『資産の価格付けと測度変換』...
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『資産の価格付けと測度変換』章末問題解答
田中 敬一
平成 19 年 3 月 3 日更新
問題 1.10 < d < u < Rの場合:リスク証券 1単位ショート，無リスク証券 S単位ロング0 < R < d < uの場合:リスク証券 1単位ロング，無リスク証券 S単位ショートのポートフォリオが裁定機会となる．
問題 1.2連立方程式を辺々引いてRBを消去すれば xSについての等式 (1.12)を得る．
問題 1.3(1.12)から quを qdで表わして代入する．
問題 1.41) q1 = 1, q2 = 02) リスク証券 1単位ショート，無リスク証券 S単位ロングのポートフォリオが裁定機会となる．
問題 1.5行列Aの列ベクトルを a1, . . . ,anとする．1)の条件は
b = x1a1 + · · · + xnan, xi ≥ 0 (i = 1, . . . , n)
であるが，これはベクトル bが a1, . . . ,anによって張られる錐 (cone)K
K = {y ∈ Rm | ∃z1 ≥ 0, . . . , zn ≥ 0 s.t.y = z1a1 + · · · + znan}
に含まれること b ∈ K と同値である．K は原点を含む凸集合である．1)に解が存在するかどうかで以下の 2通りの状況に分かれる．
1)に解 x = (x1, . . . , xn)�が存在すると仮定する．y�ai ≥ 0 (i = 1, . . . , n)を満たすベクトル yが存在すれば，y�A ≥ 0であるが，
y�b =n∑
i=1
xiy�ai ≥ 0
1
になるので，2)に解は存在しない．逆に 1)に解 xが存在しないと仮定する．すなわち，bは凸集合Kには属さないので，b
とKを分離し，かつ原点を通る超平面Hが存在する．Hの法線ベクトルのうちK側にあるものを yとする．yは超平面H に関して，bと反対側に位置するが，ai (i = 1, . . . , n)とは同じ側に位置するので
y�b < 0, y�ai ≥ 0 (i = 1, . . . , n)
である．すなわち，yは 2)の解である．（y�ai ≥ 0に等号が含まれるのは錐Kの一部が超平面H に接する場合があるためである．）
問題 1.6図中にあるリスク中立確率は各状態 ωiが生起する確率である．したがって，時点 1における価格を求める際には，各ノードにおける分岐の確率は別途求める必要があるが，それは条件付き確率によって得られる．たとえば，S1では，状態 ω1（確率 0.10），ω2（確率0.05），ω5（確率 0.15）を考えればよく，t = 1に S1に到達したという条件のもとでリスク証券価格が t = 2に 110 (ω1),105 (ω2),95 (ω5)となる確率はそれぞれ
0.100.10 + 0.05 + 0.15
,0.05
0.10 + 0.05 + 0.15,
0.150.10 + 0.05 + 0.15
である．したがって t = 1におけるリスク証券価格は
S1 =110 × 0.10 + 105 × 0.05 + 95 × 0.15
0.10 + 0.05 + 0.15= 101.7
S2 =105 × 0.10 + 100 × 0.25 + 90 × 0.10
0.10 + 0.25 + 0.10= 98.9
S3 =95 × 0.10 + 90 × 0.05 + 80 × 0.10
0.10 + 0.05 + 0.10= 88
である．t = 0では，t = 1の価格が生起する状態の確率を合計すればよいので
S0 = 101.7 × (0.10 + 0.05 + 0.15) + 98.9 × (0.10 + 0.25 + 0.10)
+ 88 × (0.10 + 0.05 + 0.10) = 97
である．
問題 2.1
1. 0 ≤ Q(A) ≤ 1η > 0 だから EP [1Aη] ≥ 0,EP [η] > 0である．したがってQ(A) ≥ 01A ≤ 1よりEP [1Aη] ≤ EP [η]である．したがってQ(A) ≤ 1
2. Q(Ω) = 1
Q(Ω) =EP [1Ωη]EP [η]
=EP [η]EP [η]
= 1
2
3. Q(∪iAi) =∑
i Q(Ai) for Ai ∩ Aj = φ (i �= j)
Q(∪iAi) =EP [1∪iAiη]
EP [η]=
EP [∑
i 1Aiη]EP [η]
=∑
i
EP [1Aiη]EP [η]
=∑
i
Q(Ai)
問題 2.2mP
X ,mQX をそれぞれ P,QにおけるX の積率母関数とする．
mPX(t) = exp
{μt + σ2
2 t}だから
mQX(t) = EQ[etX ] = EP
[e−θX
EP [e−θX ]etX
]=
mPX(t − θ)
mPX(−θ)
= exp{
μ(t − θ) +σ2
2(t − θ)2 − (μ(t − θ) +
σ2
2(t − θ)2
)}
= exp{
(μ − θσ2)t +σ2
2t
}
これはQの下でX ∼ N(μ − θσ2, σ2)であることを示している．
問題 2.3X ∼ N(−θT, T )だからある標準正規分布 Z によりX =
√TZ − θT と表せる．したがっ
て (2.11)より
π(C) = e−rT EQ[h(X)] = e−rT EQ[h(√
TZ − θT )]
= EQ[max{e−rT Se(μ−σ2)T+σ(
√TZ−μ−r
σT ) − Ke−rT , 0}
]= EQ
[max{Se−σ2T/2+σ
√TZ − Ke−rT , 0}
]また，(2.15)については
S(T ) = Se(r−σ2/2)T+σ√
TZ > K ⇔ Z > − log(S/K) + (r − σ2/2)Tσ√
T= −d
だから
Q{S(T ) > K} = Q{Z > −d} = 1 − Φ(−d) = Φ(d)
3
問題 2.4Y1, Y2は市場の全リスクの線形結合で与えられているリスクとする．
π(aY1 + bY2) = EP [aY1 + bY2] − βaY1+bY2(EP [Z] − π(Z))
= EP [aY1 + bY2] − C(aY1 + bY2, Z)V [Z]
(EP [Z] − π(Z))
= a(EP [Y1] − C(Y1, Z)
V [Z](EP [Z] − π(Z))
)
+ b(EP [Y2] − C(Y2, Z)
V [Z](EP [Z] − π(Z))
)= aπ(Y1) + bπ(Y2)
問題 2.5Z∗
i は P ∗に関して標準正規分布に従う．
Si = si(0) exp{−σ2
i
2+ σiZ
∗i
}, π(X) = E∗ [max{Si − K, 0}]
に対して例 2.1と同様の計算を行えば
π(X) = SΦ(d + σ) − Ke−rΦ(d), d =log(S/K) − 1
2σ2
σ
を得る．
問題 2.6X = (X1, . . . ,Xn)�が対数正規分布であれば
(log X1, . . . , log Xn)� ∼ N(µ,Σ)
であるから周辺分布は
Fk(xk) = P{Xk ≤ xk} = Φ( log xk − μk
σk
)
となる．(2.42)が近似として成立しているとすれば，多変量ワン変換後のXの分布関数は(2.46)から
F ∗(x) = Φn
⎛⎝Φ−1[F1(x1)] −
n∑j=1
λjρ1j
σ1, . . . ,Φ−1[Fn(xn)] −
n∑j=1
λjρnj
σn
⎞⎠
= Φn
⎛⎝ log x1
σ1− μ1
σ1−
n∑j=1
λjρ1j
σ1, . . . ,
log xn
σn− μn
σn−
n∑j=1
λjρnj
σn
⎞⎠
であるが，これは変換後も対数正規分布に従っていることを示している．
4
問題 3.11) 条件付き期待値の性質と (3.7)，および Ymがマルチンゲールであることから
EP [1AYm] = EP[EP[1AYm
∣∣∣Fm−1
]]= EP
[Ym−1E
P
[1A
eθXm
peθ + (1 − p)e−θ
∣∣∣Fm−1
]]
である．さらに，
• 1A(ω) − 1のときXm(ω) = 1であること
• Aは Fm−1と独立なので P (A|Fm−1) = P (A) = pであること
に注意すれば，
EP [1AYm] = EP
[Ym−1
peθ
peθ + (1 − p)e−θ
]=
peθ
peθ + (1 − p)e−θ
2) qが θに関して
q =1
1 + 1−pp e−2θ
と書けることから明らか．3) A = {Xi = 1},B = {Xj = 1}とする．
Q{Xi = −1,Xj = 1} = Q(Ac ∩ B) = EP [1Ac∩BYT ] = EP [(1 − 1A)1BYT ]
であるから，i > jとしてEP [1A1BYT ] = q2を示せば十分である．
EP [1A1BYi] = EP[EP [1A1BYi| Fj ]
]= EP
[1BEP [ 1AYi| Fj ]
]= EP
[1BEP
[EP [1AYi| Fi−1]
∣∣Fj
]]= EP
[1BEP
[Yi−1E
P
[1A
eθXi
peθ + (1 − p)e−θ
∣∣∣∣Fi−1
]∣∣∣∣Fj
]]= EP
[1BEP [Yi−1q| Fj ]
]= qEP [1BYT ]
= q2
問題 3.2(3.10)からQに関して確率変数列 {Xn}は同一分布に従う．{Xn}が独立であることを言うには積率母関数を考えればよい．i < jとして，2変量確率変数 (Xi,Xj)のQに関する積率母関数を計算しよう．その際，{Xn}が P に関して独立であることと Ynがマルチン
5
ゲールであることを用いる．すなわち
EQ[euXi+vXj
]= EP
[euXi+vXj Yj
]= EP
[Yi−1euXievXj
j∏k=i
eθXk
peθ + (1 − p)e−θ
]
=
EP [Yi−1] EP[e(u+θ)Xi
]EP[e(v+θ)Xj
] j−1∏k=i+1
EP[eθXk]
[peθ + (1 − p)e−θ]j−i−1
=(peu+θ + (1 − p)e−u−θ)(pev+θ + (1 − p)e−v−θ)
[peθ + (1 − p)e−θ]2
= (qeu + (1 − q)e−u)(qev + (1 − q)e−v)
= EQ[euXi]EQ[evXj]
したがって，XiとXj は独立である．
問題 3.3t > sとして Ytは
Yt = Ys exp{θ(z(t) − z(s)) − θ2(t − s)/2
}と書ける．情報 Fs の下で z(t) − z(s) ∼ N(0, t − s)だから正規分布の積率母関数を利用して
EP [Yt| Fs] = YsEP [exp
{θ(z(t) − z(s)) − θ2(t − s)/2
}∣∣Fs] = Ys
可積分性についても同様に EP [|Yt|] = EP [Yt] = 1 < ∞である．
問題 3.4無リスク預金の対数価格の微分方程式は
d log B(t) = −r(t)dt
となるので
d log(
Y (t)B(t)
)=(−1
2θ2(t) − r(t)
)dt + θ(t)dz(t)
である．したがって，伊藤の公式から
dρ(t) = delog(Y (t)/B(t)) = −r(t)ρ(t)dt + θ(t)ρ(t)dz(t)
が得られる．
6
問題 3.51) マクローリン展開 ex =
∑∞n=0 xn/n!を利用すれば，ポアソン分布の積率母関数は
m(t) =∞∑
n=0
etn λn
n!e−λ = e−λ
∞∑n=0
(λet)n
n!= exp{λ(et − 1)}
2) 問題 3.3と同様に，t > sとして Ytは
Yt = Ys exp{
θ(N(t) − N(s)) + λ(t − s)(1 − eθ)}
であり，情報Fsの下でN(t) − N(s) ∼ Po(λ(t − s))である．したがって
EP [Yt| Fs] = YsEP [exp
{θ(N(t) − N(s)) + λ(t − s)(1 − eθ)
}∣∣∣Fs]
= Ys exp{
λ(t − s)(eθ − 1) + λ(t − s)(1 − eθ)}
= Ys
可積分性についても同様に EP [|Yt|] = EP [Yt] = 1 < ∞である．3) d log Yt = θ(t)dN(t) + λ(t)
(1 − eθ(t)
)dtに対して伊藤の公式を適用すると，
dYt = Ytd log Y ct +(elog Yt+θ(t) − elog Yt
)dN(t)
= Ytλ(t)(1 − eθ(t)
)dt + Yt
(eθ(t) − 1
)dN(t)
= Yt
(eθ(t) − 1
)(dN(t) − λ(t)dt)
問題 3.61) 第 3.5節での Ytの構成方法から
Yt+Δt = Yteθ(t)ΔN(t)
1 − λ(t)(1 − eθ(t))Δt
= Yt
(μ(t)λ(t)
)ΔN(t)(1 − (λ(t) − μ(t))Δt
)−1
≈ Yt
(μ(t)λ(t)
)ΔN(t)e(λ(t)−μ(t))Δt
2) P (A| Ft) = P {ΔN(t) = 1| Ft} ≈ λ(t)Δt e−λ(t)Δt
3) ベイズ公式と 1)，2)の結果を用いる．
Q(A | Ft) = EP
[1A
Yt+Δt
Yt
∣∣∣∣Ft
]
≈ EP
[1A
(μ(t)λ(t)
)ΔN(t)e(λ(t)−μ(t))Δt
∣∣∣∣Ft
]
= EP
[1A
μ(t)λ(t)
e(λ(t)−μ(t))Δt
∣∣∣∣Ft
]
=μ(t)λ(t)
e(λ(t)−μ(t))ΔtEP [1A | Ft]
= μ(t)Δt e−μ(t)Δt
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問題 4.11) (4.12)より
dC(t) = fS(S(t), t)dS(t) + ft(S(t), t)dt +12fSS(S(t), t)(dS(t))2
= fS(S(t), t)dS(t) +[ft(S(t), t) +
12fSS(S(t), t)σS(t)2
]dt
係数を比較して η(t) = fS(S(t), t)である．2) リスク中立確率の下で伊藤の公式を適用する．
dC(t) =[ft(S(t), t) + rfS(S(t), t) +
12fSS(S(t), t)σ2S(t)2
]dt
+ fS(S(t), t)S(t)dz∗(t)
リスク中立確率の下ではドリフト係数は rC(t)であるから
ft(S, t) + rfS(S, t) +12σ2S2fSS(S, t) = rC(S, t)
3)
η(t) = fS(S(t), t) = Φ(d(t)), d(t) =log(S(t)/K) + (r + σ2/2)(T − t)
σ√
T − t
b(t) =C(t) − η(t)S(t)
B(t)= −KΦ(d(t) − σ
√T − t)
問題 4.21) (4.3)と (4.4)より状態価格密度 ρ(t)は
ρ(t) = exp{−λz(t) − (r + λ2/2)t
}である．ertρ(t)が指数マルチンゲール exp{−λz(t)− λ2t/2}になっているので，対応する測度変換はエッシャー変換である．
dQ
dP
∣∣∣∣Ft
= ertρ(t) =e−λz(t)
EP [e−λz(t)]
2) z∗(t) = z(t) − λtがQの下でのブラウン運動になるから
dV (t)V (t)
= (r − δ)dt + σdz∗(t)
3) 1)で求めたリスク中立確率Qに変換して (4.17)，(eq4.18)，(eq4.19)を評価する．たとえば，負債Dは (4.17)より，
D = EP
[∫ TB
0cρ(t)dt + (1 − α)VBρ(TB)
]
= EQ
[∫ TB
0ce−rtdt + (1 − α)VBe−rTB
]
=c
r
(1 − EQ
[e−rTB
])+ (1 − α)VBEQ
[e−rTB
]
8
したがって，期待値EQ[e−rTB
]が計算できればよい．そのためには，TBは企業の資産価
値の対数収益率
logV (t)V (0)
=(
r − δ − 12σ2
)t + σz∗(t)
が閾値 log VBV (0) に最初に到達時刻であることに注意すればよい．よって，初到達時刻のラ
プラス変換の結果から，
b = logVB
V (0)< 0, μ = r − δ − 1
2σ2
とおけば，
EQ[e−rTB
]= exp
{b
μ
σ2− |b| 1
σ2
√μ2 + 2rσ2
}=(V (0)
VB
)−β
である．ここで，βは，
β =1σ2
⎛⎝r − δ − 1
2σ2 +
√(r − δ − 1
2σ2
)2
+ 2rσ2
⎞⎠ > 0
であるが，これは方程式
σ2β2 − (2r − 2δ − σ2)β − 2r = 0
を満たす正の解でもある．以上から，V (0)を V と書き換えて，負債，税効果価値およびデフォルトコストは次の
とおりに評価される．
D(V ) =c
r+((1 − α)VB − c
r
)( V
VB
)−β
,
TB(V ) =τc
r
(1 −(
V
VB
)−β)
, DC(V ) = αVB
(V
VB
)−β
問題 4.31)
dS∗(t)S∗(t)
=[m − r + (μ − λ)
(EP [eY ] − 1
)]dt +
(eY − 1
)(dN∗(t) − μdt)
なので求める条件はEP[eY]
=m − r
λ − μ+ 1 > 0である．
2) 1)の条件を満たすとき，相対価格は
dS∗(t)S∗(t)
=(eY − 1
)(dN∗(t) − rdt)
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よって，測度変換後の価格過程は
dS(t)S(t)
= rdt +(eY − 1
)(dN∗(t) − rdt)
問題 4.4xiの確率微分方程式から
xi(T ) = e−λi(T−t)xi(t) + σ
∫ T
te−λi(T−s)dz(s)
が得られるので，xi(T )は xi(t)を所与としたときに正規分布
xi(T ) ∼ N
(e−λiτxi(t), σ2
i
1 − e−2λiτ
2λi
)
に従う．ただし，τ = T − tとおいた．正規分布X ∼ N(μ, σ2)に関してその 2乗の積率母関数を得るには
E[eθX2]
=1√2πσ
∫R
eθx2exp{−(x − μ)2
2σ2
}dx
を計算すればよい．被積分関数の指数部分を平方完成させると
θx2 − (x − μ)2
2σ2= −(x − μ(1 − 2θσ2)−1
)22σ2(1 − 2θσ2)−1
+θμ2
1 − 2θσ2
したがって，
E[eθX2]
= (1 − 2θσ2)−1/2 exp{
θμ2
1 + 2θσ2
}
であるから，
EPt
[eβiyi(T )
]=(
1 − βiσ2i
1 − e−2λiτ
λi
)−1/2
exp
{βi(e−λiτxi(t) − αi)2
1 − βiσ2i
1−e−2λiτ
λi
}
= Hi(τ)−1/2 exp{
βi(e−λiτxi(t) − αi)2
Hi(τ)
}
またEPt
[eβ0(T )−β0(t)
]= e−gτ であるから，債券価格は問題のとおりになる．
問題 4.5S(t)ρ(t)が従う確率微分方程式は伊藤の積公式から
d[S(t)ρ(t)]S(t)ρ(t)
=(μ − r − σ1λM − σ2λ
)dt + (σ1 − λ)dzM (t) + (σ2 − λ)dz(t)
である．S(t)ρ(t)がマルチンゲールになるには μ − r = σ1λM + σ2λでなければならない．
10
問題 4.61) まず割引国債 v(t, T )が従う確率微分方程式を求める．定義から
f(t, u) = f(0, u) +∫ t
0α(s, u)ds +
∫ t
0σf (s, u)dz1(s)
r(u) = f(u, u) = f(0, u) +∫ u
0α(s, u)ds +
∫ u
0σf (s, u)dz1(s)
フォワードレートの両辺を uに関して区間 [t, T ]で積分して積分交換を行えば∫ T
tf(t, u)du
=∫ T
tf(0, u)du +
∫ T
t
∫ t
0α(s, u)dsdu +
∫ T
t
∫ t
0σf (s, u)dz1(s)du
=∫ T
tf(0, u)du +
∫ t
0
∫ T
tα(s, u)duds +
∫ t
0
∫ T
tσf (s, u)dudz1(s)
=∫ T
tf(0, u)du +
∫ t
0
(A(s, T ) − A(s, t)
)ds +
∫ t
0
(V (s, T ) − V (s, t)
)dz1(s)
ここで
A(s, T ) =∫ T
sα(s, u)du, V (s, T ) =
∫ T
sσf (s, u)du
とおいた．一方，無リスク金利 r(t)については∫ t
0r(u)du
=∫ t
0f(0, u)du +
∫ t
0
∫ u
0α(s, u)dsdu +
∫ t
0
∫ u
0σf (s, u)dz1(s)du
=∫ t
0f(0, u)du +
∫ t
0
∫ t
sα(s, u)duds +
∫ t
0
∫ t
sσf (s, u)dudz1(s)
=∫ t
0f(0, u)du +
∫ t
0A(s, t)ds +
∫ t
0V (s, t)dz1(s)
フォワードレートの定義より，v(t, T ) = exp{− ∫ T
t f(t, u)du}であるから，これに上式を
代入すれば
− log v(t, T ) = − log v(0, T ) +∫ t
0(−r(s) + A(s, T ))ds +
∫ t
0V (s, T )dz1(s)
すなわち，割引国債の確率微分方程式は
d log v(t, T ) = [r(t) − A(t, T )] dt − V (t, T )dz1(t)
伊藤の公式から，
d log B(t) = r(t)dt
d log S(t) =[μ(t) − σ2
1 + σ22
2
]dt + σ1dz1(t) + σ2dz2(t)
11
であるから，さらに BT (t) = exp{log B(t) − log v(t, T )}および ST (t) = exp{log S(t) −log v(t, T )}に伊藤の公式を適用すれば，相対価格の確率微分方程式は
dBT (t)BT (t)
=[A(t, T ) +
12V (t, T )2
]dt + V (t, T )dz1(t)
dST (t)ST (t)
=[μ(t) − r(t) + A(t, T ) +
V 2(t, T ) − σ21
2
]dt
+ V (t, T )dz1(t) + σ2dz2(t)
2) ST , BT ともにマルチンゲールにする測度QT のブラウン運動は
dzT1 (t) = dz1(t) +
A(t, T ) + 12V (t, T )2
V (t, T )dt
dzT2 (t) = dz2(t) +
μ(t) − r(t) − 12σ2
2
σ2dt
になる．3) 先渡測度を用いてコールオプション価格は
π(C) = v(0, T )EQT[max {ST (T ) − K, 0}]
になる．先渡測度QT ではリスク証券価格 ST (T )の確率微分方程式は
dST (t)ST (t)
= V (t, T )dzT1 (t) + σ2dzT
2 (t)
であるから，
ST (T ) = ST (0) exp{∫ T
0
(V (t, T )dzT
1 (t) + σ2dzT2 (t))
− 12
∫ T
0
(V 2(t, T ) + σ2
2
)dt}
が成立する．σf (t, T )が確定関数であるから，V (t, T )も確定関数となり，上記積分における∫ T0
(V (t, T )dzT
1 (t) + σ2dzT2 (t))は正規分布に従う．すなわち，満期時点における相対価
格 ST (T )は対数正規分布
log ST (T ) ∼ N
(log
S(0)v(0, T )
− 12Σ2,Σ2
)
に従う．ここで
Σ2 =∫ T
0
(V 2(t, T ) + σ2
2
)dt
とおいた．したがって，
π(C) = S(0)Φ
(log S(0)/(Kv(0, T )) + 1
2Σ2
Σ
)
− Kv(0, T )Φ
(log S(0)/(Kv(0, T )) − 1
2Σ2
Σ
)
12
である．
問題 5.1リスク中立確率 (5.4)を用いて
CP = qB uS − K
R+ (1 − qB)
K − dS
R
=(R − d)(uS − K) + (u − R)(K − dS)
(u − d)R
=R(u + d) − 2ud
(u − d)RS +
K
R
問題 5.21) 問題 5.1の結果を用いて
1R(u+d)−2ud
(u−d)R S + KR
= qCP R
uS − K+ (1 − qCP )
R
K − dS
を解けば，次式が得られる．
qCP =qB uS−K
K−dS
qB uS−KK−dS + 1 − qB
2) ストラドルを基準財とする相対価格を計算すると
π(X)qB uS−K
R + (1 − qB)K−dSR
= qCP uS
uS − K+ (1 − qCP )
dS
K − dS
=qBuS + (1 − qB)dS
qB(uS − K) + (1 − qB)(K − dS)
となるので，求める証券価格は
π(X) = qB uS
R+ (1 − qB)
dS
R= S
である．元のリスク証券価格 Sが復元されたことに注意せよ．
問題 5.3日本円のリスク中立確率測度では，ドル円レートは確率微分方程式
dX(t) = X(t)[(rJPY − rUSD)dt + σdzJPY (t)
]に従うので，その逆数である円ドルレートの確率微分方程式は
d( 1
X(t)
)=
1X(t)
[(rUSD − rJPY + σ2)dt + σdzJPY (t)
]
13
である．すなわち，日本円のリスク中立確率測度に関しては，円ドルレートの期待収益率は rUSD − rJPY + σ2であり，3%ではない．しかし，ドルのリスク中立確率測度では，円ドルレートは
d( 1
X(t)
)=
1X(t)
[(rUSD − rJPY )dt + σdzUSD(t)
]に従い，その期待収益率は 3%である．したがって，想定している基準財の違いで “期待収益率”は異なることになる．
問題 5.4取引資産は S(t)X(t)と Bf (t)X(t)であるから，それらの Bd(t)に関する相対価格の確率微分方程式は
d(S(t)X(t)
Bd(t)
)=
S(t)X(t)Bd(t)
[(μS + μX + σS
1 σX − rd)dt
+ (σS1 + σX)dz1(t) + σS
2 dz2(t)]
d(Bf (t)X(t)
Bd(t)
)=
Bf (t)X(t)Bd(t)
[(μQ + rf − rd)dt + σQdz1(t)
[
である．したがって，自国通貨建てリスク中立確率測度 Qd の下での標準ブラウン運動zd1(t), zd
2(t)は
zd1(t) = z1(t) +
μQ + rf − rd
σQt
zd2(t) = z2(t) +
(μS + σS
1 σQ − rf − μQ+rf−rd
σQ
σS2
)t
となり，この変換によって，S(t)はQdの下で確率微分方程式
dS(t) = S(t)((
rf − σS1 σQ)
dt + σS1 dzd
1(t) + σS2 dzd
2(t))
に従う．Kに関しては，時点 0では何もキャッシュフローが生じないので，
EQd
[S(T )X(T ) − S(T )K
B(T )
]= 0
を満たさなければならない．したがって，K は
K =EQd
[S(T )X(T )
B(T )
]EQd
[S(T )B(T )
]によって定まる．S(t)X(t)の相対価格はマルチンゲールになるので
EQd
[S(T )Q(T )
B(T )
]= S(0)X(0) = sx
14
である．一方， S(T )B(T ) については Sの確率微分方程式から
EQd
[S(T )B(T )
]= EQd
[s exp
{(rf − rd − σS
1 σX)
T + σS1 zd
1(t) + σS2 zd
2(t)}]
= s exp{(
rf − rd − σS1 σX +
12
((σS
1
)2+(σS
2
)2))T
}
になる．よって
K = x exp{−(rf − rd − σS
1 σQ +12((σS
1 )2 + (σS2 )2))
T
}
問題 5.51) Z = (log S − μ)/σとおき，φを標準正規分布の密度関数とする．
E[Sλ1{S≥x}
]= EP
[eλ(μ+σZ)1{Z≥(log x−μ)/σ}
]=∫ ∞
(log x−μ)/σeλ(μ+σz)φ(z)dz
= eμλ+ 12σ2λ2
∫ ∞
(log x−μ)/σφ(z − σλ)dz
= eμλ+ 12σ2λ2
Φ(
μ − log x
σ+ σλ
)
2) リスク中立確率測度による評価を株式および割引債を基準財とするマルチンゲール測度に変換すれば
π(X) = EQ
[max{S(T )n − K, 0}
B(T )
]
= EQ
[S(T )B(T )
S(T )n−11{S(T )≥K1/n} −v(T, T )B(T )
K1{S(T )≥K1/n}
]
= S(0)ES[S(T )n−11{S(T )≥K1/n}
]− Kv(0, T )ET
[1{S(T )≥K1/n}
]が得られる．QS の下では Sは (5.26)に従っているので
log S(T ) ∼ N
(log S(0) + r +
12σ2T, σ2T
)
よって 1)の結果から
ES[S(T )n−11{S(T )≥K1/n}
]= S(0)n−1e(n−1)(r+ n
2σ2T )Φ (dn)
dn =log S(0)
K1/n + r + 12σ2T
σ+ (n − 1)σ
√T
したがって
π(X) = S(0)ne(n−1)(r+ n2σ2T )Φ (dn) − Ke−rT Φ
(d1 − σ
√T)
15
問題 5.61) 伊藤の商公式から
d(
B(t)S1(t)
)=
B(t)S1(t)
[σ2
1dt − σ1dz1(t)]
d(
S2(t)S1(t)
)=
S2(t)S1(t)
[σ1(σ1 − ρσ2)dt − σ1dz1(t) + σ2dz2(t)]
したがって，QS1 の下での標準ブラウン運動は
zS11 (t) = z1(t) − σ1t, zS1
2 (t) = z1(t) − ρσ1t
である．よって
d log(
S2(t)S1(t)
)= −1
2(σ2
1 − 2ρσ1σ2 + σ22
)dt − σ1dzS1
1 (t) + σ2dzS12 (t)
が得られる．Σ =√
σ21 − 2ρσ1σ2 + σ2
2 として
log(
S2(T )S1(T )
)∼ N
(log(
S2(0)S1(0)
)− 1
2Σ2T,Σ2T
)
したがって，求める確率は
QS1
{S2(T )S1(T )
> α
}
= QS1
⎧⎨⎩
log(
S2(T )S1(T )
S1(0)S2(0)
)+ 1
2Σ2T
Σ√
T>
log(αS1(0)
S2(0)
)+ 1
2Σ2T
Σ√
T
⎫⎬⎭
= Φ
⎛⎝ log
(S2(0)
αS1(0)
)Σ√
T− 1
2Σ√
T
⎞⎠
2) 満期における価値は
X = max{S2(T ) − αS1(T ), 0} = 1{S2(T )>αS1(T )} (S2(T ) − αS1(T ))
なので
π(X)S1(0)
= ES1
[X
S1(T )
]= ES1
[1{S2(T )>αS1(T )}
(S2(T )S1(T )
− α
)]
=S2(0)S1(0)
ES1
[1{S2(T )>αS1(T )}
S2(T )S1(T )
S1(0)S2(0)
]− αES1
[1{S2(T )>αS1(T )}
]=
S2(0)S1(0)
ES2[1{S2(T )>αS1(T )}
]− αES1[1{S2(T )>αS1(T )}
]
16
よって
π(X) = S2(0)ES2[1{S2(T )>αS1(T )}
]− αS1(0)ES1[1{S2(T )>αS1(T )}
]= S2(0)Φ
⎛⎝ log
(S2(0)
αS1(0)
)Σ√
T+
12Σ√
T
⎞⎠
− αS1(0)Φ
⎛⎝ log
(S2(0)
αS1(0)
)Σ√
T− 1
2Σ√
T
⎞⎠
問題 6.1(6.20)は OU(Ornstein-Uhlenbeck)過程なので，それを解くには eαtr(t)を考えればよい．伊藤の積公式から
d(eαtr(t)) = αeαtr(t)dt + eαtdr(t) = αμeαtdt + σeαtdzQ(t)
である．したがって，
eαT r(T ) = r(0) + αμ
∫ T
0eαtdt + σ
∫ T
0eαtdzQ(t)
すなわち，
r(T ) = e−αT r(0) + μ(1 − e−αT ) + σ
∫ T
0e−α(T−t)dzQ(t)
が得られる．確率積分の被積分関数は確定関数なので，r(T ) は正規分布に従う．一方，∫ T0 r(t)dtは (6.20)を積分形で書けば
α
∫ T
0r(t)dt = αμT + r(0) − r(T ) + σzQ(T )
になるので，これも正規分布に従う．
問題 6.2バシチェックモデルについて，連立微分方程式
dBV (τ)dτ
= −αBV (τ) − 1, BV (0) = 0
dAV (τ)dτ
= αμBV (τ) +12σ2BV (τ)2, AV (0) = 0
は容易に解くことができる．CIRモデルについては
dBC(τ)dτ
= −αBC(τ) +12σ2BC(τ)2 − 1, BC(0) = 0
dAC(τ)dτ
= αμBC(τ), AC(0) = 0
17
を解く．BC(τ)については，
dBC(τ)dτ
=12σ2(BC(τ) − a)(BC(τ) − b)
の形に書き換えることで求められる．AC(τ)はBC(τ)の分母の項で変数変換して積分する．
問題 6.3無リスク金利 r(t)の確率微分方程式は S先渡測度の下では
dr(t) =(αμ + σ2BV (S − t) − αr(t)
)dt + σdzS(t)
であるので，r(T )は S-先渡測度に関して正規分布N(μr(T ;S), (Σr(T ))2)に従う．ここで
μr(T ;S) = r(0)e−αT +(μ − σ2
α2
)(1 − e−αT ) +
σ2
2α2e−α(S−T )(1 − e−2αT )
Σr(T ) = σ
√1 − e−2αT
2α
である．τ = U − T とおき，BV (τ) < 0に注意して債券オプションがインザマネーになる確率は
QS{v(T,U) > K} = QS
{r(T ) <
log K − AV (τ)BV (τ)
}
= QS
{r(T ) − μr(T ;S)
Σr(T )<
AV (τ) + BV (τ)μr(T ;S) − log K
−BV (τ)Σr(T )
}
となる．一方，債券の相対価格はマルチンゲールだから
v(0, U)v(0, T )
= ET
[v(T,U)v(T, T )
]= ET
[exp(AV (τ) + BV (τ)r(T )
)]= exp
(AV (τ) + BV (τ)μr(T ;T ) +
12BV (τ)2Σr(T )2
)が成立する．したがって，Σ = −BV (τ)Σr(T )として
QT {v(T,U) > K}
= QS
{r(T ) − μr(T ;T )
Σr(T )<
log(v(0, U)/v(0, T )) − log K − 12Σ2
Σ
}
= Φ(
log(v(0, U)/(v(0, T )K))Σ
− 12Σ)
である．さらに
μr(T ;U) = μr(T ;T ) − BV (τ)Σ2r(T )
であることに注意すれば
QU{v(T,U) > K} = Φ(
log(v(0, U)/(v(0, T )K))Σ
+12Σ)
18
である．
問題 6.4バシチェックモデルでは
L = −AV (τ1)τ1
− BV (τ1)τ1
r(T ), S = −AV (τ2)τ2
− BV (τ2)τ2
r(T ) + k
である．事象Gを {L ≥ S}とすれば T フォワード測度を用いてスワップション価格は
π(X)v(t, T )
= EQT[max{L − S, 0}]
= EQT
[(BV (τ2)
τ2− BV (τ1)
τ1
)r(T ) +
(AV (τ2)
τ2− AV (τ1)
τ1− k
)1G
]
=(
BV (τ2)τ2
− BV (τ1)τ1
)EQT
[r(T )1G]
+(
AV (τ2)τ2
− AV (τ1)τ1
− k
)EQT
[1G]
である．無リスク金利 r(t)の確率微分方程式は T フォワード測度の下では
dr(t) =(αμ + σ2BV (T − t) − αr(t)
)dt + σdzT (t)
であるので，r(T )は T フォワード測度に関して正規分布N(μTr , (ΣT
r )2)に従う．ここで
μTr = r(0)e−αT +
(μ − σ2
α2
)(1 − e−αT ) +
σ2
2α2(1 − e−2αT ),
ΣTr = σ
√1 − e−2αT
2α
である．一般にX ∼ N(μ, σ2)のとき
E[X1{X>x}] = (√
2πσ)−1
∫ ∞
xz exp
{−(z − μ)2
2σ2
}dz
= σφ
(μ − x
σ
)+ μΦ
(μ − x
σ
)
となる．よって求めるスワップション価格は
C =τ1τ2k − τ1AV (τ2) + τ2AV (τ1)
τ1BV (τ2) − τ2BV (τ1)
として
π(X) = v(t, T )(BV (τ2)
τ2− BV (τ1)
τ1
)[ΣT
r φ
(μT
r − C
ΣTr
)+ μT
r Φ(
μTr − C
ΣTr
)]
+ v(t, T )(AV (τ2)
τ2− AV (τ1)
τ1− k)Φ(
μTr − C
ΣTr
)
19
として与えられる．
問題 6.5債券モーメントは債券価格と同じ偏微分方程式を満たす（初期条件のみが異なる）．しｔがって，M(T )はA(T )と，N(T )はB(T )と同じ連立微分方程式を満たす．ただし，初期条件として
M(0) = F0 =m∑
i=1
A(Ti − T0) + A(T − T0)
N(0) = F1 =m∑
i=1
B(Ti − T0) + B(T − T0)
を課す．これを解けば
M(t) = AV (τ) + F0 + ταμF1D(ατ)
+τ
2σ2
(F 2
1 D(2ατ) + 2F1D(2ατ) − D(ατ)
α
)N(t) = BV (τ) + F1 exp(−ατ)
として得られる．ただし， D(x) = 1−e−x
x ， τ = T0 − t，F0 =
∑mi=1 AV (Ti − T0) + AV (T − T0)， F1 = BV (Ti − T0) + BV (T − T0)とおいた．
問題 6.6(6.28)と (6.29)から∫ ∞
0xf(x)dx = c1Φ
( c1√c2
)+
√c2φ( c1√
c2
)
+∞∑
k=3
(−1)kqk√
c2Hk−2
( c1√c2
)φ( c1√
c2
)
が得られる．右辺の和を第 L項まで取ればよい．
問題 7.11) 割引国債価格 v(t)は (7.4)と同じである．割引社債価格D(κ)(t)は，t = 1でデフォルトしていない場合 (ω1, ω2, ω3, ω4)は
D(κ)(1) = EQ
[1{τ>2} + (1 − κ)
(1 − 1{τ>2}
)1 + r(1)
∣∣∣∣∣F1
]
=1 − κλ2
1 + r(1)= (1 − κλ2)v(1)
である一方，t = 1でデフォルトしている場合 (ω5, ω6)は
D(κ)(1) = EQ
[1 − κ
1 + r(1)
∣∣∣∣F1
]=
1 − κ
1 + r(1)= (1 − κ)v(1)
20
である．したがって t = 0では
D(κ)(0) = EQ
[1{τ>1}(1 − κλ2)v(1) + 1{τ=1}(1 − κ)v(1)
1 + r(0)
]= (1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1))v(0)
よって
D(κ)(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
(1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1))v(0), t = 0(1 − κ + κ(1 − λ2)1{τ>1})v(1), t = 11 − κ + κ1{τ>2}, t = 2
である．2) フォワード測度では，金利変動の確率は (7.6)と同じであり，デフォルト強度は測度変換によって不変である．
qT =q(1 + ur)−1
q(1 + ur)−1 + (1 − q)(1 + dr)−1, λT
1 = λ1, λT2 = λ2
状態 ω QT {ω}ω1 qT (1 − λT
1 )(1 − λT2 )
ω2 (1 − qT )(1 − λT1 )(1 − λT
2 )ω3 qT (1 − λT
1 )λT2
ω4 (1 − qT )(1 − λT1 )λT
2
ω5 qT λT1
ω6 (1 − qT )λT1
3)相対価格がマルチンゲールになるためには金利変動およびデフォルトの確率 qsv, λsv1 , λsv
2
が満たす連立方程式は以下のとおりである．
B(0) :1
(1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1))v(0)
= qsv
((1 − λsv
1 )(1 + r)(1 + ur)
1 − κλ2+ λsv
1
(1 + r)(1 + ur)1 − κ
)
+ (1 − qsv)(
(1 − λsv1 )
(1 + r)(1 + dr)1 − κλ2
+ λsv1
(1 + r)(1 + dr)1 − κ
)
v(0) :1
1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1)= (1 − λsv
1 )1
1 − κλ2+ λsv
1
11 − κ
v(1) :1
1 − κλ2= (1 − λsv
2 )11
+ λsv2
11 − κ
これらを解いて生存確率は
qsv = qT , λsv1 =
λ11−κ
1−κλ2
λ11−κ
1−κλ2+ 1 − λ1
, λsv2 =
λ2(1 − κ)λ2(1 − κ) + 1 − λ2
によって与えられる．
21
状態 ω Qsv{ω}ω1 qsv(1 − λsv
1 )(1 − λsv2 )
ω2 (1 − qsv)(1 − λsv1 )(1 − λsv
2 )ω3 qsv(1 − λsv
1 )λsv2
ω4 (1 − qsv)(1 − λsv1 )λsv
2
ω5 qsvλsv1
ω6 (1 − qsv)λsv1
4) プレデフォルト価格は
V κ(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
(1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1))v(0), t = 0(1 − κλ2)v(1), t = 11, t = 2
であるから
Λκ(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
1, t = 01−κλ1−κλ2(1−λ1)
1−κλ2, t = 1
1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1), t = 2
とすれば V κ(t)Λκ(t)/B(t) = (1 − κλ1 − κλ2(1 − λ1))v(t)/B(t)がQマルチンゲールになる．このラドン・ニコディム微分は先渡測度への変換になるので生存条件測度は先渡測度と同じである．
qsvc = qT , λsvc1 = λ1, λsvc
2 = λ2
問題 7.21) 割引国債価格 v(t)は (7.4)と同じである．割引社債価格D(κ)(t)は，t = 1では
D(κ)(1) = EQ
[1{τ>2} + (1 − κ)
(1 − 1{τ>2}
)1 + r(1)
∣∣∣∣∣F1
]= (1 − κλ(1))v(1)
である．金利変動と強度の実現は独立であることに注意すれば t = 0では
D(κ)(0) = EQ[D(κ)(1)1 + r(0)
]= (1 − κEQ [λ(1)])v(0)
である．ここでEQ [λ(1)] = pλl + (1 − p)λhである．これらをまとめて次のようになる．
D(κ)(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
(1 − κEQ [λ(1)])v(0), t = 0(1 − κλ(1))v(1), t = 11 − κ + κ1{τ>2}, t = 2
2) フォワード測度
qT =q(1 + ur)−1
q(1 + ur)−1 + (1 − q)(1 + dr)−1, pT = p, λ(1)T = λ(1)
22
3) 生存測度
qsv = qT , λsv1 =
λ11−κ
1−κλ2
λ11−κ
1−κλ2+ 1 − λ1
, λsv2 =
λ2(1 − κ)λ2(1 − κ) + 1 − λ2
4) プレデフォルト価格は
V (κ)(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩
(1 − κEQ [λ(1)])v(0), t = 0(1 − κλ(1))v(1), t = 11, t = 2
なので
Γ(κ)(t) =
{1, t = 0, 11 − κλ(1), t = 2
とすれば V (κ)(t)Γ(κ)(t)/B(t)が正値マルチンゲールになる．実際，相対価格がマルチンゲールになるためには金利変動およびデフォルトの確率 qsv, λsv が連立方程式
B(0) :1
(1 − κEQ [λ(1)])v(0)
= qsvc
(psvc (1 + r)(1 + ur)
1 − κλl+ (1 − psvc)
(1 + r)(1 + ur)1 − κλh
)
+ (1 − qsvc)(
psvc (1 + r)(1 + dr)1 − κλl
+ (1 − psvc)(1 + r)(1 + dr)
1 − κλh
)
v(0) :1
1 − κEQ [λ(1)]= psvc 1
1 − κλl+ (1 − psvc)
11 − κλh
D(κ)(1) : 1 = (1 − λ(1)svc)1
1 − κλ(1)+ λ(1)svc 1 − κ
1 − κλ(1)
を満たす必要がある．したがって生存条件測度は
qsvc = qT , psvc = p(1 − kλl), λ(1)sv = λ(1)
であり，フォワード測度とは異なる．
問題 7.3t = 2のキャッシュフローがX である証券に対して，次の期待値計算を行えばよい．
Q : EQ[X]
Qsv : D(κ)(0)EQsv
[X
D(κ)(2)
]= (1 − κλ)EQsv
[X
1 − κ + κ1{τ>2}
]
Qsvc : V (κ)(0)Γ(κ)(0)EQsvc
[X
V (κ)(2)Γ(κ)(2)
]= EQsvc
[X]
ここで，仮定からQsvcはQと一致し，Qsv は以下のとおりである．
23
状態 ω ω1 ω2 ω3 ω4
Qsv{ω} q(1 − λ)1 − κλ
(1 − q)(1 − λ)1 − κλ
qλ(1 − κ)1 − κλ
(1 − q)λ(1 − κ)1 − κλ
どの確率測度を用いても結果は同じで，各証券価格は以下のとおりである．
S1 : 1 − λ, S2 : 1, S3 : λ
問題 7.4(7.31)を再帰方程式 (7.30)の右辺に代入する．
右辺 = B(t)EQ[1{τ>T}
B(T )
+∫ T
t1{τ>s}
1 − κ
B(s)EQ
[Λ(κ)(s)B(s)Λ(κ)(T )B(T )
∣∣∣∣∣Gs
]λ(s)ds
∣∣∣∣∣Ft
]
= 1{τ>t}Λ(1)(t)B(t)EQ[ 1Λ(1)(T )B(T )
+1 − κ
Λ(κ)(T )B(T )
∫ T
t
Λ(κ)(s)Λ(1)(s)
λ(s)ds
∣∣∣∣∣Gt
]
ここで，
(κ − 1)∫ T
t
Λ(κ)(s)Λ(1)(s)
λ(s)ds =∫ T
t
dds
(Λ(κ)(s)Λ(1)(s)
)ds =
Λ(κ)(T )Λ(1)(T )
− Λ(κ)(t)Λ(1)(t)
であるから
右辺 = 1{τ>t}Λ(1)(t)B(t)EQ
⎡⎣ 1
Λ(1)(T )B(T )−
Λ(κ)(T )
Λ(1)(T )− Λ(κ)(t)
Λ(1)(t)
Λ(κ)(T )B(T )
∣∣∣∣∣∣Gt
⎤⎦
= 1{τ>t}EQ
[Λ(κ)(t)B(t)
Λ(κ)(T )B(T )
∣∣∣∣∣Gt
]
= D(κ)(t, T )
問題 7.5
dLsv(t) = 1{τ>t}d((1 − N(t))Λ(t))
= 1{τ>t}(1 − N(t))dΛ(t) − 1{τ>t}ΛtdN(t)
= 1{τ>t}(1 − N(t))λ(t)Λ(t)dt − Lsv(t)(dM(t) + (1 − N(t))λ(t)dt)
= −Lsv(t)dM(t)
24
問題 7.6定理 7.1 のデフォルトリスク証券と同じ RMV に従う割引社債のプレデフォルト価格がFABC(t, T )であることは，
∫ T
t
Λ(svc,ABC)(s)Λ(sv,ABC)(s)
⎛⎝ ∑
i=A,B,C
(κi − 1)λi(s)
⎞⎠ ds
=∫ T
t
dds
(Λ(svc,ABC)(s)Λ(sv,ABC)(s)
)ds =
Λ(svc,ABC)(T )Λ(sv,ABC)(T )
− Λ(svc,ABC)(t)Λ(sv,ABC)(t)
に注意して問題 7.5と同じ計算をすることにより確認できる．そして
1{τABC>t}FABC(t, T )Esvc,ABC [Y | Gt]
が (7.26)を満たすことを示せばよい．
問題A.1Σが対称行列であることを利用する．
(x − µ)�Σ−1(x − µ) − 2t�x
= x�Σ−1x − 2x�Σ−1(µ + Σt) + µ�Σ−1µ
= (x − (µ + Σt))�Σ−1(x − (µ + Σt)) − t�Σt − 2µ�t
問題A.2
mn(t) =n∑
k=0
ekt n!k!(n − k)!
pk(1 − p)n−k
=n∑
k=0
ekt n!k!(n − k)!
(pet)k(1 − p)n−k = (pet + 1 − p)n
p = λ/nを代入すればmn(t) = (1 + λ(et−1)n )n → exp{λ(et − 1)} (n → ∞)
問題A.3伊藤の公式に代入すればよい．
dS(t)S(t)
= (μ(t) +12σ2(t))dt + σ(t)dz(t)
問題A.41) 伊藤の公式から
d log X(t) =(μX(t) − 1
2σ2
X(t))dt + σX(t)dz1(t)
d log Y (t) =(μY (t) − 1
2σ2
Y (t))dt + σY (t)dz2(t)
25
辺々引けば
d log D(t) =(μX(t) − 1
2σ2
X(t) − μY (t) +12σ2
Y (t))dt
+ σX(t)dz1(t) − σY (t)dz2(t)
を得る．2)
σ2D(t) = σ2
X(t) + σ2Y (t) − 2ρσX(t)σY (t)
3)
d log D(t) =(μX(t) − 1
2σ2
X(t) − μY (t) +12σ2
Y (t))dt + σD(t)dzD(t)
と書けるので，elog D(t)に伊藤の公式を適用すれば伊藤の商公式を得る．4) 1)～3)の手続きと同様．
問題A.5
log S(t)のテーラー展開 d log S(t) =∞∑
n=1
(−1)n−1
n
(dS(t)S(t)
)n
を確率微分方程式dS(t)S(t)
=
(μ− λk)dt + σdz(t) +(eY − 1
)dN(t) に代入する．ブラウン運動では (dz(t))n = 0, n ≥ 3
であったことに気をつければ
d log S(t) =(μ − λk − 1
2σ2)dt + σdz(t) +
∞∑n=1
(−1)n−1
n
(eY − 1
)ndN(t)
=(μ − λk − 1
2σ2)dt + σdz(t) + Y dN(t)
である．したがって，確率微分方程式の解は
S(t) = S(0) exp
⎧⎨⎩(μ − 1
2σ2 − λk
)t + σz(t) +
N(t)∑i=1
Yi
⎫⎬⎭
である．
問題A.6条件付き期待値の性質とジェンセンの不等式を用いる．
E[|M(t)|] = E[|Et[X]|] ≤ E[Et[|X|]] = E[|X|]] < ∞Es[M(t)] = Es[Et[X]] = Es[X] = M(s), s < t
26