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1２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換
2
フーリエ変換と逆変換
u
v
F.T.
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−+−= dxdyvyuxjyxfvuF )}(2exp{),(),( π連続系
離散系∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0}/)(2exp{),(1),(
N
x
N
yNvyuxjyxf
NvuF π
x
y
),( yxf
),( vuF
I. F.T.
),( vuF
ただし，ここでは絶対値をとって画像化
∑∑−
=
−
=
+=1
0
1
0}/)(2exp{),(1),(
N
x
N
yNvyuxjvuF
Nyxf π
順変換
逆変換
, , , x y u v は整数
3
２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
}/)(2exp{),(1),(N
x
N
y
NvyuxjyxfN
vuF π
}/)(2exp{ Nvyuxj +− π),( yxf
対応する画素ごとに積をとって最後に総和をとる．
はどんなパターンか？それでは }/)(2exp{ Nvyuxj +− π
離散系での説明
4
２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
)(2sin)(2cos)}(2exp{ vyuxjvyuxvyuxj +−+=+− πππに注目して考える．のうち，実部 )(2cos vyux +π
を与える．この直線は
なる．の直線は以下のように
12cos
,...,...,2,1,0
=
=+
n
nvyux
π
x
y
u/1
v/1
v/2
v/3
れる．『空間周波数』と呼ば
を与える．は空間的な波の周波数
⇒
),( vu
方向の周波数成分
方向の周波数成分
yvxu
::
「間隔が大きい」が小さい」「
となる．で
軸上に注目すると），（すなわち
とおくとにおいて，
⇔=
=⇔=
==+
uux
uuxuxxy
nvyux
1)cos(,.../2,/1,0...2,1,0
0,...,...,2,1,0
u/2
連続系の表現
5
２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
exp{ 2 ( ) / } cos[2 ( ) / ] sin[2 ( ) / ]j ux vy N ux vy N j ux vy Nπ π π− + = + − +
cos[2 ( ) / ]ux vy Nπ +のうち，実部 に注目して考える．
( ) / 0,1,2,..., ,...
cos2 1
ux vy N n
nπ
+ =
=の直線は以下のようになる．
この直線は を与える．
x
y
/N u
/N v
2 /N v
3 /N v
れる．『空間周波数』と呼ば
を与える．は空間的な波の周波数
⇒
),( vu
方向の周波数成分
方向の周波数成分
yvxu
::
( ) / 0,1,2,..., ,...
0
/ 0,1,2... 0, / ,2 / ,...
cos( / ) 1
ux vy N n
y
x
ux N x N u N u
ux N
u
+ ==
= ⇔ ==
⇔
において， とおくと
（すなわち 軸上に注目すると），
で となる．
「 が小さい」 「間隔が大きい」
2 /N u
離散系の表現
6
空間周波数の例
)(2cos vyux +π
,...2 , ,0,...2,1,00/ DDxyDxvyux =⇔=+=+
x
y例１）
D2
)0,/1(),( Dvu =
D
x
y
D
)0,/2(),( Dvu =
例２）
,...2/3, ,2/ ,0,...2,1,00/2 DDDxyDxvyux =⇔=+=+
D2
連続系の表現
7
空間周波数の例
cos[2 ( ) / ]ux vy Nπ +
( ) / / 0,1,2,...
0, , 2 ,...
ux vy N x N
x N N
+ = =⇔ =
x
y例１）
2N
( , ) (1, 0)u v =
N
x
y( , ) (2, 0)u v =
例２）
( ) / 2 / 0,1,2,...
0, / 2, , 3 / 2,...
ux vy N x N
x N N N
+ = =⇔ =
離散系の表現
2NN
1 1
0 0
1( , ) ( , )exp{ 2 ( ) / }
N N
x y
F u v f x y j ux vy NN
π− −
= =
= − +∑∑
8
演習
)(2cos vyux +π
x
y
u
v
D/1
D A
B
例題２上図A,B,Cの位置に対応する空間周波
数のパターン（余弦波）をスケッチしなさい．
例題１
下の図に対応する余弦関数を式で書きなさい．ただし黒い線は１の値をもち，余弦関数の最大値を描いているものとする．また，その空間周波数の位置をuv平面上に図示しなさい．
5/DD/1
D/2 C
連続系の表現
9
演習
cos[2 ( ) / ]ux vy Nπ +
x
y
u
v
1
N A
B
例題２下図A,B,Cの位置に対応する空間周波
数のパターン（余弦波）をスケッチしなさい．
例題１
下の図に対応する余弦関数を式で書きなさい．ただし黒い線は１の値をもち，余弦関数の最大値を描いているものとする．また，その空間周波数の位置をuv平面上に図示しなさい．
/ 5N1
2C
離散系の表現
←画像サイズ
３
10
フーリエ変換演算のまとめ
One-comonent Image
x
y
u
v
x
y
0 1 2 3
0
1
2
3
uv x
y
x
y
x
y
∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0}/)(2exp{),(1),(
N
i
N
jNvyuxjyxf
NvuF π
012
0 1 2
11
フーリエの合成のデモ
順次，高周波数成分を追加していく．
Manhattan distanceでDm=3のスペクトル
u
v
u
v
F.T.),( vuF
12
フーリエの合成のデモ（つづき）
Dm=3まで
Dm=10までDm=6まで
u
v
u
v
u
v
u
v
13２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換
14
代表的な２次元フーリエ変換対(1)
1),(),(),( =⇔= vuFyxyxf δ
x u
),(),( yxyxf δ=1),( =vuF
０の関数．で無限大になり，他で0,0:),( == yxyxδ
２変数のデルタ関数：
０の関数．で無限大になり，他でbyaxbyax ==−− ,:),(δ
y v
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代表的な２次元フーリエ変換対(2)
)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( vuvuFyxyxf =⇔=
xu
y v
xu
0u0u−
0
0v
0v−
vy
u/1 u/2v/1v/2v/3v/4
)},(),({21),()](2cos[),(
000000vvuuvvuuvuFyvxuyxf +++−−=⇔+= δδπ
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代表的な２次元フーリエ変換対(３)
22 )(),( yxrdrcircyxf +==
u
v
J1: ベッセル関数
xy
d
x u
)](exp[]exp[),(
22
2
yxryxf
+−=−=ππ
y v
2212 ,)(),( vuddJdvuF +== ρρπρππ
)](exp[]exp[),(
22
2
vuvuF
+−=−=ππρGauss関数
17
２次元フーリエ変換の計算例－矩形1－
)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( bvauvuFby
axyxf =⇔=
6,12 == ba
18
２次元フーリエ変換の計算例－矩形1－
)(sinc)(sinc),()(rect)(rect),( bvauvuFby
axyxf =⇔=
24,6 == ba
24,6 == ba
64,6 == ba64,6 == ba
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２次元フーリエ変換の計算例－円形1－
22 )(),( yxrdrcircyxf +== 2212 ,)(),( vu
ddJdvuF +== ρρπρππ
20２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換
21離散フーリエ変換の概念 －まずは１次元－
x u
)2/(1 d d/1
)(uF
0
)(xf
u0
)/(comb)()( dxxfxfs ⋅=
x
x
)/(comb dx
d
d
掛け算
u
)(comb)()( duuFuFs ∗=
0
)(comb du
元の連続信号 フーリエ変換対
サンプリングの関数
離散信号
D D1
周期Dの正弦波（余弦波）の成分
Ｄの範囲に対して，基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは，暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる．
∑−
=
−=1
0)/2exp()(1)(
N
xNuxjxf
NuF π
△
22
一般に，赤枠のように，原点が中央になるように配列し直して表示する方がわかりやすい．
x
y
u
v
u
v２次元フーリエ変換および振幅（絶対値）の対数変換表示
2DＦＦＴの結果は図のように原
点を端として切り出されたスペクトルと解釈できる．
２次元離散フーリエ変換
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２次元離散フーリエ変換のデータの並び
N-1
0 N-10
N/2Nyquist freq.
N/2
u
v
24
境界部分での不連続によるスペクトル