1

5. Változók kapcsolatánakvizsgálata

2

Tartalom Kétdimenziós minta (pontdiagram) Trendvizsgálat, lineáris regresszió Determinációs együttható A korrelációs együttható jelentései A Fisher-féle Z-transzformáció A parciális korreláció modellje A sztochasztikus monotonitás

3

Kétdimenziós mintaTanuló Tanulással töltött

idő (óra/nap)Tanulmányi átlag

1. 2 3,0

2. 4 4,0

3. 2 4,0

4. 4 3,0

5. 1 3,5

6. 3 2,5

7. 5 3,0

8. 3 5,0

4

Pontdiagram (kétváltozós)

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

Hány órát tanul naponta?

Tan

ulm

ányi

átla

g

5

Pozitív lineáris kapcsolat (I)

35

40

45

50

55

1 2 3 4 5

Születési súly (kg)

Szü

leté

si h

ossz

(cm

)

6

Pozitív lineáris kapcsolat (II)

115

120

125

130

135

140

145

20 25 30 35 40 45

Testsúly 10 éves korban (kg)

Tes

tmag

. 10

éve

sen

7

Nem lineáris (U-alakú) kapcsolat

-3 0 3

X

Y

8

Függetlenség

20

50

80

20 50 80

0

0,5

1

0 0,5 1

Y Y

X X

9

Összefüggés, kapcsolat két változó (X és Y) között

Az X-értékek és az Y-értékek együttjárása, együttmozgása, együtt-változása valamilyen szabály szerint

10

Mi a szabály az alábbi két változó kapcsolatában?

35

40

45

50

55

1 2 3 4 5

Születési súly (kg)

Szü

leté

si h

ossz

(cm

)

11

Mire jó, ha egy ilyen szabályt feltárunk?

Megértünk valamit (elméleti szempont)

Segítségével következtetéseket vonhatunk le (gyakorlati szempont).

Pl.: ha X értéke ennyi, Y értéke mennyi?

12

Előrejelzés egyenes segítségével: ha X = 2, Y = ?

35

40

45

50

55

1 2 3 4 5

Születési súly (kg)

Szü

leté

si h

ossz

(cm

)

X

Y

13

Regressziós feladat Az X és az Y változó között az

összefüggés szabályának kitalálása: hogyan „függ” X-től Y?

A függés nem feltétlenül ok-okozati (pl. a gyerekről is lehet a szülőre következtetni)

A függés típusa többféle lehet: pl. lineáris vagy sokféle nemlineáris (U-alakú, exponenciális stb.)

14

Az előrejelzés alapfogalmaiJósolt (függő) változó: YJósló (előrejelző, független) változó: XLineáris előrejelzés (jóslás): Ŷ = a + bXAz x értékhez tartozó igazi Y-érték: yAz x értékhez tartozó előrejelzés:

ŷ = a + bx

15

0

80

160

240

320

0 1 2 3 4 5 X

a

‘a’: Y-tengelymetszet

‘b’: meredekségi együttható: b = tg(

Egy y = a + bx egyenes paramétereiY

16

A lineáris kapcsolat jellemzője

Nem mindig egyenes arányosságAzonos mértékű X-változást

mindig azonos mértékű Y-változás kísér1 egységnyi X-változás esetén Y várható

változása b egységnyi

17

Példa lineáris regresszióra

Változók: X: ThosszSzül, Y: Thossz10évesRegressziós egyenlet:

Ŷ = 96,88 + 0,83XKövetkeztetés (regressziós előrejelzés):

Pl. X = 45cm esetén:Ŷ = 96,88 + 0,83·45 = 134,23 (cm)

GYAK

18

A regressziós becslés hibája egy személynél

Ha egy személynél a becsült (előrejelzett) 10 éves kori testmagasság 151 cm (Ŷ) és a valódi érték 146 cm (Y), akkor a hiba: Abszolút eltérés: |151-146| = 5 cm

Négyzetes eltérés: (151-146)2 = 52 = 25 cm2

19

A regressziós becslés átlagos hibája: a standard hiba

Átlagos négyzetes eltérés = Hibavariancia = Res

Hibaszórás = Gyök(hibavariancia) = Standard hiba (SH)

20

Var(Y) és Res jelentése Var(Y): átlagtól való átlagos négyzetes eltérés

= átlaggal való becslés hibavarianciája. (!!!)

SH2 = Res: regressziós becslés hibavarianciája.

Minél kisebb Var(Y)-nál Res, annál jobb a regressziós becslés

Hibacsökkenés: Var(Y) – Res

Relatív hibacsökkenés: (Var(Y) – Res)/Var(Y)

21

PéldákVáltozó Átlag Variancia Res SH RHCS

X: ThosszSzül 50,2 6,4Y: Thossz10 138,7 41,5 37,09 6,1 0,107

X: Anyatesth 161,1 38,3Y: Thossz10 138,7 41,5 36,02 6,0 0,132

X: Apatesth 173,4 46,0Y: Thossz10 138,7 41,5 35,96 6,0 0,134X: Tsúly10 33,2 46,4Y: Thossz10 138,7 41,5 23,33 4,8 0,438

GYAK

22

A determinációs együttható

Relatív hibacsökkenés = determinációs együttható

Megmagyarázott variancia-arány

Jelölés: Det(X, Y)

23

A korrelációs együttható A korrelációs együttható abszolút értéke a

determinációs együttható négyzetgyöke:

)Y,X(Detr A korrelációs együttható előjele megegyezik

a regresszió meredekségi együtthatójának (b) előjelével:

Pozitív trend: +, negatív trend:

24

A korrelációs együttható jelölései

Populációbeli (elméleti) korrelációs együttható jelölése:

ρ (ejtsd: ró), ρxy, ρ(x,y)

Mintabeli (Pearson-féle) korrelációs együttható jelölése:

r, rxy, r(x,y)

25

Egy korrelációs mátrix (n = 500)

Változó Súly0 Súly10 Tmag0 Tmag10

Súly0 1 0,16 0,79 0,24

Súly10 0,16 1 0,23 0,66

Tmag0 0,79 0,23 1 0,33

Tmag10 0,24 0,66 0,33 1

26

Néhány tipikus korreláció

Változók (X és Y) Korreláció

IQ és egyetemi előmenetel 0,3–0,5

Egypetéjű, együtt nevelt ikrek IQ-ja 0,86

Együtt nevelt testvérek IQ-ja 0,47

Külön nevelt testvérek IQ-ja 0,24

CPI Jó közérzet skálája és a házassággal való elégedettség

0,25–0,35

Vallásgyakorlat és istenhit 0,68

Vallásgyakorlat és vallási kultúra ismerete 0,03

Férj és feleség testsúlya 0,22

27

050

28

050

29

090

30

083

31

0

32

A korrelációs együttható jellemzői -1 r 1, -1 1 Ha X és Y független, akkor (X,Y) = 0. Ha (X,Y) = 0, vagyis ha X és Y korrelálatlan, akkor

nem feltétlenül függetlenek, de biztos, hogy nincs köztük lineáris típusú összefüggés (U vagy fordított U alakú kapcsolatban persze lehetnek).

Ha X és Y együttes eloszlása normális, azaz bármely rögzített X = x mellett Y normális, akkor a függetlenség és a korrelálatlanság ekvivalens.

33

A lineáris transzformáció hatása a korrelációs együtthatóra

Lineáris transzformációk:– Szám hozzáadása a változóhoz: Y = X +

100– Változó számmal szorzása: Y = 10X– Ezek kombinációja: Y = 50 + 3X

ρ és r abszolút értéke nem változik, legfeljebb az előjele

34

A korrelációs együttható szignifikanciájának vizsgálata

Nullhipotézis: H0: ρ = 0

Döntés alapja: egy n-elemű mintában kiszámított korrelációs együttható (r)

Mitől függ H0 elutasíthatósága?

– Az r együttható nagysága– Az f szabadságfok nagysága (f = n - 2)

Korrelációk férj és feleség Korrelációk férj és feleség ugyanazon jellemzői közöttugyanazon jellemzői között

CPI-skálák Rossz h. (n = 10)

Közepes (n = 14)

Jó ház. (n = 13)

Dominancia -0,362 0,273 0,406

Szociális jelenlét -0,145 0,398 0,627*

Önelfogadás -0,719* -0,061 0,278

Szorongás -0,588 -0,534* 0,259

Felelősségtudat 0,637* 0,541* -0,102

Tolerancia -0,308 0,364 0,431

36

Korrelációs mátrix szignifikanciákkal

Lányok (n = 256) SúlySzül Súly10

MamaSúly 0,289*** 0,201**

PapaSúly 0,097 0,282***

MamaTmag 0,213*** 0,121+

PapaTmag 0,126* 0,140*

(f = 254; +: p < 0,10 *: p < 0,05 **: p < 0,01 ***: p < 0,001)

GYAK

37

Korrelációs mátrix p-értékekkel

Lányok (n = 256) SúlySzül Súly10

MamaTmag 0,213*** p=0,0006

0,121+ p=0,0532

PapaTmag 0,126* p=0,0443

0,140* p=0,0251

(f = 254; +: p < 0,10 *: p < 0,05 **: p < 0,01 ***: p < 0,001)

GYAK

A A 00: : = = 00 hipotézis hipotézis

vizsgálatavizsgálata

Szakmai kérdés: két változó (X és Y) korrelációja () egy populációban megegyezik-e egy feltételezett értékkel (0)?

Az r együtthatón végrehajtott Fisher-féle Z-transzformáció

segítségével lehetségesZ(r) normális eloszlású lesz

0: = 0

Intervallumbecslés Intervallumbecslés -ra-ra

Szintén a Z-transzformáció segítségével:

C0,95 = (r1; r2)

41

Intervallumbecslés -ra A nullhipotézis elutasítása csak annyit jelent,

hogy valószínűleg ρ ≠ 0. Ez nem sokat mond nekünk. 95%-os konfidencia-intervallum (hol kell

keresnünk nagy (95%-os) megbízhatósággal ρ-t?

C0,95 = (ra; rf)

Pl. n = 500, r = 0,79 esetén: C0,95 = (0,75; 0,82)

Pl. n = 16, r = -0,87 esetén: C0,95 = (-0,96; -0,65)GYAK

Korrelációs együtthatók Korrelációs együtthatók összehasonlítása összehasonlítása független minták független minták

segítségévelsegítségével 00: : 11 = = 22

0: 1 = 2

Ha H0 igaz, Z* st. norm. eloszlású

ZZ r Z r

n n

* ( ) ( )

1 2

1 2

13

13

hibaStZdifZ ./*

Személyiség és házasság: Személyiség és házasság: korrelációk férj és feleség közöttkorrelációk férj és feleség között

CPI-skálák Rossz h. (n = 10)

Közepes (n = 14)

Jó ház. (n = 13)

Önelfogadás -0,719* -0,061 0,278

Szorongás -0,588 -0,534* 0,259

45

A korreláció nem feltétlenül oki kapcsolat, csak egy együttjárás

Ha > 0, akkor három eset lehetséges:

a) X pozitív hatással van Y-ra

b) Y pozitív hatással van X-re

c) Valamilyen Z háttérváltozó hat egyidejűleg X-re és Y-ra

Z

A parciális korrelációs A parciális korrelációs együttható együttható

Meglepő korrelációk

Milyen korreláció van egy általános iskola összes tanulójának a mintájában a szókészlet és a lábméret között?

X ~~~~ Y

Z

A parciális korrelációs A parciális korrelációs együttható együttható logikájalogikája

A parciális korrelációs együttható jelentése

Milyen lenne X és Y között a korreláció, ha a Z változó hatását kiküszöbölnénk, állandó szinten tartva az értékét (feltételes korreláció)?Alkalmazási feltétel: X, Y és Z legyen külön-külön és együtt is normális eloszlású.

X és Y felbontásaX és Y felbontása

X változó

Z-től függőrész

Z-tőlnem függő

rész

Y változó

Z-től függőrész

Z-tőlnem függő

rész

Xmar Ymar

X = Xz + Xmar

Lineáris regresszióval

Y = Yz + Ymar

XY.Z = (Xmar,Ymar)

A XY.Z parciális korreláció a Z

lineáris hatásától „megtisztított”

X és Y közti sima korreláció

X ~~~~ Y

Z

Érdekes példa

0,64

0,80 0,80

rxy.z = 0

Másik érdekes példa

X ~~~~ Y

Z

0,10

-0,60 0,60

rxy.z = 0,72

Egy Rorschach-példa (n = 359 normál személy)

r(Isk, Ruha) = 0,32**

r(Isk, Táj) = 0,26**

r(Isk, Szem) = 0,18**

Korrelációk Korrelációk a Rorschach-Feleletszámmala Rorschach-Feleletszámmal

Iskol. Ruha Táj Szem

FSZ 0,38** 0,57** 0,29** 0,41**

Korrelációk és parciális Korrelációk és parciális korrelációk az iskolázottsággalkorrelációk az iskolázottsággal

X = Isk Y=Ruha Y=Táj Y=Szem

Korr (rIsk,Y) 0,32** 0,26** 0,18**

Parc. korr. (rIsk,Y.FSZ ) 0,13* 0,17**

0,03

GYAK

58

Mi történik, ha a parciális korreláció normalitási feltétele sérül?

Ilyenkor a változók között nem csak lineáris kapcsolatok léphetnek fel

A lineáris kapcsolat kiszűrésével nem szűrjük ki a háttérváltozó teljes hatását

A parciális korreláció nem feltétlenül egyezik meg a feltételes korrelációval

Téves értelmezés lehetősége!!!

59

Mit csináljunk, ha a változóink nem normális eloszlásúak?

Wilcox-féle robusztus korreláció (rpb)

Rangkorrelációk minimum ordinális változók között (monotonitási mérőszámok)

– Spearman-féle rangkorreláció: Pearson-korreláció a rangszámok között

– Kendall-féle rangkorreláció: pozitív és negatív kapcsolat arányának a különbsége

Két változó,X és Y

sztochasztikus monoton kapcsolata

0

4

8

12

16

0 1 2 3 4

Y

X

Determinisztikus monoton növekedés

Ha X nő,akkor

Y is nő.

0

4

8

12

16

0 1 2 3 4

Y

X

Sztochasztikus monoton növekedés

***

*

*

*

*

*

**

*

* *

*

*

*

*

Ha X nő,akkorvaló-színű,hogy

Y is nő.

Ksz. X Y 1. 1 35 2. 1,5 34 3. 2 36 4. 3 37 5. 7 38 6. 10 39

Egy példa

Ksz. X rang Y rang 1. 1 1 35 2 2. 1,5 2 34 1 3. 2 3 36 3 4. 3 4 37 4 5. 7 5 38 5 6. 10 6 39 6

Változónként rangsorolunk

Spearman-féle rangkorreláció (rS):korreláció a rangszámok

között

+

A

B

C

D X

Y

Konkordancia és diszkordancia

Konkordáns pár: kis X kis Y-nal, nagy X nagy Y-nal jár együtt (pozitív együttjárás)Diszkordáns pár: kis X nagy Y-nal, nagy X kis Y-nal jár együtt (negatív együttjárás)

pp

pKonkordáns párokaránya a populációban

pDiszkordáns párokaránya a populációban

Kendall-féle monotonitási e.h.

1 +1 Ha X és Y független: 0 = 0: nincs sztoch. monotonitás 1tiszta monoton fogyó

kapcsolat1tiszta monoton növő

kapcsolat

A Kendall-féle jellemzői

70

Mit csináljunk, ha X és/vagy Y nem folytonos?

Egyirányú monotonitási mérőszámok (Somers-féle DYX és DXY)

Egyirányú mérőszámok geometriai átlaga: Kendall-féle tau-b

Erős diszkrétség esetén: Kendall-féle gamma

p p

p p

A Kendall-féle gammamonotonitási együttható

A pozitív kapcsolat relatív fölénye. Diszkrét X és Y esetén javasolt.

1 +1 Ha X és Y független: = 0 Ha = 0: nincs sztoch. monot. Ha = 1: p+ = 0

Ha = +1: p = 0

A Kendall-féle jellemzői

A H0: = 0 hipotézis vizsgálata

Mintabeli tau: Kendall-féle rangkorrelációs együttható (r)

Sztochasztikus monotonitás tesztelése: r szignifikanciájának vizsgálata

H0: Nincs monoton kapcsolat

+

A

B

C

D X

Y

r kiszámítása a mintában

++

C+

E = n = 4F = n= 2

r = (4-2)/6

= 2/6 = 0,33

E = konkordanciák számaF = diszkordanciák számaT = összes párok száma

= n(n-1)/2

r = (E - F)/T, = (E - F)/(E+F)

Mikor teljesül az, hogy r = ?

r és képlete