Perhatikan grafik dari fungsi f dengan dengan l garis lurus yang melalui titik dan

Maka limit tesebut dinamakan hasil bagi differensial atau derivatif atau turunan dari fungsi f dengan di titik P(x0,y0) adalah :

Dan dikatakan bahwa y mempunyai turunan di P bila pada seluruh domain y=f(x) mempunyai turunan maka dinyatakan dengan :

DefinisiTurunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang x di dalam daerah asal f diberikan oleh :

Jika limit ini ada, turunan fungsi f dilambangkan dengan f

Jika x1 suatu bilangan tertentu di dalam daerah asal f maka :

ExDiketahui carilah f

Perhatikan

JIka diambil

Maka

Ex.Kerjakan soal di atas untuk x=2

TeoremaBila dan masing-masing merupakan fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pertama pada domain D maka berlaku :

Proses penghitungan turunan f dari f diferensiasiJika fungsi f mempunyai turunan di x1 maka dikatakan fungsi f diferensiabel di x1Dkl. Fungsi f diferensiabel di x1 jika f (x1) adaJika suatu fungsi f diferensiabel di setiap bilangan riil dalam Df nya maka f dinamakan fungsi diferensiabel

Turunan fungsi f adalah fungsi f (dibaca f aksen), yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:Asalkan limitnya ada

PROSES MENCARI TURUNANLangsung dari definisi dengan mengganti sembarang bilangan c dengan x, sehingga didapat:Asalkan limitnya ada. Notasi turunan fungsi sering kita memakai huruf D, misalnya Df=f atau Df(x)=f(x)

Contoh-contohCarilah turunan fungsi dari f(x)=7x-3Jawab:

Jadi f dari fungsi yang diberikan adalah f(x)=72. Carilah turunan dari Jawab:

Teorema-teorema TurunanTeorema A (Aturan konstanta) Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f(x)=0 - yakni:D(k)=0Teorema B (Aturan fungsi identitas)Jika f(x)=x, maka f(x)=1 - yakni:D(x)=1Teorema C (Aturan pangkat)Jika untuk n anggota bilangan Rel, maka - yakni :

Teorema D (Aturan Kelipatan)Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan, maka (kf)x=kf(x) -yakni:Teorema E (Aturan Jumlah) Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan, maka (f+g)x=f(x)+g(x) -yakni:

Teorema F (Aturan Selisih) Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan, maka (f-g)x=f(x)-g(x) -yakni:

Teorema G (Aturan Perkalian)Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan,maka(f.g)(x)=f(x)g(x)+g(x)f(x) -yakni:

Teorema H (Aturan Pembagian) Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan dengan, maka -yakni:

Bukti TeoremaBukti Teorema C (Aturan pangkat), yaitu , maka

Bukti:Contoh Soal; Carilah Dy dari:

Pemecahan soal-soal

Perhatikan sebuah kincir feris yang berjari-jari 30 kaki, berputar berlawanan arah putaran jarum jam dengan kecepatan sudut 2 radian/det. Seberapa cepat dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak) pada saat ia berada 15 kaki di atas garis mendatar yang melalui pusat kincir ? Jawab.Misalkan bahwa kincir berpusat di O(0,0) dan P berada di (30,0) pada saat t=0 Gambar di bawah.P(30cos2t,30sint)Pada saat t, P bergerak melalui sudut 2t radian, sehingga koordinat P(30 sin2t,30 cos2t). Laju P naik adalh turunan koordinat vertikal 30 sin2t yaitu diukur untuk 30sin2t=15, maka sin2t=1/2, sehingga dengan demikian:Jadi P naik pada kaki/det.

*************************