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CLCULO 1 (ING.) MA262 UPC 2015 01

Copyright UPC, rea de Ciencias, Equipo MA262

Clculo 1 MA262

Taller N 11

Ciclo 2015-01

Profesores del Taller: Jos Linares, Alejandro Flores, Reynaldo Egocheaga, Mike Hurtado,

Carlos Quispe

Coordinador del curso: Jess Manuel Acosta Neyra

Temas: reas de regiones, volumen de revolucin de regiones

1. Determine la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones (justifique sus

respuestas de manera clara y adecuada).

a. Si la regin acotada por las curvas 22yx y ,yx se gira alrededor de 1x . Entonces

el diferencial de volumen viene dado por:

2

2 22 1 ( 1)dV y y dy

Falso

Diferencial de volumen

2

2 2( 1) 2 1dV y y dy

b. 2 2

2

2

4

16

xdx

x

es una integral impropia.

Falso

La funcin 2 2

2

4 4( )

( 4)( 4)16

x xf x

x xx

tiene como puntos de discontinuidad a

4, 4x x donde ninguno de los dos pertenece al intervalo 2,2

=

1

r

R

Elemento diferencial



c. El rea de la regin sombreada determinada por el siguiente grfico es:

Falso

4 5

2 4

A g x h x dx f x h x dx

Descripcin de la regiones

21 ( , ) / 2 4; ( ) ( )x y R x h x y g x

22 ( , ) / 4 5; ( ) ( )x y R x f x y g x Diferencial de rea

1A g x h x dx

2A g x f x dx Entonces el rea pedido es:

4 5

2 4

A g x h x dx g x f x dx

d. Si 1

4

0

( )x x dx representa el volumen de la regin que gira alrededor del eje x ,

entonces la regin est descrita por 2 4, / 0 1,x y R x x y x . Falso:

Dando forma a la integral:

1

2 22

0

( )x x dx

Y del grafico se tiene una posible

regin

2 2, / 0 1,x y x x y x

1

1 = 2



2. Calcule el rea limitada por las curvas )(xfy y 2

2xy en donde

2 2

2( )

(1 )

xf x

x

con 1)0( f .

Primero debemos hallar ( )f x

2 2

2( )

(1 )

xf x dx

x

por el mtodo de sustitucin: 2Sea 1 2u x du xdx

2 1

2 2

2

(1 )

xdx u du u C

x

2

1( )

1f x C

x

como 1)0( f entonces 0C

2

1( )

1f x

x

Descripcin de la regin

2

2

2

1, / 1 1

2 1

xR x y x y

x

Diferencial de rea 2

2

1

1 2

xdA dx

x

Luego el rea ser

1 22

2

1

11,24

1 2

xA dx u

x

Respuesta: Por tanto el rea es 21,24 u

aproximadamente.




3. En el siguiente grfico describa la regin

sombreada, el elemento diferencial de

volumen caracterstico y plantee la integral

que determina el volumen del slido de

revolucin que se obtiene al hacer girar la

regin sombreada alrededor del eje Y.

Graficamos

Descripcin de las regiones:

213 8

, / 3 18 3

x y R y x y

, 2

2

2

8, / 3 6

9 3

yx y R y x y


En el intervalo [3

8 , 3] 1

81

3dV y dy

.

En el intervalo [3 , 6]

22

2

8

3 9

ydV y dy

Luego el volumen total ser:

1 2 V V V

23 6 2

3/8 3

8 81

3 3 9

yV y dy y dy

1

2

= 1

1 = 1

1 = 8/3

Elemento diferencial en 1

2 =2

9

2 = 8/3


1

1

2

2



4. Grafique la regin que est entre las curvas xy cos ; sen2y x ; 0x y 2/x .

Calcule el volumen del slido de revolucin que se obtiene al hacer girar la regin alrededor

del eje X.

Descripcin de las regiones.

21 , / 0 sen2 cos6

x y R x x y x

22 , / cos sen26 2

x y R x x y x

Diferencial de volumen 2 2

1 cos sen 2dV x x dx

2 2

2 sen 2 cosdV x x dx


1 2 V V V /6 /2

2 2 2 2

0 /6

cos sen 2 sen 2 cosV x x dx x x dx

2,04 V

Respuesta: Por tanto el volumen del slido es 32,04 u aproximadamente.

2

1 2 1

1





5. Grafique la regin plana situada en el primer cuadrante y acotada por la parbolas 23 xy

y 22xy .Calcule el volumen del slido de revolucin que se obtiene al hacer girar la regin

alrededor de la recta x = -1.

Grfica


21 , / 0 2 0 / 2x y R y x y 22 , / 2 3 0 3x y R y x y


2

2

1 / 2 ( 1) (1)dV y dy

2

2

2 3 ( 1) (1)dV y dy


1 2 V V V

2 3

2 2

0 2

/ 2 1 1 3 1 1V y dy y dy

317,28 V u

Repuesta: El volumen del slido es 317,28 u aproximadamente.

2 = 1

2 = 3 1


1 = 1

1 = /2 1


2

1

= 3

= /2

1

1

2

2



6. Calcule el rea de las regiones limitadas por:

a. 2 , , 2y x y x x

Las regiones son:

2 2; /1 2 ; R y x xx y x Diferencial de rea

2dA x x dx

En consecuencia el rea ser: 2

2

1

4 23

3A x x dx

Respuesta: Por tanto el rea es 1,11 2 aproximadamente.


Escriba aqu la ecuacin.



b. 22 )3(4; yxyx .


2

2 2, / 2 2 34

yR y x y y x

Diferencial de rea

2

234

ydA y dy

Luego el rea es

2 2

2 2

2

( 3 ) 8 4

yA y dy u

Respuesta: Por tanto el rea es 28u .

c. xy e , lny x ; 1x y 2x

=2

4+ 3 2





Descripcin de las regiones.

21 , /1 2 -ln exx y R x x y Diferencial de rea.

lnxdA e x dx

Luego el rea total ser:

2

2

1

ln 2ln(2) 1 5.06xA e x dx e e

Respuesta: Por tanto el rea es 25.06 u aproximadamente.

7. Encuentre el volumen del slido obtenido al girar la regin acotada por las curvas dadas alrededor de la recta especificada. (Usar el mtodo del disco o arandela.)

a. 1;0;2 xyxy ; al rededor del eje y .


2, / 0 1 y 1D x y y x


1R ; r y

22

1dV y dy

Ahora obtengamos el volumen:

1

22

0

1 2

V y dy

Respuesta: Por lo tanto el volumen del slido es 3 2

u

.

R

r

=

= 1


=

1 r



b. ; y x y x ; alrededor de 2x .


2 2, / 0 1 D y x y y x y


2 222 2dV y y dy

Formulamos la integral

1

2 22

0

82 2

15V y y dy

Respuesta: Por tanto el volumen del slido

es 38

15

u .

c. 22( 2) ; 2y x y alrededor de 8y

r

= 8 2 2 2

= 8 2


= 2

= 2 2


= 8

r

R

R




22, /1 3 2 2 2D x y x x y Elemento Diferencial de volumen

2

2 28 2 2 8 2dV x dx

Formulamos la integral

3

22 2 3

1

5448 2 2 6

15V x dx u

Respuesta: Por tanto el volumen del slido es 3544

15

u .

d. xyxxy ;4 2 alrededor de 5y .

Graficamos la regin y la describimos

2 2, / 0 3 4D x y x x y x x Diferencial de volumen

22 25 5 4dV x x x dx


3

22 2

0

1175 4 5

15V x x x dx

Respuesta: Por tanto el volumen del solido es 3117

15

u .

= 5

= 5 4 2


R

r



e. 24 ; 3, 2x y x x y alrededor de 1.x


2

1

2

2

2

, / 1 1 2 4

, /1 2 2 3

y x R y y x y

y x R y y x


2 22

1

2 22

2

4 ( 1) 3 ( 1)

4 ( 1) 2 ( 1)

dV y dy

dV y y dy


1 2

2 22 22 2

1 2

1 1

2595 4 5 3

15V V V y dy y y dy

Respuesta: Por tanto el volumen del slido es 3259

15

u .

2 = 2 1

2 = 4 2 1


2 2

1

2

1 1

2 = 2 1

2 = 3 1


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