท 4.15 ความเรงในแนวสมผสของลกตมเทากบ gsinθ และปรากฏวาความเรงจะทามม β กบแนว OA จงหาความเรวเชงมม ω และความเรงเชงมม α ถาเชอกเบาและยาว ℓ

a

รปท 4.15 อธบายโจทยขอ 12 13. จงคานวณหาความเรงเขาสศนยกลางของอนภาคทตดอยทจดปลายของใบพดลมซงมเสนผาศนยกลาง 0.30 เมตร ทกาลงหมนดวยอตรา 1,200 รอบตอนาท 14. เมอหมนวงลอขนาดเสนผาศนยกลาง 1 เมตร ใหหมนรอบแกนเพลาของมนจนกระท ง หมนได 5,000 รอบตอนาท แลวปลอยใหวงลอน(กล(งไปบนพ(นราบ โดยไมมการไถล ภายหลงจากน (น 5 วนาท วงลอหมนได 500 รอบตอนาท สมมตอตราการลดจานวนรอบตอนาทคงท และลอเคลอนทเปนเสนตรง จงหา

ก. เวลาทลอกล(งไปไดระยะทางไกลสด ข. ระยะทางทลอกล(งไปไดไกลสด

β

ℓ

A

gsin θ

O

θ

บทท 5 แรงและกฎการเคลอนท

ในบทท 3 และบทท 4 เปนการอธบายการเคลอนทของวตถใดๆโดยไมคานงถงสาเหตของการเคลอนทน *นวาเกดจากอะไร ในบทน*เราจะไดศกษาสาเหตททาใหวตถเกดการเคลอนทซงเรยกวา พลศาสตร(dynamics) ซงจะนาไปสความเขาใจเรองแรงและความเฉอยวามความสมพนธกนอยางไรและมผลตอปรมาณการเคลอนทเชนความเรว ความเรงอยางไร การศกษาการเคลอนทในบทน*จะใชกฏการเคลอนทของนวตนมาอธบายการเคลอนทของวตถทมขนาดใหญทพอจะมองเหนไดและมอตราเรวนอยมาก เมอเทยบกบอตราเรวของแสงเทาน *น สาหรบวตถขนาดเลกขนาดอะตอมหรอโมเลกลหรอวตถทมมอตราเรวใกลเคยงกบอตราเรวแสง กฎการเคลอนทของนวตนไมสามารถอธบายได จะตองใชทฤษฏควอนตมมาอธบาย แรงและมวล แรง(force) เปนหวใจสาคญของการศกษาวชาฟสกสเพราะในชวตประจาวนของเราเกยวของกบแรงอยตลอดเวลา เมอเราออกแรงกระทาตอวตถใดๆจะมปรมาณสองปรมาณทอธบายแรงน *นไดแกขนาด(magnitude)และทศทาง(direction) ซงแสดงวาแรงเปนปรมาณเวกเตอรเสมอ แรงทกระทาระหวางวตถตางๆมท *งแรงทวตถสมผสกบแหลงกาเนดของแรง เชนใชมอผลกประตหรอใชเชอกดงรถยนตใหเคลอนท หรอแรงดงสปรงเรยกวาแรงสมผส(contact force) และอกแบบหนงคอวตถไมไดสมผสกบแหลงกาเนดของแรง เรยกวาแรงสนาม(field force) เชนแรงโนมถวง แรงดดและผลกของสนามไฟฟา เปนตน เราสามารถจาแนกแรงพ*นฐานในธรรมชาตเปน 4 ชนดคอ

1. แรงดงดดหรอแรงโนมถวง(gravitational force)เปนแรงดงดดระหวางมวลสองกอนทอยตดกนหรออยหางกน เชน แรงน*าหนก

2. แรงแมเหลกไฟฟา(electromagnetic force) เปนแรงดดหรอแรงผลกทางแมเหลกแตละข *วหรอแรงทประจไฟฟาแตละประจออกแรงดดหรอผลกกน

3. แรงนวเคลยรแบบเขม(nuclear force) เปนแรงทยดนวคลออนในนวเคลยส ทาใหนวเคลยสคงสภาพอยได

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 104

4. แรงอยางออน(weak force) เปนแรงดงดดระหวางอนภาคพ*นฐาน เพอประกอบกนเปน อนภาคขนาดใหญ และเปนสาเหตของการสลายตวของสารกมมนตรงสบางชนด แรงเปนปรมาณเวกเตอร ดงน *นการอธบายแรงๆหนงจะตองเขยนบอกท *งขนาดและทศทางจงจะสมบรณ ในระบบเอสไอ แรงมหนวยเปน กโลกรม-เมตรตอวนาทตอวนาท หรอนวตนใชสญลกษณ N ทจดเดยวกนถามแรงหลายแรงมากระทา เราจะตองรวมแรงเหลาน *นเปนแรงเดยวเรยกวาแรงลพธ

มวล(mass) เปนสมบตของสสารทบงบอกคาความตานทานในการเปลยนสภาพการเคลอนท น นคอมวลขนาดใหญจะทาใหเกดการเคลอนทยากกวามวลขนาดเลก มวลของวตถกอนเดมจะมคาคงทเสมอ ไมวาวตถน *นจะอยทใดกตาม มวลจงเปนปรมาณทบอกคาความเฉอย(inertia) ในวชาฟสกสถอวามวลเปนปรมาณสเกลาร ในระบบเอสไอ มวลมหนวยเปน กโลกรม(kg)

กฎการเคลอนทของนวตน ถาเราอยในสนามบนและออกแรงผลกกระเปาไปขางหนา สกพกหนงกระเปาจะเคลอนทชาลงจนหยดนง แสดงวาจะตองมแรงมากระทาตอกระเปาและแรงน*จะตองมทศทางตานการเคลอนทของกระเปา น นแสดงวาแรงจะมผลทาใหเกดการเปลยนแปลงการเคลอนทของวตถ ในกรณน*แรงกระทาหลงจากเราผลกกระเปาไปแลวเรยกวาแรงเสยดทาน (frictional force) ซงจะมากหรอนอยจะข*นอยกบผวสมผสระหวางวตถกบพ*นน *น เชนถาเราเลอกใหกระเปาน *นเคลอนทอยบนพ*นลนอยางน*าแขง กระเปากจะเคลอนทไปไดไกลกวาเดม ในการศกษาการเคลอนทของวตถท วๆไปบางคร *งเราจะไมคดแรงเสยดทานน*ถาแรงน *นมคานอยมาก หรอในกรณทจะศกษาการเคลอนทงายๆเราจะจนตนาการวาไมมแรงเสยดทานเพอตดปญหาขอยงยากอนๆ ในการทดลองในหองเรยนถาเราจะศกษาปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทตางๆเราจะลดแรงน*ลง โดยใหวตถเคลอนทในรางลม(air track) โดยรางลมจะเปาอากาศออกมาตามรดานขาง ขณะทวตถในทน*คอรถทดลอง(cart) จะยกตวข*นเลกนอย อนเนองมาจากถกลมดนข*น ดงรปท 5.1 ถาเรากาหนดใหรถเคลอนทดวยความเรวคงท รถจะเคลอนทดวยความเรวเทาเดมจนกระท งไปกระแทกกบกนชน(bumpers) ซงอยปลายสด กนชนจะออกแรงกระทาตอรถทาใหรถเปลยนทศการเคลอนทสวนทางกลบมาดวยความเรวคงทเชนเดม กฏการเคลอนทของนวตนสามารถอธบายการเคลอนทของวตถขนาดต *งแตทสายตาเรามองเหนจนวตถทมขนาดใหญไดด แตจากดทความเรวจะตองไมมากจนใกลเคยง

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 105

ความเรวของแสง และการคานวณเราจะสมมตใหวตถทกๆชนดเปนอนภาคขนาดจดๆหนงเสมอ

รปท 5.1 การเคลอนทของรถทดลองบนรางลม ทมา ( Walker s. James, 2004.p. 105 ) 1. กฎขอหนงของนวตน( Newton ‘s first law ) ไอแซค นวตน ไดศกษาผลการทดลองของกาลเลโอเรองการเคลอนทของวตถภายใตแรงโนมถวงของโลกและสรปเปนกฎขอหนงวา “วตถทอยนงจะยงคงอยนงเชนเดมและถาวตถทเคลอนทดวยความเรวคงท วตถดงกลาวจะเคลอนทดวยความเรวคงทเชนเดม ถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอวตถน *น” สรปอยางงายๆวาถาแรงลพธสทธทกระทาตอวตถเปนศนยวตถจะไมมความเรงหรอวตถอยในสมดลแหงการเลอนตาแหนง F∑ = 0 (5.1) บางคร *งกฏขอหนงของนวตนเรยกวากฏแหงความเฉอย (law of inertia)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 106

2. กฎขอสองของนวตน (Newton ‘s second law) พจารณาจากรปท 5.2 ถาลากรถทดลองบนรางลมซงไมมแรงตานการเคลอนท โดยใชเครองช งสปรงเชอมตอระหวางมอกบรถ แรงทเราลากรถสามารถอานจากสเกลของเครองช งสปรง ถาตอนแรกเราออกแรงลากดวยแรงขนาด F1 จะทาใหรถเคลอนทดวยความเรง 1a ในทศเดยวกนกบแรงดง F1 แตถาเราออกแรงดงใหมเปน F2 โดย F2 มขนาดเปนสองเทาของแรง F1 รถจะเคลอนทโดยมความเรงเปน a2 = 2a1 น นแสดงวา ความเรงเปนสดสวนโดยตรงกบแรงสทธภายนอกทกระทาตอวตถ

รปท 5.2 การออกแรงภายนอกกระทาตอวตถทมมวลเทาเดม ทมา ( Walker s. James, 2004.p. 106 ) ตอมาเราออกแรงกระทาตอรถเทาเดมคอ F1 แตเปลยนมวลของรถทลากเปนสองเทา พบวาความเรงตอนหลงเปนครงหนง ดงรปท 5.3 คอ

a2 = 21 a1

น นแสดงวาความเรงเปนปฏภาคผกผนกบมวล

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 107

รปท 5.3 แรงทเทาเดมกระทาตอรถทดลองซงมมวลเพมข*น ทมา ( Walker s. James, 2004.p. 107 ) จากผลการทดลองดงกลาวจงสามารถสรปงายๆไดวา ความเรงของรถมความสมพนธกบมวลและแรงดงคอ

a α mF (5.2)

จากสมการท 5.2 ถาให a มคาเปน 1 m/s2 และ m เปน 1 kg เราจะกาหนดคาแรงเปน 1 N ซง N เปนสญลกษณของหนวยนวตน เพอเปนเกยรตแก ไอแซคนวตน ผคนพบกฏน*และกลาวเปนกฏขอสองของนวตนไดวา “แรงลพธสทธทกระทาตอวตถจะทาใหวตถเคลอนทดวยความเรงในทศของแรงน *น โดยความเรงจะเปนสดสวนโดยตรงกบแรงและเปนสดสวนผกผนกบมวลของวตถ”

∑ F = ma (5.3) ตามสมการท 5.3 ∑ F เปนแรงลพธภายนอกทกระทาตอวตถ ทาใหวตถเคลอนทดวยความเรงตามทศของแรงน *น ถาไมมแรงภายนอกกระทาตอวตถจะทาใหวตถไมมความเรงซงหมายถงวตถอาจะหยดนง หรอเคลอนทดวยความเรวคงท ซงสอดคลองกบกฏขอหนงของนวตน สาหรบหนวยของแรงในระบบเอสไอคอนวตนเราสามารถจดใหอยในรปของหนวยฐานของระบบเอสไอไดคอ 1 N = ( 1 kg )( 1 m/s2 ) (5.4)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 108

ในกรณท วๆไป แรงททาใหวตถเคลอนทอาจจะไมกระทาในทศทวตถเคลอนทกได ถาแรง F กระทากบมวล m1 วดความเรงได a1 และออกแรงเทากนกบมวล m2 วดความเรงได a2 จากสมการ 5.3 จะได m1a1 = m2a2 หรอ

2

1mm

= 1

2

aa

(5.5)

อตราสวนของมวลจะเปนสดสวนกลบกบอตราสวนของความเรง สรปวาแรงขนาดเดยวกน ถาทากบมวลทมขนาดใหญ จะไดความเรงนอย แตถากระทากบมวลทมขนาดเลกกวา จะไดความเรงมากกวา ในกรณทมแรงหลาย ๆ แรงกระทาบนอนภาคทตาแหนงเดยวกน ความเรงคานวณไดจากการแยกองคประกอบของแรงออกแลวรวมแรงในทศเดยวกน จงใชกฎขอสองของนวตนพจารณาแตละแกนจะไดองคประกอบของความเรงของแรงยอยน *นเชนกน ∑ xF = max (5.6) ∑ yF = may (5.7)

∑ zF = maz (5.8) โดย F

= XF

+ yF

+ ZF

(5.9) a = xa + ya + za (5.10) 3. กฎขอสามของนวตน(Newton ‘s third law ) ในธรรมชาตแรงมกเกดเปนคๆเสมอ ซงจะเกดระหวางวตถสองอนออกแรงกระทาตอกน กลาวเปนกฎขอสามของนวตนไดวา “ ถาวตถอนหนงถกวตถอกอนหนงออกแรงกระทา วตถอนแรกจะออกแรงกระทาตอวตถอนหลงดวยแรงขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขาม”

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 109

ซงเรยกแรงคน*วาแรงกรยา(action)และแรงปฏกรยา(reaction) แรงกรยา = แรงปฏกรยา หรอ 12F

= - 21F

(5.11)

ซง 12F

คอแรงทวตถอนทสองกระทาตอวตถอนทหนง 21F

คอแรงทวตถอนทหนงกระทาตอวตถอนทสอง

ตวอยางของแรงคกรยาน*แสดงในรปท 5.4

รป 5.4 แรงกรยาและแรงปฏกรยา ลองพจารณาแรงตาง ๆ ดงรปท 5.5 ซงแสดงแรงกรยาและแรงปฏกรยาตามกฎขอท 3 ของนวตน ซงเราจะพบวาเมอใดทมแรงกรยาจะมแรงปฏกรยาเกดข*นเสมอ

12F

21F

วตถ 1 วตถ 2

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 110

รปท 5.5 แรงกรยาตางๆตองมแรงคปฏกรยาเกดข*นเสมอ ตวอยางท 5.1 นทและนอต ออกแรงยกถงน*า ซงมมวลของน*าและถงเปน 1.3 กโลกรมข*นดวยความเรวคงท ดงรปท 5.6 โดยนทออกแรง F1 ขนาด 7.0 นวตน ทามมกบแนวดงเปนมม θ ขณะทนอตออกแรง F2 ขนาด 11 นวตนทามมกบแนวดง 28 องศาจงหาขนาดของมม θ

รปท 5.6 ออกแรงยกถงน*าข*นดวยความเรวคงท วธทา เราสามารถเขยนแผนผงของแรงดงรปท 5.6 เราสามารถแยกแรง F1 และ F2 เปนองคประกอบตามแนวแกน x และแกน y เปน

1xF =- θsinF1

1F 28

sin28FF 22x =

cos28FF 22y =

θ 2F

θcos11y FF =

1F

2F

( )1F

2(F )

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 111

F1x = - F1sin θ (5.11) F1y = F1cos θ (5.12) F2x = F2sin 28 (5.13) F2y = F2cos 28 (5.14) แตเนองจากในแนวแกน x ถงน*าไมมการเคลอนท ตามกฏขอ 1 จงได ∑ Fx = max = 0 - F1sin θ + F2sin 28 = 0

sin θ = 1

2

F28sinF

= 7N(11N)sin28

= 0.74 θ = sin-1(0.74) = 48 องศา ตวอยางท 5.2 นกกฬาเบสบอลขวางลกเบสบอลน*าหนก 0.15 กโลกรมไปขางหนาดงรปท 5.7 ลกเบสบอลมความเรว 40 เมตรตอวนาท โดยนกกฬาเคลอนทเปนระยะ 2 เมตรจงหาแรงทนกกฬาใชขวางบอล

รปท 5.7 นกกฬาขวางลกเบสบอล ทมา (Walker J.S. , 2004, p. 114)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 112

วธทา ใหความเรวเรมตน(v0)ของลกบอลเปน 0 เมอลกบอลจะหลดจากมอมความเรว(v)เปน 40 เมตรตอวนาท โดยนกกฬาใชจงหวะระยะออกแรงจนถงระยะปลอยเปนระยะทาง x∆ = 2 เมตร จากสมการ xa2vv x

20

2∆+=

xa = x2vv 2

02

∆

− = 400 m/s2

จากสมการท 5.3 จะได Fx = max = (0.15 kg)(400 m/s2) น นคอแรงทใชขวางลกเบสบอลเปน 60 นวตน ตวอยางท 5.3 หญงคนหนงมมวล 65 กโลกรม ยนอยบนตาช งทวางอยบนลฟททกาลงเคลอนทลงดวยความเรง เปน 0.20 เทาของความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก ดงรปท 5.8 จงหาวา

ก. ถาหญงคนน*ยนบนตาช งสปรง ตาช งจะบอกน*าหนกเทาใด ข. ถาลฟทเคลอนทลงดวยความเรวคงท 2.0 เมตรตอวนาท ตาช งสปรงจะอาน

น*าหนกเทาใด

เครองช ง รปท 5.8 การช งน*าหนกบนลฟททกาลงเคลอนท ทมา( Giancoli C. Douglas, (2000), p.87) วธทา ก. สมมตใหทศของความเรงลงสขางลางเปนบวก จากกฎขอสองของนวตน ∑ F

= am

mg - NF = 0.20mg NF = mg - 0.20mg = 0.80mg

mg

NF

a

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 113

แรง NF เปนแรงทเครองช งกระทาตอผหญงและมขนาดเทากบแรงทผหญงกระทาตอเครองช งซงจะอานคาได (0.80x65kg) = 52 kg

ข. กรณทลฟทไมมความเรง จากกฎขอสองของนวตน mg - NF = 0 น นคอตาช งสปรงจะอานคาไดเทากบ 65 กโลกรม

ตวอยางท 5.4 คนบนเรอแคน 2 กลมมาเจอกนทกลางแมน*า หลงจากททกทายกนแลว ชายบนเรอแคน 1 ไดผลกเรอแคน 2 ดวยแรง 46 นวตนใหเรอแยกจากกน ถามวลเรอและคนบนเรอแคน 1 คอ 150 กโลกรมเชนกนมวลเรอและคนบนเรอแคน 2 คอ 250 กโลกรม ก.จงหาความเรงทกระทาซงกนและกนระหวางเรอแคน ข. ระยะหางระหวางเรอแคนเปนเทาไรหลงจากทผลกเรอไปแลว 1.2 วนาท

รปท 5.9 การออกแรงผลกกนของคนบนเรอเปนการใชกฎขอสามของนวตน ทมา (Walker J.S., 2004, p. 115) วธทา ก. ใชกฎขอสองนวตนหาความเรง กาหนดให

2F เปนแรงทชายทอยบนเรอลาทหนงผลกเรอลาทสองมทศไป

ตามแกน x และขณะเดยวกนเรอลาทสองออกแรงปฏกรยาตอบโต 1F ขนาดเทากนในทศ –x

กระทาน นคอเราสามารถหาความเรงของเรอลาทหนงซงมทศตาม 1F เปน 1a

1a = 1

1

mF

1a = kgN

15046- = -0.31 m/s2

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 114

ทานองเดยวกนเรอลาทสองจะเคลอนทดวยความเรง 2a

2a = 2

2mF

2a = 250kg

46N = 0.18 m/s2

ข.ใชสมการ x = x0 +v0t + 21

xa t2 หาตาแหนงของเรอแคนท *งสอง

เมอเวลาเรมตน x0 = 0 เรอแคนหยดนง v0x = 0 ตาแหนงเรอแคนลาทสองคอ

X2 = 21

2xa t2 = 21 (0.18 m/s2)(1.2 s) = 0.13 m

ตาแหนงเรอแคนลาทหนงคอ

X1 = 21

1xa t2 = 21 (-0.31 m/s2)(1.2 s) = -0.22 m

ระยะระหวางเรอแคนหลงจากทผลกเรอแลว 1.2 วนาทเปน X2 - X1 = 0.13 m - (-0.22 m) = 0.35 m น?าหนก(Weight) น*าหนกของวตถเปนสงทเราคนเคยและใชกนบอยโดยเฉพาะการช งตวงเพอคาขาย หรอดานการกฬาประเภทตอสมกจะเทยบกบน*าหนกระหวางคตอส น*าหนกเปนแรงโนมถวงทโลกดงดดวตถ คาวามวลและน*าหนก เรามกใชกนผดอยบอยๆ เชนเรามกเขาใจวาน*าหนกมหนวยเปนกโลกรม ซงไมใชแตกยงใชกนบอย การเขาใจความแตกตางระหวางมวลและน*าหนกอยางชดเจนเปนสงสาคญอยางทสด มวลเปนปรมาณสเกลารทบงบอกถงสมบตความเฉอยของวตถ การออกแรงทาใหวตถเคลอนทจงข*นอยกบวาวตถน *นมมวลมากหรอนอย น นคอยงมวลมากยงออกแรงมากข*น ถาวตถอยทบรเวณใกลผวโลกจะถกแรงดงดดของโลกดดเขาหาโลกซงกคอน*าหนกของวตถน *น W

= m g (5.15)

น นคอน*าหนกกบมวล เปนคนละปรมาณกน สาหรบมวลไมวาจะนาไปไวยงดาวดวงใดถอวาคงท แตน*าหนกจะข*นอยกบสนามโนมถวงของดาวดวงน *นดวย เชนเมอเราไปอยบนดวงจนทรน*าหนกจะลดเหลอประมาณ หนงในหกเทาของน*าหนกบนโลก สมการท 5.15 เปนสมการทใชหาน*าหนกของวตถทมมวล m โดยน*าหนกในระบบเอสไอมหนวยเปน นวตน และ

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 115

ถาอยใกลผวโลกวตถกอนเดยวกนเราถอวามน*าหนกคงท เพราะถอวาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก(g)ทระดบพ*นดนคงท น*าหนกเปนปรมาณเวกเตอรและมทศทางลงสจดศนยกลางของโลกหรอลงสพ*นดนน นเอง ตวอยางท 5.5 ทผวดวงจนทรไอโอ ซงเปนดวงจนทรบรวารของดาวพฤหส ความเรงของสนามโนมถวงมขนาด g′= 1.81 m/s2 แตงโมลกหนงมน*าหนกเทา 44.0 นวตนทผวโลก จงหามวลและน*าหนกของแตงโมทผวดวงจนทรไอโอ วธทา หามวลของแตงโมบนโลกจากสมการท 5.15

m = gW =

)2m/s (9.8

N) (44.0 = 4.49 kg

มวลของแตงโมทโลก มคาเทากบ 4.49 กโลกรม คาน*หมายถงสมบตของความเฉอยของวตถและจะมคาคงทเสมอไมวามวลกอนน*ไปอยทใด จากสมการท 5.15 เราสามารถหาขนาดน*าหนกของวตถบนผวดวงจนทรไอโอเปน W′ = mg′ = (4.49 kg)(1.81 m/s2) W′ = 8.13 N การใชกฎของนวตน(using newton ´s laws) กระบวนการนากฎการเคลอนทของนวตนไปใชกบสถานะการณเฉพาะอยาง เปนสงสาคญมาก โดยตอนแรกเราตองคานงถงวาระบบทเรากลาวถงคอวตถใดบาง ข *นตอนตอไปเราจะตองหาแรงทกระทาตอระบบหรอวตถทเราพจารณา โดยคดเฉพาะแรงทกระทาตอวตถแตไมคดแรงทวตถน *นไปกระทาตอวตถอน เพอชวยใหหาแรงทเกยวของงายข*นเราจะเขยนแผนภาพวตถเสร(free - body diagram)สาหรบวตถน *นๆ แผนภาพวตถเสรหมายถง แผนภาพทแสดงแรงท *งหมดทกระทาตอวตถทเราพจารณาเพยงอยางเดยว โดยไมคดแรงทวตถทเราพจารณากระทาตอวตถอนรวมท *งไมคดแรงทวตถกระทาตอตวเองเชนแรงดงดดระหวางโมเลกลของวตถ เพราะแรงเหลาน*ไมมผลตอการเคลอนทของวตถ ตวอยางการเขยนแผนภาพวตถเสรแสดงดงรปท 5.10

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 116

รปท 5.10 แสดงการเขยนแผนภาพวตถเสรของนกกฬาบาสเกตบอล ทมา (Young D. Hugh, (1992) p.99)

จากรปท 5.10 นกบาสเกตบอลคนหนงกระโดดโดยการดนพ*นดวยเทาของเขา แรงทกระทาตอเขาคอแรงปฏกรยาทพ*นดนตวเขากลบและน*าหนก w ของเขา หลงจากทผเลนลอยอยในอากาศ แรงเดยวทกระทาตอเขาคอน*าหนกของตวเขา ความเรงของเขามทศลงแมแตในขณะทเขาลอยตวข*น ในขณะทนกกฬาบาศเกตบอลคแขงขนของเขาทอยนงมแรงกระทาตอเขาจากน*าหนกของตวเขาเองและแรงปฏกรยาจากพ*นในแนวต *งฉากดนข*น N ทพ*นกระทาตอเขา ตวอยางท 5.6 ชดใบเลอยของเลอยแบบหมนชดหนงมมวล 5.0 กโลกรม ถกดงไปตามรางคระดบซงอยในแนวแกน X และไมมความฝดดวยแรง xF

ดงรปท 5.11 ตาแหนงของชด

ใบเลอยเปนฟงกชนของเวลาในหนวยเมตรคอ x = (0.18 t2) - (0.030t3) จงเขยนแผนภาพวตถเสรเพอหาแรงสทธทกระทาตอเลอยทเปนฟงกชนของเวลา

รปท 5.11 การออกแรงดงชดใบเลอยแบบหมน ทมา(Young D. Hugh, (1992) p.101)

w

N

w

xF

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 117

วธทา จากโจทยสามารถเขยนแผนภาพวตถเสรไดดงรปท 5.12 คอ

N

W

รปท 5.12 ดานขวามอเปนแผนภาพวตถเสรของการออกแรงกระทาตอเลอย

จากรปท 5.12 มแรงกระทาตอเลอย 3 แรงคอ xF

เปนแรงพยายามในแนวแกน X แรงน*าหนกของเลอย W

ซงมทศทางลงและแรงดนข*น N

ทรางทาเพอรองรบหวตด เนองจาก

ไมมความเรงในแนวดง ดงน *นแรงลพธสทธในแนวดงจงเปนศนย ทาใหไดวา

xF

= - N

แรงสทธท *งหมดทกระทาตอเลอยจงมเฉพาะแรงในแนวระดบเทาน *นคอ xF

แรงน* มคา

xF

= m xa (5.16) การหาคาความเรงในแนวระดบหาไดจากการหาอนพนธลาดบทสองของตาแหนงเทยบกบเวลาคอ

xa = 2

2

dtxd = 0.36 – 0.18t

นาคา xa ไปแทนคาในสมการท 5.16 จะได แรงลพธสทธทกระทาตอเลอยเปน xF = (5.0)(0.36 – 0.18 t) = 1.8 – 0.9 t ซงสามารถเขยนกราฟระหวางแรงกบเวลาดงรปท 5.13

xF

xF

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 118

(N)F

2.0 0 2 4 t(s) -3.0 รปท 5.13 แสดงแรงทกระทาตอเลอย ณ เวลาตางๆ

1. สมดลของวตถ(equilibrium of an object) เปนการนาเอากฎขอทหนงของนวตนมาอธบายปรากฏการณตางๆในเชงฟสกส การทเราจะกลาววาวตถตางๆอยในสมดลน *น หมายความวาแรงสทธท *งหมดทกระทาตอวตถน *นจะตองมคาเทากบศนย ซงจะทาใหวตถน *นหยดนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงทในกรอบอางองเฉอยเรยกสมดลลกษณะน*วาสมดลตอการเลอนตาแหนง ยงมสมดลอกลกษณะหนงเรยกวาสมดลตอการหมนซงจะกลาวรายละเอยดในเรองโมเมนตของแรง ∑F

= 0 (5.17)

สมการท 5.17 ถาเราแยกแรงออกเปนแรงองคประกอบของแรงตามแกน X และ Y จะได ∑ xF

= 0 (5.18)

∑ yF

= 0 (5.19)

วธแกปญหาเพอหาคาตอบเรองสมดลโดยใชกฎขอหนงของนวตนสามารถลาดบข *นตอนคอ

(1) วาดภาพแสดงสถานการณทางฟสกสอยางงายๆแสดงขนาดและมมตางๆ (2) เลอกวตถช*นหนงทอยในสมดล โดยอาจจะวาดวตถน *นเปนจดกได เขยน

แผนภาพวตถเสรทแสดงถงแรงท *งหมดทกระทาตอวตถน *น (3) อยางแสดงแรงใดๆทวตถน *นกระทาตอวตถอน ผลบวกของแรงในสมการท 5.17

มแตแรงทวตถอนกระทาตอวตถน*เทาน *น

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 119

α

(4) เลอกแกนพกดโดยใหจดทแนวแรงท *งหมดมาพบกนเปนจดกาเนด (5) แรงใดทไมอยในแกนพกดตามขอ 4 ใหแตกออกไปอยในพกดทกแรงจนสดทาย

จะไดองคประกอบของแรงท *งหมดอยในแกนพกดท *งหมด (6) ใชหลกสมดลตามสมการท 5.18 และ5.19 (7) ในกรณทมวตถต *งแตสองช*นข*นไปใหทาตามขอ 2 ถง 6 ซ*าสาหรบแตละวตถ

ถาวตถมอนตรกรยาระหวางกน(interactive) ใหใชกฏขอสามของนวตนเชอมโยงแรงททาระหวางกน

ตวอยางท 5.7 รถยนตคนหนงอยนงบนรางลาดของพ*นเอยงข*นรถลาเอยงสาหรบเคลอนยายรถดงรปท 5.14 หามลอและลอคจายกาลงถกปลดหมดมแตสายเคเบลทผกกบรถและกรอบของรถลาเลยงน *นทกนไมใหรถยนตกล*งลงมาจากพ*นเอยง ถารถยนตหนก w จงหาแรงตงในสายเคเบลและแรงทยางดนตอยางของรถยนต

รปท 5.14 การลาเลยงรถยนตข*นรถบรรทกเพอขนยาย ทมา (Young D. Hugh, (1992) p.112)

α

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 120

วธทา แผนภาพวตถเสรของแรงท *งหมดทกระทาตอรถยนตแสดงในรปท 5.15 ก. Y Y N

X N

T

X

T

α Wsinα α α Wcosα

W

W

ก. ข. รปท 5.15 แผนภาพวตถเสรของรถยนตขณะข*นรถลาเลยง

พจารณาแผนภาพวตถเสร แรงทกระทาตอรถยนตม 3 แรงคอ แรงน*าหนกของรถยนต W

มทศลงในแนวดงแรงตง T

จากสายเคเบล และแรงปฏกรยาจากพ*นเอยงทกระทาตอลอรถ N

ซงมทศต *งฉากกบระนาบพ*นเอยง เราจะเขยนแกนพกด XY โดยใหแรงตง T

อยในแนววแกน X ดงน *นแรง N

จงอยในแนวแกน Y และจะแยกแรง W

ใหมองคประกอบใน

แนวแกน X และ Y Wx = Wsinα Wy = Wcosα แตรถยนตอยในสมดลการเลอนตาแหนง น นคอ N = Wcosα (5.20) และ T = Wsinα (5.21)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 121

จากคาตอบในสมการท 5.21 แรงตง T มคาเทากบ Wsinα ถามาพจารณาความเปนไปไดของคาตอบ กรณท αมคาเปน 0 องศา หรอพ*นเอยงอยในแนวระดบ sin α = 0 และ cos α = 1 เมอแทนคาในสมการท 5.20 และ 5.21 ไดแรงตงเปนศนยซงในกรณทพ*นเอยงอยในแนวระดบจงไมจาเปนทสายเคเบลจะมแรงตงเพอร *งรถยนตไว ขณะเดยวกนแรงปฏกรยาในจากพ*นเอยงในแนวต *งฉากหรอแรง N จะมขนาดเทากบแรงน*าหนกของรถยนต 2. การใชกฎขอสองของนวตน(applications of Newton ,s second law) ตอไปเราจะพจารณาในกรณทวตถไมอยในสมดลคอมแรงลพธสทธมากระทาตอวตถซงจะเปนไปตามกฎขอสองของนวตน ∑F

= m a (5.22)

จากสมการท 5.22 สามารถแยกเปนองคประกอบของแรงในแนวแกน X และ Y เปน x

∑F

= xam (5.23) yF∑

= yam (5.24)

วธแกปญหาเพอหาคาตอบโดยใชกฎขอสองของนวตนสามารถลาดบข *นตอนคอ

(1) วาดสถานการณทางฟสกสอยางคราวๆ เลอกวตถช*นหนงหรอมากกวาหนงช*น ทเราจะใชกฎขอสองของนวตน

(2) เขยนแผนภาพวตถเสรสาหรบวตถทเราพจารณา แสดงแรงทกแรงทกระทาตอวตถยกเวนแรงภายในวตถน *นเอง และแรงน*าหนกจะช*ลงในแนวดงเสมอ ตอแนวแรงเหลาน *นมาพบกบทจดๆหนงซงถอเสมอนวามวลของวตถท *งกอนมารวมกนทจดน*

(3) เลอกแกนพกดโดยใหจดทแนวแรงท *งหมดมาพบกนเปนจดกาเนด (4) แรงใดทไมอยในแกนพกดตามขอ 3 ใหแตกออกไปอยในพกดทกแรงจน

สดทายจะไดองคประกอบของแรงท *งหมดอยในแกนพกดท *งหมด (5) เขยนสมการสาหรบกฎขอสองของนวตนในแตละแกนโดยใชสมการท 5.23

และ 5.24 ประกอบ (6) ถามวตถมากกวาหนงวตถ ใหทาตามข *นตอน 1-5 สาหรบแตละวตถ อาจม

ความสมพนธระหวางการเคลอนทของวตถตางๆ เชนวตถอาจตอกนดวยเชอกใหเขยน

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 122

m1

ความสมพนธเชนน *นในรปแบบพชคณตทแสดงความสมพนธระหวางความเรงของวตถตางๆเสรจแลวแกสมการเพอหาคาปรมาณทไมรคาทเราตองการ ตวอยางท 5.8 วตถสองช*นมความเรงขนาดเทากนดงรปท 5.16 กอนวตถทดลองมมวล m1 เคลอนทบนรางลมแนวระดบทไมมความเสยดทานในหองปฏบตการฟสกส วตถน*ผกตดกบกอนน*าหนกทดลองมวล m2 ดวยเชอกเบาออนทมความยาวคงทและคลองผานรอกทไมมความฝด จงหาความเรงของวตถแตละช*นและความตงในเสนเชอก

วธทา จากรปท 5.6 ถาเราพจารราวตถมวล m1 เราสามารถเขยนแผนภาพวตถเสรไดดงรปท 5.17 ก. และสาหรบวตถมวล m2 สามารถเขยนแผนภาพวตถเสรไดดงรป 5.17 ข. Y

N

T

T X X

W

W

ก. ข. รปท 5.17 แสดงแผนภาพวตถเสรของมวล m1 และ m2

m1

m2

รปท 5.16 วตถท-แขวนไวดวยเชอกเดยวกน

ทมา(Young D. Hugh, (1992) p.118)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 123

จากแผนภาพในรป 5.17 ก. รถทดลอง m1 ไมมการเคลอนทในแนวงแกน Y แสดงวาสมดลตอการเลอนตาแหนงในแนวแกน Y น นคอ W

= N

(5.25)

แตมวล m1 เคลอนทตามแกน X โดยมความเรงเปน a1xจากสมการ 5.23 จะได T = m1a1x (5.26) มวล m2 เคลอนทลงตามแกน Y โดยมความเรงเปน a2y จากสมการ 5.24 จะได W - T = m2a2y (5.27) แตโจทยบอกความเรงของวตถท *งสองมขนาดเทากน a1x = a2y ใหเทากบ a เมอเราแทนความเรงในสมการท 5.26และ 5.27 ดวยคา a และนาสมการท *งสองมาบวกกนจะได W = (m1 + m2)a (5.28) แต W = m2g น นคอ m2g = (m1 + m2)a

a = )21 m(mm+

2 g (5.29)

จากสมการท 5.26 แรงตงมคาเปน

T = )21

1

m(mmm+

2 g (5.30)

เราจะเหนวาแรงตง T มขนาดไมเทากบ W แตมคานอยกวา เพราะ ถา มคาเทากนจะทาใหวตถอยในสมดล ซงทจรงแลววตถ m2 ไมอยในสภาพสมดล

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 124

ตวอยางท 5.9 จากรปท 5.8 แสดงใหเหนตมตะก วถวงของสายเบดตกปลาทหอยจากเชอกทผกไวทจด P บนเพดานของรถยนตคนหนง เมอระบบมความเรงเปน a ไปทางขวา เชอกจะทามม β กบแนวดง จงหาความสมพนธระหวางความเรงเนองจากสนามโนมถวงของโลก(g )และความเรงของรถ(a)

ก. Tcos β β Tsin β a mg ข. รปท 5.18 ก.แสดงแรงทกระทาตอตมตะก วถวงทหอยบนรถทกาลงเคลอนทดวย ความเรง ข. แผนภาพวตถเสร ทมา (Young D. Hugh, (1992) p.119) วธทา วธการน*เปนการหาความเรงของสนามโนมถวงอยางงาย จากรปท 5.18 ข. วตถอยในสมดลตามแนวแกน Y น นคอ Tcos β = mg (5.30) m คอมวลของตมตะก ว สาหรบแนวแกน X จะได Tsin β = ma (5.31) จากสมการ 5.30 และ 5.31 จะได

tan β = ga (5.32)

T

Y

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 125

สมการท 5.32 เปนความสมพนธระหวางความเรงสนามโนมถวงของโลกกบความเรงของรถ แรงเสยดทาน(friction force) เมอวตถหนงเคลอนทบนผววตถอกอนหนงหรอท *งสองวตถเคลอนทโดยมผวทสมผสกน แรงทวตถอนหนงกดลงบนวตถอกอนหนง จะทาใหเกดแรงคปฏกรยาตามกฎขอสามของนวตน โดยวตถอนหลงจะออกแรงดนโตตอบวตถอนแรกดวยแรงขนาดเทากนแตทศตรงกนขาม ในกรณทวตถอนแรกหยดนงไมมแรงอนมากระทา นอกจากน*าหนกของตวมนเอง แรงดนโตตอบจากวตถอนหลงจะเปนแรงทรบน*าหนกของวตถอนแรกเทาน *น แตถามแรงภายนอกอนมากระทาตอวตถอนแรกใหเคลอนทหรอพยายามทจะใหมนเคลอนทแลว แรงลพธทกดลงบนผววตถอนหลงจะเอยงทามมกบผวสมผส ดงน *นแรงปฏกรยาทวตถอนหลงกระทาตอบกจะเอยงในแนวเดยวกนและมทศตรงกนขาม เมอแตกแรงน*ออกเปนสองแรงทต *งฉากกบผวสมผสและแรงทขนานกบผวสมผส แรงทต *งฉากจะเรยกวา แรงปกต(normal force)หรอแรงในแนวต *งฉาก กบแรงทขนานกบผวสมผสจะเรยกวา แรงเสยดทาน ท *งแรงปกตและแรงเสยดทานเรยกวาแรงสมผส(contact forces) แรงเสยดทานมอย 2 ชนดคอแรงเสยดทานสถตและแรงเสยดทานจลน โดยแรงเสยดทานเปนแรงทสาคญมากตอการดารงชวตประจาวน เชนน*ามนเครองในเครองยนตเปนตวลดแรงเสยดทานระหวางอปกรณหรอช*นสวนของเครองยนตทมการเคลอนไหว แตถาไมมแรงเสยดทานระหวางยางรถและถนนแลวเรากไมสามารถขบรถหรอเล*ยวรถได ถาไมมแรงเสยดทานตะปทฝงอยในเน*อไมจะหลดออกมา จะเหนวามนษยเราไดมสวนนาเอาแรงเสยดทานมาใชประโยชนในชวตประจาวน ซงแรงเสยดทานแตละชนดมรายละเอยดดงน* 1. แรงเสยดทานสถต(static friction) เปนแรงเสยดทานทเกดข*นเมอเราพยายามออกแรงกระทาตอวตถใหเคลอนท ถาเราออกแรงนอยๆวตถจะยงไมเคลอนทเพราะมแรงเสยดทานชนดน*ตานอย ถาเราเพมแรงข*นเรอยๆแรงเสยดทานสถตน*จะเพมข*นดวย จนกระท งเราออกแรงถงคาหนงทวตถเรมจะเคลอนทหรอเสยสมดล น นคอแรงเสยดทานสถตเปนแรงเสยดทานขณะทวตถหยดนงจนกระท งมนเรมเคลอนท ซงแรงเสยดทานสถตมทศตรงกนขามกบทศการเคลอนทของวตถเสมอ ดงรปท 5.19 กาหนดให fS เปนแรงเสยดทานสถต N เปนแรงปกต

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 126

N

T fS mg

รปท 5.19 แสดงทศทางของแรงเสยดทานทกระทาตอวตถ จากการทดลองพบวาขนาดของแรงเสยดทานสถต จะเปนปฏภาคโดยตรงกบแรงปกตดงสมการท 5.33 fS = Sµ N (5.33) Sµ เปนคาคงทเรยกวาสมประสทธของความเสยดทานสถต ผวสมผสคหนงๆจะมคา Sµ คงทเสมอ 2. แรงเสยดทานจลน(kinetic friction) หลงจากทวตถไดเคลอนทไปแลวจะพบวาวตถเคลอนทเรวข*นเรอยๆ ในขณะทแรงดงมคาเทาเดมและวตถมความเรงข*น แสดงวาแรงเสยดทานมคาลดลง และเมอเราลดแรงดงลงจนทาใหวตถเคลอนทดวยความเรวคงทแสดงวาวตถอยในสมดลน นคอแรงดงจะมคาเทากบแรงเสยดทานและเรยกแรงเสยดทานตอนทวตถเคลอนทแลววา แรงเสยดทานจลน โดยแรงเสยดทานจลนจะเปนปฏภาคโดยตรงกบแรงปกตดงสมการท 5.34 fk = N

kµ (5.34)

kµ เรยกวาสมประสทธ yของความเสยดทานจลน มคาคงทสาหรบผวสมผสคหนงๆ

และมคานอยกวา Sµ เสมอ ตวอยางท 5.10 วางวตถกอนหนงไวบนผวของพ*นอกอนหนง แลวคอยๆยกปลายดานหนงของวตถทรองรบวตถอนแรกข*น จงเปนพ*นเอยงทามม Sθ กบแนวราบดงรปท 5.20 ก.

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 127

fk

ปรากฏวาวตถกอน *นเรมไถลลงตามพ*นเอยงดวยความเรง แตถาลดมมของพ*นเอยงลงเปน

kθ วตถกอนน *นจะเคลอนทดวยความเรวคงทลงตามพ*นเอยง ดงรปท 5.20 ข. จงหาสมประสทธ yของความเสยดทานสถตและสมประสทธ yของความเสยดทานจลนของผวสมผสคน* N N fS

Wsin Sθ Wsin kθ Sθ Wcos Sθ kθ W Wcos kθ W

ก. ข. รปท 5.20 แสดงแผนภาพวตถเสรของวตถทวางบนพ*นเอยง วธทา กาหนดใหแกน X ขนานกบระนาบของพ*นเอยง และแกน Y ต *งฉากกบระนาบพ*นเอยงจากรปท 5.20 ก. วตถเรมไถลลงดวยความเรง fS = Wsin Sθ N = Wcos Sθ

NfS = tan Sθ

แต NfS =

Sµ

น นคอ

Sµ = tan Sθ

ในทานองเดยวกนสาหรบรปท 5.10 ข.จะได

kµ = tan kθ

ตวอยางท 5.11 จากรปท 5.21วตถ A วางสมผสกบผนงหนารถทอยในแนวดงและ กาลงวงดวยความเรง a โดยไมมกาวเชอมตดไว วตถ A น*จะไมหลนเมอรถวงไปขางหนา

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 128

และหยดนงเมอเทยบกบรถ ถาสมประสทธ yความเสยดทานระหวางผวสมผสน*เปน µจงหาวารถจะวงดวยความเรงเทาใด

a วตถ A รปท 5.21 วางวตถ A ไวหนารถทกาลงวง วธทา สมมตใหมวลของวตถ A เปน m เขยนแผนภาพวตถเสรของวตถ A ไดดงรปท 5.22

f

a

N

gm รปท 5.22 แผนภาพวตถเสรของวตถ A จากรปท 5.22 การทวตถ A จะไมหลนคอวตถ A จะตองเคลอนทไปดวยความเรง a ดวยแรง N ซงมคาเปนไปตามกฎขอสองของนวตนและมขนาดคอ N = ma (5.35) แรงในแนวดงอยในสภาพสมดล เพราะวตถ A ไมไถลข*นหรอลง f = µN = mg แทนคา N จากสมการท 5.35 µma = mg

a = µg

น นคอรถจะตองวงดวยความเรว µg

วตถ A จงจะไมหลน

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 129

พลศาสตรของการเคลอนทเปนวงกลม(dynamics of uniform circular motion) เมอวตถมการเปลยนแปลงความเรวท *งขนาดและทศทาง เราสามารถหาความเรงของการเคลอนทไดจาก

a = dtvd

แต v = v v เมอ v เปนเวกเตอรหนวยของ v จะได

a = vdtdv + dt

vdvˆ (5.36)

a = Ta + Ca (5.37)

โดย Ta ซงเทากบ vdtdv เรยกวาความเรงในแนวสมผส(tangential acceleration)

มทศทางเดยวกนกบความเรวและ Ca ซงเทากบ dtvdvˆ เรยกวาความเรงในแนวต *งฉากหรอ

ความเรงเขาสศนยกลาง(centripetal acceleration) ซงมทศต *งฉากกบทศของความเรวและเขาหาจดศนยกลางความโคงจากสมการท 4.38 เราไดขนาดของความเรงเขาสศนยกลางเปน

aC = Rv

2

จากกฎขอสองของนวตน cF

= cam (5.38)

cF

= แรงเขาสศนยกลางมทศตามทศของความเรงเขาสศนยกลาง

น นคอ cF = Rmv 2

(5.39) แรงเขาสศนยกลางตามสมการท 5.39 เกดจากแรงสทธท *งหมดทกระทาตอวตถทกาลงเคลอนทและมแนวช*เขาหาจดศนยกลางแรงน*ในชวตประจาวนไดมาจากแรงในรปอน เชนรถทกาลงเล*ยวโคงจะไดแรงเขาสศนยกลางมาจากแรงเสยดทานทผวถนนกระทากบยางลอรถ หรอเครองบนทตวงโคงไดเพราะมแรงสศนยกลางทไดมาจากแรงดนอากาศ ถาไมมอากาศเครองบนยอมบนโคงไมไดยกเวนแตจะไดแรงภายนอกอยางอนมาเปนแรงสศนยกลาง

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 130

ตวอยางท 5.12 เพนดลมแบบกรวย(conical pendulum) เปนการผกวตถมวล m ไวกบปลายดานหนงของเชอกเบายาว L แลวทาใหวตถเคลอนทเปนวงกลมในแนวระดบดวยอตราเรวคงท v โดยเชอกทามมกบแนวดงเปนมม β ดงรปท 5.23 ถาเชอกมแรงตงเทากบ F จงหาเวลาครบรอบของวตถน* Fcosβ F β β L Fsinβ O R mg

ก. ข. รปท 5.23 เพนดลมแบบกรวย

วธทา จากรปท 5.23 ข.เปนแผนภาพวตถเสรของแรงท *งหมดทกระทาตอวตถมวล m โดยวตถอยในสมดลตามแนวดง และ F เปนแรงตงในเสนเชอก แรงททาหนาทเปนแรงสศนยกลางคอแรง Fsinβ น นคอ Fcosβ = mg

Fsinβ = Rmv 2

ดงน *น tanβ = gRv2

(5.40)

จากรป 5.13 ก. จะได R = Lsinβ (5.41)

จากนยามของอตราเรว v = TS = T

R2π (5.42) เมอ S เปนความยาวของเสนรอบวง และ T เปนเวลาครบรอบหรอคาบ แทนคา R จากสมการท 5.41ลงในสมการ 5.42 และแทนคา v ลงในสมการ 5.40 จะได

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 131

tanβ = 2

22

)Tg(Lsin

)(Lsin4

ββπ

T = 2πg

Lcosβ

ตวอยางท 5.13 ถารถมวล m วงเขาทางโคงรศม r ดวยความอตราเรว v ดงรปท 5.24 จงคานวณหามมเอยงของถนนทจะทาใหรถวงไดอยางปลอดภย N Ncosθ N

θ Nsinθ θ ca mg mg รปท 5.24 รถเล*ยวโคงบนถนนเอยง รปดานขวาเปนแผนภาพวตถเสร วธทา กาหนดให N เปนแรงปฏกรยาจากถนนทาตอลอรถซงต *งฉากกบผวถนน จากแผนภาพวตถเสร เมอแยกแรง N ออกเปนองคประกอบทต *งฉากกนแลว แรง Nsinθ ทาหนาทเปนแรงสศนยกลาง

Nsin θ = rmv 2

และ วตถอยในสมดลในแนวดง Ncosθ = mg

น นคอ tan θ = rgv 2

ถนนจะตองเอยงเปนมม θ = tan -1 rgv 2

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 132

แรงทข?นอยกบความเรว(velocity – dependent forces) เมอวตถใดๆเลอนไปตามพ*นผว แรงเสยดทานทกระทาตอวตถข*นอยกบผวสมผสของวตถกบพ*นแตยงมแรงอกชนดหนงทตานการเคลอนทของวตถ แรงน*มสาเหตการจากตวกลางทวตถเคลอนทและรปรางของวตถทเคลอนทดวย เรยกแรงน*วาแรงตาน(drag force) เชน เมอวตถเคลอนทในตวกลางทเปนของเหลวหรอกาซ เชน อากาศ จะมแรงตานจากตวกลางมาเกยวของเสมอ ขนาดของแรงตานมกเพมตามอตราเรวของวตถทเคลอนผานของไหล สาหรบอตราเรวตาๆ ขนาดของแรงตานจะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวของวตถตามสมการ DF

= - b v (5.43)

เครองหมายลบแสดงวาแรงตานมทศทางตรงกนขามกบความเรว โดย DF

คอแรงตาน มทศตรงกนขามกบความเรวของวตถ

b คอคาคงทซงข*นอยกบความหนด(viscosity)และรปราง(shape)ของวตถทเคลอนท v คอความเรวของวตถทเคลอนท สมการท 5.43 ใชสาหรบวตถขนาดเลกๆทเคลอนทในของเหลวหรอกาซทมความหนดโดยความเรวไมมากนก เชน อนภาคฝนละออง(dust particles)เคลอนทในอากาศ สาหรบการเคลอนทของวตถทมความเรวสง เชน เครองบน นกดงพสธา ขนาดของแรงตานจากอากาศจะข*นอยกบกาลงสองของอตราเรวของวตถน *น คอ DF

α 2v (5.44)

แรงตานจากของไหล ทาใหวตถทตกในของไหลมความเรงไมคงท เชนเมอเราปลอยกอนหนทผวของสระน*าลกและกอนหนตกสกนสระ แรงตานของของไหลหาไดจากสมการท 5.43 และเราสามารถเขยนแผนภาพวตถเสรดงรปท 5.25

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 133

DF

X a mg Y รปท 5.25 แผนภาพวตถเสรของการปลอยกอนหนลงน*า จากรปท 5.25 เราสมมตใหทศการเคลอนทลงเปนบวก และไมมองคประกอบของแรงในแนวแกน Xและไมคดแรงลอยตว(buoyancy force)ของของไหลน*จากกฎขอสองของนวตน ∑ yF = mg – bv = ma (5.45) เมอกอนหนเรมตนเคลอนท มอตราเรวเปนศนย( v = 0) แรงตานมคาเปนศนย วตถเคลอนทลงโดยมความเรง a = g ตอมาอตราเรวเพมข*นแรงตานจะเพมข*นดวย จนในทสดแรงตานมคาเทากบน*าหนกของวตถ( FD = mg) ทาใหสมการ 5.45 มคาเปนศนย หรอไมมความเรงน นเองเราหาอตราเรวสดทาย(terminal speed : vT)ไดจาก mg – bvT = 0

VT = b

mg (5.46)

ความเรง,ความเรวและตาแหนงของวตถทเวลาตางๆ แสดงในรปท 5.26

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 134

a v g vT

0 t 0 t ก. ความเรงทเวลาใดๆ ข. ความเรวทเวลาใดๆ Y 0 t ค. ตาแหนงทเวลาใดๆ รปท 5.26 แสดง ความเรง,ความเรวและตาแหนงของวตถทกาลงตกโดยมแรงตานการ

เคลอนทเปนสดสวนกบความเรว ตามเสนโคงสทบ สวนการเคลอนทโดยไมม แรงตานใชเสนโคงสจาง

กอนทวตถจะมความเรวเทากบ vT เราสามารถพจารณาตามกฎขอสองของนวตนเปน

mdt

dv = mg – bv

T

v

0 v-v

dv∫ = - dt

m

b t

0∫

lnT

Tv

v-v = - tm

b

หรอ

v = vT

(b/m)t-e-1 (5.47)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 135

จากสมการท 5.47 เราหาอนพนธเทยบกบเวลาจะไดความเรง มคาตามสมการท 5.48

a = (b/m)t-ge (5.48)

และจากสมการ 5.47 เราปรพนธจะได ตาแหนงของวตถดงสมการ

y = vT(t- bm

(b/m)t-e-1 ) (5.49)

จากสมการท 5.46 ความเรวปลายเกดจากการคดแรงตานทเปนสดสวนโดยตรงกบความเรว แตในกรณทวตถทตกผานอากาศดวยความเรวสง แรงตานจะเปนสดสวนโดยตรงกบขนาดความเรวยกกาลงสอง ความเรวปลายจงเปน

VT = b

mg (5.50)

จากสมการท 5.50 เปนคาตอบของคาถามทวาวตถสองช*นทมรปรางเหมอนกนแตมคามวลตางกนตกจากทสงเดยวกนวตถทมมวลมากกวามอตราเรวปลายมากกวาและตกเรวกวา ตวอยางท 5.14 เมอนกดงพสธากระโดดออกจากเครองบน เขากางแขนขาออก ทาใหคาคงทของแรงตานจากอากาศ(b) มคาประมาณ 0.25 kg/m ถานกดงพสธามมวล 80 kg จงหาอตราเรวปลายของนกดงพสธา

วธทา จากสมการท 5.50 จะได VT = b

mg

= )m/kg25.0(

)2s/m8.9)(kg80(

= 56 m/s (ประมาณ 200 km/h) เมอนกดงพสธาดงรมชชพใหกางออก คาของ b จะเพมข*นอยางมากและอตราเรวปลายของนกดงพสธาและรมชชพมคานอยกวา 56 m/s มาก

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 136

ทอรกหรอโมเมนตของแรง(torques or moment of forces) ในการเคลอนทของวตถจะมอยหลายลกษณะ เชน การเปลยนตาแหนงหรอการเลอนท ซงตามกฎขอสองของนวตนเกดจากมแรงภายนอกมากระทาตอวตถ แตยงมการเคลอนทอกลกษณะหนงทวตถมตาแหนงเปลยนไปแตซ*ารอยเดมคอการหมน ปรมาณทจะอธบายการหมนไดดเรยกวา ทอรกหรอโมเมนตของแรง ทอรกเปนปรมาณเวกเตอรมนยามวา หมายถงผลคณระหวางแรงทพยายามหมนวตถรอบจดหมนกบระยะหางในแนวต *งฉากระหวางแนวแรงกบจดหมน พจารณาจากรปท 5.27 NF

F

r θ

O TF

L = rsin θ หมนทวนเขมนาฬกา รปท 5.27 ออกแรงหมนวตถทาใหเกดทอรก รปท 5.27 ออกแรงภายนอก F กระทาตอวตถทจด O เพอพยายามหมนวตถรอบจดหมน A ในทศทวนเขมนาฬกา จากนยามของทอรกจะได ทอรกทกระทากบวตถเปน τ = F x rsinθ = Frsinθ หรอ τ = Fr

× (5.51)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 137

จากสมการท 5.51 ทอรกเปนปรมาณเวกเตอรมทศทางต *งฉากกบ r และ F

ซงจากรปท 5.27 ทอรกมทศพงต *งฉากออกจากหนากระดาษ ซงเราจะใหมเครองหมายเปนบวก และถาพจารณาทศทางการหมนของแรง F รอบจดหมนแรงน*จะพยายามหมนวตถในทศทวนเขมนาฬกา จงสามารถกลาวไดอกวาทอรกทพยายามหมนวตถทวนเขมนาฬกา(โมเมนตทวน)มเครองหมายเปนบวก ทานองตรงกนขามกนทอรกทพยายามหมนวตถตามเขมนาฬกา(โมเมนตตาม)จะมเครองหมายเปนลบ เพอความสะดวกเราจะกาหนดให r และ F

อยในระนาบ XY โดยใชกฏมอขวาจะได

ทอรก มทศตามแกน Z ซงจะไดวา โมเมนตทวนจะมทศ + k และโมเมนตตามมทศ k- ˆ กาหนดให F

= iFx

ˆ + jFyˆ

r = ixˆ + jy จากสมการ 5.51 จะได τ = ( ixˆ + jy )x( iFx

ˆ + jFyˆ )

τ = (xFy – yFx) k (5.52) ถาเวกเตอรบอกตาแหนง r และแรง F

อยใน 3 มตคอ

F

= iFx

ˆ + jFyˆ+Fz k และ r = ixˆ + jy +z k

i j k จะไดทอรกคอ τ = x y z Fx Fy Fz ถาวตถไดรบแรงกระทาเพอหมนวตถพรอมกนหลายๆแรงและหลายตาแหนง ทอรกรวม( totalτ )จะเกดจากทอรกของแตละแรงรวมกนคอ

totalτ = i

N

ii Fr

×∑ (5.53)

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 138

ตวอยางท 5.15 อนภาคมมวลหนงหนวยเคลอนทในสนามของแรงตามสมการ F

= k6t-(2tj2)-(4ti8t)(6t 22 ˆ)ˆˆ +++

เมอ t คอเวลา จงหาทอรกของแรงน*รอบจดอางองโดยเมอเวลา t = 1วตถมความเรวเปน 1v = k5j4-i2 ˆˆˆ + และเมอเวลา t = 0 วตถอยทจดอางอง วธทา หาตาแหนงทแรงกระทา( r )ทเวลา t ใดๆ จากกฎขอสองของนวตน

F

= am = dtvdm

แต m = 1 จะได ∫ vd = ∫ k6t-(2tj2)-(4ti8t)(6t 22 ˆ)ˆˆ +++ )dt v + c = k2t-(tj2t)-(2ti)4t(2t 32223 ˆ)ˆˆ +++ (5.54) แทนคา t = 1 : 1v + c = k-i6 ˆˆ แตท t = 1 จะได 1v = k5j4-i2 ˆˆˆ + น นคอ c = k6-j4i4 ˆˆˆ + จากสมการท 5.54 จะได v = k62t-(tj4)-2t-(2ti4)-4t(2t 32223 ˆ)ˆˆ ++++ (5.55)

จาก v = dtrd จะได

∫ rd = ∫ + dti4)-4t(2t 23 ˆ +∫ j4)-2t-(2t 2 ˆ +∫ + 6)dt2t-(t 2 ท t = 0 จะได r =0

r = ( + i4t)-34t

2t 34

ˆ + j4t)-t-32t 2

3ˆ( + + k6t)t-3

t 23

ˆ(

ท t =1 จะได 1r = i6

13- ˆ - j313 ˆ + k3

16 ˆ (5.56)

ท t = 1 จะได 1F

= k4-j2i14 ˆˆˆ + (5.57)

จากสมการ 5.51 ,5.56 และ 5.57 จะได i j k

1τ = - 6

13 - 313 3

16

14 2 -4

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 139

1τ = k3

169j66i320 ˆˆˆ ++

ถามแรงหลายแรงกระทาตอวตถช*นเดยวกนในทศทางและตาแหนงตางๆกน แรงเหลาน*จะพยายามหมนวตถตามทศทออกแรงทาใหเกดโมเมนตรอบจดหมนใดๆทเราพจารณา ดงแสดงในรปท 5.28 B

23L P

N

2L mg

Q A รปท 5.28 แรงหลายแรงกระทาตอคานทจดตางๆกน จากรปท 5.28 แรง mg, N , P และ Q กระทาตอคาน AB ทจดตางๆกน แตคานไมเคลอนทและไมหมน แสดงวาคานอยในสมดลท *งสมดลตอการเลอนตาแหนงและสมดลตอการหมนถาพจารณา โมเมนตรอบจดหมน A จะไดวา โมเมนตทวน = โมเมนตตาม โมเมนตของแรง P และ แรง Q รอบจด A เปนศนยเพราะท *งสองแรงผานจดหมน สมมตแรง P ออกแรงกระทาทจดหางจด A เปนระยะสามในสเทาของความยาวคานถาคาน ยาว L จะไดวาโมเมนตของแรง P พยายามหมนคานรอบจด Aในทศทวนเขมนาฬกา

โมเมนทวน = P x 43L

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 140

ในทานองเดยวกน แรงน*าหนกซงกระทาทจดกงกลางคาน( 2L ) จะพยายามหมนคาน

รอบจด Aในทศตามเขมนาฬกา

โมเมนตตาม = mg x 2L

น นคอ P x 43L = mg x 2

L

สรป 1.แรงเปนปรมาณเวกเตอรทวดอนตรกรยาระหวางวตถสองช*น เมอแรงหลายแรงกระทาตอวตถช*นเดยวกน ผลตอการเคลอนทของวตถน *นมคาเทากบแรงเดยวซงเทากบแรงลพธของแรงเหลาน *นกระทา

2.กฎขอทหนงกลาววา เมอไมมแรงสทธภายนอกกระทาตอวตถ วตถจะหยดนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงท เรยกกฏน*วากฏแหงการสมดล

3. กฎขอสองของนวตน เมอมแรงลพธภายนอกกระทาตอวตถจะทาใหวตถเคลอนทดวยความเรง 4. กฎขอสามของนวตน แรงกรยา เทากบ ปฏกรยา

5. น*าหนกของวตถคอแรงทโลกดงดดวตถมทศเขาหาจดศนยกลางของโลก 6. เมอวตถอยในสภาพสมดลตอการเลอนตาแหนง หมายความวาแรงท *งหมดทกระทาตอวตถมคาเปนศนย แตถาวตถอยในสภาพสมดลตอการหมน แสดงวาทอรกท *งหมดทกระทาตอวตถมคาเทากบศนย

∑ xF

= 0 ∑ yF

= 0 สมดลตอการเลอนตาแหนง

∑ zF

= 0 ∑τ = 0 สมดลตอการหมน โมเมนตทวน = โมเมนตตาม

7. แผนภาพวตถเสร เปนการเขยนภาพเหตการณทางฟสกสวาวตถหรอระบบทเรากาลงพจารณามแรงอะไรบางทกระทาตอวตถและมทศทางอยางไร

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 141

8. เรยงเสยดทานเปนแรงทเกดข*นเมอวตถสองช*นเคลอนทโดยมผวสมผสกน หาไดจาก f = Nµ 9. แรงเสยดทานมสองชนดคอแรงเสยดทานเมอวตถเรมเคลอนทเรยกวาแรงเสยดทานสถตและแรงเสยดทานเมอวตถเคลอนทไปแลวเรยกวาแรงเสยดทานจลน โดยท วไปแรงเสยดทานสถตจะมคามากกวาแรงเสยดทานจลนเสมอ

10. ในการเคลอนทเปนวงกลมของวตถ เวกเตอรความเรงจะมทศเขาหาจดศนยกลาง ทาใหเกดแรงเขาสศนยกลาง โดยแรงเขาสศนยกลางมขนาดเปน

CF = Rmv 2

11.แรงตานการเคลอนท เปนแรงทมทศทางตรงขามกบทศการเคลอนทเกดจากการทวตถเคลอนทในตวกลางตางๆ เชนในของเหลว หรอในอากาศ แรงตานการเคลอนทจะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรว ถาวตถทเคลอนทน *นมนาดเลกและเคลอนทดวยความเรวไมมาก และแรงตานจะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวยกกาลงสอง ถาวตถน *นมขนาดใหญและเคลอนทดวยความเรวสง 12. ทอรกหรอโมเมนตของแรง เปนปรมาณทจะอธบายปรมาณดานการหมนของวตถ หาไดจากสมการ τ = Fr

×

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 142

แบบฝกหดทายบท

1. วตถมวล 0.4 กโลกรม เคลอนทโดยมตาแหนงเปนฟงกชนของเวลา คอ ( ) ( ) k 2+3t+j 4t i 6t -3t=r 32 ˆˆˆ +

โดยท r มหนวยเปนเมตร t มหนวยเปนวนาท จงหาแรงทกระทาตอวตถทเวลา t = 1 วนาท 2. มวลกอนหนงขนาด 50 กโลกรมหอยอยกลางเสนเชอกเบา ซงเชอกผกโยงระหวางตกสองหลงทอยหางกน 10 เมตร ทาใหเชอกทามม 10 องศากบแนวราบดงรปท 5.29 จงหาแรงตงในเสนเชอก 10 m 10 องศา 490 N รปท 5.29 มวล 50 กโลกรมหอยกบเชอกทาใหเชอกหยอนลงเปนมม 10 องศา

3. วตถกอนหนงถกแรงกระทามคา ดงน* 1F

= k-j2i6 + , 2F

= k2j3i2 +− , 3F

= k5j4i −+

ถาตองการใหวตถน*หยดนงจะตอวงออกแรงเทาใดกระทาตอวตถ 4. คนมมวล 50 กโลกรม ยนอยบนตาช งทมสเกลอานคาเปนนวตน ซงวางอยบนพ*นลฟท จงหาวาตาช งสปรงอานคาน*าหนกเทาใด เมอ 4.1.ลฟทเคลอนทข*นดวยความเรวคงทขนาด 3 m/s 4.2 ลฟทเคลอนทลงดวยความเรง 3 m/s2 4.3 ลฟทเคลอนทข*นดวยความเรง 3 m/s2 5. กลองมวล 7.0 kg วางอยบนผวพ*นเอยงทเรยบไมมความฝดโดยพ*นเอยงเอยงทามม 30 กบแนวราบดงรปท 5.30 จงหาวา

5.1 ความเรงของกลองทเคลอนทลงพ*นเอยง 5.2 ถากลองเรมเคลอนทจากจดหางจากฐานพ*นเอยงเปนระยะ 12.0 m กลองจะ

มความเรวขนาดเทาใดเมอถงฐานพ*นเอยง

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 143

30 รปท 5.30 กลองเคลอนทลงตามพ*นเอยง

6. วตถ 3 กอนผกตดกนดวยเชอกเบาดงรปท 5.31 วางไวบนพ*นราบทไมมความเสยดทานเมอออกแรงดงมวล m3 ดวยแรง 3T

= i60 N แรงตงเชอก 1T

และ 2T

มคาเทาใด ถากาหนดให m1 = 8 kg, m2 = 16 kg และ m3 = 24 kg

i m1 T1 m2 T2 m3 T3

รปท 5.31 ลากวตถ 3 กอนทผกตดกนดวยเชอกเบา 7. วตถมวล m1 ละ m2 วางตดกนบนพ*นราบและสมประสทธ yความเสยดทานระหวาง m1 และ m2 กบพ*นเทากนคอเทากบ 0.5 ดงรปท 5.32 ถาออกแรง 20 N ผลกมวล m1 ไปขางหนาตามแนวราบ จงหาแรงทมวล m1 กระทาตอมวล m2 กาหนดให m1 = 3 kg และ m1 = 1 kg 20 N m1 m2

รปท 5.32 ออกแรงกระทาตอวตถทอยตดกน

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 144

8. ถงบรรจน*ามวล 4.80 kg ใบหนงถกดงข*นดวยความเรงโดยเชอกทมมวลนอยมากและทนแรงตงไดสงสด 75.0 N จงหาขนาดของความเรงในทศข*นสงสดทถงใบน*จะมไดโดยทเชอกไมขาด 9. วตถสองกอนมวล 4 kg และ 6 kg วางอยบนพ*นเอยงทเอยงทามม 30 องศากบแนวราบ โดยมเชอกผกโยงไว ดวยกนดงรปท 5.33 ถาสมประสทธ yความเสยดทานจลนระหวางวตถท *งสองกอนบนพ*นเอยงมคา 0.5 และ 0.25 ตามลาดบ จงหา 9.1 ความเรงของวตถแตละกอน 9.2 แรงตงของเสนเชอก 8 kg 4 kg

30 รปท 5.33 วตถสองกอนทมเชอกผกโยงเคลอนทลงตามพ*นเอยง 10. ทางโคงราบ(ไมไดเอยง)บนทางหลวงสายหนงมรศม 220 m รถยนตคนหนงเล*ยวโคงดวยอตราเรว 30 m/s จงหาคาสมประสทธ yความเสยดทานทนอยทสดระหวางยางรถกบถนนทไมทาใหรถไถลออกทางโคง 11. จากรปท 5.34 จงหาความเรงของวตถมวล m2 ในเทอมของ m1,m2 และ g ถาผวทกผวทสมผสกนไมมความฝด และรอกไมมความเสยดทาน m1

m2

รปท 5.34 อธบายโจทยขอ 11

บทท 5 แรงและกฏการเคลอนท 145

12. เครองบนไดรบแรงยกจากอากาศ ทมทศต *งฉากกบระนาบปกของเครองบน ถาเครองบนกาลงบนดวยอตราเรวคงทขนาด 240 km/h และกาลงจะเล*ยวโคงในแนวระดบจากทศตะวนตกไปทศใตดวยรศม 1,000 m เครองบนตองเอยงปกทามมเทาใดกบแนวระดบ 13.วตถกอนหนงเคลอนทผานตวกลาง ซงมแรงตานการเคลอนทแปรผนโดยตรงกบกาลงสองของความเรว คอ F = kv2 เมอ F เปนแรงตาน และ k เปนคาคงท ถาวตถเรมเคลอนทจากจดหยดนง จงหา

13.1 ขนาดความเรวสดทาย( vT) 13.2 สมการของความเรวเมอเวลา t ใดๆ

14. กาหนดใหแรงตานการเคลอนทตอนกสเกตน*าแขง f = -kmv2 เมอ k เปนคาคงทและ m เปนมวลของนกสเกตน*าแขง ถานกสเกตน*าแขงถงเสนชย ดวยอตราเรวเทากบ vf และลดความเรวเลยบขอบสนามจงหาความเรวขณะเวลาใดๆหลงจากผานเสนชย 15. แรง F

= k6-j3i5 + กระทาตอวตถทจดทมเวกเตอรบอกตาแหนงเปน

r = k2j3-i4 + จงหาทอรกทเกดจากแรงน*รอบจดหมนทเปนจดเรมตน

บทท 6 โมเมนตมและการชน

ในบททแลวเราไดพจารณากฎการอนรกษพลงงานพลงงาน ซงมความสาคญสาหรบวชาฟสกสมาก ยงมปรมาณอนๆอกทเปนไปตามกฎการอนรกษทยงไมกลาวถง เชน โมเมนตมเชงเสน,โมเมนตมเชงมม และประจไฟฟา ในบทน2เราจะศกษาถงรายละเอยดของ โมเมนตมเชงเสนและกฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสนเพอนามาอธบาย ปรากฏการณทางฟสกสทพบบอยๆ เชนการชนกนหรอการกระทบกน เปนตน โมเมนตมเชงเสน (linear momentum) ถากลาวถงโมเมนตมแลวจะหมายถงโมเมนตมเชงเสนหรออาจจะเปนโมเมนตมเชงมม(angular momentum) แตโมเมนตมเชงเสนถกนามาใชบอยกวา ในบทน2จะกลาวถงโมเมนตมเชงเสนซงตอไปน2จะเรยกส 2นๆวาโมเมนตม สาหรบวตถทกาลงเคลอนทดวยความเรว การทเราจะทาใหวตถน2หยดเราจะคานงถงปรมาณสองปรมาณคอขนาดมวลของวตถและความเรวของมนจะพจารณาเพยงปรมาณใดปรมาณหนงไมได เราจงนาปรมาณท 2งสองมาคณกนและเรยกปรมาณน2วาโมเมนตม โมเมนตม หมายถงผลคณระหวางความเรวของวตถกบมวลของวตถน 2น ดงสมการท 6.1 =P

vm (6.1)

จากสมการท 6.1 โมเมนตมจงเปนปรมาณเวกเตอร มทศเดยวกนกบความเรว และมหนวยในระบบเอสไอเปน กโลกรมเมตรตอวนาท หรอ kgm/s

บทท 6 โมเมนตมและการชน 148

แรงกบการเปลยนโมเมนตม โมเมนตมเกยวของกบแรงภายนอกทกระทาตอวตถเสมอ พจารณาจากกฏขอสองของนวตน ∑F

= am

= dtvd

m

= dt

vdm

∑F

= dtpd

(6.2) จากสมการท 6.2 คอรปแบบท วไปของกฎขอท 2 ของนวตน ซงอาจกลาวไดวา “แรงทกระทากบวตถใดในขณะใดขณะหนงคอ อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมของวตถน 2น ในขณะน 2น” จะพบวากฎขอท 2 ของนวตนตามสมการ 6.2 น 2น สามารถใชไดท วไปแมในกรณมวลวตถไมคงทกใชได คอถามวล m ของวตถเปลยนแปลงจะได

∑F

= dtpd

= dtvdm

∑F

= dtvd

mvdtdm

(

+) (6.3)

∑F

= amdtdm

(v +) (6.4)

ตวอยางท 6.1 ลกบอลมวล 0.3 กโลกรม เคลอนทเขาชนผนงดวยความเรว 6 เมตรตอวนาท ในทศขนานกบแนวราบ หลงจากชนผนงแลวลกบอลกระดอนกลบในทศตรงกนขามดวยความเรวเทากบ 4 เมตรตอวนาท จงหาวาการชนผนงของลกบอลมการเปลยนแปลงของ โมเมนตมเทาใด วธทา สมมตใหลกบอลพงเขาชนผนงในทศ +x และกระดอนกลบในทศ –x จากสมการท 6.1 โมเมนตมกอนชนเปน P = (0.3 kg)(6 m/s) i โมเมนตมหลงชนเปน P

′ = - (0.3 kg)(4 m/s) i

บทท 6 โมเมนตมและการชน 149

การเปลยนแปลงโมเมนตม คอ P

′ - P

= - (0.3 kg)(4 m/s) i - (0.3 kg)(6 m/s) i = - 3.0 kgm/s น นคอลกบอลมการเปลยนแปลงโมเมนตมเปน 3.0 กโลกรมเมตรตอวนาทในทศ –x ตวอยางท 6.2 ถาแรงทกระทาตออนภาคมวล m มคาเปนตามสมการ F

= 26 i – 12t 2 j

ซงแรงมหนวยเปนนวตนและเวลามหนวยเปนวนาท จงหาการเปลยนแปลงโมเมนตมของอนภาคในวนาทท 1 ถงวนาทท 2

วธทา จากสมการท 6.2 ∑F

= dtpd

pd

= ( )dtj12ti262

1

2∫ −

pd

= (52-26) i – (32-4) j การเปลยนโมเมนตมมคาเทากบ 26 i -28 j นวตนเมตรตอวนาท การอนรกษโมเมนตม จากสมการท 6.2 ถาไมมแรงภายนอกกระทาตอระบบ จะพบวาระบบไมมการเปลยนแปลงโมเมนตม เรยกวากฎการอนรกษโมเมนตม

∑F

= dt

pd

dtpd

= 0

p = คาคงท

พจารณาลกบลเลยดสองลกมมวล 1m และ

2m เคลอนทเขาหากนในแนวแกน x

โดยมความเรวเปน 1v และ

2v ตามลาดบ ดงรปท 6.1 เมอเคลอนทมาพบกนจะชนกน

สมมตวาการชนกนน2ไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบ

บทท 6 โมเมนตมและการชน 150

รปท 6.1 การชนกนของลกบลเลยดทาใหเกดการอนรกษโมเมนตม ทมา (Giancoli C.Douglas, 2000, p.208) หลงจากชนกนแลว ลกบลเลยดแตละลกกระดอนกลบในทศตรงกนขามกบทศเดมดวย

ความเรว 1′v และ ′

2v พบวา โมเมนรวมกอนชนจะมคาเทากบโมเมนตมรวมหลงชนหรอ

2211+ vmvm =

2211′+′ vmvm (6.5)

21+ PP

= 21′+′ PP

(6.6) เมอ

1P

และ 2P

เปนโมเมนตมของลกบลเลยดทมมวล 1m และ

2m ตามลาดบ

ขณะกอนชนและ ′1P

และ ′2P

เปนโมเมนตมของลกบลเลยดทมมวล 1m และ

2m ตามลาดบ

ขณะหลงชน สมการท 6.4 เรยกวากฎการอนรกษโมเมนตม ซงกลาววา เมอไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบ โมเมนตมของระบบยอมมคาคงท กฏการอนรกษโมเมนตมมความสาคญมากสาหรบฟสกสเพราะสามารถนาไปอธบายปรากฏการณทเกดข2นในสงเลกๆระดบอะตอม ซงกฏของนวตนใชไมได

บทท 6 โมเมนตมและการชน 151

ตวอยางท 6.3 รถรางคนหนงมวล 10,000 กโลกรม กาลงเคลอนทมาตามรางดวยอตราเรว 24.0 เมตรตอวนาท เขาชนรถรางอกคนหนงซงมมวลเทากนและจอดนงอยบนรางดงรปท 6.2 หลงจากทชนกนแลวรถรางท 2งสองเคลอนทตดกนไป จงหาความเรวของรถรางหลงชน รปท 6.2 การชนกนของรถรางเปนไปตามกฏการอนรกษโมเมนตม ทมา (Giancoli C.Douglas, 2000, p.210) วธทา สมมตใหรถรางเคลอนทตามทศ +x โมเมนรวมกอนชน( P

)เปนโมเมนตมข

องรถรางคนทเคลอนทเทาน 2น ให 1v และ v′ เปนความเรวของรถรางกอนและหลงชนกน

โดยใหรถท 2งสองมมวลคนละ m P

= m

1v = 24.0(m) i

หลงชนรถรางท 2งสองเคลอนทตดกนไปดวยความเรว v′ โมเมนตมหลงชนเปน P′

P′

= 2m v′ จากกฎการอนรกษโมเมนตมจะได P′

= P

2m v′ = 24.0(m) i v′ = 12.0 i m/s หลงจากชนกนแลว รถรางจะเคลอนทตดกนไปดวยความเรว 12 เมตรตอวนาทในทศ +x

กอนชน

หลงชน

บทท 6 โมเมนตมและการชน 152

ตวอยางท 6.4 เดกน งอยบนเรอพายซงลอยนงอยน2านง ทนใดน 2นเดกกขวางกลองซงมมวล 5.40 กโลกรม ออกไปในแนวราบดวยอตราเรว 10.0 เมตรตอวนาท ดงรปท 6.3 จงคานวณหาความเรวของเรอหลงจากขวางกลองออกไปแลว ถาเดกมมวล 26.0 กโลกรม และเรอมมวล 55.0 กโลกรม

รปท 6.3 เดกขวางกลองออกไปจากเรอ กฎการอนรกษโมเมนตมจะทาใหเรอจะถอยหลง ทมา ( Giancoli C.Douglas, 2000, p.232 ) วธทา กอนทเดกจะขวางกลองออกจากเรอ ท 2งเรอและเดกซงถอวาเปนระบบหนงหยดนงจงมโมเมนตมรวมเปนศนย P

= 0

เมอเดกขวางกลองออกไปตามแนวราบ ดวยความเรว 10 m/s เกดโมเมนตมของกลองมทศไปทาง +x ให

1P เปนขนาดโมเมนตมของกลอง แตโมเมนตมรวมของระบบหลง

ขวางกลองยงคงเปนศนยเพราะไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบน2จงทาใหโมเมนตมรวมมคาคงท ดงน 2นเรอจงเคลอนทถอยหลง เพอสรางโมเมนตมมาหกลางโมเมนตมของกลอง ให

2P

เปนโมเมนตมของเรอหลงจากขวางกลองออกไป และ P′

เปนโมเมนตมรวมของระบบหลงขวางกลองออกไป P′

= 1

P

+ 2

P

= 0 = (5.40 kg)(10 m/s) + (26.0 kg+55.0 kg)v v = - 0.667 m/s เพราะฉะน 2นเรอจะเคลอนทถอยหลงไปทศ – x ดวยความเรว 0.667 เมตรตอวนาท

บทท 6 โมเมนตมและการชน 153

ตวอยางท 6.5 ลกบลเลยดลกหนง เคลอนทดวยความเรว 2.0 เมตรตอวนาทไปตามแนวแกน x เขาชนลกบลเลยดอกลกหนงทวางอยนงๆในแนวระดบเดยวกน โดยลกบลเลยดท 2งสองมมวลเทากน หลงจากชนกนแลวลกบลเลยดท 2งสองเคลอนทแยกจากกนโดยแตละลกทามมกบแนวราบเปนมม 45 องศาดงรปท 6.4 จงหาขนาดความเรวของลกบลเลยดท 2งสอง

รปท 6.4 การชนกนของลกบลเลยดในสองมต ทมา (Giancoli C.Douglas, 2000, p.211) วธทา กาหนดให กอนชนลกบลเลยดลกท 1 เคลอนทตามแนวแกน +x m เปนมวลของลกบลเลยดแตละลก

1v และ

1′v เปนความเรวกอนชนและหลงชนของลกบลเลยดลกท 1

2v และ

2′v เปนความเรวกอนชนและหลงชนของลกบลเลยดลกท 2

กอนลกบลเลยดชนกน โมเมนตมรวมจะเปนโมเมนตมกอนชนของลกทหนงเทาน 2น เพราะลกบลเลยดลกทสองหยดนง และโมเมนตมรวมน2อยในแนวแกน +x เทาน 2น สมมตใหเปน

xP

xP

= imv1ˆ (6.7)

หลงจากทลกบลเลยดชนกนแลว ลกบลเลยดท 2งสองจะแยกกน เราจะแยกโมเมนตม ของแตละลกใหอยในแนวแกน x และแกน y กาหนดให

yP′

เปนโมเมนตมรวมหลงการชนในแนวแกน Y

yP′

= m

sin45v1′ j - m

sin45v2′ j (6.8)

บทท 6 โมเมนตมและการชน 154

แตโมเมนตมรวมกอนชนในแกน Y มคาเปนศนย จากกฎการอนรกษโมเมนตมสมการท 6.8 เปน m

sin45v1′ = m

sin45v2′

น นคอ 1

v′ = 2

v′ ให = v (6.9) และสาหรบโมเมนตมรวมหลงชนในแนวแกน x จะได

xP′

= m icos45v1

ˆ′ + m icos45v2

ˆ′ (6.10) จากกฏการอนรกษโมเมนตมและจากสมการท 6.7 และ 6.10 จะได

xP

= x

P′

1mv = m cosv

1′ 45 + m cosv

2′ 45

2 v = 2.0 v = 2 m/s หลงชนลกบอลแตละลกจะเคลอนทโดยมขนาดของความเรวเปน 2 เมตรตอวนาท การดล(impulse) ในชวตประจาวนเราพบเหตการณทวตถสองอนกระทบกนอยบอยๆเชนไมตเทนนสกระทบกบลกเทนนส,รถยนตชนกน หรอคอนกระทบตะป เปนตน เหตการณเหลาน2ใชเวลากระทบกนส 2นๆ การหาแรงทกระทบกนเปนเรองยงยากเพราะแรงไมคงทตลอดเวลาทกระทบกน เราจงบอกแรงทกระทบในรปของแรงเฉลย เรยกวาแรงดล(impulsive force) ซงเปนแรงทกระทาในชวงเวลาส 2นๆ ซงแสดงในรปท 6.5 จากกฎขอสองของนวตน ถาเราคดในรปของแรงเฉลยจะได

F = t

P

∆∆

F t∆ = P∆ = J

(6.11) จากสมการท 6.11 คา F t∆ เรยกวาการดล(impuls)ใชสญลกษณ J

และ F

เปนแรงดล น นคอการดลหมายถงการเปลยนแปลงโมเมนตมของระบบ หนวยของการดลในระบบเอสไอมหนวยเดยวกนกบหนวยของโมเมนตมคอกโลกรม-เมตรตอวนาทหรอนวตน-วนาท

บทท 6 โมเมนตมและการชน 155

รปท 6.5 แสดงแรงดล ( F )ซงเปนแรงเฉลยทเกดข2นเมอวตถกระทบกบ พ2นทใตกราฟน2เปนคาของการดล ทมา( Buffa Wilson, 2003, p.185 ) ในกรณท การเปลยนแปลงเวลาในชวงส 2นๆเขาใกลศนย จากสมการท 6.2 จะไดการดลเปน J

= ∫ dtF

= Pd

ตวอยางท 6.6 ลกบอลมวล 0.40 กโลกรม ถกขวางไปทางซายดวยความเรวในแนวระดบ 30 เมตรตอวนาท กระทบกบกาแพงสะทอนกลบมาทางขวาดวยความเรว 20 เมตรตอวนาท จงหาแรงดลทกาแพงกระทากบลกบอล ถาลกบอลสมผสกบกาแพงเปนเวลา 0.010 s วธทา สมมตใหเวกเตอรทมทศไปทางขวาเปนบวก

xP = โมเมนตมของลกบอลกอนกระทบกาแพง = -(0.40 kg)(30 m/s)

′xP = โมเมนตมของลกบอลกอนกระทบกาแพง = (0.40 kg)(20 m/s)

การเปลยนแปลงโมเมนตม( P∆ ) = ′xP -

xP

P∆ = 20 kg-m/s จากสมการท 8.11 การดลมคาเปน 20 กโลกรมเมตรตอวนาท เปนบวกแสดงวาแรงดลมทศไปทางขวา เราสามารถหาแรงดลจากสมการท 8.11

F = 0.01020

= 2000 N น นคอแรงดลทลกบอลกระทบกาแพงมคา 2000 นวตน เราสามารถอธบายแรงดลทลกบอลกระทาตอกาแพง ตามรปท 6.6

บทท 6 โมเมนตมและการชน 156

F a b t 0.01 วนาท รปท 6.6 กราฟระหวางแรงทลกบอลกระทบกาแพงกบเวลา จากรปท 6.6 กราฟของ a, b แรงดลเปนศนยกอนกระทบ ตอมาแรงดลจะสงสดและลดลงเปนศนยอกคร 2ง หลงสะทอนจากกาแพง ในกรณทลกบอลคอนขางแขง เพราะสบลมเขาไปมาก เวลาของการชนจะส 2น แรงดลจะพงข2นไปสง ดงกราฟรป (a) แตถาลกบอลคอนขางนม เวลาของการชนจะมากข2น ดงกราฟรป (b) อยางไรกตามไมวาจะเปนกรณใด พ2นทใตกราฟจะเทากบ 20 N-s หรอ kg-m/s ทกกราฟ การชนกน(collision) โดยท วไปคาวาการชนกนมกหมายถงความเสยหายทจะเกดข2นตามมาเชนรถยนตชนกนดงน 2นการศกษาการชนกนเราจะตองใหความสาคญกบปรมาณทเกยวของอยางมาก หลงจากทเราไดเรยนรเรองหลกการคงตวของโมเมนตมของระบบมาแลว สาหรบการชนกนจะนาเอาหลกการอนรกษโมเมนตมอยางเดยวมาอธบายจะไมสามารถใหรายละเอยดการชนไดหมด ตวอยางเชน มวล

am

และ

bm

มความเรวเรมตนกอนชนเปน

au และ

bu

ตามลาดบ เคลอนทเขาชนกนในแนวแกน X หลงจากชนกนแลวความเรวสดทายเปน

av และ

bv ดงรปท 6.7

บทท 6 โมเมนตมและการชน 157

a

m a

u b

m b

u กอนชน

am

bm

a

v b

v หลงชน รปท 6.7 การชนกนของวตถทมขนาดไมเทากน

เนองจากไมมแรงภายนอกกระทากบระบบ ดงน 2น โมเมนตมรวมของระบบคงท

aaum +

bbum =

aavm +

bbvm (6.12)

เราทราบแตความเรวเรมตน

au

และ

bu แตความเรวสดทาย

av

และ

bv

ไมทราบ

คา และมเพยงสมการ 6.12 เพยงสมการเดยว ไมสามารถหาคาของตวแปรท 2ง 2 ได เพราะจานวนสมการ ไมเทากบตวแปร จงไมสามารถหาได

อยางไรกตามถาระหวางการชนแรงทเกดข2นเปนแรงอนรกษ พลงงานจลนของระบบท 2งกอนชนและหลงชนจะคงท การชนลกษณะน2เรยกวา การชนแบบยดหยน บางทกเตมใหยดยาวเพอใหชดเจนข2นวา การชนแบบยดหยนสมบรณ ตวอยางเชน การชนของลกบอลทสบลมคอนขางแขง หรอลกบลเลยด อนโลมไดวาเปนการชนแบบยดหยน สวนการชนอกแบบหนงพลงงานจลนของการชนสญเสยไปจงทาใหพลงงานจลนกอนชนและหลงชนไมเทากนเรยกวาการชนแบบไมยดหยน

1. การชนแบบยดหยน(elastic collisions) การชนแบบน2นอกจากจะเปนไปตามหลกการอนรกษโมเมนตมแลว พลงงานจลนรวมกอนชนเทากบพลงงานจลนรวมหลงชนหรอเปนไปตามหลกการอนรกษพลงงานจลนดวย เชน การชนกนของอนภาคเลกๆ ดงเชน อะตอมและอนภาคมลฐานท วไป พจารณาวตถชนกนดงรปท 6.7 ซงเปนการชนในหนงมต ถาเปนการชนแบบยดหยนแลวยอมเปนไปตามกกการอนรกษพลงงานจลน น นคอ

บทท 6 โมเมนตมและการชน 158

2

aaum2

1 + 2

bbum2

1 = 2

aavm2

1 + 2

bbvm2

1 (6.13) จากสมการท 6.12 จะได )(

aaav-um = )(

bbbu-vm (6.14)

จากสมการท 6.13 จะได )(

2

a

2

aav-um = )(

2

b

2

bbu-vm (6.15)

))((

aaaaav-uvum + = ))((

bbbbbu-vuvm + (6.16)

จากสมการท 6.14และ 6.16 จะได

aavu + =

bbvu + (6.17)

หรอ ba

u-u = ab

v-v = -( )ba

v-v (6.18) ตวอยางท 6.7 อนภาคโปรตอนมวล 1.01 u เคลอนทดวยความเรว 3.60 x 104 เมตรตอวนาท แลวไปชนตรงกลางของนวเคลยสฮเลยมซงหยดนง ทาใหโปรตอนเคลอนทกลบในทศตรงขามดงรปท 6.8 ถานวเคลยสฮเลยมมมวล 4.0 u จงหา ความเรวของโปรตอนและฮเลยมหลงจากชนกนแลว (กาหนดให 1 u = 1.66x10- 27 kg)

pu

p He กอนชน +X

pv P He

Hev

หลงชน รป 6.8 การชนกนของโปรตอนและนวเคลยสฮเลยม วธทา สมมตวาการชนน2อยในแนวแกน X การชนน2เปนการชนกนของวตถขนาดเลกมากและชนตรงกงกลางจงถอวาเปนการชนแบบยดหยน จากสมการท 6.12 กฎการอนรกษโมเมนตม โมเมนตมรวมกอนชน = โมเมนตมรวมหลงชน

บทท 6 โมเมนตมและการชน 159

pp

um + 0 = HeHepp

vmvm + (6.19) จากสมการท 6.18 0-u

p =

pHev-v

pv =

Hev -

pu (6.20)

แทนคา

pv ลงในสมการ 6.19 จะได

pp

um = )(pHep

u-vm + HeHe

vm

He

v = Hep

pp

mm

v2m

+

= 5.01um/s).60x102(1.01u)(3

4

ความเรวของฮเลยมหลงชน = 1.45x10 4 m/s จากสมการท 6.20

pv = (1.45x10 4 m/s) – (3.6x10 4 m/s)

ความเรวของโปรตอนหลงชน = -2.15 x 10 4 m/s 2. การชนแบบไมยดหยน(inelastic collision) เปนการชนของวตถขนาดใหญชนกนและพบบอยในชวตประจาวน เชน รถชนกน การชนแบบไมยดหยนน2ยงคงเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตม ซงหมายความวาถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบ โมเมนตมรวมกอนชนยอมเทากบโมเมนตมรวมหลงชน แตไมเปนไปตามกฏการอนรกษพลงงานจลน น นคอหลงการชนพลงงานจลนจะสญเสยไปซงอาจจะนาไปใชในการทาใหรปรางของวตถทชนกนเปลยนแปลง หรอเปลยนไปเปนพลงงานความรอน,พลงงานเสยง หรอพลงงานศกย บางคร 2งหลงการชนพลงงานจลนดราวกบเพมข2นได เชนวตถทถกสปรงชนกรณน2พลงงานจลนทเพมข2นเกดจากแรงภายนอกจากพลงงานศกยของสปรง อยางไรกตามหลงการชนไมมกรณใดทพลงงานจลนเพมข2นได มบางกรณทหลงจากชนกนแลววตถทชนกนตดกนไปดวย การชนแบบน2เรยกวา “การชนแบบไมยดหยนสมบรณ”(completely inelastic collision) ถงแมวาการชนแบบไมยดหยน พลงงานจลนของระบบจะไมเทาเดมระหวางกอนชนและหลงชนแตพลงงานรวมท 2งหมดของระบบจะคงทเสมอ และเปนไปตามกฎการอนรกษพลงงานจงสามารถเขยนสมการการชนกนไดดงน2

บทท 6 โมเมนตมและการชน 160

aa

um +bb

um = aa

vm +bb

vm

และ 2

aaum2

1 + 2

bbum2

1 = 2

aavm2

1 + 2

bbvm2

1 +Q (6.21) Q เปนพลงงานจลนทเปลยนไปหลงการชน โดยพจารณาคา Q ดงน2 (1) คา Q เปนบวก หลงการชนพลงงานจลนมคาลดลง หรอการชนมการดดกลนพลงงาน (2) คาQเปนลบ หลงการชนพลงงานจลนมคาเพมข2น หรอการชนมการปลดปลอยพลงงาน (3) คา Q = 0 การชนเปนการชนแบบยดหยน ตวอยาง 6.8 จากรป 6.9 ถามวลท 2งสองตดไปดวยกนหลงการชน จงหาความเรวหลงชนและพลงงานจลนหลงชนสญเสยไปเทาใด 2 m/s 5 kg 2 m/s 3kg 5 kg 3 kg

2v

A B A B +X กอนชน หลงชน รปท 6.9 การชนแบบไมยดหยนสมบรณของมวล 5 kg และ 3 kg วธทา ภายหลงชนวตถท 2งสองตดไปดวยกน จงเปนการชนแบบไมยดหยนสมบรณ พลงงานจลนของระบบไมคงท แตยงคงเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตม และใหการชนน2อยในแกน X (5 kg)(2 m/s) + (3 kg)(-2 m/s) = (5 kg + 3 kg)(v2)

จะได v2 = 0.5 m/s

v2 มเครองหมายเปนบวก แสดงวา มวลท 2งสองเคลอนทไปทางขวาหลงจากชน

พลงงานจลนของ A กอนชน คอ 2BvAm

2

1 = 2

1 (5 kg)(2 m/s)2 = 10 J

บทท 6 โมเมนตมและการชน 161

พลงงานจลนของ B กอนชน คอ 2BvBm

2

1 = 2

1 (3 kg)(-2 m/s)2 = 6 J

ดงน 2น พลงงานจลนรวมกอนชน คอ 16 J ขอสงเกต พลงงานจลนของ B เปนบวก แมวา vB1

และ mvB1 จะเปนลบท 2งค

พลงงานจลนรวมหลงชน คอ

( ) 22vBmAm

2

1+ =

2

1 (5 kg + 3 kg)(0.5 m/s)2 = 1 J

พลงงานจลนรวมหลงชนเปน 16

1 เทาของพลงงานจลนกอนชน เพราะฉะน 2น 16

15

เทาของพลงงานจลนกอนชนจะสญเสยไปกบการชน พลงงานสวนน2ไมไดหายไปไหน แตเปลยนรปไปเปนพลงงานความรอน ถามวล A ตดสปรงไว หลงจากชนแลวมวล A และ B ตดไปดวยกน พลงงานทหายไปน2ไมไดหายไปไหนจะไปสะสมเปนพลงงานศกยยดหยนอยในสปรง ตวอยาง 6.9 ยงกระสนฝงเขาไปใน Ballistic pendulum อปกรณน2มไวสาหรบวดความเรวของลกปน หลงจากถกยงแลว Pendulum จะแกวงข2นไปเปนระยะ y จงหาความเรวของลกปนกอนชนBallistic pendulum m M y

1v

รปท 6.10 ยงกระสนฝงใน Ballistic pendulum เพนดลมทาดวยไม มวล M แขวนดวยเชอก 2 เสนในแนวดง ถกยงดวยลกกระสนมวล m ความเรว v ฝงเขาไปในเน2อไม ถาไมมแรงภายนอกกระทากบระบบ โมเมนตมรวมคงท ให v2 แทนความเรวของเพนดลมและลกปนหลงถกยง, และ v1 แทนความเรวของลกปน

mv1 = (m + M) v2 ดงน 2น v1 = mM)(m +

v2

บทท 6 โมเมนตมและการชน 162

พลงงานจลนของระบบขณะทลกปนเขาชนเน2อไม คอ Ek = 21 (m + M) 2

2v

เพนดลมแกวงข2นไปเปนระยะ y จงหยดพลงงานจลนท 2งหมดจะถกเปลยนไปเปนพลงงานศกยโนมถวง ดงน2

21 (m + M) 2

2v

= (m + M) gy,

v2 = 2gy

แทนลงไปในสมการบนจะได v1 = +

m

Mm ( )2gy

การชนกนในสองมต กฎการอนรกษโมเมนตมและพลงงานยงคงใชไดสาหรบการชนกนในสองหรอสามมต ตวอยางของการชนกนในสองมตเชน การชนกนของลกบลเลยด รปท 6.11 ถากาหนดใหวตถมวล m1 ซงมโมเมนตม

1P

ในทศตามแนวแกน X เขาชนวตถมวล m2 ซงอยนง หลงจากชนกนแลว มวล m1 มโมเมนตม

1P′

ในทศทามม 1θ กบแกน X และมวล m2 มโมเมนตม

2P′

ในทศทามม 2θ กบแกน X Y

1P′

กอนชน หลงชน m1 m2 1θ X

1P

2θ

2P′

รปท 6.11 การชนกนในสองมต

บทท 6 โมเมนตมและการชน 163

จากรปท 6.11 เราสามารถใชกฏการอนรกษโมเมนตมไดคอ (∑

xP )กอนชน = (∑

xP )หลงชน (6.22)

1P

= 1

P′

1cosθ + 2

P′

2cosθ (6.23) (∑ yP )กอนชน = (∑ yP )หลงชน (6.24) 0 =

1P′

1sinθ - 2

P′

2sinθ (6.25) และถาการชนกนเปนการชนแบบยดหยน จะใชกฎการอนรกษพลงงานจลนคอ พลงงานจลนรวมกอนชน = พลงงานจลนรวมหลงชน

1kE =

1kE′ +

2kE′ (6.26)

1k

E คอพลงงานจลนของมวล m1 กอนชน

1k

E′ คอพลงงานจลนของมวล m1 หลงชน

2k

E′ คอพลงงานจลนของมวล m2 หลงชน

ตวอยางท 6.10 อนภาคโปรตอนเคลอนทดวยอตราเรว 8.2 x 105 เมตรตอวนาท เขาชนแบบยดหยนกบอนภาคโปรตอนของอะตอมไฮโดรเจน ทหยดนง ทาใหโปรตอนตวหนง กระเจงไปเปนมม 60 องศากบแนวเดม จงหาวา ก.โปรตอนอกตวหนงจะกระเจงไปเปนมมเทาใดกบแนวเดม ข. อตราเรวของโปรตอนท 2งสองหลงชนกน วธทา ก. สมมตใหโปรตอนตวแรกเคลอนทมาตามแนวแกน X

1v เปนอตราเรวกอนชนของโปรตอนตวแรก = 8.2 x 105 m/s

1

v′ เปนอตราเรวกอนชนของโปรตอนตวทสอง

2v′ เปนอตราเรวกอนชนของโปรตอนตวแรก

m เปนมวลของโปรตอนแตละตว

1θ′ มมกระเจงของโปรตอนตวท 1จากแกน X = 60 องศา

2θ′ มมกระเจงของโปรตอนตวท 2จากแกน X

จากกฎอนรกษพลงงานจลนจะได

2

1v = 22 ′+′ )()

21vv( (6.27)

บทท 6 โมเมนตมและการชน 164

จากกฎอนรกษโมเมนตมจะได v1 =

1v′ 1cosθ′ + 22cosv θ′′ (6.28)

0 =

1v′ 1sinθ′ + 22sinv θ′′ (6.29)

จากสมการท 6.28 และ 6.29 จดสมการใหมและยกกาลงสองจะได 2

1v - 1

22

1111 cos)v(cosv2v θ′′+θ′′ = 2

22

2 cos)v( θ′′ (6.30) (

1v′)2 1

2sin θ′ = 2

22

2 sin)v( θ′′ (6.31) นาสมการ 6.30 บวกกบ 6.31 และจากสตร θ+θ 22 cossin = 1 จะได

2

1v - 2

1111 )v(cosv2v ′+θ′′ = 2′)2

v(

จากสมการท 6.27 จะได 2′)2

v( = 2

1v - 2

1′)v( น นคอ

1′v = 11cosv θ′ = (8.2 x 105 m/s)cos

60 อตราเรวของโปรตอนตวทหนงหลงชน = 4.1 x 10 5 เมตรตอวนาท และเมอแทน

1′v ในสมการท 6.27 จะได

2

v′ = 2′)1

2

1v(-v = 7.1 x 10 5 m/s

โปรตอนตวทสองจะมอตราเรวหลงชน 7.1 x 10 5 เมตรตอวนาท

ข. จากสมการท 6.29 จะได 2sinθ′ = - 2

1

v

v

′′

1sinθ′

= - m/s107.1

m/s104.15

5

×× (0.866)

= - 0.5 น นคอ

2θ′ = -

30 น นคอมมทโปรตอนตวทสองกระเจงเปน 30 องศาใตแกน X

บทท 6 โมเมนตมและการชน 165

โมเมนตมเชงมม(angular momentum) ในหวขอ 61. ถง 6.6 ทกลาวมาน 2นเปนโมเมนตมเชงเสน ซงเปนปรมาณทบงบอกสภาพการเคลอนทเชงเสนของวตถ ในทานองเดยวกน ถามแรง F

กระทาตอวตถแลวทา

ใหวตถเคลอนทในลกษณะหมนรอบจดคงท และมเสนทางการเคลอนทเปนวถโคง โมเมนตมลกษณะน2เรยกวา โมเมนตมเชงมม พจารณามวล m ถกแรง F

กระทา ทาใหเคลอนทเปนเสนโคงในระนาบ XY ให r

เปนเวกเตอรบอกตาแหนงของมวล m เทยบกบจดหมน Oในการเคลอนทเปนเสนโคงน2มวล m มความเรวเชงเสน v

ในทศสมผสสวนโคง ดงรปท 6.12 ซงจะนยามโมเมนตมเชงมมวา L

= r x P

= r x vm

(6.32) L

คอโมเมนตมเชงมม

z L

y x v

O r

m รปท 6.12 วตถเคลอนทเปนทางโคงรอบจดหมนทาใหเกดโมเมนตมเชงมม จากสมการท 6.32 โมเมนตมเชงมมจงเปนปรมาณเวกเตอรมทศต 2งฉากกบ r

และ P

ตามกฏมอขวาและในระบบเอสไอมหนวยเปน กโลกรม-ตารางเมตรตอวนาท(kg-m2/s) ในกรณท เสนทางการเคลอนทของมวล m เปนวงกลมโดยมจด O เปนจดศนยกลาง r

คอรศมของวงกลมความเรวเชงเสน v

ซงอยในแนวสมผสเสนรอบวงจะต 2งฉากกบ r เราจง

ไดโมเมนตมเชงมมเปน L

=

mvrsin90 = mvr n (6.33)

บทท 6 โมเมนตมและการชน 166

n เปนเวกเตอรหนวยทช2ตงฉากกบระนาบการเคลอนทและเปนไปตามกฏมอขวา ถา v มขนาดคงทจากสมการ 4.46 จะได ขนาดของโมเมนตมเชงมมเปน

L = m 2ω r (6.64) จากสมการท 6.32 เราสามารถหาอนพนธของโมเมนตมเชงมมเทยบกบเวลาไดเปน

dtLd

= dt)Prd(×

dtLd

= Pdtrd

× + dtPd

r

×

dtLd

= vmv× + Fr

× เนองจาก vmv

× = 0 และ Fr× = τ น นคอ

τ = dtLd

(6.65) จากสมการท 6.65 การเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมทาใหเกดทอรก และถาไมมทอรกกระทากบวตถแลว โมเมนตมเชงมมของวตถจะมคาคงท ซงเรยกวา กฎอนรกษโมเมนตมเชงมม( conservation of angular momentum) ซงเขยนไดวา ถา τ = 0 แลว L1 = L2 = L3 = คาคงท (6.66) ตวอยางท 6.11 กอนหนมวล 2.0 kg กอนหนงมความเรวในแนวระดบขนาด 12.0 m/s เมอกอนหนอยทจด P ดงรปท 6.13 จงหา ก. โมเมนตมเชงมมของกอนหนเทยบกบจด O เมอกอนหนอยทจด P

ข. ถาแรงเดยวทกระทาตอกอนหนคอน2าหนกของกอนหน อตราการเปลยนแปลง

โมเมนตมเชงมมของกอนหนมคาเทาใด

บทท 6 โมเมนตมและการชน 167

8.0 m

A v = 12.0 m/s mg

36.9 รปท 6.13 กอนหนเคลอนทรอบจด O วธทา สมมตใหกอนหนมความเรวในทศ +X ขณะทกอนหนอยทจด A โมเมนตมเชงมมจะเปน ก. L

= r x vm

ขนาดของ โมเมนตมเชงมม L = rmv(sin

36.9 ) L = (8.0 m)(2.0 kg)(12.0 m/s)sin

36.9 L = 115 kg-m2/s จากการใชกฎมอขวา ทศของโมเมนตมเชงมมมทศต 2งฉากและพงเขาไปในหนากระดาษ

ข. จากสมการท 6.65 จะไดอตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมคอทอรก น นคอทอรก ทกระทาตอกอนหนรอบจด O คอ ทอรกทเกดจากน2าหนกเทาน 2น

τ = mgr(cos

36.9 ) = (2.0 kg)(9.8 m/s2)(8.0 m)(0.7997) อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมคอ 125 kg-m2/s2

O

บทท 6 โมเมนตมและการชน 168

สรป 1.โมเมนตมเชงเสน เปนปรมาณเวกเตอรทเกดจากผลคณระหวางมวลกบความเรว โดยมทศเดยวกนกบทศของความเรว คอ P

= vm

กฎขอสองของนวตนสามารถเขยนในรปของโมเมนตมเปน

∑F

= dtPd

2. ถาไมมแรงภายนอกกระทาตอระบบ จะไดวาโมเมนตมของระบบมคาคงท เรยกวากฏการอนรกษโมเมนตม 3. การดลคอการเปลยนแปลงโมเมนตม เกดจากแรงทกระทาตอวตถในเวลาส 2นๆ J

= ∫ dtF

= Pd

4. การชนกนของวตถจะเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตมคอ โมเมนตมรวมกอนชน = โมเมนตมรวมหลงชน ในกรณการชนอยในสองมต จะแยกโมเมนตมออกเปนองคประกอบในแนวแกน X ,Y (∑

xP

)กอนชน = (∑x

P

)หลงชน (∑

yP

)กอนชน = (∑ yP

)หลง

5. การชนกนแบบยดหยน หมายถงการชนกนของวตถโดยไมสญเสยพลงงานจลน น นคอพลงงานจลนรวมกอนชนเทากบพลงงานจลนรวมหลงชน 6. การชนแบบไมยดหยน หมายถงการชนกนของวตถโดยมสญเสยพลงงานจลนในระหวางการชนกนทาใหพลงงานจลนกอนชนไมเทากบพลงงานจลนหลงชน แตอยางไรกตามเมอคดพลงงานท 2งหมด การชนแบบน2ยงคงเปนไปตามกฏการอนรกษพลงงาน 7. การชนกนในสองมต เปนการชนกนของวตถทหลงการชนแลววตถทชนกนกระเจงออกไปในทศทางทตางกน แตยงคงเปนไปตามกฏการอนรกษโมเมนตม 8. โมเมนตมเชงมม เปนปรมาณทเกยวของกบการหมนหาไดจาก L

= r x P

= r x vm

9. กฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม กลาววา ถาไมมทอรกภายนอกมากระทาตอระบบจะทาใหระบบน 2นมโมเมนตมเชงมมคงท

บทท 6 โมเมนตมและการชน 169

แบบฝกหดทายบท

1. รถเกงมวล 2,000 kg จะตองวงดวยความเรวเทาใด จงจะมโมเมนตมเทากบรถบรรทกมวลทมมวล 10,000 kg และวงดวยความเรว 12.0 m/s และมคาโมเมนตมเทาใด 2. ลกเบสบอลมวล 0.25 kg ลกหนงกาลงเคลอนทในทศ +X ดวยอตราเรว 2.0 m/s และลกเทนนสมวล 0.057 kg เคลอนทในทศ –X ดวยอตราเรว 6.5 m/s จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตมของระบบลกบอลสองลก 3. ลกกอลฟมวล 0.05 kg เดมอยนงเมอถกตดวยไมกอลฟ ทาใหมความเรวเปน 20.00 m/s โดยไมกอลฟกบลกกอลฟสมผสกนนาน 2.00 ms จงหาแรงเฉลยททาตอลกกอลฟ 4. เครองยนตของยานอวกาศเครองหนงออกแรง 26,000 N โดยทาอยนาน 5 วนาท โดยพนเช2อเพลงออกมา โดยเช2อเพลงทพนออกมามมวลนอยมากเมอเทยบกบมวลของยาน โดยยานมมวล 95,000 กโลกรม จงหา

ก. การดลของแรงน2 ข. โมเมนตมทเปลยนไปของยานอวกาศ

5. วตถ A มมวล 1.00 Kg และวตถ B มมวล 3.00 kg วตถท 2งสองถกดนเขาหากนโดยการอดสปรง S ระหวางวตถท 2งสอง หลงจากน 2นกปลอยระบบจากหยดนงบนผวลนแนวระดบสปรงซงมมวลนอยมากไมไดถกยดไวกบวตถใด และตกลงพ2นหลงจากทขยายตวออก ดงแสดงในรปท 6.14 วตถ B มอตราเรว 1.20 m/s จงหาวาวตถ A มอตราเรวเทาใด A B รปท 6.14 วตถ A และ B ถกอดเขาหาสปรง 6.รถยนตมวล 1400 kg คนหนงกาลงวงบนถนนราบ ไปทางทศตะวนตกดวยอตราเรว 35.0 km/h ชนรถบรรทกมวล 2800 kg ซงกาลงวงไปทางทศใตดวยอตราเรว 50.0 km/h ถารถท 2งสองคนตดกนไปหลงชน ขนาดและทศของความเรวของรถท 2งสองหลงชนมคาเทาใด

บทท 6 โมเมนตมและการชน 170

7. ลกกระสนปนมวล 5.00 g ถกยงในแนวระดบเขาไปในกอนไมมวล 2.0 kg ลกกระสนฝงอยในกอนไมซงสงเกตเหนวาไถลไปตามผวพ2นเปนระยะ 0.230 m กอนทจะหยด อตราเรวเดมของลกกระสนมคาเทาใด 8. ยงกระสนปนมวล 10.0 g ดวยอตราเรว 400 m/s เขาไปในเพนดลมแบบบลลสตกมวล 8.0 kg ซงแขวนไวกบเชอกยาว 80.0 cm ดงรปท 6.15 จงหา ก. ความสงในแนวดงทเพนดลมแกวงไปไปถง ข. พลงงานจลนของลกกระสนปนและเพนดลมหลงจากทลกกระสนปนเขาไปฝงตว 80.0 cm 10.0 g Y 400 m/s 8.0 kg รปท 6.15 ยงกระสนปนเขาไปยงบลลสตกเพนดลม 9. ตรถสนคาตหนงซงมทรายเตมรถแลนดวยอตราเรว 15.0 m/s บนรางตรงแนวระดบ ไมตองคานงถงแรงเสยดทานททากบตรถ มวลท 2งหมดของรถบวกทรายมคา 85,000 kg ประตตรถปดไมสนททาใหมทรายร วออกดานลาง หลงเวลาผานไป 20 นาทพบวามทรายร วออก 13,000 kg อตราเรวของตรถขณะน 2นมคาเทาใด 10. ลกอกาบาตรมวล 2000 kg มอตราเรว 120 m/s กอนจะชนโลกอยางตรงๆจงหาความเรวถอยหลงของโลก กาหนดมวลของโลกเทากบ 5.98 x 1024 kg 11. ยงปนกลกระสนมวล 35.0 g ดวยอตราเรว 750.0 m/s ถาปนน2ยงได 200 นดตอนาทเราจะตองออกแรงตานการเคลอนทถอยหลงของปน

บทท 6 โมเมนตมและการชน 171

12. อนภาคมวล m เคลอนทเปนวงกลมรศม R ดวยอตราเรว v ดงแสดงในรปท 6.16 ถา อนภาคน2เรมตนเคลอนทจากจด Q จงหาคาโมเมนตมเชงมมเมออนภาคเคลอนทถงจด P y

v

R m รปท 6.16 โมเมนตมเชงมมของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม

บทท 7 งานและพลงงาน

พลงงานเปนส งท ท วโลกใหความสนใจเปนพเศษ อนเน องมาจากมนษยมความจาเปน ตองบรโภคพลงงาน (energy consumption) ดวยปรมาณท มากข8น ตามความเจรญและความตองการความกนดอยดของมนษย ในขณะท แหลงกาเนดพลงงานในธรรมชาตมจานวนอยในขอบเขตอนจากด ดงน 8น การศกษาเก ยวกบงานและพลงงานทางฟสกสตามท จะกลาวถงในบทน8 จงนบวาพ8นฐานความรท จะมประโยชนย ง งาน (work) งานโดยท วๆไปงานมความหมายไดหลายอยางและไมมความชดเจนในดานการวด เชนในขณะท เราน งพมพหนงสอหนาจอคอมพวเตอร หรอคนขบรถบรรทกขณะน งขบรถบรรทกลวนถอวากาลงทางาน แตงานในความหมายทางฟสกสจะตองมความชดเจนและสามารถวดออกมาเปนตวเลขได ความหมายของงานในเชงฟสกสน 8น งานจะเกดข8นเม อมแรงกระทาตอวตถแลววตถน 8นเกดการเคล อนท และนยามวางานคอผลคณของสวนประกอบของแรงตามแนวการเคล อนท กบระยะทางท วตถเคล อนท สญลกษณ ของงานคอ W หนวยของงานจงเปนหนวยของแรงคณกบหนวยของระยะทาง ในระบบเอสไอหนวยของงานเปน นวตน-เมตร หรอเรยกวาจล(joule) ใชสญลกษณ J 1. งานเนองจากแรงคงท พจารณาวตถท ถกแรง F ท มขนาดคงท กระทาในทศทามม θ กบแนวราบ ทาใหวตถเคล อนท ไปตามแกน x เปนระยะทาง s ดงรปท 7.1 F

θ Fcos θ S

รปท 7.1 แรง F กระทาในทศทามม θ ทาใหเกดงาน

บทท 7 งานและพลงงาน 174

37

จากรปท 7.1 งานท เกดจากแรง F เปน W = (Fcos θ )(s) หรอ W = (F)(s)cos θ (7.1) หรอ W = S•F

(7.2)

จากสมการท 7.2 งานจงเปนปรมาณสเกลาร ซ งมคาเปนบวกหรอลบได ข8นอยกบทศทางของแรงทามมกบทศทางการเคล อนท ของวตถ เชน ถาแรงอยทศเดยวกบระยะการเคล อนท งานเปนบวก แตถาทศตรงกนขาม งานจะเปนลบและถาแรงกบระยะท วตถเคล อนท ทามมฉากกน งานจะมคาเปนศนย ถายกวตถข8นตามแนวด ง งานจะเปนบวก ออกแรงยดสปรง งานเปนบวก ในทางกลบกน ปลอยวตถลงตามแนวด ง งานเปนลบ ออกแรงดนสปรง งานเปนลบ เพราะแรงกบระยะกระจดตรงขามกน แตถาเราห8วของเดนไปบนพ8นแนวระดบ ในทางฟสกสถอวาเราไมไดทางาน เพราะแรงกบระยะกระจดต 8งฉากกน และถาวตถเคล อนท เปนวงกลม งานท ทาดวยแรงสศนยกลางจะเปนศนย เพราะแรงกบระยะกระจดในกรณน8ต 8งฉากกน ตวอยางท 7.1 ออกแรงขนาดคงท 100 นวตน ดงกลองมวล 50 กโลกรมในทศทามม 37 องศากบพ8นราบผวขรขระ ทาใหกลองเคล อนท ไปตามแนวราบไดระยะทาง 40 เมตร ดงรปท 7.2 โดยพ8นมแรงเสยดทานระหวางกลองกบพ8นเปน 50 นวตน จงหา

ก. งานท ทาโดยแรง 100 นวตนและแรงเสยดทาน ข. งานสทธท เกดข8น

PF

Y

NF Y

r

F

mg รปท 7.2 แรงขนาดคงท กระทาตอกลองใหเคล อนท ไปตามพ8นราบ

บทท 7 งานและพลงงาน 175

วธทา สมมตใหกลองเคล อนท ไปตามแกน X เปนระยะ 40 เมตร จากรปท 7.2 มแรงท เก ยวของ 4 แรง คอ แรงพยายาม

PF

, แรงเสยดทาน r

F

,แรงน8าหนกของกลอง gm และแรงปฏกรยาจากพ8นกระทาตอกลอง

NF งานเน องจากแรงน8าหนกและ

แรงปฏกรยามคาเปนศนยเพราะทศของแรงทามมฉากกบระยะทาง (ก) W1 , W2 คองานท ทาโดยแรงน8าหนกและแรงปฏกรยาจากพ8น W1 = mgx( cos90° )(40 m) = 0 W2 = FNx( cos90° )(40 m) = 0 งานท ทาโดย

pF

แรง คอ W3 W3 = xcos37°F

p(40 m) = (100 N)(40 m) cos37° = 3200 J

งานท ทาโดย แรงเสยดทาน

rF

เปน W4 W4 = xcos180°F

r(40 m) = (50 N)(40 m)(-1) = -2000 J

งานท เกดข8นท 8งหมด W1 + W2 + W3 + W4 = 0+0+3200+(-2000) = 1200 J (ข) งานสทธ เกดจากแรงสทธท กระทา Wnet = (

netF ) x

= ( cos37°Fr

-r

F

) x Wnet = ( )( )40m50N- 100Ncos37° = 1200 J 2. งานท(ทาโดยแรงไมคงท ในหลายๆกรณ แรงซ งทาใหเกดงานมขนาดหรอทศทางไมคงท เชน จรวดเคล อนท ออกจากโลก งานท ทาจากแรงโนมถวงซ งข8นอยกบระยะทางจากโลก งานท เกดจากแรงดงของสปรง งานท เกดจากแรงเหลาน8เราไมสามารถหาไดจากสมการท 7.2 ไดโดยตรง ในรปท 7.3 แสดงเสนทางการเคล อนท ของวตถจากจด a ไปยงจด b เราสามารถแบงเปนสวนยอยๆ แตละสวนยาว

1r∆ ,

2r∆ ,…..

7r∆ โดยแตละสวนมแรงกระทาท ไมเทากน ถาให

1F

ทาตออนภาคท จด a และ

5F

กระทาท จดใดๆ โดยออกแรงกระทาในทศ 1θ และ 5θ เราสามารถอนมานไดวาในชวงระยะ r∆ ส 8นๆแรงท กระทาตออนภาคมคาคงท

บทท 7 งานและพลงงาน 176

Y

7r∆

F5

F1 5θ 3

r∆ 1θ

1r∆

a 0 X รปท 7.3 งานเน องจากแรงกระทาไมคงตว ให W∆ เปนงานท ไดจากชวงแรกอนภาคเคล อนท ในระยะ

1r∆

1W∆ = 111 rcosF ∆θ

ทานองเดยวกนงานในชวงท สองในชวงระยะ

2r∆ จะเปน 222 rcosF ∆θ และชวงอ นๆก

อยในรปเดยวกน น นคองานในชวงท i จะเปน

iW∆ = iii r∆θcosF (7.3)

งานท 8งหมดท กระทาคอผลรวมของงานในชวงยอยๆคอ

W = ∑7

1=i

iii l cosF ∆θ (7.4)

เราสามารถเขยนกราฟ ระหวาง θ Fcos กบ r ดงรป 7.4

θ Fcos

r รปท 7.4 กราฟแสดงงานท เกดจากแรงไมคงท

บทท 7 งานและพลงงาน 177

จากสมการท 7.4 ถาเราพจารณา ชวง il∆ ส 8นๆเขาใกลศนยเราจะได

W = 0ri

lim→∆

7

1=iΣ iii r cosF ∆θ

= ∫ iii dr cosF θ (7.5)

งานท ทาท 8งหมดจะเปนพ8นท ใตกราฟระหวาง θ Fcos กบระยะ r ดงรปท 7.5

θ Fcos

a b r

รปท 7.5 พ8นท ใชกราฟของกราฟระหวางแรงกบระยะทางคองาน และเราสามารถกลาวไดวางานท เกดจากแรงไมคงท ทาใหวตถเคล อนท จากจดหน งไปยงอกจดหน งมคาเทากบพ8นท ใตกราฟแรงท กระทาในแนวการเคล อนท กบระยะท วตถเคล อนท ไดระหวางจดสองจดน 8น จากสมการท 7.5 สามารถเขยนสมการในรปของผลคณสเกลารเปน W = ∫ rdF

• (7.6)

จากสมการท 7.6 เราสามารถแยกแรงเปนองคประกอบตามแนวแกน X,Yและ Zเปน kF+jF+iF =F zyx

(7.7) และ rd

= kdz+jdy+idx ˆˆˆ ดงน 8นงานท ทาจงเขยนไดเปน W = ∫ dxF x + ∫ dyF y + ∫ dzF z (7.8)

บทท 7 งานและพลงงาน 178

3. งานจากสปรง(work from spring) ถาเราออกแรงยดหรออดสปรง เปนการทางานโดยแรงยดหรออดสปรงใหยดออกจะข8นอยกบระยะยดหรอระยะอดจากตาแหนงสมดล ดงรปท 7.6

รปท 7.6 การยดหรออดสปรง ทมา (Giancoli C. Douglas, (2000), p.163) จากรป 7.6 เรายดหรออดสปรงดวยแรงขนาด

pF ทาใหสปรงยดหรออดเขาเปน

ระยะ x แรงน8จะเปนสดสวนโดยตรงกบระยะยดหรอระยะอดคอ

pF = kx (7.9)

ซ ง k เปนคาคงท ของสปรง(spring constant) ขณะเดยวกนสปรงกจะออกแรงกระทาตอบในทศตรงกนขามเปนแรง

SF ซ งเรยกวาแรงคนตว(restoring force)

SF = - kx (7.10)

สมการท 7.10 เรยกวากฎของฮคส(Hooke ‘s law) จากรปท 7.6 เราสามารถหางานท ทาใหสปรงยดออกจากแนวสมดลโดยสมมตใหออกแรง และระยะยดอยในแนวแกน X

W = ∫ •dxF

= ∫ (kx)dx = 2kx2

1

บทท 7 งานและพลงงาน 179

น นคองานเน องจากออกแรงยดสปรงหรออดสปรงเปนระยะทาง x เปน

W = 2kx2

1 (7.11) ตวอยางท 7.2 แขนกลสาหรบควบคมตาแหนงกลองวดโอ สามารถเล อนตาแหนงไปยงมมตางๆโดยการบงคบมอเตอรดงรป 7.7 ซ งแรงจากมอเตอรเปนฟงกชนของตาแหนงตามสมการ

F(x) = F0 (1+ 2

0

2

x

x61 )

ถา 0

F = 2.0 N และ 0

x = 0.0070 m โดย x เปน ตาแหนงท ปลายสดของแขนกลเคล อนท ไปเน องจากแรงดนของมอเตอร จงหาวา ถาแขนกลเคล อนท จากตาแหนง

1x = 0.010 m ไปยงตาแหนง

2x = 0.050 m แขนกลจะตองทางานเทาใด

รปท 7.7 (ก) แขนกลกลองวดโอ (ข) พ8นท ใตกราฟคองานท แขนกลทา ทมา ( Giancoli C. Douglas,(2000), p. 164 ) วธทา แรงท ทาโดยมอเตอรของแขนกล เปนฟงกชนของตาแหนง (x) เราสามารถหางานท ทาจากสมการท 7.6 หรอหาจากพ8นท ใตกราฟ จากรปท 7.7 จากสมการท 7.6 จะได

W = F0 dx2

1

X

x∫ + F0 )6x

dxx(

2

0

2x

x

2

1∫

บทท 7 งานและพลงงาน 180

x2

= F0 x + 2

0

3

6x

x

3

1

x1

แตโจทยกาหนดใหทางานในชวงระยะ x = 0.010 m ถง x = 0.050 m แทนคา

W = 2.0 N + 2

33

070m)(3)(6)(0.0

(0.010m)-(0.050m)0.010m)-m 0.050(

W = 0.361 J ดงน 8นงานท มอเตอรทามคาเทากบ 0.361 จล กาลง(power)

กาลงเปนปรมาณท บอกถงงานท ทาวาทาไดเรวเพยงใดกาลงจงมนยามเปนอตราการทางาน

P = tW (7.12)

กาลงเปนปรมาณสเกลารเหมอนกบงานโดยมหนวยในระบบเอสไอเปนจลตอวนาทหรอเรยกวาวตต(watt) ใชสญลกษณ w หนวยของกาลงในหนวยอ นท นยมใชกนมากคอหนวยกาลงมา(horse power)ใชสญลกษณ hp มความสมพนธกบหนวยวตตคอ 1 hp = 746 watt (7.13) จากสมการท 7.12 แทนคางานดวยสมการท 7.2 จะได

P = tS

•F

= v•F (7.14)

บทท 7 งานและพลงงาน 181

พลงงาน (energy) พลงงาน คอ ปรมาณท บงบอกความสามารถในการทางานของวตถท ขณะเวลาใด ๆ พลงงานมหลายรปแบบ เชน พลงงานกลเปนพลงงานท เก ยวของกบแรงกล พลงงานไฟฟา เปนพลงงานท เก ยวของกบประจไฟฟา พลงงานแสง เปนพลงงานจากความถ และโมเมนตมในการเคล อนท ของคล นแสง พลงงานความรอนเปนพลงงานจากการเคล อนท ภายในโมเลกล พลงงานเคม เปนพลงงานจากปฏกรยาเคมและพลงงานภายในอะตอม พลงงานนวเคลยร เปนพลงงานจากการเปล ยนมวลท นวเคลยสของอะตอม เปนตน โดยพลงงานเหลาน8สามารถเปล ยนรประหวางกนได เชน พลงงานศกยจากกระแสน8าไปหมนเคร องกาเนดไฟฟาใหพลงงานไฟฟาใหกบหลอดไฟฟาโดยเปล ยนไปเปนพลงงานแสง พลงงานไฟฟาท ใหกบเคร องใชไฟฟาจะเปล ยนไปเปนพลงงานความรอน เปนตน ซ งสามารถสรปเปนหลกการอนรกษพลงงานของเอกภพไดวา พลงงานสามารถเปล ยนรปได แตจะทาใหสญหาย หรอเกดข8นใหมไมไดน นคอ พลงงานรวมของเอกภพจะมคาคงตว ในท น8จะกลาวถงเฉพาะพลงงานท เก ยวของกบกลศาสตร คอ พลงงานกล (mechanical energy) ซ งเกดจากพลงงานศกยรวมกบพลงงานจลน โดยมอย 2 รปแบบ คอ 1. พลงงานจลน (kinetic energy) เปนพลงงานของวตถท กาลงเคล อนท พจารณาแรงคงท F กระทาตอวตถในทศตามแกน x ทาใหวตถเคล อนท ตามแกน x ดวยความเรง a

ท ตาแหนงท 1 วตถมความเรว

1v และท ตาแหนงท 2 วตถมความเรวเปน

2v

งานท เกดจากแรงคงท น8หาไดจากสมการท 7.6

W = ∫ )rdF(

• = ∫ )rda(m

•

= ∫ rd)dt

vdm(

•

แต v = dt

rd

ดงน 8น

W = ∫ • vdv m

= m ∫ vdv2

1

v

v

2

1

2

2mv2

1- mv2

1=W (7.15)

คร งหน งของผลคณระหวางมวลกบกาลงสองของความเรวของวตถ คอ นยามของ

พลงงานจลนของวตถ ใชสญลกษณ k

E

บทท 7 งานและพลงงาน 182

2

kmv2

1=E = m

P21

2

(7.16) P คอขนาดของโมเมนตมเชงเสน

จากสมการท 7.15 และ 7.16 จะเหนวาเปนการนยามพลงงานจลน สมพนธกบงาน จงสรปไดวางานของแรงลพธท กระทาตอวตถจะเทากบการเปล ยนแปลงพลงงานจลนของวตถ คอ

k1k2

E -E=Wk

E = ∆ (7.17) สมการท (7.17) คอ ทฤษฎงาน-พลงงาน (work-energy theorem) ซ งแสดงถง

การเปล ยนแปลงระหวางพลงงานกบงานของระบบ จะเหนวาพลงงานจลน เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเชนเดยงกนกบหนวยของงานคอ จล (J) ตวอยางท 7.3 รถเกงและรถบรรทกว งในถนนราบในแนวระดบ ขณะน 8นรถเกงกาลงว งอยดานหลงรถบรรทกดวยความเรว 13.4 เมตรตอวนาท เพ อท จะแซงรถบรรทกไดรถเกงจะตองเพ มความเรวเปน 17.9 เมตรตอวนาท ภายในเวลา 3.00 วนาท ดงรปท 7.8 ถารถเกงมมวล เปน1.30 x 103 กโลกรม จงหากาลงของรถเกง

รปท 7.8 รถเกงจะแซงรถบรรทกจะตองมกาลงเพยงพอในชวงเวลาแซง ทมา(Walker S. James, (2004), p. 190)

บทท 7 งานและพลงงาน 183

วธทา รถเกงจะตองทางานเพ อเพ มความเรวจาก 13.4 เมตรตอวนาทเปน 17.9 เมตรตอวนาทภายในเวลา 3 วนาทโดยงานท ทาน8อยในรปการเปล ยนแปลงของพลงงานจลนของรถเกง

2

fkmv2

1=E=W ∆ - 2

imv2

1

W = 21 (1.30x103 kg)(17.9 m/s)2 - 2

1 (1.30x103 kg)(13.4 m/s)2 W = 9.16 x 104 J จากสมการท 7.12 กาลงของรถเปน

P = 3.00s109.16

4J× = 3.05 X 104 w

น นคอรถเกงจะตองมกาลง 3.05 X 104 วตต ตวอยางท 7.4 ชายคนหน งออกแรงยกกลองหนงสอท วางน งท พ8นข8นไปในแนวด งดวยแรงคงท ขนาด 60.0 นวตน ดงรปท 7.9 ทาใหกลองข8นไปไดสงจากพ8น 1.6 เมตร ถาไมคดแรงตานจากอากาศ จงหา

ก. งานท ชายคนน8ทา ข. งานท 8งหมด ค. ความเรวของกลองหนงสอท จดสดทาย

รปท 7.9 ทางานโดยการออกแรงยกกลองหนงสองานจะเปล ยนเปนพลงงานจลน ทมา(Walker S. James, 2004, p. 183)

บทท 7 งานและพลงงาน 184

วธทา (ก) จากสมการท 7.1 แรงท ทามมกบระยะท กลองเคล อนท ( y∆ ) เปนมม 0 องศา งานท ทา(Wm)จงได Wm = (60.0 N)(

cos0 )(0.16 m) = 96 J (ข) จากรปท 7.9 แรงโนมถวงคอน8าหนกของกลอง มทศลงสพ8นซ งทามม 180 องศา กบทศการกระจดของกลอง งาน(Wg) เปน Wg = (4.1 kg)(9.8 m/s2)(-1)(1.6 m) = -64 J งานท 8งหมด(total work) เปน Wtot = Wm + Wg = 96 – 64 = 32 J (ค) งานท 8งหมดจะเปล ยนเปน การเปล ยนแปลงของพลงงานจลนตามสมการ ท 7.16

Wtot = 2

fmv2

1 - 2

imv2

1 แต

iv เปนความเรวเร มตนท พ8นซ งมคาเปนศนย

m

2Wtot

=fv 4.1kg

2(32J)= = 3.9 m/s

2. พลงงานศกยและแรงอนรกษ(potential energy and conservative force) เปนพลงงานของวตถท ข8นอยกบตาแหนงในสนามของแรง โดยแรงท จะทาใหเกดพลงงานศกยไดน8 จะเปนคาท ข8นอยกบตาแหนงเทาน 8น เรยกแรงน8วา แรงอนรกษ (conservative force) ซ งมสมบตวาปรมาณงานท ใชในการเคล อนท วตถระหวางจดสองจดในสนามแรงอนรกษจะมคาคงตวไมข8นอยกบวถของการเคล อนท และถาเปนการเคล อนท ครบรอบ งานท ใชในการเคล อนท ครบรอบในสนามแรงอนรกษจะมคาเปนศนย ตวอยางแรงอนรกษ เชน แรงโนมถวง แรงไฟฟา แรงยดหยนของสปรงอดมคต เปนตน พลงงานศกยท เกดจากแรงอนรกษจงมหลายชนดตามสนามของแรงแตในท น8จะกลาวถงเพยง พลงงานศกยโนมถวง และพลงงานศกยยดหยนเทาน 8น 2.1 พลงงานศกยโนมถวง (gravitational potential energy) เปนพลงงานของวตถท ข8นอยกบตาแหนงในสนามแรงโนมถวงของโลก พจารณากระปอง มวล m ถกยกข8นดวยแรงคงตว F ทาใหวตถเคล อนท ข8นไปในแนวด ง จากตาแหนงสงจากระดบอางอง y0 ไปท ระดบ y เปนระยะ y∆ ดงรปท 7.10

บทท 7 งานและพลงงาน 185

รปท 7.10 พลงงานศกยท เกดจากการออกแรงยกวตถ ทมา ( Buffa Wilson, 2003, p. 155 ) จากรปท 7.10 แรงท ยกกระปองข8นมขนาดเทากบน8าหนกของกระปอง โดยแรงท ยกกระปองมทศช8ข8นดานบนสมมตใหมเคร องหมายเปนบวก สวนน8าหนกกระปองมทศช8ลง F

= - gm = - jmgˆ

จากสมการท 7.6 นยามของงาน แรงและการกระจดมทศเดยวกน W = rdF

• = (F)(dr)(cos 0°)

= - mg0

y

y dr∫ = -mg(y-y0)

W = - (mgy – mgy0) (7.18) กาหนดใหท ระดบอางอง(y0)มพลงงานศกยโนมถวงเปน 0 จะไดงานท ยกกระปอง W = - mgy และงานน8จะเปล ยนไปเปนพลงงานศกยโนมถวงท ตาแหนงความสง y ดงน 8น ท ความสง y ใดๆจากระดบอางองปรมาณ mgy จงเปนพลงงานศกยโนมถวง Ep = mgy (7.19) จากสมการท 7.18 จะได W = - (Ep2 – Ep1) W = -

pE∆ (7.20)

Ep = mgy0

Ep = mgy

W = -(mgy-mgy0) = -p

E∆

1

2

บทท 7 งานและพลงงาน 186

ในระบบเอสไอเปน จล เน องจากพลงงานศกยโนมถวง เปนพลงงานท ข8นอยกบตาแหนงของวตถเหนอระดบอางอง โดยเรานยมใหระดบอางองมพลงงานศกยโนมถวงเปนศนย ระดบอางองท ใชบอยคอพ8นระดบของโลกถอวามเน องจากพลงงานศกยโนมถวงเปนศนย สาหรบพลงงานศกยโนมถวงท เปล ยนรปจากงานเน องจากแรงโนมถวงของโลก จะข8นอยกบตาแหนงของวตถวาอยสงจากจดอางองเทาใดเทาน 8น แตจะไมข8นอยกบเสนทางหรอวถท วตถเคล อนท การหาพลงงานศกยโนมถวงจงอาศยความแตกตางระหวางตาแหนงเร มตนและตาแหนงสดทายเพยงสองตาแหนงเทาน 8น และถาเราผนกลบระหวางสองตาแหนงพลงงานศกยกยงคงใชคาเดม เราเรยกแรงท ทาใหเกดงานลกษณะน8วาแรงอนรกษ(conservative force) มแรงหลายแรงท เปนแรงอนรกษ เชนแรงโนมถวง แรงไฟฟา แรงยดหยนของสปรงอดมคต เปนตน จากสมการท 7.20 ถาวตถเคล อนท ไดระยะทางส 8นๆงานของแรงอนรกษกจะนอยมากดวยสมมตเปน dW และผลตางของพลงงานศกยโนมถวงกจะมคานอยตาม สมมตใหเปน

pdE dW = -

pdE (7.21)

rdF

• = - p

dE (7.22) ถาให F

เปนองคประกอบของแรงอนรกษในแนวการเคล อนท ท เปนระยะทาง

นอยๆ rd

rdF

• = -

pdE (7.23)

F = - dr

dEp (7.24)

ในกรณท Ep เปนฟงกชนของระยะทาง r จากจดเร มตนเทาน 8น พลงงานศกยเปนฟงกชนของ r อยางเดยวกน สมการ 7.23 เขยนใหมเปน

F(r) = - dr

d(Ep))r(

(7.25) สมการท 7.24 ใชหาแรงอนรกษเม อเราทราบพลงงานศกยท เปนฟงกชนของตาแหนงและแรงอนรกษท เปนไปตามน8เรยกวา แรงศนยกลาง(central force) จากสมการท 7.22 และ r

เปนเวกเตอรบอกตาแหนง จะได

บทท 7 งานและพลงงาน 187

Ep = - ∫ • rdF

(7.26) ถา r

= kzjyix ˆˆˆ ++ rd

= kdz)jdy)i(dx) ˆ(ˆ(ˆ ++ และ Ep = Ep(x,y,z)

dEp = dzz

E

y

E dx

x

E ppp

∂

∂+∂

∂+∂

∂

E p∇

= z

E k

y

E j

x

E i

ppp

∂

∂+∂

∂+∂

∂ˆˆˆ

น นคอ dEp = rdE p

•∇ (7.27) จากสมการ 7.23 และ 7.27 จะได F

= - pE ∇

(7.28) จากสมการท 2.21 เราไดความสมพนธวา Ψ∇×∇

= 0 น นคอ F

×∇ = 0 (7.29) สมการ 7.29 เปนสมการท ใชทดสอบวาแรงท เราพจารณาเปนแรงอนรกษหรอไม นอกจากน8เราสามารถทดสอบวาแรงท เราพจารณาเปนแรงอนรกษหรอไมจาก การหางานรอบเสนทางปดดงรปท 7.11 ถาอนภาคไดรบแรงอนรกษขนาด F กระทาใหเคล อนท จากจด P1 ไปยงจด P2 P2

P1 รปท 7.11 เสนทางการเคล อนท ของวตถท ถกแรงอนรกษกระทา

บทท 7 งานและพลงงาน 188

จากรปท 7.10 งานสทธของวตถในการเคล อนท จาก P1P2 รวมกบงานสทธในชวง P2P1 มคาเทากบศนย rdF

• = 0 (7.30) สมการท 7.30 แสดงวาแรง F เปนแรงอนรกษ 2.2 แรงไมอนรกษ(nonconservative force) เม อมแรงกระทาตอวตถแลวทาใหวตถเปล ยนตาแหนงจากจดหน งไปอกจดหน งแสดงวาเกดงานข8น และถาออกแรงเดมแตเปล ยนเสนทางการเคล อนท ระหวางสองจดดงกลาวแลวเกดงานไมเทาเดม หรอวตถกลบมาอยจดเดมโดยงานท 8งหมดไมเปนศนย เรยกแรงกระทาน8วาแรงไมอนรกษ ตวอยางแรงไมอนรกษเชนแรงเสยดทานและแรงกลท 8งหลาย สมมตให

NF

แทนแรงไมอนรกษ และ Wn คองานของแรงไมอนรกษดงกลาว จะได Wn = ∫ r dF N

• (7.31)

ในกรณท วๆไปอาจมแรงหลายแรงกระทาตอวตถพรอมๆกนและอาจจะมท 8งแรงอนรกษและแรงไมอนรกษ เราจะแทนงานของแรงท 8งหมดดวย W และงานของแรงอนรกษแทนดวย WC จะได W = WC + WN (7.32) แตงานของแรงอนรกษคอการเปล ยนแปลงพลงงานศกย W = -

pE ∆ + WN

จากสมการท 7.17 จะได

kE∆ = -

pE ∆ + WN

หรอ WN = k

E∆ + p

E ∆ (7.33) ให E คอพลงงานกล เกดจากพลงงานจลนบวกกบพลงงานศกย E = Ek + Ep (7.34) ดงน 8น WN = E∆ (7.35)

บทท 7 งานและพลงงาน 189

สมการท 7.33 เปนรปแบบหน งของกฎการอนรกษพลงงาน หรอกลาวอกนยหน งวาทฤษฎงาน-พลงงาน เม อ E∆ เปนพลงงานกลท เปล ยนไป 2.3 พลงงานศกยยดหยน(elastic potential energy) ถาเราออกแรง F ยดสปรงซ งมคาคงท สปรงเปน k จากระยะหางจากจดสมดล x1 ไปอยท ระยะ x2 ดงรปท 7.12 เราจะตองทางานไปคาหน งสมมตงานน8เปน W

F 0 x1

F 0 x2 รปท 7.12 พลงงานศกยยดหยน

W = ∫ •2

1

x

xrdF∫

แตแรงท กระทามทศเดยวกบระยะกระจดและ F = -kx ดงน 8น

W = (-kx)dx x2x1∫

W = - ( 2

2kx2

1 - 2

1kx2

1 ) (7.36) จากสมการท 7.36 งานท ทาคอการเปล ยนแปลงพลงงานศกยยดหยนระหวางตาแหนงท 8งสอง เพราะแรงคนตวในสปรงเปนแรงอนรกษ น นคอ พลงงานศกยยดหยนมสมการเปน

EPS = 2kx2

1 (7.37) เม อ EPS คอพลงงานศกยยดหยน และสมการท 7.36 จะเปน W = - ( EPS)2 - ( EPS)1 W = -

PSE∆ (7.38)

บทท 7 งานและพลงงาน 190

สมการท 7.38 หมายความวางานจากการออกแรงดงสปรงใหยดออกระหวางสองตาแหนงมคาเทากบผลตางของพลงงานศกยยดหยนของสองตาแหนงน 8นและเปนไปตามทฤษฎบทงาน-พลงงาน กฎการอนรกษพลงงานกล พลงงานกลเปนผลรวมระหวางพลงงานจลนและพลงงานศกยท ตาแหนงตางๆ ซ งถาวตถเปล ยนตาแหนงไปจะทาใหคาพลงงานศกยและพลงงานจลนมคาเปล ยนไปดวย ถาแรงท กระทาตอวตถเปนแรงอนรกษ จะไดวา W =

kE∆ = -

pE∆

เม อกระจายออกเปนแตละตาแหนงจะไดวา (Ek + Ep)1 = (Ek + Ep)2 (7.39) น นคอเราอาจกลาวไดวา พลงงานกลท จดใดๆของวตถมคาคงท เสมอ แตมเง อนไขวาแรงท เปนสาเหตใหเกดงานท จะเปล ยนเปนพลงงานน 8นจะตองเปนแรงอนรกษ ตวอยางท 7.5 พลงงานศกยของระบบซ งประกอบดวยวตถสองอนอยหางกนเปนระยะ r คอ

Ep = rA โดยท A คอคาคงตว จงหาแรงกระทาระหวางวตถ

วธทา จากสมการท 7.25 F(r) = - dr

d(Ep))r(

F(r) = - drrA

d( )

= Ar- 2

F(r) = 2r

A

บทท 7 งานและพลงงาน 191

ตวอยางท 7.6 เสาเขมมวล 500 กโลกรม ปกอยในพ8นดนในแนวด ง เม อตองการตอกเสาเขมน8ลงไปในพ8นดน ตองใชลกตมขนาดใหญมวล 800 กโลกรม ปลอยลงตามแนวด งจากท สงจากยอดเสาเขม 6 เมตร ดงรปท 7.13 จงหา

ก. ความเรวของเสาเขมท ถกกระแทกดวยลกตม ถาเปนการชนแบบไมยดหยน ข. ระยะทางท เสาเขมฝงลกลงไปในพ8นดนในแตละคร 8งของการกระแทกมแรงตาน

จากดนเทากบ 72 กโลนวตน

ลกตม A 6 m B เสาเขม รปท 7.13 ลกตมตกกระแทกเสาเขม วธทา กาหนดใหกอนปลอยลกตมอยท ระดบ A และปลายดานบนของเสาเขมอยท ระดบ B ซ งจะใหเปนระดบอางองของพลงงานศกยมคาเทากบศนย น นคอลกตม มพลงงานศกยเม อเทยบกบระดบ B เปน EPA = (800 kg)(9.8 m/s2)(6 m) (7.40) เม อลกตมกาลงจะกระแทกเสาเขมพลงงานศกยจะเปล ยนเปนพลงงานจลนท 8งหมด

EkB = )(2

kg)(v 80021 (7.41)

จากกฎการอนรกษพลงงาน สมการท 7.40 เทากบสมการท 7.41 จะได v = )(6) 2(9.8 = 10.844 m/s (7.42) น นคอกอนท ลกตมจะกระแทกเสาเขมจะมความเรวสดทายเปน 10.844 m/s

บทท 7 งานและพลงงาน 192

เม อลกตมชนเสาเขมแบบไมยดหยน แสดงวาลกตมและเสาเขมตดกนไปหาความเรวไดจากกฎการอนรกษโมเมนตม Mv = (M+m) v′ (7.43) เม อ M และ m เปนมวลของลกตมและมวลของเสาเขมตามลาดบ v เปนความเรวของลกตมกอนกระแทกเสาเขม v′ เปนความเรวของเสาเขมและลกตมหลงจากชนกนแลว จากโจทยแทนคา m และ M และแทนคา v จากสมการท 7.42 ลงใน 7.43 จะได

v′ = kg) 400kg 800

m/s) .844(800kg)(10

+(

น นคอขนาดความเรวของเสาเขม = 7.23 m/s ข. ถาพ8นดนมแรงตานการเคล อนท ของเสาเขม( fS)เปน 72 กโลนวตน เม อเสาเขมเคล อนท จะเกดงานของแรงเสยดทานข8น ถาสมมตใหเสาเขมเคล อนท ไดระยะทาง y ในการกระแทกแรงละคร 8งมพลงงานจลนซ งจะมคาเทากบงานเน องจากแรงเสยดทานพอด

2)vM)(m2

1 ′+( = ySf

y = 2(72000)800)(7.23)(400

2+

น นคอในการกระแทกแตละคร 8งเสาเขมจะเคล อนท ไดระยะลก = 0.435 เมตร ตวอยางท 7.7 วตถมวล 1 kg ถกปลอยใหเคล อนท ตามรางโคงท ไมมความฝดจากจด A ไปยงจด B ซ งมความยาวเทากบหน งในส ของเสนรอบงของวงกลมท มรศม 2.0 m ตอจากน 8นวตถเคล อนท จากจด B ตอเน องไปยงจด C ซ งอยในระดบเดยวกนเปนระยะ 3 m แตพ8นมความฝด โดยมสมประสทธ ~ความเสยดทานจลนเปน

kµ = 0.25 แลว

เคล อนท ตอเน องไปชนสปรงท วางอยในพ8นระดบท ไมมความฝด ถาสปรงถกอดเขาไป 0.20 m ดงรปท 7.14 จงหา

ก. ความเรวของวตถท จด B ข. งานท ทาโดยแรงเสยดทานจาก B ถง C ค. คาคงท ของสปรง

บทท 7 งานและพลงงาน 193

A r = 2.0 m B 3 m C รปท 7.14 ปลอยมวลลงตามรางและพงไปชนสปรง วธทา ก. ท จด A วตถมพลงงานกลเฉพาะพลงงานศกยโนมถวง

EA = mgr (7.44) ท จด B ซ งอยในแนวระดบ วตถมพลงงานจลนแตไมมพลงงานศกย พลงงานกลจงเปน

EB = 2

Bm)v2

1( (7.45)

จากฎการอนรกษพลงงานกล จะได EA = EB

B

v = 2gr = m) )(2.0m/s 2(9.82

Bv = 6.26 m/s

ข. แผนภาพวตถเสรขณะท วตถเคล อนท ในชวง BC แสดงในรปท 7.15

N

v

f mg รปท 7.15 แผนภาพวตถเสรของมวล 1 kg ในการเคล อนท ชวง BC

บทท 7 งานและพลงงาน 194

จากรป 7.15 วตถสมดลในแนวแกนต 8ง จะได N = mg ในแนวการเคล อนท จะได f =

kµ N = (0.25)(1 kg)(9.8 m/s2) = 2.45 นวตน

f คอแรงเสยดทาน งานของแรงเสยดทานจงมคาเปน W = (2.45 N)(3 m) = 7.35 J ค. หาความเรวของวตถท จด C วตถเคล อนท จาก B ถง C โดยมความเรวลดลงเพราะมแรงเสยดทานจากพ8นตานไวเราหาความเรงของการเคล อนท จากกฎขอสองของนวตน

-f = ma หรอ a = mf = kg) (1

N) (2.45-

เคร องหมายลบหมายถงแรงมทศตรงขามกบทศการเคล อนท a = - 2.45 m/s2 จากสมการท 3.16 วตถเคล อนท แบบเสนตรงจาก B ไป C เปนระยะทาง 3 เมตรจะได

2Cv = 2

Bv +2(-2.45)(3) = 39.2 – 14.7

2Cv = 24.5

ในการเคล อนท เลยจด C ไปวตถจะชนสปรงและอดสปรงเขาไปเปนระยะ 0.20 เมตร แสดงวาพลงงานจลนของวตถถกเปล ยนไปเปนพลงงานศกยของสปรง

2

Cmv2

1 = 2kx2

1

k = 2

2

C

x

mv

= 2(0.20)

)(24.5) (1

น นคอคาคงท ของสปรงมคาเปน 612.5 นวตนตอเมตร

บทท 7 งานและพลงงาน 195

ตวอยางท 7.8 จงแสดงใหเหนวาแรง F

= -kx i ซ งเปนแรงคนตวของสปรงท มคาคงท ของสปรงเทากบ k เปนแรงอนรกษ วธทา การท จะพสจนวาแรงใดเปนแรงอนรกษวธหน งท ทาไดคอการใชสมการท 7.29 F

×∇ = 0 i j k

F

×∇ = x∂∂

y ∂∂

z ∂∂

-kx 0 0

= )ˆ)ˆ)ˆy

(-kx) -

x

0 (k

x

0 -

z

(-kx) (j

z

0 -

y

0 (i ∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

F

×∇ = 0 น นคอแรงคนตวของสปรงเปนแรงอนรกษ ตวอยางท 7.9 สปรงอนหน งเม อถกทาใหยดออก ปรากฏวาแรงเปนนวตนท ใชดงสปรงใหยดออกเปนระยะความยาว x เปนไปตามสมการ F(x) = 48x + 21x2 จงคานวณหางานท ใชในการดงสปรงใหยดออกจาก x1 = 0.5 m ถง x2 = 2.0 m วธทา เน องจากแรงดงจากสปรงเปนแรงอนรกษจงหางานไดจากสมการ

W = rdF x2x1

•∫ = xdF

x2x1

•∫

= dx21x (48x 2x2

x1)+∫

W = 24 0.125) -7(8 0.25)-(4 + งานท ใชดงสปรงมคาเปน 145.125 จล \

บทท 7 งานและพลงงาน 196

สรป 1.งานหมายถงผลคณระหวางแรงกบระยะทางโดยแรงจะตองอยในแนวเดยวกนกบระยะทางหาไดจากสมการ W = sdF

•

2. งานของแรงไมคงท ถาแรงท กระทาใหวตถเคล อนท ไมคงท เชนแรงดงของสปรง หางานไดจาก W = ∫ rdF

•

3. งานอาจหาไดจากพ8นท ใตกราฟระหวางแรงกบระยะทางท เคล อนท ได แรง A B ระยะทาง รปท 7.16 งานในรปท 7.16 เทากบ พ8นท A + พ8นท B 4. งานจากสปรง เม อออกแรงยดหรออดสปรงเขาหรอออกเปนระยะ x งานท ทาคอ

W = 2kx2

1 5. กาลง เปนปรมาณสเกลารหมายถงอตราการทางาน

P = tW = vF

• 6. พลงงานกลท จดใดๆ หมายถงพลงงานจลนรวมกบพลงงานศกย ณ จดน 8น E = Ek + Ep

7. พลงงานจลน หมายถงพลงงานท มอยขณะวตถเคล อนท หาไดจาก

Ek = 2mv2

1 = mp

21

2

8. ทฤษฎบทงาน-พลงงาน คอการเปล ยนรปกนระหวางงานกบพลงงาน ซ งงานท ทาไดจะเปล ยนรปไปเปนพลงงานเชนยกวตถข8นท สงงานท ทาจะเปล ยนไปเปนพลงงานศกยโนมถวงของวตถ

บทท 7 งานและพลงงาน 197

9. พลงงานศกยโนมถวง เปนพลงงานของวตถเน องจากวตถอยภายใตสนามโนมถวงของโลก เชน วตถมวล m อยท ตาแหนง สง h จากพ8นดน( h จะตองนอยมากเม อเปรยบเทยบกบรศมของโลก) พลงงานศกยโนมถวงเปน Ep = mgh 10. พลงงานศกยของสปรง เปนพลงงานเม อเรายดหรออดสปรง สมมตยดหรออดเปนระยะ x

EPS = 2kx2

1 11. แรงอนรกษ เปนแรงท ของสนามใดๆเม อแรงน8ทาใหวตถเคล อนท จากจดเร มตนไปยงจดใดๆ และยอนกลบมาจดเร มตนอกเปนวถปดจะไดงานท ทาท 8งหมดเปนศนย เชน แรงโนมถวงของโลก แรงคนตวของสปรง เปนตน

F(r) = - dr

rd(Ep)(

12. แรงไมอนรกษ เปนแรงท กระทาตอวตถแลวทาใหพลงงานกลของวตถไมคงท 13. กฎการอนรกษพลงงานกล กลาววา พลงงานกล ณ จดใดๆจะมคาคงท ถาแรงท ทาใหเกดพลงงานเปนแรงอนรกษ EA = EB = EC = คาคงท

บทท 7 งานและพลงงาน 198

แบบฝกหดทายบท

1. แรงลพธ 0.5 นวตน กระทากบวตถมวล 15 กโลกรม ท เร มตนจากหยดน ง จงหางานของแรงลพธน8ท เวลา 1,2 และ 3 วนาท

2. เดกคนหน งมวล 50.0 กโลกรม ไตเชอกข8นตามแนวด งดวยความเรวคงท ไดระยะทาง 10 เมตร ในเวลา 30 วนาท จงหา

ก. งานท เดกคนน8ทา ข. กาลงท เขาใชในการไตเชอก

3. ลกเบสบอลลกหน งออกจากมอผปาดวยอตราเรว 32.0 m/s ลกเบสบอลมมวลเทากบ 0.145 kg ถาไมคดแรงตานจากอากาศ ในการปาลกเบสบอลน8ผปาทางานเทาใด

4. วตถกอนหน งมมวล 100 g ถกแรง F

ในหนวยนวตนกระทา โดยแรง F

มคา F

= k6.0 j9.0 i10.0 ˆˆˆ ++

ผลจากการออกแรงทาใหวตถน8มระยะกระจดในหนวยเมตรเปน r = j3 i4 ˆˆ+ จงหา

งานท ทาโดยแรงน8 5. ในการยดสปรงขดหน งออก 3.00 cm จากความยาวท ยงไมยด ตองทางาน

12.0 J จงหาวาจะตองทางานเทาใด เพ อท จะอดสปรงขดน เขา 5.00 cm จากความยาวเดมท ยงไมยด

6. กอนน8าแขงมวล 6.00 kg กอนหน งเดมอยน งบนผวระดบท ไมมความฝด คนงานคนหน งออกแรงในแนวระดบ F

กระทาตอกอนน8าแขงผลกคอกอนน8าแขงเคล อนท ใน

แนวแกน x ในลกษณะท ตาแหนงของกอนน8าแขงเปนฟงกชนของเวลาตามสมการ

X(t) = 32 t t β+α

โดย α= 0.200 m/s2 และ β = 0.020 m/s3 จงหางานท แรง F

ทาในชวง 4 วนาทแรก 7. ท อณหภมหอง โมเลกลของออกซเจนซ งมมวล 5.31 x 10-26 kg และม

พลงงานอยในรปพลงงานจลนเทากบ 6.21 x 10- 21 J จงหาวาโมเลกลออกวเจนมความเรวเทาใด

8. ลกกระสนของปนสปรงมวล 0.100 kg ถกอดเขาไปในสปรงเปนระยะ 6.0 cm และหลงจากน 8นกปลดลอคปนเพ อปลอยกระสน ถาสปรงมคาคงท ของสปรงเทากบ 250 N/m จงหาวาลกกระสนจะมความเรวหลงจากหลดจากสปรงเทาใด 9. จงแสดงใหเหนวาแรง F

= kz)6x - z(3xy j2xyz i6xz - z(y

2223232 ˆˆˆ) ++ เปนแรงอนรกษและจงคานวณหางานท ทาโดยแรงน8จากจด (2,1,3) ไปยงจด (4,-2,5)

บทท 7 งานและพลงงาน 199

10. แรงอนรกษแรงหน งกระทาตออปกรณการทดลองช8นหน ง ซ งกาลงเคล อนท ไปในระนาบ XY คาของแรงน8หาไดจากฟงกชนของพลงงานศกย

Ep(x,y) = k(x2 + y2)+ xyk′ โดย k และ k′เปนคาคงท บวก จงหาแรงท กระทาตออนภาคน8 11. ดนวตถมวล 0.50 kg กบสปรงซ งมมวลนอยมากในแนวระดบ วตถอดสปรง

เขาไป 0.20 m เม อปลอยใหเคล อนท วตถเคล อนท ไปบนผวโตะแนวระดบเปนระยะทาง เทากบ 1.00 m กอนท จะหยดน งดงรปท 7.17 ถาคาคงท ของสปรงเทากบ 100 N/m

จงหา สมประสทธ ~ความเสยดทานจลน(k

µ )ระหวางวตถกบผวโตะ m = 0.50 kg 0.20 m 1.00 m

รปท 7.17 ปลอยวตถจากสปรงท ถกอด

12. วตถมวล 0.50 kg ผกตดกบสปรงยาว 0.60 m และมคาคงท เปน 40.0 N/m วตถอยน งท จด A บนโตะในแนวระดบท ไมมแรงเสยดทานใดๆ ถาดงวตถไปทางขวาดวยแรงคงท ในแนวระดบขนาด 20.0 N จงหาอตราเรวของวตถเม อวตถเคล อนท มาถงจด B ซ งอยหางจากจด A เปนระยะ 0.25 m ไปทางขวา ดงแสดงในรปท 7.18

รปท 7.18 ปลอยวตถบนพ8นเอยงเขาชนสปรง

K = 40.0 N/m m = 0.50 kg

F = 20.0 N

0.60 m 0.25 m

บทท 8 การแกวงกวด

ในบทเรยนทผานมา เราสามารถทานายการเคลอนทของวตถได ถาทราบเงอนไขเรมตนของสภาพการเคลอนทและแรงภายนอกทกระทาตอวตถ การเคลอนทตางๆ เชนการเคลอนทในแนวเสนตรง,วตถตกอสระ,การเคลอนทโพรเจกไทล และการเคลอนทวงกลม ตางเกดจากแรงทกระทาใหเกดการเคลอนท หรอความเรงมคาคงท แตมการเคลอนทอกลกษณะหนงทมกจะพบเหนอยบอยๆในธรรมชาต น นคอการเคลอนทกลบไปมาซ4าทางเดมหรอการแกวงกวด(oscillation) หรอเรยกอกอยางหนงวา การเคลอนทแบบส น( vibrational motion) การเคลอนทแบบน4วตถทเคลอนทจะเคลอนทโดยผานตาแหนงสมดลของวตถกลบไปกลบมา โดยมเวลาการเคลอนทครบรอบเปนคาบ และจะมลกษณะเฉพาะทแตกตางออกไปจากการเคลอนทท วๆไป คอ ความเรว ความเรง และแรงเปนปรมาณทเปลยนแปลงตลอดเวลาของการเคลอนท การเคลอนทแบบแกวงกวดจะพบเหนไดในชวตประจาวนมากมาย เชน การแกวงชงชา การแกวงของลกตมนาฬกาภายใตแรงดงดดของโลก การเคลอนทกลบไปกลบมาของวตถทตดปลายสปรง การส นของโมเลกลของแขงเมออณหภมสงข4น และการส นของเครองดนตร เชน สายไวโอลน กลอง ระฆง เปนตน ในทานองเดยวกน คลนแมเหลกไฟฟา เชน แสง เลเซอร เรดาร คลนวทย จะแผรงสออกไปไดตองมการส นของสนามไฟฟาและสนามแมเหลก การแกวงหรอการส นในธรรมชาตจะมลกษณะเปนแบบหนวงเนองจากมแรงตานจากภายนอกเขามาเกยวของ ทาใหระยะการส นในแตละรอบลดลงไปเรอยๆ และวตถหยดส นในทสด ซงพลงงานกลบางสวนไดเปลยนรปเปนพลงงานความรอน เราสามารถเพมระดบหรอคงสภาพการส นได โดยใหแรงภายนอกแกวตถ เชนในกรณทเดกแกวงชงชาใหการแกวงเกดตอเนองไปไดน 4น เดกไดใชพลงงานชวเคมภายในรางกายเปลยนรปเปนพลงงานกล ถาความถของแรงทใหเทากบความถธรรมชาตของวตถจะเกดปรากฏการณส นพอง(resonance) ซงสภาพเชนน4อตราการถายพลงงานจากแรงทใหแกวตถจะมคาสงสด

บทท 8 การแกวงกวด 202

การเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว(simple hamonics motion) วตถทเคลอนทในแนวเสนตรงกลบไปกลบมารอบจดศนยกลางหรอจดสมดลของการเคลอนทซงเปนจดทแรงกระทาตอวตถเปนศนย โดยมคาบและระยะทางไกลทสดจากจดศนยกลางซงเรยกวา แอมปลจด(amplitude) คงทและแรงทกระทาตอวตถมขนาดเปนสดสวนโดยตรงกบการกระจดจากจดสมดล แตมทศทางตรงกนขามกน การเคลอนทลกษณะน4เรยกวาการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว หรอเรยกวาการเคลอนทแบบ SHM พจารณาวตถมวล m ผกตดกบปลายขางหนงของสปรงทมคาคงทของสปรง(spring constant) เปน k โดยแนวการเคลอนทอยในแนวแกน x ดงรปท 8.1 ถาออกแรง F ดงสปรงใหยดออกจากแนวสมดลเปนระยะ x จะมแรงคนตว(restoring force) จากสปรงกระทาตอวตถ โดยขนาดของแรงคนตวเทากบแรง F แตมทศตรงกนขาม ในรปท 8.1 แรง Fx คอแรงคนตว ถาไมคดแรงตานการเคลอนทใดๆ เราสามารถอธบายการเคลอนทน4ไดอยางงายๆ กอนอนเรามารจกคาตางๆทเกยวของกบการเคลอนทน4กอน

(1) จดสมดล (equilibrium position) คอตาแหนงทวตถอยเมอไมมแรงกระทาตอวตถ (2) ระยะกระจด(displacement) คอระยะทางทวดออกจากจดสมดลไปยงตาแหนงทวตถ

อยโดยถอวาระยะกระจดทวดออกจากจดสมดลมเครองหมายเปนบวก (3) แอมปลจด(amplitude) คอระยะกระจดทสงทสดใชสญลกษณ A (4) คาบ(period) คอ เวลาทใชในการเคลอนทครบ 1 รอบ แทนดวยสญลกษณ T (5) ความถ(frequency) คอ จานวนรอบตอหนวยเวลา แทนดวยอกษร f ความถเปน

สดสวนกลบกบคาบ โดย f = T1 มหนวยเปนรอบตอวนาท หรอเฮรตซ ใช

สญลกษณ Hz

บทท 8 การแกวงกวด 203

แนวสมดล มวล m X = 0 X รปท8.1 ก.

F

F′

X รปท8.1 ข.

F X รปท8.1 ค.

F A X รปท8.1 ง. รปท 8.1 แสดงการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยวในแนวราบของวตถมวล m พจารณาจากมวลทตดอยปลายสปรงเบาดงแสดงในรปท 8.1 สมมตมวลเคลอนทในแนวระดบโดยไมมความเสยดทานใดๆ และสปรงมคาคงทเปน k ทตาแหนง x = 0 เรยกวา ตาแหนงสมดล ถาไมถกรบกวน มวลจะอยนง ณ ตาแหนงน4(รปท8.1 ก.)ถามวล m ถกแรง

x

X = A

บทท 8 การแกวงกวด 204

จากภายนอก F′

กระทาใหสปรงยดออกไปเปนระยะ x จากตาแหนงสมดลโดยสปรงจะพยายามคนตวดวยแรง F = - kx ซงเปนไปตามกฎของฮกส ( Hook’s Law )

เครองหมาย ( - ) หมายความวา F ซงเปนแรงดงกลบมทศตรงกนขามกบทศของการกระจด จากกฎขอทสองของนวตน

xF = - kx =

xma (8.1)

dt

dvm = - kx

2

2

dt

xdm = - kx

2

2

dt

xd + m

k x = 0 (8.2)

จากสมการท 8.2 เปนสมการการเคลอนทของการกวดแกวงอยางงาย เปนสมการอนพนธลาดบทสอง เราสามารถหาผลเฉลยของสมการดงน4 ให D เปนตวดาเนนการอนพนธ(diffential operator) ซงกาหนดดงน4

D dt

d≡ และ D2 ≡ 2

2

dt

d

ใชตวดาเนนการน4กบสมการท 8.2

D2x + m

k x = 0

ให m

k = 2ω

D2x + 2ω x = 0 ไดสมการของตวดาเนนการเปน

D2 + 2ω = 0

D = 2- ω = ω± i เมอ i = 1- เอาสมการตวดาเนนการกระทากบ x ได Dx = ± i xω พจารณาคาทเปนบวก D1x1 = +iωx1

บทท 8 การแกวงกวด 205

dt

dx1 = +iωx1

1

1

x

dx = dtiω

x

dx1x

x110∫ = dti

t

0ω∫

เมอ 10

x เปนคาคงทหรอคอคา 1

x เมอเวลา t = 0 จะไดคาของการปรพนธเปน ln x1 – ln x10 = i tω

ln 10

1

x

x = i tω

1

x = x10 ei tω

แต ei tω = (cos ωt + isinωt) น นคอ

1x = x10(cos ωt + isinωt) (8.3)

ทานองเดยวกนสาหรบคาทเปนลบเราจะไดผลเฉลยของสมการเปน x2 = x20(cos ωt - isinωt) (8.4) คา x ในสมการ 8.2 คอผลบวกของ

1x กบ x2

น นคอ x = x10(cos ωt + isinωt) + x20(cos ωt - isinωt) ให a = x10 + x20 และ b = (x10 – x20)i โดยใชวธเลขเชงซอน ขนาดของ b คอ (x10 – x20) และถานา a และ b มาเขยนเปนดานของสามเหลยมมมฉาก ดงรปท 8.2 โดย A เปนดานตรงขามมมฉาก A a φ b รปท 8.2 การนา a และ b มาเปนดานประกอบของสามเหลยมมมฉาก จากรป 8.2 จะได a = Asin φ และ b = Acos φ ดงน 4น

บทท 8 การแกวงกวด 206

x = A(cos φω+φω tcossintsin ) แต sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB ดงน 4น x = Asin( φ+ωt ) (8.5) จากสมการท 8.5 คา ( φ+ωt )คอเฟสของการเคลอนทเมอเวลา t และ φ เปนเฟสเมอเวลาเรมตน(t=0) ถาให φ+ωt = θ สมการ 8.5 จะเขยนไดเปน X = Asinθ (8.6) คา ωในสมการท 8.5 คออตราเรวเชงมมหรอความถเชงมมของการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว มคาตามสมการท 8.7

ω = mk (8.7)

แต ω = 2π f (8.8)

น นคอ f = π21

m

k (8.9)

และ ω = Tπ2

น นคอ T = 2k

mπ (8.10)

1. ความเรวของอนภาคทเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว จากสมการท 8.5 และสมการท 3.6 เราสามารถหาความเรวของอนภาคไดเปน

v = dtd

Asin( φ+ωt )

v = )tcos(A φ+ωω (8.11) จากสมการท 8.11 จะเหนวาความเรวมคาเปนลบ หมายถงทศทางของความเรวจะเขาจดสมดลตลอด

บทท 8 การแกวงกวด 207

ยกกาลงสองสมการท 8.5และสมการท 8.11 และนามารวมกนจะได x2 + 2

v = (Asin( φ+ωt ))2 + ( φ+ωω tcos(A )2

v = 22 xAω − (8.12) จากสมการ 8.12 ความเรวจะมคาสงสดเมอ x = 0 น นคอทตาแหนงสมดลอนภาคจะมความเรวสงสดเปน maxv = Aω (8.13) 2. ความเรงของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว จากสมการท 3.10 และ 8.11 เราสามารถหาความเรงของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวไดเปน

a = dt

)tcos(Ad φ+ωω

a = -A 2ω sin( )t φ+ω น นคอ a = - 2ω x (8.14) จากสมการท 8.14 ความเรงมคาเปนลบและข4นอยกบระยะกระจดของการเคลอนทแสดงวาความเรงมทศเขาหาจดสมดลตลอดเวลา ตวอยางท 8.1 ออกแรง 4 นวตน ดงสปรงตามแนวราบ จะทาใหสปรงยดออก 0.02 m และเมอนามวล 2 kg ผกตดกบปลายสปรง แลวดงใหสปรงยด 0.04 m แลวปลอย ดงรปท 8.3 จงหา

ก. คาบและความถของการเคลอนท ข. ความเรวและความเรงเมอเวลา สามในสเทาของคาบ

2 kg x รปท 8.3 ประกอบตวอยางท 8.1

0.04 m

บทท 8 การแกวงกวด 208

วธทา ตอนแรกออกแรง 4 นวตน สปรงยดออก 0.02 เมตร สามารถหาคาคงทของสปรงจากกฎของฮคส( Hooks law) F = kx

k = 0.02m4N = 200 N/m

จากสมการท 8.7 จะได

ω = 2200 = 10

จากสมการท 8.9 และ 8.10 จะได

f = π21

m

k

= π21

2200 =

π5 Hz

T = 2π 1002 =

5

π s

สมการการเคลอนทจะเปน x = Asin( φ+10t ) (8.15) แตจากโจทย เมอเวลาเรมตน(t=0) วตถมระยะกระจดเปน x = A ซงในทน4คอ 0.04 เมตร เมอแทนคาในสมการ 8.15 จะได 0.04 = 0.04sin 10(0) + φ

น นคอ φ = 2

π

สมการการเคลอนทจงเปน x = 0.04sin(10t+2

π ) หรอ

x = 0.04 cos (10t) (8.16)

จากสมการท 8.16 เราหาความเรวทเวลา t = T43 ไดเปน

v = -0.4sin(10t) (8.17)

= - 0.4 sin(10x T43 )

= - 0.4 sin(10x 43 x

5

π ) = -0.4sin( π2

3 )

v = 0.4 m/s

บทท 8 การแกวงกวด 209

การหาความเรงสามารถหาไดจากการหาอนพนธอนดบทหนงเทยบกบเวลาจะได a = - 4 cos(10t)

แทนคา t = T43 จะได

a = -4 cos (2

3π ) = 0

ตวอยางท 8.2 สปรงเบามากทมคาคงทของสปรงเทากบ 5.0 นวตนตอเมตร เมอหอยสปรงในแนวดง โดยมปลายอกดานหนงหอยวตถมวล 0.2 กโลกรมไวดงรปท 8.4 เมอดงสปรงลงเลกนอยแลวปลอยใหส นภายใตสนามโนมถวงของโลกและไมคดแรงตานใดๆ มวลน4จะส นดวยความถเทาใด g m = 2 kg รปท 8.4 โจทยตวอยางท 8.2 วธทา มวลน4จะส นภายใตแรงของสปรงซงเทากบแรงดงดดของโลกทกระทากบมวลน 4น

f = π21

m

k

แทนคา

f = π21

0.25.0 = π2

1 (5.0)

ความถของการส นเปน π2

5.0 Hz

บทท 8 การแกวงกวด 210

การเคลอนทเปนวงกลมกบการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว การศกษาการเคลอนทของวงกลมดวยอตราเรวคงทจะมลกษณะการเคลอนทสมพนธกบการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวโดยเงาของวตถน 4นจะมลกษณะการเคลอนทแบบกลบไปกลบมา ดงรปท 8.5 y y

ω O x P x O P v x

θ v′

Q Q ก. ข. รปท 8.5 วตถ Q เคลอนทเปนวงกลมและเงา P เคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว ก. แสดงตาแหนง ข. แสดงความเรว จากรปท 8.5 วตถ Q เคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท v′ ดวยรศม A เงาของมนทตกลงบนเสนผาศนยกลาง คอ P โดย P จะเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวตามเสนผาศนยกลางซงในทน4 อยในแนวแกน x ตาแหนง O เปนจดสมดล วตถ Q มเฟส θ และ เงา P อยทตาแหนง x จากรปท 8.5 ก. จะได x = Asinθ ถาเวลา t = 0 ; θ = 0 และ เมอเวลา t ใดๆ θ = tω น นคอ x = Asin tω

บทท 8 การแกวงกวด 211

รปท 8.5 ข. เมอเงา P เคลอนทดวยความเรว v v = v′cos θ = v′cos tω แต v′ = tcosA ωω สาหรบความเรงสามารถพจารณาจากรปท 8.6 O a P x

θ a′ Q รปท 8.6 ความเรงของเงาของอนภาค P จากรปท 8.6 a′ เปนความเรงของอนภาค Q และ a เปนความเรงของเงาอนภาค P จะเหนวาความเรง a จะมทศเขาหาจดสมดลเสมอ a = - a′sin θ = - tsina ω′ a′ = A2ω a = - tAsin2 ωω a = x2ω ถาเวลาเรมตน เฟสมคาเปนศนย(φ = 0) สามารถเขยนกราฟความสมพนธระหวาง ระยะกระจด,ความเรวและความเรงของเงา P ไดดงรปท 8.7

บทท 8 การแกวงกวด 212

x O tω π 2π 3π 4π รปท 8.7 ก. กราฟการระจดกบมมเฟส V

Aω π 2π 3π 4π tω รปท 8.7 ข. กราฟความเรวกบมมเฟส a 0 π 2π 3π 4π tω

- A2ω

รป 8.7 ค. กราฟระหวางความเรงกบเฟส

บทท 8 การแกวงกวด 213

พลงงานของการเคลอนทแบบฮารโมนกอยางงาย ในกรณทมวล m ตดกบสปรงทมคาคงทเปน k และเกดการส นแบบฮารโมนกอยางงายพลงงานของมวลน 4นเปนพลงงานรวมทประกอบดวยพลงงานศกยและพลงงานจลนรวมเรยกวาพลงงานกลซงเราหาไดดงน4 1. พลงงานศกย เปนพลงงานทสะสมอยเมอสปรงถกอดหรอยดออกเรยกวาพลงงานศกยยดหยน(elastic potential energy) การหาพลงงานศกยยดหยน จะพจารณาจากแรงทกระทาตอสปรงซงเปนแรงอนรกษ โดยพลงงานศกยของวตถจงหาไดจาก

)x(p

E = - x

0∫ xd(x)F

• แต F

= -k x

แทนคาลงในสมการจะได

)x(p

E = x

0∫ xdxk • = x

0∫ kxdx

)x(p

E = 21 kx2 (8.18)

)x(p

E เปนพลงงานศกยยดหยน 2. พลงงานจลน เปนพลงงานของวตถเมอวตถมความเรว สมมตทตาแหนง x วตถมความเรวเปน v พลงงานจลน (Ek(x)) จงเปน

Ek(x) = 21 mv2 (8.19)

จากสมการท 8.18 และ 8.19 พลงงานกลซงเกดจากพลงงานจลนและพลงงานศกยของวตถจงเปน E = Ep(x) + Ek(x)

E = 21 kx2 +

21 mv2 (8.20)

พลงงานกลรวมน4เปนไปตามหลกความถาวรของพลงงานคอ ถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอวตถ พลงงานกลรวมทจดใดๆยอมมคาคงทเสมอ เชน สมมตวาขณะทมตาแหนงเปน x1 วตถมความเรวเปน v1 เวลาตอมาวตถมตาแหนงเปน x2 และมความเรวเปน v2 จะได

21 k 2

1x +

21 m 2

1v =

21 k 2

2x +

21 mv 2

2 (8.21)

บทท 8 การแกวงกวด 214

ถาพจารณาจากรปการเคลอนทเราจะใชรปท 8.8 เพอแสดงพลงงาน ณ ตาแหนงตางๆโดยไมคดแรงตานทานใดๆคอ แนวสมดล A d c o b a รปท 8.8 ตาแหนงตางๆของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว (1) พลงงานกลทจด a ตาแหนง a เปนตาแหนงทมระยะกระจดสงสดซงมคาเทากบ แอมปลจด ณ จดน4เปนจดทวตถเรมเปลยนเพอกลบทศการเคลอนท ความเรวจงเปนศนย พลงงานจลน ณ จดน4เปนศนยดวย พลงงานกลรวมจงเปน

Ea = 21 kA2

(2) พลงงานรวมทจด b เมอวตถเคลอนทมาถงจด b จะมท 4งพลงงานจลนและพลงงานศกย ถาใหจด b มระยะกระจดเปน x และวตถมความเรว v พลงงานกลทจด b จงเปน

Eb = 2kx2

1 + 2mv2

1 (3) พลงงานรวมทจด O เมอวตถเคลอนทมาถงจด O ซงเปนจดอยในแนวสมดลวตถจะมความเรวสงสดและจดน4มระยะกระจดเปนศนย ซงจะทาใหพลงงานศกยทจดน4เปนศนย พลงงานกลทจด O จงเปน

Eo = 2

maxmv2

1

maxv คอความเรวสงสดของวตถ

(4) พลงงานกลทจด c เมอวตถเคลอนทผานจด O ไปแลวมนจะเคลอนทตอไปและสปรงจะถกอดมากทสดทจด c ระยะกระจดทวดออกจากจด O ไป จะเปนแอมปลจดของการเคลอนทเหมอนกบจด a น นคอจดน4วตถมความเรวเปนศนยทาใหพลงงานจลนเปนศนยพลงงานกลทจด c จงเปน

Ec = 2kA2

1

บทท 8 การแกวงกวด 215

ตามหลกความถาวรของพลงงาน พลงงานกลของทกๆจดมคาเทากน Ea = Eb = Eo = Ec

2kA

2

1 = 2kx2

1 + 2mv2

1 = 2

maxmv2

1 = 2kA

2

1

2mv2

1 = 2kA

2

1 - 2kx2

1 (8.23)

เมอนาสมการท 8.23 มาเขยนกราฟความสมพนธระหวางพลงงานศกยและพลงงานจลนกบตาแหนง x จะไดดงรปท 8.9 E(x) Q E = Ek + Ep S R Ek Ep(x) P Ep Ek(x) -A O x A X รปท 8.9 พลงงานของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว ถาพจารณารปท 8.9 พลงงานศกยคอกราฟเสนทบ(QOR)ซงเปนรปพาราโบลาหงาย สวนกราฟเสนประ(-ASA)ซงเปนรปพาราโบลาควาแทนพลงงานจลน พลงงานกลของการเคลอนทแทนดวยเสนตรงแนวระดบ QSR ถาพจารณาทจด P ซงมตาแหนงเปน x พลงงานศกย ณ จดน4วดจากระยะตามแนวดงไปถงกราฟเสนทบ และถาวดข4นไปถงเสนแนวระดบ QSR สวนทเหลอน4จะเปนพลงงานจลน ณ ตาแหนง x

บทท 8 การแกวงกวด 216

ลกตมนาฬกาเชงเดยว(simple pendulum) ระบบกายภาพการเคลอนทของลกตมนาฬกาเชงเดยวเปนระบบเชงกลชนดหนงทมการเคลอนทแบบการส น(oscillating motion) โดยระบบประกอบดวยมวล m ทแขวนกบเสนดายเลกๆทมมวลนอยมากปลายเชอกขางหนงถกตรงกบจคงทและปลอยใหเชอกวางตวในระนาบดงและปลอยใหแกวงดวยแอมปลจดนอยๆ ระบบน4เรยกอกอยางหนงวา ลกตมนาฬกาเชงเดยว ดงรปท 8.10 O L θ 0θ 0θ A′ T A S x B มวล m O

TF

NF

mg รปท 8.10 ลกตมนาฬกาอยางงาย จากรปท 8.10 มวล m ทผกกบเชอกเบายาว L ถกปลอยจากจด A ซงมแอมปลจดเชงมมเปน 0θ ผานจดสมดล O และเคลอนไปถงจด A′ซงแอมปลจดเชงมมเปน 0θ

เหมอนกน ถงแมวาการแกวงน4จะมแอมปลจดเชงมมคงท 0θ กตาม แตการแกวงกยงไมเปนฮารโมนกสเชงเดยว เนองจากเสนทางการเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม รศม L แตถาแอมปลจดเชงมม 0θ ลดลงเหลอคานอยๆการแกวงของวตถจะมทางเดนเกอบเปนเสนตรงผานจด O เสนทางการเคลอนท S กเกอบอยในในแนวระดบ x โดยมจด O เปนจดสมดลน นคอในกรณทแอมปลจดเชงมม 0θ มคานอยๆเราอนมานไดวาการแกวงเปนการเคลอนทแบบฮารโมนกเชงเดยว สมมตทเวลาใดๆวตถมระยะกระจดเชงมมเปน θ แรงททาใหเกดการแกวงตามเสนทางทแกวงคอ

TF = F(x)

บทท 8 การแกวงกวด 217

F(x) = -mgsinθ

m 2

2

dt

Sd = -mgsinθ

เครองหมายลบหมายถงแรงกระทาน4มทศเขาหาจดสมดล ถามม 0θ มคาเลกๆจะทาให θมคาเลกดวย ดงน 4น sinθ = tanθ = θ โดย θตองมหนวยเปนเรเดยน

θ = LS =

Lx

ดงน 4น m 2dt

d2x = -mg

Lx

2dt

d2x + L

gx = 0 (8.22)

สมการ 8.18 เปนสมการการเคลอนทของลกตมนาฬกาเชงเดยว ซงมคา ω เปน

ω = L

g (8.23)

ซงคาบการแกวงจะเปน

T = 2π gL (8.24)

สมการท 8.20 เปนคาบของการเคลอนทของลกตมนาฬกาเชงเดยว ซงไมข4นอยกบมวลและแอมปลจดของการแกวง แตถามม 0θ มคามากข4นจนการแกวงไมเปนการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว คาบการแกวงจะมากข4นสมมตใหเปน T′ ซงสามารถหาไดจาก

T′ = 2π gL (1+ 2

2

1 sin2 2

0θ + 22

12

2

4

3 sin4 2

0θ +........) (8.25)

หรอ T′ = T(1+ 22

1 sin2 2

0θ +….)

ถา 0θ มคาไมมากนกจะไดวา sin2

0θ = 2

0θ ดงน 4น

T′ = T(1+16

2

0θ )

T′ = 2π gL (1+

16

2

0θ ) (8.26)

คาบจากสมการท 9.26 เปนคาประมาณทแมนยาเพยงพอถามม 0θ ไมเกน 23

องศา แลวคา 16

2

0θ ผดพลาดไมเกน 1% ซงนบวานอยมากจนคา T′ เกอบคงท

บทท 8 การแกวงกวด 218

ตวอยางท 8.3 ลกตมนาฬกาเชงเดยวประกอบดวยเชอกเบายาว 2 เมตร เมอเวลาเรมตนเชอกและมวลทหอยทามมกบแนวดงเปนมม 30 องศา ดงรปท 8.11 จงหาความเรวของมวลเมอผานจดตาสด

O′ 2 m

30 B A O ระดบอางอง รปท 8.11 ประกอบตวอยางท 8.3 วธทา เมอมวลผานจดตาสด(จด O)ซงถอวาทกจดทอยระดบน4มพลงงานศกยโนมถวงเปนศนย จด A เปนจดทเรมปลอยมวล จดน4อยสงกวาระดบอางองเปน O′O - O′B และมพลงงานเพราะพลงงานศกยโนมถวง O′O - O′B = 2 – 2 cos

30 = 2(1 – 0.866) = 0.268

พลงงานกลทจด A มเฉพาะพลงงานศกยเพราะวตถมความเรวเปนศนย จงได

EA = mg(0.268)+ 0 = 0.268mg

พลงงานกลทจด O ประกอบดวยพลงงานจลน และพลงงานศกย แตพลงงานศกยเปน 0 เพราะเปนจดอางอง จงได

EO = 2

Omv2

1 + 0

O

v เปนความเรวของวตถทจด O

บทท 8 การแกวงกวด 219

จากหลกความถาวรของพลงงาน EA = EO

O

v = (9.8)(2)(0.268)

ความเรวของวตถทจดตาสด = 2.29 m/s

ฟสกลเพนดลม(physical pendulum)

ถาเราแขวนวตถทมรปรางและขนาดทไมสามารถพจารณาเปนอนภาคได และปลอยใหส นรอบจดหมนโดยจดหมนน4ไมผานจดศนยกลางมวล ดงรปท 8.12 เรยกระบบน4วาฟสกลเพนดลมหรอเพนดลมเชงประกอบ(compound pendulum)

O• จดหมน

θ d

จดศนยกลางมวล

dsinθ

mg

รปท 8.12 ฟสกลเพนดลม

เนองจากน4าหนกของวตถจะทาใหเกดทอรกพยายามหมนวตถรอบจดหมนในทศทางตามเขมนาฬกาหรอทศททาใหมม θ ลดลง

τ แทน ทอรก

Ι แทน โมเมนตความเฉอยของวตถรอบจด O

บทท 8 การแกวงกวด 220

α แทนความเรงเชงมม = 2

2

dt

d θ

τ = Ι α (8.27)

แต τ = - mgdsinθ (8.28)

จากสมการท 8.27 และ 8.28 จะได

2

2

dt

d θ +Ι

mgdθ = 0 (8.29)

สมการท 8.29 เปนสมการการเคลอนทของฟสกลเพนดลม โดยมสมการเฉลย(solution equation) เปน

θ = 0θ cos( φ+ωt ) (8.30)

0θ เปนแอมปลจดเชงมมซงมคาคงท

ω = Ι

mgd (8.31)

คาบและความถของฟสกลเพนดลมคอ

T = 2mgd

Ιπ (8.32)

f = Ιπ

mgd

2

1 (8.33)

ตวอยางท 8.4 ในการหาโมมเนตความเฉอยของแทงไมไมสมาเสมอ ทาไดโดยแขวนไมซงมมวล 1.0 กโลกรมในระนาบดงแลวใหแกวงแบบฟสกลเพนดลมรอบจดหมนทอยปลายดานหนง แลววดคาบการแกวงได 3.0 วนาท จงคานวณหาโมเมนตความฉอยรอบจดหมนน4 ดงรปท 8.13

บทท 8 การแกวงกวด 221

จดหมน

42 cm • จดศนยกลางมวล

รปท 8.13 การหาโมเมนตความเฉอยของแทงไมไมสมาเสมอ วธทา ใหแทงไมแกวงรอบจดหมนแบบฟสกลเพนดลม จากสมการท 8.32 จะได

Ι = 2

2

4

T

πmgd

จากโจทย m = 1.0 kg , d = 0.42 m และ T = 3.0 s แทนคาจะได

Ι = 2

2

4

(3.0s)

π(1.0 kg)(9.8 m/s2)(0.42 m)

Ι = 0.94 kgm2 การรวมกนไดของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว (superposition of simple hamonics motion) ในกรณทวตถอนหนง ถกแรงกระทาหลายๆแรงพรอมกนและแตละแรงตางพยามทาใหวตถน 4นเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวในแนวเสนทางทแรงน 4นกระทา วตถจะเคลอนทภายใตแรงลพธเหลาน4 และเสนทางการเคลอนทคอการเคลอนทของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวรวม 1. การรวมกนของการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว 2 อนในแนวเดยวกน พจารณาอนภาคอนหนงถกแรงกระทาเพอใหเกดการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวพรอมกนสองแรงและแรงอยในทศทางเดยวกน การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวของแตละแรงสมมตใหมความถ ω เทากน การกระจดของอนภาคเนองจากแตละแรงสามารถแยกไดดงน4

บทท 8 การแกวงกวด 222

x1 = t sinA1ω (8.34)

x2 = )t( sinA

2δω + (8.35)

สมการท 8.34 เปนการกระจดของอนภาคเนองจากแรงกระทาแรก ซงมเฟสเรมตนเปนศนย และสมการท 8.35 เปนการกระจดของอนภาคเนองจากแรงกระทาทสองและใหมเฟสเรมตนเปน δ โดยδ จะเรยกวาผลตางของเฟส(phase difference) ผลการกระจดลพธของอนภาคน4คอ x = x1 + x2 x = tsin A1 ω + )t(sin A2 δ+ω (8.36) สมการท 8.36 แสดงวาการเคลอนทของอนภาคยงเปนการเคลอนทแบบฮารโมนกสอย แตแอมปลจดและเฟสจะเปลยนไปดงน4 x = ) t Asin( α+ω (8.37) โดย α เปนเฟสเรมตนของการเคลอนทแบบฮารโมนกสรวม จากสมการท 8.36 และ 8.37 จะได ) t Asin( α+ω = tsin A1 ω + )t(sin A2 δ+ω (8.38) แต sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB สมการท 8.38 จะเปน αω+αω tsinAcos tcosAsin = t sinA

1ω + δωδω sintcosA tcossinA

22+

αωαω tsinAcos tcosAsin + = ( δ+ cosA A 21 ) tsinω + tcossinA2 ωδ (8.39) จาก 8.39 จะได αAcos = ( δ+ cosA A 21 ) (8.40) αAsin = δsinA2 (8.41) จากสมการท 8.40 และ 8.41 สามารถหาคา A ไดเปน A = δ++ cosA2A AA 21

2

2

2

1 (8.42)

บทท 8 การแกวงกวด 223

และเฟสของฮารโมนกสรวมจะได

α = A

sinA sin 21 - δ (8.43)

จากสมการท 8.42 และ 8.43 เราสามารถหาแอมปลจดรวมและมมเฟสเรมตนได แตเพอใหงายข4นเราจะใชวธเขยนแผนภาพเวกเตอรหมน(rotating vector) แทนการคานวณโดยตรงได ดงรปท 8.14 โดยนบเวลาเรมตน( t = 0) เมอ

1A

ช4ไปทาง – Y ทเวลาใดๆ

1A

ทามมกบแกน Y เทากบ ωt และ 2

A

ทามม ωt + δ +Y

2A

A

δ x2 x1 x +X

tω α

1A

รปท 8.14 แผนภาพเวกเตอรหมนของฮารโมนกสสองอน ความถเทากน ผลตางเฟส δ จากรป 8.12 A

=

1A

+ 2

A

A = δ++ cosA2A AA 21

2

2

2

1

α = A

sinA sin 21 - δ

พจารณากรณท ฮารโมนกส 2 อนทผลตางเฟสเปนศนย(δ = 0) ใชสมการ 8.42 จะได A = A1 + A2 และ ใชสมการ 8.37 จะไดการกระจดรวมเปน x = (A1 + A2)sin tω (8.44)

บทท 8 การแกวงกวด 224

สมการท 8.44 เปนการกระจดรวมของฮารโมนกส 2 อนทมเฟสตรงกน แอมปลจดรวมเกดจากผลบวกของแอมปลจดของแตละฮารโมนกส และความถของฮารโมนกสรวมยงคงมคาเทาเดมคอเทากบความถของแตละฮารโมนกสยอย กราฟการเคลอนทและแผนภาพเวกเตอรหมนแสดงในรปท 8.15 X A 2

1

t รปท 8.15 ก.กราฟระยะกระจดกบเวลาของฮารโมนกสรวม ทเกดจากฮารโมนกสยอยทมเฟสเทากน

P

2P

1P

X O x1 x2 x3

รปท 8.15 ข. แผนภาพเวกเตอรหมนของฮารโมนกสรวม ทเกดจากฮารโมนกสยอยทมเฟสเทากน รปท 8.15 เวกเตอรหมน

1P

สมนยกบการเคลอนทของฮารโมนกสท 1 , 2

P

สมนยกบฮารโมนกสท 2 และ P

สมนยกบฮารโมนกสรวมทานองเดยวกนในกรณท ผลตาง

เฟสเปน π เรเดยน จะไดการกระจดลพธเปน x = (A1 - A2)sin tω (8.45)

บทท 8 การแกวงกวด 225

และกราฟระหวางตาแหนงและเวลาแสดงในรปท 8.16 X x1

x t x2 รปท 8.16 แผนภาพเวกเตอรของฮารโมนกสรวมทเกดจาก ฮารโมนกสยอยทมผลตางเฟสเปน π เรเดยน ตวอยางท 8.5 อนภาคอนหนงถกทาใหเคลอนทแบบฮารโมนกสสองอนพรอมกนดวยความถและทศทางเดยวกนโดยมสมการบอกตาแหนงเปน

x1 = (10 m)sin (2.0 t) และ x2 = (6.0 m)sin (2.0t + 12

5π )

จงหาสมการการเคลอนทรวม

วธทา จากโจทยกาหนดให ผลตางเฟส δ = 12

5π

แอมปลจดท 4งสองคอ A1 = 10 m และ A2 = 6.0 m แอมปลจดรวมคอ

A = δcosA2A AA21

2

2

2

1++

= 12

5sm)(6.0m)co 2(10m) (6.0m) (10 22 π

++

= 13 m สมการการเคลอนทรวมคอ x = (13 m) )sin(2.0t α+

x1 + x2 = (10 m)sin (2.0 t) + (6.0 m)sin (2.0t + 12

5π )

สามารถหาคา α จากท t = 0 จะได x t = 0 = αm)sin (13

บทท 8 การแกวงกวด 226

(x1 + x2)t = 0 = 0 + (6.0m)sin 12

5π = 5.8 m

น นคอ αsin = m 13m 5.8 = 0.446

α = 0.46 เรเดยน สมการการเคลอนทรวมคอ x = (13m)sin(2.0t+0.46) 2. การรวมกนของฮารโมนกสสองอนทมทศเดยวกนความถตางกน พจารณาการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวสองอนทมทศทางเดยวกน แตความถตางกน โดยมแผนภาพเวกเตอรหมนดงรปท 8.17 Y P1

A1 A P t1ω O t2ω A2 X P2 รปท 8.17 แผนภาพเวกเตอรหมนของฮารโมนกสรวมทเกดจาก ฮารโมนกสยอยทมความถตางกน สมการของแตละฮารโมนกสเปน x1 = tsinA 11 ω และ x2 = tsinA 22 ω มมระหวาง A1 และ A2 เปน t) - ( 21 ωω และไมคงท ดงน 4น ทาให A มความยาวไมคงทและหมนอยางไมคงตว การเคลอนทรวมจงไมเปนฮารโมนกส และมแอมปลจดของการเคลอนทเปน A = t) - cos(A2A AA 2121

2

2

2

1 ωω++ (8.46)

บทท 8 การแกวงกวด 227

แอมปลจดของการเคลอนทน4ข4นอยกบคา )t - ( 21 ωω เชน ถา )t - ( 21 ωω มคาเปน

π2n คา A = 21

A A + และถามคาเปน π2n +π จะได A = 21

A- A น นคอแอมปลจดจะมคาสงและตากลบไปกลบมา และมคาความถเปน

f = πωω

2

) - ( 21 = f1 – f2

ตวอยางเชนกรณของสอมเสยงสองอนทมความถใกลเคยงกน ตางกส นพรอมกนในบรเวณใกลเคยงกน ผฟงจะไดยนเสยงข4นๆ ลง ๆ สลบกนไป เรยกวา บตส(beats) ถา A1 = A2 คอแอมปลจดท 4งสองเทากน จากสมการท 8.46 จะได A = t) - cos(2A 2A 21

2

1

2

1 ωω+ = t)-cos( 2(1A 211 ωω+ จากสมการทางตรโกณมต 1+ θ2 cos = 2 θ2cos จะได A = 2A1cos 0.5( t)- 21 ωω (8.47) จากสมการท 8.47 คา A มคาอยระหวา’ 0 ถง 2A1 สามารถเขยนกราฟระหวางระยะกระจด (x) และเวลา (t) ไดดงรปท 8.18 X Y รปท 8.18 แอมปลจดของฮารโมนกสรวมทเกดจากฮารโมนกสยอย ทมความถไมเทากนมคาไมคงท

บทท 8 การแกวงกวด 228

3. การรวมกนของฮารโมนกสสองอนทมทศต Mงฉากกน กาหนดใหการเคลอนทฮารโมนกสท 1 เคลอนทตามแกน X ดวยความถ 1ω และมสมการการเคลอนทเปน x = )+tsin(A 11x δω ฮารโมนกสท 2 เคลอนทตามแกน Y ดวยความถ 2ω และมสมการการเคลอนทเปน y = )+tsin(A 22y δω ถา 1ω = 2ω และ 1δ = 2δ จะได

y = xA

A

x

y (8.48)

สมการท 8.48 เสนทางการเคลอนทเปนกราฟเสนตรงมความชนเปน x

y

A

A และม

แอมปลจดเปน 21

2

y

2

x A (A )+ ดงแสดงในรปท 8.19 ก.และ ข.

Y Y Ay A Ay A

45 O Ax X O

63.5 Ax X

ก. ถา x

y

A

A = 1 และ 1δ = 2δ ข. ถา

x

y

A

A = 2 และ 1δ = 2δ

รปท 8.19 แผนภาพเวกเตอรหมน

บทท 8 การแกวงกวด 229

ถา 1δ - 2δ = 2

π และ 1ω = 2ω = ω จะไดสมการระยะกระจดเปน

x = ) t sin(A 1x δ+ω (8.49)

y = Aysin )t( 2δ+ω = Ay )2

-tsin( 1

πδ+ω

y = -Ay )tcos( 1δ+ω (8.50) จากสมการท 8.49 และ8.50 ยกกาลงสองและจดรปแบบใหมแลวนามาบวกกนจะได

2

x

2

A

x + 2

y

2

A

y = 1 (8.51)

สมการท 8.51 อยในรปสมการของวงร น นคอวตถจะเคลอนทโดยมเสนทางเปนวงร แตถา Ax = Ay ให = r จะไดเสนทางการเคลอนทเปนวงกลม ซงแสดงดงรปท 8.20 โดยให ผลตางเฟสเปน α โดย α = −δδ 21 - Y Y Ay Ay

O Ax X O Ax X

ก. Ay = Ax และ α = 2

π ข. Ay = 2Ax และ α = 2

π

บทท 8 การแกวงกวด 230

Y Y 2Ay

Ay

O Ax X O Ax X

ค. Ay = Ax และ α = -4

π ง. Ay = 2Ax และ α = -4

π

รปท 8.20 วถเคลอนทของฮารโมนกสรวมแบบตางๆ การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวของสองวตถ(oscillation of two object) ในตอนเรมตนบทน4 ไดกลาวถงการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวสาหรบมวลทผกตดกบสปรงเพยงดานเดยว แตอกดานหนงของสปรงเรายดตดถาวรกบผนง แตในกรณทปลายท 4งสองของสปรงยดตดกบมวลท 4งสองขางและมการยดหรออดท 4งสองดานของสปรงจะพจารณาจากรปท 8.21 Y x2 x1 1

F

L 2

F

m1 m2 O X รปท 8.21 การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวของสองวตถในสปรงเดยวกน

บทท 8 การแกวงกวด 231

จากรปท 8.21 สปรงซงมคาคงทของสปรงเทากบ k ความยาวเดม L มมวล m1 และ m2 ตดอยทปลายท 4งสองขาง เมอยดสปรงออกท 4งสองขาง จะมแรงดงกลบของสปรงกระทาตอวตถท 4งสอง โดยแรงทดงมวลท 4งสองมคาเทากนเพราะเปนสปรงอนเดยวกน ถาไมมแรงภายนอกกระทาตอระบบและปลอยใหระบบเคลอนทอยางอสระ มวลท 4งสองจะเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว สมมตใหการเคลอนทของมวลท 4งสองอยในแนวแกน X ในตอนแรกทยงไมยดสปรงออกมวลท 4งสองอยหางกน L ตอมาเมอมวลเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว สมมตทเวลาใดๆ มวล m1 อยทตาแหนง x1 และมวล m2 อยท x2 ดงน 4นระยะทสปรงยดคอ x = L - ) x- (x

12 (8.52)

แรงทสปรงกระทาตอ m1 และ m2 มคาเทากนแตมทศตรงกนขาม สาหรบมวล m1 ใหมคา kx

พจารณามวล m1 แรงทกระทาเปน 1

F = 2

1

2

1 dt

xdm = kx (8.53)

ทานองเดยวกนสาหรบ m2 จะได F2 = 2

2

2

2 dt

xdm = - kx (8.54)

จากสมการท 8.54 คณดวย m1 จะได

m1 2

2

2

2 dt

xdm = -m1kx (8.55)

จากสมการท 8.53 คณดวย m2 จะได

m1 2

1

2

2 dt

xdm = m2kx (8.56)

จากสมการท 8.55 และ 8.56 จะได

m1m2( dt

xd2

2

2

- dt

xd2

1

2

) = -k(m1 + m2)x (8.57)

จากสมการท 8.52 คา L มคาคงทจะได

2

2

dt

xd = 2

12

2

dt

x- (xd ) =

dt

xd2

2

2

- dt

xd2

1

2

(8.58)

บทท 8 การแกวงกวด 232

แทนคา dt

xd2

2

2

- dt

xd2

1

2

ลงในสมการท 8.57 จะได

m1m2 2

2

dt

xd = - (m1 + m2)kx

)

21

21

m (m

mm

+ 2

2

dt

xd = -kx

สมมตให µ = )

21

21

m (m

mm

+ (8.59)

น นคอ µ 2

2

dt

xd = - kx

2

2

dt

xd + µk x = 0 (8.60)

จากสมการท 8.60 เมอเปรยบเทยบกบสมการท 8.2 สมการท 8.60 จงเปนสมการการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวของวตถทมมวล µ ผกตดอยกบปลายขางหนงของสปรงทมคาคงทของสปรงเทากบ k ดงรปท 8.22 L วตถมวล µ k F X x รปท 8.22 การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวของวตถมวล µ

ความถเชงมมของการเคลอนทน4คอ ω = µk

ω = )2

21

1m

m m(m

k + (8.61)

ถาปลอยใหมวล m1 ส นอยางอสระภายใตแรงจากสปรงน4จะมความถเชงมมเปน 1ω และเปน 2ω สาหรบการแกวางอยางอสระของมวล m2 โดย

บทท 8 การแกวงกวด 233

1ω = 1

mk และ 2ω =

2mk สมการท 8.61 จะเปน

ω = 1ω )2

21

m

m m(

+ (8.62)

ω = 2ω )1

21

m

m m(

+ (8.62)

สมการเฉลยของสมการท 8.60 จะไดสมการของตาแหนงเปน x = A )tsin( δ+ω (8.63) ความเรวของระบบเปน v = )tAcos( δ+ωω (8.64) ความเรงของระบบเปน a = x - 2ω (8.65) จากสมการท 8.52 คา x เปนระยะยดหรอหดจากความยาวเดมของสปรงหาอนพนธเทยบกบ t ไดเปน v = v2 - v1 และ a = a2 - a1

โดย x , v และ a เปนตาแหนงสมพทธ ,ควาเรวสมพทธและความเรงสมพทธของมวล m2 เทยบกบมวล m1 ตามลาดบ และสามารถหาคาพลงงานรวมเปน E = Ek1 + Ek2 + Ep (8.66)

E = 2

11vm2

1 + 2

22vm2

1 + 2kx2

1 (8.67) ตวอยางท 8.6 สปรงเบามคาคงทของสปรงเปน 100 นวตนตอเมตร ทปลายท 4งสองขางยดตดกบวตถปลายละกอน ดงรปท 8.23 ถามวล m1 = 9 กโลกรมและ m2 = 16 กโลกรม ดนวตถท 4งสองใหอดเขาสปรงเปนระยะ 10 เซนตเมตร แลวปลอยใหเคลอนทในแนวระดบบนพ4นทไมมแรงเสยดทาน ถาขณะปลอยใหสปรงดดน 4น มวลท 4งระบบมความเรว

1 เมตรตอวนาท จงหาความเรวของมวลแตละกอนเมอเวลา t = 5

8π วนาท

บทท 8 การแกวงกวด 234

1v

2v

m1 m2 X รปท 8.23 ระบบทประกอบดวยมวลสองกอนผกตดกบสปรง วธทา จากสมการท 8.63 x = A )tsin( δ+ω เมอเวลา t =0 จะได x = - A ดงน 4น -A = A )tsin( δ+ω

sinδ = -1 ดงน 4น δ = 2

3π

จากสมการท 8.61 จะได

ω = )9x16169

100(+ = 6

25

จาก สมการท 8.64 จะไดความเรวเปน

v = )2

3tAcos(

π+ωω = tAsinωω

v = )5

8x

6

25x(0.1)sin(

6

25 π

= )3

2sin(6

6

2.5 π+π = )

3

2sin(

6

2.5 π

v = 23

x62.5 = 0.36 m/s

แต v = v2 – v1 = 0.36 (8.68) จากกฎการอนรกษโมเมนตม P1 = (m1 + m2)v0 = P2 = m1v1 + m2v2 9v1 + 16v2 = (9+16)x1 = 25 (8.69) จากสมการท 9.68 และ 9.69 จะได v1 = 0.54 m/s และ v2 = 1.26 m/s

บทท 8 การแกวงกวด 235

ตวอยางท 8.7 สปรงสองอนตอกนและตอกบมวล m ซงวางอยบนผวทไมมความเสยดทาน ดงรปท 8.24 ถาสปรงแตละตวมคาคงทสปรงเปน k1 และ k2 จงแสดงวาความถของการแกวงกวดของมวล m เปน

f = mk(k

kk

21

21

21

)+π

k1 k2

m รปท 8.24 มวล m เคลอนทภายใตแรงจากสปรงสองตว วธทา กาหนดใหสปรง k1 และ k2 ยดออกเปนระยะ x1 และ x2 ตามลาดบ

แตมวล m มระยะกระจดเปน x ดงน 4น และมวล m ส นดวยความถลพธเปน ω′ = mk′

1

F = k1x1 , 2F = k2x2 และ x1 + x2 = x

จากกฎขอสามของนวตน F1 = F2 ดงน 4น k1x1 = k2x2

x2 = 1

2

1xk

k

ดงน 4น x1 + 1

2

1xk

k = x หรอ x1 = )(

)xk(k

k

21

2

+

แรงบนมวล m คอ F1 = k1x1 แทนคา x1 จะได

F = (x)k(k

kk

21

21

)+

f = m

k

2

1 ′

π =

m)k(k

kk

2

1

21

21

+π

บทท 8 การแกวงกวด 236

การแกวงกวดแบบถกหนวง (damp harmonic oscillation) ระบบการแกวงกวดทไดพจารณามาต 4งแตตนบทน4น 4นเปนระบบในอดมคต ไมคดแรงเสยดทานมาเกยวของดวย ไมกลาวถงแรงไมอนรกษ ทาใหพลงงานกลมคาคงตว การกวดแกวงจะดาเนนตอไปโดยทแอมปลจดไมลดลง แตในสภาพความเปนจรงบนโลกไมเปนอยางน4 เพราะในระบบบนโลกมแรงเสยดทานทจะตานการเคลอนท ทาใหการกวดแกวงจะตองมแอมปลจดลดลงและในทสดกจะหยดนง เวนแตวาเรามวชดเชยพลงงานกลทเสยไป เราเรยกการเคลอนททมการลดลงของแอมปลจดทเกดจากแรงตานการเคลอนทวา การแกวงกวดแบบถกหนวง พจารณาแรงหนวง(

DF

)ทเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวของวตถทมการแกวงกวด โดยแรงหนวงจะมทศตรงกนขามกบทศการเคลอนทเสมอจงมเครองหมายเปนลบ ดงรปท 8.25

DF

= - b v (8.70)

เมอ b คอคาคงทของการหนวง(damping constant) แนวสมดล + + kx O X รปท 8.25 การแกวงกวดแบบถกหนวง จากรปท 8.25 เปนการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวท วๆหรอเรยกอกอยางวาการแกวงกวดอยางงาย ซงเราไดศกษาผานมาแลว แตเมอมแรงตานการเคลอนท

DF

มาเกยวของดวยการแกวงกวดดงกลาวจะเรยกวาการแกวงกวดแบบถกหนวง มสมการการเคลอนทเปน

2

2

dt

xdm + kx +bv = 0 (8.71)

2

2

dt

xd +(mb )

dtdx + (

mk )x = 0 (8.72)

FD

x

บทท 8 การแกวงกวด 237

การหาสมการเฉลยของสมการท 8.72 สามารถแบงเปน 3 กรณดงน4 1. การหนวงวกฤต(critically damped motion) ในกรณทการหนวงมคานอยสมการเฉลยของสมการ 8.72 จะเปน x = )tcos(Ae (b/2m)t - φ+ω′ (8.73)

ความถเชงมมของการกวดแกวงเปน ω′ = 2

2

4m

b - m

k (8.74)

สมการท 8.73 และ 8.74 ใชสาหรบการแกวงกวดทมแรงหนวงนอยๆเทาน 4น ซงจะเหนวาแตกตางจากการแกวงกวดท วๆไปคอ แอมปลจดจะมคาลดลง ถาไมมแรงหนวง( b = 0) สมการท 8.74 ซงเปนความถในกรณการแกวงกวดอยางงายทไมมการหนวง จะเปน

0ω = mk (8.75)

จากสมการท 8.74 ถา mk = 2

2

4m

b หรอ b = 2 km คา ω′ มคาเทากบศนย

ระบบจะไมกวดแกวงอกตอไปแตเมอขยบออกไปแลวปลอยจะกลบสตาแหนงสมดลโดยไมส น เรยกวา การหนวงวกฤต 2. การหนวงเกน(over damped motion) ในกรณท b มากกวา 2 km กรณน4ไมมการกวดแกวงแตระบบจะกลบสตาแหนงสมดลชากวาแบบหนวงอยางวกฤต ซงจะไดสมการเฉลยเปน x = bt -

2

at -

1eC eC + (8.76)

โดย C1 และ C2 เปนคาคงทข4นอยกบเงอนไขเรมตน และ a,b เปนคาคงทโดยจะข4นอยกบ m,k และ b 3. การหนวงตา(under damped motion) ถา b มคานอยกวา 2 km เรยกวาการหนวงตาระบบจะแกวงกวดดวยแอมปลจดทลดลงอยางสมาเสมอ โดยมสมการเฉลยเปน

x = C )-tcos(e)t2m

b( - φω

C = คาคงท

บทท 8 การแกวงกวด 238

กราฟของการแกวงกวดแบบถกหนวงสามารถแสดงดงรปท 8.26 X การหนวงวกฤต การหนวงเกน t การหนวงตา รปท 8.26 การแกวงกวดแบบถกหนวง ตวอยางท 8.7 ลกตมนาฬกาเชงเดยวประกอบดวยเชอกเบายาว 1.0 เมตรหอยดวยมวลขนาด1.0 กโลกรม ดงรปท 8.27 ถาเราจดใหมนแกวงดวยมมนอยๆ หลงจากน 4น อก 5.0 นาทปรากฏวาแอมปลจดลดลง 50 เปอรเซนตของตอนเรมตนจงหา คาคงทของการหนวง b

θ รปท 8.27 การกวดแกวงของลกตมนาฬกาเชงเดยวทมแรงหนวง

L =1.0 m F

บทท 8 การแกวงกวด 239

วธทา สมมตใหการแกวงกวดน4มเฟสเรมตนเปนศนย ถาเปนการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวแบบถกหนวงจะมสมการการเคลอนทดงสมการท 8.72 และมสมการของตาแหนงเปน

x = A coset

2mb

( - ) (ω′ t) และ ω′ = 2

2

4m

b - m

k

ให α = 2mb สมการขางบนจะเปน

x = t -Ae

α tcosω′ (8.77) สาหรบกรณของลกตมนาฬกาเชงเดยวทถกหนวงมสมการการเคลอนทเปน

2

2

dt

dL

θ + dt

db

θ + θg = 0

2

2

dt

d θ + dt

d

L

b θ + θL

g = 0 (8.78)

ถาเราแทนระยะกระจด x ดวย θ , L และ g แทน m และ k ดงน 4น

α = 2Lb และ ω′ = 2

2

4L

b - L

g

ทเวลา t =0 สมการท 8.77 ทแทน x ดวย θ จะเขยนไดเปน 0θ = (0)cosAe (0) - ω′α = A ทเวลา t = 5 นาทหรอ 300 วนาท แอมปลจดลดลงเหลอ 50 เปอรเซนตของตอนเรมตน (300) -

Aeα = 0.50A

α300e = 2

α300 ln e = ln 2

α = 300ln2 = 2.3 x 10 -3 s- 1

แต b = 2Lα b = 4.6 x 10- 3 m/s

บทท 8 การแกวงกวด 240

การแกวงกวดทมแรงเสรม(force oscillation)และการส นพอง(resonance) การกวดแกวงทกลาวถงในหวขอ 8.7 แอมปลจดของการส นจะมคาลดลงเรอยๆ ถาตองการใหมการส นตอไปเรอยๆทาไดโดยใชแรงจากภายนอกไปกระทาตออนภาคอกแรงหนงเรยกการแกวงกวดแบบน4วา การแกวงกวดทมแรงเสรม ถาแรงเสรมทใหกบอนภาคเปนแรงส นสะเทอนทมความถเชงมม fω ตามสมการ F = tcosF f0 ω (8.77) ถาเดมอนภาคไมมแรงส นสะเทอนน4มากระทาอนภาคจะแกวงกวดแบบอสระดวยความถเชงมม

0ω = m

k (8.78)

และถามแรงหนวงจะแกวงกวดดวยความถเชงมม

ω = 2

2

4m

b - m

k (8.79)

เมอการแกวงกวดถกบงคบดวยแรง F สมการการเคลอนทจงเปน

2

2

dt

xd + mk x +

mk v = tcos

m

Ff

0 ω (8.90)

สมการ 8.90 อนภาคจะถกบงคบใหกวดแกวงโดยมความถเชงมม fω มสมการเฉลยเปน x = A ) -t sin( f αω (8.91) เมอ A แอมปลจดของการเคลอนท และ α เปนมมเฟสเรมตน น นแสดงวาระบบน4แกวงกวดดวยความถของแรงทมากระทาแตมมมเฟสทตางจากแรงทมากระทาและจะแกวงดวยแอมปลจดคงท เมอแทนคา x จากสมการท 8.91 ลงในสมการ 8.90 จะได

A = 2

2

f

222

0

2

f

0

m

b)-(

m

F

ω+ωω

(8.92)

บทท 8 การแกวงกวด 241

และมมเฟสเรมตนของการเคลอนทเปน

α = tan- 1

m

b

) -(

f

2

0

2

f

ωωω (8.93)

ความเรวของการเคลอนทแบบน4หาไดจาก

v = dtdx = ) -t cos(A ff αωω (8.94)

เมอ Afω เปนแอมปลจดของความเรวหรอความเรวสงสด ถาความถของแรงภายนอกเทากบความถเชงมมธรรมชาตของวตถ น นคอ

fω = 0ω = m

k (8.95)

จะไดแอมปลจดของความเรวและพลงงานจลนของการแกวงกวดมคามากและอตราการถายเทพลงงานจากแรงทกระทาตอวตถทมการแกวงกวดจะสงทสด ซงการทความถภายนอกมคาเทากบความถเชงมมธรรมชาตจะเรยกวาเกดการส นพอง(resonance) ตวอยางการส นพองในชวตประจาวนเชน ถาเราปรบเครองรบโทรทศนใหตรงกบความถเชงมมธรรมชาตของคลนโทรทศนทปลอยออกมาจากสถานสง พลงงานทเครองรบโทรทศนไดรบจะมคามากทสด ดงน 4นเรากสามารถรบชมรายการจากสถานโทรทศนน 4นได การวเคราะหแบบฟเรยร การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวทกลาวมาแลวของตอนตนบทน4 เปนเพยงตวอยางหนงของการแกวงกวด สมการของการเคลอนทแบบน4จะเปนฟงกชนของเวลา คอ x = X(t) เนองจากการเคลอนทแบบน4ซ4ารอบอยบอยๆและมคาบเปน T จงเขยนไดเปน X(t) = X(t+T) (8.96) จากทฤษฎของฟเรยร X(t) = a0 + tcosa1 ω + tcos2a 2 ω +…+ tcosna n ω +… + tsinb1 ω + tsin2b2 ω +...+ tcosnbn ω +... (8.97)

บทท 8 การแกวงกวด 242

อนกรมตามสมการท 8.97 เรยกวาอนกรมฟเรยร(fourier series) ω เรยกวา ความถเชงมมหลกมล(fundamental angular frequency) และ ความถ 2ω, 3ω...เปนฮารโมนกสของความถเชงมมหลกมล การวเคราะหแบบฟเรยรชวยในการอธบายความแตกตางของคณภาพเสยงจากการเลนดนตรหลายๆช4น แมวาเครองดนตรทกช4นจะใหเสยงทมความถเทากนแตกมมฮารโมนกสตางกน หคนเราจงไดยนไมเหมอนกน น นคอการวเคราะหแบบฟเรยรของเสยงจากเครองดนตรแตละชนดจะไมเหมอนกน

สรป 1. การแกวงกวด เปนลกษณะการเคลอนทซ4ารอยเดมทมคาบการเคลอนท เชนการ

เคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว,การเคลอนทแบบลกตมอยางงาย,ฟสกลเพนดลม เปนตน

2. การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยว เชน มวลทตดกบสปรง ถาเคลอนทในระนาบตามแกน x จะมสมการการเคลอนทเปน

2

2

dt

xd + m

k x = 0

และมสมการของระยะกระจดเปน x = Asin( φ+ωt )

ความถเชงมม ω = m

k

ความถ f = m

k

2

1

π

คาบ T = k

m2π

ความเรว v = )tcos(A φ+ωω = v = 22 xAω − ความเรง a = - x2ω

พลงงานของการเคลอนท E = 21 kx2 +

21 mv2

บทท 8 การแกวงกวด 243

3. ลกตมนาฬกาเชงเดยว เปนการเคลอนทแบบกวดแกวงในกรณทมมทแกวงมคานอยๆมสมการการเคลอนทเปน

2dt

d2x + L

gx = 0

ความถเชงมม ω = L

g

คาบการเคลอนท T = 2π gL

4. ฟสกลเพนดลม เปนการแกวงกวดของวตถทมรปรางขนาดใหญและไมสามารถจดใหเปนอนภาคเลกๆเหมอนลกตมนาฬกาไดมสมการการเคลอนทเปน

2

2

dt

d θ +Ι

mgdθ = 0

ระยะกระจดเชงมม θ = 0θ cos( φ+ωt )

ความถเชงมม ω = Ι

mgd , คาบการเคลอนท T = 2mgd

Ιπ

5. การรวมกนของการเคลอนทแบบฮารโมนกสอยางงาย คอการทระบบหรอวตถใดๆไดรบแรงกระทาทจะทาใหเกดการเคลอนทแบบกวดแกวงหลายแรง ทาใหตองเคลอนทภายใตการกวดแกวงรวมของหลายๆแรง 6. การเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวของสองวตถ เปนกรณทสปรงอนเดยวแตมวตถตดอยสองขาง วตถท 4งสองจะเคลอนทภายใตแรงยดหยนเดยวกนและเสมอนวาเปนวตถอนเดยวทตดกบสปรงโดยมมวลเปน

µ = )

21

21

m (m

mm

+

7. การแกวงกวดแบบถกหนวง เปนการเคลอนทแบบกวดแกวงทมแรงตานการเคลอนทมาเกยวของ ทาใหการกวดแกวงเปนไปอยางไมสมบรณและแอมปลจดของการเคลอนทจะลดลงเรอยๆจนในทสดกจะหยดนงซ4งสามารถแบงออกเปน 3 กรณคอ

7.1 การหนวงวกฤต วตถจะไมกวดแกวงแตจะลดแอมปลจดลงเพอกลบเขาสตาแหนงสมดล

7.2 การหนวงเกน เปนกรณทวตถไมมการกวดแกวงแตระบบจะคอยๆลดแอมปลจดลงอยางชาๆโดยจะชากวาการหนวงวกฤต 7.3 การหนวงตา ระบบจะแกวงกวดโดยลดแอมปลจดลงอยางสมาเสมอ

บทท 8 การแกวงกวด 244

8. การแกวงกวดทมแรงเสรม เปนการเพมแรงจากภายนอกแกวตถทแกวงกวดแบบถกหนวงเพอใหการแกวงกวดน 4นดาเนนตอไปได โดยถาแรงทเสรมเขาไปในระบบมความถเทากบความถเชงมมธรรมชาตของวตถ จะทาใหวตถเกดการส นโดยมแอมปลจดสงสดเรยกวาเกดการส นพอง 9. การวเคราะหแบบฟเรยร เปนการนาเอาอนกรมฟเรยรมาวเคราะหการแกวงกวดของวตถซงมอยหลายลกษณะ ผลจากการวเคราะหใหประโยชนในทางปฏบตหลายอยางเชนการวเคราะหคณภาพเสยงทมความถเทากนแตเสยงทออกมาสามารถจาแนกใหแตกตางกนได

บทท 8 การแกวงกวด 245

แบบฝกหดทายบท

1. ชายคนหนงมมวล 80 กโลกรม ข4นน งบนรถทมมวล 1,000 กโลกรม ทาใหสปรงโชครถถกอดเขาไปเปนระยะ 1.40 เซนตเมตร จงหาวาเมอรถเกดการชนหรอการกระแทก สปรงจะส นดวยความถเทาใด(ไมคดแรงหนวงของสปรง)

2. มวล 7.0 กโลกรมตดอยทปลายดานหนงของสปรงทแขวนอยกบเพดาน ใหมวลน4มการส นในแนวดงดวยคาบเทากบ 2.6 วนาท จงหาคาคงทของสปรง

3. วตถมวล 4 กโลกรมนาไปแขวนทปลายสปรงเบาอนหนงทาใหสปรงยดออก 16 เซนตเมตรจากจดสมดล นาวตถน4ออกแลวเอาวตถกอนใหมมวล 3 กโลกรมมาแขวนแทน แลวดงมวลน4ใหยดออกจากตาแหนงสมดล เมอปลอยใหเคลอนทจะมคาบของการเคลอนทเทาใด

4. ตาแหนงการเคลอนทแบบฮารโมนกสอยางงายของวตถอนหนงเปนไปตามสมการ

x = )6

4

t74cos(

π+

π

เมอ x และ t มหนวยเปนเมตรและวนาทตามลาดบ จงหา ก. คาบและความถของการเคลอนท ข. ความเรวและความเรงเมอเวลา t = 2 วนาท 5. สปรงมคาคงทสปรงเทากบ 345 N/m สปรงน4จะส นโดยมแอมปลจดเปน 22.0 cm เมอมนถกหอยดวยมวลขนาด 0.250 kg. จงหา ก. สมการทอธบายการเคลอนททเปนฟงกชนของเวลา ข. ถานบเวลาเรมตนเมอวตถผานจดสมดล ทตาแหนงระยะกระจดสงสดคร 4งแรก จะใชเวลาเทาใด 6. มวลขนาด 2.00 kg กวดแกวงตามสมการ x = 0.65cos 8.4t โดย x และ t ม

หนวยเปนเมตรและวนาทตามลาดบจงหา ก. แอมปลจดของการเคลอนท ข. ความถของการเคลอนท ค. พลงงานศกยและพลงงานจลนทตาแหนง x = 0.26 m

7. วตถช4นหนงกาลงเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวดวยคาบ 1.2 วนาท และแอมปลจด เทากบ 0.6 เมตร ทเวลา t = 0 วตถอยท x = 0 จงหาวาวตถจะอยหางจากตาแหนงสมดลเทาใดเมอ t = 0.48 วนาท

บทท 8 การแกวงกวด 246

8. ของเลนมวล 0.15 กโลกรม ช4นหนงกาลงเคลอนทแบบฮารโมนกสอยางงายในแนวระดบถาสปรงมคาคงทเปน 300 นวตนตอเมตร เมอวตถน4อยทระยะ 0.012 เมตรจาก ตาแหนงสมดล อตราเรวของวตถมคา 0.30 เมตรตอวนาท จงหา ก. พลงงานท 4งหมดของวตถทตาแหนงใดๆ ข. แอมปลจดของการเคลอนท ค. อตราเรวสงสดของวตถในระหวางการเคลอนท 9.สมมตนกบนอวกาศลงบนผวดาวเคราะหดวงหนง เขาไดทดลองลกตมนาฬกาเชงเดยวอนหนงซงใชเชอกเบายาว 50.0 เซนตเมตร เขาพบวาลกตมแกวงครบ 100 รอบในเวลา 136 วนาท คา g บนดาวเคราะหดวงน4มคาเทาใด 10. กอนวตถมวล M วางนงอยบนพ4นผวลนและผกตดกบขดสปรงในแนวระดบซงมคาคงท k ปลายอกขางหนงของสปรงผกตดกบกาแพงดงรปท 8.28 กอนวตถกอนทสองมวล m วางอยดานบนของกอนแรก ถาสมประสทธ ความเสยดทานสถตระหวางกอนวตถท 4งสองคอ

Sµ จงหาแอมปลจดของการส นททาใหกอนวตถอนบนไมไถลบนผววตถอนลาง K m M รปท 8.28 วางวตถ m บนวตถ M ทตดอยกบสปรง

11. จงหาความยาวของลกตมนาฬกาเชงเดยว ณ มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน ถามคา ความเรงสนามโนมถวงของโลกเปน 9.78 m/s2 และคาบการแกวงเปน 1.0 s 12. เครองตกแตงช4นหนงมรปรางเปนทรงกลมมวล M = 0.015 kgและรศมR = 0.050 m แขวนอปกรณช4นน4จากกงตนไมดวยวงลวดเลกๆซงยดตดอยกบผวทรงกลม ถาเครอง ตกแตงช4นน4ถกผลกออกไปนดหนอยแลวปลอย มนจะแกวงกวดแบบฟสกลเพนดลม ถาไม

คดแรงตานใดๆ และโมเมนตความเฉอยของทรงกลมรอบจดหมนทกงไมเปน 2MR3

5 จงหา

คาบของการกวดแกวง

บทท 8 การแกวงกวด 247

13. แผนจานโลหะบางมวล 2.0 x 10- 3 kg และรศม 2.20 cm จานหนงถกยดทจดศนยกลางไวกบเสนใยยาว เมอบดแผนจานแลวปลอย แผนจานแกวงกวดดวยมคาบของการเคลอนทเทากบ 1.00 s จงหาคาคงตวการบดของเสนใย 14. จงหาสมการการกระจดรวมของฮารโมนกสเชงเดยว 2 อนทขนานกนและมสมการการกระจดแตละอนเปน

x1 = )3

t2sin(π

+ω และ x2 = )2

t3sin(π

+ω

15. จงหาสมการของเสนทางการเคลอนทของอนภาคหนงแบบฮารโมนกสเชงเดยว ทต 4งฉากกนและมสมการของระยะกระจดแตละอนเปน x = 6 )tsin(ω และ y = )t2sin( α+ω เมอ

ก. α = 0 ข. α = 2

π

16. หนตวหนงมมวล 0.30 kg เกาะอยทปลายขางหนงของสปรงทมคาคงท(k)เปน 2.50 N/m มแรงหนวง Fx = -bv กระทาตอหน จงหาวา ก. ถาคาคงท b มคาเทากบ 0.90 kg/s ความถของการส นของหนมคาเทาใด ข. b จะมคาเทาใดจงจะทาใหการเคลอนทเปนแบบถกหนวงอยางวกฤต 17. อนภาคอนหนงกาลงเคลอนทตามแกน x และมตาแหนงทเวลาใดๆ เปนไปตามสมการ

8x dtdx

4 dt

xd2

2

++ = 20 cos 2t

ถาอนภาคน4เรมตนเคลอนทจากจดหยดนงทตาแหนง x = 0 จงหา ก. คาบและความถของการส น ข. ตาแหนงทเปนฟงกชนของเวลา 18. แรงภายนอกแบบเปนคาบกระทาตอวตถมวล 5 กโลกรม ซงแขวนอยทปลายลางของสปรงทแขวนตามแนวดง คาคงทของสปรงเปน 150 นวตนตอเมตร วตถเคลอนทภายใตแรงตานทานการเคลอนททเปนปฏภาคโดยตรงกบอตราเรวขณะใดขณะหนงและแรงน4เทากบ 100 นวตน เมออตราเรวเปน 2 เมตรตอวนาท จงหาความถเมอเกดการส นพอง

บทท 9 คลน

เหตโศกนาฏกรรมทเกดขนบรเวณชายฝ งทะเลอนดามนของไทยเมอปลายป พ.ศ. 2547เมอคลนยกษสนาม ไดเขาถลมหลายจงหวดทาใหเกดการสญเสยท งชวตและทรพยสนมากมายน นทาใหตองศกษาสาเหตการเกดคลน ความรเบองตนของคลนจะนาไปสคาตอบอนตรายจากคลนและการปองกนได เมอเราโยนกอนหนลงนา จะมคลนลกษณะเปนวงกลมแผออกจากผวนาบรเวณจดทโยนกอนหนลงไป หรอเมอเราสะบดเชอก เสนเชอกจะเคลอนทในลกษณะคลนออกจากจดทเราสะบด น นแสดงวาในชวตประจาวน เราคนเคยกบคลนอยบอยๆ ในบทนจะกลาวถง การกาเนดของคลน รปแบบของคลน สมการทใชแทนคลนรวมท งสมบตของคลน ในบททผานมา เราไดศกษาการเคลอนทของอนภาคในลกษณะตาง ๆ มาแลว ในบางคร งการเคลอนทของอนภาคทแกวงกลบไปมาซาแนวเดม จะรบกวนอนภาคของตวกลางทอยรอบขาง ทาใหการรบกวนน นสงผานไปในตวกลางถดไปเรอย ๆ การรบกวนททาให เกดการเคลอนทเชนนเรยกวา “คลน” โดยทคลนแบงไดเปน 2 รปแบบ ไดแก “คลนกล (Mechanical Wave)” คอคลนทตองอาศยตวกลางในการเคลอนท เชน คลนเสยง คลนนา คลนในเสนเชอก เปนตน ซงจะมลกษณะแตกตางกบ “คลนแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic Wave)” คอคลนทไมตองอาศยตวกลางในการเคลอนท เชน คลนวทย คลนแสง เปนตน ลกษณะของคลน ถาเรากระตกปลายขางหนงของเสนเชอกทผกตดกบผนง จะเกดการรบกวนตอเสนเชอก การรบกวนนจะเคลอนทไปยงผนงการรบกวนช วขณะเชนนเรยกวา คลนดล(wave pulse) หลงจากทคลนเคลอนทผานไป แตละสวนของเชอกกจะกลบสสภาพเดม และถาการรบกวนน นเกดขนตลอดเวลาอยางคงท คลนทไดจากการรบกวนลกษณะน กจะมความตอเนองเชนกน เรยกวา คลนตอเนอง (continuous wave) หรอคลนแบบมคาบ(periodic wave) ซงแสดงดงรปท 9.1

บทท 9 คลน 248

รปท 9.1 ลกษณะของคลนตอเนอง ทมา(Giancoli C.douglas, 2000, p.389) จากรปท 9.1 แหลงกาเนดคลนซงอยทปลายหนงของเสนเชอกถกรบกวนดวยการส นอยางตอเนองจะทาใหเกดเคลอนทออกไปอยางตอเนองเชนกน คลนนากเหมอนกนเมอเราทาใหแหลงกาเนดคลนนาส นอยางตอเนองกจะมคลนตอเนองเคลอนทออกไปตามผวนา ถาแหลงกาเนดคลนส นแบบฮารโมนกสทเปนฟงกช นของไซน(sinusoidally) และตวกลางทคลนเคลอนทผานมความยดหยนอยางสมบรณ คลนทแผออกไปกจะมลกษณะรปรางเปนฟงกชนของไซนหรอโคไซน เรยกวาคลนรปไซน(sinusoidal wave) ซงแสดงดงรปท 9.2 Y แอมปลจด สนคลน ระยะกระจด 0 A B C D E X

λ ทองคลน λ รปท 9.2 ลกษณะของคลนตอเนองรปไซน ปรมาณทสาคญสาหรบใชอธบายคลนรปไซน ในทนเราจะใหแกน X เปนแนวสมดลและคลนเคลอนทไปตามแกน X ระยะกระจดของอนภาคของตวกลางทคลนเคลอนทผานอยในแนวแกน Y โดยวดออกจากแนวสมดล

บทท 9 คลน 249

สนคลน(crests) คอจดบนตาแหนงของคลนทอยสงทสด ถาวดระยะจากจดนมายงแนวสมดลจะยาวเทากบแอมปลจด(amplitude) ทานองเดยวกนจดทอยตาสดจะเรยกวาทองคลน(trough) และระยะจากจดสมดลมายงจดนจะเปนแอมปลจดของคลน ระยะกระจด(displacement) คอระยะทวดจากตาแหนงสมดลไปยงตาแหนงใดตาแหนงหนงของคลนโดยตองต งฉากกบแนวสมดล น นคอแอมปลจดจะเปนระยะกระจดทมากทสด ความยาวคลน(wavelength) ใชสญลกษณ λ (อานวา แลมดา) เปนระยะทางระหวางสนคลนสองอนทอยตดกน และมคาเทากบจดทเหมอนกนบนคลนทอยถดกน ความถของคลน(frequency) ใชสญลกษณ f คอจานวนสนคลนหรอจานวนรอบของคลนทผานจดๆหนงในหนงหนวยเวลา คาบ(period) ใชสญลกษณ T เปนเวลาทคลนใชในการเคลอนทของคลนครบหนงรอบ โดยความสมพนธระหวาง ความถและคาบคอ

T = f1 (9.1)

เฟส(phase) เปนจดตางๆบนคลนทสมพนธกบตาแหนงของอนภาคของตวกลาง พจารณาจากรปท 9.2 ถาอนภาคอยทตาแหนง x = 0 ไมมการกระจดตามแกน Y มเฟสเทากบ 0 เรเดยน เมออนภาคของตวกลางอยทสนคลน ซงตรงกบตาแหนง A เราจะกลาว

วามเฟสเทากบ 2

π เรเดยน ทานองเดยวกนเมออนภาคของตวกลางอยบนคลนและตรงกบ

ตาแหนงบนแกน X ทจด B,C,Dและ E จะมเฟสเปน π ,2

3π ,2πและ 2

5π เรเดยนตามลาดบ

ตาแหนง D เปนตาแหนงทคลนเคลอนทครบหนงคลนพอดและถาวดระยะทางจากจด O ถงจด D จะยาวเทากบ λ1 เรยกวา จดO และ D มเฟสตรงกน น นคอจดทมเฟสตรงกนจะมความตางเฟสกนเทากบ 2π เรเดยน จด O และ B มเฟสตางกน π เรเดยนถอวาสองจดนมเฟสตรงขามกน ความเรวของคลน(velocity) ใชสญลกษณ v เปนความเรวของสนคลนหรอจดใดจดหนงบนคลนทเคลอนทไปตามทศการเคลอนทของคลน ความเรวของคลนทเรากลาวถงอยบอยๆคอความเรวเฟส(phase velocity) ซงมนจะแตกตางจากความเรวของตวกลางทคลนเคลอนทผานเชน จากรปท 9.1 ความเรวคลนมทศไปทางขวา ในขณะทความเรวของโมเลกลของเชอกเคลอนทขนและลงเทาน น

บทท 9 คลน 250

ถาสนคลนเคลอนทไดระยะทางหนงลกคลนหรอยาวเทากบ λ ซงใชเวลาเทากบ T ความเรวของคลนจงมคาเปน

v = T

λ = λf (9.2)

คลนกล หมายถงคลนทเดนทางโดยอาศยตวกลาง เชนคลนเสนเชอก โดยขณะทคลนเคลอนทผานอนภาคของตวกลางจะมการกระจดตางๆกนซงแลวแตธรรมชาตของคลนน น เชน คลนนาคลนทเกดจากการสะบดเสนเชอก หรอคลนเสยง คลนกลเปนคลนทนามาศกษาเปนเบองตนเบองตนเพราะสามารถวเคราะหไดงายกวา คลนอกชนดหนง คอคลนแมเหลกไฟฟาทไมจาเปนตองอาศยตวกลางในการเคลอนท เชน คลนแสง คลนวทย รงสแกมมา เปนตน คลนกลสามารถแบงตามลกษณะและทศทางการส นได 2 ลกษณะคอ 1. คลนตามขวาง (transverse wave) หมายถงคลนททาใหตวกลางทคลนเคลอนทผานส นในทศทางทต งฉากกบทศการเคลอนทของคลน เชนคลนในเสนเชอกหรอคลนนาดงรปท 9.3

รปท 9.3 คลนตามขวางโมเลกลของตวกลางจะส นในทศต งฉากกบทศของคลน จากรปท 9.3 เมอเราสะบดปลายเชอกขนลงในแนวดง จะมคลนเคลอนทออกไปทางขวาตามทศทาง v แตโมเลกลของเสนเชอกจะเคลอนทขนลงในแนวแกน y ซงต งฉากกบทศการเคลอนทของคลน จงเรยกคลนลกษณะนวาคลนตามขวาง 2. คลนตามยาว (longitudinal waves) เปนคลนททาใหตวกลางทคลนเคลอนทผานส นในทศเดยวกบทศการเคลอนทของคลน เชนคลนเสยง ดงรปท 9.4

บทท 9 คลน 251

รปท 9.4 คลนตามยาวจากสปรง โมเลกลของสปรงจะส นกลบไปกลบมา ในทศทขนานกบทศการเคลอนทของคลน ซงอยในแนวราบ จากรปท 9.4 คลนในสปรงเมอเรายดหรอดงสปรงตามแนวราบ จะมคลนเคลอนทออกจากจดทออกแรงในทศตามแนวราบ ในขณะทโมเลกลของสปรงจะเคลอนทกลบไปกลบมาตามแนวราบซงอยในทศการเคลอนทของคลน เรยกวาคลนตามยาว การเคลอนทของคลนในตวกลางใดๆ ตวกลางจะเปนตวสงถายพลงงานคลนแตไมเดนทางไปพรอมกบคลน เมอคลนเคลอนทผานไปตวกลางกจะเคลอนทเขาสตาแหนงเดม ดงน นการส นของตวกลางจงมลกษณะการส นแบบ ฮารโมนกสเชงเดยว (simple harmonic motion) นอกจากน นลกษณะการรบกวนบนตวกลางนสามารถแทนไดดวยสมการทางคณตศาสตรเรยกวา “ฟงกชนคลน (wave function)” โดยทฟงกชนคลนเปนปรมาณเวกเตอรของการกระจดและการเคลอนทของฟงกชนคลน จะมการถายทอดท งพลงงานและโมเมนตมไปกบการเคลอนท การบรรยายคลนเชงคณตศาสตร(mathematical description of wave) เราสามารถบรรยายลกษณะหลายอยางของคลนแบบมคาบโดยใชแนวความคดของอตราเรว คาบ ความถและความยาวคลนได แตในบางคร งถาเราตองการบรรยายตาแหนงและการเคลอนทของอนภาคของตวกลางทคลนเคลอนทผานในเวลาใดๆ เราตองใชแนวความคดของฟงกชนคลน(wave function) ซงเปนฟงกชนทบรรยายตาแหนงของอนภาคใดๆในตวกลางทเวลาใดๆ เราจะเนนทคลนรปไซนซงแตละอนภาคเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวรอบตาแหนงสมดลของอนภาค พจารณาคลนบนเชอกตง โดยไมคดการหยอนของเชอกเนองจากแรงโนมถวง ตาแหนงสมดลของเชอกจะเปนเสนตรงในแนวระดบ ซงกาหนดใหอยในแนวแกน X คลนบนเสนเชอกเปนคลนตามขวาง ในระหวางการเคลอนท อนภาคซงเคยอยทตาแหนงสมดล จะถกขยบขนในแนวดงเปนระยะ y ในทศต งฉากกบแกน X คา y มคาขนอยกบอนภาควาเปนอนภาคใด ซงแตละอนภาคมตาแหนงเปน x และคา y ยงขนอยกบเวลาดวย ดงน น y จงเปนฟงกชนของตาแหนงกบเวลาดงสมการ

บทท 9 คลน 252

y = y(x,t) (9.3) คา y(x,t) เรยกวาฟงกชนคลน ซงบรรยายการเคลอนทของคลน 1. ฟงกชนคลนรปไซน(sinusoidal wave function) สมมตวามคลนรปไซนเคลอนทจากซายไปขวาตามเสนเชอก โดยทกอนภาคของเชอกส นแบบฮารโมนกสเชงเดยวดวยแอมปลจดและความถเดยวกน สมการการกระจดของอนภาคทตาแหนง x = 0 หาไดจาก y(x=0,t) = A tsinω = A ftsin2π (9.4) น นแสดงวา คลนเคลอนทโดยมแอมปลจด A และความถ f เมอคลนเคลอนท

จากตาแหนง x = 0 ไปยงจด x ทางขวาของจดกาเนดในชวงเวลา vx เมอ v คออตราเรว

ของคลน ดงน นการเคลอนทของจด x ทเวลา t จะเหมอนกบการเคลอนทของจด x = 0 ท

เวลา t - vx กอนหนา ดงน นเราหาการกระจดของจด x ทเวลา t ไดโดยการแทนคา t

ในสมการ 9.4 ดวยดวย t - vx จะได

y(x,t) = )v

x -(tAsinω = )

v

x -f(tAsin2π (9.5)

สมการท 9.5 เปนระยะกระจดของคลนรปไซนทเคลอนทไปทางขวา เราสามารถจดรปแบบใหมไดวา

y(x,t) = )x

-T

t(Asin2

λπ (9.6)

กาหนดให ปรมาณ k ซงเรยกวา เลขคลน(wave number) โดย

k = λπ2 (9.7)

จากสมการท 9.2 และ 9.7 เราจะได ω = vk (9.8) สมการท 9.6 เขยนไดเปน y(x,t) = )kx -tAsin(ω (9.9)

บทท 9 คลน 253

ตาแหนงการกระจดของคลนรปไซนตามสมการท 9.9 ใชสาหรบการเคลอนทของคลนไปทางขวา กราฟสาหรบฟงกช นคลนแสดงในรปท 9.5 Y A X -A

λ

ก. กราฟของ y(x,t) เทยบกบ x ทเวลาหนงๆ(ในกรณน t = 0) Y A t T ข. กราฟของ y(x,t) เทยบกบ t ทพกดคาหนง(ในกรณน x = 0) รปท 9.5 กราฟของฟงกชนคลน ในทานองเดยวกนสาหรบคลนรปไซนทเคลอนทไปทางซายจะมสมการการกระจดคลายกบสมการท 9.9 คอ y(x,t) = )kx tAsin( +ω (9.10) จากสมการท 9.9 และ 9.10 ปรมาณ kx)t( +ω หรอ kx)t( +ω จะเรยกวา เฟส ซงมหนวยเปนเรเดยนเสมอ

บทท 9 คลน 254

ตวอยางท 9.1 ชาวประมงน งนบสนคลนทผานเสาปกสมอเรอทโผลพนผวนาขนมาทกๆ 4.0 วนาทจะมสนคลนลกหนงผานไปและเขาวดระยะทางระหวางสนคลนทอยตดกนไดเทากบ 9.0 เมตร จงหาความเรวของคลนนาน วธทา จากโจทยกาหนดใหสนคลนทอยตดกนหางกน 9.0 เมตร แสดงวาความยาวคลนเทากบ 9.0 เมตร และ ทกๆ 4.0 วนาทมสนคลนผานไป 1 ลกแสดงวาคาบของคลนเทากบ 4.0 วนาท จากสมการท 9.2 จะได

v = T

λ

v = s 4.0m 9.0 = 2.25 m/s

ตวอยางท 9.2 สถานวทย FM สงคลนวทยออกมาดวยความถ 105.5 MHz โดยอตราเรวของคลนวทยเทากบอตราเรวของแสงเสมอคอประมาณ 3 x 108 m/s จงหาวาสถานวทยนออกอากาศดวยคลนทมความยาวคลนเทาใด วธทา จากสมการท 9.2 v = λf

λ = 1 -6

8

s 105.5x10

m/s3x10 = 2.84 m

สถานวทยออกอากาศดวยความยาวคลน 2.84 เมตร ตวอยางท 9.3 คลนเดนทางไปตามเสนเชอกมสมการการกระจดเปน y = (0.004 m) sin (250 s-1)t - (25 m-1)x จงหา แอมปลจด,ความถ,อตราเรว และความยาวคลน วธทา เมอเปรยบเทยบกบสมการท 9.9 y(x,t) = )kx -tAsin(ω จะไดวา A = 0.004 m, ω = 250 s-1, k = 25 m-1 น นคอ แอมปลจด = 0.004 เมตร

f = πω2

= π2

250 = 39.8 Hz

จากสมการท 9.7 k = λπ2 น นคอ λ = k

2π = )m (25

21-

π

λ = 0.25 m อตราเรวของคลน v = fλ = (39.8 Hz)(0.25 m) = 9.95 m/s

บทท 9 คลน 255

ตวอยางท 9.4 คลนบนเสนเชอกเกดขนเมอสะบดปลายเชอกใหส นแบบฮารโมนกสอยางงายดวยความถ 2.00 Hz และแอมปลจดเปน 0.075 m อตราเรวของคลนคอ v = 12.0 m/s ทเวลา t = 0 ปลายน นมการกระจด 0 และกาลงเคลอนทในทศ +y สมมตวาไมมคลนสะทอนกลบทปลายอกดานหนง จงหา

ก. แอมปลจด, ความถเชงมม,คาบ,ความยาวคลน และเลขคลนของคลน ข. จงเขยนฟงกชนคลนทบรรยายการเคลอนทของคลนน

วธทา ก. แอมปลจดของคลนคอแอมปลจดของการส นของโมเลกลของเชอกน นเอง A = 0.075 m ความถเชงมม ω = f2π = Hz) (2.02π = 4π rad/s

คาบ T = f1 = Hz 2.0

1 = 0.5 s

ความยาวคลนหาไดจาก λ = fv = Hz 2.0

m/s 12.0 = 6.0 m

เลขคลนหาไดจากสมการท 9.7 คอ

k = λπ2

k = m 6.0

2π = 1.05 rad/s

ข.กาหนดใหพกดของปลายเชอกทกาเนดคลนคร งแรกท x = 0 และคลนเคลอนทไปทางขวา ดงน น สมการท 9.9 จะเปน y = (0.075 m)sin(4π t – 1.05x)

2. สมการคลน(wave equation) จากฟงกชนคลนในสมการท 9.9 เราสามารถหาความเรวตามขวางของอนภาคตวกลางทเกดการกระจดเมอคลนเคลอนทผาน โดยการหาอนพนธฟงกชนระยะกระจดเทยบกบเวลาได พจารณาคลนทเคลอนทไปทางขวา จากสมการท 9.9 y(x,t) = )kx -tAsin(ω ความเรวของอนภาคตวกลางซงมทศอยในแนวดง ทจด x ใดๆเปน

vy(x,t) = t

t)y(x,

∂∂

= kx)-tAcos(ωω (9.11)

บทท 9 คลน 256

จากสมการท 9.11 เปนความเรวของอนภาคของตวกลางทเกดการเคลอนทแบบฮารโมนกสเชงเดยวในทศต งฉากกบทศการเคลอนทของคลน ถาเปนคลนตามขวาง และความเรวนเปนฟงกชนของตาแหนงและเวลา คาความเรวสงสดมคาเปน Aω และคาความเรวนอาจจะมากกวาหรอนอยกวา ความเรวในการแผของคลน(v) แลวแตวาแอมปลจดและความถของคลนเปนคาใด จากสมการท 9.11 เราสามารถหาความเรงของอนภาค โดยการหาอนพนธสมการท 9.11 เทยบกบเวลา

ay(x,t) = 2

2

t

t)y(x,

∂∂

= t

t)(x,v y

∂

∂

2

2

t

t)y(x,

∂∂

= - kx)-tAsin(2 ωω = - t)y(x,2ω (9.12)

จากสมการท 9.9 เราหาอนพนธลาดบทสองเทยบกบตาแหนงไดเปน

2

2

x

t)y(x,

∂∂

= - kx) -t Asin(k2 ω = -k2y(x,t) (9.13)

จากสมการ 9.8 ω = vk เมอเราหารสมการ 9.12 ดวยสมการ 9.13 จะได

x / t)y(x,

t /t)y(x, 22

22

∂∂∂∂

= 2

2

k

ω = v2

2

2

x

t)y(x,

∂∂

= 2v

12

2

t

t)y(x,

∂∂

(9.14)

สมการท 9.14 เรยกวาสมการคลนเปนสมการทสาคญสมการหนงของวชาฟสกส สมการนใชไดท งคลนกลและคลนแมเหลกไฟฟา

บทท 9 คลน 257

อตราเรวของคลนตามขวาง(speed of a transverse wave) เมอคลนตามขวางแผออกไปในตวกลาง อตราเรวของคลนจะมประโยชนอยางมากในการวเคราะหคลนน นๆ เชน อตราเรวของคลนนาสามารถนามาวเคราะหความลกของนาไดซงจะเปนสงประโยชนสาหรบการบอกเหตการณลวงหนาของคลนทจะกระทบฝ งได พจารณาคลนตามขวางทเกดจากการสะบดเชอกดงรปท 9.6 เมอเราออกแรงสะบดเชอกเพอทาใหเกดคลนตามขวาง โมเลกลของเชอกจะคลนทขนลงในแนวแกน Y รปท 9.6 ก. หมายถงเชอกอยในสมดล เมอออกแรง F ดงปลายเชอกใหเกดความตง รป 9.5 ข.เมอสะบดเชอก F สมดล - F รปท 9.6 ก. Fy

F สวนของเชอกทอยนง รปท 9.6 ข. ถาพจารณาสวนส นๆของเชอกทมการกระจดซงยาว x∆ ดงรปท 9.7 F2y F2 F F F1 F1y

x x∆ x + x∆ รปท 9.7

บทท 9 คลน 258

จากรปท 9.7 ถาตอนสมดลเชอกสวนเลกๆมความยาว x∆ ซงมมวลเปน m = x∆µ (9.15) โดย µ คออตราสวนระหวางมวลตอความยาว แรงทปลายท งสองขางทตาแหนง x เปน F1และทตาแหนง x + x∆ เปน F2 สามารถแยกออกเปนสวนประกอบตามแนวแกน x และ y โดยในแนวแกน x เชอกไมมการเคลอนทแรงลพธจงรวมกนเปนศนย สวนในแนวแกน

y ทตาแหนง x ความชนของกราฟเปน - F

F1y ซงมคาเปนตามสมการ

F

F1y = -

x x

y

∂∂ (9.16)

และทตาแหนง x + x∆ มความชนเปน

F

F2y =

xx x

y

∆+

∂∂ (9.17)

แรงลพธในแนวแกน y เปน Fy = F1y + F2y

Fy = F xx

x

y

∆+

∂∂ -

x x

y

∂∂ (9.18)

ความเรงของเชอกสวนนตามแนวแกน y คอ ay = 2

2

t

y

∂∂ เมอใชสมการท 9.15,9.18

และกฏขอสองของนวตนจะได

F xx

x

y

∆+

∂∂ -

x x

y

∂∂ = 2

2

t

yx∂∂

∆µ (9.19)

x

x

y -

x

y

xxx

∆∆

∂∂

∂∂

+ = 2

2

t

y

F ∂∂µ (9.20)

ถา x∆ เขาส 0 แลว ลมตดานซายมอของสมการท 9.20 จะเปน

2

2

x

y

∂∂ = 2

2

t

y

F ∂∂µ (9.21)

บทท 9 คลน 259

เมอเปรยบเทยบสมการท 9.21 กบสมการ 9.14 จะได ความเรวของคลนในตวกลางเปน

v = µF (9.22)

ตวอยางท 9.5 ปลายขางหนงของทอยางยาว 14.0 m มวล 0.80 kg ถกผกยดตรงไวกบท อกปลายหนงมเชอกผกอย โดยทเชอกคลองพาดรอกตวหนงและมวตถมวล 7.50 kg แขวนอยทอกปลายหนงดงรปท 9.8 ตทอตามขวางทปลายหนง จงหาเวลาทคลนดลใชเคลอนทไปถงอกปลายหนง 14.0 m 7.5 kg รปท 9.8 คลนดลในเสนเชอก

วธทา เราสามารถหา อตราสวนของมวลตอความยาวเปน µ = m 14.0

kg 0.80

ความเรวของคลนในเสนเชอกหาไดจากสมการท 9.22 เปน

v = 4.0m)0.80kg)/(1(

)m/s kg)(9.8 (7.52

= 35.86 m/s

เชอกยาว 14.0 m น นคอคลนจะเคลอนทในระยะทาง 14.0 m

จาก v = t

s เมอ s เปนระยะทคลนเคลอนทและ t เปนเวลาทใชในการเคลอนท

t = v

s = m/s 35.86

m 14.0 = 0.39 s

น นคอคลนใชเวลาเคลอนทไปถงปลายอกดานหนงเทากบ 0.39 วนาท

บทท 9 คลน 260

อตราเรวของคลนตามยาว(speed of a longitudinal wave) อตราเรวของคลนตามยาวในตวกลางจะคลายกบอตราเรวของคลนตามขวางในตวกลางคอถาคลนตามยาวเคลอนทในตวกลางทเปนของแขงจะมอตราเรวเปนไปตามสมการ

v = ρE (9.23)

เมอ E เปนมอดลสของความยดหยน(elastic modulus)ของตวกลาง และ ρ เปนความหนาแนนของตวกลาง ถาคลนตามยาวเคลอนทในตวกลางทเปนของไหล เชน ของเหลวหรอกาซ จะมอตราเรวเปน

v = ρ

Β (9.24)

เมอ Β เปน บลคมอดลส และ ρ เปนความหนาแนนของตวกลาง พจารณา ของเหลวในกระบอกสบเลกๆทถกลกสบอดเขาไปดงรปท 9.9 ขณะเวลาเรมตน(t=0) ลกสบยงไมอดเขาไปของเหลวมความหนาแนนสมาเสมอ ρ และมความดนคงท P0 เมอลกสบไปทางขวาอดดานหนาของของเหลวดวยอตราเรว v′ ในชวงเวลา t ลกสบเคลอนทเปนระยะทาง tv′ ของเหลวสวนทถกอดกจะเคลอนทดวยอตราเรว v′ดวย แตขอบดานหนาของสวนอดจะทาใหเกดคลนเคลอนทดวยอตราเรว v กาหนดใหความดนของสวนอดเปน P P ∆+ ถา A เปนพนทหนาตดของกระบอกสบของเหลวสวนทถกอดจะไดรบแรงกระทาเปน ( P P ∆+ )A

บทท 9 คลน 261

ρ , P0

A ก. ขณะเวลา t = 0 vt v′ v′ v P0 + P∆ tv′ ขอบดานหนาของสวนทถกอด ข. หลงจากเวลาผานไป t รปท 9.9 อตราเรวของคลนตามยาวในของเหลว แรงสทธทกระทาตอของเหลวสวนทถกอดเปน Fnet = (P0 + P∆ )A - P0A = A P∆ (9.25) การดลของสวนทถกอดคอการเปลยนแปลงโมเมนตม Fnett = vm ′∆ (9.26) แต m∆ = Avtρ ซงเปนมวลของของเหลวทถกอดซงมอตราเรว v′ จากสมการท 9.25และ 9.26 จะได PtA∆ = ( Avtρ ) v′ P∆ = vv ′ρ (9.27)

บทท 9 คลน 262

จากนยามของบลคมอดลส

Β = - 0

V/)V(

P

∆

∆ = - 0V/)V(

vv

∆

′ρ (9.28)

โดย V

V∆ เปนอตราสวนการเปลยนแปลงของปรมาตรของของเหลวสวนทถกอดท

เปลยนไปตอปรมาตรเดม จากรปท 9.8 ข. ปรมาตรเดมคอ V0 = Avt และปรมาตรทเปลยนไปคอ V ∆ = - tvA ′ ดงน น

Β = - 0V)/V(

vv

∆

′ρ = -

′

′ρtvA -

Avtvv = 2vρ

น นคอ

v = ρ

Β

ตวอยางท 9.6 สตวบางชนดรบรส งตางๆทอยรอบขางโดยการสงคลนตามยาว ไปสะทอนทวตถและรบคลนสะทอนเพอประมวลผลวาวตถน นอยไกลเพยงใด เชน คางคาว,ปลาวาฬหรอปลาโลมา ถาปลาวาฬสงคลนเสยงซงเปนคลนตามยาวออกไปในนาทะเลดวยความถ 200,000 Hz จงหาวา ถาวตถทกดขวางคลนอยหางออกไป 100 m จากปลาวาฬ จะเปนเวลานานเทาใด ปลาวาฬจงจะไดรบคลนสะทอนกลบ(กาหนดใหนาทะเลมคาบลคมอดลสเปน 2.0x109 N/m2 และความหนาแนนของนาทะเลเปน 1.025 x 103 kg/m3) วธทา เนองจากคลนทปลาวาฬสงออกไปเปนคลนตามยาวจงหาความเรวไดจาก

v = ρ

Β

v = 33

29

kg/m10x025.1

N/m 10x0.2 = 1.40x103 m/s

ระยะทางทคลนตามยาวเคลอนทจะคดท งไปและกลบจงเปนสองเทาของระยะหางของปลาวาฬกบวตถทสะทอน น นคอเวลาทปลาวาฬจะไดรบสญญาณสะทอนคอ

t = ความเรว

ระยะทาง = s/m1.40x10

m 2x1003 = 0.14 s

บทท 9 คลน 263

พลงงานในการเคลอนทแบบคลน ในการเคลอนทออกไปของคลนทกชนดจะนาพลงงานไปพรอมกบคลนเสมอ เชนพลงงานทเราไดรบจากดวงอาทตยจะมาในรปของคลนแมเหลกไฟฟา คลนแผนดนไหวจะนาพลงงานททาใหเกดความเสยหายตอมนษยและสงแวดลอม น นคอเมอคลนเคลอนทผานตวกลางจะทาใหอนภาคของตวกลางเกดการส น สาหรบคลนรปไซนทมความถ f อนภาคของตวกลางจะเคลอนทแบบฮารมอนกสเชงเดยวเมอคลนเคลอนทผาน แตละอนภาคจะมพลงงาน

E = 2kA

2

1

แต k = 22mf4π โดย m คอ เปนมวลของอนภาคของตวกลาง ดงน นพลงงานในรปของความถจะเปน E = 222 Amf2π (9.29)

1. กาลงเฉลย(average power) ถาคลนเคลอนทผานตวกลางยดหยนในสามมต มวลของอนภาคจะเปน m =

Vρ ซง ρ เปนความหนาแนนของตวกลางและ V เปนปรมาตรเลกๆของตวกลางทพจารณาดงรปท 9.10 a v vt รปท 9.10 การนาพลงงานของคลนทมความเรว v ปรมาตร V หาไดจาก V = avt น นคอ m = avtρ สมการท 9.29 จงเปน E = 222 Aavtf2 ρπ (9.30)

บทท 9 คลน 264

จากสมการท 9.30 แสดงวาพลงงานทสงผานไปกบคลนเปนปฏภาคโดยตรงกบกาลงสองของแอมปลจดและกาลงสองของความถของคลน อตราการสงผานพลงงานเฉลยซงเรยกวา กาลงเฉลย P ซงมหนวยเปนวตต มคาเปน

P = t

E = 222 Aavf2 ρπ (9.31)

2. ความเขม(intensity) ความเขมของคลนนยามวาเปนกาลงเฉลยในการสงผานคลนตอหนวยพนทซงต งฉากกบทศการสงผานคลน หนวยของความเขมคอ วตตตอตารางเมตร

Ι = aP = 222 Avf2 ρπ (9.32)

a เปนพนททต งฉากกบทศการเคลอนทของคลน สมมตวาคลนแผออกจากแหลงกาเนดทกทศทกทางในสามมต เชนคลนเสยงในอากาศ คลนแผนดนไหว(earthquake waves) หรอคลนแสง ถาตวกลางเปนแบบไอโซทรอปก(isotropic medium) ซงคลนจะเหมอนกนทกทศทาง เราจะเรยกคลนทออกมาวา คลนทรงกลม(spherical wave) ดงรปท 9.11 r2

r1 O รปท 9.11 การแผออกของคลนทรงกลม ในรปท 9.11 แหลงกาเนดคลนอยทจด O และมการแผคลนออกทกทศทกทาง พลงงานทมาพรอมกบคลนจะตกลงบนพนผวปดรอบแหลงกาเนดคลนซงในทนเปนรปทรงกลมถาคลนเคลอนทไดระยะทาง r จากแหลงกาเนด พนทผวปดทรบพลงงานมพนท 2

r4πดงน นความเขมของคลนจงมคาเปน

บทท 9 คลน 265

Ι = 2r4

P

π (9.33)

จากสมการท 9.33 ความเขมจะเปนปฏภาคผกผนกบระยะทางจากแหลงกาเนดคลนยกกาลงสอง

Ι α 2r

1 (9.34)

ถาพจารณาจดสองจดทหางจากแหลงกาเนดคลนเปน r1 และ r2 ดงรปท 9.10 จะได

1

2

ΙΙ = 2

2

2

1

r

r (9.35)

ความเขมของพลงงานคลนเปนสงทมนษยใหความสาคญเปนอยางมากเพราะหมายถง การทาลายสงตางๆถาคลนน นมความเขมมาก เชนการเกดคลนแผนดนไหว เมอเกดคลนแผนดนไหว ณ แหลงกาเนดคลนจะมคลนแผออกไป 2 ชนดคอ คลนตามขวางเรยกวา คลน S และคลนตามยาวซงเรยกวา คลน P คลนท งสองสามารถผานของแขง ซงจะทาใหโมเลกลของของแขงส นรอบจดสมดล แตเมอคลนผานของเหลวจะมเพยงคลน P เทาน นทสามารถผานของเหลวได หลกการนใชนามาวเคราะหโครงสรางภายในโลกวามสวนทเปนท งของแขงและสวนทเปนของเหลว พลงงานทมาพรอมกบคลนจะทาความเสยหายมากถาจดทคลนผานอยใกลแหลงกาเนดคลน ซงสามารถแสดงดงตวอยางท 9.7 ตวอยางท 9.7 ถาความเขมของคลนแผนดนไหวทระยะหางจากศนยกลางคลน 100 km มคาเปน 1.0 x 106 W/m2 จงหาวาทระยะหางจากจดศนยกลางคลน 400 km จะมความเขมของพลงงานคลนเปนเทาใด วธทา ถา 1Ι และ 2Ι เปนความเขมทระยะหางจากจดศนยกลางแผนดนไหวทระยะ 100 km และ 400 km ตามลาดบ จากสมการท 9.35 จะได

1

2

ΙΙ = 2

2

2

1

r

r

26

2

W/m1.0x10

Ι = 2

2

km) (400

km) (100

2Ι = 6.25 x 10 4 W/m2

บทท 9 คลน 266

หลกการซอนทบ(the principle of superposition) เมอคลนเคลอนทกระทบขอบตวกลาง ทกสวนหรอบางสวนของคลนจะถกสะทอนกลบ หรอเมอเราตะโกนดงๆใสกาแพงทอยไมไกลนก คลนเสยงจะสะทอนทผวแกรงและมเสยงสะทอนกลบมา หรอเมอเรากระตกปลายเชอกดานหนง จะมคลน 1 ลกเคลอนทออกไปซงเราเรยกวาพลส(pulse)และเมอไปถงปลายอกดานหนงจะสะทอนกลบมา เมอคลนตกกระทบและคลนสะทอนมาพบกน ขณะน นคลนท งสองจะซอนเหลอมกนในบรเวณเดยวกนของตวกลาง คลนลพธจะมระยะกระจดเทากบผลรวมแบบเวกเตอรของระยะกระจดของคลนทมาพบกน ซงเรยกวาการซอนทบกนของคลน หรอการแทรกสอดของคลน ในกรณทมจดสองจดทขอบสองขอบ เชนสายกตาทถกยดทปลายท งสอง จะมการสะทอนซาๆกน ในกรณนจะเกดคลนรปไซนไดเฉพาะความถบางความถเทาน น ความถเหลานขนอยกบสมบตของตวกลาง เราเรยกความถเหลาน และรปแบบของคลนขณะน นๆวานอรมอลโหมด(normal modes) ในการซอนทบของคลนเราจะพจารณาลกษณะของคลนทจะมาพบกน ซงวตถทสะทอนคลนจะเปนตวกาหนดลกษณะคลนสะทอน

1. คลนสะทอนจากเสนเชอกปลายตรง เมอเรายดปลายเชอกเสนหนงใหตรงอยกบจดใดจดหนงอยางถาวร เมอเราทาใหเกดพลสหรอคลนตกกระทบ 1 ลก จากปลายอกขางหนง มนจะเคลอนทมาถงปลายตรงแลวจะไดพลสสะทอนกลบในทศตรงกนขามและการกระจดจะมทศตรงกนขามกบพลสตกกระทบดวยดงรปท 9.12

บทท 9 คลน 267

รปท 9.12 คลนสะทอนทปลายตรง

2. คลนสะทอนทปลายอสระ สาหรบปลายเชอกทยดกบตวสะทอนแบบอสระจะทาใหปลายทถกยดคลนทไดคอนขางอสระ เชนผกเชอกไวกบวงแหวนกวางและสอดวงแหวนกบเสาเปนตน พบวาพลสทสะทอนจะมทศตรงกนขามกบพลสตกกระทบ แตมทศการกระจดในทศเดยวกนกบพลสตกกระทบดงแสดงในรปท 9.13

บทท 9 คลน 268

รปท 9.13 คลนสะทอนทปลายอสระ

3. หลกการซอนทบ จากการทดลองพบวาคลนต งแตสองคลนหรอมากกวาสองคลนขนไปสามารถเคลอนทผานทแหงเดยวกนไดโดยไมขนตอกน เหมอนกบวาคลนอกขบวนไมไดอยทน น ตวอยางเชน การฟงเสยง ดนตรจากเครองดนตรแตละชนดจากวงดนตร สามารถทจะแยกเสยงจากเครองดนตรแตละชนดไดอยางชดเจน ในทางคณตศาสตรอาจพจารณาไดวาทเวลาใด ๆ ผลลพธของการกระจดของคลนน น ๆ ทจดใด จะเปนผลบวกทางเวกเตอรของปรมาณกระจดของแตละคลน

เมอคลนต งแต 2 คลนเคลอนทมาพบกน ณ ตาแหนงหนง ขณะช วเวลาทพบกนจะเกดการรวมกนตามหลกพชคณตของเวกเตอร และการรวมกนของคลนจะไมรวมตวอยางถาวรหลงจากน นคลนจะเคลอนทผานกนไป

บทท 9 คลน 269

หลกการซอนทบของคลน มใจความวา เมอคลนเคลอนทมาพบกนแลวเกดการรวมกน โดยการกระจดของแตละตาแหนงของคลนรวมมคาเทากบผลบวกของการกระจดของแตละคลน และหลงจากทคลนผานพนกนแลว คลนยงคงรปราง ขนาด และทศทางเดม เหมอนกอนการซอนทบ การซอนทบของคลนมสองแบบ คอ

1. เมอสนคลนรวมกบสนคลน หรอเมอทองคลนรวมกบทองคลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดเพมขน เรยกวาการรวมกนของคลนแบบเสรม ดงรปท 9.14 ก

2. เมอสนคลนรวมกบทองคลน คลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดลดลง เรยกวาการรวมกนของคลนแบบหกลาง ดงรปท 9.14 ข

ก ข รปท 9.14 ก แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน ข แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศตรงขาม 4. การซอนทบของคลนรปไซน เราสามารถรวมคลนสองคลนเคลอนทในทศทางเดยวกนมความถ ความยาวคลน และแอมพลจดเทากน แตคามมเฟสตางกน เขยนคลนท งสอง คอ t) -Asin(kx =y1 ω y2 = A )-t-sin(kx φω ผลรวมของคลน คอ y = y1 + y2

= )2

-t-)sin(kx2

2Acos(φ

ωφ (9.36)

บทท 9 คลน 270

ผลทไดในสมการ 9.36 คอ คลนลพธซงมความถและความยาวคลนเทากบความถ

และความยาวคลนเทาเดม แตคาแอมพลจดของคลนลพธ เปน )2

2Acos(φ และมมมเฟสเปน

2

φ และถาคามมเฟสมคาเทากบ 0 ฉะน นคา cos 2

φ = cos(0) = 1 คาแอมพลจดมคา

เทากบ 2A ในกรณนเปนกรณทคลนท งสองมเฟสตรงกน (inphase) ฉะน นการรวมกนจงเปนแบบเสรมสรางกน กลาวไดวายอดคลนและทองคลนของคลนท งสองตรงกนและตรงกบ

คลนลพธดวย รวมถงกรณท πππ=φ

,...2n4 ,22

เมอ n = 1, 2, 3, … ดวย จะเปนการ

รวมกนแบบเสรมสรางกนเสมอ ในทางตรงกนขาม ถา ππππ=φ

1)-,...(2n5 ,3 ,2

เมอ n

= 1, 2, 3, … จะเปนการรวมกนแบบหกลางเสมอ โดยแอมพลจดจะมคาอยระหวาง 0 ถง 2A การแทรกสอดของคลน

เมอมคลนต งแต 2 คลน เคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลาง ซงสงเกตไดจากการเกดแนวสวางและแนวมดของถาดคลน เราเรยกสมบตการรวมกนของคลนนวา “การแทรกสอด” (interference) และเรยกแนวสวางและแนวมดทเกดวา “ลวดลายการแทรกสอดหรอรวของการแทรกสอด” (interference pattern) ดงรปท 9.15 ซงเปนการแทรกสอดของคลนวงกลมตอเนองสองขบวนทเหมอนกนทกประการ หรอเรยกวาแหลงกาเนดคลนอาพนธ ซงหมายถง แหลงกาเนดคลนต งแต 2 อนขนไป ใหคลนออกมาทม ลกษณะเหมอนกนทกประการคอ ความถเทากน มเฟสตางกนคงท

รปท 9.15 แสดงลวดลายการแทรกสอด จากรปท 9.15 เมอคลนจากแหลงกาเนดท งสองเคลอนทมาพบกนจะเกดการซอนทบ (superposition) ซงม 2 ลกษณะ

บทท 9 คลน 271

1. การแทรกสอดแบบเสรม( constructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบสวนทเปนสนคลน หรอสวนทเปนทองคลนพบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนท งสองจะเสรมกน ทาใหผวนา ณ ตาแหนงน นมระดบสงขนมากทสดและลดตามากทสดตามลาดบ เราเรยกตาแหนงนวา “ปฏบพ” (antinode)

2. การแทรกสอดแบบหกลาง (destructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบกบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนท งสองจะหกลางกน

ทาใหผวนา ณ ตาแหนงน นไมกระเพอม เราเรยกตาแหนงนวา “บพ” (node) จากการศกษาเมอใหคลนตอเนองสองขบวนเคลอนทมาพบกนตลอดเวลา จะเกดบพและปฏบพอยางตอเนอง และพบวาเมอลากเสนเชอมตอปฏบพทอยถดกนไปจะไดแนวเสนทเรยกวา เสนปฏบพ (antinode line) สวนเสนทเชอมตอบพทอยถดกนไป จะไดแนวเสนทเรยกวา เสนบพ (node line) ทาใหเหนลวดลายการแทรกสอดดงรปท 9.16

รปท 9.16 แสดงการแทรกสอดของคลนนา จากภาพขางบน แสดงการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลางของคลนวงกลมตอเนอง 2 แหลงกาเนด เปนจดททองคลนพบกบทองคลน (ปฏบพ) เปนจดทสนคลนพบกบสนคลน (ปฏบพ) เปนจดทสนคลนพบกบทองคลน (บพ) A เปนเสนปฏบพ N เปนเสนบพ

บทท 9 คลน 272

จากรปท 9.16 แสดงตาแหนงบพและปฏบพเมอคลนวงกลม 2 คลนเกดการแทรกสอดกน กาหนดให S1 เปนแหลงกาเนดคลนท 1 และ S2 เปนแหลงกาเนดคลนท 2 ถาให P0 , P1และ P2 ,… เปนจดทอยบนเสนปฏบพท 0 ,ปฏบพท 1 ,ปฏบพท 2,…ตามลาดบและให Q1,Q2,…เปนจดทอยบนเสนบพท 1 , บพท 2,…ตามลาดบ เราจะสงเกตเหนวาแนวกลางจะเปนแนว ปฏบพเสมอถาแหลงกาเนดคลนท งสองแหลงเปนแหลงกาเนดอาพนธทมเฟสตรงกน ฉะน นแนว ปฏบพจะเรมจากแนวท 0,1,2,3…สวนแนวบพจะไมมแนวกลางจะเรมท 1,2,3,… แตถาเปนแหลงกาเนดอาพนธทมเฟสตางกน 180 องศา แนวตรงกลางจะเปนแนวบพ จากรปท 9.16 ทกลาวมาท งหมด เราจะเหนวาถาเราใหตาแหนง P เปนตาแหนงปฏบพใด ๆ บนเสนปฏบพ เราจะไดความสมพนธวา S1P – S2P = nλ เมอ n = 1,2,3,… (9.37) และถาใหตาแหนง Q เปนตาแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ เราจะไดความสมพนธวา

S1Q – S2Q = n – 2

1 λ เมอ n = 1,2,3,… (9.38)

ตวอยางท 9.8 แหลงกาเนดคลนนาอาพนธ 2 แหลง สรางคลนทมความยาวคลน 3 เซนตเมตร ทตาแหนงซงหางจากแหลงกาเนดท งสอง 18 เซนตเมตร และ21 เซนตเมตร ตามลาดบ จะเกดการแทรกสอดไดบพหรอปฏบพทเทาใด วธทา จากสตร S1P – S2P = nλ เปนกรณท P อยทตาแหนงปฏบพ

และ S1P – S2P = n – 2

1 λ เปนกรณท P อยทตาแหนงบพ

โจทยกาหนดให λ = 3 เซนตเมตร S1P = 21 เซนตเมตร และ S2P = 18เซนตเมตร

ดงน น S1P – S2P = 3 น นคอ 3 = n(3) น นคอ n = 1 แสดงวา จด P เปนตาแหนงปฏบพท 1

บทท 9 คลน 273

คลนน ง การแทรกสอด เปนสมบตของคลนซงเปนผลจากการซอนทบของคลนสองขบวนหรอมากกวา เกดขนเมอ เมอคลนหลายขบวนเคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนของคลน คลนนง เปนปรากฏการณทเกดขนจากการแทรกสอดของคลนสองขบวนทมความถ และแอมพลจดเทากน เคลอนทในทศตรงกนขาม

รปท 9.17 แสดงคลนนงขณะใดขณะหนง

1. ฟงกชนคลนของคลนน ง จาก )tAsin(kx=y1 ω+ เคลอนทไปทางซาย t) -Asin(kx=y2 ω เคลอนทไปทางขวา ( )t-kxAsin+t)+Asin(kx=y+y=y 21 ωω

( ) ( )[ ]t-kxsin+t+kxsinA= ωω (9.39)

แต sin A + sin B = 2sin B)-(A21

B)cosA21

+(

y =

ω+ω+ω+ω+ t)kx-t(kx)2

1t)cos(-kxt(kx)

2

12sin(A

( ) ( )

ω

t2

2

1cos2kx

2

12sinA=

= t)s2A(sinkxco ω ( )sinkxt2Acos= ω (9.40)

บทท 9 คลน 274

ฟงกชนคลนน คอ ฟงกชนคลนสถต ใชไดท งคลนตามยาวและคลนตามขวาง ซง y เปนฟงกชน ของ x เทยบกบ t เมอเทยบกบฟงกชนคลน ( )tω -kx Asin=y จะไดวา แอมพลจดของคลนนง คอ t2Acosω ซงแปรผนกบเวลา( t ) เรยกสมการ

sinkxts2Aco=y ω วาสมการคลนนง 2. คลนน งในเสนเชอก คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายท ง 2 ขาง

n = 1 Fundamental คอ ความถตาสดททาใหเกดคลนนง หรอ First Harmornic n = 2 Second Harmonic คอ ความถทถดจากความถมลฐาน หรอ First Overtone n = 3 Third Harmonic คอ จานวนเทาของความถมลฐาน หรอ Second Overtone

รปท 9.18 คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายท ง 2 ขาง จากฟงกชนคลนนง ( )sinkx t2Acos=y ω

หรอ ( ) x2

sint 2Acos=yλπ

ω

บทท 9 คลน 275

ตาแหนงบพ (Node) คอ ตาแหนง 0=y น นคอ 0=sinkx หรอ 0=x2

sinλπ

ซงจะเกดขนเมอ

πππ 3,2,,0=kx หรอ k

3,

k

2,

k,0=x

πππ

แต λπ2

=k

x =

π

ππ2

3,2

2,2

,0

เมอ x คอระยะระหวางจดทขงตงระหวางปลายเชอก น นคอ จะเกดตาแหนงบพท

0x = และ ท 0L= เพราะวา 0y = จะเกดตาแหนงบพท π= nkx เมอ ,.....3,2,1n = จาก π= nkx

λ=

λπ

nx2

ถาใชเชอกยาว ( )LxL =

2

nL

2nL

nL2

π=

πλ

π=

π=

λπ

เมอ ,...3,2,1n=

น นคอกรณทปลายเชอกถกตรง ท งสองดาน ความยาวของเชอกทจะทาให

เกดคลนนงได จะมคา2

nL

λ=

เมอ ,...3,2,1n =

จาก λ

=v

f

L2

nvfn = เมอ ,...3,2,1n = (9.40)

บทท 9 คลน 276

แต µ

= TFv

µ

= Tn

F

L2

nf (9.41)

เมอ ,...3,2,1n=

คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายขางเดยว

รปท 9.19 คลนนงในเสนเชอกทตรงขางเดยว จากฟงกชนคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω= 0y = เมอ 0x = เกดตาแหนงบพ (Node) y สงสด เมอ Lx= เกดตาแหนงปฏบพ (Antinode) พจารณาจากรป ความถมลฐาน (Fundamenta) ระยะความยาวเชอก L จะ

ไดความยาวคลน 4

λ ทตาแหนงน เกดปฏบพ หรอคา y สงสด เมอ

บทท 9 คลน 277

2

5,

2

3,

2kxsin

πππ= คอคาสงสด

sin kx = 2

nπ

น นคอ 2

n=kx

π

แตคาสงสดเกดขนเมอ x = L

2

n =kL

π

น นคอ 4

Lλ

=

เมอ ,.....5,3,1n =

และ λ

=v

fn

L4

nvfn = (9.42)

เมอ ,.....5,3,1n =

แต µ

= TFv

µ= T

n

F

L4

nf เมอ ,.....5,3,1n = (9.43)

ตวอยางท 9.9 เชอกยาว 2.5 เมตร ถกขงตรงท งสองขางโดยมดไวระหวางเสา 2 เสา จนทาใหความเรวคลนในเสนเชอกเปน 80 เมตร/วนาท ถาทาใหเกดคลนนงในเสนเชอกจะตองปอนคลนทมความถเทาใด วธทา โจทยกาหนดให L = 2.5 m, v = 80 m/s , fn = ?

จากสตร L2

nvF

L2

nf T

n =µ

=

จะไดวา n16)5.2(2

)80(nfn == เฮรตซ เมอ n = 1, 2 , 3, …

น นคอ ความถทจะทาใหเกดคลนนงไดคอ 16, 32, 48, 64, ... เฮรตซ

บทท 9 คลน 278

3. คลนน งในทอ คลนนงในทอปลายปด 2 ขาง เชน กลอง

รปท 9.20 คลนนงในทอ จากสมการคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω= ทตาแหนง 0x = และ Lx = เกดตาแหนงบพ (Node) น นคอ π== nkLkx เมอ n = 1, 2, 3, …

น นคอ 2

nL

λ= เมอ n = 1, 2, 3, …

และ λ

=v

f

L2

nv= (9.44)

เมอ ,.....3,2,1n =

บทท 9 คลน 279

แต ρ

=B

v

ρ

=B

L2

nfn (9.45)

เมอ ,.....3,2,1n = คลนนงในทอปลายปด

รปท 9.21 คลนนงในทอปลายปด ในทานองกบทอปลายปด โดยอาศยหลกการเกดบพและปฏบพ ความยาวทอทนอยทสดททาใหเกดคลนนงไดตามเงอนไข คอ

น นคอ 4

nL

λ=

เมอ ,.....5,3,1=n

และ L4

nvvfn =

λ=

บทท 9 คลน 280

L4

nvfn = (9.46)

เมอ ,.....5,3,1n =

แต ρ

=B

v

ρ

=B

L4

nfn (9.47)

เมอ ,.....5,3,1n = คลนนงในทอปลายเปด

รปท 9.22 คลนนงในทอปลายเปด เงอนไขของความยางทอ และความยาวคลนททาใหเกดคลนนง หาไดในทานองเดยวกนกบทอปลายปดท ง 2 ขาง คอ

น นคอ 2

nL

λ=

เมอ ,...3,2,1n =

บทท 9 คลน 281

จาก L2

nvvfn =

λ=

L2

nvfn = (9.48)

เมอ ,...3,2,1n =

แต ρ

=B

v

ρ

=B

L2

nfn

เมอ ,...3,2,1n = ตวอยางท 9.10 ความถฮารมอนกท 5 เนองจากการส นพองของอากาศในทอปลายปดทอหนงเทากบ 425 เฮรตซ ถาอตราเรวของคลนเสยงในอากาศเทากบ 340 เมตร/วนาท จงหาความยาวของทอปดทอน วธทา โจทยกาหนดให f5 = 425 Hz, v = 340 m/s, n = 5 , L = ?

จากสตร 4Lnv

=fn

จะไดวา )L(4

)340(5425=

1L= เมตร การหกเหของคลน(refraction of wave) เมอคลนเคลอนทมาพบขอบรอยตอระหวางสองตวกลาง พลงงานของคลนบางสวนสะทอนกลบ ขณะทอกสวนหนงจะผานไปหรอถกดดกลน และเมอคลนผานไปยงอกตวกลางหนงจะทาใหทศทางและความเรวคลนเปลยนไป เรยกปรากฏการณนวา การหกเหของคลน รปท 9.23 เปนกรณทคลนเคลอนทจากตวกลางท 1 ไปยงตวกลางท 2 เมอพบรอยตอระหวางสองตวกลางทศการเคลอนทของเคลอนจะเปลยนไป

บทท 9 คลน 282

คลนตกกระทบ หนาคลน iθ ตวกลางท 1 rθ ตวกลางท 2 คลนหกเห รปท 9.23 การหกเหของคลน กาหนดให iθ และ rθ คอมมตกกระทบและมมหกเหซงเปนมมททศทางของคลนทากบเสนปกต จะไดความสมพนธวา

2

1

sin

sin

θθ =

2

1

v

v (9.49)

เมอ v1 เปนอตราเรวของคลนในตวกลางท 1 และ v2 เปนอตราเรวของคลนในตวกลางท 2 ตวอยางท 9.11 คลนแผนดนไหวชนด P คลนทผานช นหนแขงทมความหนาแนนตางกนทาใหอตราเรวของคลนเพมขนจาก 6.5 m/s เปน 8.0 m/s ถาคลนทามมตกกระทบเปน 30 องศาจงหาวามมหกเหมคาเทาใด วธทา

จากสมการท 9.49 จะได 2sin

30sin

θ

= m/s 8.2

s/m6.5

2sin θ = 0.62 2θ =

38

บทท 9 คลน 283

การเลRยวเบนของคลน(diffraction of wave) คอปรากฏการณทคลนเคลอนทไปพบสงกดขวางแลวทาใหคลนบางสวนโคงออมไปดานหลงของสงกดขวาง ดงรปท 9.24

รปท 9.24 การเลยวเบนของคลนนา การเกดการเลยวเบนของคลนจะขนอยกบขนาดของความยาวคลนกบขนาดของวตถทขวางก น เมอคลนมการเลยวเบนแลวถอวาความถและความยาวคลนจะคงท แตแอมปลจดและพลงงานคลนจะลดลง ในกรณทคลนเคลอนทผานชองสลต(slit) ทมความกวาง d คลนจะเกดการเลยวเบนโดยมเงอนไขดงน 1. ถา d นอยกวา λมากๆ จะเกดการเลยวเบนไดดจะไดคลนวงกลมซอนกน 2. ถา d มากกวา λมากๆ จะไมเกดการเลยวเบน 3. ถา d ใกลเคยง λ จะเกดการเลยวเบนทด

บทท 9 คลน 284

สรป

1. คลน เปนพลงงานรปแบบหนงเกดจากแหลงกาเนดถกรบกวน คลนสามารถแบงออกเปนสองชนดคอ คลนกล อาศยตวกลางในการเคลอนท และคลนแมเหลกไฟฟา ไมจาเปนตองอาศยตวกลางในการเคลอนท

2. ลกษณะของคลน การเคลอนทไปของคลนมสองลกษณะคอคลนดล จะมคลนเพยง 1 คลน และคลนตอเนองจะมคลนออกไปอยางตอเนอง

แอมปลจด คอระยะกระจดของตวกลางทคลนผานทมากทสด ความยาวคลน คอความยาวทวดจากสนคลนทอยตดกน คาบ หมายถงเวลาทคลนเคลอนทไดครบ 1 รอบ ความถ หมายถงจานวนคลนทผานจดๆหนงในหนงหนวยเวลา ความเรวคลน เปนความเรวของจดใดๆบนคลนทเคลอนทไป v = λf 3. คลนตามขวาง หมายถงคลนทเมอผานตวกลางใดๆแลวโมเลกลของตวกลางจะส นใน

ทศต งฉากกบทศการเคลอนทของคลน 4. คลนตามยาว หมายถงคลนทเมอผานตวกลางใดๆแลวโมเลกลของตวกลางจะส นใน

แนวเดยวกบทศการเคลอนทของคลน 5. ฟงกชนคลนรปไซน เปนคลนททาใหโมเลกลของตวกลางส นแบบฮารโมนกสเชงเดยว

มสมการการกระจดของโมเลกลตวกลางเปน y(x,t) = )kx -tAsin(ω 6. สมการคลน เปนสมการทเขยนแทนคลนทกชนด สมการคลนจะเปนตวบอกลกษณะ

ของคลน วามความเรว ความเรง หรอความยาวคลนเทาใด มสมการเปน

2

2

x

t)y(x,

∂∂

= 2v

12

2

t

t)y(x,

∂∂

7. อตราเรวของคลนตามขวาง เมอคลนตามขวางเคลอนทในตวกลางจะมความเรวเปน

v = µF

µ คอมวลของตวกลางตอปรมาตร

บทท 9 คลน 285

8. อตราเรวของคลนตามยาว 8.1 อตราเรวของคลนตามยาวในของแขง

v = ρE , E = มอดลสของความยดหยน

8.2 อตราเรวของคลนตามยาวในของเหลว

v = ρΒ , Β = บลคมอดลส

ρ = ความหนาแนนของตวกลาง 9. พลงงานในการเคลอนทแบบคลน เมอคลนเดนทางผานตวกลางจะนาเอาพลงงานไปดวยซงพลงงานของคลนเปนไปตามสมการ E = 222 Amf2π 10.กาลงเฉลยของคลน คออตราการสงผานพลงงานหาไดจากสมการ

P = t

E = 222 Aavf2 ρπ

11.ความเขมของพลงงาน คอพลงานตอพนททต งฉากกบทศการแผของคลน

Ι = aP = 222 Avf2 ρπ

12.หลกการซอนทบของคลน เมอคลนเคลอนทมาพบกนในตาแหนงและเวลาเดยวกนจะเกด การรวมกนของคลนโดยระยะกระจดเกดจากการรวมกนของระยะกระจดของคลนทมาพบกน การรวมกนนจะเกดขนเพยงช วคราวเมอคลนเคลอนทผานกนไปแลวกจะแยกเปนคลนเดยวๆ อกคร งหนง 13.การสะทอนของคลน เกดขนเมอคลนเคลอนทไปพบสงกดขวางจะมคลนสะทอนเคลอนท ยอนกลบโดยสามารถพจารณาคลนดลในเสนเชอก 13.1 คลนสะทอนทปลายเชอกตรงอยกบท จะมการกระจดในทศทางตรงกนขามกบคลนตกกระทบ 13.2 คลนสะทอนทปลายเชอกอสระ จะมการกระจดในทศทางเดยวกนกบ คลนตกกระทบ 14. การแทรกสอดของคลน เปนการรวมกนของคลนต งแตสองคลนขนไปมสองกรณคอ 14.1 การแทรกสอดแบบเสรม คอการทคลนมาพบกนในลกษณะทมเฟสตรงกนจะทาใหระยะกระจดของคลนรวมมคามากขนตาแหนงทมระยะกระจดสงสดเรยกวาจด ปฏบพ

บทท 9 คลน 286

14.2 การแทรกสอดแบบหกลางกน เปนการเคลอนทมารวมกนของคลนทมเฟสตรงกนขามกนจะทาใหระยะกระจดของคลนรวมลดลง จดทมระยะกระจดตาสด เรยกวาจดบพ 15. คลนนง เปนผลจากการรวมกนของคลนทคลนทมารวมกนมความถและแอมปลจดเทากน จะทาใหมจดปฏบพและจดบพคงท จงมองเหนคลนนงเปนloop ตางๆ ดงรป 9.25

รปท 9.25 จดบพและปฏบพของคลนนง

16.การหกเหของคลน คอการทคลนเคลอนทไปพบรอยตอระหวางตวกลางจะทาใหทสทางและความเรวของคลนเปลยนไปตามสมการ

2

1

sin

sin

θθ =

2

1

v

v

17. การเลยวเบนของคลน หมายถงการทคลนเคลอนทไปพบวตถทเปนสงกดขวางการแผของคลนจะทาใหมคลนเลยวออมขอบของสงกดขวางไปดานหลง

ปฏบพ

บพ

บทท 9 คลน 287

แบบฝกหดทายบท

1.คลนกลมอตราเรวในอากาศเทากบ 344 m/s และมความถ 200 Hz จะมความยาวคลน เทาใด 2. จากรปท 9.26 มคลนเคลอนทไปทางขวาดวยอตราเรว 1.50 m/s จงหา ก. ความยาวคลน ข. สนคลนผานจด A กสนคลนในหนงวนาท

A 0 20 40 60 80 100 (mm)

รปท 9.26 อธบายโจทยขอ 2 3.คลนบนเสนเชอกเปนไปตามสมการ y(x,t) = (8.0 mm)sin (300 rad/s)t - (20 m-1)x จงหา แอมปลจด,เลขคลน,อตราเรว,คาบ 4. คลนตามขวางบนเชอกมอตราเรว 8.00 m/s แอมปลจด 0.070 m และมความยาวคลน เปน 0.320 m เคลอนทไปในทศ –x และทเวลา t = 0 ปลายเชอกอยท x มการกระ จดเปนศนย และกาลงเคลอนทในทศ +y ก. จงหาความถ คาบ และเลขคลนของคลน ข. จงเขยนฟงกชนคลนทบรรยายคลนน ค. จงหาการกระจดตามขวางของอนภาคท x = 0.360 m ทเวลา t = 0.150 s 5. จงแสดงวา ฟงกช น y(x,t) = A tsinkxcosω เปนคาตอบของสมการคลน 6. อนภาคของเสนเชอกทคลนเคลอนทผานส นโดยมสมการของระยะกระจดเปน

y(x.t) = - Asin

λπ

vt)-(x 2

ก.จงหาความเรวตามขวาง(vy) ของอนภาคในเชอกทคลนเคลอนทผาน ข. ภายใตสถานการณใดความเรวของของอนภาคจงจะมคาเทากบความเรวคลน

บทท 9 คลน 288

7. คลนแบบไซนคลนหนงกาลงแผไปตามเชอกซงขงตงในแนวแกน x ดงรปท 9.27 แสดงกราฟการกระจดของอนภาคทตาแหนง x = 0 และ x = 0.090 m ก.แอมปลจดและคาบมคาเทาใด ข. ถาคลนเคลอนทไปในทศ –x จงหาความเรวและความยาวคลน Y(mm) 6 x = 0.090 m 4 x=0 2 0 t(s) -2 0.01 0.03 0.05 0.07 -4 -6

รปท 9.27 แบบฝกหดขอ 7

8. เชอกเสนหนงยาว 2.50 m มวล 0.120 kg จะตองขงเชอกนดวยความตงเทาใดจงจะทาให คลนตามขวางความถ 40.0 Hz มความยาวคลน 0.750 m 9. จงหาอตราเรวและความยาวคลนของเสยงในนา เมอคลนเสยงมความถ 262 Hz

กาหนดให บลคมอดลสของนาเทากบ 11x1045.8

1 N/m2 และความหนาแนนของนามคา

เปน 1000 kg/m3 10. เชอกเสนหนงมมวล 0.40 kg ขงตงระหวางจดสองจดทหางกน 4.8 m เมอใชคอนเคาะ ปลายดานหนง จะมคลนดลตามขวางเคลอนทในเสนเชอกและเดนทางมาถงปลายอกดาน หนงในเวลา 0.85 s จงหาแรงตงในเสนเชอก

บทท 9 คลน 289

11. คลนตามยาวความถ 220 Hz เคลอนทไปตามแทงทองแดงรศม 8.00 mm กาลงเฉลยในคลนคอ 6.50 x10- 6 W ก. จงหาความยาวคลนของคลน ข. จงหาแอมปลจดและความเรวสงสดของคลน กาหนดให ความหนาแนนของทองแดงเทากบ 8.9 x 103 kg/m3 และยงสมอดลสของ ทองแดงเปน 11 x 1010 N/m2 12. จงเปรยบเทยบความเขมและแอมปลจดของคลนแผนดนไหวชนด P ทจดหางจากจด ศนยกลางแผนดนไหวเปนระยะ 10 km และ 20 km 13. ถาวดความเขมของคลนทจดทหางจากศนยกลางแผนดนไหวเปนระยะทาง 100 km ไดคาเปน 2.2 x 10 6 W/m2 ก.จงหาความเขมเมอคลนผานจดทหางศนยกลางแผนดนไหว 4.0 km ข. กาลงของคลนทผานพนท 5.0 m2 ทระยะ 4.0 km จากศนยกลางแผนดนไหว 14. ลวดเหลกเสนเลกๆเสนผาศนยกลาง 1.0 mm เชอมตออยกบตวส น(vibrator)และมแรงตงเทากบ 4.5 N ถาความถของการส นเปน 60.0 Hz และแอมปลจดเปน 0.50 cm

ก. สมมตวาไมมคลนยอนกลบในเสนเชอก กาลงทออกจากตวส นมคาเทาใด ข. ถากาลงทออกจากตวส นมคาคงทตลอดแตคลนมความถสงขนเปนสองเทา

แอมปลจดของคลนมคาเทาใด 15. คลนนงบนปลายเชอกปลายตรงท x = 0 มสมการของระยะกระจดเปน y(x,t) = (2.5 mm)sin(0.750πx)cos (942t)

ก. จงหาตาแหนง บพ ทหางจากปลายซายมอ ข. จงหาตาแหนง ปฏบพ ทหางจากปลายซายมอ

16. คลนนงเกดจากการซอนทบของคลน 2 ชด ทมฟงกชนคลน คอ 3t)-5sin(4x=y1 และ

3t)+5sin(4x=y2

จงหา ก. คาการกระจดสงสดของการเคลอนท ท x = 1.8 เซนตเมตร ข. ตาแหนงปฏบพการกระจด ค. ตาแหนงบพการกระจด

บทท 9 คลน 290

17. แหลงกาเนดคลนผวนาอาพนธ S1 และ S2 มเฟสตรงกนอยหางกน 12 เซนตเมตร ถาความยาวคลน เทากบ 4 เซนตเมตร ระหวาง S1 และ S2 จะมจดปฏบพกจด 18.คลนนงในเสนเชอกมระยะระหวางแนวบพกบปฏบพเทากบ 10 เซนตเมตร ถาคลนม ความเรว 200 เมตรตอวนาท จงหาความถของคลน 19. ทอปลายปดขางหนงยาว 2 เมตร เมอปลอยใหคลนเสยงความถ 304 Hz เขาไปในทอพบวาเกดการส นพองและเปนฮารโมนกสท 4 จงหาหาอตราเรวของเสยงในทอน 20. คลนแผนดนไหวชนด P เคลอนทดวยอตราเรว 8.0 km/s ตกกระทบกบขอบรอยตอช นหนภายในเปลอกโลกทมเนอสารแตกตางกน 2 ชนด โดยทามมตกกระทบเปนมม 50 องศา และมมหกเหเปน 31 องศา จงหาอตราเรวของคลนในช นหนทสอง

บทท 10 สมบตของสสาร

โดยท วๆไปเราแบงวสดทเราพบเหนออกเปนสองประเภทใหญๆ คอของไหล(fluid)และของแขง(solid) ของไหลเปนสารทสามารถไหลได เชนน2า อากาศ ของเหลวอนๆ สวนของแขงเปนสารทมรปรางแนนอน แมมแรงภายนอกมากระทากตาม ในบทน2จะกลาวถงสมบตของสสารในเชงกลศาสตรเทาน 2นแตจะไมกลาวถงสมบตทางเคม, หรอสมบตทางแมเหลกไฟฟาของสสาร สมบตเชงกลศาสตรดงกลาว ไดแก ความหนาแนน ความดน สภาพยดหยน หรอ ความหนดเปนตน ในตอนแรกเราจะศกษาสมบตของของไหลกอน ความหนาแนน ความหนาแนนเปนสมบตของสสารท 2งทเปนของแขงและของไหลหมายถง อตราสวนระหวางมวลของสารตอปรมาตรของสารน 2น ใชสญลกษณ ρ โดย

ρ = Vm (10.1)

หนวยของความหนาแนนในระบบเอสไอคอ กโลกรมตอลกบาศกเมตร(kg/m3) ความหนาแนนสมพทธของวตถ เปนการเปรยบเทยบระหวางความหนาแนนของวตถกบความหนาแนนของวตถมาตรฐาน ของแขงและของเหลวใชน2าเปนวตถมาตรฐาน สวนกาซนยมใชอากาศหรอออกซเจนเปนวตถมาตรฐาน ตารางท 10.1 แสดงความหนาแนนของสาร ตารางท 10.1 ความหนาแนนของสาร

ชนดของสาร ρ (kg/m3) ชนดของสาร ρ (kg/m3) อะลมนม 2.7x103 เหลก 7.8x103

เลอด 10.6x103 เงน 10.5x103 ทองแดง 8.9x103 น2า 1.0x103

ทอง 19.3 x 103 น2าทะเล 1.03x103 ทมา(Young D. Hugh, 1992, p. 382)

บทท 10 สมบตของสสาร 292

ความหนาแนนของวสดบางประเภทมคาตางกนเมอเวลาผานไป เชนบรรยากาศของโลกจะมมวลของอากาศไมแนนอนยงบรเวณทสงจากผวโลก ความหนาแนนของบรรยากาศยงตา จงนยมใชความหนาแนนเฉลยแทน โดยท วไปความหนาแนนของวสดบางอยางข2นอยกบปจจยแวดลอม เชน อณหภมและความดน สาหรบสสารตางๆวสดทมความหนาแนนมากบนโลกคอโลหะออสเมยม(osmium) มความหนาแนน 22,500 kg/m3 ซงหมายถงออสเมยมปรมาตรเพยง 1 ลกบาศกเมตรจะมมวลถง 22.5 ตน การวดความหนาแนนเปนเทคนควเคราะหทสาคญ การวดความเคมของน2าจะพจารณาความหนาแนนโดยการใชไฮโดรมเตอรจมลงในน2า ตวอยางท 10.1 ถาเราเกบแผนโลหะรปสเหลยมผนผาขนาด 5.0x15.0x30.0 mm ได และวดมวลของมนได 0.0158 kg แตโลหะน2มลกษณะภายนอกเหมอนทองคา ถาเราสงสยวาแผนโลหะน2เปนทองคาหรอไมเราจะตรวจสอบเบ2องตนอยางไร วธทา การตรวจสอบเราจะอาศยการหาความหนาแนนของโลหะน2และนาไปเปรยบเทยบกบความหนาแนนของทองคา โดยจากตารางท 10.1 ทองคามความหนาแนน 19.3 x 103 kg/m3จากสมการท 10.1 ความหนาแนนของโลหะน2เปน

ρ = )

39 - m 30.0x10(5.0x15.0xkg) (0.158

= 7.02x103 kg/m3

โลหะน2ไมใชทองคา ความดนในของไหล เมอของไหลอยนง จะมแรงในแนวต 2งฉากกระทาตอผวทสมผสกบของไหล ท 2งๆทดแลวของไหลอยนงแตความจรง โมเลกลของของไหลจะเคลอนทอยตลอดเวลา แรงทของไหลกระทาตอวตถเกดจากการชนของโมเลกลของของไหลตอผววตถน 2นๆ พจารณาผวของของไหลเลกๆ พ2นท dA จะมแรงในแนวต 2งฉากกระทาตอของไหลแตละดานมขนาดเปน ⊥dF ดงรปท 10.1 เรานยามความดน P ทจดๆน 2นวา คอแรงในแนวต 2งฉากตอพ2นทหนงหนวย

P = dAdF⊥ (10.2)

บทท 10 สมบตของสสาร 293

ถาความดนมคาเทากนททกจดบนผวระนาบจากดพ2นท A จะได

P = A

F⊥ (10.3)

d ⊥F รปท 10.1 พ2นทขนาดเลกๆ dA ภายในของไหลมแรงขนาดเลก ในแนวต 2งฉาก ⊥dF กระทาท 2งสองดานทาใหเกดความดน หนวยของความดนในระบบเอสไอคอ นวตนตอตารางเมตร(N/m2) หรอ พาสคาล(Pa) สาหรบหนวยอนทนยมใชไดแกหนวย บาร(bar) โดย 1 bar = 105 Pa ความดนบรรยากาศ เปนความดนของบรรยากาศของโลกทเกดจากน2าหนกของอากาศทกดทบลงมาทผวโลก น นคอบรเวณช 2นลางจะมความดนบรรยากาศมากกวาดานบน และมคาไมคงทในแตละพ2นทเพราะอากาศมการหมนเวยนอยตลอดเวลา เนองจากโลกมผวทไมสมาเสมอเชนบางแหงเปนเทอกเขาสง แตบางแหงกลบเปนแอง จงเปนการยากทจะหามาตรฐานความดนปกตบนโลก จงอาศยระดบน2าทะเลเปนมาตรฐาน โดยความดนบรรยากาศทระดบน2าทะเลมคาเทากบความดน 1 บรรยากาศ(atm) โดย 1 atm = 1.013 x 105 Pa = 1.013 bar = 1013 millibar เนองจากทระดบสงข2นไปจากผวโลก ความหนาแนนของอากาศมคานอยลง จงทาใหทระดบสงมความดนตากวาดานลาง ดงน 2นเมอเครองบนทบนสงๆ จะตองมการเพมจงตองปรบความดนภายในเครองใหเหมาะกบความดนขางนอกตามระดบความสงตางๆ

บทท 10 สมบตของสสาร 294

1. ความดนกบความลก เมอเราดาน2า ยงเราดาลงลกเทาใดเราจะมความรสกวามแรงกดดนทตวเรามากข2นเรอยๆ น นคอความดนของน2าจะตองเกยวของกบความลกของน2าดวย ซงสามารถหาความสมพนธไดดงน2 สมมตวาของไหลอยนงและมความหนาแนนคงท เราจะสมมตผวบนของไหลผวหนงเปนรปทรงสเหลยมพ2นทหนาตด A และหนา dy โดยใหผวสมมตน2อยสงกวาระดบอางองเปน y ดงรปท 10.2 A y F2y = -(p-dp)A A

หนา dy F1y = pA dW รปท 10.2 แรงตางๆทกระทาตอผวสมมตในของไหล จากรปท 10.2 ระดบอางองอยทกนภาชนะ สมมตของไหลทพจารณาเปนของเหลวมความหนาแนนคงท ρ และอยนง ผวลางของผวสมมตอยทระดบความสง y ผวบนอยทระดบ y+dy เหนอระดบอางอง ช2นของผวสมมตน2มปรมาตร dV = Ady มมวลเปน m = ρAdy และมน2าหนกเปน dW = ρ gAdy

บทท 10 สมบตของสสาร 295

แรงทกระทาตอผวสมมต พจารณาไดคอ แรงลพธในแนวระดบมคาเปนศนยเพราะผวสมมตน2วางตวในแนวระดบและหยดนง ถาพจารณาในแนวดง สมมตผวดานลางมความดนจากของเหลวเปน p และผวดานบนมความดน p + dp กาหนดใหทศทางของแรงทมทศช2ข2นในแนวดงเปนบวกและแรงทมทศทางช2ลงในแนวดงเปนลบ ดงน 2นแรงทกระทาตอผวดานลางเปน F1y = pA (10.4) และแรงทกระทาตอผวดานบนเปน F2y = - (p+dp)A (10.5) และแรงน2าหนกซงมทศทางช2ลงเปน - dW แตผวสมมตน2อยในสมดลน นคอ ∑ yF = 0 หรอ F1y+ F2y +dW = 0 pA - (p+dp)A - ρ gAdy = 0 pA – pA – Adp = ρgAdy

dydp

= - ρ g (10.6)

กาหนดให ทความสง y1 และ y2 มความดนเปน p1 และ p2 จากสมการท 10.6 จะได

2

1

PP

dp∫ = - ρ g 2

1

yy dy∫

p2 - p1 = - ρ g(y2 –y1) (10.7) เรามกจะเขยนสมการท 10.7 ในรปของความลกจากผวบน ดงรปท 10.3 จงเลอกจดท 1 เปนจดทระดบใดๆในของไหลและจดน2มความดน P สวนจดท 2 เปนจดทอยทผวบนของของเหลวมความดนเปน P0 โดยจด 1 มความลกจากผวบน h = y2 - y1 (10.8) p2 = P0

h 2 y2 p1 = P 1 y1

รปท 10.3 ความดนในของเหลว

บทท 10 สมบตของสสาร 296

จากสมการท 10.7 และ 10.8 จะได P0 - P = - ρ g(y2 – y1) = - ρ gh P = ρ gh + P0 (10.9) จากสมการท 10.9 ความดนทจดใดๆทลกจากผวบน มคาข2นอยกบวาจดน 2นอยความลกจากผวบนเทาใด และไมข2นอยกบรปรางภาชนะทบรรจของเหลว คา P0 เปนความดนซงเกดจากน2าหนกของอากาศทอยเหนอผวน2าเรยกวา ความดนบรรยากาศ นยมแทนดวยสญลกษณ Pa คา P เรยกวา ความดนสมบรณ(absolute pressure) และคา ρ gh เรยกวา ความดนเกจ(gauge pressure) ซงเปนความดนจากความลกของของเหลว สมการท 10.9 จงได P = ρ gh + Pa (10.10) 2. เครองมอวดความดน ในการวดความดนของของไหล มวธวดหลายๆวธ แตละวธกมเครองมอเฉพาะ เครองมอวดความดนทงายทสดเรยกวา มาโนมเตอร(manometer) เครองมอน2ประกอบดวยหลอดแกวรปตวย ภายในบรรจดวยของเหลว ปลายขางหนงตอกบของเหลวทมความดน P ทตองการจะวด สวนอกปลายหนงเปดสอากาศ ดงรปท 10.4 ความดนทกอนหลอดดานซายเทากบ P + ρ gy1 และความดนทกนหลอดดานขวามคาเทากบ P + ρ gy2 เมอ ρ คอความหนาแนนของของเหลว P2 = Pa P1 = P P y2 – y1 y2

y1

รปท 10.4 มาโนมเตอรรปตวย

บทท 10 สมบตของสสาร 297

ทระดบเดยวกนจะมความดนเทากน ดงน 2นทระดบพ2น ความดนทกนหลอดดาน ซายจะเทากบความดนทกนหลอดดานขวา P + ρ gy1 = Pa + ρ gy2 P = Pa + ρ g(y2 – y1) ในการวดความดนบรรยากาศจะใชบารอมเตอรทเปนแทงยาวปลายขางหนงปด โดยควาปลายเปดลงในอางปรอท ดงรปท 10.5 P0 = 0 y2 – y1 = h y2 Pg = Pa

Pa

y1 รปท 10.5 บารอมเตอรปรอท จากรปท 10.5 ชองวางเหนอลาปรอทมแตไอปรอทเทาน 2น ความดนไอมขนาดนอยมากดงน 2นความดนทบรเวณน2จงเปนศนย เนองจากความดนทระดบผวบนปรอทซงอยในแนวระดบเดยวกนระหวางผวภายนอกทอกบภายในทอมคาเทากน สาหรบความดนภายนอกทอเปนความดนบรรยากาศ สวนภายในทอเปนความดนเกจ จากปรอททสง y2 – y1 Pa = Pg = ghHgρ (10.11) คา Hgρ เปนความหนาแนนของปรอท และ คา g มคาคงท ในการบอกคาความดนบรรยากาศจงนยมบอกเปรยบเทยบกบความสงของลาปรอท โดยถาวดความสงของลาปรอทได เทากบ 1 มลลเมตรปรอท จะเรยกหนวยน2วา 1 ทอร(torr) เพอเปนเกยรตใหกบ Evangelista Torricelli ผประดษฐบารอมเตอร เชน ถานาบารอมเตอรน2ไปไปวดความดนบรรยากาศทระดบน2าทะเลปกตจะวดคาความสงของลาปรอทได 760 มลลเมตร จงกลาว

บทท 10 สมบตของสสาร 298

ไดวา ความดนบรรยากาศทระดบน2าทะเลปกต มคาเทยบไดกบลาปรอทสง 760 มลลเมตร ความหนาแนนของปรอทเทากบ 13.6 x 10 3 kg/m3 และแทนคา g ลงในสมการท 10.11 จะไดความดนบรรยากาศทระดบน2าทะเลปกตเปน Pa = (13.6 x 10 3 kg/m3)(9.80 m/s2)(760 x 10- 3 m) Pa = 1.01 x 105 N/m2 = 1.01 x 105 Pa = 1.01 bar (10.12) Pa = 760 torr (10.13) ตวอยางท 10.2 เครองวดน2าประปาในทอวดความดนน2าได 2.5 x 10 5 Pa จงหางานททาเพอสบน2าปรมาตร 30,000 m3 เขาไปในทอน2 วธทา งาน = (แรงสทธ)(ระยะทางในทศของแรงสทธ)

= พ นทแรงสทธ

x (ระยะทาง)(พ2นท) = ความดน x ปรมาตร

= (2.5 x 105 Pa)(30,000 m3) = 7.5 x10 9 J แรงลอยตว(buoyant force) การลอยตวเปน เปนสมบตอยางหนงของของไหล เมอนาวตถใสไวในของไหลเชน น2าหรอของเหลวอยางอน ของเหลวจะออกแรงกระทาตอวตถทมทศตานกบน2าหนกของวตถ ทาใหวตถเบากวาเมออยในอากาศ ความจรงแลวอากาศกมแรงลอยตวแตมคานอยมาก เราสามารถหาแรงลอยตวของของไหลโดยใชหลกของอารคเมดส (Archimedes principle) ซงกลาววา “เมอวตถจมอยในของไหลท 2งกอนหรอบางสวน ของไหลจะออกแรงดนข2นตอวตถเทากบน2าหนกของของไหลทถกแทนท” พจารณาวตถ มวล m มสวนทจมอยในของเหลวซงของเหลวมความหนาแนน Lρ เทากบปรมาตร V′ ดงรปท 10.6 ถาวตถน2มความหนาแนน ρ และมปรมาตรท 2งหมด V

บทท 10 สมบตของสสาร 299

FB

สวนทลอยมปรมาตร V- V′ สวนทจมมปรมาตร V′ mg ความหนาแนน Lρ รปท 10.6 วตถทลอยในของเหลวเพราะมแรงลอยตว จากรปท 10.6 ตามหลกของอารคเมดส จะไดแรงลอยตวมขนาดเปน FB = น2าหนกของของเหลวทมปรมาตร V′ FB = Lρ V′g (10.14) ตวอยางท 10.3 แพขนานยนตยาว 10.0 m กวาง 5.0 m ลอยอยในน2า เมอขบรถยนตสองคนลงบนแพ ปรากฏวาแพจมลง 40 mm จงหาน2าหนกของรถท 2งสองคน (ความหนาแนนของน2าเทากบ 1.0 x 10 3 kg/m3) วธทา ปรมาตรของน2าสวนทถกแทนท = พ2นทของแพ x ความยาวดานขางสวนทจม = (10.0 m)(5.0 m)(40x10 -3 m) = 2 m3

น2าหนกของน2าสวนทถกแทนท = ρVg = (103 kg/m3)(2 m3)(9.8 m/s2) = 19,600 N น2าหนกของรถยนต = น2าหนกของน2าทถกแทนท = 19,600 N

บทท 10 สมบตของสสาร 300

ความตงผว(surface tension) ความตงผวเปนสมบตทสาคญอนหนงของของเหลว โดยผวของของเหลวทาตวเหมอนกบแผนเยอภายใตแรงตง โมเลกลของของเหลวออกแรงดงดดซงกนและกน แรงสทธตอโมเลกล ในปรมาตรของของเหลวเปนศนย แตโมเลกลทอยทผวจะถกดงเขาหากอนของเหลว ดงน 2นของเหลวจงพยายามทาตวใหมพ2นทผวนอยทสด ความตงผวมนยามวา เปนอตราสวนของแรงทกระทาไปตามผวของเหลวตอความยาวของเหลวทถกแรงกระทา และความยาวน2ตองต 2งฉากกบแรงดวย พจารณารปท 10.7 ซงเปนวธวดความตงผววธหนง L2γ W1

W2

รปท 10.7 การหาความตงผวของของเหลว จากรปท 10.7 กรอบลวดรปตวย มลวดตรงในแนวระดบคลองไวทขาท 2งสองขาง ลวดในแนวระดบน2สามารถเลอนข2นลงไดคลองบนขาตวย เมอจมลวดน2ลงในน2าสบ จะเกดฟลมบางบนกรอบลวด ฟลมบางจะคอยๆดงลวดในแนวระดบข2น แตเนองจากน2าหนกของลวดในแนวระดบ ประกอบกบเราเพมน2าหนก W2 ลงไปดวย น นคอแรงทฉดลวดลงมขนาดเปน F = W1 + W2 กาหนดให L เปนความยาวของลวดตรง เนองจากฟลมมผวสองดาน ดงน 2นความยาวของผวฟลมทถกแรงกระทาจงเปนสองเทาของความยาวลวด คอ 2L จากนยามของความตงผวจะได

γ = 2L

F (10.15)

บทท 10 สมบตของสสาร 301

ความตงผวมหนวยเปน นวตนตอเมตร(N/m) ความตงผวจะข2นอยกบอณหภมของของเหลวดวย ตารางท 10.2 เปนคาความตงผวของของเหลวบางชนดจากการทดลองโดยใหผวของของเหลวสมผสกบอากาศ

ตารางท 10.2 คาความตงผวของของเหลวท C20

ของเหลว ความตงผว (10- 3 N/m)

ของเหลว ความตงผว (10- 3 N/m)

เบนซน 28.9 น2า( C0 ) 75.6

คารบอนเตตระคลอไรด 26.8 น2า( C20 ) 72.8

เอธานอล 22.3 น2า( C60 ) 66.2

กลเซอรน 63.1 น2า( C100 ) 58.9

ปรอท 465.0 ออกซเจน

( C193- )

15.7

น2ามนมะกอก 32.0 นออน( C247- ) 5.15

น2าสะบ 25.0 ฮเลยม( C269- ) 0.12

ทมา (Young D. Hugh, 1992, p. 382) ตวอยางท 10.4 จงหางานทตองใชเพอเพมเสนผาศนยกลางของฟองสบทรงกลมจาก 50 mm ไปเปน 150 mm ถาความตงผวเปน 0.025 N/m วธทา ฟองสบมผวในและผวนอกสองผว คานวณพ2นทผวของทรงกลมตามสตร

4 2rπ ไดงาน = พ2นทผวทเพมข2น x ความตงผว = ( N/m)) 025.0)(m)(1025-(752x4 26 -22π = 3.1 x 10- 3 J หลกการของความตงผวทเกยวของกบชวตประจาวน เชนการซกผาใหสะอาด เราตองบงคบใหน2าแทรกผานเขาไปในชองวางระหวางเสนใยผา ซงจะเปนการยากเพราะเปนการเพมพ2นทผวของน2าเนองจากน2ามความตงผว ซงเราจะทาใหงายข2นโดยการลดความตงผวของน2าโดยใช สบ ผงซกฟอก หรอนาน2าไปตม

บทท 10 สมบตของสสาร 302

การซมตามรเลก(capillarity) เมอจมหลอดรเลก(capillary tube) ปลายเปดททาจากแกวลงในของเหลวบางชนด เชน น2า พบวาของเหลวน 2นจะข2นไปตามหลอดแกวรเลก และมระดบสงกวาระดบของน2าในภาชนะดงรปท 10.8 ก. γ θ h h′ W θ θ

ก. ข. รปท 10.8 ก. การซมตามรเลกของน2า ข. การซมตามรเลกของปรอท รปท 10.8 ข. เปนการจมหลอดรเลกลงบนปรอท ระดบปรอทในหลอดรเลกจะตากวาระดบปรอทขางนอก การอธบายปรากฏการณน2จะตองเขาในแรงทเกยวของคอ

1. แรงเชอมแนน(cohesive force) เปนแรงดงดดระหวางโมเลกลชนดเดยวกน 2. แรงยดตด(adhesive force) เปนแรงดงดดระหวางโมเลกลตางชนดกน

ในกรณทน2ากบแกวตามรปท 10.8 ก. หมายความวาแรงยดตดระหวางน2ากบแกวมคามากกวาแรงเชอมแนนระหวางน2ากบน2า ในขณะทรปท 10.8 ข ปรอทในหลอดรเลกมระดบตากวาเพราะแรงยดตดระหวางปรอทกบแกวมคานอยกวาแรงเชอมแนนระหวางปรอทกบปรอท ปรากฏการณน2เรยกวาการซมตามรเลก การคานวณหาคา ความสงของของเหลวทข2นไปตามหลอดรเลกใชสมการ

h = gr

cos2

ρθγ (10.16)

โดย θ คอ มมทเสนผวของของเหลวทากบหลอดแกวเรยกวามมสมผส(contact angle) γ คอความตงผวของของเหลว ρ คอความหนาแนนของของเหลว

บทท 10 สมบตของสสาร 303

ปรากฏการณการซมตามรเลก ทาใหกระดาษซบดดกลนน2า ทาใหข2ผ2งหลอมละลายไหลข2นไสเทยนไข เลอดถกขบผานหลอดเลอดแดงและหลอดเลอดดาในรางกายเรากใชปรากฏการณน2 และทสาคญคอการซมตามรเลกเปนปรากฏการณททาใหเลอดไหลผานในหลอดเลอดฝอย ความหนด(viscosity) ความหนดเปนสมบตของของไหลททาให วตถทเคลอนทในของไหลไดรบแรงตานการเคลอนท โดยแรงตานน2เกดจากแรงเชอมตดของโมเลกลของของไหล แรงตานเราจะเรยกวาแรงหนด(viscous forces) ผลของความหนดเปนสงสาคญของการไหลของของไหลทพบในชวตประจาวนเชน การไหลของเลอด การไหลของน2ามนหลอลนในเครองยนต เปนตน ถาวตถเคลอนทในของไหลอยางชาๆดวยอตราเรวคงท แรงหนด(Ff) ทเกดข2นจะแปรผนโดยตรงกบอตราเรวและมทศตานการเคลอนท ตามสมการ Ff = vηΚ (10.17) จากสมการท 10.17 คา Κ เปนสมประสทธ vทข 2นอยกบรปรางของวตถ เชน วตถรปรางเปนทรงกลมมคาเทากบ r6π η คอความหนดของของไหลมหนวยในระบบเอสไอเปน นวตน-วนาทตอตารางเมตรหรอ Ns/m2 และอกหนวยทนยมใชกนคอ หนวย ปวส(poise) ใชสญลกษณ P โดย 1 Ns/m2 = 10 P (10.18) สาหรบวตถรปทรงกลมรศม r ทเคลอนทในของไหลทมความหนด η ดวยอตราเรว v แรงหนดจะเปน Ff = rv6πη (10.19) สมการท 10.19 เรยกวากฎของสโตกส(Stokes law) เมอวตถเคลอนทในของไหลจากสาเหตของแรงภายนอกขนาด F แรงลพธทกระทาตอวตถมวล m คอ F – Ff ทาใหวตถเคลอนทดวยความเรง จากกฏขอสองของนวตน F – Ff = ma (10.20)

บทท 10 สมบตของสสาร 304

ในตอนเรมตนวตถจะเคลอนทดวยความเรง เพราะวา แรงหนดยงมคาไมมาก เมอเวลาผานไป แรงหนดจะมคาสงข2นตามความเรวทมากข2น จนกระท ง แรงหนดมคาเทากบแรงภายนอก น นคอดานซายมอของสมการท 10.20 จะเปนศนย วตถเคลอนทโดยมความเรวคงทหรอไมมความเรง ความเรวสดทายทวตถเคลอนทอยางคงทน2ใชสญลกษณ vt เรยกวา ความเรวปลาย(terminal velocity) ถาอณหภมของของไหลเปลยนไปจะทาใหความหนดเปลยนไปดวย เชน ในขณะทอากาศเยนรถทจอดไวเปนเวลานาน จะทาใหน2ามนเครองมความหนดสงไมไหลมายงหองเครอง แตถาเราตดเครองยนตทาใหเครองยนตรอนข2น ความหนดของน2ามนเครองจะมความหนดลดลงทาใหไหลมายงสวนกลไกทเคลอนไหวของเครองยนตไดสะดวก ตารางท 10.3 แสดงคาความหนดของของไหล ตารางท 10.3 ความหนดของไหลทอณหภมตางๆ

ของไหล อณหภม( C ) ความหนด( x 10- 3 Ns/m2)

น2า 0 1.8 น2า 20 1.0 น2า 100 0.3

เลอด 37 4 เมดเลอด 37 1.5

เอทนแอลกอฮอล 20 1.2 น2ามนเครอง 30 200 กลเซอรน 20 1500 อากาศ 20 0.018

ไฮโดรเจน 0 0.009 ไอน2า 100 0.013

ทมา ( Giancoli C. Douglas, 2000, p. 350)

บทท 10 สมบตของสสาร 305

ความเคน และ ความเครยด (stress and strain) ถาวตถไดรบแรงกระทา จะทาใหวตถมการเปลยนแปลงรปรางซงอาจจะเปลยนแปลงในลกษณะช วคราว หรอแบบถาวรกไดข2นอยกบสมบตของวตถน 2น ๆ ฉะน 2นการศกษาความสมพนธระหวางแรงกบการผดรปของวตถจงมประโยชน ในการเลอกวสดมาใชงานเฉพาะอยางไดด ความเคน(stress) เปนปรมาณทบอกถงขนาดของแรงทกระทาตอวตถใดๆ ซงอาจจะเปนการยด การบบอด หรอการบดตว ซงนยามของความเคนจะคานงถงแรงตอหนวยพ2นท อกปรมาณหนงทจะกลาวถงคอ ความเครยด(strain) เปนผลตามมาหลงจากทวตถไดรบความเคน คอการผดรป(deformation)ของวตถ ถาความเคนและความเครยดมขนาดไมมากคาความเคนจะแปรผนตรงกบความเครยดและเรยก คาคงทของการแปรผนน2วา มอดลสของความยดหยน

ความเครยดความเคน = มอดลสของความยดหยน

เราเรยกความสมพนธดงกลาวขางตนวา กฎของฮค(Hooke law) เพอเปนเกยรตแก Robert Hooke ผคนพบความสมพนธน2 1. ความเคนดงและความเครยดดง(tensile stress and tensile strain) การผดรปของวตถทงายทสดคอการยดของวตถเมอไดรบแรงกระทา จากรปท 10.9 แสดงแรงดงทกระทาตอพ2นทหนาตดของวตถ โดยแรงดงมทศต 2งฉากกบผวหนาตดของวตถ และถอวาแรงดงน2กระจายเทาๆกนท วท 2งพ2นทหนาตด F F รปท 10.9 ก. F ⊥F ⊥F F รปท 10.9 ข. รปท 10.9 แสดงแรงดงทพยายามดงวตถใหยดออก

บทท 10 สมบตของสสาร 306

จากรปท 10.9 ก. ออกแรง F ในทศต 2งฉากกบพ2นทหนาตด A ดงวตถใหยดออกท 2งสองดาน ถาจนตนาการวาตดวตถน2ไดเมอตดแลว จะมแรง ⊥F ดงวตถโดยกระจายเทาๆกนตลอดผวหนาดงรปท 10.9 ข. ความเคนดงนยามวา เปนอตราสวนของขนาดของแรง ⊥F ตอพ2นทภาคตดขวาง A

ความเคนดง = AF⊥ (10.21)

ความเคนเปนปรมาณสเกลารเพราะ ⊥F เปนเพยงขนาดของแรงเทาน 2น และมหนวยในระบบเอสไอเปน นวตนตอตารางเมตร(N/m2) หรอปาสคาล ความเครยดดงนยามวา คออตราสวนระหวางความยาวทเพมข2นตอความยาวเดม ความเครยดจงเปนปรมาณทกลาวถงการผดรปไปของวตถเมอทอไดรบแรงเคนดงรปท 10.10

ความเครยดดง = 0

0L-LL

= 0LL∆ (10.22)

L0 L∆ F F L รปท 10.10 การผดรปเมอวตถไดรบแรงเคน เนองจากความเครยดเกดจากการเปรยบเทยบรปรางทเปลยนไปตอรปรางเดม ความเครยดจงไมมหนวยแสดง และความยาวทยดออกน2จะยดออกตลอดท 2งแทงวตถไมใชยดออกเพยงดานใดดานหนงเทาน 2น ถาความเคนดงมคาไมมากอตราสวนระหวางความเคนดงตอความเครยดดงจะมคาคงทตามกฎของฮกสและเรยกคาคงทน2วา ยงมอดลส(young modulus)

บทท 10 สมบตของสสาร 307

Υ = ดงความเครยดงความเคนด

Υ = 0LL

AF/

/

∆⊥ = LA

LF 0

∆⊥ (10.23)

หนวยของยงมอดลสจะเปนหนวยเดยวกนกบหนวยของความเคนคอ จากสมการท 10.23 บอกใหทราบวาวสดใดมคา ยงมอดลสสงจะยดยากกวาวสดทมคายงมอดลสตากวา คายงมอดลสของความยดหยนของวสดตางๆแสดงในตารางท 10.4 ตารางท 10.4 มอดลสของความยดหยน

วสด ยงมอดลส (x1010 Pa)

บลคมอดลส (x1010 Pa)

เชยรมอดลส (x1010 Pa)

อะลมเนยม 7.0 7.0 3.0 ทองเหลอง 9.1 6.1 3.6 ทองแดง 11.0 14 4.2

แกวคราวน 5.5 3.7 2.3 เหลก 19.0 10 7.0 ตะก ว 1.6 0.77 0.56 นกเกล 21.0 26 7.7

เหลกกลา 20.0 16 8.4 ทงสะเทน 36.0 20.0 15.0

ทมา (Young D. Hugh, 1992, p.300) ในกรณตรงกนขามกบแรงดง ถาแรงทมากระทากบวตถจะทาใหวตถหดส 2นลง ความเคนจะเรยกวาความเคนอด(compressive stress)และความเครยดจะเรยกวาความเครยดอด(compressive strain)

บทท 10 สมบตของสสาร 308

ตวอยางท 10.5 แทงโลหะแทงหนงยาว 4.00 m มพ2นทหนาตด 0.50 cm2 ยดออกเปนระยะ 0.20 cm ภายใตแรงเคน 5000 N จงหาคายงมอดลสของแทงโลหะน2

วธทา จากสมการท 10.23 จะได Υ = 0LL

AF/

/

∆⊥ = LA

LF 0

∆⊥

Υ = m))(0.20x10m(0.50x10

m) (5,000N)(42-24- = 20x10 10 N/m2

ในบางกรณวตถถกกระทาดวยความเคนดงและความเคนอดในเวลาพรอมกน เชน คาน หรอสะพานแขวนจะแอนลงตรงกลางเพราะน2าหนกของตวเอง ผลคอดานบนอยในสภาพถกอด ขณะทดานลางอยในสภาพถกดง ดงรปท 10.11 ก. ถกอด ถกดง รปท 10.11 ก.

รปท 10.11 ข. รปท 10.11 แสดงวตถถกกระทาดวยความเคนดงและความเคนอด เพอทจะทาใหความเคนมขนาดเลกทสดซงจะสงผลใหความเครยดจากการโคงงอมขนาดนอยทสดดวย จงออกแบบคานใหมพ2นทดานบนและดานลางมพ2นทขนาดใหญ ไมมการอดหรอดงตรงเสนกลางคาน ดงน 2นสวนน2จงมภาคตดขวางเลกลงไดผลคอไดคานรปตวไอดงรปท 10.11 ข.

บทท 10 สมบตของสสาร 309

ความเคนและความเครยดเชงปรมาตร ลกษณะการเปลยนแปลงรปรางของวตถเมอไดรบแรงกระทา อาจจะเปลยนไปท 2งปรมาตรเชนในกรณ วตถจมในน2ายอมไดรบแรงดนในทศต 2งฉากกบผววตถจากน2ากระทาตอผวของวตถทกทศทกทาง เมอลกโปงจมอยในน2าปรมาตรของลกโปงยอมเลก ความเคนทพยายามเปลยนปรมาตรวตถน2เรยกวาความเคนเชงปรมาตร ในกรณน2เราถอวาความเคนซงเปนอตราสวนของแรงตอพ2นทคอความดนทกระทาตอวตถน นเอง ความดนจงมบทบาทเปนความเคนเชงปรมาตร ความเครยดทเกดจากความเคนเชงปรมาตรคออตราสวนของปรมาตรทเปลยนไปตอปรมาตรเดม

ความเครยดเชงปรมาตร = 0VV∆ (10.24)

ความดนทเพมข2นทาใหเกดความเครยดเชงปรมาตร อตราสวนของความดนทเพมข2นตอความเครยดเชงปรมาตรจะเปนมอดลสของความยดหยน เรยกวามอดลสเชงปรมาตรหรอ บลคมอดลส(bulk modulus)ใชสญลกษณ Β

Β = - )0V/V(

P∆∆ (10.25)

หนวยของบลคมอดลสมหนวยเดยวกบหนวยของความดนคอ นวตนตอตารางเมตรหรอปาสคาล เครองหมายลบหมายถง ขณะทความดนเพมข2นการเปลยนแปลงปรมาตรจะเปลยนแปลงในทางทลดลงซงตรงกนขามกน ตวอยางท 10.6 ตวอยางน2ามนตวอยางหนง เดมมปรมาตร 600 cm3 ตอมาไดรบความดนเพมข2น 3.6 x 106 Pa พบวาปรมาตรของน2ามนลดลงเทากบ 0.45 cm3 จงหาบลคมอดลสของน2ามนน2 วธทา จากสมการท 10.25 จะได

Β = - )

33

6

cm /600cm (-0.45Pa 3.6x10

Β = 4.8 x 109 Pa

บทท 10 สมบตของสสาร 310

3. ความเคนเฉอนและความเครยดเฉอน ความเคนเฉอนเกดจากการทวตถไดรบแรงเฉอนมผลทาใหวตถมการบดหรอการผดรปของวตถ เรานยามความเคนเฉอนวาเปนอตราสวนของแรงทขนานในแนวสมผสกบผวตอพ2นท ซงแรงน 2นกระทา

ความเคนเฉอน = AF// (10.26)

พจารณาวตถในรปท 10.12 ไดรบแรงเฉอนกระทา ทผวดานบน A ทาใหวตถเบไปทางขวาเปนระยะ x∆ F x∆ A

L0 F รปท 10.12 วตถไดรบความเคนเฉอนทาใหรปรางเปลยนไป ความเครยดเฉอนนยามจากสมการ

ความเครยดเฉอน = 0Lx∆ (10.27)

ถาแรงเฉอนมคานอยๆ ตามกฎของฮค ความเครยดเฉอนจะเปนปฏภาคโดยตรงกบความเคนเฉอน คาคงทของการแปรผนเรยกวามอดลสเฉอน หรอ เชยรมอดลส(shear modulus) ใชสญลกษณ S S =

S = 0x /L

AF//∆/

= x)A( )(LF 0//

∆ (10.28)

ความเคนเฉอน

ความเครยดเฉอน

บทท 10 สมบตของสสาร 311

ตวอยางท 10.7 แผนทองเหลองรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 600 mm และหนา 6 mm ดงรปท 10.13 จงหาแรง F ทใชแตละดานเพอดงแผนทองเหลองใหมระยะกระจด x∆ = 0.25 mm กาหนดใหเชยรมอดลสของทองเหลอง 0.36 x 10 11 Pa x∆ F 600 mm รปท 10.13 แผนทองเหลองไดรบแรงเฉอน วธทา

ความเคนเฉอน = m) m)(0.006 (0.6F// = 2

//

m 0.0036F

ความเครยดเฉอน = m) (0.6m)(0.25x10 3 -

= 4.17 x 10- 4

S = 2//

m 0.0036F

x 4-4.17x101 = (0.36 x 1011 N/m2)

//F = 5.4 x 104 N สภาพยดหยนและสภาพพลาสตก(elasticity and plasticity) กฎของฮคหรอกฏการแปรผนตรงระหวางความเคนกบความเครยดมชวงจากดการใชงาน เชน ถาเราดงหรอบดงอวตถดวยแรงมากพอ วตถน 2นจะโคงงอหรอหก จนไมสามารถกลบคนสสภาพเดมไดเมอหยดออกแรง ถาเราพจารณาความเคนดงทกระทาตอลวดโลหะยาว และนามาเขยนกราฟระหวางความเคนและความเครยด พบวาในกรณทความเคนแปรผนตรงกบความเครยดซงเปนไปตามกฎของฮค จะไดกราฟเสนตรง จากรปท 10.14 คอกราฟในชวง 0 ถง A

F

บทท 10 สมบตของสสาร 312

ความเคน B A C O ความเครยด รปท 10.14 แสดงตาแหนงขดจากดความยดหยน จด A ซงเปนจดสดทายทเปนไปตามกฎของฮค ตาแหนง A จะเรยกวาขดจากดความยดหยนหรอจดคราก(yield point) เลยจด A ออกไป ความเคนมคามาก วสดจะยดออกมากวาปกตจงไดกราฟไมเปนเสนตรงและเรยกวตถทมพฤตกรรมเปนไปตามกฎของฮควาวตถมสมบตสภาพยดหยน แตถาเลยจด A สาหรบจดทเลยจด A ออกไปจะเรยกวาวตถมสมบตสภาพพลาสตก และจดสดทาย C เราจะเรยกวาจดแตกหก

สรป 1. ความหนาแนนของวตถ คออตราสวนระหวางมวลตอปรมาตรของวตถน 2น

ρ = Vm

2. ความดนในของไหล เปนอตราสวนระหวางแรงทต 2งฉากกบพ2นทตอขนาดของพ2นทน 2น

P = AF⊥

3. ความดนในของเหลวทระดบความลก h จากผวบนเรยกวาความดนเกจมคาเทากบ Pg = ghρ 4. ความดนสมบรณคอ ความดนเกจรวมกบความดนบรรยากาศ

P = Pg + Pa

5. แรงลอยตว เปนแรงทเกดจากของไหลมขนาดเทากบน2าหนกของของเหลวทถกแทนทโดยวตถสวนทจมในของไหล

บทท 10 สมบตของสสาร 313

6. ความตงผว เปนแรงทเกดข2นทผวบนของของเหลวทพยายามยดโมเลกลของของเหลวไว มสมการเปน

γ = 2L

F

7. ปรากฏการการซมตามรเลก เปนปรากฏการณทเมอเราจมหลอดแกวทมพ2นทหนาตดเลกๆลงในของเหลวแลวจะทาใหระดบของของเหลวในหลอดแกวกบระดบของเหลวภายนอกไมเทากนมสาเหตมากจากแรงยดตดกบแรงเชอมแนนไมเทากน 8. ความหนด เปนสมบตของของเหลวทจะตานการเคลอนทของวตถในของเหลวน 2น เรา สามารถหาความหนดในรปของแรงหนดคอ Ff = vηΚ 9. ความเคน คออตราสวนของแรงทกระทาตอวตถตอพ2นททแรงกระทา 10. ความเครยดหมายถง อตราสวนระหวางการเปลยนแปลงรปรางตอรปรางเดมหลงจากท วตถมความเคน 11. กฎของฮคกลาววา ภายใตขดจากดความยดหยน อตราสวนระหวางความเคนตอ ความเครยดมคาคงท เรยกคาคงทน2วา มอดลสของความยดหยน 12. สภาพยดหยนคอวตถทเปนไปตามกฏของฮค สภาพพลาสตกคอวตถทไดรบแรงเคนแลวไมเปนไปตามกฏของฮค

บทท 10 สมบตของสสาร 314

แบบฝกหดบทท 10

1. ทอณหภม C20 และความดน 1 บรรยากาศ อากาศมความหนาแนน 1.20 kg/m3 จงหาคามวลของอากาศในหองทมปรมาตร 4.5 m x3.5 mx3.0 m ทอณหภมและความดนเดยวกน 2. ดวงจนทรมรศม 1740 m และมมวล 7.35 x 1022 kg ดวงจนทรมความหนาแนนเฉลยเทาใด 3. ถงใบหนงมช 2นน2ามนหนา 0.120 m ลอยอยบนน2าซงลก 0.250 m ถาน2ามนมความหนาแนน 600 kg/m3 จงหา ก.ความดนเกจทรอยตอระหวางน2ามนกบน2า ข. ความดนเกจทกนถง 4. หลอดแกวรปตวยปลายเปดสองขางมน2าบรรจอยแตขาขางหนงของหลอดแกวมช 2นของน2ามนลอยอยเหนอผวน2าโดยไมผสมกนดงรปท 10.15 ถาท 2งน2ามนและน2าอยในสภาพสมดลจงหาความหนาแนนของน2ามน น2ามน 9.41 cm 27.2 cm น2า รปท 10.15 แบบฝกหดขอ 4 5.แผนน2าแขงแผนหนงลอยอยในทะเลน2าจด แผนน2าแขงตองมปรมาตรอยางนอยทสดเทาใดจงจะทาใหหญงสาวมวล 45.0 kg ยนอยขางบนไดโดยเทาไมเปยกน2า 6. จงหาความดนเกจในหนวยปาสคาลในฟองสบเสนผาศนยกลาง 3.00 cm ความตงผวมขนาด 25.0 x 10- 3 N/m

บทท 10 สมบตของสสาร 315

7. นกธรณวทยาพบวาหนจากดวงจนทรซงมมวล 7.85 kg แตเมอนากอนหนไปอยในน2าใหจมมดท 2งกอนวดมวลได 6.18 kg จงหาความหนาแนนของกอนหน 8. กอนไมรปลกบาศกซงมดานยาวดานละ 100 mm ลอยอยทรอยตอระหวางน2ามนและน2า ผวลางของไมอยตากวารอยตอ 1.50 cm ดงรปท 10.16 น2ามนมความหนาแนน 790 kg/m3 จงหาวากอนไมมมวลและความหนาแนนเทาใด น2ามน 100 mm กอนไม น2า 100 mm รปท 10.16 แบบฝกหดขอ 8 9. วงแหวนรศม 14 เซนตเมตร มมวลนอยมาก วางลอยอยบนผวของเหลวทมคาความตงผว 0.05 นวตนตอเมตร แรงตงผวนอยทสดทพอดดงวงแหวนใหลอยจากผวของเหลวเปนเทาใด 10.เมอจมหลอดแกวรเลกรศม 0.2 mm ลงในน2าทมความตงผว 72.8 x10 -3 N/m ทาใหมมมสมผสเปน 60 องศา จงหาวาความสงของน2าทข2นไปตามหลอดแกวมคาเทาใด 11.อตราเรวของทรงกลมอะลมเนยมรศม 2.00 mm ในน2ามนละหงทอณหภม C20 ตองมคาเทาใด จงจะทาใหแรงหนดตานการเคลอนทมขนาดเปนหนงในสของน2าหนกทรงกลม ความหนดของน2ามนละหงทอณหภมน2มคาเทากบ 9.86 ปวส 12. เชอกไนลอนเสนหนงทนกปนเขาใชยดออก 1.10 m ภายใตน2าหนกของตวนกปนเขาซงมมวล 65.0 kg ถาเชอกยาว 45.0 m และมเสนผาศนยกลาง 7.0 mm จงหามอดลสของความยดหยนของเชอก 13. มแรงเฉอนกระทาทกอนสเหลยมแขงกอนหนง แรงชดเดยวกนน2กระทากบกอนสเหลยมอกกอนหนงซงทาจากวสดเดยวกนแตวามความยาวแตละดานเปนสามเทา ในแตละกรณมแรงขนาดเลกพอททาใหใชกฎของฮคได จงหาอตราสวนความเครยดเฉอนสาหรบวตถกอนใหญตอความเครยดแอนของวตถกอนเลก 14.สายเคเบลเหลกกลาเสนหนงมพ2นทหนาตด 3.00 cm2 มขดจากดสภาพยดหยน เทากบ 2.4 x 108 Pa จงหาความเรงในแนวข2นสงสดทลฟตมวล 1200 kg ซงถกดงดวยสาย เคเบลน2จะมไดถาความเคนมคาไดไมเกนหนงในสามของขดจากดสภาพยดหยน

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร

ในการดารงชวตของมนษย อณหภมของอากาศมสวนเกยวของกบวถความเปนอยอยางมาก เชนถาอากาศรอนอบอาว มนษยจะตองปรบตวโดยการสวมใสเส*อผาบางๆ หรอวนทมอากาศหนาวเยนถามนษยไมปรบตวโดยสวมใสเส*อผาหนาๆกอาจจะเปนอนตรายตอสขภาพได นอกจากน*ความรอนยงมบทบาทในดานอนๆอกมากไมวาจะเปนการทาใหสสารเปลยนรปรางและเปลยนสถานะ ในบทน*จะกลาวถง ปรมาณความรอนและอณหภมกบการเปลยนแปลงของสสาร การวดปรมาณความรอน สมมลกลความรอน งานทางอณหพลศาสตร กฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบกระบวนการตางๆ อณหภมและกฎขอทศนยของอณหพลศาสตร(temperature and the zero law of thermodynamic) เมอเราสมผสกบวตถใดๆ เราจะมความรสกวามวตถบางช*นรอน วตถบางช*นเยน ความรสกน*ถกเชอมโยงกบคาวาอณหภม(temperature) เราเรยกวตถทรอนวามอณหภมสง และวตถทเยนวา อณหภมตา ดงน *นอณหภมจงเปนตวบอกระดบความรอนในวตถ แตความรสกของมนษยกไมใชเครองมอทมาตรฐานสาหรบการวดอณหภมเชนถาเราใชมอจบถาดโลหะทดานบนมถงพลาสตกใสผกวางอยออกจากชองแชแขงในตเยน มอทเราจบถาดโลหะจะเยนกวามอทเราจบถงพลาสตกท *งๆทถาดโลหะและถงพลาสตกมอณหภมเทากน ทเปนเชนน*เพราะโลหะนาความรอนไดดกวาพลาสตก ดงน *นเราจะตองหาเครองมอวดอณหภมทถกตองและเชอถอไดแทนการใชความรสกซงไมมาตรฐาน เครองมอชนดหนงทใชวดอณหภมและนยมใชกนมากคอ เทอรโมมเตอร(thermometer) เมอระบบสองระบบทมอณหภมตางกนมาสมผสกนและใหสมผสกนตลอดเวลา จะเกดการถายเทความรอนหรอแลกเปลยนพลงงานจากระบบทมอณหภมสงกวา ไปสระบบทมอณหภมตากวา จนกระท งระบบท *งสองมอณหภมเทากนซงจะเรยกวาอณหภมผสม กจะหยดการถายเทความรอนเรยกวาระบบอยในสมดลความรอน (liquid equilibrium) โดยอณหภมผสมจะมอณหภมอยระหวางอณหภมเดมของระบบท *งสอง วตถท *งสองทกาลงอยในสภาวะแลกเปลยนความรอนกนอยน* เรยกวาอยในสภาวะสมผสความรอนซงกนและกน(thermal contact)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 318

สมมตวาวตถ A และ B ขณะเรมตนยงไมสมผสความรอนกน และวตถ C เปนวตถทสามในทน*คอเทอรโมมเตอร ถาเราอยากทราบวาวตถ A และ B อยในสมดลความรอนกนหรอไม ถาเอาวตถ C มาสมผสความรอนกนกบวตถ A จนกระท งอยในสมดลความรอนกน ซงขณะน*เทอรโมมเตอร C จะอานอณหภมไดคาคาหนงแลวบนทกไว จากน *นแยก A และ C ออกจากกน ปลอยใหเวลาผานไปจนกระท ง C กลบมาอยในสภาวะเดมเหมอนกบทยงไมสมผสความรอนกบ A แลวจงนา C มาสมผสความรอนกบ B จนกระท งอยในสมดลความรอนกน แลวบนทกอณหภมทวดจากเทอรโมมเตอร C อกคร *งหนง ถาอณหภมทบนทกไดท *งสองคร *งเทากน แสดงวา A และ B อยในสมดลความรอนกน ผลทไดน*จะเรยกวา กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร คอ ถาวตถ A และ B ซงตางกมสมดลความรอนกบวตถ C ดงน *นวตถ A และ B จะมสมดลความรอนซงกนและกน ดงน *นอณหภมจงเปนเครองช*บอกระดบความรสกวารอนมากหรอรอนนอย อณหภมไมใชเครองช*บอกวาวตถมพลงงานความรอนมากหรอพลงงานความรอนนอย เชนวตถทมอณหภมสงอาจจะม ปรมาณความรอนทสะสมอยในเน*อวตถของมนนอยกวาวตถทมอณหภมตากวากไดเมอนามาสมผสความรอนกน จะมความรอนถายเทจากวตถทมอณหภมสง(พลงงานความรอนนอยกวา)ไปยงวตถทมอณหภมตากวา(พลงงานความรอนมากกวา)เสมอ ในการวดอณหภมของวตถตางๆ นกวทยาศาสตรจะสรางเทอรโมมเตอรชนดตางๆข*นมาโดยอาศยสมบตของระบบทนามาสรางเปนเทอรโมมเตอรทแปรตามความรอนและความเยนเชน ระบบมการขยายตวเมอไดรบความรอน หลกการน*นามาสรางเปนเทอรโมมเตอรแบบแทงยาวโดยมกใชปรอทหรอของเหลวทมสบรรจในหลอดแกวสมาเสมอ ดงแสดงในรปท 11.1 เมอระบบรอนข*นของเหลวจะขยายตวทาใหมระดบสงข*นในหลอดคาความยาว L จะเพมข*น ระบบทงายอกระบบหนงคอ กาซในสถานะปรมาตรคงตว ดงรปท 11.2 ความดน P จะเพมหรอลดตามอณหภมของกาซในถงซงจะวดอณหภมในรปของความดน วธวดอณหภมอกแบบหนงคอการวดในรปของความตานทานไฟฟาของลวดตวนา โดยมหลกการวาลวดตวนาเมอมอณหภมเปลยนไปความตานทานไฟฟากจะแปรคาตามไปดวยเรยกเทอรโมมเตอรแบบน*วาเทอรมสเตอร(thermistor) ทกลาวมาท *งหมดเปนเทอรโมมเตอรทใชวดอณหภมเมอวดจะตองใชเครองมอวดสมผสกบแหลงความรอนหรอวตถรอนโดยตรง ยงมเครองมออกชนดหนงทเมอวดอณหภมจะไมสมผสกบแหลงความรอน แตใชหลกการวดจากการแผรงสความรอนเรยกเครองมอแบบน*วา เทอรโมไพล(thermopile) ในบทน*จะกลาวถงเทอรโมมเตอรแบบบรรจดวยของเหลวเทาน *น

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 319

หลอดรเลก L ผนงแกวหนา ระดบศนย กระเปาะบรรจของเหลว รปท 11.1 เทอรโมมเตอรภายในบรรจของเหลว เกจวดความดนในรปของอณหภม ถงบรรจกาซปรมาตรคงท รปท 11.2 ระบบทอณหภมถกกาหนดดวยความดน การกาหนดสเกลของเทอรโมมเตอรแบบบรรจดวยของเหลวนยมใชจดเยอกแขงและจดเดอดของน*าเปนตวกาหนด โดยการนาเทอรโมมเตอรไปสมผสความรอนกบน*าทมอณหภมทจดเยอกแขงและน*าทมอณหภมทจดเดอด เชนถาเปนระบบองศาเซลเซยสจดเยอกแขงจะเปนตาแหนงศนยองศาเซลเซยสและจดเดอดจะเปน 100 องศาเซลเซยสและระหวางจดเดอดกบจดเยอกแขงจะแบงออกเปนรอยชองแตละชองเรยกวา 1 องศาเซลเซยส เทอรโมมเตอรทบรรจของเหลวเชน ปรอท หรอแอลกอฮอลมขอบกพรองคอมขดจากดการวดอณหภมในชวงหนงๆเทาน *น เชนเทอรโมมเตอรปรอทไมสามารถวดอณหภมทตากวา-39 องศาเซลเซยสไดเพราะปรอทจะแขงตว หรอเทอรโมมเตอรแบบบรรจแอลกอฮอลไมสามารถวดอณหภมทสงกวา 85 องศาเซลเซยสไดเพราะแอลกอฮอลจะเดอดกลายเปนไอกอน เพอกระจดอปสรรคดงกลาว จงตองสรางเทอรโมมเตอรทใชวดอณหภมในชวงทกวาง

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 320

มากๆ ซงอาศยสมบตของกาซทมหลกการวา เมอปรมาตรของกาซคงท ความดนของกาซจะแปรตามอณหภม ดงรปท 11.3 P กาซ A กาซ B -273.15 C กาซ C -200 -100 0 100 200 300 T( )C

รปท 11.3 ความสมพนธระหวางความดนและอณหภมของกาซ เมอปรมาตรคงท จากรปท 11.3 กาซทกชนดเมอลดอณหภมลงความดนของกาซจะลดลงและความดนจะลดลงเปนศนยเมออณหภมลดลงเปน -273.15 องศาเซลเซยส กาหนดใหจดน*เปน ศนยองศาสมบรณจะไดหนวยสาหรบอณหภมใหมเรยกวาหนวยสมบรณหรอหนวยเคลวน(kelvin)โดยมสเกลขนาดเดยวกนกบองศาเซลเซยสและมความสมพนธเปน T(K) = t ( C ) +273.15 เพอความสะดวกในการคานวณเราจะตดสวน 0.15 ออกไปสมการทขางบนจะได T(K) = t ( C ) +273 (11.1) ยงมเทอรโมมเตอรทแบงสเกลอกแบบหนงคอ เทอรโมมเตอรสเกลฟารเรนไฮต( F ) นยมใชในสหรฐอเมรกา โดยกาหนดอณหภมเยอกแขงของน*าท 32 F และจดเดอดท 212 F และระหวางจดเยอกแขงและจดเดอดแบงออกเปน 180 ชอง โดยมความสมพนธระหวางอณหภมในระบบเซลเซยสกบระบบฟารเรนไฮตเปน

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 321

T( F ) = C)t 59

( +32 (11.2)

ตวอยางท 11.1 ถาวดอณหภมของอากาศได 86 องศาฟารเรนไฮ จะวดเปนองศาเซลเซยสและเคลวนไดเทาใด วธทา จากสมการท 11.2 จะได

t )C( = 9

5 (86 - 32 )

= 30 องศาเซลเซยส การขยายตวตามอณหภมของของแขง เมอสสารไดรบความรอนจะทาใหเกดการขยายตว ทาใหมความยาว,พ*นทหรอปรมาตรเปลยนไปจากเดม ในทน*จะพจารณาเฉพาะของแขงและของเหลว เพราะกาซจะมปรมาตรไมแนนอนข*นอยกบภาชนะทบรรจกาซ 1. การขยายตวตามยาว สมมต ณ อณหภม T0 ของแขงมความยาว L0 แตเมออณหภมเพมข*นเปน T ของแขงมความยาวเปน L การเปลยนแปลงอณหภมน*มคาไมเกน

C100 ความสมพนธระหวางความยาวทเพมข*นกบอณหภมทเพมข*นมคาเปน

L∆ = tL0∆α (11.3) โดย ความยาวทเปลยนแปลง L∆ = L - L0 อณหภมทเปลยนแปลง T∆ = T - T0 สมการท 11.3 จะเปน L - L0 = )T - (TL 00α L = L0 T) (1 ∆α+ (11.4) α เรยกวาสมประสทธ fการขยายตวตามเสน(coefficients of linear expansion)ของของแขงมคาคงทสาหรบของแขงแตละชนด ดงแสดงในตารางท 11.1

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 322

ตารางท 11.1 สมประสทธ fการขยายตวตามเสนของของแขง

ของแขง α1 -

C)( (x10-5) ของแขง α

1 -C)( (x10-5)

อะลมนม 2.4 อนวาร* 0.09 ทองเหลอง 2.0 ควอตซ(หลอมละลาย) 0.04 ทองแดง 1.7 เหลกกลา 1.2

แกว 0.4-0.9 * อนวาร เปนโลหะผสมระหวางนเกลกบเหลก ทมา( Young D. Hugh, 1992, p. 421) 2. การขยายตวตามพ@นท วตถทมขนาดเมอไดรบความรอนจะขยายตวทกทศทกทาง(ยกเวนสารบางชนด เชน แคลไซต(CaCO3)) การขยายตวน*จะไมขยายเพยงดานใดดานหนงหรอสวนใดสวนหนงแตจะขยายออกทกๆสวน เชน วตถรปสเหลยมมมฉากแบนกวาง a ยาว b เมออณหภมเพมข*น T∆ ดานกวางจะเปน a a ∆+ และดานยาวเปน b b ∆+

ดงน *นพ*นทใหมจะเปน A = ( a a ∆+ )( b b ∆+ ) A = ab + ba ab ba ∆∆∆∆ ++ จากสมการท 11.3 จะได a∆ = Ta∆α และ b∆ = Tb∆α A = ab + a( Tb∆α ) + b( Ta∆α )+ 22 Tab∆α = ab + ab T)(2 ∆α + ab 2T)( ∆α A = ab(1 + )TT2 22∆α+∆α คา 22 T∆α มคานอยมากสามารถตดท*งได จงได A = ab(1+ T)2 ∆α แต ab คอพ*นทเดมขณะยงไมไดรบความรอน ใหเทากบ A0 A = A0(1+ T)2 ∆α ให β เปนสมประสทธ fการขยายตวตามพ*นท โดย β = 2α (11.5)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 323

ดงน *น A = A0(1+ T)∆β (11.6) 3. การขยายตวตามปรมาตร ในทานองเดยวกนกบการขยายตวเชงพ*นท เราจะไดวา V = V0(1+ T)∆γ (11.7) เมอ V และ V0 เปนปรมาตรของของแขงเมอไดรบความรอนแลวและยงไมไดรบความรอนตามลาดบ γ เรยกวา สมประสทธ fการขยายตวเชงปรมาตรมคาเปน γ = 3α (11.8) จากคณสมบตทโลหะแตละชนดมสมประสทธ fการขยายตวตามเสนไมเทากน ไดนาหลกการน*ไปใชสรางเครองมอสาหรบตดวงจรไฟฟาอตโนมต ในวงจรไฟฟาภายในบานหรอในเตารดซงเรยกวา เทอรโมสแตต(thermostat) สมประสทธ fการขยายตวเชงปรมาตรของของแขงและของเหลวแสดงในตารางท 11.2 ตารางท 11.2 สมประสทธ fการขยายตวเชงปรมาตรของของแขงและของเหลว

ของแขง (/kelvin)β ของเหลว (/kelvin)β อะลมนม 7.2 x10-5 คารบอนไดซลไฟต 115 x10-5

ทองเหลอง 6.0 x10-5 เอธานอล 75 x10-5 ทองแดง 5.1 x10-5 กลเซอรน 49 x10-5

แกว 1.2 - 2.7 x10-5 ปรอท 18 x10-5 อนวาร 0.27 x10-5

ควอตซ(หลอมละลาย) 0.12 x10-5 เหลกกลา 3.6 x10-5

ทมา( Young D. Hugh, 1992, p. 421)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 324

ตวอยางท 11.2 สะพานเหลกถกสรางข*นในฤดรอนอณหภม 37 องสาเซลเซยส ขณะทกาลงกอสรางอยน *นสะพานมความยาว 100 เมตร ความยาวของสะพานจะเปนเทาใดเมอถงฤดหนาวทมอณหภม 13 องศาเซลเซยส วธทา จากสมการท 11.4 L = L0 T) (1 ∆α+ จะได L∆ = T)L

0∆α

= (100 m)(1.2x10- 5(13 – 37) L - 100 = - 28.8 x 10 – 3 = -0.0288 m L = 99.97 m ปรมาณความรอน(quantity of heat) ความรอนหมายถงพลงงานในระหวางการถายโอนจากวตถหนงไปยงอกวตถหนงอนเนองมาจากมอณหภมตางกน พลงงานความรอนสามารถเปลยนไปเปนพลงงานรปอนไดตามหลกการอนรกษพลงงาน ความเขาใจเกยวกบความสมพนธระหวางความรอนและพลงงานในรปอนปรากฏในศตวรรษทสบแปดและสบเกา เมอ เซอร เจมส จล(Sir James Joule) ศกษาวธทาใหน*าอนโดยการคนน*าอยางแรงดวยไมพายหมน จลพบวาอณหภมของน*าทเพมข*นแปรผนตรงกบปรมาณงานททา ดงรปท 11.4

เทอรโมมเตอร m น*า พาย รปท 11.4 การทดลองของ จล

จากรปท 11.4 เมอปลอยใหมวล m ตกลงมาในแนวดงจะทาใหเกดงานเนองจากแรงน*าหนก ของมวล m เคลอนทลงมายงพ*นในแนวดง งานน*จะไปทาใหพายหมนน*าในกระบอกทาใหน*าในกระบอกมอณหภมสงข*น น นคอเปนการเปลยนรปของพลงงานกลไปเปนพลงงานความรอน นอกจากน*จลยงไดแสดงการเปลยนแปลงพลงงานรปอนอก

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 325

หลาย ๆ วธ เชน การทาใหเกดความรอนโดยการกวนปรอท การขดสกนระหวางวงแหวนเหลกในอางปรอท การเปลยนพลงงานไฟฟาเปนพลงงานความรอนโดยการจมลวดทมกระแสไฟฟาผานลงในน*า เปนตน ซงการทดลองของจลจะเรยกวาสมมลกลของความรอน(mechanical equivalent of heat) และไดขอสรปวาพลงงานความรอน 1 kcal เทากบ 4186 จล ปรมาณความรอนนยมใชหนวยเปนแคลอร (calorie) ใชสญลกษณ cal หรอ กโลแคลอร ( kilocalorie ) ใชสญญาลกษณ kcal โดยท 1 kcal = 1000 cal นยามปรมาณความรอน 1 กโลแคลอร คอปรมาณความรอนททาใหน*า 1 กโลกรม ทอณหภม 14.5 องศาเซลเซยส มอณหภมเพมข*นเปน 15.5 องศาเซลเซยส

ในทางวศวกรรม นยมวดปรมาณความรอนเปน Btu (ยอมาจากคาวา British Thermal Unit )ซงนยามวาปรมาณความรอน 1 Btu คอปรมาณความรอนททาใหน*า 1 ปอนด ท อณหภม 63 องศาฟาเรนไฮต มอณหภมเพมข*นเปน 64 องศาฟาเรนไฮต

1 Btu = 252 cal (11.9)

ในระบบเอสไอ ปรมาณความรอนถอวาเปนพลงงานอยางหนงโดยมหนวยเปนจลซง 1 cal = 4.18 J (11.10)

ความจความรอนจาเพาะ(specific heat capacity) ความจความรอน ( heat capacity ) หมายถง ปรมาณความรอนททาใหวตถมอณหภมเปลยนไปหนงหนวยองศา

C = T

Q

∆∆

(11.11)

โดยท C เปนความจความรอนของวตถ Q∆ เปนปรมาณความรอนทใหกบวตถ T∆ เปนอณหภมทเปลยนไปของวตถ

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 326

4200

4190

4180

4210

4220

ความรอนจความรอนจาเพาะ หมายถงความจความรอนตอหนงหนวยมวลของวตถ หรอ หมายถงปรมาณความรอนททาใหวตถหนงหนวยมวลมอณหภมเปลยนไปหนงหนวยองศา

c = mC =

TmQ∆∆ (11.12)

โดยท c เปนความรอนจาเพาะของวตถ

m เปนมวลของวตถ หนวยของความจความรอนจาเพาะในระบบเอสไอเปนจลตอกโลกรมเคลวน หรอ

J/kgk คาความจความรอนจาเพาะของวตถแตละชนดจะมคาไมคงทข*นอยกบระดบอณหภม

ต *งตนและชวงอณหภมเสมอ ดงตวอยางในรปท 11.5 แสดงการแปรผนดงกลาวสาหรบน*า c (J/kgK) 0 20 40 60 80 100 T( C)

รปท 11.5 ความจความรอนจาเพาะของน*าในรปฟงกชนของอณหภม

คาของ c แปรไปนอยกวา 1% ระหวาง C100 และ C0

ทมา ( Young D” Hugh , 1992, p.426 ) จากสมการท 11.12 จะหาคาความรอนจาเพาะของวตถทอณหภมใด ๆ ไดวา

c = mdtdQ (11.13)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 327

น นคอจะสามารถหาคาปรมาณความรอน Q ทจะทาใหวตถมวล m ทมความรอนจาเพาะ c เพออณหภมจาก

iT ไปเปน

fT ไดวา

Q = m ∫f

i

T

T

cdT (11.14)

c ซงเปนฟงกชนของอณหภม โดยท วไปแลวในชวงอณหภมปกตจะมการเปลยนแปลงของ c นอยมาก ในทางปฏบตจงอาจประมาณไดวา c มคาคงตว ตวอยางท 11.3 ในชวงทมไขหวดใหญระบาด ชายคนหนงมมวล 80 kg เปนไขทาให

รางกายของเขามอณหภมสงกวาปกต 2.0 C สมมตวารางกายคนสวนใหญเปนน*า จะตอง

ใชความรอนเทาใดในการเพมอณหภมรางกายของเขาข*นขนาดน *น (คนปกตมอณหภม 37 C

) วธทา อณหภมทเปลยนไปคอ T∆ = 39.0 C

- 37.0 C = 2.0 C

เนองจากสเกลอณหภมของเซลเซยสและเคลวนอยในสเกลเดยวกนน นคอ T∆ = 2.0 K จากสมการท 11.12 จะได Q∆ = (80 kg)(4190 J/kgK)(2.0K) = 6.7 x 105 J และเนองจากการใหความรอนแกวตถจะมผลตอการเปลยนแปลงของวตถสองอยางคอ การเปลยนแปลงความดนและปรมาตร ดงน *นการพจารณาความจความรอนจาเพาะของวตถจะตองกาหนดเงอนไขใหชดเจน ซงจะพจารณาความจความรอนจาเพาะของวตถไดเปนสอง แบบ คอ ความรอนจาเพาะเมอความดนคงตว )

p(c และความจความรอนจาเพาะ

เมอปรมาตรคงตว )V

(c ความจความรอนจาเพาะทกลาวมาแลวน*เปนการพจารณา คาความจความรอนตอหนงหนวยมวลของสาร ยงมความรอนจาเพาะอกแบบหนง คอ คาความรอนตอหนงหนวยโมเลกลของสาร เรยกวา ความจความรอนโมลาร ( molar heat capacity ) เพราะวาในบางคร *งการบอกปรมาณสารในรปจานวนโมล n แทนมวล m ของวตถกเปนสงทสะดวกกวา กาหนดให M เปนนาหนกโมเลกลของสารหมายถงมวลของสารน *นตอโมลในบางคร *งจงเรยก M วามวลโมลาร เชน มวลโมลารของน*าคอ 18.0 g/mol หมายความวาน*า 1 โมลมมวลเทากบ 18.0 กรม ถา m คอมวลท *งหมดของสาร และ n คอจานวนโมลของสารน *นจะได

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 328

m = nM (11.15) แทนคาในสมการท 11.12 จะได Q∆ = nMc T∆ (11.16) เราเรยก Mc วาความจความรอนโมลาร แทนดวย cM น นคอสมการท 11.16 จะเปน Q∆ = ncM T∆ (11.17) ตวอยางเชนความจความรอนโมลารของน*าเปน cM = (0.0180 kg/mol)(4190 J/kgK) = 75.4 J/molK ความจความรอนโมลารสาหรบธาตทเปนของแขง สวนใหญมคาประมาณ 25 J/molK ดงแสดงในตารางท 11.3 ความสมพนธน*เรยกวากฎของดลองและเปต(Dulong and Petit Law) น นคอแมวามวลอะตอมของธาตเหลาน*จะแตกตางกนมาก ถาตองการเพมอณหภมข*นเทากนจะตองใชความรอนเทากน ตารางท 11.3 ความจความรอนจาเพาะ(c) และความจความรอนโมลาร(cM)ของสาร

สาร c(J/kgK) M(kg/mol) CM(J/molK) อะลมนม 910 0.0270 24.6

เบอรลเลยม 1970 0.00901 17.7 ทองแดง 390 0.0635 24.8 เอทานอล 2428 0.0460 112.0

เอทลนกลคอล 2386 0.0620 148.0

น*าแขง(ใกล C0 ) 2100 0.0180 36.5

เหลก 470 0.0559 26.3 ตะก ว 130 0.207 26.9

หนออน(CaCO3) 879 0.100 87.9 ปรอท 138 0.201 27.7

เกลอแกง(NaCl) 879 0.0585 51.4 เงน 234 0.108 25.3

น*า 4190 0.0180 75.4 ทมา(Young D. Hugh , 1992, p.427)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 329

ตวอยางท 11.4 กอนทองแดงมวล 75 กรม ถกเผาจนรอนแลวหยอนลงในกระบอกตวง ซงมมวล 300 กรม บรรจน*า 200 กรม เมอเกดการถายเทความรอนจนกระท งเขาสสภาวะสมดลความรอน ปรากฏวาอณหภมของน*าในกระบอกตวงเพมข*นจาก 12 องศาเซลเซยส เปน 27 องศาเซลเซยส จงหาอณหภมของกอนทองแดงทถกเผา ( กาหนดความรอนจาเพาะของทองแดง กระบอกตวง และน*า เปน 0.093 cal/gm C° ,

0.12 cal/gm C°และ 1.0 cal/gm C° ตามลาดบ ) วธทา การถายเทความรอนจะเกดข*นโดยปรมาณความรอนทองแดง จะถายเทไปสกระบอกตวงและน*า ทาใหปรมาณความรอนในทองแดงลดลง และปรมาณความรอนในกระบอกตวงและน*าเพมข*นโดยท ปรมาณความรอนลดลงของทองแดง = ปรมาณความรอนเพมข*นของกระบอกตวงและน*า จากสมการท ( 11.2 ) คอ Q = mc ∆T จะไดวา (mc ∆T) ทองแดง = ( mc ∆T )กระบอกตวง + (mc ∆T) น@า

( 75 g)( 0.093 cal/g °C )( Ti-27) = (300 g)( 0.12 cal/g °C )( 27°C –12 °C ) + (200g)(1.0 cal/g °C )(27C – 12 °C )

Ti = 530 °C

น นคออณหภมของกอนทองแดงทถกเผาคอ 530 องศาเซลเซยส

การถายโอนความรอน(heat transfer)

เมอนาวตถสองอนทมอณหภมตางกนมาสมผสกน จะเกดการถายโอนความรอนจากวตถ ทมอณหภมสงกวาไปสวตถทมอณหภมตากวา จนกระท งวตถท *งสองมอณหภมเทากน คออยในสมดลความรอน เรยกวากฏขอทศนยของอณหพลศาสตร น นคอ ปรมาณความรอนจะถายโอนจากบรเวณทมอณหภมสงไปสบรเวณทมอณหภมตาเสมอ การถานโอนความรอนม 3 แบบ คอ การนาความรอน( heat conduction ) การพาความรอน ( heat convection ) และการแผรงสของความรอน ( heat radiation)

1. การนาความรอน การนาความรอนเปนการถายโอนความรอนทเกดข*นเนองจากความแตกตางของ

อณหภมในเน*อวตถ เมอวตถหนงมอณหภมสองดานไมเทากน จะเกดการถายโอนความรอนจากดานทอณหภมสงไปสอณหภมตา การถายโอนความรอนโดยการนาความรอน

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 330

ยงคงดาเนนไปเรอย ๆ จนทสดทก ๆ จดในเน*อวตถมอตราการเคลอนทของความรอนเขาสจดน *นเทากบอตราการเคลอนทของความรอนออกจากจดน *นแลว อณหภมททก ๆ จดของเน*อวตถจะคงตวและลดลงแบบแปรผนตรงกบระยะทางทวดจากวตถทางดานอณหภมสงไปยงทางดาน ทอณหภมตากวาลกษณะอยางน*เรยกวตถอยใน สถานะคงตว (steady state) และคาของอณหภมทลดลงตอหนงหนวยความยาว เรยกวา เกรเดยนตของอณหภม ( temperature gradient) ซงจะมคาคงตว พจารณาปรมาณความรอนของ dQ ไหลผานวตถทมพ*นทภาคตดขวาง A และมความยาวสมาเสมอ dx โดยผวหนาท *งสองมอณหภมตางกน dTในเวลา dt จากการทดลองพบวาทสถานะคงตว อตราการถายโอนความรอนผานวตถจะแปรผนตรงกบพ*นทภาคตดขวางของวตถและ คาเกรเดยนตของอณหภม คอ

dtdQ α A dx

dT

โดยท dtdQ เปนอตราการถายโอนความรอนผานพ*นท A สมมตใหมสญลกษณเปน H

dxdT เปนคาเกรเดยนตของอณหภม

ถากาหนดให k เปนคาคงตวทเรยกวา สภาพนาความรอน ( thermal conductivity)จะเขยนเปนสมการไดวา

H = dtdQ = - kA dx

dT (11.18)

เครองหมายลบในสมการท 11.18 แสดงการถายโอนความรอนจะถายโอนจากจดทอณหภมสงไปยงจดทอณหภมตา ในทศทางทระยะทาง x เพมข*น dT คอคาความแตกตางของอณหภม ถาอณหภมของวสดแตละดานเปน TH และอกดานหนงเปน TC ดงรปท 11.6 และ L คอความหนาของวสดทมพ*นทหนาตด A ถา TH มากกวา TC ความรอนจะถายโอนจากดานทมอณหภม TH ไปยงดานทมอณหภม TC

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 331

พ*นท A ดานน*มอณหภม TH ดานน*มอณหภม TC L รปท 11.6 การถายโอนความรอนจากวสดทหนา L ดานขางท *งสองมอณหภมแตกตางกน จากสมการท 11.8 เราจะไดอตราการถายโอนเปน

H = dtdQ = kA L

T∆ = kA L

T - (TCH) (11.19)

พจารณาคาสภาพนาความรอน k จะเปนคาเฉพาะของสารแตละชนด โดยสารทมคาสภาพนาความรอนมากจะเปนตวนาความรอนทด และสารทมสภาพนาความรอนนอยจะเปนตวนาความรอนมาความรอนทไมมหรอเปนฉนวนความรอนทด ความจรงแลวคาสภาพนาความรอนของสารจะเปลยนแปลงตามอณหภม กลาวคอเมออณหภมสงข*นสภาพนาความรอนจะมคาเพมข*นเลกนอย แตในทางปฏบตถาอณหภมระหวางจดสองจดภายในสารไมแตกตางกนมากนกจะประมาณวาสภาพการนาความรอนของสารน *นมคาคงตว ตารางท 11.4 แสดงตวอยางของสภาพนาความรอนของสารบางชนด จะสงเกตไดวาโลหะเปนตวนาความรอนไดดกวาอโลหะและแกสเปนตวนาความรอนทเลว ตารางท 11.4 สภาพนาความรอนของสาร

สาร K(W/mK) สาร K(W/mK)

อะลมนม 205.0 ใยแกว 0.04 ทองเหลอง 109.0 แกว 0.8 ทองแดง 385.0 น*าแขง 1.6 ตะก ว 34.7 ใยหน 0.04 ปรอท 8.3 สไตโรโฟม 0.01

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 332

สาร K(W/mK) สาร K(W/mK) เงน 406.0 ไม 0.12 -0.04

เหลกกลา 50.2 อากาศ 0.024 อฐ,ฉนวน 0.15 อารกอน 0.016 อฐ,แดง 0.6 ฮเลยม 0.14 คอนกรต 0.8 ไฮโดรเจน 0.14 คอรก 0.04 ออกซเจน 0.023

สกหลาด 0.04 ทมา(Young D” Hugh , 1992, p.427)

อตราการถายโอนความรอนนยมพจารณาในรปของ ความหนาแนนกระแสพลงงาน (energy current density) ใชสญลกษณ jE นยามวาคออตราการถายโอนความรอนตอหนวยพ*นทภาคตดขวาง ซงจากสมการท 11.18 จะไดวา

jE = - k dxdt (11.20)

สาหรบการคานวณการสรางฉนวนความรอนในอาคาร วศวกรใชแนวความคดของความตานทานความรอนโดยนยามความตานทานความรอน R ของแผนวสดซงมพ*นท A ในลกษณะททาใหอตราการถายโอนความรอนผานแผนวสดคอ

H = dtdQ = A R

T∆ (11.21) เมอเปรยบเทยบระหวางสมการท 11.21 กบ สมการท 11.19 จะได

R = kL (11.22)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 333

โดยท L คอความหนาของแผนฉนวนความรอน หนวยของความตานทานความรอนใน

ระบบเอสไอคอ WKm

2

ในการปองกนความรอน จะนยมใชฉนวนกนความรอนบทหลงคาบานหรออาคารโดยความหนาของฉนวนถามความหนามากกจะทาใหมความตานทานความ

รอนมากตามสมการท 11.22 ความตานทานความรอนทนยมใชอกหนวยหนงคอ BtuF(h)(ft

2 )

แตกไมนยมใชหนวยของ R เชน ช *นใยแกวหนา 6 น*วมคา R เปน 19 โฟมโพลยรเธนหนา 2 น*วมคา R เปน 12 และในทางปฏบตเราสามารถนาวสดหลายชนดมารวมกนหลายช *นคา R รวมคอการบวกของแตละช *น สาหรบผนงภายนอกและเพดานนยมใชคา R เทากบ 30 พจารณาแทงวตถยาว L พ*นทภาคตดขวางสมาเสมอ A หอหมดวยฉนวนความรอนปลายดานซายมอณหภม T2 ซงสงกวาอณหภมของปลายดานขวา คอ T2 แทงวตถอยในสถานะคงตว จะหาคาความหนาแนนกระแสพลงงานจากสมการท 11.20 ไดวา

jE = k L

)T- (T12 (11.23)

ตวอยางท 11.5 กระตกน*าแขงซงตวกลองทาดวยสไตโรโฟมกลองหนงใชเกบเครองดมใหมความเยนเมอเวลาเดนทางไปพ*นทผนงท *งหมด(รวมท *งฝา) 0.80 m2 และมผนงหนา 2.0 cm กลองน*มน*าแขง น*า และกระปองเครองดมอยเตม ทอณหภม C0

ดงรปท 11.7 จงหาอตราการไหลของความรอนเขาไปในกลอง ถาอณหภมของผนงกลองดานนอกเปน C30

และในหนงวนน*าแขงในกลองละลายไปเทาใด ถาความรอนแฝงแหงการหลอมเหลวของน*าแขงเปน 3.34x105 J/kg

รปท 11.7 การถายโอนความรอนผานผนงกลองสไตโรโฟม ทมา(Young D. Hugh , 1992, p.435)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 334

วธทา จากตารางท 11.4 สภาพนาความรอนของสไตโรโฟมมคาเปน 0.01 W/m K สมมตใหความรอนไหลเขาสกระตกทกดานและมคาเทากบทไหลผานแผนแบนพ*นท 0.80 m2 และหนา 2.0 cm ดงรปท 11.7 ดานขวามอ จากสมการท 11.19 อตราการถายโอนความรอนคอ

H = dtdQ = kA L

T - (TCH)

= (0.01 W/m K)(0.80 m2) m) (0.02C)0 - C(30

= 12 W = 12 J/s ความรอนทไหลใน 1 วนคอ Q = (12 J/s)(86,400 s) = 1.04 x 106 J ให m เปนปรมาณน*าแขงทละลายในหนงวน และ Lf แทนความรอนแฝงของน*าแขง

m = f

LQ =

J/kg 10 x 3.34

J 10 x 1.045

6

m = 3.1 kg ตวอยางท 11.6 พจารณาวตถแผนบางซงทาดวยวสดสองชนดทมความหนา L1 และ L2 มสภาพนาความรอน k1 และ k2 ถาอณหภมทผวนอกเปน T1 และ T2 โดยท T2 มากกวา T1 ดงรปท 11.8 จงหาอตราการถายโอนความรอนผานแผนวตถน* L2 L1 T2 T1 k2 k1

T รปท 11.8 การถายโอนความรอนผานแผนนาความรอน ทมคาการนาความรอนตางกน

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 335

วธทา ให T เปนอณหภมทรอยตอระหวางวสดท *งสอง อตราการถายโอนความรอนผานแผนท 1 จะเปน

H1 = k1A1

1

L

T - T ( ) (11.24)

ในทานองเดยวกนอตราการถายโอนความรอนผานแผนทสองจะเปน

H2 = k2A2

2

L

T - T ( )

เมอถงสภาวะคงตวของการไหลจะได H1 = H2 = H น นคอ

k1A1

1

L

T - T ( ) = k2A

2

2

L

T - T ( )

T = 1221

212121

Lk Lk

TLk TLk

++

แทนคาใน 11.24 จะได

H =

2

2

1

1

12

k

L k

L

T - A(T

+

) =

k

L

T - A(T

i

i

i

12

∑

)

2. การพาความรอน

การถายโอนความรอนโดยการพาความรอน โมเลกลของตวกลางทไดรบความรอนจะเปนตวเคลอนทพาความรอนไป ตวอยางเชน เมอเอามอองเหนอเตาไปจะรสกรอนเพราะโมโลกลของอากาศทไดรบความรอนจะขยายตวมความหนาแนนลดลงแลวลอยสงข*นมากระทบมอ จงทาใหรสกรอน การพาความรอนแบงตามชนดการเคลอนของโมเลกลของตวกลางได 2 แบบ

2.1 การพาความรอนแบบอสระ (free convection) เปนการพาความรอนทโมเลกลของตวกลางเคลอนทไปเพราะความหนาแนนตางกน เชน การเกดลม การระบายอากาศเสยของโรงงานทางปลองไฟ เปนตน 2.2 การพาความรอนแบบไมอสระ (forced convection) เปนการพาความรอนทโมเลกลของตวกลางถกทาใหเคลอนทโดยแรงภายนอก เชนการระบายความรอนของกงหนหมอน*ารถยนต พดลม และเครองทาความเยน เปนตน

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 336

3. การแผรงสความรอน วตถทกชนดทมอณหภมสงกวาศนยองศาสมบรณ(หนวยเคลวน) จะแผความรอนออกมาจากผวของวตถในรปของคลนแมเหลกไฟฟาทมความยาวคลนตางๆกน โดยรงสทมผลทาใหเกดการความรอนเรยนวารงส อนฟราเรด ( infrared ) ซงเปนรงสทมชวงความยาวคลนอยระหวางคลนแสงทตามองเหนถงคลนวทย คอ ประมาณ 8 x 102 ถง 8 x 105 นาโนเมตร และเคลอนทในสญญากาศดวยความเรว 3 x 108 เมตรตอวนาท ถากาหนดให R เปนอตราการแผรงสออกจากผววตถทมพ*นทผวเปน A และอณหภมของวตถในหนวยองศาสมบรณเปน T จากการทดลองพบวาอตราการแผรงสออกจากผววตถจะแปรผนตรงกบพ*นทผวและกาลงสของอณหภมสมบรณ คอ

R ∝ AT4

ซงเขยนเปนสมการไดวา

R = 4AeTσ (11.25)

เมอ R เปนอตราการแผรงสมหนวยเปน วตต สมการท 11.22 เรยกวา กฎของสเตฟาน-โบลทมานน(Stefan-Boltzmann law) คา σ เรยกวาคาคงทของสเตฟาน-โบลทมานน มคาเปน 5.6696 x 10- 8 W/m2K4 , A เปนพ*นทผวทแผรงสมหนวยเปนตารางเมตร , e เปนคาคงทเรยกวา สภาพเปลงรงส(emissivity) มคาอยระหวาง 0 ถง 1 ข*นอยกบคณสมบตของผวทจะแผรงส ขณะทวตถแผรงสความรอนออกจะมการดดกลนรงสความรอนทวตถอนแผมาดวย ถาอตราการแผรงสมากกวาอตราการดดกลนรงสวตถจะเยนลง หรอถาอตราการแผรงสนอยกวาอตราการดดกลนรงสวตถจะรอนข*น และถาอตราการแผรงสเทากบอตราการดดกลนรงสอณหภมของวตถจะคงตว สมมตวาวตถมอณหภม T1 และสงแวดลอมมอณหภม T2 อตราการแผรงสระหวางวตถกบสงแวดลอมจะมคาเทากบผลตางของอตราการแผรงสออกและอตราการดดกลนรงส คอ

R = Aeσ (T14 - T2

4) (11.26)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 337

ตวอยางท 11.7 ถาผวหนงมนษยมพ*นท 1.2 m2 และอณหภมของผวเปน C30

จงหาอตราการแผรงสความรอนลพธทออกจากรางกายมนษยตอสงแวดลอม ถาสงแวดลอมมอณหภม เปน C20

กาหนดใหสภาพเปลงรงสของรางกายมนษยเปน 1 วธทา จากสมการท 11.23 จะได R = Aeσ (T1

4 - T24)

R = (5.67 x 10- 8 W / m2 K)(1.2 m2)(1) (303 K)4 – (293 K)4 R = 72 W งานทางอณหพลศาสตร ในการศกษากระบวนการทางอณหพลศาสตรน *นตองการทราบวาระบบมความสมพนธกบสงแวดลอมอยางไร ปรมาณทเกยวของเบ*องตนคอ งาน (ใชสญลกษณ W) และ ความรอน (ใชสญลกษณ Q) พจารณาแกสบรรจในกระบอกสบทมลกสบเคลอนทได กาหนดใหแกสเปนระบบ ซงอยในสภาวะสมดลกบสงแวดลอม คอ กระบอกสบกบแหลงใหความรอน สมมตทรงกระบอกมพ*นทหนาตด A และความดนทระบบทาทผวลกสบมคา P แรงสทธททาตอลกสบคอ F = PA เมอลกสบเคลอนทออกเปนระยะทางเลกๆ dx

พ*นท A

PA dx

รปท 11.9 งานททาโดยระบบในระหวางการขยายตวเปนระยะ dx

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 338

จากรปท 11.9 งานททาโดยระบบคอ dW = Fdx = PAdx แต Adx คอปรมาตรทเปลยนไป โดย dV = Adx ดงน *น dW = PdV (11.27) เมอระบบเปลยนปรมาตรจาก V1 เปน V2 จะไดงานเปน

W = ∫2

1v

Pdv

v

(11.28)

โดยท วไปความดนของระบบอาจแปรคาไดระหวางการเปลยนปรมาตร ในการหาปรพนธในสมการท 11.28 เราตองรวาความดนมคาเปนฟงกชนกบปรมาตรอยางไร เราสามารถแทนความสมพนธน*เปนกราฟของ P ในรปของฟงกชน V เรยกวาแผนภาพ PV ในการเปลยนปรมาตรของระบบเราจะกาหนดวาถาปรมาตรเพมข*นจะหมายถงงานจะเปนบวก และถาลกสบอดเขาไปทาใหปรมาตรลดลง งานจะเปนลบ และจากสมการท 11.27 พ*นทใตกราฟของกราฟระหวางความดนและปรมาตรมคาเทากบงานทเกยวของ ดงรปท 11.10 P1

1 2 P2

ก. งานจากการเปลยนปรมาตร ข. งานจากการเปลยนปรมาตร V1 เปน V2 เปนบวก V1 เปน V2 เปนลบ รปท 11.10 งานจากระบบเปลยนแปลงปรมาตรคอพ*นทใตกราฟ PV

2

1 2

1

V1 V2 V2 V1 0 0

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 339

ตวอยางท 11.8 กาซอดมคตหนงขยายตวแบบไอโซเทอรมอล(isothermal) ทอณหภม T โดยทปรมาตรเปลยนจาก V1 เปน V2 กาซน*ทางานเทาใด วธทา การขยายตวแบบไอโซเทอรมอลคอการทระบบขยายตวโดยมอณหภมคงท กาซอดมคตมความดนสมพนธกบปรมาตรและอณหภมตามสมการ PV = nRT โดย n คอจานวนโมลของกาซ, R เปนคาคงทของกาซ และ T เปนอณหภมของกาซซงคงท ความดนของกาซอดมคตน*คอ

P = VnRT

จากสมการท 11.25 จะได W = ∫2

1v

Pdv

v

W = nRT 21

V

V∫ VdV = nRT(ln

1

2

V

V)

กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร(the firs law of thermodynamics) ถาใหความรอน Q แกระบบ แลวทาใหระบบมการเปลยนแปลงจากสถานะท 1 ไปเปนสถานะท 2 และระบบทางานได W จากการทดลองพบวาผลตางของความรอน Q ทใหแกระบบกบงาน W ทระบบทาได มคาคงตวเสมอ ไมข*นกบวถการเปลยนแปลงระหวางสถานะท 1 และสถานะท 2 โดยคาผลตางของความรอนทใหแกระบบกบงานทระบบทาได (Q - W) น*มคาเทากบการเปลยนพลงงานภายในของระบบ พลงงานภายใน (internal energy )ของระบบ กคอพลงงานทสะสมอยในระบบซงเปนผลรวมของพลงงานจลน พลงงานศกย และพลงงานรปอนๆ ทกชนดของระบบ ถากาหนดให U1 และ U2 เปนพลงงานภายในของระบบในสถานะท 1 ไปเปนสถานะท 2 จะมคาคงตวไมข*นกบวถของกระบวนการของการเปลยนแปลงระหวางสถานะท *งสอง คอ U1 - U2 = ∆U = Q – W (11.29) ในกรณทระบบมการเปลยนแปลงนอยๆจากสมการท 11.29 จะเขยนใหมเปน

dU = dQ – dW (11.30)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 340

การพจารณาเครองหมายกาหนดวา Q มเครองหมายเปนบวกเมอระบบไดรบความรอนและ W มเครองหมายเปนบวก เมอระบบทางาน สมการท 11.29 และ 11.30 เรยกวากฎขอทหนงของอณหพลศาสตร ซงเปนกฎเกยวกบการคงตวของพลงงาน สงเกตจากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรน *น วตถทกชนดยอมมพลงงานภายใน กฎขอทหนงใชไดกบทกกระบวนการในธรรมชาตทดาเนนอยระหวางสถานะสมดลสองสถานะ ตวอยางท 11.9 ระบบๆหนงเปลยนแปลงสถานะแบบวฏจกร จากสถานะเรมตน a วนทวนเขมนาฬกาไปยง สถานะ b และยอนกลปไปทสถานะ a ครบรอบพอด ปรากฏวาทางานท *งหมดเทากบ - 500 จล ดงแสดงในรปท 11.11 จงหา

ก. จงอธบายวาทาไมงานจงเปนลบ ข. พลงงานภายในทเปลยนแปลงและพลงงานความรอนในกระบวนการน*

P Pa a Pb b 0 Va Vb V รปท 11.11 ระบบทมการเปลยนแปลงสถานะเปนวฏจกรครบ 1 รอบ วธทา ก. ขณะทระบบเปลยนสถานะจาก a ไป b ปรมาตรขยายตวจาก Va เปน Vb ทางานไดเทากบพ*นทใตกราฟ ab สมมตเปน +W1 ตอมาระบบถกอดทาใหปรมาตรลดลงจาก Vb เปน Va งานททาเปนลบและมคาเทากบพ*นทใตกราฟ ba ซงมากกวาพ*นทใตกราฟจาก a ไป b สมมตเปน W2 งานลพธมคาเทากบ W = W1 – W2 โดย W2 มคามากกวา W1 คา W จงมเครองหมายเปนลบ และจากโจทยมคาเทากบ - 500 J

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 341

ข. เนองจากระบบมการเปลยนแปลงครบวฏจกรพอด ดงน *น U∆ = Ua - Ua = 0 จากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะได Q = U∆ + W = 0 +(-500 J) = -500 J น นคอมความรอนไหลออกจากระบบ 500 จล การประยกตกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบกระบวนการตางๆ

1. กระบวนการแอเดยแบตก(adiabatic process) กระบวนการทเกดข*นโดยไมมความรอนไหลเขาหรอไหลออกจากระบบ เรยกวา กระบวนการแอเดยแบตก ซงทาไดโดยทาฉนวนก *นระบบออกจากสงแวดลอม ทาใหความรอนไมสามารถไหลเขาหรอไหลออกจากระบบได หรออาจจะทาใหการเกดกระบวนการเกดข*นอยางรวดเรว ท *งน*เนองจากความรอนไหลชา การทาใหกระบวนการเกดข*นโดยรวดเรว กจะเปนกระบวนการแอเดยแบตกเชนกน จะเหนวาในกระบวนการแอเดยแบตกน *น ปรมาณความรอนเปนศนย (Q = 0) ดงน *นจากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร ในสมการท 11.29 จะไดวา

U2 - U1 = ∆U = W (11.31)

จะเหนวาการเปลยนพลงงานภายในของระบบในกระบวนการแอเดยแบตก จะเทากบขนาดของงานของระบบ โดยพลงงานภายในของระบบจะเพมข*นเทากบงานทกระทาตอระบบและพลงงานภายในของระบบจะลดลงเทากบงานทระบบทา ตวอยางของกระบวนการแอเดยแบตก ในทางวศวกรรม ไดแก การขยายตวของไอน*าใน หองเครองจกรไอน*า การขยายตวของแกสรอนในเครองยนตสนดาปภายใน การอดตวของอากาศในเครองยนตดเซล เปนตน 2. กระบวนการไอโซคลอรก(isochoric process) กระบวนการทเกดข*นโดยปรมาตรของระบบคงตว เรยกวา กระบวนการไอโซคอรก กระบวนการน*เกดข*นโดยการใหความรอนแกระบบทมปรมาตรคงตว จะทาใหความดนและอณหภมของระบบเพมข*น การทปรมาตรของระบบไมเปลยนแปลงแสดงวางานของระบบเปนศนย (W =0) จากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรจะไดวา

U2 - U1 = ∆U = Q (11.32)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 342

จะเหนวาการใหความรอนแกระบบจะทาใหพลงงานภายในของระบบเพมข*น ตวอยางของการเกดกระบวนการไอโซคอรก ไดแก การเพมอณหภมและความดนอยางทนททนใด ในขณะเกดการจดระเบดในเครองยนตสนดาปภายใน เปนตน 3. กระบวนการไอโซเทอรมล (isothermal process) กระบวนการทเกดข*นโดยอณหภมของระบบคงตว เรยกวา กระบวนการไอโซเทอรมล ซงการทจะรกษาระดบอณหภมของระบบใหคงตวไดน *น การเปลยนแปลงของตวแปรอนๆในระบบจะตองเปนไปอยางชา ๆ มสารอดมคตอยสองชนดทพลงงานภายในข*นกบอณหภมเทาน *น คอ แกสอดมคต และสารพาราแมกเมตกอดมคต (ideal paramagnetic) การเกดกระบวนการ ไอโซเทอรมล ในสารสองประเภทน* จะไมมการเปลยนแปลงพลงงานภายในของระบบ (∆U = 0) ดงน *นจากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรจะไดวา Q = W (11.33) 4. กระบวนการไอโซบารก (isobaric process) กระบวนการทเกดข*นโดยทความดนของระบบคงตว เรยกวา กระบวนการไอโซบารก ตวอยางของการเกดกระบวนการน*คอ เมอน*าในหองเครองจกรไอน*าถกตมจนเดอดกลายเปนไอแลวไอน*าถกเพมความรอนตอไปอก ลกษณะอยางน*จะเกดข*นภายใตสภาวะความดนคงตว พจารณาของเหลวมวล m เปลยนสถานะเปนไอ โดยใหความดนและอณหภมคงตวกาหนดให VL เปนปรมาตรของของเหลว และ VV เปนปรมาตรของไอ จะหาคางานทสารน*กระทาในการขยายตวจากปรมาตร จากสมการท 11.27 จะไดวา W = P (VV - VL ) (11.34) กาหนดให L เปนความรอนแฝงของการกลายเปนไอ (latent heat of vaporization) ซงหมายถงความรอนททาใหสารมวลหนงหนวยเปลยนสถานะจากของเหลวเปนไอ โดยอณหภมและความดนคงตว ดงน*ความรอนททาใหของเหลวมวล m เปลยนสถานะเปนไอคอ Q = mL (11.35) ดงน *นจากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร การเปลยนพลงงานภายในของระบบ ในกระบวนการไอโซบารก คอ Uv - UL = mL - P (VV - VL) (11.36)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 343

ตวอยางท 11.9 ทความดน 1 บรรยากาศ น*า 1 กรม มปรมาตร 1 ลกบาศกเซนตเมตร เมอตมจะกลายเปนไอทมปรมาตร 1671 ลกบาศกเซนตเมตร กาหนดความรอนแฝงของการกลายเปนไอของน*าทความดน 1 บรรยากาศเปน 539 แครอลตอกรม จงหาคาของงานและการเปลยนพลงงานภายในของระบบ วธทา หาคางานจากสมการท 11.34 คอ W = P (VV - VL) โดยท P = 1.013 x 105 N/m2 VV = 1671 x 10- 6 m3 VL = 1.0 x 10 - 6 m3 จะไดวา W = [1.013 x 105N / m2][( 1671-1 ) x 10-6 m3] = 169.5 จล = 41 แคลอร คาของงานเปนบวก น นคอระบบทางาน 41 แคลอร หาคาการเปลยนพลงงานภายในของระบบจากสมการท 11.36 คอ ∆U = mL - P (VV - VL) = (593 cal) - (41 cal) = 498 แคลอร การเปลยนพลงงานภายในมคาเปนบวก น นคอพลงงานภายในของระบบเพมข*น 498 แคลอร กฏขอทสองของอณหพลศาสตร(the second law of thermodynamics)

หลกฐานจากการทดลองช*ใหเหนวา ไมมใครทสามารถสรางเครองกลทเปลยนพลงงานความรอนเปนงานกลไดอยางสมบรณหรอใหมประสทธภาพได 100 % ได ความเปนไปไมไดน*จงแถลงเปนกฎขอทสองของอณหพลศาสตรวา

เปนไปไมไดทระบบใดๆจะดาเนนการในลกษณะทดดกลนความรอนจากแหลงความรอนทมอณหภมคาหนงแลวเปลยนความรอนน *นใหเปนงานกลไดอยางสมบรณ โดยเมอส*นสดกระบวนการระบบกลบเขาสสถานะตอนเรมตน

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 344

ในธรรมชาตพลงงานความรอนทถายเทระหวางวตถใดๆจะไมเคยมวตถทมอณหภมตากวาถายเทความรอนใหแกวตถทมอณหภมสงกวา จงกลาวเปนกฎขอสองอกแบบหนงไดวา

ความรอนจะไหลจากทๆ มอณหภมสงกวาไปสทๆ มอณหภมตากวาเสมอ ไมอาจไหลกลบทางได

คากลาวขางตนดเหมอนจะขดแยงกบการทางานของเครองทาความเยน ซงนาเอาความรอนจากแหลงความรอนทมอณหภมตาไปถายเทใหแกแหลงความรอนทมอณหภมสงกวาซงสารทางานหรอระบบจะนาเอาความรอนจากแหลงอณหภมตาคอ หองหรออากาศในตเยนออกมาได ตวระบบเองตองมอณหภมตากวาหอง และเมอนาความรอนไปปลอยขางนอกหอง ตวระบบเองจะถกทาใหมอณหภมสงกวาอากาศนอกหองโดยการอดของเครองป *มแบบแอเดยแบตกเสยกอน หรอตองใหงานแกระบบเสยกอนน นเอง จงกลาวเปนกฎขอทสองไดวา

ระบบทมการเปลยนแปลงวฏจกรใดๆ ไมอาจจะนาความรอนจากทๆ มอณหภมตากวาไปถายเทใหแกทๆ มอณหภมสงกวาได นอกจากจะใหงานภายนอกแกระบบ

กฎขอทสองของอณหพลศาสตรจะไมอยในรปของสมการหรอแสดงความสมพนธของปรมาณใดๆ แตเปนขอบงคบของธรรมชาตมากกวา

เอนโทรป(entropy) เปนปรมาณทใชวดความไมเปนระเบยบของระบบ ระบบทมระเบยบดทสดมคาเอนโทรปเปนศนย ระบบทมการเปลยนแปลงจนถงภาวะสมดล จะมคาเอนโทรปสงสด พจารณาระบบไอโซเทอรมอลซงมอณหภมคงทของกาซอดมคต เมอระบบไดรบความรอนเพม dQ แลวปลอยใหกาซขยายตวโดยอณหภมคงท ดงน *นพลงงานภายในจงไมเปลยนแปลง จากฎขอทหนงของอณหพลศาสตร งานททาโดยกาซคอ dW จะเทากบความรอน dQ ทไดรบ

dQ = dW = PdV = dVVnRT

เมอมการขยายตวมากข*น กาซยงจะมความไมเปนระเบยบมากข*น เพราะวาโมเลกลของมนเคลอนทอยในปรมาตรทใหญข*น ตาแหนงของโมเลกลจงสมมากข*น ดงน *นอตราสวนการ

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 345

เปลยนปรมาตร VdV จะเปนเครองช*วดคาทเพมข*นของความไมเปนระเบยบ และมคาแปรผน

ตรงกบ TdQ ถาให S แทนคาเอนโทรปของระบบ การเปลยนแปลงเอนโทรปนอยๆจงเปน

dS = TdQ (11.37)

สมการท 11.37 ใชสาหรบกระบวนการผนกลบเทาน *น ถาความรอนท *งหมด Q ผานเขาไปในระบบระหวางกระบวนการผนกลบแบบไอโซเทอรมอลทอณหภมสมบรณ T คาเอนโทรปทเปลยนแปลงท *งหมดเปน

S∆ = S2 - S1 = TQ (11.38)

หนวยของเอนโทรปในระบบเอสไอคอ จลตอเคลวน (J/K) ตวอยางท 11.10 น*าแขงมวล 1 kg อณหภม C0

ละลายและกลายเปนน*าท

อณหภม C0 เอนโทรปจะเปลยนแปลงเทาใด กาหนดใหความรอนแฝงของการหลอมเหลว

ของน*าแขงมคาเทากบ Lf = 3.34 x 105 J/kg วธทา เนองจากการเปลยนสถานะอณหภมจะคงท จงเปนกระบวนการไอโซเทอรมอล ความรอนทใชในการเปลยนสถานะคอ Q = mLf = (1kg)(3.34 x 105 J/kg) Q = 3.34 x 105 J

S∆ = S2 - S1 = TQ

S∆ = K 273 J 10 x 3.34

5

= 1.22 x 10 3 J/K

ในกรณท วๆไป แมวากระบวนการเปลยนแปลงไมเปนไอโซเทอรมอล แตยงเปนกระบวนการผนกลบได เรากสามารถหาคาการเปลยนแปลงของเอนโทรปโดยการหาปรพนธ จากสถานะท หนง สสถานะทสองไดคอ

S∆ = T

dQ 2

1∫ (11.39)

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 346

ตวอยางท 11.11 ตมน*ามวล 1 kg อณหภม C0 จนเดอดจงหาการเปลยนแปลง

เอนโทรป วธทา การตมน*าตองใชความรอน Q = mcdT จากสมการ 11.39 จะได

S∆ = T

dQ 2

1∫ = T

mcdT 2

1∫

โจทยกาหนดใหสถานะท 1 มอณหภม 273 K และสถานะท 2 มอณหภม 373 K

S∆ = mc ln( 273K373K ) = 1.31 x 10 3 J/K

ตวอยางท 11.12 กลองหมฉนวนความรอนกลองหนงถกแบงออกเปนสองหอง แตละหองมปรมาตร V เทากน ดงรปท 11.12 เดมหองหนงมกาซอดมคตทอณหภม T อย n โมล และอกหองหนงเปนสญญากาศ แลวเราทาลายฝาก *นหองทาใหกาซขยายตวเตมท *งหอง เอนโทรปทเปลยนไปมคาเทาใด อณหภม T ฉนวนความรอน V 2V V รปท 11.12 การขยายตวอยางเสรของกาซอดมคตซงก *นไวดวยฉนวน วธทา กระบวนการน*ไมมความรอนไหลเขาหรอไหลออกจากระบบ เพราะก *นไวดวยฉนวนและไมมงานเกดข*น รวมท *งพลงงานภายในไมมการเปลยนแปลงเพราะอณหภมเทาเดม น นคอ Q = 0 , W = 0 และ T∆ = 0

2V

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 347

เราอาจจะคดวาเอนโทรปเปลยนไปเทากบศนยเพราะไมมการแลกเปลยนความรอน แตกระบวนการน*เปนกระบวนการทผนกลบไมได จงไมอยในเงอนไขแบบตวอยางทผานมาหรอการเปลยนแปลงเอนโทรปเปนแบบอเดยแบตก เพอทจะคานวณหา S∆ ใหไดเรามหลกการ การเปลยนแปลงเอนโทรปข*นอยกบสถานะต *งตนและสถานะสดทายเทาน *น เราสามารถออกแบบกระบวนการผนกลบไดทมสถานะจดปลายสองสถานะเดยวกนได ใชสมการท 11.36 หาเอนโทรปทเปลยนไปในกระบวนการเดมได กระบวนการผนกลบไดทเหมาะสมสาหรบกรณน*คอการขยายตวแบบไอโซเทอรมอลจาก Vเปน 2V ทอณหภม T กาซทางาน W ระหวางการขยายตวทใชแทนน* ดงน *นตองมความรอน Q คาหนงเขาไปรกษาพลงงานภายในใหคงตว โดย Q = W จากตวอยางท 11.8 พบวางานทกาซอดมคตทาในการขยายตวแบบไอโซเทอรมอลจากปรมาตร V1 เปนปรมาตร V2 คอ

Q = W = nRT(ln 1

2

V

V) = nRT(ln V

2V

)

Q = nRT ln (2)

และ S∆ = TQ = T

ln(2) nRT

สรป 1. อณหภม เปนปรมาณทกาหนดระดบความรอนหรอเยนของวตถ 2. สมดลความรอนคอการทวตถทมอณหภมสงสมผสกบวตถทมอณหภมตากวา จะเกด

การถายเทความรอนจากวตถอณหภมสงมายงวตถอณหภมตากวาและจะหยดถายเทเมอวตถท *งสองมอณหภมเทากน

3. กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร หมายถง วตถทหนงอยในสมดลความรอนกบวตถทสอง และถาวตถทสามสมดลความรอนกบวตถทหนงแลววตถทสามจะอยในสมดลความรอนกบวตถทสองดวย

4. การขยายตวตามอณหภมของของแขง หมายถงของแขงเมอไดรบความรอนจะขยายตวแบงออกเปน 3 แบบคอ

4.1 การขยายตวตามยาว ความยาวทเพมข*นคอ L∆ = tL0∆α 4.2 การขยายตวตามพ*นท พ*นททเพมข*นคอ A∆ = tA0∆β 4.3 การขยายตวตามปรมาตร ปรมาตรทเพมข*นคอ V∆ = tV

0∆γ

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 348

5. ปรมาณความรอน คอพลงงานความรอนซงเปนคลนแมเหลกไฟฟา เมอวตถไดรบความรอนจะทาใหอณหภมเปลยนซงหาปรมาณความรอนไดจาก

Q = mc T∆

6. ความจความรอนจาเพาะ คอปรมาณความรอนททาใหสารมวล 1 หนวยมอณหภม เปลยนไป 1 องศา แบงเปน 2 ชนดคอ ความจความรอนเมอความดนคงท(cP),ความจ ความรอนเมอปรมาตรคงท(cV) 7. การถายโอนความรอน คอการทความรอนจากวตถหนงถายเทไปยงวตถอนหรอสงแวดลอมม 3 แบบคอ การนาความรอน,การพาความรอนและการแผรงสความรอน 8. งานทางอณหพลศาสตร เกดจากระบบมการเปลยนแปลงปรมาตร ซงอาจจะมสาเหตมาจากระบบรอนข*น หรอไดรบแรงดนเพมข*น สาหรบกรณทระบบเปลยนแปลงปรมาตร โดยความดนและอณหภมคงท สามารถหางานไดจาก dW = PdV 9. กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร กลาววา ถาใหความรอนแกระบบปดใดๆ จะทาใหมพลงงานภายในเพมข*นและระบบทางาน เขยนเปนความสมพนธวา dQ = dU + dW 10. กระบวนการแอเดยแบตก เปนกระบวนการทไมมความรอนไหลเขาหรอออกจากระบบเขยนเปนความสมพนธไดวา dU = dW 11. กระบวนการไอโซคลอรก เปนกระบวนการทปรมาตรของระบบคงท ไมมงานเกดข*นในระบบ dU = dQ 12. กระบวนการไอโซเทอรมอล คอกระบวนการทระบบมอณหภมคงทน นคอพลงงานภายในของระบบคงตว ไมมการเปลยนแปลง dW = dQ 13. กระบวนการไอโซบารก คอกระบวนการทความดนของระบบมคาคงท 14. กฎขอทสองของอณหพลศาสตร กลาวบรรยายถงความเปนไปไมไดในธรรมชาตทระบบไมสามารถเปลยนจากสถานะอณหภมตาไปสสถานะอณหภมสงกวาอยางอสระได

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 349

15. เอนโทรป เปนปรมาณทบอกถงความไมเปนระบบของระบบ สาหรบระบบทผนกลบได สามารถหาการเปลยนแปลงของเอนโทรปไดจาก

S∆ = S2 - S1 = TQ

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 350

แบบฝกหดทายบท

1. ณ จดหนงบนพ*นโลกถาวดอณหภมในหนวยฟารเรนไฮตไดเทากบอณหภมในหนวยองศาเซลเซยส จงหาวาอณหภมน *นมคาเทาใด และขณะน *นเปนฤดอะไร 2. สะพานเหลก มชวงสะพานยาว 1410 m จงคานวณหาความยาวทเปลยนไปของชวง สะพานเหลกกลาเมออณหภมเพมจาก -5.0 C

เปน 18.0 C

3. อนวารเปนโลหะผสมระหวางเหลกและนเกลมความแขงแรงทนทานมากโดยมสมประสทธ fการขยายตวตามากคอ 0.2 x 10- 6 / C

ถาใชเลเซอรวดความยาวของโตะททาดวยอนวาร ไดความยาวเปน 2.0 m ถาอณหภมเพมข*น 5.0 C

โตะจะยาวเพมข*นเทาใด 4. แกวน*าปรมาตร 350 mL เตมน*าอณหภม 100 C

จนเตม แลวปลอยไวช วครอณหภมของน*าลดลงเหลอ 20 C

จงหาวาจะตองเตมน*าอกเทาไรน*าจงจะเตมแกวเหมอนเดม 5. ในขณะทกาลงทาสยอดเสาอากาศสง 225 m อย ชางทาสทาขวดน*าขนาด 1.00 L หลนจากกลองอาหารกลางวนของเขา ขวดน*าหลนลงบนพมไมหนงทระดบพ*นและไมแตก ถาปรมาณความรอนขนาดเทากบขนาดพลงงานกลของน*าไหลเขาไปในน*า อณหภมของน*าจะเพมข*นเทาใด 6. หมอทองแดงมวล 0.500 kg มน*ามวล 0.170 kg ทอณหภม 20.0 C

บรรจอย เอาแทงเหลกมวล 0.250 kg ท 85.0 C

หยอนลงไปในหมอ จงหาอณหภมสดทายโดยสมมตวาไมมการสญเสยความรอนใหกบสงแวดลอม 7. ชางไมคนหนงสรางผนงดานนอกของบานดวยช *นไมหนา 3.0 cm ดานนอกและใชฉนวนสไตโรโฟมหนา 2.2 cm เปนผวผนงดานใน ถาไมมคาสภาพนาความรอนเปน 0.010 W/m K อณหภมผวดานในคอ 19.0 C

และอณหภมผวภายนอกคอ -10.0 C

จงหา ก. อณหภมของระนาบทไมสมผสกบสไตโรโฟม ข. อตราการไหลของความรอนตอตารางเมตรททะลผานกาแพง

8.หมอใบหนงมกนเปนเหลกกลาหนา 8.50 mm วางอยบนเตารอนกนหมอมพ*นท 0.150 m2 น*าในหมอมอณหภม 100.0 C

และมน*า 0.390 kg ระเหยไปทก 3.00 นาท จงหาอณหภมของผวดานลางของหมอซงสมผสอยกบเตา

บทท 11 ความรอนและอณหพลศาสตร 351

9. จงหาอตราการแผรงสของทรงกลมททาดวยทงสเตนรศม 18.0 cm อณหภม 25 C

ถาทรงกลมน*อยในหองปดมดชดโดยผนงหองมอณหภม -5 C

กาหนดใหสภาพเปลงรงสของทงสเตนเปน e = 0.35

10. กาซหนงมการเปลยนแปลงสองกระบวนการ ในกระบวนการแรกปรมาตรคงท 0.20 m3และความดนเพมจาก 2.0 x 105 Pa เปน 5.0 x 105 Pa กระบวนการทสองเปนการอดใหปรมาตรเปน 0.120 m3 ทความดนคงตว 5.0 x 105 Pa จงหางานท *งหมดทกาซทาระหวางกระบวนการท *งสองน* 11. ระบบหนงเปลยนสถานะจาก a ไปสถานะ b แลวกลบมาทสถานะ a คาสมบรณของการถายโอนความรอนระหวางวฐจกร 1 รอบคอ 7200 J ดงรปท 11.13 จงหา

ก. งาน W ทระบบทาในวฏจกร 1 รอบ ข. ถาระบบมรอบวฏจกรในทศทวนเขมนาฬกา ระบบจะดดกลนหรอปลดปลอย

พลงงานความรอนในหนงรอบวฏจกรเทาใด

P b a

0 V รปท 11.3 วฐจกรการเปลยนสถานะของระบบตามโจทยขอ 11

เฉลยแบบฝกหดทายบท

บทท 1

ขอ 1. 0.621 mi

ขอ 2. ก. 40,003.6 km ข. 509.65 x 106 (km)2

ขอ 3. ก. 400 เทา ง. 64 x 106 เทา

ขอ 4. 4.67 x 10 - 3 g

ขอ 5. 31,557,600 s

ขอ 6. 8.64 s

ขอ 7. 2 หนวยดาราศาสตรตอวนาท

ขอ 8. ก. 29.88 x 10 -27 kg ข. 4.685 x 1046 โมเลกล

ขอ 9. 10 - 3 kg/(cm)3

ขอ 10. ก. 2 ข. 4 ค. 3 ง. 2

ขอ 11. พ5นท6 (110.25 ± 4.19)π ,ความไมแนนอนรศม 1.9%, เสนรอบวง 20.4 ± 0.2

ขอ 12. พ5นท6 195.84 ± 1.41 ตารางเซนตเมตร

บทท 2

ขอ 1. 6.02 m

ขอ 2. 13.08 หนวย ทามมกบแกน x โดย θ = tan – 1 0.433

ขอ 3. -

ขอ 4. ขนาดของแรงขนาน 30 N ขนาดของแรงต 5งฉาก 40 N

ขอ 5. k4+j2i3.5=B,k2+ji7.5=A

ขอ 6. 13.416R =

, θ = tan -1 -2

ขอ 7. -34 J

ขอ 8. θ = cos-1 0.4459

ขอ 9. k32j

32i

31- ˆˆˆ −+

ขอ 10. -7

ขอ 11. ก. -4 ข. - k13+j31+i4

354

ขอ 12. -16

ขอ 13. k10+j6+i2.ก 140.ข ค. -12

ขอ 14. kyx+jzx+ixyz2 22

ขอ 15. k8+i6

บทท 3

ขอ 1. ก. 13.39 m/s ข. 4.46 m/s

ขอ 2. 300 km

ขอ 3. ก. 34.29 km/h ข. 35.0 km/h

ขอ 4. ก. 1.74 m/s ข. 2.135 m/s

ขอ 5. 24 s

ขอ 6. ก. 0, -2, -54 และ 12 m

ขอ 7. 1.7 m

ขอ 8. ก. S = αt-3β

t3, a = -2βt ข. αt

ขอ 9. 1,796.48 m

ขอ 10. 560 m/s

ขอ 11. ก. 3.19 s ข. 4.25 s

ขอ 12. 4.84 s

ขอ 13. ก. สงกวาจดท6ปลอย 15.1 m , สงกวาจดท6ปลอย 1.6 m ข. 10.296 m/s ค. 56.4 m

ขอ 14. 12 s

บทท 4

ขอ 1. ระยะทางในแนวทศเหนอ 1,347.2 km , ระยะทางในแนวทศตะวนตก 1,347.2 km

ขอ 2. v = 7.6 i - kt2 , a = - kt2

ขอ 3. ก. jt23

+it2=s.ค,jt0.3+it0.4=v.ขt0.3=v,t0.4=v 22yx

ขอ 4. ก. v = -18.0sin3t jt3cos0.18+i

355

ข. a = -54.0cos3t i - jt3sin0.54

ขอ 5. 46 m/s

ขอ 6. 7.87 m/s

ขอ 7. 1.84 s

ขอ 8. ก. 65.72 m ข. 7.324 s ค. 42.22 m/s

ขอ 9. 5.71 s

ขอ 10. 0.25 m/s2

ขอ 11. ก. 5.56 s ข. 115.74 m

ขอ 12. ℓ

θω

singa= , α = 2+sin

gωθ

ℓ

ขอ 13. 2,400 m/s2

ขอ 14. ก. 5.56 s ข. 115.74 m

บทท 5

ขอ 1. j6.9+i4.2

ขอ 2. T = 1,411.29 N

ขอ 3. - i9 -3 k4+j

ขอ 4. ก. 490 N ข. 340 N ค. 640 N

ขอ 5. ก. 4.9 m/s2 ข. 10.84 m/s

ขอ 6. T1 = 10 N , T2 = 30 N

ขอ 7. N320

,N103

ขอ 8. 5.83 m/s2

ขอ 9. ก. 0.67 m/s2 , 2.835 m/s2 ข. 0

ขอ 10. 0.42

ขอ 11. a = ( 21

2

m+m4m

) g

ขอ 12. 20.7o

356

ขอ 13. ก. KF

ข. V = KF

(1-e-kt/m)

ขอ 14. (3kt3)

ขอ 15. k27+j34=i12

บทท 6

ขอ 1. 60 m/s , 12 x 104 kg m/s

ขอ 2. 0.13 kg m/s

ขอ 3. 500 N

ขอ 4. ก. 1.3 x 105 kg m/s ข. 1.3 x 105 kg m/s

ขอ 5. 3.6 m/s

ขอ 6. V = -3.2i – 9.259j , θ = tan-1 2.89

ขอ 7. 3.2 m/s ไปทางซายและ 0.20 m/s ไปทางซาย

ขอ 8. ก. 0.32 cm ข. 0.99 J

ขอ 9. 17.70 m/s

ขอ 10. 4.01 x 10-20 m/s

ขอ 11. 87.5 N

ขอ 12. mvr ทศทางพงต 5งฉากออกจากหนากระดาษ

บทท 7

ขอ 1. J403

,J301

,J1201

ขอ 2. ก. 4,900 J ข. 163.33 J

ขอ 3. 74.24 J

ขอ 4. 67 J

ขอ 5. 33.33 J

ขอ 6. 23.56 J

ขอ 7. 483.6 m/s

ขอ 8. 3 m/s

357

ขอ 9. 155 หนวย

ขอ 10. =F

(2kx + k'y)i – (k'x + 2ky)j

ขอ 11. 0.41

ขอ 12. 3.87 m/s

บทท 8

ขอ 1. 0.42 Hz

ขอ 2. 10.62 N/m

ขอ 3. 9.04 s

ขอ 4. =v.ขHz87

=f,s78

=T.ก -7πsin(6

+t4

7 ππ),

a = - cos4

49 2π(

6+t

47 ππ

)

ขอ 5. ก. x = (22x10-2 m)sin(37.148t) ข. π s690

25.0

ขอ 6. ก. 0.65 m ข. 1.34 Hz ค. Ep = 4.77 J , Ek = 25.04 J

ขอ 7. 0.353 m

ขอ 8. ก. 2.84 x 10-2 J ข. 0.014 m ค. 0.615 m/s

ขอ 9. 10.7 m/s2

ขอ 10. µs(m+M)g/k

ขอ 11. 24.8 cm

ขอ 12. 0.58 s

ขอ 13. ก. 3.79 s ข. 1.90 s

ขอ 14. x = 4.48sin(10

+tπ

ω )

ขอ 15. ก. y = x43

ข. 1=9y

+16x 22

ขอ 16. ก. 0.393 Hz ข. 1.73 kg/s

358

ขอ 17. ก. π(1/π) ข. x = 5 sin(2t+63.4o)

ขอ 18. Hz56π

บทท 9

ขอ 1. λ = 1.72 m

ขอ 2. ก. 5.37.ขmm40=λ สนคล6นตอวนาท

ขอ 3. A = 8.0 mm,k = 20 m-1,v = 15 m/s, T = 150π

ขอ 4. ก. f = 25 Hz , T = 251

s , k = 4

25π ข. y = (0.070 m)sin(50πt+ x

425π

)

ค. 0.0357 m

ขอ 5. -

ขอ 6. ก. vy = λ

πv2Acos

λ

π2(x-vt) ข. ความเรวอนภาคจะมคาสงสดเม6อ

cosλ

π2(x-vt) มคาเปน 1 และ จะมคาเทากบความเรวคล6นเม6อ A =

π

λ

2

ขอ 7. ก. A = 4 mm , T = .0.040 s ข. v = 6.0 m/s , λ = 0.24 m

ขอ 8. F = 43.2 N

ขอ 9. v = 1.48 x 103 m/s , λ = 5.65 m

ขอ 10. F = 2.7 N

ขอ 11. ก. 16.0 m , ข. 3.29 x 10-8 m, 4.55 x 106 m/s

ขอ 12. 0.25 , 0.5

ขอ 13. ก. 85.93 x 106 W/m2 ข. 429.69 x10-5 m/s

ขอ 14. ก. 0.295 W ข. 0.25 cm

ขอ 15. ก. ...312

,38

,34

ข. ...612

,68

,64

ขอ 16. ก. 7.9 cm ข. 8

mπเม6อ m=1,3,5… ค.

4nπ

เม6อ n = 1,2,3….

359

ขอ 17. 7 จด

ขอ 18. F = 500 Hz

ขอ 19. v = 486.4 m/s

ขอ 20. v = 5.4 km/s

บทท 10

ขอ 1. 56.7 kg

ขอ 2. 3.33 x 103 kg/m3

ขอ 3. ก. 706 Pa ข. 3,160 Pa

ขอ 4. 0.65 x 103 kg/m3

ขอ 5. 0.562 m3

ขอ 6. 6.67 Pa

ขอ 7. 9.97 x 103 kg/m3

ขอ 8. 0.822 kg , 822 kg/m3

ขอ 9. 87.92 x 10-3 N

ขอ 10. 3.71 cm

ขอ 11. 5.96 mm/s

ขอ 12. 6.76 x 108 Pa

ขอ 13. 1/9

ขอ 14. 10.2 m/s2

บทท 11

ขอ 1. -40o ฤดหนาว

ขอ 2. 0.39 m

ขอ 3. 2.0 x 10-6 m

ขอ 4. 5.1 mL

ขอ 5. 0.526o C

ขอ 6. 27.5o C

360

ขอ 7. ก.-5.8o C ข. 11 W/m2

ขอ 8. 105.5o C

ขอ 9. 22 W

ขอ 10. 0, -4 x 104 J

ขอ 11. ก. 7,200 J ข. ปลอยความรอน 7,200 J

ขอ 12. ก. 45 J ข. คายความรอน 65.0 J

ขอ 13. 47.4 J/K

ภาคผนวก

1. แฟคเตอรการเปลยนหนวย (unit conversion factors)

ความยาว(Length) 1 km = 0.6215 mi

1 mi = 1.609 km เวลา(Time) 1 m = 1.0936 yd 1 h = 60 min = 3.6 ks

1 m = 3.281 ft 1 d = 24 h = 1440 min = 86.4 ks

1 m = 12 in = 30.48 cm 1 y = 365.24 d = 31.56 Ms

1 m = 3 ft = 91.44 cm

1 Angstrom (o

A ) = 0.1 nm อตราเรว(Speed) 1 km/h = 0.2778 m/s 1 km/h = 0.6215 mi/h

พ4นท (Area) 1 mi/h = 0.4470 m/s 1 cm

3 = 0.155 in

2

1 m2 = 10

4 cm

2 = 10.76 ft

2 มมและอตราเรวเชงมม

1 in2 = 6.452 cm

2 (Angle and Angular

Speed) 1 km

2 = 0.386 mi

2 = 247.1 acres π rad = 180

o

1 acre = 43,560 ft2 1 rad = 57.30

o

1 mi2 = 640 acres = 2.59 km

2 1

o = 1.745 x 10

-2rad

1 rev/min = 0.1047 rad/s

ปรมาตร(Volume) 1 m

3 = 10

3

1 L = 1,000 cm3 = 10

-3 m

3 มวล(Mass)

1 gal = 3.786 L 1 kg = 1000 g = 0.0685 slug

1 gal = 128 oz = 231 in3 1 g = 6.85 x 10

-5 slug

1 in3 = 16.39 cm

3 1 slug = 14.59 kg

1 u = 1.6606 x 10-27

kg

362

แรง(Force) สภาพความนา 1 N = 0.2248 lb = 10

5 dyn (Thermal Concuctivity)

1 lb = 4.4482 N 1 W/m•K = 6.938 Btu•in / h•ft2•F

o

1 Btu•in / h•ft2 •F

o = 0.1441 W/m•K

ความกดดน(Pressure) 1 Pa = 1 N/m

2

1 Pa = 1.451 x 10-4 ib/in

2

1 bar = 105 Pa

1 lb/in2 = 6891 Pa

1 atm = 1.013 x 105 Pa

1 atm = 14.7 ib/in2

1 mmHz= 1 torr = 133.32 Pa

พลงงาน(Energy) 1 kW h = 3.6 MJ

1 J = 107 ergs = 0.239 cal

1 cal = 4.186 J

1 Btu = 1054.35 J = 252 cal

1 eV = 1.602 x 10-19

J

กาลง(Power) 1 horsepower(H.P) = 745.7 W

1 W = 1 J/s

1 Btu/min = 17.58 W

1 w = 1.341 x 10-3 H.P. = 0.7376 ft lb/s

363

2.คาคงททางฟสกส

Name Symbol Value

Speed of Light C 2.99792458x108 m/s

Charge of electron E 1.602177 x 10-19

C

Gravitationnal constant G 6.67259 x 10-11

N•m2/kg

Planck constnnt H 6.6260755 x 10-34

J•s

Boltzmann’ constant KB 1.38066 x 10-23

J/K

Avogadro’ number NA 6.022 x 1023

molecules/mol

Gas constant R 8.314510 J/mol•K

Mass of electron me 9.10939 x 10-31

kg

Mass of neutron mn 1.67493 x 10-27

kg

Mass of proton mp 1.67262 x 10-27

kg

Permittivity of free space 0ε 8.854 x 10

-12 C

2/N•m

2

Permeability of free space µ0 4πx10-7 Wb/A•m

Absolute zero 0 K -273.15 oC

Density of air(STP) airρ 1.293 kg/m

3

Energy equivalent of 1 u Mc2

931.494 MeV

Acceleration due to gravity

(Sea level , at equator)

g 9.78049 m/s2

Mass of earth ME 5.98 x 1024

kg

Radius of earth RE 6370 km

Escape speed at

earth’surface

vescape 11.2 km/s

Standard temperature and

Pressure(STP)

- T = 273.15 K

1 atm = 101.3 kPa

364

3.สญลกษณอกษรกรก (The Greek Alphabet) Alpha Α α Iota Ι ι Rho Ρ ρ

Beta Β β Kappa Κ κ Sigma Σ σ Gamma Γ γ Lambda Λ λ Tau Τ τ

Delta ∆ δ Mu Μ µ Upsilon Υ υ Epsilon Ε ε Nu Ν ν Phi Φ φ Zeta Ζ ζ Xi Ξ ξ Chi Χ χ

Eta Η η Omicron Ο ο Psi Ψ ψ Theta Θ θ Pi Π π Omega Ω ω

ดชน หนา

ก กฎการเคลอนทของนวตน 104 กฎการอนรกษพลงงานกล 190 กฎของดลองและเปต (dulong and petit law) 328 กฎของเตฟาน-โบลทมานน (Stefan-boitzmann law) 336 กฎของสโตกส (stokes law) 303 กฎของฮกส (hook’s law) 178,204 กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร 329 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร 339 กฎขอสองของนวตน (Newton’s second law) 106 กฎขอสามของนวตน (Newton’s third law) 108 กฎขอหนงของนวตน (Newton’s first law) 105 กฎอนรกษโมเมนตตมเชงมม (conservation of angular momentum) 166 กฎขอทสองของอณหพลศาสตร (the second law of thermodynamics) 343 กฎแหงความเฉอย (law of inertia) 105 กรอบอเนอรเซยหรอกรอบเฉอย (inertial frame) 96 กระบวนการแอเดยแบตก (adiabatic process) 341 กระบวนการไอโซคลอรก (isochoric process) 341 กระบวนไอโซเทอรมล (isothermal process) 342 กระบวนไอโซบารก (isobaric process) 342 กลศาสตรแบบด Wงเดม (classical mechanics) 47 การกระจด 47 การแกวงกวด (oscillation) 201 การแกวงกวดทมแรงเสรม (force oscillation) 240 การแกวงกวดแบบถกหนวง (damp harmonic oscillation) 236 การครอส (cross) 31

366

ดชน หนา

การเคลอนทแนวดงอยางเสร (free fall body) 63 การเคลอนทแบบการส น (oscillating motion) 216 การเคลอนแบบโพรเจกไทล (projectile motion) 79 การเคลอนทส น (vibrational motion) 201 การเคลอนทแบบฮารโมนกเชงดยว (simple harmonics motion) 202 การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ (uniform circular motion) 86 การเคลอนทสมพนธ (relative motion) 94 การชนกน (collision) 156 การชนกนในสองมต (two dimension collision) 162 การชนแบบไมยดหยน (inelastic collision) 159 การชนแบบไมยดหยนสมบรณ (completely inelastic collision) 159 การชนแบบยดหยน (elastic collsions) 157 การซอนทบ (superposition) 266 การซอนทบของคลนรปไซน 269 การซมตามรเลก (capillarity) 302 การดล (impulse) 154 การดอท (dot) 30 การถายโอนความรอน (heat transfer) 329 การแทรกสอด (interference) 270 การแทรกสอดของคลน (interference of wave) 270 การแทรกสอดแบบเสรม (constructive interference) 271 การแทรกสอดแบบหกลาง (destructive interference) 271 การนาความรอน 329 การผดรป (deformation) 307 การแผรงสความรอน 329,336

367

ดชน หนา

การพาความรอน 329,336 การพาความรอนแบบไมอสระ (forced convection) 335 การพาความรอนแบบอสระ (free convection) 335 การเลWยวเบนของคลน (diffraction of wave) 283 การวเคราะหกราฟ (graphical analysis) 54 การวเคราะหแบบฟเรยร (fourier analysis) 241 การส นพอง (resonance) 204 การหนวงเกน (over damped motion) 237 การหนวงตา (under damped motion) 237 การหนวงวกฤต (critically damped motion) 237 การหกเหของคลน (refraction of wave) 281 การอนรกษโมเมนตม 149 กาลง (power)) 180 กาลงเฉลย (average power) 263 กาลงมา (horse power)) 180 เกรเดยนต 40 เกรเดยนตของอณหภม (temperature gradient) 330

ข ของแขง (solid) 291 ของ (fluid) 291

ค คลนกล (mechanical wave) 247 คลนดล (wave pulse) 247

368

ดชน

หนา คลนตอเนอง (continuous wave) 247 คลนตามขวาง (transverse wave) 250 คลนตามยาว (longitudinal waves) 250 คลนทรงกลม (spherical wave) 264 คลนนง (standing wave) 273 คลนแบบมคาบ (periodic wave) 249 คลนแผนดนไหว (earthquake waves) 264 คลนแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic wave) 247 คลนรปไซน (sinusoidal wave) 248 ความเขม (intensity) 264 ความเคน 305 ความเคนเฉอน 310 ความเคนดง 305 ความเคนอด (compressive stress) 307 ความเครยด 305 ความเครยดเชงปรมาตร 309 ความเครยดดง 305 ความเครยดอด (compressive stress) 307 ความจความรอน (heat capacity) 325 ความจความรอนความรอนจาเพาะ (specific heat capacity) 325 ความจความรอนจาเพาะเมอความดนคงตว (cp) 327 ความจความรอนจาเพาะเมอปรมาตรคงตว (cv) 327 ความจความรอนโมลาร (molar heat capacity) 327 ความเฉอย (inertia) 104 ความดนเกจ (gauge pressure) 296

369

ดชน หนา

ความดนในของไหล (pressure in fluid) 292 ความดนสมบรณ (absolute pressure) 296 ความตงผว (surface tension) 300 ความถ (frequency) 89,208 ความถของคลน (frequency) 249 ความถเชงมมหลกมล (fundamental angular frequency) 242 ความไมแนนอน (uncertainty of measurement) 14 ความยาวคลน (wavelength) 249 ความรอนแฝงของการกลายเปนไอ (latent heat of vaporization) 342 ความเรง (acceleration) 53 ความเรงขณะใดขณะหนง (instantaneous acceleration) 54 ความเรงศนยกลาง (centripetal acceleration) 129 ความเรงเฉลย (average acceleration) 54 ความเรงเชงมม (angular acceleration) 89 ความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก (acceleration of gravity) 63 ความเรงในแนวสมผส (tangential acceleration) 129 ความเรงสศนยกลาง (centripetal acceleration) 88,129 ความเรว (velocity) 51 ความเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous velocity) 53 ความเรวของคลน (velocity) 249 ความเรวเฉลย (average velocity) 52 ความเรวเชงมม (average angular velocity) 88 ความเรวเชงมมขณะใดขณะหนง (instantaneous angular velocity) 89 ความเรวปลาย (terminal velocity) 316 ความเรวเฟส (phase velocity) 249 ความหนาแนน (density) 291

370

ดชน หนา

ความหนาแนนกระแสพลงงาน (energy current density) 34 ความหนด (viscosity) 303 คาคงทของการหนวง (damping constant) 236 คาคงทของสเตฟาน-โบลทมานน 336 คาคงทของสปรง (spring constant) 202 คาบ (period) 89,202 คาอปสรรค (prefixes) 7 เครล 40

ง

งาน (work) 172 งานจากสปรง (work from spring) 178 งานทางอณหพลศาสตร 337 จ จลนศาสตร (kinematics) 47 จดคราก (yield point) 312 จดสมดล (equilibrium position) 202 จล (joule) 172 ช เชยรมอดลส (shear modulus) 310

371

ดชน หนา

ด ไดเวอรเจนซ 40

ต

ตวกลางแบบไอโซทรอปก (isotropic medium) 264 ตวดาเนนการอนพนธ (differential operator) 204

ท ทองคลน (trough) 249 ทอร (torr) 297 ทอรก (torques) 136 เทอรมสเตอร (thermistor) 318 เทอรโมมเตอร (thermometer) 317 เทอรโมมเตอรสเกลฟารเรนไฮต ( oF) 320 เทอรโมสแตต (thermostat) 323

น นอรมอลโหมด(normal modes) 266 นWาหนก (weight) 114

บ บพ (node) 271 บลคมอดลส (bulk modulus) 309 บาร (bar) 293

372

ดชน หนา

บตส (beats) 227

ป ปฏบพ” (antinode) 271 ปรากฏการณส นพอง (resonance) 201 ปรพนธของเวกเตอร 38 ปรมาณความรอน (quantity of heat) 324 ปรมาณเวกเตอร (vector product) 19 ปรมาณสเกลาร (scalar product) 19 ปวส (poise) 303

ผ

ผลคณเชงเวกเตอร (vector product หรอ cross product) 31 ผลคณเชงสเกลาร (scalar product หรอ dot product) 30 ผลคณเชงสเกลารสามช Wน (triple scalar product) 32 ผลตางของเฟส (phase difference) 222 แผนภาพวตถเสร (free – body diagram) 115 แผนภาพเวกเตอรหมน (rotation vector) 223

พ

พลศาสตร (dynamics) 103 พลงงาน (energy) 181 พลงงานกล (mechanical energy) 181

373

ดชน หนา

พลงงานจลน (kinetic energy) 181 พลงงานในการเคลอนทแบบคลน 263 พลงงานภายใน (internal energy) 341 พลงงานศกยโนมถวง (gravitational potential energy) 184 พลงงานศกยยดหยน (elastic potential energy) 189,220 พลส (pulse) 266 พาสคาล(Pascal) 293 เพนดลมเชงประกอบ (compound pendulum) 219 เพนดลมแบบกรวย (conical pendulum) 130 โพรเจกชน (projection) 29

ฟ

ฟงกชนของไซน (sinusoidally) 248 ฟงกชนคลน (wave function) 251 ฟงกชนคลนรปไซน (sinusoidal pendulum) 252 ฟสกลเพนดลม (physical pendulum) 219 เฟส (phase) 249 เฟสตรงกน (inphase) 270

ม

มอดลสของความยดหยน 305 มอดลสของความยดหยน (elastic modulus) 260 มอดลสเฉอน 310

374

ดชน หนา

มาตร (odormeter) 48 มาตรวด (speedometer) 49 มาโนมเตอร (manometer) 296 มมสมผส (contact angle) 302 โมเมนตมเชงมม (angular momentum) 164,147 โมเมนตมเชงเสน (linear momentum) 147

ย

ยงมอดลส (young modulus) 306 ร

ระบบหนวยระหวางชาต 1 ระยะทาง (distance) 48 รงสอนฟราเรด (infrared) 336 รางลม (air track) 104 เราเรยกแรงททาใหเกดงานลกษณะนWวาแรงอนรกษ (conservative force) 184 แรงกรยา (action) 109 แรงคนตว (resorting force) 178,202 แรงเชอมแนน (cohesive force) 302 แรงดล (impulsive force) 154 แรงดงดดหรแรงโนมถวง (gravitational force) 103 แรงตาน (drag force) 132 แรงตานการเคลอนท (frictional force) 104 แรงทขWนอยกบความเรว (velocity-dependent force) 132

375

ดชน หนา

แรงนวเคลยรแบบเขม (nuclear force) 103 แรงปกต (normal force) 125 แรงปฏกรยา (reaction) 109 แรงแมเหลกไฟฟา (electromagnetic force) 103 แรงไมอนรกษ (nonconservative force) 188 แรงยดตด (adhesive force) 302 แรงลอยตว (buoyancy force) 133,298 แรงศนยกลาง (central force) 186 แรงสมผส (contact force) 103,125 แรงเสยดทาน (friction force) 125 แรงเสยดทานจลน (kinetic friction) 126 แรงเสยดทานสถต (static friction) 125 แรงหนด (viscous forces) 303 แรงอนรกษ (conservative force) 184 แรงอยางออน (weak force) 104

ล

ลวดลายการแทรกสอด (interference pattern) 270 ลกษณะของคลน 247 ลกตมนาฬกาเชงเดยว (simple pendulum) 216 เลขคลน (wave number) 252 เลขนยสาคญ (significant figures) 10 โลหะออสเมยม (osmium) 292

376

ดชน หนา

ว

วตต (watt) 180 เวกเตอรความเรง 76 เวกเตอรบอกตาแหนง (position vector) 73 เวกเตอรศนย (null vector) 21 เวกเตอรหนวย (unit vector) 20

ส

สถานะคงตว (steady state) 330 สภาพนาความรอน (thermal conductivity) 330 สภาพเปลงรงส (emissivity) 336 สภาวะสมผสความรอน (thermal contact) 317 สมการคลน (wave equation) 255 สมดลของวตถ (equilibrium of an object) 118 สมดลความรอน (liquid equilibrium) 317 สมมลกลของความรอน (mechanical equivalent of heat) 325 สนคลน (crests) 251 สมประสทธ mการขยายตวตามเสน (coefficients of linear expansion) 321 สมประสทธ mของความเสยดทานจลน 126 สมประสทธของความเสยดทานสถต 126 เสนบพ (node line) 271 เสนปฏบพ (antinode line) 271

377

ดชน หนา

ห หนวยเคลวน (kelvin) 320 หนวยเอสไอ (SI unit) 1 หลอดรเลก (capillary tube) 302 หลกการซอนทบ (the principle of superposition) 266 หลกของอารคเมดส (Archimedes principle) 298

อ

องคประกอบของความเรว (component velocity) 74 อนกรมฟเรยร (fourier series) 242 อนพนธของเวกเตอร 36 อตราเรว (speed) 48 อตราเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous speed) 49 อตราเรวของคลนตามขวาง (speed of a transverse wave) 259 อตราเรวของคลนตามยาว (speed of a longitudinal wave) 260 อตราเรวเฉลย (average speed) 48 อณหภม (temperature) 331 เอนโทรป (entropy) 344 แอมปลจด (amplitude) 202,249

379

บรรณานกรม

กองกญจน ภทรากาญจนและธนกาญจน ภทรากาญจน. (2544). ฟสกสมหาวทยาลยเลม 1

(พมพคร งท 5). กรงเทพมหานคร: ศนยผลตตาราเรยน สถาบนเทคโนโลยพระจอม

เกลาพระนครเหนอ

วนชย เคยนทอง.(2542). ฟสกส 1. นครราชสมา : สานกสงเสรมวชาการ มหาวทยาลยราชภฏ

นครราชสมา

ศรธน วรศกด 4โยธน. (2547). ฟสกส 1 (พมพคร งท 2).ปทมธาน: สกายบกส.

ศร ดวงพร. (2547). ฟสกสของคลน.อดรธาน:มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

Giancoli, D. C. (2000). Phisic for Scientists & Engineers. (3rd ed.) . NJ: Prentice Hall.

Halliday, D. & Resnick R. (1970). Fundamental of Physics. NY:John Wiley & Sons.

Joner,E.R.& Childers,R.L. (2001). Contemporaryn College Physics. (3rd ed.).

NY: McGraw – Hill.

Rees, R. L. (1998). University Physics. CA: Brooks/Cole.

Spiegel.M.R. (1967). Theoritical Mechanics schaum’ Outline Series, NY: McGraw – Hill

Walker, J.S. (2004). Physics. (2nd ed.). NJ: Pearson Education.

Wilson,J. D. & Buffa,A. J. (2003). College Physics. (5th ed.). NJ: Pearson Education.

Young, H. D. (1992). University Physics. NY: Addison – Wesley.