第二章 电磁场一般问题电磁场的源

本构关系

场对源的作用

麦克斯韦方程

边值关系

坡印廷定理

2.1 电磁场的源

电荷与电流在空间的分布往往是不均匀的，因而引入

电荷密度、电流密度

Io = Ic+ Iu = dq/dt

虚拟源：磁荷、磁流真实源：电荷、电流、

电荷正电荷：发出力线

负电荷：吸收力线

电流

传导电流 Ic ：固、液体导电媒质中的电流 ,服从欧姆、焦耳定理。

运流电流 Iu ：气态媒介中的载流子电流 ,不服从欧姆、焦耳定理。

电源电流 Ii ：流过电源的电流。

位移电流 Id ：由变化的电场产生，同样它也可产生磁场。

P96

2.1 、电磁场的源

电荷密度 ρ : 指电量 q 对包含该电量的空间的变化率，是一标量空间可以是体积、面积、线段、点，所以分别有：

体电荷密度

面电荷密度

线电荷密度

qδ( r-r0′)点电荷密度

q dqV′ dV′

limv→0

ρv(r′) = —— = ——

q dqS′ dS′

lims→0

ρs(r′) = —— = ——

q dql′ dl′

liml→0

ρl(r′) = —— = ——

q V′

limv→0

ρv(r′) = —— =

q =∫ ρ(r′) dV′v v

q =∫ ρ(r′) ds′s s

q =∫ ρ(r′) dl′l l

q

电荷密度 ρ 反映了电荷在空间的分布

电流密度 J: 指垂直通过某面、线的电流对该面、线的变化率∵ 垂直通过即有方向性∴ J 是一矢量，方向为正电荷运动的方向 体电流密度 Jv ：正电荷在一定体积空间内以速度 v 沿某方向运动形成体电流。 Jv 的大小等于体电流对垂直于 ev 的平面的变化率，方向为 ev 。

面电流密度 Js ：电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。 Js 的大小等于面电流对垂直于 ev 的线段′的变化率，方向为 ev 。

线电流当电荷只在一条线上内流动时，形成的电流为线电流 , 也就是通常所说的电流 (I) 。 I= ρlv

ven

τ′

θθ

θ = ev en∧

( )Jr

n

SS′

en

v

Js = ————— ev=ρsv dI cos(ev, en)dτ′∧ I=∫Js· dτ′

Jv = ————— ev=ρvv dI cos(ev, en)ds′∧

dI=Jvcos(ev,en)ds′=Jv· ds′∧

Jv= ————— dI cos(ev, en)ds′∧

I=∫Jv· ds′

电流密度 J 反映了电流在空间的分布

τ′

dV′

dl′

dτ′dS′

S

I

①电流的连续性方程 定义：某一时刻，流过某一封闭曲面的电流 (I0), 等于该曲面内电 量 q对时间的负变化率。电流 (I0) 的参考方向如图。

方程微分形式 : ▽·J = - ρ/t

方程积分形式： I0=∮J·dS =∫▽·J dv = - q/t ∵q =∫ρ dv 则： I0=∫- ρ/t dv

②电中性与电流设：体内有二种不同性的电荷 ρ1 和 ρ2 ， 则： J = ρ1v1+ ρ2v2

若 : ρ1= - ρ2 ( 电中性 ) 则： J = ρ1(v1- v2 )

若 : v1≠v2 则： J = ρ1(v1- v2) ≠0结论：电中性的材料中也可能有电流存在

结论：反映电荷与电流相互依存的关系

电流问题较为复杂 ,前面讨论了分类和密度 ,下面进一步讨论 :

例题：

一个半径为 a的球体内均匀分布总电荷量为 Q的电荷，球体以均匀角速度 绕一直径旋转。

求：球内的电流密度 。

J

a

x

y

z

Q解：

J v

3

3

4

Q Q

V a

v re

3

3( )

4

Q rJ r v e

a

建立球面坐标系。

2.2 场对源的作用力电场：①电场 E 对点电荷的作用力 F ： F = qE ② 电场 E 对体电荷的作用力 F ： dF = dq E ③ 电场力密度 f : f = dF/dV′= ρE

③ 磁场 B 对电流元的作用力 F线： dF = I dl′×B面： dF = JsdS′×B体： dF = JvdV′×B

磁场：①磁场 B 对点电荷的作用力 F ： F= q v×B

② 磁场 B 对体电荷的作用力 F ： dF= dq v×B

④ 磁场力密度 f : f = dF/dV′= J×B

洛仑兹力 F ： F= 电场力 +磁场力① 对点电荷的作用力 F ： F = qE + q v×B② 洛仑兹力密度 f : f = dF/dV′= ρE+J×B

dS′dV′

dl′J

电场：在电荷周围形成的一种物质。

重要特性：电荷在电场中会受到力 ( 称电场力 ) 的作用。

用符号 E ( 称电场强度 ) 表示电场的大小和方向。

电场

电场强度 E 的定义式： limq→0

FqE = —

注：对 q 取极限是避免引入试验电荷影响原电场即：电场强度的大小与试验电荷 q 的电量无关。

q 为试验电荷电量， F 为试验电荷所受电场力。

实验证明：电场力大小与电荷所在位置电场强度大小 成正比，即： F= qE q 为试验电荷电量

知识回顾

E 取决于源 ( 带电体 ) 的电量、形状及分布情况

点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础

1 、两点电荷间的电场力库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。

O

'r rR

R = r-r′1q

2q

0 为真空中介电常数。 =10 －

9/36F/m

点电荷

如图，电荷 q1 对电荷 q2 的作用力为：

F= ——— eR

q1 q2

4R2

F= ——— eR

q1 q2

4R2

非真空时点电荷间的相互作用力为：

2 、点电荷产生的场强：

E= ——— eR

q4R2

O

'r rR

R = r-r′

q

P

S

磁场：在电流周围形成的一种物质。

重要特性：在磁场中运动的电荷 ( 电流 ) 会受到 力 ( 称磁场力 ) 的作用。

磁感应强度矢量 B: 描述空间磁场的分布 ( 大小和方向 )。

在磁场 B 空间中，若点电荷 q 以速度 v 运动则受到的力：

磁场

F= q v×B dF = I dl × B

B 的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。

磁感应强度矢量 B 的定义式： limq→0B = ——

Fmax

qv

对 q 取极限是避免引入试验电荷影响原磁场即：磁场强度的大小与试验电荷 q 的电量无关。

q 为试验电荷电量， F 为试验电荷所受磁场力。

B 取决于源 ( 带电体 ) 的电量、形状及运动分布情况

知识回顾

1 、两电流元间产生的磁场力 dF安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律

安培力：设真空中两电流回路 C1,C2 ，载流分别为 I1,I2 ，则 : C1 上电流元 dI1 对 C2 上电流元 dI2 磁场力为：

0 2 2 1 11 2 3

( )

4

I dl I dl RdF

R

电流元

0 2 2 1 11 2 3

( )

4

I dl I dl RdF

R

2 、电流元产生的 dB( 毕奥－萨伐尔定律 )

0 0 03

( )

4

I dl RdB

R

非真空时两电流元间产生的磁场力 dF ：

Idl

O

'r r

R

1C

2C

1I1dlv 2I

2dlv

O R = r-r′

r

R

r′

0 为真空中的磁导率 = 4 10 － 7/H/m

2.3 麦克斯韦方程

积分 微分

▽×H= J+D/ t

▽×E = - B/ t

▽·B= 0 ， ▽ ·H= 0

▽·D= ρv

一、形式

▽·J = - ρ/tI0=∮J·dS= - ——∫ρdV t v v

s

Φd =∮D·dS =∫▽·DdV = Q =∫ ρvdV v

v s

Φm =∮B·dS =∫▽·BdV = 0 v s

U=∮E·dl=∫▽×E·dS = - Φm/ t

= - ∫B/ t ·dS s

s l

∑I=∑(Io+Id)=∮H·dl =∫▽×H·dS

=∫(J+D/ t) ·dS s

s l

∑I=∮H·dl =∫▽×H·dS=∫J ·dS U= - Φm/ t = - ∫B/ t ·dS ∮E·dl=0

I

2.3 麦克斯韦方程

▽×H= J+D/ t 说明电流和时变电场都能产生 H 这个有旋场

② ▽·D= ρv ，▽ ×E = - B/ t 说明 E 是一个合成场 即： E= E 梯 + E 旋 ，其中， E 梯由 ρv 产生， E 旋由时变的磁场产生

① ▽·B= 0 ， ▽ ·H= 0 说明 H 是一个纯有旋无源场

二、意义

时变电场生磁场、时变磁场生电场 (即场生场 )必为有旋场

结论： E 是一个合成场、 H 是一个纯旋度场 场生场必为有旋场可形成电磁波

③ 将麦克斯韦方程进行运算，得以下波动方程：

▽2H － με ——— = －▽ ×Jc

；

2H

t2

Jc

t▽2E － με ——— = μ—— + — ▽ρ 2E 1

t2 ε

该方程意味着信息可离开源以波动的形式在媒质中传播

2.4 本构关系及材料分类

B=μH 磁导率 μ(=μoμr ) ：是对物质受磁化的量度。

D=εE 电容率 ε(= εoεr ) ：是对电介质材料受外电场极化的量度。

Jc=σE 导电率 σ ：是对物质导电能力的量度。

一般来说， ε,μ,σ 为常数都是在一定的条件下得到的且

即便是常数，不同的材料， ε,μ,σ 的值也是不同的

一、本构关系

一般情况下 ε,μ,σ 是空间、时间、频率、温度、场…的函数

不同的材料， ε,μ,σ 的表现是不同的：有的对以上的各因素敏感、或部分敏感甚至不敏感…

根据材料的这些特点，将材料分类讨论可使问题简化

二、材料分类

Dx εxx εxy εxz Ex

Dy = εyx εyy εyz Ey Dz εzx εzy εzz Ez

对于导磁材料则可根据导磁率 μ 进行相似的分类 ( 在此不重复 ) ，

除此之外，另还可分为：

材料的导电性能则由导电率 σ 来区分 :

非线性 : ε 不仅是空间的函数，还是场的函数。线性 : ε 只是空间的函数。若 ε(r) 则

非均匀：各 εij , εji , εii 都随 r 变化。均匀： 各 εij ， εji 都为常数，但 εij 不一定等于 εji

各向同性 : εij =εji =0; εxx=εyy=εzz= ε(r)

各向异性 : 各 εij ≠0

非铁磁体 μr ≈1

铁磁体 μr =(几百～几百万 )

对于电介质材料可根据电容率 ε 的以下特性分类：

有耗 低损耗媒质 无耗媒质媒质 电介质 良导体 理想介质 理想导体σ＞ 1 σ＜ 10-4 (σ/ εω≤0.01) σ＞ 106 (σ/ εω≥100) σ = 0 σ = ∞

当材料为线性均匀各向同性时 ε,μ,σ 为常数

例题：计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。

设：铜中的电场为 Eosinωt ，

铜的电导率 σ =5.8×107s/m , ε ≈ εo

解：∵ 位移电流密度 (Jd )= D/ t 又∵ D=εE 则： Jd = εE/ t

∴ Jd = εE/ t = ωεoEocosωt

∵传导电流密度 Jc=σE 则： Jc=σE

∴ Jc=σE =σEosinωt ，故：其振幅比值为：

2π f ×10-9

36π × 5.8 × 107Jd /Jc = ωεo/ σ = ——————— = 9.6×10-19 f

2.5 边值关系

电场： D1n － D2n = ρs en ·(D1 － D2 ) = ρs

E1t － E2t = 0 en ×(E1 － E2 ) = 0

磁场： H1t － H2t = Js en ×(H1 － H2 ) = Js

B1n － B2n = 0 en · (B1 － B2 ) = 0

en

1

2

标量 矢量

en · D = ρs en ×H = Js

当空间 2 为理想导体时：

en

12

⊿z

z

⊿s2θ2

θ1D1

D2 将此式与式⑴比较，可见只需将上述结果中的 D用 B替代， ρs 用 0 替代即可得证。

在交界面处作一小圆柱且设界面上有自由电荷 Q ，如图示。

⊿s1

∵⊿z→0∴穿过小圆柱侧面的电通量可不计。因而有：

推导：根据麦克斯韦方程的积分形式

① 证： D1n － D2n = ρs en ·(D1 － D2 ) = ρs

∴D1n － D2n = ρs en ·(D1 － D2 ) = ρs

② 证： B1n － B2n = 0 en · (B1 － B2 ) = 0

∮D·dS =∫ρvdV =∫ρsds ⑴

∮D·ds =∫D1·ds1+D2·ds2=∫D1cosθ1ds+D2 cos(-θ2 )ds

=∫(D1cosθ1 － D2cosθ2)ds =∫(D1n － D2n)ds ⑵∮D·ds =∫D1·ds1+D2·ds2=∫D1·ends+D2·(-en )ds

=∫ ( D1 － D2 ) ·en ds ⑶

∮B·dS = 0

∴en ×(E1 － E2 ) = 0 E1t － E2t = 0

B/t ·⊿l⊿zex=0-lim⊿z→0

∮E·dl =∫E1·dl1+E2·dl2=∫E1cos(90o-θ1)dl+E2 cos(90o+θ2 )dl

=∫(E1sinθ1 － E2sinθ2)dl =∫(E1t － E2t)dl =0

在交界面处作一小环且设界面上有电流 Io 向里流入，如图示。

∮E·dl =∫ B/t·dS=－

en

12

⊿z

z

⊿lθ2

θ1E1

E2

× × ×Io对上两等式作比较：且将矢量式展开：

∮H·dl =∫(J+D/ t) ·dS =∫J·dS+∫D/ t·dS =∫Js·dl(-ex)sss ll

∮H·dl =∫H1·dl1+H2·dl2=∫H1·eydl － H2·eydl

=∫(H1 － H2)·eydl =∫(H1 － H2)·(en×ex)dl

=∫[ (H1 － H2)×en ] ·exdll

l l

l

l

（∵对于界面⊿ z=0 ）证 ① en ×(E1 － E2 ) = 0 E1t － E2t = 0

证 ② en ×(H1 － H2 ) = Js H1t － H2t = Js

∴en ×(H1 － H2 ) = Js H1t － H2t = Js

例题： 设： z = 0 的平面为空气与理想导体的分界面， z＜ 0 一侧为理想导体，分界面的磁场强度为 : H=Hosinaxcon(ωt-ay) ex ， 求：理想导体面上的电流分布和电荷分布。解：∵面电流分布和面电荷分布分别为 Js 和 ρs

又∵ en · D = ρs en ×H = Js

en

1

2

z

如图所示： en = ez ，又由题意： ∴Js =Hosinaxcon(ωt-ay) ez ×ex =Hosinaxcon(ωt-ay) ey

又∵ : ▽·Js = - ρs /t 则： ρs= -∫ ▽·Jsdt

其中：▽ ·Js= Jy /y = aHosinaxsin(ωt-ay)

∴ ρs= -∫▽·Jsdtρs= -∫aHosinaxsin(ωt-ay) dt

= aHosinaxcos(ωt-ay)+C(x,y)/ ω

2.6 坡印廷定理体积 V中总能量的下降率

=穿出封闭面 S的电磁功率 + 体积 V中的焦耳热耗功率

- ∫(we+ wm)dv =∮p·ds+∫J·Edv t瞬时功率

1

V

Sp

坡印廷定理实质就是功率守恒其中， p——坡印廷矢量 (瞬时功率流密度，能流密度 )

p = E×H= en dp/ds

电能密度 we ： we=εE2/2

磁能密度 wm ： wm=μH2/2

p= ∫pdt1T

p =∮p·ds p — 瞬时功率— 平均有功功率流密度或平均能流密度 p

·p— 复功功率流密度 ·p = p +jQ · · = E×H﹡

一、定义：

二、推导

= - ∫(εE2/2 + μH2/2)dv －∮ (E×H) ·ds t∵we=εE2/2 ;

wm=μH2/2

令： p = E×H

由麦克斯韦方程： J = ▽×H － D/ t ； ▽ ×E = - B/ t

由焦耳定理： pJ = ∫J·Edv

∫J·Edv =∫(▽×H － D/t)·Edv =∫[(▽×H ) ·E － D/t ·E]dv

- ∫(we+ wm)dv =∮p·ds+∫J·Edv t

= - ∫(we+ wm)dv －∮ p·ds t

= －∮ (E×H)·ds －∫ [μH2/t +εE2/t]/2dv

=∫[ －▽ ·(E×H) － μH·H/t － εE·E/t]dv

=∫[▽·(H×E) + H·(▽×E) － εE·E/t]dv由旋度公式及 D=εE

由： B=μH

将上式移项整理，坡印廷定理即可得证：

由高斯定理及A· — = — —— A 1 A2

t 2 t

梯度、散度、旋度亥姆霍兹定理场的图示法

微分元矢量场的微分矢量场的积分

初等运算

高等运算

常用坐标系（正交系）标量场和矢量场坐标单位矢量、常矢、变矢源点、场点、矢径、距离矢量加、减、乘坐标变换

场论

第一章 小结

本构关系 材料分类边值关系

场对源的作用力

麦克斯韦方程

坡印廷定理

虚拟源：磁荷、磁流真实源：电荷、电流、 电荷密度、电流密度源

电场：库仑力磁场：安培力 + 洛仑兹力

第二章 小结

形式

意义

辅助量

微分积分

坡印廷矢量瞬时值平均值复数 ·p

p-p

Ar Aθ Aφ 2Ar ctgθAθ r rθ rsinθφ r r

球： divA = —— + —— +———— + —— + —— =▽·A

▽· (u A)= u ·▽ A+A·▽u

A=Axex +Ay ey +Az ez =Aρ eρ+Aφeφ+Az ez=Ar er+Aφeφ+Aθeθ

u u u

r rθ rsinθφ 球： gradu = —— er + —— eθ+———— e =▽u

散度定理： =∫A·ds =∫▽·AdV s Ω

直 : ds=±dydzex±dxdzey±dxdyez

柱 : ds=±ρdφdzeρ±dρdze±ρdρdφez

球 : ds=±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθe

斯托克斯定理 :

∫A·dl =∫▽× A·dS sl

▽×(uA)= u ×▽ A － A×▽u

A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)

Az Ay Ax Az Ay Ax

y z z x x y▽×A = (—— - ——) ex + (—— - ——) ey + (—— - ——) ez

▽×(uA)= u ×▽ A － A×▽u

▽f (u)= f ′(u)▽u

▽·(A×B)=B·( ×▽ A) － A·( ×▽ B)

ez=cosθer － sinθeθ

∵▽×H= Jo+D/ t 若略去 Ic 则 , ▽×H=D/ t =Jd

由Φm =∮H·dS = 0 s

解：⑴ ∵Jd=D/ t ，而 D=εE ，则 Jd=(εE)/t ，因而： E=720sin106πt ez 设： eE =ez

∴ Jd=ε 720×106π cos106πt ez =0.02εrcos106πt ez

解：⑵∵H 为涡旋场 ∴选柱坐标 H=Hρeρ+Hφeφ 又∵▽ ×H⊥H ∴ Hz =0

(∵ 柱 : ds=±ρdφdzeρ±dρdze±ρdρdφez )

由题意

若在两极板间以 Z轴为轴心作一封闭的柱面 ( 如图示 ) ，因此有：

s s

ds=ρdφdzeρ±ρdρdφez

则有： ∮ H·dS =∮(Hρeρ+Hφeφ )·dS = ∮Hρρdφdz=0 s 侧∵S侧： ρdφdz≠0 ∴ Hρ=0 ，因此有： H=Hφeφ

题 2.19

∴H= ρ0.01εrcos106πt ez

柱： ▽ ×H = — — — = — — —

eρ ρeez

ρ φ z

Hρ ρHφ Hz

1—ρ

eρ ρeez

ρ φ z

0 ρHφ 0

1—ρ =0.02εrcos106πt ez

ρHφ ———ρρ =0.02εrcos106πt ∫d(ρHφ )=∫ ρ0.02εrcos106πtdρρ

0

ρHφ =ρ20.01εrcos106πt

E

ez

证： p =∮p·ds =ui

p = E×H=ez×eφ i u /2πad =eρ i u /2πad

∵u=∫ E ·dl = E d ∴ E = ez u/d

∵i =∮H ·dl =2πaH ∴ H =eφ i /2πa

i

du

a ez

0

d

而： p = E×H=

p =∮p·ds = ∮ eρ i u /2πad ·ds= eρ i u /2πad ·∮ds

= (i u /2πad )· 2πad = i u