第十三章 变化的磁场和电场第十三章 变化的磁场和电场13-1 、电磁感应定律一、实验现象

实验一G N S

结论：闭合线圈处磁场发生变化时结论：闭合线圈处磁场发生变化时，线圈中出现感应电流。，线圈中出现感应电流。

实验二

G

A

B

结论：磁场不变，结论：磁场不变， ABAB 运动时运动时，线圈中出现感应电流。，线圈中出现感应电流。

电磁感应现象电磁感应现象

当穿过一个闭合回路所包围的面积的磁通量发生变化时，导体回路中会产生感应电流。

二、二、电动势电动势

静电力

非静电力

要形成稳恒电流电路中必须存在非静电力除静电力之外的所有力都是非静电力（化学、机械、磁力等）

+ -

11 、非静电场强度、非静电场强度Fk 表示电荷 q在电源中受到的 非静电力，则 定义：

EF

qkk 非静电场强度

BA

外电路中非静电场强度为 0

Fk

BA

22 、电动势、电动势定义：单位正电荷从电源负极移到电源正极时，非静电力作的功

E dlk

B

A

电势的定义类比

如果外电路中也存在非静电力

E dlk

Ek

BA

E dlk

B

A

电势的定义类比

如果外电路中也存在非静电力

E dlk

非静电场强沿闭合电路上的环流

方向：与电流方向一致

三、法拉第电磁感应定律

i

d

dt

通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。

感应电流 感应电动势

i

d

dt

讨论：讨论：

（ 1 ）“ -” 号表示感应电动势

的方向，是法拉第感应定律的重要内容，是楞次定律的数学表达。

i

d

dt

讨论：讨论：

（ 2 ）楞次定律：

感应电流的磁场总是反抗产生感应电流的磁场的变化。

N S

i

d

dt

讨论：讨论：（ 3 ）感应电流

IR R

d

dtii

1 如果闭合回路的电阻为 R

穿过任一截面的感生电量为q I dt

Rd

Rit

t

1

2

1

2

2 1

1 1

( )

磁通计的工作原理

i

d

dt

讨论：讨论：

（ 4 ）对于 N 匝线圈

i Nd

dt

d N

dtN

( )

: 称为线圈的磁链数。

例：如图，求线圈中的感应电动势已知 I I t 0 sin

I

d b

无限长

lxdxB

I

x

0

2

穿过面元 dS 的磁通量：d BdS

I

xldx

cos0

20

dI

xldx

0

2

d b

lxdx

I I t 0 sin

dI

xldx

lI t d b

d

d

d b

0

0 0

2

2

sinln

d

dtlI d b

dt

0 0

2ln cos

10-210-2 、 动生电动势、 动生电动势一、动生电动势

G

A

B

v

dx

l磁场不变，线圈形状改变。

磁通量改变BlxSB

i

d

dtBl

dx

dtBl

v

二、动生电动势的物理本质二、动生电动势的物理本质

G

A

B

l i Bl v

vfm

E

f e B veE e B v 时

AB 方向上无电子定向运动 E Bv V V El

BlA B

= v

二、动生电动势的物理本质二、动生电动势的物理本质

G

A

B

l i Bl v

vfm

E

洛伦兹力洛伦兹力推广到一般情况

三、动生电动势计算的一般公式三、动生电动势计算的一般公式

G

A

B

l i Bl v

vfm

E

Befm

v

非静电力非静电场强度：

Be

fEk

v

i kE dl

B dl

= (v )

i

L

B dl

B dl

= (v

= (v

)

)

运动部分导体积分

问题：问题： ，，即洛仑兹力对电荷不作即洛仑兹力对电荷不作功，为何产生电动势？功，为何产生电动势？vf

讨论：讨论：洛仑兹力合力不作功洛仑兹力合力不作功

v

B

a

b

'v

V

电子运动的合速度为电子运动的合速度为

'vvV

电子在磁场中所受电子在磁场中所受的总洛仑兹力为的总洛仑兹力为

BVeF

BveBve

ff

Bvve )(

'v

'f

F

v

B

a

b V'v

f

VFP

洛

)()( vvff

vfvf

vBvevBve )'()(

BvvevevB 0

v

'v

V

f

'f

F

-------- 总的洛仑兹力不作功总的洛仑兹力不作功

总洛仑兹力作功功率为总洛仑兹力作功功率为

洛仑兹力起能量转化作用洛仑兹力起能量转化作用

vfvf

外

电子向右匀速运动电子向右匀速运动 , , 须有须有外力作用，且外力作用，且 'ff

外

vf

-------- 洛仑兹力不提供能量，只是传递能量洛仑兹力不提供能量，只是传递能量

洛仑兹力分力洛仑兹力分力 ff 对电荷所作的功对电荷所作的功

外力反抗洛仑兹力外力反抗洛仑兹力分力 分力 f ’f ’ 所作的功所作的功

v

'f

'v

f 外f

vfvfP

洛

B

O

A

如图，长为 L 的导体棒，绕 O 点以角速度在匀强磁场中转动，求 动生电动势。

取线元 dl v

lv l

B

O

Av

l

d B dl B ldli v

i

L

B ldl B L 0

21

2

i的方向？

V B 的方向即为正电荷积聚的方向（正极）

思考题？

O

A

B

3

l

22 )3

2(

2

1)

3(

2

1 lB

lBi

B 点电势高

I

d l

vx

x

A B

如图，求 AB 两端的动生电动势B

I

x

0

2

d B dxi v

id

d l I

xdx

I d l

d

0

0

2

2

v

v ln

四、磁场中转动的线圈四、磁场中转动的线圈

B

C

D

A

B

n

S

通过每匝线圈磁通量 BS cos i N

d

dt

NBSd

dtsin

NBS t sin

0 sin t

10-310-3 、感生电动势，感生电场、感生电动势，感生电场一、感生电场（物理分析）

B 不变，导体回路运动 动生电动势

导体回路不变， B 改变 感生电动势

洛伦兹力

？？？？

G N S

麦克斯韦假设：变化的磁场在其周围激发了一种电场，称为感生电场。

感生电场感生电场 静电场静电场

（ 1 ）由自由电荷激发。（ 2 ）电力线不闭合

E dl静 0

（ 1 ）由变化的磁场激发（ 2 ）电力线是闭合的。

E dl感生 ？

对电荷有作用力。

二、感生电场的环流

N

S

B由电动势的定义： ldEi

非

此时， 非 感

感

E E

E dld

dtL

d

dtB dS

S

dt

d

E dl

B

tdS

L S感

讨论：（ 1 ）感生电场为非保守场！

( ) " "2 号表示

与 方向成左旋。

感生

E

dB

dt

dB

dt

例：在半径为 R 的无限长螺线管内部的磁场 B 作线性变化（dB/dt= 常数）时，求管内的感生电场。

E

E dlB

tdS

L S感

rEEdlL

2

S

Sdt

B

rE

2

1感

E

S

Sdt

B

rE

2

1感(1) r<R

dSt

BSd

t

B

SS

dt

dBr2

dt

dBrE

2感

(2) r>R

dSt

BSd

t

B

SS

dt

dBR2

dt

dB

r

RE

2

2

感

例 一被限制在半径为 R 的无限长圆柱内的均匀磁场 B ， B

均匀增加， B 的方向如图所示。

R

O NM

C D

求 导体棒 MN 、 CD 的感生电动势

)Rr(tBr

EV dd

2

解 方法一 ( 用感生电场计算 ):

N

M VMN lE

d

l

dVE

0

D

C VCD lE

d D

C V lE dcos L

ol

rhtBr

ddd

2

hr

tBhL

dd

2

方法二 ( 用法拉第电磁感应定律 ):( 补逆时针回路 OCDO)

tΦ

i dd

t/BLh

d)2d( CDDOCDOC

B

tBhL

dd

2

三、电子感应加速器

E

Fm

F eE

三、电子感应加速器

E

Fm

F eE

电子轨道处的感生电场： E dl

d

dt

R B

B

2

:圆面内平均磁感应强度

E R RdB

dt2 2

E

Fm

F eE

ER dB

dt2

电子受到的磁场力：

RmBe

2vv

eB

mR

v

B 为电子运动轨道处的磁感应 强度。

E

Fm

F eE

ER dB

dt2eB

mR

v

dt

mdeEF

)v(

dB

dt

dB

dt

1

2

B 与 B 均在改变，但随时满足： B B

1

2

dt

dBeR

四、涡电流四、涡电流

10-410-4 、 自感应和互感应、 自感应和互感应一、自感应

由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自己回路中激起感应电动势的现象，称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。

K

特例：长直螺线管，已知 l,R,N,I

线圈内各点的 B:

BNI

l

0

每匝线圈的磁通量： BSNI

lR

0 2

磁链数： 22

0 Rl

INN

磁链数： 22

0 Rl

INN

I变化，产生的感生电动势：

dt

dI

l

NR

dt

dL

220

L LdI

dtL

N

lR, 0

22

L 称为自感系数，仅与回路性质有关，是一个电路参数。

推广到任意形状线圈

dt

dIL

dt

dI

dI

d

dt

dL

dI

dL

回路形状不变I

L

I

IB

讨论：

（ 1 ）感应电流反抗原来电流的变化。

（ 2 ）自感系数的单位：

亨利（ H)（ 3 ）自感系数的计算方法。

[例 ]：如图，由两个无限长的同轴圆筒状导体所组成的电缆，其间充满磁导率为的磁介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 I 大小相等而方向相反，内外圆筒的半径分别为 R1 和 R

2 ，求电缆单位长度的自感。

r

IB

2

ldrr

IBldrd

2

drr

Ild

R

R

2

12

1

2ln2 R

RIl

IL

1

2/ ln2 R

R

IlL

二、互感应二、互感应 I1 的变化

B1 的变化

21 的变化

线圈 2 中出现感应电动势

I2 的变化

B2 的变化

12 的变化

线圈 1 中出现感应电动势

11 IB 1212 IN

1

21221 I

NM

22 IB 2121 IN

2

21112 I

NM

[例 ]如图，求 C1,C2 两个线圈的互感系数

设 C1 中有电流 I1 1

111 I

l

NnIB

212212 rBNN 2

11

2 rIl

NN

221

1

21221 r

l

NN

I

NM

1221 MM

I1

I2

M=0

10-510-5、 磁场的能量、 磁场的能量一、自感磁能

K

K闭合，电流从 0逐渐增至 I

要求电源反抗感应电动势作功

dA idtL

i为电流的瞬时值

L Ldi

dt

K

dA idtL L Ldi

dt

dA Lidi A Lidi LI

I

0

21

2Wm

在一个自感系数为 L的线圈中建立强度 为 I的电流，线圈中储存的能量。

二、磁场的能量

W CVe 1

22 W DEVe

1

2

W LIm 1

22 1

2 0

2 2

02

N S

l

B

N l( )

1

2

1

2

2

0

2

0

BSl

BV

1

2BHV

定义：m

mW

VBH 1

2

磁场能量密度

比较

eeW

VDE

1

2

讨论：

（ 1 ）磁场具有能量，是磁场具有物质性的表现。（ 2 ）磁场能量密度定义具有普适性。

mmW

VBH

1

2

W dV BHdVm m 1

2

对磁场空间积分

例：一根很长的同轴电缆由半径为R1 的圆柱体与内半径为 R2 的同心圆柱壳组成，电缆中央的导体上载有稳定电流 I，再经外层导体返回形成闭合回路。计算：（ 1 ）长为 l 的一段电缆内的磁场所储藏的能量；（ 2 ）该段电缆的自感。

R1

R2

r

IB

2

0

0

2

2

1

2

1

B

BHm 22

20

8 r

I

rdrlr

IdVdW mm

2

8 22

20

2

1

28 22

20

R

R

mm rdrlr

IdVW

1

22

0 ln4 R

RlI

2

2

1LIWm

1

20 ln2 R

RlL

rdrdS

rldrdV

drrdV

2

2

4 2

圆：圆柱：球：