УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ...
TRANSCRIPT
КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ
«ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ «ТРИГОНОМЕТРИЯ»ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА
ДИСЦИПЛИНАМАТЕМАТИКА
Разработчик:Фомина Елена Анатольевна
преподаватель математики и информатики
Волхов 2016г.
Учебное пособие разработано в соответствии с примерной рабочей программой по математике для 1 курса СПО. В пособии приведено краткое изложение теоретических вопросов темы «Тригонометрия»; разбираются решения базовых задач; предлагаются задачи для самостоятельного решения, тесты и список литературы.
Рассмотрена и одобрена цикловой комиссией математических и общих естественно-научных дисциплин и специальности 18.02.03 « Химическая технология неорганических веществ»Протокол № 4 от « 09» декабря 2016 г.
УТВЕРЖДАЮЗаместитель директора по УР
______________ Т.М.Рябинина«_____» ______________2016 г.
Председатель математических и общих естественно-научных дисциплин
_________________Борошнева Н.В.
Организация-разработчик: ГБПОУ ЛО «Волховский алюминиевый колледж»
Разработчик:Фомина Е.А., преподаватель ГБПОУ ЛО «Волховский алюминиевый колледж»
Содержание
Градусная и радианная мера угла .............................................................. 4 Единичная окружность ............................................................................... 6 Тригонометрические функции ................................................................... 9 Знаки тригонометрических функций ..................................................... 10 Табличные значения тригонометрических функций ............................. 11 Основное тригонометрическое тождество. ............................................ 12 Тригонометрические формулы ................................................................ 14
Тригонометрические функции для отрицательного угла .................. 14 Формула приведения ............................................................................. 15 Тригонометрические функции суммы и разности углов .................. 17 Тригонометрические функции двойного аргумента .......................... 18
Свойства и графики тригонометрических функций .............................. 22 Функция косинус - y=cos(x) ............................................................... 23 Функция тангенс y=tg(x) ..................................................................... 25 Функция котангенс y=ctg(x) ................................................................ 27
Преобразования графиков тригонометрических функций ................... 29 Обратные тригонометрические функции ............................................... 34 Тригонометрические уравнения .............................................................. 36 Тест по теме «Тригонометрия» ................................................................ 41
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Градусная и радианная мера угла
Из школьного курса математики известно, что углы измеряются в градусах.
Опр. Угол в 1° соответствует 3601
части окружности.
Если взять окружность определенного радиуса, то любому центральному углу α окружности соответствует дуга AB. Зафиксируем такой центральный угол, для которого длина дуги AB будет равна радиусу окружности: R= L
Опр. Угол в 1 радиан – это угол, для которого длина соответствующей ей дуги равна радиусу окружности.
α=1 радиан
Как величина угла в 1° не зависит от радиуса окружности, так и величина угла в 1 радиан не зависит от радиуса окружности.Вспомним формулу длины окружности
RC π2=Длине окружности C=2πR соответствует угол в 360° . Узнаем, сколько радиан в целой окружности, т.е. в 360° . Составим пропорцию, в которой слева записана длина дуги, а справа угол в радианах.L=R – 1 радианC=2πR – - х радиан
ππ
π
22
21
==
=
xRRx
xRR
Т.о. углу 360° соответствует угол в радианах, равный 2π.2π=360°π=180°
Рассмотрим задачи перехода от одной меры угла к другой.
Задача 1. Сколько радиан в 10°.Решение. Используя соотношение π=180° , составим пропорцию, в которой слева записан угол в радианах, а справа угол в градусах.х – 10°π – 180°
18
18010
1018018010
π
π
π
π
=
=
=
=
x
x
x
x
Задача 2. Сколько градусов в π43
.
Решение. Используя соотношение π=180° , запишем 0135
41803180
43
43 =⋅=⋅=π
Задача 3. Сколько градусов в 2 радианах.Решение. Используя соотношение π=180° , составим пропорцию, в которой слева записан угол в радианах, а справа угол в градусах.2 – х °π – 180°
011514,3
360
18021802
1802
≈=
⋅=
⋅=⋅
=
x
x
xx
π
π
π
Задачи для самостоятельного решения
1. Зная, что π - это 180º, заполнить пустые клетки таблицыУгол в градусах
30 º 550 º
Угол в радианах 18
π5
8π 4 радиан 5π
2. Что больше 1000 º или 10 радиан?
Единичная окружность
Опр. Единичная окружность – это окружность, центр которой лежит в начале координат, а радиус равен единице.
Будем на этой окружности от положительного направления оси ОХ против хода часовой стрелки откладывать положительные углы, а по ходу часовой стрелки – отрицательные углы.
Для любого угла можно найти точку на единичной окружности, причем единственную. Пусть углу α соответствует единственная точка Рα.
Изобразим точки на единичной окружности 0100P ,
4πP , 030−
P , 3
4πP .
Если выбрать точку на единичной окружности, то ей соответствует не один угол, а бесконечное множество углов. Так в точку 0100
P попадут точки для углов: 460°, 820°, -260° и т.д.Если взять произвольный угол α, то углам вида:
α±360°·k или α±2πk, где k- любое целое числобудет соответствовать одна и та же точка на окружности.Угол 360°=2π соответствует полному обороту окружности.Углы 360°·k=2πk соответствуют нескольким полным оборотам окружности.Знак ± показывает, что полные обороты можно производить как против хода часовой стрелки, так и по ходу часовой стрелки.
Для нашего примера будем иметь:α =100°460°=100°+360°820°=100°+360°·2=100°+720°-260°=100°-360°
Для того чтобы найти точку, которая соответствует углу 850°, необходимо выделить полные обороты, поделив угол на 360.
850°=130°+360°·2Т.о., 00 130850
PP = , где 130° – это остаток от деления на 360°
Единичная окружность проходит через координатные четверти, которым соответствуют углы единичной окружности.
I четверть : 0900
20
<<
<<
α
πα
II четверть : 00 18090
2<<
<<
α
παπ
III четверть : 00 270180
23
<<
≤<
α
παπ
IV четверть : 00 360270
22
3
<<
≤<
α
παπ
Задачи для самостоятельного решения
1. Изобразить углы на единичной окружности и указать, в каких координатных четвертях они располагаются.
Угол 215º 331º3π -200º 790º
четверть
2. Назовите угол в градусах, который лежит во II четверти.3. Назовите угол в радианах, который лежит во IV четверти.
Тригонометрические функции
Рассмотрим единичную окружность. Для некоторого угла α найдем на окружности точку Рα. Точка Рα имеет две координаты x и y, которые соответственно откладываются по осям ОХ и ОY и называются x - абсциссой и y - ординатой.
Опр. Косинусом произвольного угла называют абсциссу точки единичной окружности: x=cosα.
Опр. Синусом произвольного угла называют ординату точки единичной окружности: y=sinα.
Опр. Тангенсом произвольного угла называют отношение синуса к
косинусе ααα
cossin=tg , при условии, что cosα≠0
Опр. Котангенсом произвольного угла называют отношение
косинуса к синусу ααα
sincos=ctg , при
условии, что sinα ≠0
Тангенс угла связан с линией тангенса – это вертикальная прямая, которая проходит через точку (1;0). Тангенс угла – это ордината y точки, которая лежит на линии тангенса и соответствует углу.
Котангенс угла связан с линией котангенса – это горизонтальная прямая, которая проходит через точку (1;0). Котангенс угла – это абсцисса x точки, которая лежит на линии котангенса и соответствует углу.
Знаки тригонометрических функций
Согласно определению тригонометрических функций расставим знаки тригонометрических функций по четвертям.
Знаки косинуса Знаки синуса cosα sinα.
Знаки тангенса и котангенса - tgα , ctgα
Задача. Найти знак выражения:
+=−⋅−
−⋅−⋅+=⋅
⋅⋅
710sin350
205cos5
410sin
0
00
π
π
ctg
tg
Табличные значения тригонометрических функций
Основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество выражается формулой:
1cossin 22 =+ ααсумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице
Обоснование формулы следующее: так как, точка лежит на единичной окружности, следовательно, можно построить прямоугольный треугольник АВС с вершиной в точке Рα. Два катета этого прямоугольного треугольника равны соответственно СВ=cosα и АВ=sinα. Гипотенуза прямоугольного треугольника СА равна радиусу R, т.е. единице. По теореме Пифагора получим: 222 CACBAB =+ 1cossin 22 =+ αα
Основное тригонометрическое тождество позволяет, зная одну тригонометрическую функцию, найти все остальные тригонометрические функции.Рассмотрим решение задач на использование основного тригонометрического тождества.
Задача 1. Известно, что sinα= 43 и угол α принадлежит второй
четверти 2π ≤α≤π. Найти значения тригонометрических функций:
cosα, tgα, ctgα. Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
1cossin 22 =+ αα
sin(α)= 43
1cos43 2
2
=+
α
1cos169 2 =+ α
1691cos2 −=α
167
169
1616cos2 =−=α
47
167cos ±=±=α
Т.к. угол лежит во второй четверти, следовательно, косинус имеет знак минус.
47cos −=α
73
74
43
47:
43
cossin −=⋅−=
−==
αααtg
371 −==
αα
tgctg
Задача 2. Известно, что tgα=2 и угол α принадлежит первой четверти
0≤α≤ 2π . Найти значения тригонометрических функций: cosα, sinα,
ctgα. Решение:
ααα
cossin=tg
αα
cossin2 =
αα cos2sin =Подставим в основное тригонометрическое тождество выражение для синуса.
1cossin 22 =+ αα1cos)cos2( 22 =+ αα
1coscos4 22 =+ αα1cos5 2 =α
51cos2 =α
51cos ±=α , т.к. угол лежит в первой четверти, то косинус будет
положительным.
51cos =α
52cos2sin == αα
211 ==
αα
tgctg
Тригонометрические формулы
Тригонометрические функции для отрицательного угла
cos(-α)=cosαsin(-α)=-sinαtg(-α)=-tgα
ctg(-α)=-ctgα
Напомним, что положительные углы откладываются против хода часовой стрелки, а отрицательные углы - по ходу часовой стрелки. Точкам Рα и Р-α соответствуют противоположные углы, при этом, абсциссы х этих точек совпадают, а ординаты у отличаются только знаком. Следовательно, косинусы противоположных углов совпадают, а синусы отличаются только знаком: cos(-α)=cosα , sin(-α)=-sinαС учетом того, что знаем, найдем тангенс и котангенс для отрицательного угла.
αα
αααα tgtg −=−=
−−=−
cossin
)cos()sin()(
αα
αααα ctgctg −=
−=
−−=−
sincos
)sin()cos()(
Задача .Используя табличные значения и формулы для отрицательных углов, вычислить:
430
4330)
31()
23(
23
23330300sin
65cos 00 =+⋅=⋅−−−⋅−=⋅−⋅ ππ ctgtg
322
31
223045sin)30(45sin)30()45sin( 000000 =⋅=⋅=−⋅−=−⋅− tgtgtg
2111
21)1(
21)
43()
3cos()
43()
3cos( =+=−−=−=−+− ππππ ctgctg
Формула приведения
Формулы приведения позволяют при нахождении значений тригонометрических функций перейти от углов вида:
α± 90◦k или α ± k⋅2π
, где k- любое целое число,
к острому углу α. При этом, если k – число четное, то название функции не меняется; если k – число нечетное, то название функции меняется на кофункцию. Знак перед приведенной функцией ставится такой, каков знак приводимой (исходной) функции в соответствующей четверти, если считать угол α острым.
Задача 1. Разложить угол на 90º и воспользоваться формулой приведения
А)2245cos)45490cos(405cos 0000 ==+⋅=
k=4, сл-но, функция не меняет свое название00 45490 +⋅ - делаем 4 оборота в 90º и поворот на
45º . Угол лежит в I четверти, в которой косинус имеет знак плюс.
В)3
160)60590(510 0000 −=−=+⋅= ctgtgtg
k=5, сл-но, функция меняет свое название00 60590 +⋅ - делаем 5 оборотов в 90º и поворот на 60º .
Угол лежит во II четверти, в которой тангенс имеет знак минус.
Задача 2. Вычислить )720sin()1830()945cos( 000 −+−⋅− ctgВоспользуемся формулами для отрицательных углов
000000 720sin)1830(945cos)720sin()1830()945cos( −−⋅=−+−⋅− ctgctgВычислим каждое выражение в отдельности:
2245cos)451090cos(945cos 0000 −=−=+⋅=
k=10 , функция не меняет название, угол лежит в III четверти, где косинус имеет знак минус
330)302090(1830 0000 ==+⋅= ctgctgctgk=20 , функция не меняет название, угол лежит в I четверти, где котангенс имеет знак плюс
00sin)0890sin(720sin 000 ==+⋅=k=8 , функция не меняет название, угол равен нулю, синус нуля равен нулю
26
23203
22720sin)1830(945cos 000 −=⋅−=−⋅−=−−⋅ ctg
Тригонометрические функции суммы и разности углов
sin(α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ
sin(α-β) =sinα∙cosβ-cosα∙sinβ
cos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ
cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ
βαβαβα
tgtgtgtgtg⋅−
+=+1
)(
βαβαβα
tgtgtgtgtg⋅+
−=−1
)(
βαβαβα
tgtgtgtgctg
+⋅−=+ 1)(
βαβαβα
tgtgtgtgctg
−⋅+=− 1)(
Задача 1. Применить формулы :
A) cos(46º)cos(14º)- sin(46º)sin(14º) =cos(46º+14º)=cos(60º)=21
B) cos(36º)cos(6º)+sin(36º)sin(6º) =cos(36º-6º)=cos(30º)=21
C)sin(40º)cos(5º)+ sin(5º) cos(40º) =sin(40º+5º)=sin(45º)=22
D)sin(40º)cos(10º)- sin(10º) cos(40º) =sin(40º-10º)=sin(30º)= 21
Задача 2. Вычислить tg(α+β) и tg(α-β), если известно, tg(α)=-3
tg(β)=41
Решение: Воспользуемся формулой тангенса суммы
711
74
411
47:
411
474
11
43
44
411
431
41
412
41)3(1
413
1)(
−=⋅−=−
=−
=+
−=
+
+−=
⋅−−
+−=
⋅−+=+
βαβαβα
tgtgtgtgtg
Воспользуемся формулой тангенса разности
1314
413
41:
413
414
13
43
44
413
431
41
412
41)3(1
413
1)(
−=⋅−=−
=−
=−
−=
−
−−=
⋅−+
−−=
⋅+−=−
βαβαβα
tgtgtgtgtg
Тригонометрические функции двойного аргумента
ααα 22 sincos2cos −=ααα cossin22sin ⋅=
ααα 21
22tgtgtg
−=
ααα
ctgctgctg
212
2 −=
Задача 1. Применить формулы:А) sin38 º =2sin19 º ∙cos19 º 2sin(24º)cos(24º) = sin(2·24º)= sin(48º)
В) 2
7sin2
7cos7cos 22 πππ −=
cos2(12º)-sin2(12º)= cos(2∙12º)=cos(24 º)
Задача 2. А) вычислить cos(2α), если известно, что cos(α)=31− ,
Решение: cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)
cos(2α)= )(sin31 2
2
α−
− = )(sin
91 2 α−
Необходимо найти sin(α)-?.Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:cos2(α)+sin2(α)=1
1)(sin31 2
2
=+
− α
1)(sin91 2 =+ α
98
91
99
911)(sin 2 =−=−=α
98)(sin 2 =α
Подставим в формулу для двойного аргумента:cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)
cos(2α)= )(sin91 2 α−
cos(2α)= 97
98
91 −=−
cos(2α)= 97−
В) Вычислить sin(2α), если известно, что cos(α)=72
, 0º<α<90º
Решение: sin(2α)= 2sin(α)cos(α)
В формуле неизвестен множитель sin(α) - ?.Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:cos2(α)+sin2(α)=1
1)(sin72 2
2
=+
α
1)(sin494 2 =+ α
4945
494
4949
4941)(sin 2 =−=−=α
753
4995
4945)sin( ±=⋅±=±=α
Угол α принадлежит I четверти 0º< α <90º, следовательно, sin(α)>0:
753)sin( =α
Подставим в формулу двойного аргумента.
sin(2α)= 2sin(α)cos(α)=49
51272
7532 =⋅⋅
Задача 3. Вычислить tg(2α), если известно, что tg(α)=-72
Решение:
4528
457
14
4549
74
4945:
74
4945
74
494
4949
74
4941
74
)72(1
)72(2
122
22
−=⋅−=⋅−
=−=−
=−
−=
−
−=
−−
−⋅=
−=
ααα
tgtgtg
Задачи для самостоятельного решения
1.Упростить: cos11◦cos19◦-sin11◦cos19◦ Sin14◦cos31◦+sin31◦cos14◦ 2cos25◦ Sin25◦ cos231◦-sin231◦
2. Вычислить tg(α+β), tg(α-β), если известно, tg(α)=5 tg(β)=41
3. Вычислить cos(2α), если известно, что sin(α)=41−
4. Вычислить sin(2α), если известно, что cos(α)=31
, 0º<α<90º
5. Вычислить ctg(2α), если известно, что ctg(α)=3
6. α – острый угол, определить в какой четверти лежит угол β и найти знаки тригонометрических функций для угла β
А) β=90·8- α
B) β=2
13π+ α
C) β=630- α D) β=9000 + α 7. Используя табличные значения и формулы для отрицательных углов вычислить:
А) 0453
5sin tg⋅π
В) 0120cos
47 +πctg
С) )60()30cos( 00 −⋅− tg D) )6
11()3
5sin( ππ −−− tg
8. Известно, что sin(α)= 73 и угол α принадлежит второй четверти 2
π
≤α≤π. Найти значения тригонометрических функций: cos(α), tg(α), ctg(α).
9. Известно, что tg(α)= 31 и угол α принадлежит первой четверти 0≤α≤
2π . Найти значения тригонометрических функций: sin(α), cos(α),
ctg(α).10. Воспользоваться формулой приведенияА) )40990sin( 00 −⋅ B) )20890cos( 00 +⋅C) )10590( 00 −⋅tg D) )70790( 00 +⋅ctg11. Разложить угол на 90º и воспользоваться формулой приведенияA) 0675cos B) 01020sin C) 0690tg D) 0585ctg12. ВычислитьA) )750()1035sin( 00 −⋅− tg B) )390()930cos( 00 −−− tg13. С какой осью связано значение синуса?14. Назовите угол, для которого косинус и синус имеют знак минус.15. Назовите отрицательный угол, на который следует повернуться, чтобы попасть в I четверть?16. Подберите значения синуса и косинуса некоторого угла так, чтобы они удовлетворяли основному тригонометрическому тождеству.
Свойства и графики тригонометрических функцийРассмотрим тригонометрические функции, для которых в качестве аргумента x будет выступать угол поворота α.
Функция синус - y=sin(x)
Синус угла – это ордината у точки единичной окружности. Рассмотрим на единичной окружности полный оборот от 0 до 2π.Приведем в таблице базовые точки.
x 02π π
23π 2π
sin(x) 0 1 0 -1 -1
От о до 2π
синус возрастает по единичной окружности.
От 2π
до π синус убывает по единичной окружности
От π до 2
3π синус убывает по единичной окружности
От 2
3π до 2π синус возрастает по единичной окружности
Такое же поведение синуса будет на интервале от 2π до 4π, от 4π до 6π и т .д.
Для отрицательных х значения синуса будут противоположными по знаку.
Свойства функции:1. Область определения Df : х- любое число. Множество значений Ef: у принимает значения от -1 до 12. Немонотонная функция.3. Ограничена снизу и сверху.4. Нечетная функция, график симметричен относительно начало координат, sin(-x)=-sin(x)5. Периодическая функция с периодом Т=2π=360º.6. Непрерывная функция.
Функция косинус - y=cos(x)
Косинус – это абсцисса х точки единичной окружности.Рассмотрим на единичной окружности полный оборот от 0 до 2π.Приведем в таблице базовые точки.
x 02π π
23π 2π
sin(x) 1 0 -1 0 1
От о до 2π
косинус убывает по единичной окружности.
От 2π
до π косинус убывает по единичной окружности
От π до 2
3π косинус возрастает по единичной окружности
От 2
3π до 2π косинус возрастает по единичной окружности
Такое же поведение косинуса будет на интервале от 2π до 4π, от 4π до 6π и т .д.
Для отрицательных х значения косинуса будут такими же.
Свойства функции:1. Область определения Df : х- любое число. Множество значений Ef: у принимает значения от -1 до 12. Немонотонная функция.3. Ограничена снизу и сверху.4. Четная функция, график симметричен относительно оси ОХ: cos(-x)=cos(x)5. Периодическая функция с периодом Т=2π=360º.6. Непрерывная функция.
Функция тангенс y=tg(x)
Тангенс угла – это ордината y точки, которая лежит на линии тангенса и соответствует углу.
Рассмотрим на единичной
окружности поворот от -2π
до 2π
.
Приведем в таблице базовые точки.
x-
2π
-4π 0
4π
2π
sin(x) - -1 0 1 -
От -2π
до 0 тангенс возрастает по линии тангенса.
От 0 до 2π
тангенс возрастает по линии тангенса.
В точках ±2π
, ±2
3π, ±
25π
и т.д. тангенс не существует.
Такое же поведение тангенса будет на интервале от 2π
до 2
3π,
от 2
3π до
25π
и т.д.
Свойства функции:1. Область определения Df : х- любое число, кроме точек вида
k⋅± ππ2
, где k целое число
Множество значений Ef: у – любое число
2. Возрастающая функция на интервалах от -2π
до 2π
, от 2π
до 2
3π,
от 2
3π до
25π
и т.д.
3. Неограниченная функция.4. Нечетная функция, график симметричен относительно начало координат : tg(-x)=-tg(x)5. Периодическая функция с периодом Т=π=180º.6. Не является непрерывной, имеет точки разрыва
k⋅± ππ2
, k – целое число.
7. Пределы в точках разрыва:+ ∞=
−−→)(lim
2
xtgx π - предел слева от точки -
2π
− ∞=+−→
)(lim2
xtgx π - предел справа от точки -
2π
+ ∞=−→
)(lim2
xtgx π - предел слева от точки
2π
− ∞=+→
)(lim2
xtgx π - предел справа от точки
2π
Функция котангенс y=ctg(x) Котангенс угла – это координата х точки, которая лежит на линии котангенса и соответствует углу.
Рассмотрим на единичной окружности поворот от 0 до π.Приведем в таблице базовые точки.
x 04π
2π
43π π
sin(x) - 1 0 -1 -
От 0 до 2π
котангенс убывает по линии котангенса.
От 2π
до 4
3π котангенс убывает по линии котангенса.
В точках 0±, ± π, ±2π и т.д. котангенс не существует.Такое же поведение котангенса будет на интервале от π до 2π , от 2π до 4π и т.д.
Свойства функции:1. Область определения Df : х- любое число, кроме точек вида π·k , где k целое число
Множество значений Ef: у – любое число2. Убывающая функция на интервалах от 0 до π, от π до 2π,
от 2π до 4π и т.д.3. Неограниченная функция.4. Нечетная функция, график симметричен относительно начало координат : сtg(-x)=-сtg(x)5. Периодическая функция с периодом Т=π=180º.6. Не является непрерывной, имеет точки разрыва π·k , где k – целое число.7. Пределы в точках разрыва:
− ∞=−→
)(lim0
xctgx - предел слева от точки 0
+ ∞=+→
)(lim0
xctgx - предел справа от точки 0
− ∞=−→
)(lim xctgx π - предел слева от точки π
+ ∞=+→
)(lim xctgx π - предел справа от точки π
Задачи для самостоятельного решения
1. Выбрав в качестве π четыре клетки, построить график y=sin(x)
2. Выбрав в качестве π шесть клеток, построить график y=cos(x)
3. Выбрав в качестве π две клетки, построить график y=tg(x)
4. Выбрав в качестве π три клетки, построить график y=ctg(x)
Преобразования графиков тригонометрических функций
Для графиков тригонометрических функций рассмотрим следующие преобразования.
1. Растяжение (сжатие) вдоль оси ОY: y=A∙f(x),A>0 - амплитуда.
График функции y=A·f(x) получается из графика y=f(x) путем растяжения (сжатия) относительно оси OY.Для функций y= A·sin(x) и y= A·cos(x) меняется множество значений функции [-1;1] на интервал [-A;A]Если А>1, то происходит растяжение графика вдоль оси ОY.
Если 0<A<1, то происходит сжатие графика вдоль оси ОY.
Пример. y=3sin(x)
2. Растяжение (сжатие) вдоль оси ОX: y=f(ωx), где ω>0 – частота
График функции y=f(ωx) получается из графика y=f(x) путем сжатия или растяжение относительно оси OХ.Для тригонометрических функций меняется период функции:Старый период - Т=2π
Новый период - ωπ2' =T
Если ω>1, то период уменьшается, график «быстрее» пробегает свои значенияНа чертеже представлен график функции y=sin(2x).
ω=2 ππωπ ===
222'T - новый период функции, т.о. период
уменьшился в 2 раза.
Если ω<1, то период увеличивается, график «медленнее» пробегает свои значения.
На чертеже представлен график функции 2
cos xy = .
ω=21
πππωπ 4
14
21
22' ====T - новый период функции, т.о. период
увеличился в два раза с 2π до 4π.
3. Сдвиг вдоль оси OY:y=f(x)±B, где B>0
График функции y=f(x)+В можно получить из графика y=f(x) путем сдвига на B единиц вверх.
График функции y=f(x)-В можно получить из графика y=f(x) путем сдвига на B единиц вниз.
4. Сдвиг вдоль оси OХ:y=f(x±b), где b>0
График функции y=f(x-b) можно получить из графика y=f(x) путем сдвига на b единиц вправо..
График функции y=f(x+b) можно получить из графика y=f(x) путем сдвига на b единиц влево
Задачи для самостоятельного решения
1. Построить график y=0,5∙sin(x) 2. Построить график y=cos(3x) 3. Построить график y=tg(x)+2
4. Построить график y=ctg(x-3π
)
Обратные тригонометрические функции
Известны следующие тригонометрические функции: y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x)На интервалах, где тригонометрические функции монотонно возрастают или монотонно убывают, тригонометрические функции имеют себе обратные функции.Арксинус (arcsin) числа – это угол , синус которого равен этому числу.
Пример: известно, что 21)
6sin( =π
, тогда 6
)21arcsin( π=
Арксинус – это обратная синусу функция, которая определена на
интервале )2
;2
( ππ−
Арккосинус (arccos) числа – это угол , косинус которого равен этому числу.
Пример: известно, что 23)
6cos( =π , тогда
6)
23arccos( π=
Арккосинус – это обратная косинусу функция, которая определена на интервале );0( πАрктангенс (arctg) числа – это угол , тангенс которого равен этому числу.
Пример: известно, что 3
1)6
( =πtg , тогда 6)
31( π=arctg
Арктангенс – это обратная тангенсу функция, которая определена на
интервале )2
;2
( ππ−
Арккотангенс (arcсtg) числа – это угол , котангенс которого равен этому числу.
Пример: известно, что 3)6
( =πctg , тогда 6
)3( π=arcctg
Арккотангенс – это обратная котангенсу функция, которая определена на интервале );0( π
Обратные тригонометрические функции используются для решения тригонометрических уравнений.Для нахождения значений обратных тригонометрических функций можно использовать табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят уравнения вида:
sin(x)=a, где а число от -1 до 1cos(x)=a, где а число от -1 до 1tg(x)=a, где а любое числоctg(x)=a , где а любое число
Примеры: sin(x)=23 ; cos(x)=0; tg(x)=-1; ctg(x)=3
Дадим обоснование формулам, которые используются при решении тригонометрических уравнений.
1. sin(x)=a, где а число от -1 до 1 x=(-1)k·arcsin(a)+πk, k ∈ Z
Согласно уравнению нам известно значение синуса, число а, которое можно отложить по оси OY. Требуется найти углы, которые будут удовлетворять уравнению, т.к. функция синуса периодическая, следовательно, углов будет бесконечное множество. Первый угол - αВторой угол - π-αДля того чтобы получить следующую пару углов, необходимо прибавить период 2π: α+2π и π-α+2π=- α+3π= 3π- α.Прибавляя каждый раз период 2π, будем получать следующие углы:α+2πk и π-α+2πk, где k целое число.Проверим формулу x=(-1)k·arcsin(a)+πk для различных k ∈ Zk=0 - x=(-1)0·arcsin(a)+π·0= arcsin(a)=α k=1 - x=(-1)1·arcsin(a)+π·1=- arcsin(a)+ π=-α+π=π- α k=2 - x=(-1)2·arcsin(a)+π·2= arcsin(a)+ π·2=α+2π k=3 - x=(-1)3·arcsin(a)+π·3=- arcsin(a)+ π·3=-α+3π=3π- α Обобщая получим:
Если k=2n – четное число, то x=(-1)k·arcsin(a)+π·k= arcsin(a)+ π·k=α+2π·n, где n – любое целое число.Если k=2n+1 – нечетное число, то x=(-1)k·arcsin(a)+π·k= -arcsin(a)+ π·(2n+1)=-α+2π·n+π= π-α+2πn, где n – любое целое числоТ.о. рассуждения по чертежу и предлагаемая формула дают одно и тоже множество решений.
2. cos(x)=a, где а число от -1 до 1 x=±arccos(a)+2πk, k ∈ Z
Согласно уравнению нам известно значение косинуса, число а, которое можно отложить по оси OХ. Требуется найти углы, которые будут удовлетворять уравнению, т.к. функция косинуса периодическая, следовательно, углов будет бесконечное множество. Первый угол - αВторой угол - -αДля того чтобы получить следующую пару углов, необходимо прибавить период 2π: α+2π и -α+2π.Прибавляя каждый раз период 2π, будем получать следующие углы:α+2πk и -α +2πk, где k целое число.Проверим формулу x=±arccos(a)+2πk, для различных k ∈ Zk=0 - x=±·arccos(a)+2π·0= ±arccos(a)= ±α k=1 - x=±arccos(a)+2π·1=±arccos(a)+2π=±α+2π k=2 - x=±·arccos(a)+2π·2=± arccos(a)+ 4π=±α+4π k=3 - x=±·arccos(a)+2π·3=± arccos(a)+ 6π=±α+6πОбобщая получим: - x=±·α+2π kТ.о. рассуждения по чертежу и предлагаемая формула дают одно и тоже множество решений.
3. tg(x)=a, где а любое число x=arctg(a)+πk, k ∈ ZСогласно уравнению нам известно значение тангенса, число а, которое можно отложить по оси тангенса. Требуется найти углы, которые будут соответствовать числу а Первый угол - αВторой угол - π+αТ.к. функция тангенса периодическая, следовательно, чтобы получить другие углы, следует прибавить период π: x= α+πk, k ∈ Z, учитывая, что α – это арктангенс числа а, получим формулу: x=arctg(a)+πk, k ∈ Z
4. ctg(x)=a , где а любое число x=arcctg(a)+πk, k ∈ ZДать самостоятельно обоснование формулы, используя линию котангенса.
Решение задачЗадача 1. Решить уравнения:
А) sin(x)=23
x=(-1)k·arcsin(a)+πk, k ∈ Z
x=(-1)k·arcsin(23 )+πk, k ∈ Z
x=(-1)k·3π
+π k, k ∈ Z
В) cos(x)= 74
a=74
x=±arccos(74
)+2πk, k ∈ Z
С) tg(x)=-1 a=-1x=arctg(-1)+πk, k ∈ Z
x=-4π
+πk, k ∈ Z
D) ctg(x)= 3 a= 3x=arcctg( 3 )+πk, k ∈ Z
x=6π
+πk, k ∈ Z
Задача 2. Решить уравнения:
A) sin(7x)=21
7x=(-1)k·arcsin(21
)+πk, k ∈ Z
7x=(-1)k·6π
+πk, k ∈ Z (х71
)
x=(-1)k·67 ⋅
π+
7π
k, k ∈ Z
x=(-1)k·42π
+7π
k, k ∈ Z
B) tg(3x
)=51
3x
=arctg(51
)+πk, k ∈ Z (х3)
x=3·arctg(51
)+3π·k, k ∈ Z
C) cos(x-7π
)=21
x-7π
=±arccos(21
)+2πk, k ∈ Z
x-7π
=± arccos(21
)+2πk, k ∈ Z
x-7π
=±3π
+2πk, k ∈ Z
x=±3π
+7π
+2πk, k ∈ Z
D) sin(2x-3π
)=32−
2x-3π
=(-1)k·arcsin(32− )+πk, k ∈ Z
2x=(-1)k·arcsin(32− )+
3π
+πk (х21
)
x=(-1)k·21
∙ arcsin(32− )+
32 ⋅π
+2π
k,
x=(-1)k·21
∙ arcsin(32− )+
6π
+2π
k, k ∈ Z
Задачи для самостоятельного решения
Задача. Решить уравнения:
A) sin(x)=-21
B) cos(x)=51
C) tg(x)=3
1
D) ctg(x)=2
E) sin(4x)=72−
F) tg(7x)=-1
G) cos(x-3π
)=23
H) ctg(x+5
2π)=
61
I) sin(3x-4π
)=22
Тест по теме «Тригонометрия»1. Основное тригонометрическое тождество – этоА) Sin2α +сos2α =0 B) Sin2α +сos2α =1 C) Sin2α -сos2α =1 D) сos2α - sin2α =1
2. Синус – этоА) координата Х точки единичной окружности
B) отношение катетов прямоугольного треугольника
C) отношение катета прилежащего угла к гипотенузе прямоугольного треугольника
D) координата Y точки единичной окружности
3. Косинус разности cos(α-β) равен:А)sinαcosβ+cosαsinβ B) cosαcosβ-sinαsinβ C)cosαcosβ+sinαsinβ D)sinαsinβ-cosαcosβ 4. Тангенс суммы tg(α+β) равен
А)βαβα
tgtgtgtg
−+
1B)
βαβα
tgtgtgtg
−−
1C)
βαβα
tgtgtgtg
++
1D)
βαβα
tgtgtgtg
+−
15. Косинус двойного аргумента cos(2α) равенА) 2sinα∙cosα B) Sin2α +сos2α C) Sin2α -сos2α D) сos2α - sin2α 6. Указать верные равенства:
А)ααα
sincos=tg B)
ααα
sincos=ctg C)
ααα
cossin=tg D)
ααα
cossin=ctg
7. Синус имеет знак плюс на интервалах:А) 0º<α<90º B) 90º<α<180º C) 180º<α<270º D) 270º<α<360º
8. Котангенс имеет знак минус на интервалах:А) 0º<α<90º B) 90º<α<180º C) 180º<α<270º D) 270º<α<360º 9. Косинус отрицательного угла cos(-α) равенА) cos(α) B) -cos(-α) C) -cos(α) 10. Используя формулу приведения, название функции не
меняется, если для приведенного угла 90◦∙k+α, справедливо:А) k – четное число B) k- нечетное число C) k- любое число11. Сколько градусов в числе: π = 12. Назовите угол, для которого: косинус равен нулю
13. Как откладываются положительные углы для точек единичной окружности?
Список литературы
Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. —М., 2014.Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. Учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М., 2014.Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 11 класс. — М., 2014.Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М., 2013.Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. пособие. — М., 2012.Богомолов Н.В. Математика для ссузов - М. Дрофа, 2015Богомолов Н.В. Сборник задач по математике _ М.: Дрофа, 2015.