แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร

ชดท ชดท 11

เมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

เรองท เรองท 11

เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซเมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

2

1. เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

ผลการเรยนรทคาดหวง มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ จดประสงคการเรยนร : นกเรยนสามารถ

1. บอกมตของเมทรกซและต าแหนงของสมาชกใดๆ ได 2. หาค าตอบสมาชกของเมทรกซทอยในต าแหนงทก าหนดให และเมทรกซในรปทวไปได 3. มคณธรรม จรยธรรม และคณลกษณะอนพงประสงค

ศกษาจดประสงค และเนอหากอนดกวา

3

1. เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

1.1 ความหมายของเมทรกซ

ใหนกเรยนพจารณาตารางจ านวนเงนทนกเรยนชน ม.4/1 โรงเรยนเฉลมพระเกยรตสมเดจพระศรนครนทร กาญจนบร ใชจายใน 1 วน จ านวน 3 คน ดงน

ชอนกเรยน คารถประจ าทาง คาอาหาร คาขนม

แซม 16 25 10 ใหม 26 20 5 อฟ 0 20 15

ถาเราตดขอความบนสดและซายสดออกเหลอเฉพาะตวเลข แลวปดลอมดวยเครองหมาย

วงเลบ จะเรยกรปแบบ

15 20 0

5 20 26

10 25 16

นในวชาคณตศาสตรเรยกวา เมทรกซ และเรยก

จ านวนแตละจ านวนในเมทรกซวา สมาชกของเมทรกซ ดงนน ถามกลมของจ านวนซงถกเขยนเรยงเปนแถว แถวละเทาๆกน และถกลอมรอบดวยวงเลบ [ ] เราเรยกสญลกษณดงกลาววา เมทรกซ เชน

0 4 1-

3 2 1 ;

5

4-

9

;

7 0

2 6;

9- 5 0 6-

6- 10 5- 6- ; 9 10 11

จ านวนแตละจ านวนภายในวงเลบ [ ] เรยกวา สมาชกของเมทรกซ

4

1.2 สญลกษณและมตของเมทรกซ

โดยทวไปนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวใหญแทนเมทรกซ เชน A, B, C, … และ ใชอกษร a, b, c, … แทนสมาชกของเมทรกซ

หลก 1 หลก 2 หลก 3 เชน A = 0 4 1 แถว 1

A เปนเมทรกซทม 1 แถว ม 3 หลก เปนเมทรกซ 1×3 เมทรกซ ดงนนเมทรกซ A มมต 1×3

สมาชกของเมทรกซทเรยงกนอยตามแนวนอน เรยกวาสมาชกทอยในแถว(row) ของ เมทรกซ เมทรกซแตละเมทรกซจะมกแถวกได

สมาชกของเมทรกซทเรยงกนอยตามแนวดง(แนวตง) เรยกวาสมาชกทอยในหลก(column) ของเมทรกซ เมทรกซแตละเมทรกซจะมกหลกกได

ตวอยางท 2 จงบอกมตของเมทรกซในแตละขอตอไปน

ขอ เมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก จ านวนแถว×จ านวนหลก มตของเมทรกซ

1

4

1

1

1 × 1

1×1

2

2- 1-

5 2

4 1

3 2 3 × 2 3 × 2

3

4

6

2

3 1 3 × 1 3 × 1

4

9 0 4 1

1

4

1 × 4

1 × 4

5

ขอ เมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก จ านวนแถว×จ านวนหลก มตของเมทรกซ

5

7 0

2 6

2

2

2 × 2

2×2

6

0 4 1-

3 2 1

2

3

2 × 3

2 × 3

7

15 20 0

5 20 26

10 25 16

3

3

3 × 3

3 × 3

8

1m

21

11

a

a

a

2m

22

12

a

a

a

...

...

...

mn

n2

n1

a

a

a

m

n

m × n

m × n

สรป

ถา A เปนเมทรกซทม m แถว และม n หลก จะเรยก A วามมต m × n

6

1.3 รปทวไปของเมทรกซ

เพอใหทราบวาสมาชกแตละตวอยในต าแหนงแถวทเทาใด และหลกทเทาใด เราจะใช ij

วางไวตรงมมลางขวามอของสมาชกตวนน เชน ถาเขยนวา aij ท าใหเราทราบวา สมาชกตวนอยในต าแหนงแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A เชน

ตวอยางท 3 ก าหนดให A =

3 2 7

0 4 1 เปนเมทรกซ 2×3 เมทรกซ ดงนน A มมต 2×3

จะไดวา a11 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 1 แทนดวย a11 = 1 a12 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 2 แทนดวย a12 = 4 a13 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 3 แทนดวย a13 = 0 a21 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 1 แทนดวย a21 = 7 a22 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 2 แทนดวย a22 = 2 a23 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 3 แทนดวย a23 = 3

ตวอยางท 4 ก าหนดให A =

1 6 0 9

4 2- 8 5 จงหา

(1) A เปนเมทรกซทมมต 2 × 4 (2) a11 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 1 แทนดวย a11 = 5 a12 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 2 แทนดวย a12 = 8 a13 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 3 แทนดวย a13 = -2 a14 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 1 และหลกท 4 แทนดวย a14 = 4 a21 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 1 แทนดวย a21 = 9 a22 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 2 แทนดวย a22 = 0 a23 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 3 แทนดวย a23 = 6 a24 แทนสมาชกทอยในต าแหนงแถวท 2 และหลกท 4 แทนดวย a24 = 1 (3) a11 + a23 - [2a14 + a23] = 5 + 6 – [( 2 × 4 ) + 6 ] = 11 - 14 = - 3

7

ตวอยางท 5 จงเตมขอความใหสมบรณและถกตอง

ขอ เมทรกซ มต สญลกษณในรปการแจกแจงสมาชก สญลกษณรปทวไป

1

A =

2- 1-

5 2

4 1

3 × 2

A =

3231

2221

12 11

a a

a a

a a

A = [ a ij ] 23

2

B =

1 6 0 9

4 2- 8 5

2 × 4

B =

2423 22 21

14 13 12 11

b bbb

bbb b

B = [ b ij ]42

3

C =

3

5

1

3 × 1

C =

31

21

11

c

c

c

C = [c ij ] 13

ตวอยางท 6 ก าหนดให B =

5- 1- 3- 7

1 6 0 9

4 2- 8 5

จงตอบค าถามตอไปน

(1) B เปนเมทรกซทมมต 3 × 4 (2) สมาชกในแถวท 2 คอ 9, 0, 6, 1 (3) สมาชกในหลกท 3 คอ -2, 6, -1 (4) 3a21 + 2a23 - [a14 + 2a34] = 3(9) + 2(6) – [ 4+ 2(-5) ] = 27+12 - [ - 6 ] = 39 + 6 = 45

ตวอยางท 7 ก าหนดให A =

333231

232221

1312 11

a a a

a a a

a a a

จงเขยนเมทรกซ A โดยใช a ij เปน

ตวแทนของสมาชก วธท า A เปนเมทรกซทมต 3 × 3 ดงนน A = [ a ij ] 33 ตอบ

8

ตวอยางท 8 จงเขยนเมทรกซ A = [ a ij ] 32 และก าหนดวา i + j เปนเลขคแลว aij = 0 และถา i + j เปนเลขคแลว aij = -1 วธท า A = [ a ij ] 32 เปนเมทรกซทม 2 แถวและม 3 หลก

ดงนน A =

2322 21

1312 11

a aa

a aa

จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i+j = 1+1 = 2 เปนเลขค ดงนน a11 = -1 จาก a12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว i+j = 1+2 = 3 เปนเลขค ดงนน a12 = 0 จาก a13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว i+j = 1+3 = 4 เปนเลขค ดงนน a13 = -1 จาก a21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i+j = 2+1 = 3 เปนเลขค ดงนน a21 = 0 จาก a22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว i+j = 2+2 = 4 เปนเลขค ดงนน a22 = -1 จาก a23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว i+j = 2+3 = 5 เปนเลขค ดงนน a23 = 0

ดงนน A =

0 1- 0

1- 0 1- ตอบ

ตวอยางท 9 จงเขยนเมทรกซ A แบบแจกแจงสมาชกจากเงอนไข - 2 เมอ i < j ถา A = [aij] 34 โดยท aij = 0 เมอ i = j 2 เมอ i > j

วธท า จะได A =

4342 41

333231

2322 21

1312 11

a a a

a a a

a aa

a aa

จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i = j ดงนน a11 = 0 จาก a12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว i < j ดงนน a12 = -2 จาก a13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว i < j ดงนน a13 = -2 จาก a21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a21 = 2 จาก a22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว i = j ดงนน a22 = 0 จาก a23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว i < j ดงนน a23 = -2 จาก a31 จะได i = 3 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a31 = 2

9

จาก a32 จะได i = 3 และ j = 2 แลว i > j ดงนน a32 = 2 จาก a33 จะได i = 3 และ j = 3 แลว i = j ดงนน a33 = 0 จาก a41 จะได i = 4 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a41 = 2 จาก a42 จะได i = 4 และ j = 2 แลว i > j ดงนน a42 = 2 จาก a43 จะได i = 4 และ j = 3 แลว i > j ดงนน a43 = 2

ดงนน A =

2 2 2

0 2 2

2- 0 2

2- 2- 0

ตอบ

ตวอยางท 10 จงเขยนเมทรกซ B แบบแจกแจงสมาชก ถา B = [bij] 32 โดยท bij = 2i + j2

วธท า จาก B = [bij] 32 โดยท bij = 2i + j2 ดงนน B =

2322 21

1312 11

b bb

b bb

จาก b11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว b11 = 21 + 12 = 2+1 = 3 จาก b12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว b12 = 21 + 22 = 2+4 = 6 จาก b13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว b13 = 21 + 32 = 2+9 = 11 จาก b21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว b21 = 22 + 12 = 4+1 = 5 จาก b22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว b22 = 22 + 22 = 2+2 = 4 จาก b23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว b23 = 22 + 32 = 4+9 = 13

ดงนน B =

13 4 5

11 6 3 ตอบ

ศกษาตวอยางกอนนะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

10

บทนยามเมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

บทนยาม เมทรกซ คอ ชดของจ านวน mn ตว 1n,m ซงเขยนเรยงกน m แถว n หลก

ภายในเครองหมายวงเลบ ในรปแบบ

แถวท 1 แถวท 2

┆ แถวท m หลกท 1 หลกท 2 ... หลกท n

เรยก aij วาเปนสมาชก (entry) ในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ

หรอเรยกวา เปนสมาชกในต าแหนงท ij ของเมทรกซ เมอ i = 1, 2, … , m และ j = 1, 2, … , n เรยก เมทรกซทม m แถว และ n หลก วาเปน m × n เมทรกซ (อานวา เอม คณ เอน เมทรกซ ) และเรยก m × n วาเปนมตของเมทรกซ ศกษาตวอยางแลว ท าแบบฝก ดวยความมนใจนะครบ

1m

21

11

a

a

a

2m

22

12

a

a

a

...

...

...

mn

n2

n1

a

a

a

11

แบบฝกหด

เรองท 1 เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

ตอนท 1

ค าชแจง จงเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง คะแนนเตม 5 คะแนน

1. ก าหนดให

A =

1 5 3 7

4 2 0 1 - จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

(1) A เปนเมทรกซทมมต มต …… 4

(2) a11 = -1 , a12 = 0 , a13 = ……. , a14 = 4

a21 = ……. , a22 = ……. , a23 = 5 , a24 = …….

(3) a11 + a23 = ………………. = 4

(4) 2a24 - 3a11 + a14 = ……................................………………. = 9

(5) 3(a11- a12+ 3a21) - (2a14 + a23) = ………………………………………………...

2. ก าหนดให B =

2- 1-

5 2

4 1

จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

(1) B เปนเมทรกซทมมต ….. …..

(2) b11 = ……. , b12 = 4 , b21 = -1 , b22 = 5 , b31 = ……. , b32= - 2

(3) 3b11 - 2b32 = ………………………………….

12

3. ก าหนดให A = [aij] 43 จงเขยนเมทกซ A ในรปแจกแจงสมาชก

วธท า จากโจทยจะได A เปนเมทรกซทม 3 แถว และม 4 หลก ดงนนสมาชกของ A ไดแก a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a 31 , a 32 , a 33 , a 34

A =

343331

24232221

141211

a a ..... a

a a a a

a ..... a a

ตอบ

4. ก าหนดให B =

2221

1211

b b

b b จงเขยนเมทรกซ B โดยใช bij เปนตวแทนของสมาชก

วธท า B เปนเมทกซทมมต 2 2 ดงนน B = ……………………………. ตอบ 5. จงเขยนเมทรกซทก าหนดใหแบบแจกแจงสมาชกจากเงอนไขตอไปน

(1) ถา A = [aij] 32 และก าหนดวา i + j เปนเลขคแลว aij = 3 และถา i + j เปนเลขคแลว aij = 4 วธท า A = [ a ij ] 32 เปนเมทรกซทม 2 แถวและม 3 หลก

ดงนน A =

2322 21

1312 11

a aa

a aa

จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i+j = 1+1 = 2 เปนเลขค ดงนน a11 = 4 จาก a12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว i+j = 1+2 = 3 เปนเลขค ดงนน a12 = 3 จาก a13 ……………………………………………………………………………… จาก a21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i+j = 2+1 = 3 เปนเลขค ดงนน a21 = 3 จาก a22 จะได i = 2 และ j = 2 แลว i+j = 2+2 = 4 เปนเลขค ดงนน a22 = 4 จาก a23 จะได ………………………………………………………………………..

A =

232221

131211

a a a

a a a = ………………………….. ตอบ

13

(2) ถา B = [bij] 33 โดยท bij = 3i – j2

วธท า จาก B = [bij] 33 โดยท bij = 3i – j2 ดงนน B =

333231

232221

131211

b b b

b b b

b b b

จาก b11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว b11 = 31 – 12 = 3 – 1 = 2 จาก b12 จะได i = 1 และ j = 2 แลว b12 = 31 – 22 = 3 – 4 = -1 จาก b13 จะได ………………………………………………………... จาก b21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว b21 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8 จาก b22 จะได ……………………………………………………….. จาก b23 จะได i = 2 และ j = 3 แลว b23 = 32 – 32 = 9 – 9 = 0 จาก b31 จะได ………………………………………………………... จาก b32 จะได i = 3 และ j = 2 แลว b32 = 33 – 22 = 27 – 4 = 23 จาก b33 จะได i = 3 และ j = 3 แลว b33 = 33 – 32 = 27 – 9 = 18

B =

333231

232221

131211

b b b

b b b

b b b

= ………………………….. ตอบ

2 เมอ i < j

(3) ถา A = [aij] 44 โดยท aij = 0 เมอ i = j -2 เมอ i > j

วธท า จะได A =

444342 41

34333231

242322 21

141312 11

a a a a

a a a a

a a aa

a a aa

จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i = j ดงนน a11 = 0 จาก a12 จะได ………………………………………………………. จาก a13 จะได i = 1 และ j = 3 แลว i < j ดงนน a13 = 2 จาก a14 จะได i = 1 และ j = 4 แลว i < j ดงนน a14 = 2 จาก a21 จะได ……………………………………………………… จาก a22 จะได ………………………………………………………

14

จาก a23 จะได …………………………………………………….. จาก a24 จะได i = 2 และ j = 4 แลว i < j ดงนน a24 = 2 จาก a31 จะได ……………………………………………………… จาก a32 จะได i = 3 และ j = 2 แลว i > j ดงนน a32 = -2 จาก a33 จะได ……………………………………………………… จาก a34 จะได i = 3 และ j = 4 แลว i < j ดงนน a34 = 2 จาก a41 จะได i = 4 และ j = 1 แลว i > j ดงนน a41 = -2 จาก a42 จะได ……………………………………………………… จาก a43 จะได i = 4 และ j = 3 แลว i > j ดงนน a43 = -2 จาก a44 จะได i = 4 และ j = 4 แลว i = j ดงนน a44 = 0

ดงนน A =

44434241

34333231

24232221

14131211

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

= ………………………………….. ตอบ

สนกจงเลยคะ ท าตอนท 2 ตอเลยนะคะ

15

ตอนท 2 ค าชแจง จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง คะแนนเตม 5 คะแนน

1. ก าหนดให A =

3

2

1

, B = [0 -1 -3] และ C =

0

2

3

1 จงหา

(1) a11 + b13 = 1 + (-3) = …….

(2) 2a31 - b12 + c22 = ………………….……………. = 10

(3) (a21 + 3b11) × c21 = ……………………… = ………….. 2. จงหาจ านวนสมาชกของเมทรกซในแตละขอ

(1) [ aij] 23

ตอบ 2 × 3 = 6 ตว (2) [ bij] 52

ตอบ ……………………… (3) [ cij] 14

ตอบ ……………………… (4) [ dij] nm

ตอบ m n ตว

16

3. ก าหนดให A = [aij] 51 จงเขยนเมทกซ A ในรปแจกแจงสมาชก

วธท า จากโจทยจะได A เปนเมทรกซทม 1 แถวและม 5 หลก ดงนนสมาชกของ A ไดแก a11 , a12 , a13 , a14 , a15

A = ………………………………… ตอบ 4. จงเขยนเมทรกซแบบแจกแจงสมาชกจากเงอนไขตอไปน

(1) ถา A = [aij] 21 โดยท aij = i + j

วธท า A = [aij] 21 เปนเมทรกซทม 1 แถวและม 2 หลก

ดงนน A = 12 11 aa จาก a11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว a11 = 1 + 1 = 2 จาก a12 จะได …………………………………………………………..

A = ……………… = ………………….. ตอบ

(2) ถา B = [bij] 22 โดยท bij = 0 เมอ i = j 1 เมอ i j

วธท า จาก B = [bij] 22 ดงนน B =

2221

1211

b b

b b

จาก b11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว i = j ดงนน b11 = 0 จาก b12 จะได …………………………………………………………. จาก b21 จะได i = 2 และ j = 1 แลว i j ดงนน b21 = 1 จาก b22 จะได ………………………………………………………….

B = ………………… = …………………… ตอบ

17

(3) ถา C = [cij] 14 โดยท c ij = i – 2j

วธท า จาก C = [cij] 14 ดงนน C =

41

31

21

11

c

c

c

c

จาก c11 จะได i = 1 และ j = 1 แลว c11 = 1 – 2(1) = 1 – 2 = -1 จาก c21 จะได …………………………………………………………………………….. จาก c31 จะได i = 3 และ j = 1 แลว c31 = ………… = …………. = …… จาก c41 จะได i = 4 และ j = 1 แลว c41 = ………… = …………. = 2

C =

41

31

21

11

c

c

c

c

=

2

.......

.......

.......

ตอบ

5. ก าหนดให C =

0

0

1

0

1

0

1

0

0

จงตอบค าถามตอไปน

(1) C เปนเมทรกซทมมต ………………. (2) สมาชกในแถวท 1 คอ 1 , …….. , ……. (3) สมาชกในหลกท 3 คอ ……………………. (4) ถา i = j แลว cij = ………… (5) ถา i j แลว c ij = …………

จบแลว ขอบคณคะ

18

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรชดท 1 เมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

เฉลยแบบฝกหดเรองท 1 เมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

ตอนท 1 1.

(1) 2 4 (2) , 1- a11 , 0 a12 , 2 a13 4 a14 , , 7 a21 , 3 a22 , 5 a23 1 a24 (3) 4 (4) 9 (5) 60

2. (1) 3 2 (2) , 1 b11 , 4 b12 , 2 b21 , 5 b22 , 1- b31 2- b32 (3) 7 (4) 5 (5) -18

3. A =

34333231

24232221

14131211

a a a a

a a a a

a a a a

4. B = [bij]22

5.

(1) A =

232221

131211

a a a

a a a =

3 4 3

4 3 4

(2) B =

333231

232221

131211

b b b

b b b

b b b

=

18 5 26

0 5 8

6- 1- 2

19

(3) A =

44434241

34333231

24232221

14131211

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

=

0 2- 2- 2-

2 0 2- 2-

2 2 0 2-

2 2 2 0

ตอนท 2 1. (1) a11 + b13 = 1+(-3) = -2

(2) 2a31 - b12 + c22 = 2(3) – (-1) +3 = 6 +1+3 = 10

(3) (a21 + 3b11) × c21 = ( 2+ 3(0) ) 0 = 0

2. (1) 6 ตว (2) 10 ตว (3) 4 ตว (4) mn ตว 3.

(1) A = 1211 a a = 21 11 = 3 2

(2) B =

2221

1211

b b

b b =

0 1

1 0

(3) C =

41

31

21

11

c

c

c

c

=

2(1) - 4

2(1) - 3

2(1) - 2

2(1) - 1

=

2

1

0

1-

4. (1) 3 3 (2) 1, 0, 0 (3) 0, 0, 1 (4) 1 (5) 0

“”””””””””””””””””””””””””””””””””””””” แลวเจอกนชด 2 นะคะ เรอง การเทากนของเมทรกซ