第 7 章电磁感应与电磁场 §7-1 电磁感应定律 §7-2 动生电动势与感生电动势...

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第第 77 章电磁感应与电磁场章电磁感应与电磁场§7-1 电磁感应定律§7-2 动生电动势与感生电动势§7-3 自感应与互感应自感应与互感应§7-4 磁场能量磁场能量§7-5 麦克斯韦电磁场理论简介麦克斯韦电磁场理论简介

磁悬浮列车


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前面所讨论的都是不随时间变化的稳恒场

磁场，稳恒电场稳恒电流－－激发稳恒场静止电荷－－激发静电

即

　我们现将研究随时间变化的磁场，电场，以进一步揭示电与磁的联系。

不随位置变化，均匀－－不随时间变化，稳恒－－

注意区分

函数非均匀－场量是位置的场量是时间的函数非稳恒

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§7-1 §7-1 电磁感应定律电磁感应定律7.1.1 法拉第电磁感应定律1 、电磁感应现象：

N

Sv

回路某一部分相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产生电流

回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流

两种情况：

N

S

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2 、法拉第电磁感应定律

( １）感应电动势的概念

① 从全电路欧姆定律出发——电路中有电流就必定有电动势，故感应电流应源于感应电动势。

② 从电磁感应本身来说：电磁感应直接激励的是感应电动势。

如何定量计算感应电动势的大小？

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不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即

dK

dt

( ２）法拉第电磁感应定律

③ 若为 N 匝线圈，则 d dN

dt dt

① 在 SI 制中 K=1② 式中的负号是楞次定律的数学表示

式中称作磁通匝链数，简称磁链。 N

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(3 ）磁通计

1 dI

R R dt

那么 t1 ～ t2 时间内通过导线上任一截面的感应电量大小为

2 2

1 11 2

1 1d ( )

t

tq Idt

R R

如果闭合回路为纯电阻 R 时，则回路中的感应电流为

式中是 t1 , t2 时刻回路中的磁通。 1 2 ，

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＊：如果能测出导线中的感应电量，且回路中的电阻为已知时，那么由上面公式，即可算出回路所围面积内的磁通的变化量——磁通计就是根据这个原理设计的。

上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。

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7.1.2 楞次定律

* ：注意其“补偿”的是磁通的变化，而不是磁通本身。

１、定律内容：

　闭合回路中产生的感应电流的方向，总是使得这感应电流在回路中所产生的磁通去补偿（或反抗）引起感应电流的磁通的变化。

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2 、感应电流方向的判断

3 、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体体现。

确定外磁场方向→分析磁通量的增减△ m→ 运用“反抗磁通量的变化”判断感应电流磁场的方向→运用右手缧旋法则确定感应电流方向（即感应电动势方向）。

N S

v

原感

NS

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例 10.2 　一根无限长的直导线载有交流电流 i ＝ I0sin ωt. 旁边有一共面矩形线圈 abcd ，如图 10.3

所示 .ab ＝ l1 ， bc ＝ l2 ， ab 与直导线平行且相距为 d. 求：线圈中的感应电动势 . 图 10.3 　矩形线圈中的

感应电动势解　取矩形线圈沿顺时针 abcda

方向为回路正绕向，则2 0 0 1 2

1 ln2 2

d l

S d

i il d lB dS l dx

x d

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所以，线圈中感应电动势

可见， ε也是随时间作周期性变化的， ε＞ 0表示矩形线圈中感应电动势沿顺时针方向， ε＜ 0表示它沿逆时针方向 .

0 1 20 cos ln

2

l d ldI t

dt d

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§7-2 §7-2 动生电动势与感生电动势动生电动势与感生电动势

感应电动势的非静电力实质？

研究表明对应于磁通变化的两种方式，其产生电动势的非静电力的实质是不同的。

( ) ( )( )md d B S dB dSS B

dt dt dt dt

＝－

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一是磁场不变 , 回路的一部分相对磁场运动或回路面积发生变化致使回路中磁通量变化而产生的感应电动势，谓之动生电动势。

另一种情况是回路面积不变 , 因磁场变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势 , 谓之感生电动势。

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7.2.1 动生电动势动生电动势的产生，可以用洛仑兹力来解释 .

如图 10.4所示，长为 l的导体棒与导轨所构成的矩形回路 abcd平放在纸面内，均匀磁场 B垂直向里 .

当导体 ab以速度 v沿导轨向右滑动时，导体棒内的自由电子也以速度 v随之向右运动 .电子受到的洛仑兹力为

( )f e v B

图 10.4 动生电动势

f的方向从 b指向 a.

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在洛仑兹力作用下，自由电子有向下的定向漂移运动 .如果导轨是导体，在回路中将产生沿abcd方向的电流；如果导轨是绝缘体，则洛仑兹力将使自由电子在 a端积累，使 a端带负电而 b

端带正电 .在 ab棒上产生自上而下的静电场 .静电场对电子的作用力从 a指向 b，与电子所受洛仑兹力方向相反 .当静电力与洛仑兹力达到平衡时， ab间的电势差达到稳定值， b端电势比 a

端电势高 .

由此可见，这段运动导体棒相当于一个电源，它的非静电力就是洛仑兹力 .

图 10.4 动生电动势

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电动势定义为把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力做的功 .在动生电动势的情形中，作用在单位正电荷上的非静电力 Ek是洛

仑兹力，即

所以，动生电动势

kf

E v Be

��

( )b

kab aE dl v B dl

��

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一般而言，在任意的稳恒磁场中，一个任意形状的导线 L(闭合的或不闭合的 )在运动或发生形变时，各个线元 dl的速度 v的大小和方向都可能不同 .这时，在整个线圈 L中所产生的动生电动势为

( )L

v B dl

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7.2.2 感生电动势麦克斯韦提出：变化的磁场在其周围空间激发一种新的电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场，用Er表示 .

涡旋电场与静电场的共同之处在于，它们都是一种客观存在的物质，它们对电荷都有作用力 .涡旋电场与静电场的不同之处在于，涡旋电场不是由电荷激发，而是由变化的磁场激发的 .

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它的电力线是闭合的，即 .涡旋电场不是保守场，而在回路中产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场力，即

0rLE dl

rL

dE dl

dt

因为对 l围成的面积 S，磁通量

SB dS

所以感生电动势可表示为

rL S

dE dl B dS

dt

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当闭合回路 l不动时，可以把对时间的微商和对曲面S的积分两个运算的顺序交换，得

rL S

BE dl dS

t

这就是法拉第电磁感应定律的积分形式 .负号表示Er 与构成左手螺旋关系，是楞次定律的数学表示 .

B

t

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如果同时存在静电场 Ee，则总电场 E等于涡旋电场

Er与静电场 Ee之矢量和，并且有静电场环流定理

，所以不难得到，对总电场 E＝ Er＋

Ee而言，有

0eLE dl

L S

BE dl dS

t

这是麦克斯韦方程组的基本方程之一 .

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例 10.5 　如图 10.8 所示，半径为 R 的圆柱形空间内分布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场，磁场方向垂直纸面向里，其变化率为 .试求：dB

dt

(1)圆柱形空间内、外涡旋电场 Er的分布；

(2) 若，把长为 L的导体 ab放在圆柱截面上，则 εab

等于多少？

0dB

dt

图 10.8

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解　 (1) 根据磁场分布的轴对称性可知，空间的涡旋电场的电力线应是围绕圆柱轴线且在圆柱截面上的一系列同心圆 . 过圆柱体内任一点 P 在截面上作半径为 r 的圆形回路 l ，并设 l 的回转方向与 B 的方向构成右手螺旋关系，即设图中沿 l 的顺时针切线方向为 Er 的正方向 . 由式 (10.4)

rL S

BE dl dS

t

并考虑 l上各点 Er沿 l方向且大小相等，可得

22r

dBE r r

dt ( )

2r

r dBE r R

dt

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当时， Er＜ 0即沿逆时针方向；反之， Er

＞ 0即沿顺时针方向 .

0dB

dt

同理，在圆柱外一点 (r＞ R)，涡旋场 Er为2

( )2r

R dBE r R

r dt

(2)方法一：用电动势定义求解

由 (1)结论知，在 r＜ R区域 . 当

时， Er为逆时针方向 (见图 10.8).所以2r

r dBE

dt 0

dB

dt

0cos

2 2 2

b b L

ab ra a

r dB h dB Lh dBE dl dl dl

dt dt dt

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因为，所以 εab＞ 0，即 εab由 a端指向 b端 .0dB

dt

方法二：用法拉第电磁感应定律求解

因为 εoa＝ εbo＝ 0

cos2i S

d dB dB hLdS

dt dt dt

作闭合回路 OabO，回路内感应电动势

2ab i oa bo

hL dB

dt

所以

结果与方法一相同 .

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§7-3 §7-3 自感应与互感应自感应与互感应

对于感应电动势因磁通变化方式不同而致产生感应电动势的非静电力不同 , 分为

磁通的变化方式还有自动和他动之分，与之对应有

动生——洛仑兹力；感生——涡旋电场

自感电动势；互感电动势

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1 、自感现象

7.3.1 自感应

通电线圈由于自身电流的变化而引起本线圈所围面积里磁通的变化，并在回路中激起感应电动势的现象，叫自感现象。

iiL

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2 、自感系数

则通过 N 匝线圈的磁通为

N 自自

式中称之为磁链

一个密绕的 N 匝线圈，每一匝可近似看成一条闭合曲线 , 线圈中电流激发的穿过每匝的磁通近似相等，叫自感磁通，记作 Φ 自

I

B

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即 LI 自

式中比例系数 L叫做自感系数 .

且实验表明 L 与

与磁介质的磁导率有关际应为线圈匝数有关－－故实寸有关回路几何形状，几何尺

NLIm＝Ψ

(1)L 的引入

设回路中电流为 I ，如果回路的几何形状及大小不变，且回路中又无铁磁物质，则实验表明穿过该回路的磁通 I 自

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（２ )回路中的自感系数等于回路中的电流为一个单位时，通过这个回路所围面积的磁通 ( 磁通链 )

LI

自

（３ )在 (SI)制中， L 的单位

亨利 (H) ， 1亨利 =1韦伯 /1安培

对于铁磁质，除了与上述原因有关外， L 还与回路中的电流有关 . 就是说， L 基本上反映的是自感线圈自身性质的物理量。

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3 、自感电动势的计算

自感电动势为 ( )d dLI dI dL

L Idt dt dt dt

自

当回路的几何形状和大小不变，匝数不变，回路中无铁磁质而其他磁介质均匀时， L 为常数，则有

d dIL

dt dt

自

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１ )式中负号是楞次定律的数学表示式——自感电动势的方向总是阻碍回路电流的变化，即

２ )上式表明回路中自感电动势的大小与回路中电流的变化率成正比。

ε ε I

ε ε I

自自

自自

当回路中电流增加时，阻碍其增加，故与反向。

当回路中电流减少时，阻碍其减少，故与同向。

３ )上式还表明，自感系数表征了回路中的“电磁惯性”。

L 自

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4、自感的利弊

但过大的自感电动势也是造成回路短路的原因。

* 计算自感系数的步骤

①先求自感线圈中的 B值；

②再求通过 1匝线圈的 m 及 N匝的 m ；

③最后由定义求ILm。

自感现象在电工、电子技术中有广泛的应用。如日光灯镇流器 ,自感与电容组成的谐振电路和滤波器等。

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7.3.2 互感应如图 10.12，两个邻近的线圈 (1)和线圈 (2)分别通有电流 I1和 I2.当其中一个线圈的电流发生变化时，在另一个线圈中会产生感生电动势 .这种因两个载流线圈中的电流变化而相互在对方线圈中激起感应电动势的现象叫互感应现象 .

图 10.12 　互感现象

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在两线圈的形状、相互位置保持不变时，根据毕奥—萨伐尔定律，由电流 I1产生的空间各点磁感应强度 B1均与 I1成正比 .因而 B1穿过另一线圈 (2)的磁通链Ψ21也与电流 I1成正比 .即

21 21 1M I

同理12 12 2M I

式中M21和M12是两个比例系数 .实验与理论均证明M21＝M12，故用M表示，称为两线圈的互感系数，简称互感 .

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根据法拉第电磁感应定律，电流 I1的变化在线圈(2)中产生的互感电动势

121

dIM

dt

同理，电流 I2的变化在线圈 (1)中产生的互感电动势

212

dIM

dt

互感系数的单位与自感系数相同 .

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两个有互感耦合的线圈串联后等效于一个自感线圈，但其等效自感系数不等于原来两线圈的自感系数之和 .见图 10.14，其中图 10.14(a)的联接方式叫顺接，其联接后的等效自感 L为

1 2 2L L L M

图 10.14 自感线圈的串联

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图 10.14(b)的联接方式叫逆接，其联接后的等效自感 L为

1 2 2L L L M

上两式中，M是两线圈的互感 .

由上述关系可知，一个自感线圈截成相等的两部分后，每一部分的自感均小于原线圈自感的二分之一 .

在无磁漏的情况下可以证明 . 1 2 .M L L

在考虑磁漏的情况下， K≤1称为耦合系数 .

1 2M K L L

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§7-4 §7-4 磁场能量磁场能量 7.4.1 自感磁能自感为 L的线圈与电源接通，线圈中的电流 i将要由零增大至恒定值 I.这一电流变化在线圈中所产生的自感电动势与电流的方向相反，起着阻碍电流增大的作用 .

2

0 0 0

1( )

2

IdiA dA idt L idt Lidi LI

dt

在建立电流 I的整个过程中，外电源不仅要供给电路中产生焦耳热的能量，而且还要反抗自感电动势做功 A，即

40


电源反抗自感电动势所做的功 A转化为储存在线圈中的能量，称为自感磁能 . 即

在图 10.11(b)中，切断开关后，灯泡 A不立即熄灭而是猛然一亮，然后逐渐熄灭，就是线圈中所储存的磁能通过自感电动势做功全部释放出来，变成灯泡 A在很短时间内所发的光能与热能 .

21

2mW LI

41


7.4.2 磁场能量长直密绕螺线管的自感 L＝ μ0n

2V，如果管内充满均匀磁介质 (非铁磁质 )，则 L＝ μn2V， μ为磁介质的磁导率 .当螺线管通以电流 I时，它所储存的磁能为

2 2 21 1

2 2W LI n VI

1 1

2 2W nInIV BHV

因为长直螺线管内 H＝ nI， B＝ μnI.所以

42


1

2

Ww BH

V

V是螺线管内部空间体积，也就是磁场存在的空间体积，并且螺线管内部是均匀磁场，所以

w表示磁场中单位体积空间的能量，叫磁场能量密度 .

在普遍情况下，如果 B与 H 的方向不同，则1

2w B H

��

43


1

2VW B HdV

��

而总磁场能量等于磁能密度对磁场所占有的全部空间的积分 .即

对于一个载流线圈有21 1

2 2VLI B HdV W

��

上式不仅为自感 L提供了另一种计算方法，而且对于有限横截面积的导体来说 (即导线的横截面积不能忽略时 )，它还为自感提供了基本的定义，即磁能法定义自感 .2

2WL

I

44


例 10.7 　求无限长圆柱形同轴电缆长为 l 的一段中磁场的能量及自感 . 设内、外导体的截面半径分别为R1 ， R2(R2＞ R1) ，电缆通有电流 I ，两导体之间磁

介质的磁导率假设为 μ0.

解　作为传输超高频信号 ( 如微波 ) 的同轴电缆，由于趋肤效应，磁场只存在于两导体之间，即 R1＜ r

＜ R2 的空间内 .利用安培环路定理不难求得磁场分布为 0

02 2

IIH B H

r r

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所以磁场能量密度

在长为 l的一段同轴电缆内总的磁场能量为

2

1

2 20 0 22 2

1

2 ln8 4

R

V R

I I l RW wdV l rdr

r R

202 2

1

2 8

Iw BH

r

所以0 2

21

2ln

2

l RWL

I R

46


而单位长度的圆柱形同轴电缆的自感为

只与电缆的结构及介质情况有关 .

0 20

1

ln2

RL

R

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