ТРИГОНОМЕТРИЯ НА УРОКЕ

И в ЕГЭ

Работу выполнила учитель математики МБОУ СОШ № 42 г. Краснодар

Белкина Ирина Владимировна

2014 год

Страшный зверь по имени "Тригонометрия" становится совсем ручным и послушным, если относиться к нему с пониманием. А для этого его нужно вырастить  буквально с младенчества.

Если хорошо понимать, что такое тригонометрическая окружность, как с ней связаны тригонометрические функции, то все остальное - дело техники. Во всяком случае, для решения тригонометрических заданий части В и задания С1 нужно всего лишь хорошо ориентироваться на тригонометрической окружности и выучить несколько формул.

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны простейшие сведения из тригонометрии. Само название “тригонометрия” греческого происхождения, обозначающее “измерение треугольников”. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц.

Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность

работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”

писал Г. Спесер, английский философ и социолог

Значения синусов и косинусов углов “находятся” на вашей ладони. Протяните руку и разведите как можно сильнее пальцы, так как показано на слайде. Сейчас мы измерим углы между вашими пальцами. (Возьмем два прямоугольных треугольника с углами 30°и 45° и приложим вершину нужного угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону угла совмещаем с мизинцем, а другую сторону - с одним из остальных пальцев)

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то, если совместить (сжать) пальцы с мизинцем, угол между лучами будет равен 0°, то есть можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, то есть 0°, а поэтому введем нумерацию пальцев:

№0 - Мизинец№1 - Безымянный№2 - Средний№3 -Указательный№4 - Большой

№0 Мизинец 0°№1 Безымянный 30°№2 Средний 45°№3 Указательный 60°№4 Большой 90°n - номер пальца

Примечание. Для определения косинуса угла отсчет пальцев происходит от большого пальца руки.

Это было из серии: как же это запомнить?

С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТЬЮ МЫ ИМЕЕМ ДЕЛО С САМОГО ПЕРВОГО УРОКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ, НО НЕ СЕКРЕТ ,ЧТО ДЛЯ МНОГИХ ДЕТЕЙ ОНА ТАК И ОСТАЕТСЯ НЕПОНЯТОЙ. ПОЭТОМУ ПРИХОДИТСЯ ПРИБЕГАТЬ К РАЗЛИЧНЫМ СПОСОБАМ ЗАПОМИНАНИЯ ЗНАЧЕНИЙ, ПОНЯТИЙ И ФОРМУЛ.

Замечательный математик и методист Я. И. Грудёнов советовал для лучшего

запоминания тригонометрических формул обращать внимание на сходство и различие в формулах, а также на их вывод. Изучите эту мнемоническую схему, предложенную Я. И. Грудёновым, и убедитесь в правоте его слов.

Мнемоническая схема основных тригонометрических формул и их взаимосвязей.

ycosxcos

yxsintgytgx

ycosxcos

yxsintgytgx

2

yxcos

2

yxsin2ysinxsin

2

yxcos

2

yxsin2ysinxsin

2

yxsin

2

yxsin2ycosxcos

2

yxcos

2

yxcos2ycosxcos

2

22

tg1

tg22tg

cossin22sin

sincos2cos

tgtg1

tgtgtg

tgtg1

tgtgtg

cossincossinsin

cossincossinsin

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

sin

1ctg1

cos

1tg1

1cossin

1ctgtgsin

cosctg

cos

sintg

22

22

22

sinsin2

1cossin

coscos2

1sinsin

coscos2

1coscos

2

xyy

2

yxx

y→(-y)

2α = α + α 2sin

2coscos

2sin

2cos1

22

22

2sin2cos1

2cos2cos1

2

2

2cos2

1

2

1cos

2cos2

1

2

1sin

2

2

sin

cos1

2tg

2

cos1

2sin

cos1

cos1

2tg

cos1

sin

2tg

2

cos1

2cos

2cos2

2sin2

2cos

2sin

2tg

2cos2

2cos2

2cos

2sin

2tg

Знак перед корнем выбирается по знаку левой части

достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы: Основное тригонометрическое

тождество: sin2a+cos2a = 1 Определение тангенса:  Определение котангенса:  Формула синуса

суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-

sinasinb

Тригонометрические формулы в стихах. Вот еще один интересный способ запомнить то, что запоминать не хочется.

Выучить тригонометрические формулы, порой, непросто. Но учить стихи гораздо легче! 

Понижение степени половинного угла

Косинус квадрат половинного угла -Легко я запомню, и лучше с утра:Единицу плюс косинус смело возьмем,а половину мы быстро найдём!

Синус квадрат половинного угла:Только чудак не запомнит тогда:Слева - синус, справа - минус!

Синус двойного угла Синус запомним двойного угла:

Это два синус и косинус а!

Косинус двойного угла Косинус знаем двойного угла!

Тождество главное вспомним тогда:Плюс мы скорее на минус заменим,Формулу эту мы быстро применим!

Тангенс двойного углаВыучим тангенс двойного угла.

Дробь эта будет загадок полна:В числителе два тангенса альфа мы пишем,а в знаменателе разность мы ищемединицы и тангенса квадрат.Формулу эту я выучить рад!

Задача С1 традиционно посвящена решению тригонометрических уравнений. Как правило это несложные задачи со стандартным решением. Традиционно данное задание ЕГЭ по математике состоит из двух частей, в  первой надо найти общее решение, во второй выбрать решения, принадлежащие некоторому интервалу. Эксперт оценивает данное задание в 0, 1 или 2 балла.

Наша задача:познакомиться с основными  типами

тригонометрических уравнений и научитесь их распознавать,

научиться безошибочно располагать на тригонометрическом круге заданный числовой промежуток,

научиться отбирать корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку, даже если они содержат обратные тригонометрические функции

научиться отбирать корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку с помощью двойного неравенства.

Основные типы тригонометрических уравнений:

1.Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

2.Решение однородных тригонометрических уравнений.

3.Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла.

4.Решение тригонометрических уравнений с помощью  разложения на множители.

5. Решение тригонометрических уравнений с помощью понижения степени.

6. Решение тригонометрических уравнений, содержащих выражения sinx∙cosx и sinx±cosx

 7. Решение комбинированных уравнений

Каждый вид уравнения разобран в приложении к данной работе.

Приведены примеры решения уравнений и сделана подборка УРАВНЕНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

А также приведен перечень Интернет-ресурсов для изучения этой и других тем и для успешной подготовке к сдаче экзаменов.

ЖЕЛАЮ УДАЧИ И ТВОРЧЕСКИХ УСПЕХОВ!