แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังกช์ัน

วิชาคณิตศาสตร์เพิม่เติม 11 รหัสวิชา ค33203

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

นางสาวสายพิน รากกระโทก

ต าแหน่ง ครู วิทยฐานะ ช านาญการ

โรงเรียนเสิงสาง อ าเภอเสิงสาง จังหวัดนครราชสีมา

ส านักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 31

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ค าน า

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เล่มนี้ได้จัดท า

เป็นสื่อประกอบการสอนวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 11 รหัสวิชา ค33203 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

โรงเรียนเสิงสาง เพ่ือพัฒนาทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน จ านวน

12 เล่ม เล่มนี้เป็นเล่มที่ 1 เรื่อง ความหมายของลิมิต โดยมีเนื้อหาตรงตามหลักสูตรแกนกลาง

การศึกษาขั้นพ้ืนฐานพุทธศักราช 2551

ลักษณะแบบฝึกทักษะ เป็นแบบฝึกประกอบการเรียน ซึ่ งนักเรียนสามารถศึกษา

และเรียนรู้ได้ด้วยตนเอง ฝึกให้เกิดความช านาญเพ่ิมทักษะทางด้านคณิตศาสตร์ โดยมีเฉลย

อยู่ท้ายเล่มเพ่ือให้นักเรียนได้ตรวจค าตอบแล้วบันทึกคะแนน นอกจากนี้ยังส่งเสริมให้นักเรียนมีนิสัย

ใฝ่เรียนรู้และปลูกฝังคุณธรรมเกี่ยวกับการซื่อสัตย์ต่อตนเองอีกด้วย

หวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์นี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้เรียน และผู้สนใจ

ที่จะพัฒนาตนเองเพ่ือสร้างพ้ืนฐานการเรียนในระดับชั้นที่สูงต่อไป

สายพิน รากกระโทก

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

สารบัญ

หน้า

ค าชี้แจง 1

แบบสรุปผลการประเมิน 2

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ 3

ผลการเรียนรู้ 3

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4

สาระการเรียนรู้ 5

สาระส าคัญ 5

แบบทดสอบก่อนเรียน 6

กระดาษค าตอบก่อนเรียน 13

ใบความรู้ 14

แบบฝึกทักษะที่ 1 21

แบบทดสอบหลังเรียน 24

กระดาษค าตอบหลังเรียน 30

บรรณานุกรม 31

ภาคผนวก 34

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 35

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1 36

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 39

เกณฑ์การให้คะแนน 40

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ค าชี้แจง

1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ เป็นเครื่องมือในการใช้จัดการเรียนรู้แก่นักเรียนระดับชั้น

มัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน โดยนักเรียนต้องศึกษาและฝึกทักษะด้วย

ตนเอง ซึ่งชุดแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ เป็นแบบฝึกทักษะเล่มที่ 1 “ความหมายของลิมิต”

2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง “ความหมายของลิมิต” มีวัตถุประสงค์เพ่ือพัฒนาการ

เรียนรู้ของนักเรียน โดยเน้นการเรียนรู้ด้วยตนเองจากการศึกษาเนื้อหาชุดแบบฝึกทักษะและ

แบบทดสอบของแต่ละเล่มแบบฝึก

3. การท าชุดแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ให้ปฏิบัติดังนี้

3.1 อ่านค าชี้แจงให้เข้าใจ

3.2 ศึกษาตัวชี้วัด

3.3 ท าแบบทดสอบก่อนการใช้แบบฝึกทักษะ (แบบทดสอบก่อนเรียน)

3.4 ศึกษาเนื้อหาสาระและตัวอย่างของแบบฝึกทักษะให้เข้าใจ

3.5 ท าแบบฝึกทักษะทุกแบบฝึกด้วยตนเอง

3.6 ท าแบบฝึกทักษะไปตามล าดับ โดยไม่ข้ามแบบฝึก เพราะจะท าให้การฝึกทักษะ

ไม่ต่อเนื่องกัน

3.7 ตรวจค าตอบแบบฝึกทักษะทุกแบบฝึกด้วยความซื่อสัตย์ ถ้านักเรียนท าแบบฝึก

ผิด ให้ย้อนกลับไปศึกษาเนื้อหาแล้วท าแบบฝึกใหม่

3.8 เมื่อศึกษาและท าจนครบทุกแบบฝึกทักษะแล้ว ให้ท าแบบทดสอบหลังการใช้

แบบฝึกทักษะ (แบบทดสอบหลังเรียน)

3.9 ห้ามดูเฉลยก่อนท าแบบฝึกทักษะ และเฉลยแบบทดสอบก่อนและหลังการท า

แบบฝึกทักษะก่อนโดยเด็ดขาด

3.10 ตรวจค าตอบจากเฉลยท้ายเล่มด้วยความซื่อสัตย์

3.11 บันทึกคะแนนที่ได้ลงในแบบบันทึกคะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

แบบสรุปผลการประเมิน

เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ชื่อ......................................................................................................... ชั้น ...............เลขที.่..............

ผลการประเมินแบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียน

⮞ ผลการประเมินก่อนเรียนได้......................คะแนน

ผ่านเกณฑ์ ไม่ผ่านเกณฑ์

⮞ ผลการประเมินหลังเรียนได้......................คะแนน

ผ่านเกณฑ์ ไม่ผ่านเกณฑ์

หมายเหตุ ได้คะแนน 8 คะแนนขึ้นไป (ร้อยละ 80 ขึ้นไป) ถือว่าผ่านเกณฑ์การประเมิน

ผลการประเมินแบบฝึกทักษะ

แบบฝึกทักษะที่ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ เกณฑ์

การผ่าน

สรุปผลการประเมิน

ผ่าน ไม่ผ่าน

1 10 8

รวม

2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ความหมายของลิมิต

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 1 จ านวนและการด าเนินการ

มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจถึงความหลากหลายของการแสดงจ านวนและการใช้

จ านวนในชีวิตจริง

สาระท่ี 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร

การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการน าเสนอ

การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยง

คณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่ม

สร้างสรรค ์

ผลการเรียนรู้

หาลิมิตของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ได้

3

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้

นักเรียนสามารถ

1. อธิบายความหมายของการเข้าใกล้ของ x เมื่อ x เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่ง

ที่ก าหนดให้ได้ถูกต้อง

2. หาลิมิตของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ได้

ด้านทักษะกระบวนการ

1. ใช้วิธีการที่หลากหลายในการแก้ปัญหา

2. ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาใน

สถานการณ์ต่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม

3. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม

ด้านคุณลักษณะ

1. มีความซื่อสัตย์สุจริต

2. ท างานเป็นระเบียบเรียบร้อย รอบคอบ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

3. ตระหนักในคุณค่าและมีเจตคติท่ีดีต่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์

4

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

สาระการเรียนรู้

ความหมายของลิมิตของฟังก์ชัน

สาระส าคัญ

ลิมิตของฟังก์ชัน y f x เป็นการพิจารณาค่าของฟังก์ชัน f x ว่าเข้าใกล้จ านวน

จริงใด ๆ ขณะที่ x เข้าใกล้ a แต่ x a

5

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง ความหมายของลิมิต

แบบทดสอบ

ก่อนเรียน

ใช้ประกอบแบบฝึกทักษะ เล่มที่ 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6

ค าชี้แจง 1. ให้นักเรียนท าเครื่องหมายกากบาท () ค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว

ลงในกระดาษค าตอบ

2. ข้อสอบมีจ านวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน

3. เวลาในการท าข้อสอบ 10 นาท ี

1. ข้อใดเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “ค่าของ f x มีค่าเข้าใกล้ -2 เมื่อ x เข้าใกล้ 5”

ก. 1.9

lim 5x

f x

ข. 2

lim 5x

f x

ค. 4.99

lim 1.9x

f x

ง. 1.9

lim 4.99x

f x

จ. 5

lim 2x

f x

2. ข้อใดต่อไปนี้ แสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 0

ก.

ข.

x x 0.5 0.5

0.1 0.9

0.01 0.99

0.001 0.999

0.0001 0.9999

x ค. x -0.5 0.5

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

-0.0001 0.0001

6

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ง.

จ.

3. ความหมายของ “ 5

lim 0x

f x

” ตรงกับข้อใด

ก. 5 0f

ข. 0 5f

ค. ค่าของ f x เข้าใกล้ 0 ขณะที่ x เข้าใกล้ 5

ง. ค่าของ f x เข้าใกล้ 5 ขณะที่ x เข้าใกล้ 0

จ. ถูกทุกข้อ

x x -0.5 0.5

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

-0.0001 0.0001

x x -0.5 -0.5

-0.9 -0.1

-0.99 -0.01

-0.999 -0.001

-0.999 -0.0001

7

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

4. ตารางที่ก าหนดให้ในข้อใด แสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 2

ก.

ข.

ค.

x x 2.5 1.5

2.9 1.9

2.99 1.99

2.999 1.999

2.9999 1.9999

x x 1.5 2.5

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.999 2.0001

x x 2.5 2.5

2.1 2.9

2.01 2.99

2.001 2.999

2.0001 2.9999

8

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ง.

5. สัญลักษณ์ท่ีใช้แทน “ค่าของ f x มีค่าเข้าใกล้ 4 เมื่อ x เข้าใกล้ 0” ตรงกับข้อใด

ก. 0

lim 3.99x

f x

ข. 4

lim 0x

f x

ค. 0

lim 4x

f x

ง. 0.1

lim 3.99x

f x

จ. 3.99

lim 0x

f x

6. ข้อใดแสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 1

ก.

ข.

x จ. x 1.5 2.5

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.9999 2.0001

x x 0.5 1.5

0.9 1.1

0.99 1.01

0.999 1.001

0.9999 1.0001

x x 1.5 1.5

1.1 1.9

1.01 1.99

1.001 1.999

1.0001 1.9999

9

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ค.

ง.

7. สัญลักษณ์ท่ีใช้แทน “ค่าของ f x มีค่าเข้าใกล้ 3 เมื่อ x เข้าใกล้ 1” ตรงกับข้อใด

ก. 0.99

lim 2.99x

f x

ข. 1

lim 2.99x

f x

ค. 1

lim 3x

f x

ง. 3

lim 0.99x

f x

จ. 3

lim 1x

f x

8. 2

lim 1x

f x

มีความหมายตรงกับข้อใด

ก. 2 1f

ข. 1 2f

ค. ค่าของ f x เข้าใกล้ 1 ขณะที่ x เข้าใกล้ -2

ง. ค่าของ f x เข้าใกล้ -2 ขณะที่ x เข้าใกล้ 1

จ. ถูกทุกข้อ

x x 1.5 0.5

1.9 0.9

1.99 0.99

1.999 0.999

1.9999 0.9999

x จ. x 0.5 1.5

0.9 1.1

0.99 1.01

0.999 1.001

0.9999 1.0001

10

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

9. ข้อใดแสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ -3

ก.

ค.

ง.

จ.

x ข. x -3.5 -2.5

-3.1 -2.9

-3.01 -2.99

-3.001 -2.999

-3.0001 -2.9999

x x -2.5 -3.5

-2.9 -3.9

-2.99 -3.99

-2.999 -3.999

-2.9999 -3.9999

x x -3.5 -3.5

-3.9 -3.1

-3.99 -3.01

-3.999 -3.001

-3.9999 -3.0001

x x -3.5 -2.5

-3.1 -2.9

-3.01 -2.99

-3.001 -2.999

-3.0001 -2.9999

11

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

10. ก าหนดให้ 3

lim 1x

f x

มีความหมายตรงกับข้อใด

ก. ค่าของ f x เข้าใกล้ 3 ขณะที่ x เข้าใกล้ -1

ข. ค่าของ f x เข้าใกล้ 3 ขณะที่ x เข้าใกล้ -1

ค. 3 1f

ง. 1 3f

จ. ถูกทุกข้อ

12

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

กระดาษค าตอบ

แบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ ตัวเลือก ก ข ค ง จ

1

2 3

4 5

6

7 8

9

10

คะแนนเต็ม 10

คะแนนที่ท าได้

เกณฑ์การประเมิน

9-10 คะแนน ระดับ 4 ดีเยี่ยม

7-8 คะแนน ระดับ 3 ดี

5-6 คะแนน ระดับ 2 พอใช้

0-4 คะแนน ระดับ 1 ปรับปรุง

13

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ใบความรู้

ลิมิตของฟังก์ชัน

ความหมายของลิมิต

ให้ f เป็นฟังก์ชันของ x ซึ่งเขียนแทนได้ด้วย f x เมื่อ fa D

แล้วค่าของ f ที่ x a เขียนแทนด้วย f a เช่น ก าหนด 1 3f x x

ที่ 1x จะได้ 1 1 3 1 2f

และ 2x จะได้ 2 1 3 2 5f

ซึ่งค่าของ f ที่ได้เรียกว่า ค่าของฟังก์ชัน

ส าหรับเรื่อง “ลิมิตของฟังก์ชัน” ในที่นี้จะกล่าวถึงลิมิตของฟังก์ชัน y f x

ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจ านวนจริง ขณะที่ x เข้าใกล้จ านวนจริง

จ านวนใด ๆ เพียงจ านวนเดียวเท่านั้น

14

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ความหมายของการที่ x เข้าใกล้จ านวนจริง a ใด ๆ

การที่ x เข้าใกล้จ านวนจริง a ใด ๆ อาจเข้าใกล้จ านวนจริง a ใด ๆ

แบบน้อยกว่า x a หรือมากกว่า x a ดังรูป

กรณีที่ x a กรณีท่ี x a

จะกล่าวว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย จะกล่าวว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา

จะพบว่า ค าว่า “ x มีค่าใกล้ ๆ a ” นั้น เกิดข้ึนได้ 2 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1 x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย ( x มีค่าน้อยกว่า a )

กรณีที่ 2 x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา ( x มีค่ามากกว่า a )

พิจารณาฟังก์ชัน 2f x x หรือ 2y x

จะพบว่า ฟังก์ชันนี้ ประกอบด้วยตัวไม่ทราบค่า 2 ตัว คือ x และ y

เรียก “ x ” ว่า “ตัวแปรอิสระ” (independent variable)

เรียก “ y ” ว่า “ตัวแปรตาม” (dependent variable)

a

15

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

จากฟังก์ชันนี้ เราจะหาค่าของ f x หรือ y จากค่า x ต่าง ๆ กัน โดยให้ x

มีค่าเข้าใกล้ 3 ดังตารางต่อไปนี้

ตารางท่ี 1 แสดงค่าของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ 3 แต่ 3x โดยที่ 3x (เข้าใกล้ 3 ทางด้านซ้าย)

ค่า x เพ่ิมข้ึนเข้าใกล้ 3

x 1 1.5 2 2.5 2.8 2.9 2.99 2.999

2y x 3 3.5 4 4.5 4.8 4.9 4.99 4.999

ค่า f x เพ่ิมขึ้นเข้าใกล้ 5

จากตารางที่ 1 พบว่า เราเริ่มต้นจาก 1x จะได้ 3f x

หลังจากนั้น เราเพ่ิมค่า x ขึ้นเรื่อย ๆ จนเข้าใกล้ 3 แต่ 3x

จะได้ f x มีค่าเพ่ิมข้ึนเรื่อย ๆ จนเกือบเข้าใกล้ 5 แต่ไม่เท่ากับ 5

ตารางท่ี 2 แสดงค่าของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ 3 แต่ 3x โดยที่ 3x (เข้าใกล้ 3 ทางด้านขวา)

ค่า x ลดลงเข้าใกล้ 3

x 5 4.5 3.5 3.2 3.1 3.01 3.001 3.00001

2y x 7 6.5 5.5 5.2 5.1 5.01 5.001 5.00001

ค่า f x ลดลงเข้าใกล้ 5

จากตารางที่ 2 พบว่า เราเริ่มต้นจาก 5x จะได้ 7f x

หลังจากนั้น เราลดค่า x ลงเรื่อย ๆ จนเข้าใกล้ 3 แต่ 3x

จะได้ f x มีค่าลดลงเรื่อย ๆ จนเกือบเข้าใกล้ 5 แต่ไม่เท่ากับ 5

16

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

จากค่าในตารางทั้งสอง เรากล่าวได้ว่า

ถ้า x มีค่าเข้าใกล้ 3 แล้ว f x มีค่าเข้าใกล้ 5

หรือ ลิมิตของ f x เท่ากับ 5 ขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ 3

เราสามารถเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังนี้

3

lim 5x

f x

แต ่ 2f x x

จึงเขียนได้ในรูป 3

lim( 2) 5x

x

ข้อควรรู้

1. “ลิมิต” หรือ “ขีดจ ากัด” เขียนแทนด้วย “ limit ”

2. “ lim ” ย่อมาจากค าว่า “ limit ”

3lim 5x

f x

อ่านว่า ลิมิตของฟังก์ชัน f x เมื่อ x เข้าใกล้ 3 เท่ากับ 5

17

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ตัวอย่างที่ 1 ก าหนดให้ 4f x x จงพิจารณาว่า f x มีค่าเป็นอย่างไร

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 3 มาก ๆ

วิธีท า สร้างตารางแสดงค่าของ f x ส าหรับ x บางค่าท่ีน้อยกว่า 3 แต่มีค่าใกล้ ๆ 3

ตารางท่ี 3

x 2.9 2.99 2.999 2.999 2.9999

4f x x 6.9 6.99 6.999 6.999 6.9999

จากตารางที่ 3 จะเห็นว่า เมื่อ x ที่น้อยกว่า 3 ยิ่งมีค่าเพ่ิมข้ึนใกล้ 3 แล้ว

4f x x มีค่าเข้า ใกล้ ๆ 7

แล้วสร้างตารางแสดงค่าของ f x ส าหรับ x บางค่าที่มากกว่า 3 แต่มีค่าใกล้ ๆ 3

เหมือนกัน

ตารางท่ี 4

x 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001

4f x x 7.1 7.01 7.001 7.0001 7.00001

จากตารางที่ 4 จะเห็นว่า เมื่อ x ที่มากกว่า 3 ยิ่งมีค่าลดลงใกล้ 3 แล้ว

4f x x มีค่าเข้า ใกล้ ๆ 7

จากตารางทั้งสองตารางข้างต้น จะพบว่า f x มีค่าเข้าใกล้ 7 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 3

มาก ๆ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 3 3

lim lim 4 7x x

f x x

ลิมิต เป็นการพูดถึง ค่าที่

เข้าใกล้ ที่มาจากทางซ้าย

และทางขวา นะครับ

18

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 2

lim 3x

x

โดยการสร้างตารางแสดงค่าของฟังก์ชัน

วิธีท า

ตารางท่ี 5 แสดงค่าของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ 2 แต่ 2x

2x 2x

x f x x f x

1.5 4.5 2.5 5.5

1.9 4.9 2.1 5.1

1.99 4.99 2.01 5.01

1.999 4.999 2.001 5.001

1.9999 4.9999 2.0001 5.0001

จากตารางจะเห็นว่า f x เข้าใกล้ 5 เมื่อ x เข้าใกล้ 2

ดังนั้น 2

lim 3 5x

x

19

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 7

lim 2 1x

x

โดยการสร้างตารางแสดงค่าของฟังก์ชัน

วิธีท า

ตารางท่ี 6 แสดงค่าของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ 7 แต่ 7x

7x 7x

x f x x f x

6.5 12 7.5 14

6.9 12.8 7.1 13.2

6.99 12.98 7.01 13.02

6.999 12.998 7.001 13.002

6.9999 12.9998 7.0001 13.0002

จากตารางจะเห็นว่า f x เข้าใกล้ 13 เมื่อ x เข้าใกล้ 7

ดังนั้น 7

lim 2 1 13x

x

20

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

แบบฝึกทักษะที่ 1

จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้ตารางแสดงค่าของฟังก์ชันที่ก าหนดให้

1. 5

lim( 1)x

x

x f x x f x

4.5 5.5

4.9 5.1

4.99 5.01

4.999 5.001

4.9999 5.0001

ดังนั้น 5

lim( 1) ..........x

x

2. 8

lim( 3)x

x

x f x x f x

7.5 8.5

7.9 8.1

7.99 8.01

7.999 8.001

7.999 8.0001

ดังนั้น 8

lim( 3) ..........x

x

21

0

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

3. 4

lim(2 )x

x

x f x x f x

3.5 4.5

3.9 4.1

3.99 4.01

3.999 4.001

3.9999 4.0001

ดังนั้น 4

lim(2 ) ..........x

x

4. 1

lim(2 1)x

x

x f x x f x

0.5 1.5

0.9 1.1

0.99 1.01

0.999 1.001

0.9999 1.0001

ดังนั้น 1

lim(2 1) ..........x

x

22

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

5. 0

lim( 4)x

x

x f x x f x

-0.5 0.5

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

-0.0001 0.0001

ดังนั้น 0

lim( 4) ..........x

x

23

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง ความหมายของลิมิต

แบบทดสอบ

หลังเรียน

ใช้ประกอบแบบฝึกทักษะ เล่มที่ 1

ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6

ค าชี้แจง 1. ให้นักเรียนท าเครื่องหมายกากบาท () ค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว

ลงในกระดาษค าตอบ

2. ข้อสอบมีจ านวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน

3. เวลาในการท าข้อสอบ 10 นาท ี

1. ตารางที่ก าหนดให้ในข้อใด แสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 2

ก.

ค.

x ข. x 1.5 2.5

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.9999 2.0001

x x 2.5 1.5

2.9 1.9

2.99 1.99

2.999 1.999

2.9999 1.9999

24

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ง.

จ.

2. ข้อใดแสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 1

ก.

ค.

x x 1.5 2.5

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.999 2.0001

x x 2.5 2.5

2.1 2.9

2.01 2.99

2.001 2.999

2.0001 2.9999

x ข. x 0.5 1.5

0.9 1.1 0.99 1.01

0.999 1.001 0.9999 1.0001

x x 0.5 1.5

0.9 1.1 0.99 1.01

0.999 1.001 0.9999 1.0001

25

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ง.

จ.

3. ข้อใดต่อไปนี้ แสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ 0

ก.

ข.

x x 1.5 1.5

1.1 1.9

1.01 1.99 1.001 1.999

1.0001 1.9999

x x 1.5 0.5 1.9 0.9

1.99 0.99 1.999 0.999

1.9999 0.9999

x x -0.5 0.5

-0.1 0.1 -0.01 0.01

-0.001 0.001

-0.0001 0.0001

x x 0.5 0.5

0.1 0.9

0.01 0.99 0.001 0.999

0.0001 0.9999

26

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ค.

ง.

4. ข้อใดแสดงความหมายของค่า x เมื่อ x เข้าใกล้ -3

ก.

ข.

x x -0.5 -0.5 -0.9 -0.1

-0.99 -0.01

-0.999 -0.001 -0.999 -0.0001

x จ. x -0.5 0.5 -0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001 -0.0001 0.0001

x x -3.5 -3.5

-3.9 -3.1 -3.99 -3.01

-3.999 -3.001

-3.9999 -3.0001

x x -3.5 -2.5 -3.1 -2.9

-3.01 -2.99 -3.001 -2.999

-3.0001 -2.9999

27

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ค.

ง.

5. สัญลักษณ์ท่ีใช้แทน “ค่าของ f x มีค่าเข้าใกล้ 4 เมื่อ x เข้าใกล้ 0” ตรงกับข้อใด

ก. 4

lim 0x

f x

ข. 0

lim 3.99x

f x

ค. 3.99

lim 0x

f x

ง. 0.1

lim 3.99x

f x

จ. 0

lim 4x

f x

6. สัญลักษณ์ท่ีใช้แทน “ค่าของ f x มีค่าเข้าใกล้ 3 เมื่อ x เข้าใกล้ 1” ตรงกับข้อใด

ก. 3

lim 1x

f x

ข. 1

lim 3x

f x

ค. 1

lim 2.99x

f x

ง. 3

lim 0.99x

f x

จ. 0.99

lim 2.99x

f x

7. ข้อใดเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “ค่าของ f x มีค่าเข้าใกล้ -2 เมื่อ x เข้าใกล้ 5”

ก. 4.99

lim 1.9x

f x

ข. 1.9

lim 4.99x

f x

ค. 1.9

lim 5x

f x

ง. 2

lim 5x

f x

จ. 5

lim 2x

f x

x x -2.5 -3.5

-2.9 -3.9 -2.99 -3.99

-2.999 -3.999

-2.9999 -3.9999

x จ. x -3.5 -2.5

-3.1 -2.9 -3.01 -2.99

-3.001 -2.999

-3.0001 -2.9999

28

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

8. ก าหนดให้ 3

lim 1x

f x

มีความหมายตรงกับข้อใด

ก. 3 1f

ข. 1 3f

ค. ค่าของ f x เข้าใกล้ 3 ขณะที่ x เข้าใกล้ -1

ง. ค่าของ f x เข้าใกล้ 3 ขณะที่ x เข้าใกล้ -1

จ. ถูกทุกข้อ

9. ความหมายของ “ 5

lim 0x

f x

” ตรงกับข้อใด

ก. ค่าของ f x เข้าใกล้ 5 ขณะที่ x เข้าใกล้ 0

ข. ค่าของ f x เข้าใกล้ 0 ขณะที่ x เข้าใกล้ 5

ค. 5 0f

ง. 0 5f

จ. ถูกทุกข้อ

10. 2

lim 1x

f x

มีความหมายตรงกับข้อใด

ก. ค่าของ f x เข้าใกล้ 1 ขณะที่ x เข้าใกล้ -2

ข. ค่าของ f x เข้าใกล้ -2 ขณะที่ x เข้าใกล้ 1

ค. 2 1f

ง. 1 2f

จ. ถูกทุกข้อ

29

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

กระดาษค าตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

ข้อ ตัวเลือก

ก ข ค ง จ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนนเต็ม 10

คะแนนที่ท าได้

เกณฑ์การประเมิน

9-10 คะแนน ระดับ 4 ดีเยี่ยม

7-8 คะแนน ระดับ 3 ดี

5-6 คะแนน ระดับ 2 พอใช้

0-4 คะแนน ระดับ 1 ปรับปรุง

30

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

บรรณานุกรม

31

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2555). แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู ้

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : เดอะบุคส์.

กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คู่มือคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง.

โกรบ มุทาพร. (2557). Compact คณิตศาสตร์ ม.6. กรุงเทพฯ : แม็คเอ็ดดูเคชั่น.

คณะกรรมการจัดท าหลักสูตรสถานศึกษา โรงเรียนเสิงสาง อ าเภอเสิงสาง. (2553). หลักสูตร

สถานศึกษาโรงเรียนเสิงสาง พุทธศักราช 2553 ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น

พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6.

นครราชสีมา : ส านักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 31.

จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2555). คู่มือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4-6 เล่ม 6.

กรุงเทพฯ : พ.ศ. พัฒนา.

จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์. (2537). แคลคูลัสเล่ม 1. พิมพ์

ครั้งที่ 6. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.

ณรงค์ ปั้นนิ่ม, จินดา อยู่เป็นสุข และเรณู สุทธิวารี. (ม.ป.ป.). คู่มือ เตรียมสอบ ฉบับปรับปรุงใหม่

ปี 2545 คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิต.

ณรงค์ ปั้นนิ่ม และคณะ. (ม.ป.ป.). คู่มือ เตรียมสอบ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณติศาสตร์ ม.

4-5-6 PAT 1. กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิต.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (2555). หนังสือเรียนเสริมคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 ภาคเรียนที่ 2. พิมพ์

ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ : แม็คเอ็ดดูเคชั่น.

ธนวัฒน์ สนทราพรพล. (ม.ป.ป.). คู่มือรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติม เล่ม 6. นนทบุรี

: ธรรมบัณฑิต.

ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์. (2556). แคลคูลัส 1 ส าหรับวิศวกร. พิมพ์ครั้งที่ 2. ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์.

ไพรัตน์ วงษ์นาม, รังสรรค์ มณีเล็ก และสุคุณ จ ารูญศิริ. (ม.ป.ป.). คู่มือหลักสูตรใหม่ คณิตศาสตร ์

ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ค 015. กรุงเทพฯ : ประสานมิตร.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2541). หนังสอืเรียนคณิตศาสตร์ ค 015

ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย. พิมพ์ครั้งที่ 7. กรุงเทพฯ : องค์การค้าของคุรุสภา.

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

___________. (2554). คูมื่อครูรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6.

กรุงเทพฯ : องค์การค้าของ สกสค..

___________. (2555). หนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้น

มัธยมศึกษาปีท่ี 4-6. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ : องค์การค้าของ สกสค..

ส านักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา. (ม.ป.ป.). ตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระ

การเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.

กรุงเทพฯ : ส านักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา.

สุชิน ท ามาหากิน. (2541). คู่มือ คณิตศาสตร์ Entrance. กรุงเทพฯ : พัฒนาศึกษา.

อเนก หิรัญ. (2539). คณิตศาสตร์ 015. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์.

33

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

ภาคผนวก

34

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ ค าตอบ

1 ข

2 ง

3 ง

4 ข

5 ค

6 ก

7 ค

8 ค

9 จ

10 ก

35

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1

จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้ตารางแสดงค่าของฟังก์ชันที่ก าหนดให้

1. 5

lim( 1)x

x

x f x x f x

4.5 5.5 5.5 6.5

4.9 5.9 5.1 6.1

4.99 5.99 5.01 6.01

4.999 5.999 5.001 6.001

4.9999 5.9999 5.0001 6.0001

ดังนั้น 5

lim( 1) .....6.....x

x

2. 8

lim( 3)x

x

x f x x f x

7.5 4.5 8.5 5.5

7.9 4.9 8.1 5.1

7.99 4.99 8.01 5.01

7.999 4.999 8.001 5.001

7.999 4.9999 8.0001 5.0001

ดังนั้น 8

lim( 3) .....5.....x

x

36

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

3. 4

lim(2 )x

x

x f x x f x

3.5 5.5 4.5 6.5

3.9 5.9 4.1 6.1

3.99 5.99 4.01 6.01

3.999 5.999 4.001 6.001

3.9999 5.999 4.0001 6.0001

ดังนั้น 4

lim(2 ) .....6.....x

x

4. 1

lim(2 1)x

x

x f x x f x

0.5 2 1.5 4

0.9 2.8 1.1 3.2

0.99 2.98 1.01 3.02

0.999 2.998 1.001 3.002

0.9999 2.9998 1.0001 3.0002

ดังนั้น 1

lim(2 1) .....3.....x

x

37

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

5. 0

lim( 4)x

x

x f x x f x

-0.5 3.5 0.5 4.5

-0.1 3.9 0.1 4.1

-0.01 3.99 0.01 4.01

-0.001 3.999 0.001 4.001

-0.0001 3.9999 0.0001 4.0001

ดังนั้น 0

lim( 4) .....4.....x

x

38

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยีน

ข้อ ค าตอบ

1 ง

2 ค

3 ก

4 ข

5 จ

6 ข

7 ง

8 ค

9 ก

10 ก

39

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน เล่มที่ 1 ความหมายของลิมิต

เกณฑ์การให้คะแนน

แบบทดสอบก่อนเรียน : มีจ านวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

แบบทดสอบหลังเรียน : มีจ านวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

แบบฝึกทักษะที่ 1 : มีจ านวน 5 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน

2 คะแนน ใส่ค าตอบลงในตารางได้ถูกต้องทุกช่องตาราง และมีการสรุป

ค าตอบของค าถามได้ถูกต้อง

1 คะแนน ใส่ค าตอบลงในตารางได้ถูกต้องทุกช่องตาราง แต่ไม่มีการสรุป

ค าตอบของค าถาม หรือมีการสรุปค าตอบของค าถามแต่สรุปไม่ถูกต้อง

0 คะแนน ใส่ค าตอบลงในตารางได้ถูกต้องบางช่องตารางหรือไม่ถูกต้อง

มีหรือไม่มีการสรุปค าตอบของค าถามได้ถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง

0 คะแนน ไม่มีค าตอบ

40