2016-a...

2016-A 電気回路理論第一後半

教員: 小関泰之入力: 高橋光輝

September 25, 2017

第 1回

講義ページ https://sites.google.com/site/ysozeki/lecture

1 過渡現象

1.1 過渡現象とは?

応用: ディジタル回路・アナログ回路・制御・物理現象

4つの見方

� 微分方程式 (今日)

� 周波数特性

1

� インパルス応答・ステップ応答

� 伝達関数 (複素周波数平面)

ラプラス変換・フーリエ変換がこの 4つを繋げてくれる。

→複雑な回路へ

1.2 回路方程式から微分方程式へ

1.2.1 基本: KVL (キルヒホッフの電圧則)

vR + vL + vC = v (t)

2

Ri+ Ldi

dt+

1

C

∫idt = v (t)

→微分

Rdi

dt+ L

d2i

dt2+

i

C=

dv (t)

dt

1.2.2 複雑な回路

連立微分方程式

{Ri1 + L d

dt (i1 + i2) = v (t)1C

∫i2dt+R2i2 = L d

dt (i1 + i2)

1.2.3 相互インダクタンス

向きに注意

{Ri1 + L1

di1dt −M di2

dt = v (t)

L2di2dt −M di1

dt + 1L

∫i2dt = 0

3

1.3 RC回路

(あとで RL回路・RLC回路)

Ri+1

C

∫idt = V (t ≧ 0)

微分して、

Rdi

dt+

1

Ci = 0

変数分離して、di

i= − 1

RCdt

積分して、

log i = − 1

RC+K → i (t) = ke−

tRC

ただし k = eK。

スイッチを入れた直後、vc (0+) = 0より初期条件

i (0+) =V

R= k

i (t) =V

Re−

1RC (t ≧ 0)

vR (t) = Ri (t) = V e−t

RC

vc (t) = V − vR (t) = V(1− e−

tRC

)

4

・C に供給されるパワー

PC (t) = vC (t) i (t)

=V 2

Re−

tRC

(1− e−

tRC

)・時刻 tまでに蓄えられるエネルギー

WC (t) =

∫ t

0

PC (t) dt

=1

2CV 2

(1− 2e−

tτ + e−

2tτ

)t→∞でWC → 1

cCV 2

電源を短絡すると?

5

i (t) = ke−t

RC

vC (0+) = V より、

i (0+) = −V

R

i (t) = −V

Re−

tRC (t ≧ 0)

1.4 RL回路

6

Ri+ Ldi

dt= V (t ≧ 0)

変数分離して、

i+L

R

di

dt=

V

R

i− V

R= −L

R

di

dt

di

i− VR

= −R

Ldt

log

(i− V

R

)= −R

Lt

∴ i (t) =V

R+ ke

RL t

インダクタの電流は連続的に変化するため、初期条件 i (0+) = 0 = VR + k

i (t) =V

R

(1− e−

RL t)

7

・Lに供給されるパワー

PL (t) = vL (t) i (t)

=V 2

Re−

RL t(1− e−

RL t)

・時刻 tまでに蓄えられるエネルギー

WL (t) =

∫ t

0

PL (t) dt

t→∞−−−→ L

2

(V

R

)2

・電源短絡時

Ri+ Ldi

dt= 0

i (t) = ke−RL t

i (0+) = VR より、

i (t) =V

Re−

RL t

8

1.5 RLC回路

Ri+1

C

∫idt+ L

di

dt= V (t ≧ 0)

微分して、

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Ci = 0

試行解 k = est(s: 複素数)を代入

Ls2 +Rs+1

C= 0

s = − R

2L±

√(R

2L

)2

− 1

LC

= s1, s2

とし、場合分けする。

1. s: 2つの実数解

2. s: 重解

3. s: 複素数解

9

下準備 i) オイラーの公式

ejθ = cos θ + j sin θ

覚え方: f (θ) = ejθ とすると、 {f (0) = 1ddθf (θ) = jf (θ)

ii) 三角関数

cos θ =ejθ + e−jθ

2, sin θ =

ejθ − e−jθ

2j

10

iii) 双曲線関数

cosh θ =eθ + e−θ

2, sinh θ =

eθ − e−θ

2

1.(

R2L

)2> 1

LC は S は 2つの実数解

s1 = − R

2L+

√(R

2L

)2

− 1

LC≡ −a+ b

s2 = − R

2L−

√(R

2L

)2

− 1

LC≡ −a− b

ただし

a =R

2L

b =

√(R

2L

)2

− 1

LC

として、i (t) = k1es1t + k2e

s2t(一般解)とおく。

初期条件から k1, k2 をて決定

t = 0+の

11

� 電流: i (0+) = 0→ k1 + k2 = 0

� 電圧: vL (0+) = Ldidt = V → L (k1s1 + k2s2) = V

から、

k1 = −k2 =V

L

1

s1 − s2=

V

2bL

i (t) =L

2bL

(e(−a+b)t − e(−a−b)t

)=

V

bLe−at sinh bt

vR = Ri (t)

vL = Ldi

dtvC = V − vR − vL

2.(

R2L

)2= 1

LC のとき、sは重根

s1 = s2 = − R2L = −a

一般解i (t) = k1e

−at + k2te−at

(重根のとき te−at も解)

12

証明

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Li = L

(d

dt− s1

)(d

dt− s2

)i

= L

(d

dt+ a

)(d

dt+ a

)i

ここで i = tne−at とおくと(d

dt+ a

)i = ntn−1e−at − atne−at + atne−at

従って n = 1として、i = te−at とすると、(d

dt+ a

)(d

dt+ a

)i =

(d

dt+ a

)(d

dt+ a

)te−at =

(d

dt+ a

)e−at = 0

初期条件から k1, k2 を決定する。

t = 0+における

� 電流: i (0+) = 0→ k1 = 0

� 電圧: Ldidt = V → k2 = V

L

i (t) =V

Lte−at

別解 b→ 0とすると sinh bt ∼ btとでき、

i (t) =V

Lte−at

13

3.(

R2L

)2< 1

LC のとき (複素数根)

s1 = − R

2L+ j

√1

LC−(

R

2L

)2

≡ −a+ jβ

s2 = − R

2L− j

√1

LC−(

R

2L

)2

≡ −a− jβ

として、一般解

i (t) = k1es1t + k2e

s2t

= e−at(k1e

jβt + k2e−jβt

)初期条件{

i (0+) = 0 → k1 + k2 = 0

L didt

∣∣t=0

= V → L (k1s1 + k2s2) = L (−a (k1 − k2) + jβ (k1 − k2)) = V

i (t) = e−at V

2jβL

(ejβt − e−jβt

)=

V

βLe−at sinβt

1. で b = jβ としても同じ。

14

定常状態のあと、t = 0で電源を短絡{i (0+) = 0

vL (0+) = L didt

∣∣t=0

= −V

1.6 LC回路

RLC回路で R→ 0(a→ 0)

i (t) =V

βLsinβt

β =

√1

LC≡ ω0

ω0: 固有角周波数

とすると、

i (t) =V

ω0Lsinω0t

15

1.7 まとめ

1. 回路は過渡応答を持つ

2. 微分方程式で解析できる

3. RC、RL回路: 時定数 τ(= RC, L

R

)で指数減少

4. RLC

減衰的臨界的振動的

5. 余談 1: RCL回路と工学

Q =∫idtを用いた KVL

Ld2

dt2Q+R

dQ

dt+

1

CQ = V

md2x

dt2︸︷︷︸慣性力

+Pdx

dt︸︷︷︸摩擦

+ kt︸︷︷︸ばね

= F

16

電荷 Q⇔位置 x

電流 i = dQdt ⇔速度

dxdt

L⇔m1C ⇔ k

パワー vi⇔ F dxdt

6. 余談 2

今日の話はステップ入力に対応する応答

v (t) =

{v (t ≧ 0)

0 (t < 0)

=V

2︸︷︷︸直流

+

∫ ∞

0

1

πωsinωtdω︸︷︷︸

様々な周波数の正弦波の和

それぞれの周波数に対する回路の応答を計算すればよい。

→フーリエ変換、ラプラス変換

第 2回

評価について

� 課題とテストの問題が「そっくり」になるようにしている

� 電気系なら必ず身につけていてほしい問題

17

本日の内容

� レポートの解説

� 2. 交流回路の過渡現象

� 2.1. 交流 RC回路

� 2.2. 交流 RL回路

� 2.3. 交流 RLC回路

� 2.4. 交流 LC回路

� 2.5. まとめ

� 3. ラプラス変換

� 3.1. 線形時不変系

レポート解説 (1)

KVLより、

Ri+1

C

∫idt+ L

di

dt= 0

微分して、

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Ci = 0

(2)

i (t) = kest を代入

Ls2 +Rs+1

C= 0

S = − R

2L±

√(R

2L

)2

− 1

LC= − R

2L± j

√1

LC−(

R

2L

)2

≡ −a± jβ

基本解:i (t) = e−at

(k1e

jβt + ke−jβt)

18

初期条件

{i (0+) = 0

L didt

∣∣t=0+

= −V より、i (t) = − VβLe

−at sinβt

(3)

t = 0で、エネルギーを蓄積しているのはキャパシタのみ。 12CV 2。

t > 0で、エネルギーを蓄積するのは抵抗のみ。 12CV 2

W =

∫ ∞

0

Ri2 (t) dt = · · · = 1

2CV 2

※

19

2 交流回路の過渡現象

t > 0で、KVL

Ri+1

C

∫idt+ L

di

dt= V sin (ωt+ φ)

微分して、

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Ci = ωV cos (ωt+ φ)

となり、右辺が 0にならない。

交流回路: 非斉次微分方程式を解く必要。

20

2.1 交流RC回路

KVL

Ri+1

C

∫idt = V sin (ωt+ φ)

Rdi

dt+

i

C= ωV cos (ωt+ φ)

別紙式 (9)を使って特解を求める。F (D) = RD + 1C とおく。

i (t) = ℜ[

ωV

F (jω)ej(ωt+φ)

]= ℜ

[ωV ej(ωt+φ)

jωR+ 1C

]= ℜ

[1

j

V ej(ωt+φ)

R+ 1jωC

]︸︷︷︸

三角関数

R+1

jωC= R− j

ωC≡ Ze−jθ

21

is = ℜ[1

j

V ejm(ωt+φ

Ze−jθ

]=

V

Zsin (ωt+ φ+ θ)

(特解

)� 基本解: it = ke−

tRC

� 一般解:

i (t) = is (t) + it (t)

=V

Zsin (ωt+ φ+ θ) + ke−

tRC

� 初期条件: i (0+) =VR sinφ

初期条件より、k = V(

sinφR − sin(φ+θ)

Z

)

i (t) = V

sin (ωt+ φ+ θ)

Z︸︷︷︸特解 (定常解)

+

(sinφ

R− sin (φ+ θ)

Z

)e−

tRC︸︷︷︸

過渡応答

2.2 交流RL回路

KVL:

Ldi

dt+Ri = V sin (ωt+ φ)

別紙式 (11)を適用。

22

F (D) = LD +Rとおく。

is (t) = ℜ[V ej(ωt+φ)

jF (jω)

]= ℜ

[1

j

V ej(ωt+φ)

R+ jωL

]R+ jωL = Zejθ とおく。


jZejθ

]= ℜ

[V

jZej(ωt+φ−θ)

]=

V

Zsin (ω + φ− θ)

(特解

)� 基本解: it (t) = ke−

RL t

� 一般解: i (t) = is (t) + it (t)

� 初期条件: i (0+) = 0

i (t) =V

Z

sin (ωt+ φ− θ)︸︷︷︸定常解

− sin (φ− θ) e−RL t︸︷︷︸

過渡応答

2.3 交流RCL回路 (振動的 1LC

>(

R2L

)2)

KVL+微分:

Ld2i

dt2+R

di

dt+

i

C= ωV cos (ωt+ φ)

23

別紙式 (9)。F (D) = LD2 +RD + 1C とおき、

is (t) = ℜ[ωV ej(ωt+φ)

F (jω)

]= ℜ

[ωV ej(ωt+φ)

−ω2L+ jωR+ 1C

]= ℜ

[1

j

V ej(ωt+φ)

R+ j(ωL− 1

ωC

)]

R+ j(ωL− 1

ωC

)≡ Zejθ とする。


jZejθ

]=

V

Zsin (ωt+ φ− θ)

基本解:

it (t) = e−at(k1e

jβt + k2e−jβt

)= e−at ((k1 + k2) cosβt+ j (k1 − k2) sinβt)

= e−at (K1 cosβt+K2 sinβt)

初期条件: {i (0+) = 0

L didt

∣∣t=00

= V sinφ t = 0における電源電圧

K1 = −V

Zsin (φ− θ)

K2 =V

Z

(Z

βLsinφ− ω

βcos (φ− θ)− a

βsin (φ− θ)

)以上合わせて、

i (t) =V

Z

sin (ωt+ φ− θ)︸︷︷︸定常解 (特解)

+e−at (K1 cosβt+K2 sinβt)︸︷︷︸減衰振動

ω: 電源周波数

β: 回路の固有振動数

24

2.4 交流LC回路

RLC回路で R→ 0とする。

a =R

2L→ 0

β =

√1

LC−(

R

2L

)2

→√

1

LC≡ ω0

(共振周波数

)Z =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

→∣∣∣∣ωL− 1

ωC

∣∣∣∣θ =

{π2 ω > ω0

−π2 ω < ω0

ω > ω0 のとき、Z = ωL− 1ωC , θ = π

2

K1 = −V

Zsin(φ− π

2

)=

V

Zcosφ

K2 =V

Z

(ωL− 1

ωC

ω0Lsinφ− ω

ω0cos(φ− π

2

))= −V

Z

sinφ

ω0ωLC

= −V

Z

ω0

ωsinφ

i (t) =V

Z

sin(ωt+ φ− π

2

)︸︷︷︸

定常解

+cosφ cosω0 −ω0

ωsinφ sinω0t︸︷︷︸

周波数ω0(減衰しない)

ω = ω0 のとき (電源周波数と回路の共振周波数が等しい)、F (jω) = 0なので、別紙式 (10)を用いる。

φ = 0のとき、i (t) = V2L t sinω0t

25

� 発散する

� 徐々に増える

� 定常状態解析ではわからない。過渡応答解析で初めて分かる。

2.5 まとめ

交流回路の過渡応答: 非斉次微分方程式直流・交流ともに計算が面倒→ラプラス変換

3 ラプラス変換 (前半)

3.1 線形時不変系 (インパルス応答とたたみこみ)

RC, RL, RLC, LCはみな線形時不変

26

インパルス応答 h (t): デルタ関数に対する、H の応答。

デルタ関数 δ (t)→H →インパルス応答 h (t)

f (t) =

{1ε (0 ≦ t ≦ ε)

0 (t < 0, t > ε)

δ (t) = limε→0

f (t)

27

h (t)がわかると、H の性質がすべてわかる。

デルタ関数の性質

1.∫f (t) δ (1− τ) dt = f (τ)

f : 上の f (t)とは異なる一般的な関数

2.∫f (τ) δ (t− τ) dt = f (t)

1. で tと τ を入れ替え、δ (t) = δ (−t)を使う。

様々な時間 τ におけるデルタ関数 δ (t− τ)に重み付け f (τ)をかけて足し合わせると、f (t)を表せる。

y (t)は x (t)と h (t)のたたみこみ。

28

� ラプラス変換

� フーリエ変換

はたたみこみを計算するツール。

注: たたみこみは順序によらない。

x (t) ∗ h (t) =∫

x (τ)h (t− τ) dτ

= −∫ ∞

−∞x (t− t′)h (t′) dt′

=

∫ ∞

−∞h (t′)x (t− t′) dt′

= h (t) ∗ x (t)

インパルス応答の例

KVL

Ldi

dt+Ri = v (t)

v (t) = δ (t) , i (t) = h (t)とする。

� t < 0→ h (t) = 0

29

� t = 0→ L djdk

∣∣∣t=0

= δ (0) =∞

h (0+) = limt→0

∫ ε

0

dh

dtdt

= limε→0

∫ ε

0

1

Lδ (t) dt =

1

L

� t > 0

h (t) = ke−RL t

したがって、

h (t) =

{0 (t < 0)1Le

−RL t (t ≧ 0)

RL回路のコンダクタンスのインパルス応答

i (t) = v0 cosωt ∗ h (t) = h (t) ∗ v0 cosωt

=v0L

∫ ∞

0

e−RL τ cosω (t− τ) dτ

=v0L

∫ ∞

0

e−RL τ 1

2

(ejω(t−τ) + e−jω(t−τ)

)dτ

= · · · = v02

[ejωt

R+ jωL+

e−jωt

R− jωL

]= ℜ

[v0e

jωt

R+ jωL

]

30

R+ jωLの部分が Rと Lの直列インピーダンスとなっている。

� 交流回路さえも、インパルス応答のたたみこみで計算できる。

� 回路は周波数ごとに異なる応答をしているわけではない。

� 常にインパルス応答で応答しているだけ。

続きは次回 (12/8)

第 3回

レポート解

i (t) =V

2ω0Lsinφ sinω0t+

V t

2Lsin (ω0t+ φ)

本日の内容

� 3 ラプラス変換

� 3.1 線形時不変系 (復習)

� 3.2 線形代数のおさらい

� 3.3 フーリエ変換

� 3.4 ラプラス変換

� 3.5 微分積分のラプラス変換

� 3.6 まとめ

たたみこみをいかに計算するか→線形代数を活用

31

3.2 線形代数のおさらい

(1) n次元の空間を n個のベクトルの線形結合で表す。基底

(2) ベクトルの内積

r⃗1 · r⃗2 = |r⃗1| |r⃗2| cos θ

実数成分の時、

r⃗1 = (x1, y1, z1, · · · )r⃗2 = (x2, y2, z2, · · · )

とすると、r⃗1 · r⃗2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 + · · ·

(3) 複素数の内積

a⃗ = (a1, a2, a3, · · · )

b⃗ = (b1, b2, b3, · · · )

an, bn: 複素数

a⃗ · b⃗ = a1b∗1 + a2b

∗2 + a3b

∗3 + · · ·

この定義によって、

a⃗ · a⃗ = a1a∗1 + a2a

∗2 + a3a

∗3 + · · ·

= |a1|2 + |a2|2 + |a3|2 + · · · ≧ 0

32

長さの 2乗となる。

(4) 連続関数の内積 ∫f (t) g∗ (t) dt

(5) 正規直交基底

基底のとり方のうち、長さが 1で互いに直交しているもの。

(6) 正規直交基底入っする基底変換

適当なベクトル r⃗を正規直交基底の線形結合で表す。

r⃗ = c1e⃗1 + c2e⃗2

重み付けの係数は、上式と e⃗1, e⃗2 の内積で求まる。

33

r⃗ · e⃗1 = c1e⃗1 · e⃗1 + c2e⃗2 · e⃗1 = c1

r⃗ · e⃗2 = c1e⃗1 · e⃗2 + c2e⃗2 · e⃗2 = c2

(7) 固有ベクトル

Ar⃗ = λr⃗

A: 線形変換 (行列)

λ: 固有値線形変換の結果が、自身の定数倍

3.3 フーリエ変換

f (t)を無限次元のベクトル空間と捉える。

f (t) =

∫ ∞

−∞f (τ) δ (t− τ) dτ

f (τ): 重み付けδ (t− τ): 基底

F (ω)を求めるには?: 基底変換 1√2π

ejωt が正規直交基底であることを利用。∫ ∞

−∞

ejωt

√2π

(ejωt

√2π

)∗

dt = · · · = δ (ω1 − ω2)

ω1 ̸= ω2 のとき、内積が 0

ω1 = ω2 のとき、平行。

34

証明したい人へ ω = ω1 − ω2 とおく。

(左辺

)=

1

2π

∫ ∞

−∞ejωtdt

= limT→∞

1

2π

∫ ∞

−∞e−

t2

2T2 ejωtdt

= · · · = limT→∞

T√2π

e−T2ω2

2

= δ (ω)

ある関数 g (t)を基底変換 ∫g (t)

(1√2π

ejωt

)∗

≡ G (ω)

とすると、 1√2π

ejωt の線形結合で g (t)を表せる。

g (t) =

∫G (ω)

1√2π

ejωtdω

正規直交基底を使ったフーリエ変換 (対称性を大事にする場合)

電気系の流儀 f (t) = g (t) , F (ω) =√2πG (ω){

F (ω) =∫∞−∞ f (t) e−jωtdt フーリエ変換は基底との内積

f (t) = 12π

∫∞−∞ F (ω) ejωtdω フーリエ逆変換は基底との線形結合

なぜ ejωt を基底に使うの? ejωt は、畳込みに対する固有ベクトル

y (t) = x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t)

=

∫h (τ)x (t− τ) dτ

x (t) = ejωt とする。

35

y (t) =

∫h (t) ejω(t−τ)dt

= ejωt

∫h (τ) e−jωτdτ

= ejωth (ω)

x (t) = 12π

∫X (ω) ejωtdωとすると、様々な ωの正弦波

y (t) =1

2π

∫X (ω)

(ejωt ∗ h (t)

)dω

=1

2π

∫X (ω)H (ω)︸︷︷︸

y(t) のフーリエ変換

ejωtdω

Y (ω) = X (ω)H (ω)

フーリエ変換たたみこみのための基底変換注 1: t < 0で h (t) = 0 (因果律)

36

注 2: δ (t)のフーリエ変換=1

h (t) = δ (t)⇒ H (ω) = 1

H (ω)が ωに対して一定でない→ h (t) ̸= δ (t)

x (t)に h (t)が畳み込まれ、過渡応答が生じる。

3.4 ラプラス変換

フーリエ変換の拡張 (歴史的には逆)

フーリエ変換

F (ω) =

∫ ∞

−∞f (t) e−jωtdt

f (t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (ω) ejωtdω

� t < 0で f (t) = 0

� S = jω

ラプラス変換

F (s) =

∫ ∞

0

f (t) e−stdt

f (t) =1

2π

∫ j∞

−j∞F (s) est

ds

j

ラプラス変換を、時間領域のたたみこみを s領域の積にできる。t < 0で f (t) = 0となる関数のフーリエ変換は、ラプラス変換で s = jωと置いたものに等しい。(積分が収束すれば)

37

∫ ∞

−∞δ (t) e−jωtdt = e0 = 1

等しい⇔∫ ∞

0

δ (t) e−stdt = e0 = 1

∫ ∞

−∞f (t) e−jωtdt =

∫ ∞

0

eate−jωtdt =1

jω − a

等しい⇔∫ ∞

0

f (t) e−stdt =

∫ ∞

0

eate−stdt =1

s− a

フーリエ変換

∫ ∞

−∞f (t) ejωtdt =

∫ ∞

0

eatejωtdt

=

[e(a−jω)t

a− jω

]∞0

→∞

ラプラス変換

38

∫ ∞

0

f (t) e−stdt =

∫ ∞

0

e−stdt

=

[e(a−s)t

a− s

]∞0

=1

s− a(ℜ [s− a] > 0)

となり、異なる。

フーリエ変換

∫ ∞


∫ ∞

0

e−jωtdt

= · · · = 1

jω+ πδ (ω)

ラプラス変換

∫ ∞

0

f (t) e−stdt =

∫ ∞

0

e−stdt

=1

s(ℜs > 0)

となり、異なる。ラプラス変換: 周波数 sを複素数に拡張。s = σ + jω

このため f (t)が t → ∞で発散 or 0に収束しないときでも、ラプラス変換が可能。フーリエ変換は不可能 or 難しい。回路にはラプラス。

s = σ + jωってどういうこと?

F (σ + jω) =

∫ ∞

0

f (t) e−σte−jωtdt

39

f (t) e−σt (t > 0)のフーリエ変換

1

2πj

∫ σ+jω

σ−jω

F (s) estds =1

2πj

∫ ∞

−∞F (σ + jω) eσtejωtjdω

= eσt1

2π

∫F (σ + jω) ejωtdω︸︷︷︸

f(t)e−σt

= f (t)

F (s)の形 (極や零点)を見るだけで、いろいろな事がわかる。(回路理論第二)

ラプラス変換

� t ≧ 0のみを問題にする

� フーリエ変換を計算できない関数も扱える

� たたみこみを積にできる

40

3.5 微分・積分のラプラス変換

t < 0で f (t) = 0となる関数の場合

f (t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F (s) estds

est: 様々な sに対する基底 est の線形結合 est = eσtejωt

微分・積分は線形なので、

d

dtf (t) =

1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F (s) sestds⇒ L

[d

dtf (t)

]= sF (s)∫

f (t) dt =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F (s)

1

sestds⇒ L

[∫f (t) dt

]=

1

sF (s)

L: ラブラス変換微分の伝達関数→ s

積分の伝達関数→ 1s

例指数減衰関数

f (t) =

{e−t (t ≧ 0)

0 (t < 0)

41

L [f (t)] =

∫ ∞

0

ete−stdt =1

s+ 1

微分

d

dtf (t) =

{δ (t)− e−t

0 (t < 0)

L[d

dtf (t)

]= 1− 1

s+ 1

=s

s+ 1

s倍されている。

積分

∫ t

−∞f (τ) dτ =

{1− e−t (t ≧ 0)

0 (t < 0)

42

L[∫ t

−∞f (τ) dτ

]=

1

s− 1

s+ 1=

1

s (s+ 1)

1s 倍されている。

注意 t < 0で f (t)− 0とならない関数の場合

微分

L[d

dtf (t)

]=

∫ ∞

0

df

dte−stdt

=[f (t) e−st

]∞0

∫ ∞

0

f (t)(−se−st

)dt

= sF (s)− f (0+)

43

F (s) =1

s+ 1− 1 = − 1

s+ 1

積分

f (−1) (t) =

∫ t

−∞f (τ) dτ

L[f (−1) (t)

]= L

[∫ 0

−∞f (τ) dτ +

∫ ∞

0

f (τ) dτ

]=

f (−1) (0)

s+

F (s)

s

3.6 まとめ

� 線形時不変系: x (t)→ H → y (t) = x (t) ∗ h (t) (h (t): インパルス応答)

� 線形代数: 基底変換で計算を容易に

� フーリエ変換: 複素正弦波 ejωt への基底変換→たたみこみが掛け算

� ラプラス変換: t ≧ 0、周波数を複素数に拡張→たたみこみが掛け算

� h (t)のフーリエ変換: 周波数応答 (複素数)← s = jω

� h (t)のラプラス変換

� 微分積分の伝達関数: s, 1s

第 4回

レポート+α (1)(a)

L[eat]=

∫ ∞

0

eate−stdt

=1

s− a(ℜ (s− a) > 0)

f (t) =

{eat (t > 0)

0 (t < 0)

44

ローパスフィルタのインパルス応答(b)

L[teat

]= · · · = 1

(s− a)2 ℜ (s− a) > 0

ローパスフィルタを 2回通った時のインパルス応答参考:

L[tneat

]=

∫ ∞

0

tneate−stdt

=

[tn

e(a−s)t

a− s

]∞0

+n

s− a

∫t(n−1)e(a−s)tdt

=n (n− 1) · · · 1

(s− a)n

∫ ∞

0

e(a−s)tdt =n!

(s− a)n+1

45

a = 0のとき

L [tn] = n!

sn+1

(c)

L[eat sinωt

]= · · · = ω

(s− a)2+ ω2

同様に L [eat cosωt] = s−a(s−a)2+ω2

eat sinωt (t > 0)

(2)(a)

f (t) =

{0 t < 0

eat t ≧ 0(a > 0)

∫ ∞


1

jω − a

(b)

46

f (t) =

{−eat t ≦ 0

0 t > 0a > 0

∫ ∞


1

jω − a

注) ラプラス変換

F (s) =1

s− a⇔ f (t) = eat (t ≧ 0)

47

本日の内容

� 4 ラプラス変換 (後半)

� 4.1 ラプラス変換による回路の過渡応答解析

� S領域のインピーダンス

� 4.3 部分分数展開

� 4.4 ラプラス変換の性質

� 4.5 周波数応答と極・零点の関係

� 4.6 周波数応答の実部と虚部の関係

� 4.7 まとめ

4 ラプラス変換 (後半)

4.1 ラプラス変換による回路の過渡応答解析

1. 直流 RC回路

48

q (0+) =

∫ ∞

−∞i (t) dt = 0

1

C

∫i (t) dt+Ri (t) = V u (t)

L−→ 1

C

[I (s)

s+

q (0+)

s

]+RI (s) = V

1

s

I (s)について解く。

I (s) =V

s(

1sC +R

)=

V

R

1

s+ 1RC

i (t) =V

Re−

1RC (t ≧ 0)

2. 交流 RL回路

49

Ldi

dt+Ri =

V

jejωt (t ≧ 0)

L−→ L (SI (s)− i (0+)) +RI (s) =V

j

1

s− jω

I (s) =V

j

1

s− jω

1

LS +R=

V

jL

(1

s− jω− 1

s+ RL

)

=V

j

1

R+ jωL

(1

s− jω− 1

s+ RL

)

i (t) = L−1 [I (s)] =V

j

1

R+ jωL

(ejωt − e−

RL t)

ここで R+ jωL = Zejθ とする。

i (t) =V

jZ

(ej(ωt−θ) − e−jθe−

RL t)

ℜi (t) = V

Z

(sin (ωt− θ) + sin θe−

RL t)

4.2 S領域のインピーダンス

微分方程式を使わず解析が行える。

e (t) = Ldi

dt

L−→ E (s) = L (SI (s)− i (0+))

50

E (s) = SLI (s)

SL: Lの S領域のインピーダンス

i (t) =1

L

∫e (t) dt

L−→ I (s) =E (s)

LS+

i (0+)

s

i (0+) = 0の場合

t = 0におけるインダクタの電流は、電流源として考える。

e (0+) = q(0+)c = 0のとき、

E (s) =1

sCI (s)

1sC : C の S領域のインピーダンス

e (t) =1

C

∫i (t) dt

L−→ I (s)

sC+

e (0+)

s

51

i (t) = Cde (t)

dt

L−→ I (s) = C (sE (s)− e (0+))

4.3 部分分数展開

ラプラス逆変換のコツ

求める応答 (s領域)

E (s) =P (s)

Q (s)

P (s): 次数m

Q (s): 次数 n

E (s)が過渡応答のときm < n

E (s)が伝達応答のときはm ≧ nであってよい。

※m ≧ nと考えると、E (s) = b0+b1s = · · ·+ P (s)Q(s)

L−1

−−−→ e (t) = b0δ (t)+b1ddtδ (t)+· · ·

まず、分母 Q (s)を因数分解 Q (s) = a0 (s− s1) (s− s2) · · · (s− sn)

i) 重根がないときP (s)Q(s) =

k1

s−s1+ k2

s−s2+ · · ·+ kn

s−snとおき k1, kn を求める。

L−1

−−−→ k1es1t + k2e

s2t + · · ·+ knesnt

ii) 重根があるとき

P (s)

(s− s1) r=

k11s− s1

+k12

(s− s1)2 + · · ·+ k1r

(s− s1)r

52

L−1

−−−→ k11es1t + k12te

s1t + · · ·+ k1r(r − 1)!

tr−1es1t

iii) 2根が複素共役のとき

P (s)

Q1 (s)((s− α)

2+ ω2

) = k1s− α

(s− α)2+ ω2

+ k2ω

(s− α)2+ ω2

+ · · ·

L−1

−−−→ k1eαt cosωt+ k2e

αt sinωt+ · · ·

部分分数展開の例

E (s) =4

s4 + 4s3 + 8s2 + 8s=

4

s (s+ 2) (s2 + 2s+ 4)

=k1s

+k2

s+ 2+

sk3 + k4s2 + 2s+ 4

(1)

両辺に sを掛ける

k1 +sk2s+ 2

+s (sk3 + k4)

s2 + 2s+ 4=

4

(s+ 2) (s2 + 2s+ 4)

s = 0を代入 k1 = 12

s+ 2を両辺に掛ける

(s+ 2)

sk1 + k2 +

(s+ 2) (sk3 + k4)

s2 + 2s+ 4=

4

s (s2 + 2s+ 4)

s = −2を代入 k2 = − 12

s2 + 2s+ 4を両辺に掛け、s2 + 2s+ 4 = 0(s = −1±

√3)とおく→ k3 = 0, k4 = −1

E (s) =1

2

(1

s− 1

s+ 2

)− 1

s2 + 2s+ 4

L−→ e (t) =1

2

(1− e−2t

)− 1√

3e−t sin

√3t

53

4.4 ラプラス変換の性質

4つ

1. 初期値定理

f (0+) = lims→∞

sF (s)

2. 最終値定理

f (∞) = lims→0

sF (s)

←発散しないとき

証明 ∫ ∞

0+

df

dte−stdt =

[f (t) e−st

]∞0+−∫

f (t) (−s) e−stdt

= −f (0+) + sF (s)

s→ 0

f (0+) +

∫ ∞

0+

df

dtdt = f (∞) = lim

s→0sF (s)

s→∞f (0+) = lim

s→∞sF (s)

3. 相似定理

L[f

(t

a

)]= aF (as)

54

L[f

(t

a

)]=

∫ ∞

0

f

(t

a

)e−stdt ← t′ =

t

a

=

∫ ∞

0

f (t′) e−sat′′adt′ = aF (as)

面積 a倍、周波数 1a 倍

4. 推移定理

L [f (t− T )] = e−TsF (s)

∵ f (t− T ) = f (t) ∗ δ (t− T )

L [δ (t− T )] =

∫ ∞

0

δ (t− T ) e−stdt

= e−sT

←遅延 T の伝達関数

55

推移定理の応用方形波

f (t) = u (t)− u (t− τ)

F (s) =1

s− e−sτ

s

=1

s

(1− e−sτ

)同期的な方形波

56

F (s) =1

s

(1− e−sτ

) (1 + e−sT + e−2sT + · · ·

)︸︷︷︸無限級数

=1

s

1− e−sτ

1− e−sT

4.5 伝達関数の極・零点と周波数特性の関係

H (s) =1

s+ a(a > 0)

h (s) = e−at (t ≧ 0)

57

H (s) = s+ a (a > 0)

h (t) =d

dtδ (t) + aδ (t)

58

4.6 周波数特性の実部と虚部の関係

f (t) が実数、t < 0 で f (t) = 0 を満たすとする。f (t) のフーリエ変換を F (ω) =∫∞−∞ f (t) e−jωtdtとすると、ℜF (ω)がわかれば、ℑF (ω)もわかる。

言い換え: f (t)が因果律を満たすインパルス応答であるとき、周波数応答の実部・虚部に関係がある

証明

fS (t) =1

2(f (t) + f (−t))

fAS (t) =1

2(f (t)− f (−t))

※ S→ symmetric、AS→ anti-symmetric

59

f (t) = fS (t) + fAS (t)

F [fS (t)] =

∫ ∞

−∞fS (t) e−jωtdt =

1

2

[∫ ∞

−∞f (t) e−jωtdt+

∫ ∞

−∞f (−t) e−jωtdt

]=

1

2

[∫ ∞

−∞f (t)

(e−jωt + ejωt

)]=

∫ ∞

−∞f (t)︸︷︷︸実数

cosωtdt = ℜ [F (ω)]

F [fAS (t)] =

∫ ∞

−∞fAS (t) e−jωtdt =

1

2

[∫ ∞

−∞f (t) e−jωtdt−

∫ ∞

−∞f (−t) e−jωtdt

]=

1

2

∫ ∞

−∞f (t)

(e−jωt − ejωt

)dt = j

∫ ∞

−∞f (t) sin (−ωt) dt = jℑF (ω)

ℜF (ω)がわかる→ fS (t)がわかる→ f (t)も fAS (t)もわかる→ ℑF (ω)もわかる

周波数応答が実数のみ→インパルス応答が t = 0に対して対称

因果律を満たさない (例外: δ (t))

虚部があって初めて因果律を満たせる。

4.7 ラプラス変換 (後半) まとめ

� 微積分方程式が、s領域で多項式になる。

� 代数計算計算で伝達関数が得られる。

� s領域のインピーダンス: sL, 1sC , R

� ラプラス逆変換のコツ: 部分分数展開

� 色々な性質: 時間波形と絡めながら、理解してほしい

第 5回

レポート解説

60

images/CircuitTheory1-part2/5-1.jpg

(1)

Ri+ Ldi

dt+

1

C

∫idt = V u (t)

u (t): ステップ関数(2)

RI (s) + LsI (s) +1

C

I (s)

s= V

1

s

I (s) =V

s

1

R+ sL+ 1sC

=V

Ls2 +Rs+ 1C

ここで、Vs が電圧波形、

1R+sL+ 1

sC

が伝達関数、R+ sL+ 1sC が RLC直列インピーダ

ンスに対応していることに注目。(3) Ls2 +Rs+ 1

C = 0の解:

s1, s2 = − R

2L±

√(R

2L

)2

− 1

LC

= −a± b = −a± jβ

(a)(

R2L

)2> 1

LC

I (s) =V

L

1

(s− s1) (s− s2)=

V

L

(1

s− s1− 1

s− s2

)1

s1 − s2=

V

2bL

(1

s− s1− 1

s− s2

)

i (s) =V

2bL

(es1t − es2t

)=

V

bLe−at

(ebt − e−bt

2

)=

V

bLe−at sinh bt

(b)(

R2L

)2= 1

LC のとき

61

I (s) =V

L (s+ a)2 → i (t) =

V

Lte−at

(c)(

R2L

)2< 1

LC のとき

I (s) =V

2jβL

(1

s− s1− 1

s− s2

)

i (t) =V

2jβL

(es1t − es2t

)=

V

βLe−at e

jβt − e−jβt

2=

V

βLe−at sinβt

(4)di

dt

∣∣∣∣i=0+

= lims→∞

ssI (s) =V

L


∫ ∞

0

i (t) dt = lims→0

sI (s)

s= C

I (s)から色んな情報が引き出せる。

本日の内容

� 5. 4端子網

� 5.1. 4端子網と基本行列 (F行列)

� 5.2. Z行列, Y行列

� 5.3. F, Z, Yの間 c

62

� 5.4. 等価変換

� 5.5. 4端子網の応用

� 5.6. 影像パラメータ

� 5.7. まとめ

5 4端子網

5.1 4端子網と基本行列


� 大きな回路を小さな回路の組み合わせで考えるときの標準的な回路の単位。

� 入力→出力 (作用)だけでなく、出力→入力 (反作用)も表せる。(伝達関数は 1方向しか表せない)

� 行列で表す

基本行列 (V1

I1

)=

(A BC D

)(V2

I2

)


63

(V1

I1

)= F 1

(V2

I2

)= F 1F 2

(V3

I3

)縦続接続の計算に便利な表現

F行列の計算 2つ覚える。


V1 = V2

I1 =V2

Z+ I2

(V1

I1

)=

(1 01Z 1

)(V2

I2

)


V1 = V2 + ZI2

I1 = I2

64

(V1

I1

)=

(1 Z0 1

)(V2

I2

)

例


(V1

I1

)=

(1 01R 1

)(1 sL0 1

)(1 0sC 1

)(1 sL0 1

)(1 01R 1

)(V2

I2

)

5.2 Z行列とY行列

Z行列 (V1

V2

)=

(Z11 Z12

Z21 Z22

)(I1−I2

)= Z

(I1−I2

)

V1 = Z11I1 − Z12I2

V2 = Z21I1 − Z22I2


65

(V1

V2

)= Z1

(I1−I2

)(

V3

V4

)= Z2

(I1−I2

)(

V1 + V3

V2 + V4

)= (Z1 + Z2)

(I1−I2

)

Z行列を回路から読み解く

Z11 =V1

I1

∣∣∣∣I2=0

Z21 =V2

I1

∣∣∣∣I2=0

(参考) Z11: 開放駆動点インピーダンス、Z21: 開放伝達インピーダンスと呼ぶ。


Z12 =V1

−I2

∣∣∣∣I1=0

Z22 =V2

−I2

∣∣∣∣I1=0

例

66


V11 =V1

I1

∣∣∣∣I2=0

= Za + Zb

V21 =V2

I1

∣∣∣∣I2=0

= Zb

同様に、Z12 = Zb, Z22 = Zb + Zc

Y行列 (I1−I2

)=

(Y11 Y12

Y21 Y22

)(V1

V2

)= Y

(V1

V2

)

I1 = Y11V1 + Y12V2

−I2 = Y21V1 + Y22V2


(I1−I2

)= Y1

(V1

V2

)(

I3−I4

)= Y2

(V1

V2

)

67

(I1 + I3− (I2 + I4)

)= (Y1 + Y2)

(V1

V2

)並列接続された回路の計算に便利。

Y行列を回路から読み解く

Y11 =I1V1

∣∣∣∣V2=0

Y21 =−I2V1

∣∣∣∣V2=0


(参考) Y11: 短絡駆動点アドミッタンス、Y21: 短絡伝達アドミッタンスと呼ぶ。

Y12 =I1V2

∣∣∣∣V1=0

Y22 =−I2V2

∣∣∣∣V1=0

例


68

Y11 =I1V1

∣∣∣∣V2=0

= Y1 + Y2

Y21 =−I2V1

∣∣∣∣V2=0

= −Y2

同様に Y12 = −Y2, Y22 = Y2 + Y3

5.3 F, Z, Y行列の関係

←総ゴリ変換しながら、縦続、直列、並列を計算

Y = Z−1 =1

|Z|

(Z22 −Z12

−Z21 Z11

)(|Z| = Z11Z22 − Z12Z21)

F行列について、

V1 = AV2 +BI2

I1 = CV2 +DI2

をよく見る。

A =V1

V2

∣∣∣∣I2=0

=Z11

Z21= −Y22

Y21(2)

B =V1

I2

∣∣∣∣V2=0

= − 1

Y21=|Z|Z21

(3)

C =I1V2

∣∣∣∣I2=0

=1

Z21= −|Y |

Y21(4)

D =I1I2

∣∣∣∣V2=0

= −Y11

Y21=

Z22

Z21(5)

逆に解くと、Zと Fの関係が得られる。(2)ö(4)より、

Z11 =A

C

(4)より、

Z21 =1

C

69

(2)(4)(5)を (3)に代入して、

Z12 =AD −BC

C

(5)ö(4)より、

Z22 =D

C

Z =1

C

(A AD −BC1 D

)注 1) 回路が相反性を有する→ Z12 = Z21, Y12 = Y21, AD −BC = 1

行列計算のチェックに役立つ。

注 2) 回路が対称→ Z11 = Z22, Y11 = Y22, A = D

5.4 等価変換

異なる回路構成で同じ特性を実現


FT =

(1 Za

0 1

)(1 01Zb

1

)(1 ZC

0 1

)Fπ =

(1 0Ya 1

)(1 1

Yb

0 1

)(1 0YC 1

)

70

FT = Fπ とおくと、

Ya =Zc

Z20

Yb =Zb

Z20

Yc =Za

Z20

Z20 = ZaZb + ZbZc + ZcZa

対称 π型回路↔対称格子回路 Z行列で考える。


左

Z11 = Z22 = Za + Zb

Z21 = Z12 = Zb

右

Z11 = Z22 =1

2(Zα + Zβ)

Z12 = Z21 =1

2(Zβ − Zα)

{Za = Zα

Zb =12 (Zβ − Zα)

71


左

Y11 = Y22 = Y1 + Y2

Y12 = Y21 =−I2V1

∣∣∣∣V2=0

= −Y2

右

Y11 = Y22 =1

2(Yα + Yβ)

Y12 = Y21 =−I2V1

∣∣∣∣V2=0

=1

2(Yβ − Yα)

{Y1 = Yβ

Y2 = 12 (Yα − Yβ)

5.5 4端子網の応用

インピーダンス変換


72

Z1 =V1

I1=

AV2 +B2

CV2 +DI2=

AZL +B

CZL +D

ZL が F によって Z1 に変換される。


最大の電力を取り出す条件

Z1 =V1

I1= Z∗

0

フィルタ周波数に応じて信号を通過・阻止する。

low-pass �lter (LPF)


V2

V1=

1

1 + sRC

s→ 0V2

V1= 1

s→∞V2

V1= 0

73

high-pass �lter (HPF)


V2

V1=

sRC

1 + sRC

s→ 0V2

V1= 0

s→∞V2

V1= 1

band pass �lter


V2

V1=

RS

Ls2 +Rs+ 1C

特定周波数だけ抽出

F行列を使って計算

74

5.6 影像パラメータ

縦続接続した回路の計算方法


インピーダンス整合した回路のみ表現


θ1, θ2, θ3: 影像パラメータ (複素数)

θ = θ1 + θ2 + θ3: 複素数の足し算「インピーダンスが整合する」←「影像インピーダンス」を合わせる影像インピーダンス: 各 4端子網に固有の値

影像インピーダンスの求め方


75

Z1 =V1

I1, Z2 =

V2

I2


Z1 =V ′1

−I ′1, Z2 =

V ′2

−I ′2

この 4条件を満たす Z1, Z2: 影像インピーダンス

Z1, Z2 と F行列の関係 (V1

I1

)=

(A BC D

)(V2

I2

)

V1 = Z1I1

V2 = Z2I2

(V ′2

I ′2

)=

1

AD −BC

(D −B−C A

)(V ′1

I ′1

)

V ′1 = −Z1I

′1

V ′2 = −Z2I

′2

Z1I1I1

=AZ2 +B

CZ2 +D(6)

76

−Z2I′2

I ′2=−DZ1 −B

CZ1 +D(7)

((6))、((7))より、

Z1 =

√AB

CD=

√V1

I1

∣∣∣∣I2=0

V1

I1

∣∣∣∣V2=0

, Z2 =

√BD

AC=

√V2

−I2

∣∣∣∣I1=0

V2

−I2

∣∣∣∣V1=0

→開放駆動点インピーダンスと短絡駆動点インピーダンスの相乗平均

影像パラメータ θ

eθ =

√V1I1V2I2

=

√入力パワー出力パワー

=入力振幅出力振幅

θ = log

√V1I1V2I2

= α+ jβ

α: 減衰定数

β: 位相定数

eθ =

√V1I1V2I2

= · · · =√AD +

√BC

5.7 まとめ

� 4端子網: 回路をブロックに分けて考える単位

� 表現方法 4つ

� F行列、Z行列、Y行列 ←自由度 4 (相反性があるので 3)

� 影像パラメータ (Z1, Z2, θ) ←自由度 3

� 回路形式の変換、インピーダンス変換、フィルタ設計で活用

77

第 6回

本日の内容

� 6 分布定数回路 (長いケーブル)

� 6.1 無損失回路

� 6.2 損失のある回路

� 6.3 反射と定在波

� 6.4 有限長線路

� 6.5 まとめ

� 試験情報

� 課題

6 分布定数回路

78

6.1 無損失線路

� L[H/m]: 1mあたりのインダクタンス

� C[F/m]: 1mあたりのキャパシタンス

回路方程式 {v (x, t) = v (x+∆x, t) + L∆xdi(x,t)

dt

i (x, t) = i (x+∆x, t) + C∆xdv(x,t)dt

∆x→ 0とする {∂∂xv (x, t) = −L

di(x,t)dt

∂∂x i (x, t) = −C

dv(x+∆x,t)dt

波動方程式である。ここで、 {

v (x, t) = f (x− vpt)

i (x, t) = 1Z0

f (x− vpt)

を仮定。 vp = ± 1√LC

Z0 = ±√

LC

79

� 任意の波形が線路を伝搬

� 速度 1√LC

� 電圧と電流の比√

LC : 特性インピーダンス

6.2 損失のある回路

伝播の様子が周波数に依存。

周波数 ωの正弦波、複素電圧 V (x)、複素電流 I (x)を考える。

{V (x) = V (x+∆x) + Z∆xI (x)

I (x) = I (x+∆x) + Y∆xV (x){Z = R+ jωL

Y = G+ jωC{dV (x)dx = −ZI (x)

dI(x)dx = −Y V (x)

⇒

{V (x) = Ae−γx +Beγx

I (x) = AZ0

e−γx − BZ0

eγx

(レポート課題)

解の第 1項は+x方向に伝搬する電流、第 2項は−x方向に伝搬する電流を表している。

80

x = 0における複素電圧を A,B とする。

γ: 伝搬定数

γ =√Y Z = α+ jβ

e−γx = e−αxe−jβx

e−αx: 伝播に伴う振幅

e−jβx: 位相変化

Z0 =√

ZY : 特性インピーダンス (電圧と電流の比)

R = G = 0のとき、

� γ = jω√LC: 純虚数: 振幅一定

� Z0 =√

LC : 実数: 電圧と電流の位相差なし

6.3 反射と定在波

81

{V (x) = Ae−γx +Beγx

I (x) = AZ0

e−γx − BZ0

eγx

x = 0では {V (0) = A+B

I (0) = A−BZ0

ZL =V (0)

I (0)= Z0

A+B

A−B= Z0

1 + r

1− r

r = BA : 電圧反射率

r =ZL − Z0

ZL + Z0ZL =∞→ r = 1 開放端反射ZL = Z0 → r = 0 無反射 (インピーダンスマッチング)

ZL = 0→ r = −1 固定端反射

反射→ A,B 共に存在→定在波

例 1 r = 1 (ZL =∞)⇒ A = B

V (x) = A(e−γx + eγx

)= 2A cosβx

I (x) =A

Z0

(e−γx − eγx

)=

A

jZ0sinβx

82

例 2 任意の rについて、(α = 0)

V (x) = Ae−γx + rAeγx

= Ae−γx(1 + re2γx

)|V (x)| = |A|

∣∣1 + re2γx∣∣

Vmax = |A| (1 + |r|)Vmin = |A| (1− |r|)

VSWR = Vmax

Vmin= 1+|r|

1−|r| (Voltage Standing Wave Ratio): 1に近いほど反射が小さい(インピーダンスが整合しているから)

83

6.4 有限長線路

{V1 = V (−l)V2 = I (−l){V2 = V (0)

I2 = I (0)(V1

I1

)= F

(V2

I2

)と表したい。

V (x) = Ae−γx +Beγx

I (x) =A

Z0e−γx − B

Z0eγx

F =

(cosh γl Z0 sinh γl1Z0

sinh γl cosh γl

)有限長線路の先にインピーダンス ZL があるとき

84

γl≪ 1のとき、Z1 ∼ ZL(Z0 によらない)(集中定数回路)

Z0 = ZL のとき、Z1 = Z0(インピーダンス整合)

インピーダンスが Z1 に変換される。

Z1 =V1

I1

=ZLI2 cosh γl + Z0I2 sinh γlZL

Z0I2 sinh γl + I2 cosh γl

= Z0ZL + Z0 tanh γl

Z0 + ZL tanh γl

・無損失線路の先を短絡 or 開放する⇒ Z1 は虚数になる無損失線路→ R = G = 0, γ = jβ

(純虚数

), ZL = 0 or∞

� ZL = 0(短絡)のとき

Z1 = Z0 tanh γl

= jZ0 tanβl = Zs

インダクタ的

� ZL =∞(開放)のとき

Z1 =Z0

tanh γl

= −jZ0 cotβl = Zf

キャパシタンス的

85

高周波回路で応用する。

・未知の線路の計測にも使える

⇒ Z0 =√

ZsZf , tanh γl =

√Zs

Zf

影像パラメータとの関係

86

Z1 =

√AB

CD=

√V1

I1

∣∣∣∣I2=0

V2

I2

∣∣∣∣V2=0

Z2 =

√BD

CA

eθ =√AD +

√BC

・短絡した有限超線路で何が起きているのか? (時間領域)

伝達関数

87

V (s) = 1− e−2τs

I (s) =1

Z0

(1 + e−2τs

)Z (s) = Z0

1− e−2τs

1 + e−2τs

= Z0eτs − e−τs

eτs + e−τs

= Z0 tanh τs

Z (jω) = jZ0 tanωt

6.5 まとめ

� 分布定数回路: 電圧と電流の比 Z0(特性インピーダンス)として伝搬

� 伝搬定数: γ = α+ jβ(+x方向: e−γx、−x方向: eγx)

� 四端子網として扱うと便利

� 反射係数 r = ZL−Z0

ZL+Z0。ZL = Z0 なら無反射

� 有限超線路+反射→周波数依存の複素インピーダンス

テスト 1/24(火) 1106教室, 13:00-15:30

� 問 1 ラプラス変換

� 問 2 直流回路の過渡応答

� 問 3 交流回路の過渡応答

� 問 4 四端子網

� 問 5 分布定数回路

レポート問題を解けるように!!!

第 6回のレポート回答は 1/17にWebにアップする。

88

2016-a...

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