第八章

电磁感应 电磁场

8-0 第八章教学基本要求

8-1 电磁感应的基本定律

8-2 动生电动势 *涡旋电场

第八章 电磁感应 电磁场第八章 电磁感应 电磁场

8-3 自感 * 互感 磁场的能量

*8-4 位移电流 麦克斯韦方程组

教学基本要求教学基本要求

一、理解电动势的概念 .

二、掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律 , 并会用于计算感应电动势的大小和判断感应电动势的指向 .

三、理解动生电动势 , 能计算简单情况中的动生电动势 .

四、了解感生电动势和感生电场的概念 .

五、了解自感现象和自感系数 .

* 六、了解互感现象和互感系数 .

七、了解自感磁能公式 , 了解磁场能量密度概念和磁场能量计算方法 .

* 八、了解位移电流的概念 , 了解麦克斯韦关于电磁场的基本概念和麦克斯韦方程组的积分形式及其物理意义 .

8-1 8-1 电磁感应的基本定律电磁感应的基本定律预习要点

1. 领会电源电动势的定义及其物理意义，弄清电动势指向的规定 .

2. 领会楞次定律及其物理实质，注意应用楞次定律判断感应电动势指向的方法 .

3. 什么是法拉第电磁感应定律及其数学表达式 .

一、电动势一、电动势

将其他形式的能量转变为电能的装置 .

描写电源将其他形式能量转变为电能的能力 .

非静电力在电源内部从负极到正极移动单位正电荷所作的功，等于非静电性场强在闭合电路上的环流 .

1. 电源

2. 电动势

3. 电源电动势

规定电动势的指向从电源负极经内电路指向正极 .

lE

q

W di

电源内

二、楞次定律二、楞次定律 闭合回路的感应电流的方向，总是企图

使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量 , 去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化 .

用楞次定律判断感应电流方向的方法 : 　　

① 引起感应电流的磁场 的方向及回路中 是增加还是减少；

B

Φ

感B

③ 由螺旋关系由 方向确定 I 感 .

② 由楞次定律确定 方向； 增加 与 反向 ;

减小 与 同向 .感B

感B

感B

B

B

Φ Φ

三、法拉第电磁感应定律三、法拉第电磁感应定律 感应电动势的大小正比于通过导体回路的磁通量磁通量的变化率的变化率 .

t

Φε

d

d

N 匝线圈时

t

ΦN

t

Ψε

d

d

d

d

tR

ΦN

R

εI

d

d感应电流感应电流

(SI)(SI)

（各匝中 相同）（各匝中 相同）Φ

例：证明在均匀磁场 中，面积为 S 、匝数为 N 的线圈以角速度 绕垂直于 的轴线匀速转动时， (1) 线圈中的感应电动势按正弦规律变化 ; (2) 若线圈自成闭合回路 , 电阻为 R , 则在一周内外力矩所作的功等于感应电流所放出的焦耳热 .

B

B

解：(1) 在任一时刻 t

)cos( tNBSNΦΨ

)sin(d

d tNBSωt

Ψε

（ 为（ 为 t=0 时 与 的夹角）时 与 的夹角）ne

B

R

N

'O

O

i

B

ne

)sin(m t

令 NBSm

)sin(sinm tR

NBSωωt

R

εI(2)

感应电流放出的焦耳热为

tRIQT

d0

2

线圈所受磁场的作用力矩的大小为

BmM

)(sin2222

tR

ωSBN

外力矩所做的功

rr

R

SBNMW

0

2222

0dsind

r

ttR

SBN0

22222

d)(sin

r

ttR

SBN0

22222

d)(sin

QtRIr

02 d

即在一周内外力矩所作的功等于感应电流所放出的焦耳热 . 可见，在电磁感应现象中是遵从能量守恒定律的 .

令 αωtθ tωθ dd

8-2 8-2 动生电动势 动生电动势 ** 涡旋电场涡旋电场预习要点

1. 什么叫动生电动势 ? 什么叫感生电动势 ?

2. 注意动生电动势产生的原因和数学表达式 .

3. 麦克斯韦关于涡旋电场的假设是什么 ? 涡旋电场有什么特点 ?

4. 感生电动势的产生原因是什么 ?

一、动生电动势一、动生电动势

（ 1 ）稳恒磁场中的导体运动 （ 2 ）导体不动，磁场变化

动生电动势感生电动势

引起磁通量变化的原因

在磁场中 , 导体棒以速度 沿金属导轨向右运动，棒内的自由电子被带着以速度 向右运动，因而每个自由电子都受到洛伦兹力的作用 .

v

v

当导体在磁场中运动时内部的电荷所受的洛伦兹力 为非静电力 . 它驱使自由电子向 b端聚集， ab

棒为电源， a端为正极， b端为负极 . mF

a

b

B

v

mF

BeF

v)(m

自由电子所受的洛伦兹力 :

非静电性场强

Be

FE

vm

k

a

blBε

d)(v

lEε

dk

kE只在电源 ab 棒中存在，故

** 三、涡旋电场三、涡旋电场 麦克斯韦尔假设变化的磁场在其周围空间激发一种电场，这个电场叫感生电场 .iE

闭合回路中的感生电动势

t

ΦlEε

d

ddi

S

SBΦ

d

SL

St

BlEE

d

d

ddii

负号表示 与 成左螺旋关系 .iE

t

B

d

d

由于圆柱形空间的对称性及磁场均匀增加，圆形磁场区域内 感线为一系列同心圆 .且同一圆周上 大小相等 , 方向沿切线 , 指向与 成左螺旋关系 .

E

iE

t

B

d

d

o

R

r

解 :

例 :半径为 R 的圆柱形空间内存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度 以 的变化率均匀增加时，求圆柱形空间内各点处感生电场的场强 .

t

B

d

dB

iE

B

t

B

d

d

L

作半径为 L的环形路径

sL

St

BlE

d

d

ddi由

sL

St

BlE d

d

ddi

2i π

d

dπ2 r

t

BrE

t

BrE

d

d

2i

有

8-3 8-3 自感 自感 ** 互感 磁场的能量 互感 磁场的能量 预习要点

1. 什么是自感现象 ? 自感电动势如何计算 ? 怎样判断它的指向 ? 自感系数的物理意义是什么 ?

*2. 什么是互感现象 ? 互感电动势怎样计算 ? 互感系数的物理意义是什么 ?

3. 注意磁场能量体密度公式及有限体积内磁场能量的计算方法 .

一、一、自感电动势自感电动势 由于回路自身电流产生的磁通量发生变化，而在回路中激发的感应电动势叫自感电动势 .

.IΨ

自感系数

写成等式： LIΨ

由法拉第电磁感应定律可知：

i而线圈的磁链与线圈中的电流 I 成正比

t

NΦ

d

)(d

t

Ψ

d

d

I

ΨL 定义

1. 自感系数

物理意义 : 单位电流引起的自感磁通链数 .

单位：H （亨利），mH （毫亨） . 1H=103mH

除铁心线圈外，自感系数与线圈的大小、形状、匝数及线圈内磁介质的特性有关，而与线圈中电流无关 .

当线圈自感系数不变时，

t

LI

t

IL

t

LIL d

d

d

d

d

)(d

2. 自感电动势

t

ILL d

d自感电动势

0d

d

t

L

负号是楞次定律的数学表示，表明电流增加时，自感电动势与原电流反向；电流减少时，自感电动势与原电流同向 .

t

ILL d

d

μnIB

NBSNΦΨ

ISl

NN

例 : 一长直螺线管，线圈匝数为 N，长度为 l ，横截面积为 S ，充满磁导率为 的磁介质，求线圈的自感系数 L.

,lNn lSV

VnL 2

Sl

N

I

ΨL

2

解 :

所以

** 二、互感电动势二、互感电动势 当一个线圈中电流发生变化时在另一个线圈中产生互感电动势 .

I1 在 I2 电流回路中所产生的磁通量 12121 IMΨ

21212 IMΨ

理论可证明互感系数

2

12

1

212112 I

Ψ

I

ΨMMM

互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置以及周围的磁介质有关 . 非铁磁介质情况下，互感系数 M 与电流无关 .

1. 互感系数

I2 在 I1 电流回路中所产生的磁通量

2. 互感电动势

t

Ψ

d

d 2121

线圈 1 电流变化在线圈 2 中产生的互感电动势

t

Ψ

d

d 1212

线圈 2 电流变化在线圈 1 中产生的互感电动势t

IM

d

d 1

t

IM

d

d 2

tIε

tIε

M

dd

dd 2

12

1

21

互感系数是表示互感强弱的物理量 .

例 :两长螺线管 C1 和 C2共轴相套 ,半径分别为 r1 和 r2

( r1<r2 ), 长度均为 l, 匝数分别为 N1 和 N2 , 管内磁介质的磁导率为 , 求它们的互感系数 M .

解 :设半径为 的线圈中通有电流 , 1r 1I

1111

1 InIl

NB

)π( 2112 rlBn)π( 2

112212 rBNΦNΨ 穿过半径为 的线圈的磁通链匝数为2r

12

121212 π )Irl(nμnΦNΨ 代入 计算得1B

则 )rl(nμnI

ΦNM 2

1211

21212 π

同理 122

1212

12121 π M)rl(nμn

I

ΦNM

则

三、磁场能量三、磁场能量

RIt

ILε

d

d

t

0

22t

0tRILI

2

1tIε dd

tRIILItI ddd 2

为电源作功 .t

tIε0

d

为电源反抗自感电动势作的功 .2

2

1LI

t

0

2 tRI d 为回路电阻所放出的焦耳热 .

由闭合电路的欧姆定律l

R

L

nIBVnL ,2

222m )(

2

1

2

1

n

BVnLIW

VB

2

2

1 Vwm

磁场能量密度 BHHB

w2

1

2

1

22

2

m

磁场能量 VV

VB

VwW d2

d2

mm

自感线圈磁能 2m 2

1LIW

*8-4 *8-4 位移电流 麦克斯韦方程组位移电流 麦克斯韦方程组

一、两类电场—静电场和涡旋电场一、两类电场—静电场和涡旋电场

静电场

感应电场

0ds L lE

t

ΦlE

L d

ddi

统一的电场is EEE

t

ΦlE

L d

dd

二、传导电流和二、传导电流和位移电流位移电流

IlHL

d

以 L 为边做任意曲面 S1 ，电流 I穿过 S1 面

IlHL

d用含电容器电路考察， 安培环路定理

0d LlH

电流 I未穿过 S2 面，即从 S2看， L未包含 I

I

1S2S++++

----

L

由此看出对于同一个环路 L ，由于对环路所张的曲面不同，所得到的结果也不同，出现了理论上的矛盾 .

从自然规律的对称性，联想变化磁场能产生涡旋电场，那么变化的电场也可能产生磁场，麦克斯韦将电位移矢量 的变化视为位移电流，可激发磁场，从而提出了位移电流假设，并定义位移电流强度

D

t

ΦI D

d

dd

DΦ 为电位移矢量的通量 .

全电流 dcs III

全电流定律

t

ΦIIlH D

L d

dd cs

三、电磁场和麦克斯韦方程组三、电磁场和麦克斯韦方程组 变化的磁场激发感生电场，而关于位移电流的假设又说明变化的电场激发感生磁场 . 事实上，存在交变电场的空间必然存在交变磁场；存在交变磁场的空间必然存在交变电场，它们相互联系，相互激发，组成一个统一的电磁场 .

0d SB

t

ΦIlH D

L d

dd

t

ΦlE

L d

dd

qSDS

d （ 1 ）

（ 4）

（ 2 ）

（ 3）

注意

1. 方程 (1)中的 包含感生电场的 ， 线封闭，所以方程 (1)在数学形式上与静电场高斯定理相同 . 方程 (1)说明了电场和电荷的联系 .

D

iD

iD

2. 方程 (3)中的 包含变化电场激发的感生电场的 ， 线也闭合，所以方程 (3)在数学形式上与稳恒磁场的高斯定理相同 . 方程 (3) 说明无论何种磁场 线都闭合 ,不存在单一的磁极 .

B

iB

B

iB

3. 方程 (2)是静电场环路定理与电磁感应定律的组合 , 静电场是保守力场 ( 有势场 )，感生电场是涡旋场 .

4. 方程 (4)是全电流定律定理 . 传导电流和位移电流 ( 变化电场 )都可以激发磁场，两种电流的磁效应一致 .