แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5...

30

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สาระท 4 พชคณต เรอง ล าดบ

หนวยการเรยนรท 1 รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ชวงชนท 4 (ม. 5) เวลา ชวโมง

1. มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 4.1 มาตรฐานการเรยนรชวงชน ค 4.1 ขอ 5 เขาใจความหมายของล าดบเลขคณต และ ล าดบเรขาคณต หาพจนตาง ๆ ของล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณตได 2. ผลการเรยนรทคาดหวง 2.1 เขาใจความหมายของล าดบและหาพจนทวไปของล าดบจ ากดทก าหนดใหได 2.2 เขาใจความหมายของล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต และหาพจนตาง ๆ ของ ล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณตได 3. สาระการเรยนร 3.1 ล าดบ 3.2 ล าดบเลขคณต 3.3 ล าดบเรขาคณต

31

ผงมโนทศน หนวยการเรยนรท 1 ล าดบ

แผนการจดการเรยนรท 1 ล าดบ

หนวยการเรยนรท 1 ล าดบ

แผนการจดการเรยนรท 3 แผนการจดการเรยนรท 2 ล าดบเรขาคณต ล าดบเลขคณต

ความหมายของ ล าดบอนนต

ความหมายของ ล าดบจ ากด

ความหมายของ ล าดบ

การหาพจนทวไปของล าดบ

การเขยนล าดบ ในรปแจงพจน

โจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต

โจทยปญหาเกยวกบล าดบเลขคณต

ความหมายของล าดบเรขาคณต

การหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต

อตราสวนรวมของล าดบเรขาคณต

การหาพจนท n ของล าดบเรขาคณต

ความหมายของล าดบเลขคณต

ผลตางรวมของล าดบเลขคณต

การหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณต

การหาพจนท n ของล าดบ เลขคณต

32

แผนการจดการเรยนรท 1 เรอง ล าดบ

33

รายวชา คณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค 42101 ระดบ ชนมธยมศกษาปท 5

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ภาคเรยนท 1

ปการศกษา 2548

จ านวน 1.0 หนวยการเรยน จ านวนชวโมง 40 ชวโมง/ภาคเรยน จ านวน 2 ชวโมง/สปดาห

ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 1 เรอง ล าดบ การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 2 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 3 – 4 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน

ความคดเหนในการตรวจสอบแผนการจดการเรยนร

………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ………………………………. (……………………………….) หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร …………./……………/………….

………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ………………………………. (……………………………….) รองผอ านวยการฝายบรหารวชาการ …………./……………/………….

………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ผเชยวชาญ (……………………………….) ต าแหนง …………………………………. …………./……………/………….

………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)

ผอ านวยการโรงเรยน …………./……………/………….

34

รายวชา คณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค 42101 ระดบชน มธยมศกษาปท 5

แผนการจดการเรยนรท 1 สปดาหท 2 ชวโมงท 3 - 4

เรอง ล าดบ จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของล าดบได 1.1.2 บอกความหมายของล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตได 1.1.3 เขยนล าดบในรปแจงพจนได 1.1.4 หาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการใหเหตผล 1.2.2 ในการสอสาร สอความหมายและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความซอสตย 2. สาระการเรยนร 2.1 ล าดบ 2.2 การเขยนล าดบในรปแจงพจน 2.3 การหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบจ ากด

35

3. กจกรรมการเรยนร ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร

3 1. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบตามแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถบอกความหมายของล าดบ ล าดบจ ากด และล าดบอนนตได เขยนล าดบในรปแจงพจน และหาพจนทวไปของล าดบได 2. นกเรยนท าเอกสารแนะแนว รหสท 1.1 เรองการหาโดเมนและเรนจของฟงกชน แลวชวยกนเฉลยและตรวจสอบความถกตอง พรอมทงสรปความหมายของโดเมนและเรนจของฟงกชน 3. นกเรยนทกคนท าเอกสารแนะแนวทาง รหสท 1.2 เรอง ความหมายของล าดบ โดยครใชการถาม-ตอบ พรอมเฉลย และนกเรยนทกคนรวมกนสรปความหมายของล าดบ ซงครคอยแนะแนวทางจนกวานกเรยนจะเขาใจและสรปได ดงน บทนยาม ล าดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ล าดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก 4. นกเรยนท าเอกสารฝกทกษะ รหสท 1.1 ดวยการท าไปพรอม ๆ กนโดยครใชการถาม-ตอบ และเฉลยค าตอบทถกตอง 5. นกเรยนทกคนท าเอกสารแนะแนวทาง รหสท 1.3 เรองความหมายของล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต โดยครใชการถาม-ตอบ พรอมเฉลยค าตอบทถกตอง หลงจากนนใหนกเรยนพจารณาลกษณะรวม สงเกตรปทวไป เพอน าไปสขอสรปความหมายของล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต โดยครคอยแนะน าจนกวานกเรยนเขาใจและสรปได ดงน บทนยาม ล าดบจ ากด คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก ล าดบอนนต คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ในกรณทไมระบสมาชกในโดเมนใหถอวาเปนล าดบอนนต

36

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 6. นกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะ รหสท 1.2 ไปพรอม ๆ กน โดยครใชการถาม-

ตอบ และเฉลยค าตอบทถกตอง 7. นกเรยนทกคนศกษาใบความร รหสท 1.1 เรอง การเขยนล าดบในรปแจงพจน แลวรวมกนสรปวธเขยนล าดบในรปแจงพจน 8. นกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะ รหสท 1.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 9. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 1.1 เปนการบาน เพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

4 1. ทบทวนความรเกยวกบล าดบ ล าดบจ ากด ล าดบอนนต และการเขยนล าดบในรปแจงพจน โดยใชการถาม-ตอบ ประกอบการอธบายโดยสรป 2. แบงนกเรยนเปนกลมละ 5 – 6 คน แบบคละความสามารถ ศกษาใบความร รหสท 1.2 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบจ ากด แลวรวมกนสรปการหาพจนทวไปของล าดบจ ากด โดยครคอยแนะแนวทางจนกวานกเรยนจะเขาใจ 3. นกเรยนแตละกลมท าแบบฝกหด รหสท 1.4 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. ครเขยนล าดบอนนต แลวใหนกเรยนชวยกนหาพจนทวไป (an) เชน 3, 5, 7, 9, . . . ซงค าตอบของนกเรยนอาจจะเปนดงน an = 2n + 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4, . . . หรอ an = 2n + 1 + (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) เมอ n = 1, 2, 3, 4, . . . หรอ an = 2n + 1 + (n – 1)2(n – 2)(n – 3)(n – 4) เมอ n = 1, 2, 3, 4, . . . หรอ an = 2n + 1 + (n – 1)(n – 2)3(n – 3)(n – 4) เมอ n = 1, 2, 3, 4, . . . ครใชการถามตอบแนะแนวทางใหนกเรยนสรปไดวา ส าหรบล าดบอนนต ถาก าหนดเพยงพจนแรก ๆ จ านวนหนง (กพจนกตาม) พจนทวไปจะมไดหลายค าตอบ ยกเวนจะทราบชนดของล าดบนน 5. นกเรยนชวยกนสรปการหาพจนทวไปของล าดบ 6. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 1.2 เปนการบาน เพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

37

4. สอการเรยนร 4.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 1.1 – 1.3 4.2 ใบความร รหสท 1.1 – 1.2 4.3 แบบฝกทกษะ รหสท 1.1 – 1.4 4.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 1.1 – 1.2 5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน 6. หลกฐานการเรยนร 6.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 1.1 – 1.3 6.2 แบบฝกทกษะ รหสท 1.1 – 1.4 6.3 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 1.1 – 1.2 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าเอกสารแนะแนวทาง 4. การท าแบบฝกทกษะ 5. การท าเอกสารฝกหดเพมเตม

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง

38

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)

คร คศ. ………. โรงเรยน …………………… วนท ……… เดอน ………………….. พ.ศ. …………….

39

สอการเรยนรประกอบ แผนการจดการเรยนรท 1

40


เอกสารแนะแนวทาง รหสเอกสารแนะแนวทางท 1.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 ชวโมงท 3 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ฟงกชน โดเมนของฟงกชน เรนจของฟงกชน

1 f1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} {3, 4, 5} {1, 2, 3}

2 f2 = {(1, x), (2, y), (3, z)} {1, 2, 3} {x, y, z}

3 f3 = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), . . . , (8, 10)}

4 f4 = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), . . . }

5 f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), . . . }

6 f6 = {(2, 3), (4, 6), (8, 12)}

7 f7 = {(5, 7), (7, 9), (9, 11), . . ., (15, 17)}

8 f8 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }

สรป โดเมนของฟงกชน คอ ……………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. เรนจของฟงกชน คอ ………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

41

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง รหสท 1.1

ขอท โดเมนของฟงกชน เรนจของฟงกชน 3 {1, 2, 3, . . . , 8} {3, 4, 5, . . . , 10} 4 {1, 2, 3, . . . } {6, 7, 8, . . . } 5 {1, 2, 3, . . . } {a, b, c, . . .} 6 {2, 4, 8} {3, 6, 12} 7 {5, 7, 9, . . . , 15} {7, 9, 11, . . . , 17} 8 {1, 2, 3, . . . } {3, 4, 5, . . .}

สรป โดเมนของฟงกชน คอ สมาชกตวหนาของคอนดบทกคอนดบในฟงกชน เรนจของฟงกชน คอ สมาชกตวหลงของคอนดบทกคอนดบในฟงกชน

42




ขอท ฟงกชน โดเมนของฟงกชน ล าดบ

เปน ไมเปน 1 f1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} {1, 2, 3, 4} - 2 f2 = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), . . . } {2, 4, 6, . . . } - 3 f3 = {(1, 5), (2, 7), (3, 12), (4, 17), (5, 22)} 4 f4 = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)} 5 f5 = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)} 6 f6 = {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)} 7 f7 = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)} 8 f8 = {(

2

1 , 1), (3

2 , 3), (4

3 , 3)}

9 f9 = {(x, y) | y = 3x + 1 , x I- } 10 f10 = {(a, b) | b = 2a + 2 , a I+}

สรป ล าดบ คอ ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

43


ขอท โดเมนของฟงกชน ล าดบ

เปน ไมเปน 3 {1, 2, 3, 4, 5} - 4 {1, 2, 3} - 5 {1, 2, 3, 4} - 6 {2, 4, 8, 16} - 7 {1, 2, 3, 4} - 8

4

3 ,

3

2 ,

2

1 -

9 { I- } - 10 { I+ } -

สรป ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก

44



ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ฟงกชน โดเมนของฟงกชน ล าดบ

จ ากด ล าดบอนนต

1 f1 = {(1, -1), (2, 5), (3, 11), (4, 17)} {1, 2, 3, 4} - 2 f2 = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), . . . } {1, 2, 3, . . . } - 3 f3 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)} 4 f4 = {(1, 1), (2,

2

1 ), (3, 3

1 9), (4, 4

1 )}

5 f5 = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), . . . , (7, 16)} 6 f6 = {(1, 3), (2, 12), (3, 27), (4, 48), . . . } 7 f7 = {(x, y) | y = 4x เมอ x = 1, 2, 3, . . ., 10} 8 f8 = {(x, y) | y = x2 + 2 เมอ x = 1, 2, 3, 4} 9 f9 = {(x, y) | y = x + 2 เมอ x I+ }

10 f10 = {(x, y) | y = x2 - 1 เมอ x I+}

สรป ล าดบจ ากด คอ ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ล าดบอนนต คอ …………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

45


ขอท โดเมนของฟงกชน ล าดบจ ากด ล าดบอนนต 3 {1, 2, 3, 4, 5} - 4 {1, 2, 3, 4} - 5 {1, 2, 3, . . . , 7} - 6 {1, 2, 3, 4, . . .} - 7 {1, 2, 3, . . . , 10} - 8 {1, 2, 3, 4} - 9 {1, 2, 3, . . . } -

10 {1, 2, 3, . . . } - สรป ล าดบจ ากด คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก ล าดบอนนต คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก

46


แบบฝกทกษะ รหสแบบฝกทกษะท 1.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 ชวโมงท 3 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 บอกความหมายของล าดบได

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาฟงกชนแตละขอตอไปนวาเปนหรอไมเปนล าดบ แลวเตมค าตอบ ลงในชองวางใหถกตองสมบรณ ขอท ฟงกชน ค าตอบ

1 f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . } 2 f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} 3 f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} 4 f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)} 5 f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)} 6 f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)} 7 f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมอ x = 1, 2, 3 } 8 f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมอ x I+ } 9 f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมอ a = 1, 2, 3, 4 }

10 f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ x = 1, 2, 3, . . . } คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ขยนเรยนคณตสกนด ชวตจะกาวไกล จรงไหม !

47



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 บอกความหมายของล าดบจ ากดหรอ ล าดบอนนตได ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาล าดบแตละขอตอไปนวาเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต แลวเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตองสมบรณ ขอท ล าดบทก าหนดให ค าตอบ

1 4, 7, 10, 13, 16, . . . 2 2, 5, 8, 11, 14 3 1, 4, 9, 16, 25, . . . 4 6, 10, 14, 18, 22, 26 5 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38 6 an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 4 7 an = 3n + 7 เมอ n I+ 8 an = 2n2 – 1 เมอ n = 1, 2, 3 9 an = n3 เมอ n I+

10 an = 2n – 10 เมอ n = 1, 2, 3, . . . คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ขยน ใฝร อดทน เปนสมบตสวนหนงของนกคณตศาสตร แลวคณละมสมบตเชนนหรอยง

48

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 1.1

1. เปนล าดบ 2. เปนล าดบ 3. ไมเปนล าดบ 4. เปนล าดบ 5. ไมเปนล าดบ

6. เปนล าดบ 7. เปนล าดบ 8. เปนล าดบ 9. เปนล าดบ 10. เปนล าดบ


1. ล าดบอนนต 2. ล าดบจ ากด 3. ล าดบอนนต 4. ล าดบจ ากด 5. ล าดบจ ากด

6. ล าดบจ ากด 7. ล าดบอนนต 8. ล าดบจ ากด 9. ล าดบอนนต 10. ล าดบอนนต

49


ใบความร รหสใบความรท 1.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 ชวโมงท 3 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร เขยนล าดบในรปแจงพจนได สาระส าคญ การเขยนล าดบในรปแจงพจน คอ การเขยนล าดบเรยงจากพจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 ไปเรอย ๆ แลวคนแตละพจนดวยเครองหมายจลภาค เชน 3, 5, 7, . . . สาระการเรยนร

การเขยนล าดบในรปแจงพจน

พจารณา f(n) = n + 3 เมอ n {1, 2, 3, 4} ถา n = 1 จะได f(1) = 1 + 3 = 4 n = 2 จะได f(2) = 2 + 3 = 5 n = 3 จะได f(3) = 3 + 3 = 6 n = 4 จะได f(4) = 4 + 3 = 7 เมอน าคาเหลานมาเขยนเรยงกนจะได f(1), f(2), f(3), f(4) ซงเปนอกรปแบบหนงของล าดบ จะเหนวา โดเมน คอ {1, 2, 3, 4} เรนจ คอ {4, 5, 6, 7} เรยกล าดบขางตนนวา ล าดบจ ากด และเรยก f(1) วาพจนท 1 ของล าดบ แทนดวย a1 f(2) วาพจนท 2 ของล าดบ แทนดวย a2 f(3) วาพจนท 3 ของล าดบ แทนดวย a3 f(4) วาพจนท 4 ของล าดบ แทนดวย a4 แต f(1) = 4 f(2) = 5 f(3) = 6

50

f(4) = 7 ดงนน 4, 5, 6, 7 จงเรยกวา ล าดบเชนเดยวกน ซงการเรยงล าดบในลกษณะนเรยกวา การเขยนล าดบในรปแจงพจน และเรยก 4 วา พจนท 1 ของล าดบ (a1) 5 วา พจนท 2 ของล าดบ (a2) 6 วา พจนท 3 ของล าดบ (a3) 7 วา พจนท 4 ของล าดบ (a4) ตวอยางท 1 ก าหนด f(n) = 2n – 1 เมอ n {1, 2, 3, 4, 5} จงเขยนล าดบในรปแจงพจน วธท า จาก f(n) = 2n – 1 f(1) = 2(1) – 1 = 1 f(2) = 2(2) – 1 = 3 f(3) = 2(3) – 1 = 5 f(4) = 2(4) – 1 = 7 f(5) = 2(5) – 1 = 9 ล าดบในรปแจงพจน คอ 1, 3, 5, 7, 9 ตวอยางท 2 ก าหนด an = 10 – 2n เมอ n {1, 2, 3, . . ., 9} จงเขยนล าดบในรปแจงพจน วธท า จาก an = 10 – 2n a1 = 10 – 2(1) = 8 a2 = 10 – 2(2) = 6 a3 = 10 – 2(3) = 4 . . . . . . . . . a9 = 10 – 2(9) = -8 ล าดบในรปแจงพจน คอ 8, 6, 4, . . . , -8

51

หมายเลข ควรเตมค าวา ………………………… หมายเลข ควรเตมค าวา ………………………… ล าดบจ ากด ล าดบ ล าดบอนนต แบบพจนทวไป แบบแจงพจน หรอพจนท n (an)

52



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 เขยนล าดบในรปแจงพจนได ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนล าดบในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอ ตอไปนใหสมบรณ

1. an = 2n – 1 a1 = 2(1) – 1 = 1 a2 = 2(2) – 1 = 3 a3 = …………………………….. a4 = …………………………….. a5 = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ …………………………………………..

3. an = 3n - 1

2n 1

a1 = …………………………….. a2 = …………………………….. a3 = …………………………….. a4 = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ ……………………………………………

2. an = 2n2 – 2 a1 = 2(12) – 2 = ……………… a2 = …………………………….. a3 = …………………………….. a4 = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ ……………………………………………

4. an = 2n2 a1 = …………………………….. a2 = …………………………….. a3 = …………………………….. . . . a10 = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ ……………………………………………

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. ชวตจะรงโรจน ถาไมโดด วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… เรยนคณต

53


1. an = 2n – 1 a1 = 2(1) – 1 = 1 a2 = 2(2) – 1 = 3 a3 = 2(3) – 1 = 5 a4 = 2(4) – 1 = 7 a5 = 2(5) – 1 = 9 เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 1, 3, 5, 7, 9

3. an = 3n - 1

2n 1

a1 = 2

3 -

3(1) - 1

2(1) 1

a2 = 1 - 3(2) - 1

2(2) 1

a3 = 8

7 -

3(3) - 1

2(3) 1

a4 = 11

9 -

3(4) - 1

2(4) 1

เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ

11

9 - ,

8

7 - , 1 - ,

2

3 -

2. an = 2n2 – 2 a1 = 2(12) – 2 = 0 a2 = 2(22) – 2 = 6 a3 = 2(32) – 2 = 16 a4 = 2(42) – 2 = 30 เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 0, 6, 16, 30

4. an = 2n2 a1 = 2(12) = 2 a2 = 2(22) = 8 a3 = 2(32) = 18 . . . . . . . . . a10 = 2(102) = 200 เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 2, 8, 18, . . . , 200

54



จดประสงคการเรยนร หาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได สาระส าคญ พจนทวไปของล าดบจ ากดหรอพจนท n เขยนแทนดวย an เชน an = 4n + 2 เมอ n = 1, 2, 3 สาระการเรยนร

การหาพจนทวไปของล าดบจ ากด พจนทวไปของล าดบจ ากดหรอพจนท n เขยนแทนดวย an เชน an = 4n + 2 เมอ n = 1, 2, 3 ซงในการหาพจนทวไปของล าดบจะตองพจารณาความสมพนธระหวาง an กบ n แลวจงสรปเปนกฎเกณฑ ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 จงหาพจนทวไปของล าดบ 3, 5, 7, 9, 11 วธท า จากล าดบจ ากด 3, 5, 7, 9, 11 จะได a1 = 3 = (2 1) + 1 a2 = 5 = (2 2) + 1 a3 = 7 = (2 3) + 1 a4 = 9 = (2 4) + 1 a5 = 11 = (2 5) + 1 พจนทวไปของล าดบนคอ 2n + 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5

55

ตวอยางท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบ 15, 18, 21, 24, 27, 30 วธท า จากล าดบจ ากด 15, 18, 21, 24, 27, 30 จะได a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12 a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12 a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12 a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12 a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12 a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12 พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 3n + 12 เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

นกเรยนทราบหรอยงวาการเขยนล าดบมอย 2 วธ คอ การเขยนล าดบ

56



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.4 หาพจนทวไปของล าดบได ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนล าดบทก าหนดใหแตละขอตอไปนใหอยในรปพจนทวไปหรอ พจนท n แลวเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตองสมบรณ ขอท ล าดบทก าหนดให พจนทวไปหรอพจนท n

1 4, 7, 10, 13, 16 2 2, 4, 8, 16, 32, 64 3 9, 13, 17, 21, . . . 4 9, 6, 0, -3, . . . 5 . . . ,

5

4 ,

4

3 ,

3

2 ,

2

1

6 2, 5, 8, 11, 14 7 5, 6, 7, 8, 9, 10 8 8, 9, 10, 11, 12, 13

คะแนนทได = ………………………… การหาพจนทวไปหรอ

ผตรวจ ………………………………….. พจนท n (an) หาโดย วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… การพจารณาความสมพนธ

ระหวาง an กบ n แลว จงสรปเปนกฎเกณฑ

นะ !

57


ขอท พจนทวไปหรอพจนท n 1 an = 3n + 1 2 an = 2n 3 an = 4n + 5 4 an = 12 – 3n 5 an =

1 n

n

6 an = 3n – 1 7 an = n + 4 8 an = n + 7

58

แผนการจดการเรยนรท 2 เรอง

ล าดบเลขคณต

59



ปการศกษา


ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 2 เรอง ล าดบเลขคณต การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 3 – 4 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 5 – 8 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


60


แผนการจดการเรยนรท 2 สปดาหท 3 – 4 ชวโมงท 5 – 8

เรอง ล าดบเลขคณต จ านวนชวโมงสอน 4 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 ระบล าดบทเปนล าดบเลขคณตได 1.1.2 หาพจนท 1 ผลตางรวมของล าดบเลขคณตได 1.1.3 หาพจนท n ของล าดบเลขคณตได 1.1.4 หาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตได 1.1.5 น าความรเรอง ล าดบเลขคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการใหเหตผล 1.2.2 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.2.3 ในการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร 2.1 ล าดบเลขคณต 2.2 การหาพจนทวไป (an) ของล าดบเลขคณต 2.3 โจทยปญหาเกยวกบล าดบเลขคณต

61


5 1. ทบทวนความรเกยวกบล าดบ การเขยนล าดบในรปแจงพจน และการหาพจน ทวไป (an) ของล าดบ โดยใชการถาม-ตอบ 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนสามารถ - ระบล าดบทเปนล าดบเลขคณตได - หาพจนท 1 และผลตางรวมของล าดบเลขคณตได - หาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตได - หาพจนท n ของล าดบเลขคณตได - น าความรเรองล าดบเลขคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได 3. นกเรยนทกคนท าเอกสารแนะแนว รหสท 2.1 ดวยการชวยเหลอชแนะและ อธบายกนในกลม แลวรวมกนเฉลยค าตอบ พรอมทงสรปความหมายของล าดบ เลขคณต โดยอาศยครชวยแนะแนวทางจนเขาใจ ดงน บทนยาม ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวย n (พจนหลงลบดวยพจนหนาทอยตดกน) มคาคงท คาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference) 4. นกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะ รหสท 2.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภม เฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. ครใหนกเรยนทกกลมศกษาใบความร รหสท 2.1 เพอเปนการเนนการตรวจสอบความเขาใจ และทบทวนความรอกครงหนง 6. นกเรยนแตละกลมเขยนตวอยางล าดบเลขคณตจ านวน 10 ตวอยาง เปนผลงานของกลมสงครนอกเวลาเรยน พรอมออกแบบตกแตงใหสวยงาม

62

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร

6 1. ทบทวนความรเกยวกบล าดบเลขคณต โดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงสม นกเรยนน าเสนอผลงาน หนาชนเรยน 2. นกเรยนดแผนโปรงใส รหสท 2.1 – 2.2 แลวรวมกนสรป 3. นกเรยนแตละกลมท าแบบฝกทกษะ รหสท 2.2 แลวเปลยนกนตรวจตาม แผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. นกเรยนแตละกลมศกษาใบความร รหสท 2.2 เพอทบทวนเสรมความเขาใจ 5. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 2.1 เปนการบานเพอเสรมทกษะและ ความแมนย าในการเรยนร

7 1. ซกถามปญหาจากการท าการบานแลวเฉลยค าตอบ 2. ทบทวนความรเกยวกบการหาพจนท n ของล าดบเลขคณต โดยใชการถาม-ตอบ ประกอบการอธบาย 3. นกเรยนแตละกลมศกษาใบความร รหสท 2.3 แลวรวมกนวเคราะห เพอหาขอสรปการหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณต โดยครคอยแนะแนวทางและแกไขปญหาตาง ๆ จนกวาจะไดขอสรปทถกตอง 4. ครยกตวอยางการหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตบนกระดานแลว รวมกนหาค าตอบ โดยครใชการถาม-ตอบ เพอตรวจสอบความเขาใจของนกเรยน 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 2.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 6. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 2.2 เปนการบาน เพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

8 1. ซกถามปญหาจากการท าการบาน และทบทวนความรเกยวกบการหาพจนท n และจ านวนพจนของล าดบเลขคณต โดยใชการถาม-ตอบ 2. นกเรยนแตละกลมศกษาใบความร รหสท 2.4 ใหละเอยดและท าความเขาใจ ถามปญหาสงสยใหถามครผสอน 3. นกเรยนแตละกลมท าแบบฝกทกษะ รหสท 2.4 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 2.3 เปนการบานเพอเสรมทกษะและ ความแมนย าในการเรยนร

63

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 5. นกเรยนแตละกลมท าสมดเลมเลกคณตศาสตร เรองล าดบเลขคณต โดยออกแบบ

และตกแตงใหสวยงาม เปนผลงานของกลมสงครนอกเวลาเรยน

4. สอการเรยนร 4.1 ใบความร รหสท 2.1 – 2.4 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 2.1 – 2.4 4.3 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 2.1 – 2.4 4.4 แผนโปรงใส 5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน 6. หลกฐานการเรยนร 6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 2.1 – 2.4 6.2 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 2.1 – 2.4 6.3 สมดเลมเลกคณตศาสตร 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าเอกสารฝกหดเพมเตม 5. การท าสมดเลมเลกคณตศาสตร

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนทกกลมท าไดถกตองสวยงาม

64

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


65


66



ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท

ล าดบ พจนท 2 ลบพจนท 1

พจนท 3 ลบพจนท 2

พจนท 4 ลบพจนท 3

ล ำดบเลขคณต

เปน ไมเปน 1 2, 4, 6, 8, 10, . . . 4 – 2 = 2 6 – 4 = 2 8 – 6 = 2 - 2 1, 9, 25, 49, . . . 9 – 1 = 8 25 – 9 = 16 49 – 25 = 24 - 3 1, 4, 9, 16, 25, . . . 4 – 1 = 3 9 – 4 = 5 16 – 9 = 7 - 4 1, 4, 7, 10, 13, . . . 4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 - 5 3, 6, 12, 24, . . . 6 2, 6, 10, 14, . . . 7 3, 4, 5, 6, . . ., n + 1, n + 2, . . . 8 4, 9, 14, 19, 5n – 6, 5n – 1, . . .

สรป ล าดบเลขคณต คอ ………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

67


ขอท พจนท 2 ลบพจนท 1 พจนท 3 ลบพจนท 2 พจนท 4 ลบพจนท 3 ล าดบเลขคณต

เปน ไมเปน 5 6 – 3 = 3 12 – 6 = 6 24 – 12 = 12 - 6 6 – 2 = 4 10 – 6 = 4 14 – 10 = 4 - 7 4 – 3 = 1 5 – 4 = 1 6 – 5 = 1 - 8 9 – 4 = 5 14 – 9 = 5 19 – 14 = 5 -

สรป ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงท คาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference)

68



จดประสงคการเรยนร - ระบล าดบทเปนล าดบเลขคณตได - หาพจนท 1 และผลตางรวมของล าดบเลขคณตได สาระส าคญ ล าดบเลขคณต เปนล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงท เสมอ ซงคาคงทนเรยกวา ผลตางรวม เขยนแทนดวย d สาระการเรยนร

ล าดบเลขคณต (Arithmetic Sequence) ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงท เสมอ ซงคาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common difference) เขยนแทนดวย d ถาก าหนดให d เปนผลตางรวม แลว d = an + 1 – an หรอ an + 1 = an + d เมอ n I+ และถาก าหนดให d เปนผลตางรวม และ a1 เปนพจนแรก แลวสามารถเขยนพจน อน ๆ ของล าดบเลขคณตในรปของ a1 และ d ไดดงน a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , . . .

69

ตวอยางท 1 ก าหนดล าดบเลขคณต คอ 5, 8, 11, . . . จงเขยนล าดบเลขคณตนใหม จ านวน 6 พจน วธท า จากล าดบเลขคณต 5, 8, 11, . . . จะได a1 = 5 และ d = 8 – 5 = 3 a4 = a1 + 3d = 5 + 3(3) = 14 a5 = a1 + 4d = 5 + 4(3) = 17 a6 = a1 + 5d = 5 + 5(3) = 20 ล าดบเลขคณตน คอ 5, 8, 11, 14, 17, 20 Ans ตวอยางท 2 ล าดบเลขคณตชดหนงมพจนท 4 เทากบ 18 และพจนท 7 เทากบ 16 จงหาผลตางรวมและพจนท 1 ของล าดบชดน วธท า วธท 1 a4 = a1 + 3d 18 = a1 + 3d …………………… และ a7 = a1 + 6d 16 = a1 + 6d …………………… - ; -2 = 3d

d = 3

2

แทนคา d ใน จะได

18 = a1 + 3(3

2 )

18 = a1 – 2 20 = a1

ผลตางรวม คอ 3

2 และพจนท 1 คอ 20

70

วธท 2 จากโจทยก าหนดพจนท 4 และพจนท 7 มาใหสามารถหาผลตางรวมไดดงน a7 – a4 = 3d 16 – 18 = 3d - 2 = 3d

d = 3

2

a1 = a4 + (-3)d

= 18 + (-3)( 3

2 )

= 18 + 2 = 20

ผลตางรวม คอ 3

2 และพจนท 1 คอ 20 Ans

71



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 ระบล าดบทเปนล าดบเลขคณตได


ขอท ล าดบ ผลตางรวม ล าดบเลขคณต

เปน ไมเปน 1 4, 8, 16, 32, . . . 2 3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . . 3 6, 16, 26, . . . , 10n – 4, . . . 4 5, 10, 20, 40, . . . , 5(2)n – 1, . . . 5 x + 3, x + 6, x + 9, . . . , x + 3n, . . . 6 2, 4, 8, . . . , 2n , . . . 7 3, 9,

3

1 , . . . , 9(3- n), . . .

8 7, 10, 13, . . . , 3n + 4, . . . 9 1, 4, 9, 16, 25

10 10, 5, 2

5 , . . . , 20(2- n), . . .

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… นกเรยนมวสยทศนกวาง ไกลเมอใสใจคณตศาสตร

72


ขอท ผลตางรวม ล าดบเลขคณต

เปน ไมเปน 1 ไมม - 2 2 -

3 10 -

4 ไมม - 5 3 -

6 ไมม - 7 ไมม - 8 3 -

9 ไมม - 10 ไมม -

73



จดประสงคการเรยนร หาพจนท n ของล าดบเลขคณตได สาระส าคญ พจนทวไปของล าดบเลขคณต คอ an = a1 + (n – 1)d เมอ an เปนพจนท n หรอพจนทตองการหาของล าดบเลขคณต a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต d เปนผลตางรวม สาระการเรยนร

การหาพจนทวไปของล าดบเลขคณต ถาก าหนดให a1 เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวม แลวสามารถเขยนพจนอน ๆ ของ ล าดบเลขคณตในรปของ a1 และ d ไดดงน a1 = a1 + 0d a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d . . . . . . an = an - 1 + d = (a1 + (n – 2)d) + d = a1 + (n – 1)d ถาก าหนดให a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต และ d เปนผลตางรวม แลว พจนทวไปของล าดบเลขคณต คอ

an = a1 + (n – 1)d เมอ an เปนพจนท n หรอพจนทตองการหาของล าดบเลขคณต a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต d เปนผลตางรวม (Common difference)

74

ตวอยางท 1 จงหาพจนท n (พจนทวไป) ของล าดบเลขคณต 3, 7, 11, 15, . . . วธท า จากโจทย จะได a1 = 3 และ d = 7 – 3 = 4 จากสตร an = a1 + (n – 1)d an = 3 + (n – 1)(4) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1 Ans ตวอยางท 2 จงหาพจนท n (พจนทวไป) ของล าดบเลขคณต 6, 13, 20, 27, . . . วธท า จากโจทย จะได a1 = 6 และ d = 13 – 6 = 7 จากสตร an = a1 + (n – 1)d an = 6 + (n – 1)(7) = 6 + 7n – 7 = 7n – 1 Ans

นกเรยนคดวามวธการหาพจนท n จากตวอยางท 1 และ 2 อกหรอไม

ถามใหแสดงวธท าสงครนะ มรางวล

75

ตวอยางท 3 ก าหนดล าดบเลขคณตมพจนท 4 เปน 21 และพจนท 51 เปน -355 จงหาล าดบน วธท า จากสตร an = a1 + (n – 1)d a4 = a1 + (4 – 1)d = a1 + 3d a51 = a1 + (51 – 1)d = a1 + 50d จาก a1 + 3d = 21 ………………… a1 + 50d = -355 ………………… - ; 47d = -376 d = -8 แทนคา d ใน a1 + 3(-8) = 21 a1 = 45 an = 45 + (n – 1)(-8) = 45 + (-8n + 8) = 53 – 8n จะได a2 = 53 – (8 2) = 53 – 16 = 37 a3 = 53 – (8 3) = 53 – 24 = 29 ล าดบนคอ 45, 37, 29, . . . , 53 – 8n, . . . Ans

76



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 หาพจนท n ของล าดบเลขคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ แลวเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ถาล าดบเลขคณต 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . จงหา 1.1 ผลตางรวม 1.2 พจนท 12 1.3 พจนท n

2 ถาล าดบเลขคณตคอ 2, -3, -8, -13, . . . จงหา 2.1 ผลตางรวม 2.2 พจนท 20 2.3 พจนท n

3 ถาล าดบเลขคณตคอ a, a + 7, a + 14, a + 21, . . . จงหา 3.1 ผลตางรวม 3.2 พจนท 26 3.3 พจนท 15 3.4 พจนท n

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. ชวตจะมคาถาศกษาคณตศาสตร วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… จรงไหม !

77

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 2.2 1) 1.1 2 1.2 24 1.3 2n 2) 2.1 -5 2.2 -93 2.3 7 – 3n 3) 3.1 7 3.2 a + 175 3.3 a + 98 3.4 7n + a – 7

78


แผนโปรงใส รหสแผนโปรงใสท 2.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 2 ชวโมงท 6 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

การหาพจนท n ของล าดบเลขคณต

ถาให a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต d เปนผลตางรวมของล าดบเลขคณต จะได a1 = a1 + 0d = a1 + (1 – 1)d a2 = a1 + d = a1 + (2 – 1)d a3 = a2 + d = a1 + 2d = a1 + (3 – 1)d a4 = a3 + d = a1 + 3d = a1 + (4 – 1)d . . . an = an - 1 + d = a1 + (n – 2)d + d = a1 + (n – 1)d สตรการหาพจนท n ของล าดบเลขคณต คอ an = a1 + (n – 1)d เมอ an เปนพจนท n a1 เปนพจนท 1 d เปนผลตางรวม

79


แผนโปรงใส รหสแผนโปรงใสท 2.2 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 2 ชวโมงท 6 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ตวอยางการใชสตร an = a1 + (n – 1)d

ตวอยางท 1 จงหาพจนท n (an) จากล าดบเลขคณตทก าหนดให ตอไปน 1.1 4, 10, 16, . . . 1.2 2, 9, 16, 23, . . . ตวอยางท 2 ก าหนดพจนท 1 (a1) และผลตางรวม (d) ให จงหาพจนท n (an) 2.1 a1 = 10 , d = 3 2.2 a1 = -6 , d = -4 2.3 a1 = 5 , d = 12

80



จดประสงคการเรยนร หาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตได สาระส าคญ การหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณต หาโดยใชสตร an = a1 + (n – 1)d เขาชวย แลวหาคา n สาระการเรยนร

การหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณต ในการหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตจะตองใชสตรการหาพจนท n เขาชวย ดงน จากสตร an = a1 + (n – 1)d = a1 + dn – d dn = an – a1 + d

n = d

d

d

a - a 1n

n = 1 d

a - a 1n

หรอ n = 1 d

พจนแรก - พจนทาย

81

ตวอยางท 1 ล าดบเลขคณตชดหนง คอ 7, 12, 17, 22, . . . , 282 จงหาวาล าดบน มกพจน วธท า วธท 1 จากโจทยจะได a1 = 7, d = 12 – 7 = 5 และ an = 282 จากสตร an = a1 + (n – 1)d แทนคา 282 = 7 + (n – 1)(5) 282 = 7 + 5n – 5 280 = 5n n = 56

วธท 2 จาก n = 1 d

a - a 1n

= 1 5

7 - 282

= 1 5

275

= 55 + 1 = 56 ล าดบชดนมจ านวน 56 พจน Ans ตวอยางท 2 ก าหนดตวเลข 10 ถง 1,000 จงหาจ านวนทหารดวย 13 ลงตว วธท า จ านวน 10 ถง 1,000 ทหารดวย 13 ลงตว ไดแก 13, 26, 39, . . . , 988 จะได a1 = 13 , d = 26 – 13 = 13 และ an = 988 จากสตร an = a1 + (n – 1)d แทนคา 988 = 13 + (n –1)(13) 988 = 13 + 13n – 13 988 = 13n

n = 13

988

= 76

82

หรอ n = 1 d

a - a 1n

= 1 13

13 - 988

= 1 13

975

= 75 + 1 = 76 ตวเลข 10 ถง 1,000 ทหารดวย 13 ลงตว ม 76 จ านวน Ans

83



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.4 หาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ก าหนดล าดบเลขคณตมพจนท 1 เปน 3 และผลตางรวมเปน -3 ถา an = - 15 จงหา n

2 ล าดบเลขคณตชดหนง คอ 5, 12, 19, 26, . . . , 670 จงหาวา ล าดบนมกพจน

3 ล าดบเลขคณต 24, 19, 14, 9, . . . , - 46 จงหาวาล าดบนม กพจน

4 จงหาวาจ านวนระหวาง 1 และ 500 มกจ านวนทหารดวย 6 ลงตว

5 ก าหนดตวเลข 10 ถง 1,000 จงหาวามกจ านวนทหารดวย 3 ลงตว

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. การเรยนคณต วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ตองหมนคดและทบทวน

84

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 2.3 1. 7 2. 96 3. 15 4. 330 5. 63

85



จดประสงคการเรยนร น าความรเรอง ล าดบเลขคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได สาระส าคญ การแกโจทยปญหาทเกยวกบล าดบเลขคณต จะใชสตร an = a1 + (n – 1)d เขาชวยเสมอ สาระการเรยนร

โจทยปญหาเกยวกบล าดบเลขคณต ตวอยางท 1 ล าดบเลขคณตล าดบหนงม 21 พจน ผลบวกของ 3 พจนกลางเทากบ 129 และผลบวกของ 3 พจนทายเทากบ 237 จงหาล าดบน วธท า จากโจทย ผลบวกของ 3 พจนกลาง เทากบ 129 จะได a10 + a11 + a12 = 129 (a1 + 9d) + (a1 + 10d) + (a1 + 11d) = 129 3a1 + 30d = 129 ……………….. และจากโจทย ผลบวก 3 พจนสดทายเทากบ 237 จะได a19 + a20 + a21 = 237 (a1 + 18d) + (a1 + 19d) + (a1 + 20d) = 237 3a1 + 57d = 237 ……………….. - ; 27d = 108 d = 4 แทนคา d ใน 3a1 + 30(4) = 129 3a1 = 9 a1 = 3

86

an = a1 + (n – 1)d = 3 + (n –1)(4) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1 a2 = 4(2) – 1 = 7 a3 = 4(3) – 1 = 11 ล าดบเลขคณตน คอ 3, 7, 11, 14, … Ans ตวอยางท 2 ผลบวกของ 5 พจนแรกในล าดบเลขคณตหนง เทากบ 30 และผลบวกของ ก าลงสองของ 5 พจนนเทากบ 220 จงหาพจนท 10 ของล าดบน วธท า ให 5 พจนแรกของล าดบเลขคณตล าดบน คอ x – 2d, x – d, x, x + d, x + 2d ผลบวก 5 พจนแรก เทากบ 30 (x – 2d) + (x – d) + x + (x + d) + (x + 2d) = 30 5x = 30 x = 6 ผลบวกของก าลงสองของ 5 พจนนเทากบ 220 (x – 2d)2 + (x – d)2 + x2 + (x + d)2 + (x + 2d)2 = 220 แทนคา x = 6 จะได (6 – 2d)2 + (6 – d)2 + 62 + (6 + d)2 + (6 + 2d)2 = 220 (36 – 24d + 4d2) + (36 – 12d + d2) + 36 + (36 + 12d + d2) + (36 + 24d + 4d2) = 220 180 + 10d2 = 220 10d2 = 40 d = 2 เมอ x = 6 , d = 2 ล าดบคอ 2, 4, 6, 8, 10, . . . an = a1 + (n – 1)d แทนคา a10 = 2 + (10 – 1)(2) = 2 + 18 = 20

87

เมอ x = 6 , d = -2 ล าดบนคอ 10, 8, 6, 4, 2, . . . a10 = a1 + 9d = 10 + 9(-2) = -8 พจนท 10 ของล าดบน คอ -8 หรอ 20 Ans ลองหา a10 จาก a10 = a3 + 7d = ………..

88



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.5 น าความรเรองล าดบเลขคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 เอา 3 จ านวนเรยงกนเปนล าดบเลขคณต ถาผลบวกของเลข 3 จ านวนนเปน 24 และผลบวกของก าลงสองของแตละพจนเปน 242 แลว จงหาผลบวกของพจนแรกและพจนสดทาย

2 เลข 4 จ านวนเรยงกนเปนล าดบเลขคณต ถาผลบวกของเลข 4 จ านวนนเปน 28 และผลบวกของก าลงสองของแตละจ านวนเปน 216 แลว จงหาเลข 4 จ านวนน

3 ผลบวกของ 3 พจนแรกของล าดบเลขคณตล าดบหนงเทากบ 111 และผลตางของก าลงสองของพจนทสามลบดวยก าลงสองของพจนแรกเทากบ 1,776 จงหาพจนท 10 ของล าดบน

4 สรชยไดรบเงนเดอนโดยเงนเดอนขนเปนรายปและเงนเดอนเรยงกนเปนล าดบเลขคณต ปแรกไดรบเงนเดอน 6,600 บาท ปท 4 ไดรบเงนเดอน 12,000 บาท จงหาวาปท 10 เขาจะไดรบเงนเดอนเทาไร

คะแนนทได = ………………………… มพนฐานคณตศาสตรด

ผตรวจ ………………………………….. สขชวตลอดกาล วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………

89

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 2.4 1. 16 2. 4, 6, 8, 10 หรอ 10, 8, 6, 4 3. 133 4. 19,200

90


ล าดบเรขาคณต

91



ปการศกษา


ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 3 เรอง ล าดบเรขาคณต การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 5 – 7 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 9 – 13 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน



………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ………………………………. (……………………………….) รองผอ านวยการฝายบรหารงานวชาการ …………./……………/………….


………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


92



เรอง ล าดบเรขาคณต จ านวนชวโมงสอน 5 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 ระบล าดบทเปนล าดบเรขาคณตได 1.1.2 หาพจนท 1 อตราสวนรวม และพจนท n ของล าดบเรขาคณตได 1.1.3 หาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตได 1.1.4 น าความรเรอง ล าดบเรขาคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการใหเหตผล 1.2.2 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร 2.1 ล าดบเรขาคณต 2.2 การหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต 2.3 โจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต

93

3. กจกรรมการเรยนร ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 9 – 10 1. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบแผนการจดการเรยนร

นแลว นกเรยนสามารถ - ระบล าดบทเปนล าดบเรขาคณตได - หาพจนท 1 อตราสวนรวมและพจนท n ของล าดบเรขาคณตได - หาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตได - น าความรเรองล าดบเรขาคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได 2. ทบทวนความรเกยวกบล าดบเลขคณต โดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงให นกเรยนชวยกนยกตวอยางล าดบเลขคณตบนกระดาน 3. นกเรยนทกคนท าเอกสารแนะแนว รหสท 3 และรวมกนเฉลยค าตอบ ตลอดจนสรปความหมายของล าดบเรขาคณต โดยมครผสอนคอยแนะน าเพมเตมจนกวาจะเขาใจ ดงน บทนยาม ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวย n (พจนหลงลบดวยพจนหนาทอยตดกน) มคาคงท คาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference) 4. นกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะ รหสท 3.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภม เฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. ครใหนกเรยนทกกลมศกษาใบความร รหสท 3.1 ใหละเอยดตามขนตอน แลวรวมกนสรปวธหาพจนท n ของล าดบเรขาคณต โดยครคอยแนะน าและอธบายเพมเตมอยางใกลชด 6. สมนกเรยนน าเสนอสตรการหาพจนท n (an) ของล าดบเรขาคณตหนาชนเรยน ไดวา พจนท n คอ an = a1r

n - 1

94


เมอ a1 แทน พจนท 1 an แทน พจนท n r แทน อตราสวนรวม 7. นกเรยนทกคนท าแบบฝกทกษะ รหสท 3.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครคอยใหค าชแนะชวยเหลอเพมเตม (ถาม) และตรวจสอบความถกตองอกครง 8. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 3 เปนการบาน เพอเปนการเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

11 1. ทบทวนความรเกยวกบความหมายและพจนท n ของล าดบเรขาคณต โดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงยกตวอยางประกอบการอธบายบนกระดาน 2. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 3.2 โดยรวมกนสรปขนตอนการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต วาจะตองทราบคาอะไรกอนบาง โดยมครเดนดและคอยตอบขอสงสยของนกเรยนอยางใกลชด 3. สมนกเรยนน าเสนอขอสรปการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตหนาชนเรยน 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 3.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย โดยครอธบายเพมเตม ถามนกเรยนสงสย และตรวจสอบความถกตอง 5. นกเรยนแบงกลม ๆ ละ 5 – 6 คน สรางบตรค าถามเกยวกบการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต กลมละ 5 ค าถาม เปนผลงานกลมสงครนอกเวลาเรยน โดยก าหนดรปแบบ และขนาดของบตรขนเองโดยเสร พรอมทงตกแตงใหสวยงาม ดงตวอยาง บตรค าถาม

ล าดบเรขาคณต 3, 12, 48, . . . , 3072 มกพจน

12 – 13 1. ซกถามปญหาจากการท าบตรค าถามเกยวกบการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต และทบทวนความรเกยวกบล าดบเรขาคณต โดยใชการถาม-ตอบ 2. นกเรยนแตละกลมศกษาใบความร รหสท 3.3 แลวรวมกนอภปรายกลมยอยเกยวกบการแกปญหาโจทย วาจะตองใชความรเรองอะไรบาง ถามขอสงสยใหสอบถามครผสอน

95

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 3. นกเรยนแตละกลมท าแบบฝกทกษะ รหสท 3.4 แลวเปลยนกนตรวจตาม

แผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. นกเรยนแตละกลมท า Mind Map เรอง ล าดบ เปนผลงานของกลมสงครนอกเวลาเรยน 5. นกเรยนทกคนท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธ เรอง ล าดบ เพอเปนการประเมนความกาวหนาของนกเรยน หลงจากเรยนจบแผนการจดการเรยนรท 1 – 3

4. สอการเรยนร 4.1 ใบความร รหสท 3.1 – 3.3 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 3.1 – 3.4 4.3 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 3 4.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 3 5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน 6. หลกฐานการเรยนร 6.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 3 6.2 แบบฝกทกษะ รหสท 3.1 – 3.4 6.3 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 3 6.4 บตรค าถามเกยวกบการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต 6.5 Mind Map เรอง ล าดบ

96

7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าเอกสารฝกหดเพมเตม 5. การท าเอกสารแนะแนวทาง 6. การท าบตรค าถาม 7. การท า Mind Map

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 6. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง และสวยงาม 7. นกเรยนสวนใหญมความรบผดชอบและ ท าไดถกตองสวยงาม

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

97

8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


98


99


เอกสารแนะแนวทาง รหสเอกสารแนะแนวทางท 3 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 3 ชวโมงท 9-10 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท

ล าดบ 1 พจนท2 พจนท

2 พจนท3 พจนท


ลบหนง n พจนท nพจนท

อตราสวนรวม

1 5, 10. 20, 40, . . . , 5(2)n – 2, 5(2)n – 1, . . .

2 5

10

2 10

20

2 20

40

2

)2(5

)2(5

2 - n

1 - n

2

2 2, 12, 72, 432, . . ., 2(6)n – 2, 2(6)n – 1, . . .

3 1, 3, 9, 27, . . . , 3n – 2, 3n – 1, . . . 4 8, 16, 32, 64, . . . , 8(2)n – 2,

8(2)n – 1, . . .

5 7, -7, 7, -7, . . . , (-1)n(7), (-1)n + 1(7), . . .

6 5, 0.5, 0.05, 0.005, . . . ,

52 - n

10

1

, 51 - n

10

1

, . . .

สรป ล าดบเรขาคณต คอ ……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

100

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง รหสท 3 ขอท




1 - n พจนท nพจนท อตราสวนรวม

2 6 2

12 6

12

72 6

72

432 6

)6(2

)6(2

2 - n

1 - n

6

3 3 1

3 3

3

9 3

9

27 3

3

3

2 - n

1 - n

3

4 2 8

16 2

16

32 2

32

64 2

)2(8

)2(8

2 - n

1 - n

2

5 1- 7

7

1- 7

7

1-

7

7

1- )7()1(

)7()1(

n

1 n

-1

6 0.1 5

5.0 0.1

5.0

05.0 0.1

05.0

005.0

0.1

10

15

10

15

2 - n

1 - n

0.1

สรป ล าดบเรขาคณต คอ ล าดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n หรอพจนหลงตอพจนหนาทอยตดกนมคาคงท คาคงทนเรยกวา อตราสวนรวม (Common Ratio)

101


แบบฝกทกษะ รหสแบบฝกทกษะท 3.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 3 ชวโมงท 9-10 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 ระบทเปนล าดบเรขาคณตได


ขอท ล าดบ อตราสวนรวม ล าดบเรขาคณต

เปน ไมเปน 1 4, 8, 16, 32, . . . 2 - 2 3. 6, 9, 12, . . . , 3n - - 3 3, 18, 108, . . . , 3(6)n – 1, . . . 4 5, 12, 19, . . . , 7n – 2 , . . . 5 1, 4, 16, 64, . . . 4n – 1, . . . 6 6, 12, 24, 48, . . . , 6(2)n – 2, 6(2)n – 1, . . . 7 7, 14, 28, 56, . . . 7(2)n – 1 8 3, 9, 27, 81, . . . , 3n, . . . 9 5, 15, 45, 135, . . . , 5(3)n – 2, 5(3)n – 1, . . .

10 6, 10, 14, 18, . . . , 4n + 2 คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… อฐชวยสรางบาน คณตศาสตรชวยสรางงาน

102


ขอท อตราสวนรวม ล าดบเรขาคณต

เปน ไมเปน 3 6 -

4 - - 5 4 -

6 2

7 2 -

8 - - 9 3 -

10 - -

103


ใบความร รหสใบความรท 3.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 3 ชวโมงท 9-10 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร หาพจนท 1 อตราสวนรวม และพจนท n ของล าดบเรขาคณตได สาระส าคญ พจนท n หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต คอ an = a1r

n - 1 สาระการเรยนร

การหาพจนท n หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต จากล าดบเรขาคณต 2, 10, 50, 250, . . . พจารณาความสมพนธของพจนตาง ๆ กบ พจนท 1 และอตราสวนรวม (r) ดงน a1 = 2 a2 = 10 = 2(5)1 = 2(5)2 – 1 a3 = 50 = 2(5)2 = 2(5)3 – 1 a4 = 250 = 2(5)3 = 2(5)4 – 1 . . . ab = 2(5)n – 1 ถาให r = 5 , a1 = 2 จะได an = a1 (r)

n – 1 สตรการหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต คอ an = a1 r

n – 1 เมอ an เปนพจนท n r เปนอตราสวนรวม a1 เปนพจนท 1

104

ตวอยางท 1 ก าหนดล าดบเรขาคณต คอ 4, 16, 64, 256, . . . จงหาพจนท n (an) วธท า จากล าดบเรขาคณต 4, 16, 64, 256, . . .

จะได a1 = 4 , r = 4

16 = 4

จากสตร an = a1 rn - 1

= 4(4)n - 1 = 4n Ans

ตวอยางท 2 ก าหนดล าดบเรขาคณต a1 = 9

1 และ a6 = 27 จงหาอตราสวนรวม

วธท า จากสตร an = a1 rn - 1

a6 = a1 r6 – 1

a6 = a1r5

แทนคา 27 = 9

1 (r)5

27 9 = r5 33 33 = r5 35 = r5 r = 3 อตราสวนรวมเทากบ 3 Ans

105

ตวอยางท 3 ก าหนดล าดบเรขาคณตมอตราสวนรวมเทากบ 3

1 และ a10 =

93

2

จงหาพจนท 1 (a1) วธท า จากสตร an = a1r

n – 1 a10 = a1r

10 – 1 a10 = a1r

9

แทนคา 93

2 = a1 9

3

1

93

2 = a1

93

1-

a1 = 2 พจนท 1 (a1) เทากบ 2 Ans

106



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 หาพจนท 1 อตราสวนรวมและพจนท n ของล าดบเรขาคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ แลวเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ก าหนด a1 = 6 และ r = 6 จงหาล าดบเรขาคณตน 2 ก าหนด a1 = 1 และ r = 7 จงหาล าดบเรขาคณตน 3 ก าหนด a1 = 2 และ r = 3 จงหาล าดบเรขาคณตน 4 ก าหนด a1 = 3 และ r = -2 จงหา a5 ของล าดบเรขาคณต 5 ก าหนด a1 = 2 และ r =

2

1 จงหา a10 ของล าดบเรขาคณต

6 ก าหนด a1 = -3 และ r = 4

1 จงหา a5 ของล าดบเรขาคณต

7 ก าหนดล าดบเรขาคณต ม a1 = 1 และ a5 = 81 จงหาอตราสวนรวม 8 ก าหนดล าดบเรขาคณต ม a1 = 10 และ a7 = 640 จงหาอตราสวนรวม 9 ก าหนดล าดบเรขาคณต ม r = 5 และ a5 = 2,500 จงหา a1

10 ก าหนดล าดบเรขาคณต ม r = -1 และ a8 = -2 จงหา a1 คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. คณตศาสตรเปนพนฐานทกวชา วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… คนพงพาเตมแผนดน

107

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 3.2 1) 6, 36, 216, . . . 2) 1, 7, 49, . . . 3) 2, 6, 18, . . . 4) 48

5) 512

1

6) 256

3

7) 4 8) 2 9) 4 10) 2

108


เอกสารฝกหดเพมเตม รหสเอกสารฝกหดเพมเตมท 3 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 3 ชวโมงท 9-10 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าโดยละเอยดในแตละขอตอไปน

1. ก าหนดล าดบเรขาคณต ม a1 = 2

1 และ a7 = 128

1 จงหาอตราสวนรวม

2. ล าดบเรขาคณตชดหนงมพจนท 7 เทากบ 1458

1 และพจนท 3 เทากบ 18

1 จงหา

อตราสวนรวม


27 และอตราสวนรวมเทากบ 4

3

จงหาพจนท 1

4. ล าดบเรขาคณตชดหนงมพจนท 2 เทากบ 2 และพจนท 5 เทากบ 27

16

จงหาอตราสวนรวมและพจนท 1 ของล าดบเรขาคณตน


2 และอตราสวนรวมเทากบ 3

1

จงหาพจนท 7 ของล าดบเรขาคณตชดน

6. ก าหนดล าดบเรขาคณต ม a3 = 9

4 และ a6 = 243

32 จงหา a8

109



จดประสงคการเรยนร หาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตได สาระส าคญ การหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต จะตองทราบ a1 , r และ an กอน สาระการเรยนร

การหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต ในการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต ใชสตร an = a1 r

n – 1 ซงเราจะตองทราบ พจนท 1 (a1) , อตราสวนรวม (r) และพจนท n (an) กอนเสมอ ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 จงหาวาล าดบเรขาคณต 3, 6, 12, . . ., 6144 มกพจน วธท า จากล าดบเรขาคณต 3, 6, 12, . . ., 6144 จะได

a1 = 3 , r = 3

6 = 2 และ an = 6,144

จากสตร an = a1 rn – 1

แทนคา 6,144 = 3(2)n – 1 2048 = 2n - 1 211 = 2n - 1 n – 1 = 11 n = 12 ดงนน ล าดบเลขคณต 3, 6, 12, . . ., 6144 ม 12 พจน Ans

110

ตวอยางท 2 243

224 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต . . . , 9

28 ,

3

14 7,

วธท า จากโจทย จะได a1 = 7 , r = 3

2 และ an = 243

224

จากสตร an = a1 rn – 1

แทนคา 243

224 = 1 - n

3

2 7

7 243

224

=

1 - n

3

2

243

32 = 1 - n

3

2

5

3

2

= 1 - n

3

2

n – 1 = 5 n = 6

243

224 เปนพจนท 6 Ans

111



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 หาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 จงหาวาล าดบเรขาคณต 10, -5, 64

5 - , . . . ,

4

5 - ,

2

5 มกพจน

2 จงหาวาล าดบเรขาคณต 1, 4, 16, 64, . . ., 4096 มกพจน 3 จงหาวาล าดบเรขาคณต

512

9 , . . . ,

8

9 ,

4

9 ,

2

9 , 9 มกพจน

4 15,552 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 3

1 , 2, 12, 72, . . .

5 256

3 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 6, -3, . . . ,

4

3 - ,

2

3

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. คณตศาสตรสงเสรมการคด วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… โปรดอยางคดหนเรยน

112

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 3.3 1) 8 2) 7 3) 10 4) 7 5) 10

113


ใบความร รหสใบความรท 3.3 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 3 ชวโมงท 12 - 13 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร น าความรเรอง ล าดบเรขาคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได สาระส าคญ ในการแกโจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต จะตองมความรเกยวกบความหมายของ ล าดบเรขาคณต สตรการหาพจนท n และการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต สาระการเรยนร

โจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต ในการแกโจทยปญหาล าดบเรขาคณต จะใชสตร an = a1 r

n – 1 เขารวมเสมอ ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 ถาผลบวกของล าดบเรขาคณต 3 จ านวนเทากบ 38 และผลคณมคาเทากบ 1728 แลว จงหาล าดบเรขาคณตดงกลาว

วธท า สมมตใหสามจ านวนของล าดบเรขาคณต คอ r a a, , r

a

ผลคณของ 3 จ านวนของล าดบเรขาคณตมคาเทากบ 1728

ar a r

a = 1728

3a = 1728 3a = 312 a = 12 แตผลบวกของล าดบเรขาคณต 3 จ านวน เทากบ 38

ar a r

a = 38

แทนคา a = 12

12r 12 r

12 = 38

212r 12r 12 = 38 r

114

212r 26r - 12 = 0 6 13r - 6r 2 = 0 3) -2)(2r -(3r = 0

r = 2

3 ,

3

2

ดงนน ล าดบเรขาคณตทเปนไปไดม 2 กรณ คอ

ถา r = 3

2 ล าดบเรขาคณต คอ 18, 12, 8

ถา r = 2

3 ล าดบเรขาคณต คอ 8, 12, 18

ล าดบเรขาคณตชดน คอ 18, 12, 8 หรอ 8, 12, 18 Ans ตวอยางท 2 มงคลสงจดหมาย 4 ฉบบ ถงเพอน 4 คน เมอทกคนไดรบแลวหลงจากนน 1 สปดาห จะตองสงจดหมายคนละ 2 ฉบบไปยงเพอนอก 2 คน ท าเชนน เรอยไป ในสปดาหท 6 จะมการสงจดหมายกฉบบ วธท า เรมแรก สงจดหมาย 4 ฉบบ สปดาหท 2 มการสงจดหมาย 8 ฉบบ สปดาหท 3 มการสงจดหมาย 16 ฉบบ จาก an = a1 r

n – 1 จะได a1 = 4 , r = 2 a6 = a1 r

5 = 4(2)5 = 4 32 = 128 ในสปดาหท 6 จะมการสงจดหมาย 128 ฉบบ Ans

115


แบบฝกทกษะ รหสแบบฝกทกษะท 3.4 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 3 ชวโมงท 12 – 13 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.4 น าความรเรองล าดบเรขาคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 จ านวน 3 จ านวนเรยงกนเปนล าดบเรขาคณต มผลบวกเปน 52 และผลคณเปน 1728 จงหาจ านวน 3 จ านวนนน

2 ผลบวกของพจนสามพจนทเรยงกนเปนล าดบเรขาคณตเทากบ 26 และผลคณเทากบ 216 จงหาพจน 3 พจนน

3 ปจจบนเงนเดอนของวฒชยเทากบ 4,000 บาท และเขาไดรบเงนเดอนเพมขนปละ 10% ของเงนเดอนทผานมาในแตละป จงหาวาอก 11 ปขางหนาเงนเดอนของเขาเปนเทาใด

4 ในป พ.ศ. 2530 ประชากรในต าบลหนงม 10,000 คน ถาประชากรของต าบลน เพมขนปละ 5% จงหาจ านวนประชากรในป พ.ศ. 2546

คะแนนทได = ………………………… ขยนเรยนคณต

ผตรวจ ………………………………….. ชวตจะรงเรอง คนทงเมอง วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… สรรเสรญ ชาตเจรญกาวไกล

116

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 3.4 1) 36, 12, 4 หรอ 4, 12, 36 2) 18, 6, 2 หรอ 2, 6, 18 3) 10,375 4) 21,829

117


แบบทดสอบ วดผลสมฤทธ

เรอง ล าดบ ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 1–3 ชวโมงท 13 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอ 1) จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = n2 – 3 เมอ n I+ 2) จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 19, 44, 79 เมอ n = 1, 2, 3, 4 3) ถาล าดบเลขคณต คอ 3, 10, 17, . . . จงหาพจนท 18 4) ถาล าดบเลขคณต มพจนท 1 เปน 4 และพจนท 10 เปน 31 จงหาพจนท 50 ของ ล าดบ

5) ถาล าดบเรขาคณต มพจนท 1 เปน 2 และพจนท 2 เปน 3

2 จงหาพจนท 6 ของ

ล าดบน

6) 1024

1 เปนพจนทเทาไรของล าดบเรขาคณต . . . , 128

1 ,

32

1 ,

8

1

118

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สาระท 4 พชคณต เรอง สญลกษณแทนการบวก


1. มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 4.1 มาตรฐานการเรยนรชวงชน ค 4.1 ขอ 5 เขาใจความหมายของผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต และอนกรมเรขาคณต หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตโดยใชสตรและน าไปใชได 2. ผลการเรยนรทคาดหวง 2.1 เขาใจความหมายของล าดบและหาพจนทวไปของล าดบจ ากดทก าหนดใหได 2.2 เขาใจความหมายของล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต และหาพจนตาง ๆ ของ ล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณตได 2.3 เขาใจความหมายของผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต โดยใชสตรและ น าไปใชได 3. สาระการเรยนร 3.1 สญลกษณแทนการบวก 3.2 สมบตของ ทควรทราบ 3.3 i , i2 และ i3

119

ผงมโนทศนหนวยการเรยนรท 2 สญลกษณแทนการบวก

หนวยการเรยนรท 2 สญลกษณแทนการบวก

แผนการจดการเรยนรท 4 สญลกษณแทนการบวก

ความหมายของสญลกษณแทนการบวก

สมบตของ ทควรทราบ

1. nc c

n

1 i

เมอ c เปนคาคงตว

2.

n

1 i

ii

n

1 i

a c a c เมอ c เปนคาคงตว

3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

การหาสตรของ i , i2 และ i3

1. i = 1) (n 2

n

2. i2 = 1) 1)(2n (n 6

n

3. i3 = 2

1) (n 2

n

120


สญลกษณแทนการบวก

121


กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ภาคเรยนท 1 ปการศกษา


ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 4 เรอง สญลกษณแทนการบวก การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 7 – 9 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 14 – 17 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน




………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ผเชยวชาญ (……………………………….) ต าแหนง ………………………………….

………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)

ผอ านวยการโรงเรยน

122

…………./……………/…………. …………./……………/………….



เรอง สญลกษณแทนการบวก จ านวนชวโมงสอน 4 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของสญลกษณแทนการบวก () ได 1.1.2 บอกสมบตของ ทควรทราบได 1.1.3 ใชสมบตของ ทควรทราบของผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได 1.1.4 ใช i , i2 และ i3 หาผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการใหเหตผล 1.2.2 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความรอบคอบ 1.3.4 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร 2.1 สญลกษณแทนการบวก 2.2 สมบตของ ทควรทราบ

2.3 สตร

n 2n

1 i1 ii i , และ

n 31 i

i

123


14 1. แจงผลการทดสอบวดผลสมฤทธ เรอง ล าดบ พรอมทงแจกกระดาษค าตอบคนใหกบนกเรยน เพอใหนกเรยนน าขอบกพรองจากการทดสอบไปแกไขปรบปรง พฒนาตนเองใหดยงขน 2. นกเรยนทกคนศกษาใบความร รหสท 4.1 โดยรวมกนคดวเคราะห และซกถามจนเขาใจเปนอยางด โดยครคอยชวยเหลอแนะน าเพมเตม 3. ใหนกเรยนแขงขนการใชสญลกษณแทนการบวก () จากโจทย จ านวน 5 ขอ โดยใหเวลา 3 นาท คนทท าเสรจกอนและถกตองจะเปนผชนะ จะไดรบรางวลจากครผสอน 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 4.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลยและบนทกคะแนนทไดไวโดยครตรวจสอบอกครง (ถาท าไมเสรจใหน าไปท าเปนการบาน)

15 1. ครชมเชยนกเรยนทท าโจทยแขงขนไดชนะเลศ และนกเรยนคนอนทตงใจเรยนและรวมกจกรรมดวยความเอาใจใสอยางดยง 2. ครเขยนโจทยเกยวกบสญลกษณแทนการบวกบนกระดาน แลวใหนกเรยนชวยกนตอบ เชน

3

1 i

5 หมายถง ……………………………….

6

1 i

ib หมายถง ……………………………….

12

3 i

i x หมายถง ……………………………….

3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 4.2 โดยครอธบายการใหเหตผลประกอบการพสจน สมบตของ พรอมทงยกตวอยางการน าสมบตของ ไปใช 4. ครเขยนโจทยเกยวกบสมบตของ บนกระดาน แลวใหนกเรยนชวยกนหา ค าตอบ เพอตรวจสอบความเขาใจของนกเรยน 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 4.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 6. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 4 เปนการบานเพอเสรมทกษะและ

124

ความแมนย าในการเรยนร

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 16 – 17 1. ซกถามปญหาจากการท าการบาน พรอมทงเฉลยค าตอบ และอธบายเพมเตมขอ

ทนกเรยนสวนใหญท าผด (ถาม) 2. ทบทวนความรเกยวกบสมบตของ ทควรทราบโดยใชการถาม-ตอบ จากโจทย ดงน

1.

6

1 i

7 = …………………………………………………….

2.

6

1 i

1) - (2i = ……………………………………………….

3.

6

1 i

2 1) 2i - (i = ………………………………………….

3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 4.3 โดยศกษาการพสจนสตร และตวอยางประกอบการน าสตร i , i2 และ i3 ไปใช ถาไมเขาใจใหสอบถามครผสอนจนกวาจะเขาใจ 4. สมนกเรยนน าเสนอ สตร i , i2 และ i3 หนาชนเรยน 5. นกเรยนจบคกนเพอแขงขนเกมคณตศาสตรจากโจทยเกยวกบการใชสตร i , i2 และ i3 จ านวน 3 ขอ ใชเวลา 5 นาท คทไดคะแนนสงสดเปนผชนะ จะไดรบรางวลจากครผสอน 6. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 4.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง (ถาท าไมเสรจใหน าไปท าเปนการบาน) 7. ท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธ เรอง สญลกษณแทนการบวก หลงจากเรยนจบแผนการสอนท 4 เพอตรวจสอบความกาวหนาของนกเรยน 8. นกเรยนแตละกลม (กลมเดม) น าแผนภมสมบตของ ทควรทราบ และ i , i2 และ i3 เปนผลงานของกลม และน ามาตกแตงหองเรยน

4. สอการเรยนร 4.1 ใบความร รหสท 4.1 – 4.3 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 4.1 – 4.3

125

4.3 โจทยแขงขนเกมคณตศาสตร 4.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 4 5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน 6. หลกฐานการเรยนร 6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 4.1 – 4.3 6.2 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 4 6.3 ผลการแขงขน 6.4 แผนภมสมบตของ ทควรทราบ และ i , i2 , i3


การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าโจทยแขงขนเกมคณตศาสตร 5. การจดท าแผนภม

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนแตละกลมมความรบผดชอบ และท าไดถกตองสวยงาม

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

126

………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


127


128



จดประสงคการเรยนร

บอกความหมายของสญลกษณแทนการบวก () ได สาระส าคญ

สญลกษณแทนการบวก เปนอกษรกรก (อานวา ซกมา) โดยท

a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n

1 i

ia และ a1 + a2 + a3 + . . . =

1 i

ia

สาระการเรยนร

สญลกษณแทนการบวก (Sigma notation)

สญลกษณแทนการบวกจะใชอกษรกรก (อานวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวก โดยท

a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n

1 i

ia

และ a1 + a2 + a3 + . . . =

1 i

ia

ซง

n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i = 1 ถง i = n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป

เชน

6

1 i

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

1 i

2i = 12 + 22 + 32 + . . .

129

ตวอยางท 1 จงเขยน 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 โดยใชสญลกษณการบวก วธท า 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 = 2(x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7)

=

7

2 i

i2x

ตวอยางท 2 จงเขยน 2 + 4 + 6 + . . . + 100 โดยใชเครองหมาย วธท า 2 + 4 + 6 + . . . + 100 = 2(1) + 2(2) + 2(3) + . . . + 2(50)

=

50

1 i

2i

ตวอยางท 3 จงเขยน 3 + 6 + 9 + . . . + 180 โดยใชสญลกษณการบวก วธท า 3 + 6 + 9 + . . . + 180 = 3(1) + 3(2) + 3(3) + . . . + 3(60)

=

60

1 i

3i

130



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 บอกความหมายของสญลกษณแทนการบวกได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 จงเขยน

8

1 i

i ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

2 จงเขยน

6

1 i

i

3

1 ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

3 จงเขยนแตละขอตอไปนโดยใชสญลกษณการบวก 3.1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 3.2 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . + 100 3.3 10 + 13 + 16 + 19 + . . . + 160 3.4 12 + 32 + 52 + 72 + . . . + 192

3.1 ……………… 3.2 ……………… 3.3 ……………… 3.4 ………………

4 จงหาคาของ

5

1 i

2) (3i


10

1 i

6) - (2i

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… เพอชยชนะในวนหนา หมนศกษาคณตศาสตร

131

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 41 1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

2) 65432 3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3) 3.1

7

1 i

2i

3.2

10

1 i

2i

3.3

50

0 i

3i) (10

3.4

10

1 i

21) - (2i

4) 57 5) 50

132


โจทยแขงขนคณตศาสตร

เรอง ความหมายของสญลกษณการบวก ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 4 ชวโมงท 14 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนหาค าตอบจากโจทยตอไปน โดยใชเวลา 3 นาท 1) จงเขยน 3a1 + 3a2 + 3a3 + 3a4 + 3a5 + 3a6 โดยใชเครองหมาย 2) จงเขยน k1 + k2 + k3 + . . . + kn + . . . โดยใชเครองหมาย

3) จงเขยน

6

1 i

i)(a 5i ในรปการกระจาย

4) จงหาคาของ

7

1 i

4i

5) จงหาคาของ

4

1 n

3) (n

133




ใชสมบตของ ทควรทราบ หาผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได สาระส าคญ

สมบตของ ทควรทราบ มดงน

1. nc c

n

1 i


2.

n

1 i

ii

n

1 i


3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a


สมบตของ ทควรทราบ

สมบตของ ทควรทราบ มดงน

1. nc c

n

1 i


พสจน

n

1 i

c = c + c + c + . . . + c (n พจน)

= nc

n

1 i

c = nc

134

2.

n

1 i

ii

n

1 i


พสจน i

n

1 i

a c

= ca1 + ca2 + ca3 + . . . + can

= c(a1 + a2 + a3 + . . . + an)

n

1 i

ii

n

1 i

a c a c

3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

พสจน

n

1 i

ii )b (a = )b (a . . . )b (a )b (a )b (a nn332211

= )b . . . b b (b )a . . . a a (a n321n321

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

ตวอยางท 1 จงหาคาของ

1.1

5

1 i

6

1.2

4

1 i

23i

วธท า 1.1

5

1 i

6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6

= 6 5 = 30

1.2

4

1 i

23i =

4

1 i

2i 3

135

= 3(12 + 22 + 32 + 42) = 3(30) = 90


5

1 i

2 7) 3i - (2i

วธท า

5

1 i

2 7) 3i - (2i =

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 3i - 2i

=

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 i 3 - i 2

= 2(12 + 22 + 32 + 42 + 52) – 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (5 7) = 2(55) – 3(15) + 35 = 110 – 45 + 35 = 100

ตวอยางท 3 ถา f(n) = 4n + 7 จงหาคาของ

3

1 i

3 )f(i

วธท า จาก f(n) = 4n + 7 f(i3) = 4i3 + 7

3

1 i

3 )f(i =

3

1 i

3 )7 (4i

=

3

1 i

3

1 i

3 7 4i

=

3

1 i

34i 4 + (3 7)

= 4(13 + 23 + 33) + 21 = 4(36) + 21 = 144 + 21 = 165

136



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 ใชสมบตของ ทควรทราบ หาผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ


8

1 k

5


4

1 n

25n


6

1 i

2 6) 3i (5i


3

1 i

4) - (6i


10

1 i

2) - (5i


4

1 k

3) 5(k

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… สมบตของ มประโยชน สามารถน าไปใชในเรอง ของอนกรม

137

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 4.2 1) 40 2) 150 3) 554 4) 24 5) 255 6) 110

138


เอกสารฝกหดเพมเตม รหสเอกสารฝกหดเพมเตมท 4 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 4 ชวโมงท 15 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าโดยละเอยด

1. จงเขยน

6

1 i1 3i

1 - 3i ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

2. จงเขยน 7

5

6

4

5

3

4

2

3

1 0 โดยใชเครองหมาย

3. จงหาคาของ

10

1 i

3) - (4i


5

1 k

2 6) 2k - (3k


10

0 m

m) - (7

139


ใบความร รหสใบความรท 4.3 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 4 ชวโมงท 16-17 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง


ใช i , i2 และ i3 หาผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได สาระส าคญ

i หมายถง 2

1) n(n i

n

1 i

i2 หมายถง 6

1) 1)(2n n(n i

n

1 i

2

i3 หมายถง 2

1) n(n i i

22

n

1 i

3


การหาสตรของ i , i2 และ i3

1. 2

1) n(n i

n

1 i

พสจน

n

1 i

i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n – 2) + (n – 1) + n …………

n

1 i

i = n + (n – 1) + (n – 2) + . . . + 3 + 2 + 1 …………

+ 2

n

1 i

i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) (n วงเลบ)

= n (n + 1)

2

1) n(n i

n

1 i

140


10

1 i

4i

วธท า

10

1 i

4i =

10

1 i

i 4

=

2

1) 10(10 4

= 4(55) = 220

2. 6

1) 1)(2n n(n i

n

1 i

2

พสจน ให S =

n

1 i

2i

= 12 + 22 + 32 + . . . + n2 เนองจาก x3 – (x – 1)3 = 3x2 – 3x + 1 ถา x = 1 จะได 13 – 03 = 3(1)2 – 3(1) + 1 ถา x = 2 จะได 23 – 13 = 3(2)2 – 3(2) + 1 ถา x = 3 จะได 33 – 23 = 3(3)2 – 3(3) + 1 . . . ถา x = n – 1 จะได (n – 1)3 – (n – 2)3 = 3(n – 1)2 – 3(n – 1) + 1 ถา x = n จะได n3 – (n – 1)3 = 3(n)2 – 3(n) + 1 น าพจนทางซายมอของทกสมการบวกกน และน าพจนทางขวามอของทกสมการบวกกน จะได n3 = 3(12 + 22 + 32 + . . . + n2) – 3(1 + 2 + 3 + . . . + n) +

พจนn 1) . . . 1 1 (1

= n 2

1) n(n 3 - 3S

n3 = n 2

1) 3n(n - 3S

141

3S = n - 2

1) 3n(n n3

6S = 2n3 + 3n2 + n 6S = n(2n2 + 3n + 1) 6S = n(n + 1)(2n + 1)

S = 6

1) 1)(2n n(n


4

1 k

2k-

วธท า

4

1 k

2k- =

4

1 k

2k )1(

= ]4 3 2 1)[1( 2222

=

6

1) 1)(8 4(4 )1(

= )30)(1( = 30

3. 2

1) n(n i

2n

1 i

3

พสจน ให S =

n

1 i

3i

= 13 + 23 + 33 + . . . + n3 แต x4 – (x – 1)4 = 4x3 – 6x2 + 4x – 1 ถา x = 1 จะได 14 - 04 = 4(1)3 – 6(1)2 + 4(1) – 1 ถา x = 2 จะได 24 - 14 = 4(2)3 – 6(2)2 + 4(2) – 1 ถา x = 3 จะได 34 - 24 = 4(3)3 – 6(3)2 + 4(3) – 1 . . . ถา x = n – 1 จะได (n – 1)4 – (n – 1)4 = 4(n – 1)3 – 6(n – 1)2 + 4(n – 1) – 1 ถา x = n จะได n4 – (n – 1)4 = 4(n)3 – 6(n)2 + 4(n) – 1

142

น าพจนทางซายมอของทกสมการบวกกน และพจนทางขวามอของทกสมการบวกกน จะได n4 = 4(13 + 23 + 33 + . . . + n3) – 6(12 + 22 + 32 + . . . + n2) + (1 + 2 + 3 + . . . + n) +

พจนn 1) - . . . - 1 - 1 - 1 - (-1

n4 = 4S – n - 1) (n 2

n 4

6

1)] 1)(2n [(n(n 6

n4 = 4S – n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) – n 4S = n4 + n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + n 4S = n [n3 + 2n2 + 3n + 1 – 2n – 2 + 1] 4S = n [n3 + 2n2 + n] 4S = n2 [n2 + 2n + 1]

S = 4

1) (nn 22

= 2

2

1) n(n

2

1) n(n i

2n

1 i

3


10

1 i

3 5) - (4i

วธท า

10

1 i

3 5) - (4i =

10

1 i

10

1 i

3 5 - 4i

=

10

1 i

10

1 i

3 5 - i 4

= 5) (10 - 2

1) 10(10 4

2

= 4(55)2 – 50 = 4(3025) – 50 = 12100 – 50 = 12,050

143

ควรจ ำ

2

3

2

2

1) n(n i

2

1) 1)(2n n(n i

2

1) n(n i

144



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.4 ใช i , i2 และ i3 หาผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ


12

1 i

5i


8

1 n

2 2n) - (5n


7

1 i

3 2) - (6i


10

1 i

23 18i) 9i (i


20

11 k

3 k) (3k

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. อาน คด ฟง ถาม วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… เปนหลกในการเรยนคณตศาสตร

145


146



เรอง สญลกษณแทนการบวก ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 4 ชวโมงท 17 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอโดยละเอยด


50

1 x

3) -(4x


15

1 n

22) (n


20

9 n

3 10) - (6n


10

5 x

33) (x

5. ก าหนดให x และ y เปนคาคงตว ถา 63 4) y (xn

7

1 n

และ

65- 8) x (yn

16

1 n

แลว จงหาคาของ x และ y

147

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สาระท 4 พชคณต เรอง อนกรม


1. มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 4.2 มาตรฐานการเรยนรชวงชน ค 4.2 ขอ 5 เขาใจความหมายของผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต และอนกรมเรขาคณต หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต และอนกรมเรขาคณต โดยใชสตรและน าไปใชได 2. ผลการเรยนรทคาดหวง เขาใจความหมายของผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต โดยใชสตรและน าไปใชได 3. สาระการเรยนร 3.1 อนกรมเลขคณต 3.2 อนกรมเรขาคณต

148

ผงมโนทศนหนวยการเรยนรท 3 อนกรม

แผนการจดการเรยนรท 6 อนกรมเรขาคณต

1 r , na S

1 r , r - 1

ra -a S

1 r , r - 1

)r - (1a S

1 r , 1 -r

1) - (ra S

1n

n1n

n1

n

nn

n

หนวยการเรยนรท 3 อนกรม

แผนการจดการเรยนรท 5

อนกรมเลขคณต

n1n

1n

a a 2

n S

1)d - (n 2a 2

n S

ความหมายของ อนกรมเรขาคณต

อตราสวนรวมของ อนกรมเรขาคณต

โจทยปญหาเกยวกบ อนกรมเรขาคณต

การหาผลบวก n พจนแรกของ อนกรมเรขาคณต

การหาผลบวก n พจนแรกของ อนกรมเลขคณต

ความหมายของ อนกรม

ความหมายของ อนกรมเลขคณต

การหาพจนท 1 และผลตางรวมของ อนกรมเลขคณต

โจทยปญหาเกยวกบ อนกรมเลขคณต

149


อนกรมเลขคณต

150




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 5 เรอง อนกรมเลขคณต การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 9 – 10 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 18 – 20 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


151



เรอง อนกรมเลขคณต จ านวนชวโมงสอน 3 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของอนกรมได 1.1.2 ระบอนกรมทเปนอนกรมเลขคณตได 1.1.3 หาผลตางรวมของอนกรมเลขคณตได 1.1.4 หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความซอสตย 1.3.4 มความเชอมนในตนเอง 2. สาระการเรยนร 2.1 ความหมายของอนกรม 2.2 อนกรมเลขคณต 2.3 การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

152


18 1. ครแจงคะแนนทไดจากการทดสอบวดผลสมฤทธ เรอง สญลกษณแทนการบวก พรอมทงแจกกระดาษค าตอบคนใหกบนกเรยน เพอตรวจสอบแกไขปรบปรง และพฒนาขอบกพรองตาง ๆ ใหดขน 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนสามารถ - บอกความหมายของอนกรมได - ระบอนกรมทเปนอนกรมเลขคณตได - หาผลตางรวมของอนกรมเลขคณตได - หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได 3. นกเรยนท าเอกสารแนะแนวทาง รหสท 5.1 แลวครใชการถาม-ตอบ เฉลยค าตอบ และใหนกเรยนรวมกนสรปความหมายของอนกรม ไดดงน บทนยาม เมอ a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบจ ากด และ a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . เปนล าดบอนนต เรยกการแสดงผลบวกของพจนทกพจนของล าดบในรป a1 , a2 , a3 , . . . , an และ a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . วา อนกรม อนกรมทไดจากล าดบจ ากด เรยกวา อนกรมจ ากด อนกรมทไดจากล าดบอนนต เรยกวา อนกรมอนนต จากบทนยามครใชการถาม-ตอบ และใหนกเรยนรวมกนสรปไดวา ส าหรบอนกรม a1 , a2 , a3 , . . . , an หรอ a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . เรยก a1 วา พจนท 1 ของอนกรม a2 วา พจนท 2 ของอนกรม a3 วา พจนท 3 ของอนกรม . . . an วา พจนท n ของอนกรม

153

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 4. นกเรยนท าเอกสารแนะแนวทาง รหสท 5.2 โดยครใชการถาม-ตอบ เฉลย

ค าตอบและรวมกบนกเรยนสรปความหมายของอนกรมเลขคณต ไดดงน บทนยาม ให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบเลขคณต ดงนน a1 + a2 + a3 + . . . + an เรยกวา อนกรมเลขคณต 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 5.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 6. นกเรยนแตละกลมยกตวอยางอนกรมเลขคณต กลมละ 10 ตวอยาง สงครเปนผลงานของกลม

19 1. ทบทวนความรเกยวกบความหมายของอนกรมและอนกรมเลขคณต โดยใชการถาม-ตอบ ประกอบการอธบายสรป 2. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 5.1 โดยครใชการถาม-ตอบและอธบายวธการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต จนไดขอสรปดงน ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ

Sn = 1)d - (n 2a 2

n1

หรอ Sn = )a (a 2

nn1

เมอ Sn แทน ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต an แทน พจนท n ของอนกรมเลขคณต 3. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 5.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 5 เปนการบาน เพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยน 5. นกเรยนแตงโจทยเกยวกบการน าอนกรมเลขคณตไปใชในชวตประจ าวนคนละ 1 ขอ สงครนอกเวลาเรยน

154

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 20 1. ซกถามปญหาจากการท าการบาน พรอมทงเฉลยค าตอบตลอดจนตอบปญหาท

นกเรยนสงสย (ถาม) 2. ทบทวนความรเกยวกบการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต โดยใชการถาม-ตอบ ประกอบการอธบายสรป 3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 5.2 โดยศกษาตวอยาง แนวคดทกขนตอนใหละเอยดจนเขาใจ หากมขอสงสยใหถามครผสอน 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 5.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. นกเรยนแตละกลมสรางเอกสารเสรมความร เรอง อนกรมเลขคณต โดยออกแบบเอง พรอมทงตกแตงใหสวยงาม โดยครเปนผชแนะแนวทาง เปนผลงานของกลมสงครนอกเวลาเรยน

4. สอการเรยนร 4.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 5.1 – 5.2 4.2 ใบความร รหสท 5.1 – 5.2 4.3 แบบฝกทกษะ รหสท 5.1 – 5.2 4.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 5

5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน

6. หลกฐานการเรยนร 6.1 ใบความร รหสท 5.1 – 5.2 6.2 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 5.1 – 5.2 6.3 แบบฝกทกษะ รหสท 5.1 – 5.3 6.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 5 6.5 โจทยปญหาการน าความรเรอง อนกรมเลขคณตไปใชในชวตประจ าวน 6.6 เอกสารเสรมความร

155


การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าเอกสารแนะแนวทาง 4. การท าแบบฝกทกษะ 5. การท าเอกสารฝกหดเพมเตม 6. การสรางโจทยปญหาการน าความร เรอง อนกรมเลขคณตไปประยกต ใชในชวตประจ าวน 7. การท าเอกสารเสรมความร

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 6. นกเรยนสวนใหญสรางโจทยปญหาได ถกตอง 7. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตองสวยงาม และสงทนตามก าหนดเวลา

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

156

8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


157


158




ขอท ล าดบ อนกรม ประเภทของอนกรม

อนกรมจ ากด อนกรมอนนต 1 1, 8, 15, 22, 29, 36 1 + 8 + 15 + 22 + 29 + 36 - 2 . . . ,

3

1 , . . . ,

27

1 ,

9

1 ,

3

1

n . . .

3

1 . . .

27

1

9

1

3

1

n -

3 4, 7, 10, 13, 16, 19 4 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4 5 2, 3, 4, . . . , n + 1, . . . 6 1, 3, 5, . . . , 2n – 1, . . . 7 -2, -4, -6, . . . , -2n, . . . 8 10, 13, 16, 19, 22, 25

สรป อนกรมจ ากด คอ …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. อนกรมอนนต คอ …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

159


ขอท อนกรม ประเภทของอนกรม

อนกรมจ ากด อนกรมอนนต 3 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 – 4 8 + 6 + 4 + 2 + 0 – 2 – 4 – 5 2 + 3 + 4 + . . . + (n + 1) + . . . – 6 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . – 7 – 2 – 4 – 6 – . . . – 2n – . . . – 8 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 –

สรป อนกรมจ ากด คอ อนกรมทไดจากการบวกพจนของล าดบจ ากด ถาให a1, a2, a3, . . ., an เปนล าดบจ ากด จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมจ ากด อนกรมอนนต คอ อนกรมทไดจากการบวกพจนทกพจนของล าดบอนนต ถาให a1, a2, a3, . . ., an, . . . เปนล าดบอนนต จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . เปนอนกรมอนนต

160




ขอท อนกรม ผลตางรวม อนกรมเลขคณต

เปน ไมเปน 1 2 + 4 + 6 + 8 + 10 2 - 2 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . 2 - 3 1 + 4 + 9 + 16 + 25 - - 4 7 + 11 + 15 + 19 + 23 5 11 + 2 – 7 + . . . + (20 – 9n) + . . . 6 . . .

2

1 . . .

8

1

4

1

2

1

n

7 (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + . . . + (x + 3n) + . . . 8 . . .

3 n

2 n . . .

6

5

5

4

4

3

9 1 + 8 + 27 + 64 + . . . 10 3 + 3 + 3 + 3 + 3

สรป อนกรมเลขคณต คอ ……………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

161


ขอท ผลตางรวม อนกรมเลขคณต

เปน ไมเปน 4 4 – 5 -9 – 6 ไมม – 7 3 – 8 ไมม – 9 ไมม –

10 0 – สรป อนกรมเลขคณต คอ ผลบวกของแตละพจนของ ล าดบเลขคณต ถาให a1, a2, a3, . . ., an เปน ล าดบเลขคณต a1 + a2 + a3 + . . . + an เรยกวา อนกรมเลขคณต

162



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 – 1.1.2 บอกความหมายของอนกรมได และระบอนกรมทเปนอนกรมเลขคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ล าดบเลขคณต ผลตางรวม อนกรมเลขคณต

1 10, 14, 18, . . ., 4n + 6, (4n + 10), . . . 2 2, 7, 12, 17, 22 3 6, 9, 12, . . ., 3n + 3 4 7, 3, -1, . . ., 11 – 4n, -4n + 7, . . . 5 4, 9, 14, 19, 24 6 3,

2

7 , 4, . . .

7 3, 10, 17, . . ., 7n – 11, 7n – 4, . . . 8 5, 10, 15, 20, 25, 30 9 5, 1, -3, . . ., 13 – 4n, 9 – 4n, . . .

10 6, 18, 30, 42, 54, 66 คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… เยาวชนทกคนชอบคณตศาสตร ชาตยอมพฒนา

163


ขอท ผลตางรวม อนกรมเลขคณต 1 4 10 + 14 + 18 + . . . + (4n + 6) + (4n + 10) + . . . 2 5 2 + 7 + 12 + 17 + 22 3 3 6 + 9 + 12 + . . . 4 4 7 + 3 + (-1) + . . . + (11 – 4n) + (-4n + 7) + . . . 5 5 4 + 9 + 14 + 19 + 24 6

2

1 3 + 2

7 + 4 + . . .

7 7 3 + 10 + 17 + . . . + (7n – 11) + (7n – 4) + . . . 8 5 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 9 -4 5 + 1 + (-3) + . . . + (13 – 4n) + (9 – 4n) + . . .

10 12 6 + 18 + 30 + 42 + 54 + 66

164



จดประสงคการเรยนร - หาผลตางรวมของอนกรมเลขคณตได - หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได สาระส าคญ

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1


nn1


การหาสตรผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ผลบวกของพจนของล าดบเลขคณต เรยกวา อนกรมเลขคณต ในการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ท าไดดงน ให Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an (เมอ a1, a2, a3, . . ., an เปนล าดบเลขคณต) = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1 + (n – 1)d] =

ตว 1 -n ตวn 1)d - (n . . . 3d 2d d a . . . a a a 1111

= na1 + [1 + 2 + 3 + . . . + (n – 1)]d

= 1)]d - (n [1 2

1 - n na 1

= nd 2

1) - (n na 1

= 2

nd 1) - (n 2na 1

= 2

1)d] - (n [2a n 1

Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1 ………………..

165

หรอ Sn = 1)d] - (n a [a 2

n11

Sn = )a (a 2

nn1 ………………….

สตร ใชเมอทราบ a1 , d และ n ใชเมอทราบ a1 , an และ n สรป สตรการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ

Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1


nn1

เมอ Sn แทน ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต a1 แทน พจนท 1 ของอนกรมเลขคณต d แทน ผลตางรวมของอนกรมเลขคณต an แทน พจนท n ของอนกรมเลขคณต

166

ตวอยางท 1 จากอนกรมเลขคณต 100 + 95 + 90 + . . . จงหา S15

วธท า จากสตร Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1

จากโจทย จะได a1 = 100 , d = 5 , n = 15

แทนคา S15 = 1)(5) - (15 2(100) 2

15

= ] 70 - 200 [ 2

15

= (130) 2

15

= 975 ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + 2 + 3 + . . . + 300 วธท า จากอนกรมเลขคณต 1 + 2 + 3 + . . . + 300 จะได a1 = 1 , n = 300 , an = 300

จากสตร Sn = )a (a 2

nn1

แทนคา S300 = 300) (1 2

300

= 150(301) = 45,150

167



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.4 หาผลบวก n พจนแรกของอนกรม

เลขคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ถา a1 , a2 , a3 , . . . เปนล าดบเลขคณต จงหาผลบวก n พจนแรกตามเงอนไขทก าหนดในแตละขอตอไปน 1.1 a1 = -3 , d = 6 จงหา S10 1.2 a1 = 10 , d = 5 จงหา S20 1.3 a1 = 60 , d = -2 จงหา S20 1.4 a1 = 8 , d = 4 จงหา S30 1.5 a1 = 8 , d = 14 จงหา S15

1.1 ……………… 1.2 ……………… 1.3 ……………… 1.4 ……………… 1.5 ………………

2 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตตอไปน 2.1 2 + 4 + 6 + . . . + 100 2.2 10 + 20 + 30 + . . . + 400 2.3 1 + 3 + 5 + . . . + 41

2.1 ……………… 2.2 ……………… 2.3 ………………

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… สนใจเรยนคณต ชวตจะสบาย

168

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 5.2 1) 1.1 240 1.2 1,150 1.3 820 1.4 750 2) 2.1 5,100 2.2 82,000 2.3 861

169


เอกสารฝกหดเพมเตม รหสเอกสารฝกหดเพมเตมท 5 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 5 ชวโมงท 19 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอโดยละเอยด 1. จงหาผลบวก 15 พจนแรกของอนกรม 5 + 9 + 13 + . . . 2. ถาอนกรมเลขคณต คอ 2 + 8 + 14 + . . . จงหาคาของ n ทท าให Sn = 1180 3. อนกรมเลขคณตชดหนงมผลบวกพจนท 1 กบพจนท 5 เทากบ -2 และผลบวก ของพจนท 2 กบพจนท 6 เทากบ 2 จงหาผลบวก 18 พจนแรก 4. ถาอนกรมเลขคณต ม Sn = n2 – 3n จงหาพจนท 10 5. จงหาผลบวกของจ านวนเตมทมคาอยระหวาง 200 กบ 500 เมอจ านวนเตม แตละจ านวนหารดวย 7 ลงตว

170



จดประสงคการเรยนร หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได สาระส าคญ ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตหาไดจากสตร

Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1


nn1

สาระการเรยนร การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต (ตอ)

ในการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต จะใชสตร

Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1 หรอ Sn = )a (a

2

nn1 ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 ใหล าดบเลขคณตล าดบหนงมผลตางรวมเทากบ 4 และพจนท 13 คอ 51 จงหาผลบวก 13 พจนแรก วธท า จาก an = a1 + (n – 1)d จากโจทย จะได d = 4 และ a13 = 51 แทนคา 51 = a1 + 12(4) a1 = 3


nn1

S13 = ]a [a 2

13131

= 51] [3 2

13

= (54) 2

13 = 351

ผลบวก 13 พจนแรก มคาเทากบ 351

171

ตวอยางท 2 ใหอนกรมเลขคณตชดหนง มผลบวก 11 พจนแรกเทากบ 77 และ ผลตางรวมเทากบ 3 จงหาพจนแรกและพจนท 11 วธท า จากโจทย จะได d = 3 และ S11 = 77 จาก an = a1 + (n – 1)d a11 = a1 + 0(3) a11 – a1 – 30 = 0 …………………….


nn1

S11 = ]a [a 2

11111

77 = ]a [a 2

11111

154 = 11a1 + 11a11 11a11 – 11a1 – 154 = 0 …………………… 11 11a11 – 11a1 – 330 = 0 …………………… + 22a11 – 484 = 0 22a11 = 484 a11 = 22 แทนคา a11 ใน 22 – a1 – 30 = 0 – a1 – 8 = 0 a1 = – 8 พจนแรก มคาเทากบ – 8 พจนท 11 มคาเทากบ 22

Ans

172

ตวอยางท 3 จงหาผลบวกของทกจ านวนคจาก 61 ถง 121 วธท า จากโจทย จะได a1 = 61 , d = 2 และ an = 121 จากสตร an = a1 + (n – 1)d แทนคา 121 = 61 + (n – 1)(2) 121 = 61 + 2n – 2 2n = 62 n = 31


nn1

แทนคา S31 = 121] [61 2

31

= (182) 2

31

= 2,821 ผลบวกของทกจ านวนคจาก 61 ถง 121 คอ 2,821 Ans

173



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.4 หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ถาอนกรมเลขคณต คอ 15 + 13 + 11 + . . . จงหาคาของ n ทท าให Sn = -192

2 อนกรมเลขคณตชดหนง มผลบวกพจนท 2 กบพจนท 4 เทากบ 15 และผลบวกของพจนท 5 กบพจนท 6 เทากบ 25 จงหาผลบวกของ 20 พจนแรก

3 ผลบวกของจ านวนเตมทอยระหวาง 50 และ 350 และมหลกหนวยเปน 1 มคาเทาไร

4 จงหาผลบวกของจ านวนเตมทอยระหวาง 65 กบ 193 ทหารดวย 4 ลงตว

5 นายปรชาไดรบรายไดจากการขายของเดอนแรก 3,600 บาท และรายไดดงกลาวจะเพมขนเดอนละ 200 บาททกเดอน จงหารายไดทงหมดเมอเขาท างานครบ 12 เดอน

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… จงพยายามอกสกนด เพอพชตคณตศาสตร

174

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 5.3 1) 24 2) 2,660 3) 5,880 4) 4,160 5) 56,400

175


อนกรมเรขาคณต

176




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 6 เรอง อนกรมเรขาคณต การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 11 – 12 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 21 – 24 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


177



เรอง อนกรมเรขาคณต จ านวนชวโมงสอน 4 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 ระบอนกรมทเปนอนกรมเรขาคณตได 1.1.2 หาอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณตได 1.1.3 หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความรอบคอบ 1.3.4 มความเชอมนในตนเอง 1.3.5 มความซอสตย 1.3.6 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร 2.1 อนกรมเรขาคณต 2.2 การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

178


21 1. สนทนากบนกเรยนเกยวกบการจดท าเอกสารเสรมความรวากลมใดมปญหาในการจดท าบาง ครอธบายชแนะแนวทาง รปแบบเอกสาร เพอเปนแนวคดใหแกนกเรยน และกลาวชมเชยนกเรยนทจดท าจนส าเรจ มความถกตอง และสวยงาม 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวาเมอเรยนจบแผนการสอนนแลว นกเรยนสามารถ - ระบอนกรมทเปนอนกรมเรขาคณตได - หาอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณตได - หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได 3. นกเรยนท าเอกสารแนะแนวทาง รหสท 6 โดยครใชการถาม-ตอบ เฉลยค าตอบและรวมกบนกเรยนสรปความหมายของอนกรมเรขาคณต ไดวา ถาให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบเรขาคณต จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมเรขาคณต และอตราสวนรวมของล าดบเรขาคณต กเปนอตราสวนรวมของ อนกรมเรขาคณต 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 6.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. นกเรยนแตละกลมแขงขนการสรางอนกรมเรขาคณต จ านวน 5 ตวอยาง กลมใดสรางไดถกตองมากทสด เปนผชนะ และรบรางวลจากครผสอน 6. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 6.1 เปนการบาน เพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

22 1. ครซกถามปญหาจากการท าการบาน และเฉลยค าตอบ ตลอดจนตอบค าถามของนกเรยน (ถาม) 2. ทบทวนความรเกยวกบอนกรมเรขาคณต โดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงยกตวอยางประกอบ 3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 6.1 แลวรวมกนอภปรายกลมยอยเกยวกบสตร

179

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ไดวา

สตร ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ Sn = na1 เมอ r = 1

หรอ Sn = 1 -r

1) - (ra n1 เมอ r 1

4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 6.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทได โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 6.2 เปนการบานเพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

23 – 24 1. ทบทวนความรเกยวกบการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต โดยใชการถาม-ตอบ พรอมยกตวอยางประกอบ 2. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 6.2 โดยศกษาตวอยางใหละเอยดมปญหาสงสยใหถามครผสอน 3. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 6.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลยและบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. นกเรยนแตละกลมสงตวแทนเพอแขงขนตอบปญหาคณตศาสตรหนาชนเรยน จ านวน 5 ขอ ใชเวลา 10 นาท กลมใดไดคะแนนสงสดเปนผชนะ จะไดรบรางวลจากครผสอน 5. นกเรยนท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธ เรอง อนกรม เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยนหลงจากเรยนจบแผนท 5 – 6 6. นกเรยนแตละกลมท า Mind Map เรอง อนกรมสงครนอกเวลาเรยนเปนผลงานของกลม

4. สอการเรยนร 4.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 6 4.2 ใบความร รหสท 6.1 – 6.2 4.3 แบบฝกทกษะ รหสท 6.1 – 6.2 4.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 6.1 – 6.2

180


6. หลกฐานการเรยนร 6.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 6 6.2 แบบฝกทกษะ รหสท 6.1 – 6.2 6.3 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 6.1 – 6.2 6.4 Mind Map เรอง อนกรม 6.5 การสรางอนกรมเรขาคณต 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าเอกสารแนะแนวทาง 4. การท าแบบฝกทกษะ 5. การท าเอกสารฝกหดเพมเตม 6. การสรางอนกรมเรขาคณต 7. การท า Mind Map เรอง อนกรม

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 6. นกเรยนสวนใหญสรางไดถกตอง 7. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตองและ สวยงาม

181

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


182


183


เอกสารแนะแนวทาง รหสเอกสารแนะแนวทางท 6 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 ชวโมงท 21 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ล าดบเรขาคณต อตราสวนรวม อนกรมเรขาคณต

1 3, 9, 27, 81, . . . , 3n 3 3 + 9 + 27 + 81 + . . . + 3n 2 2, 4, 8, . . . , 2n 2 2 + 4 + 8 + . . . + 2n 3 5, 15, 45, . . . , 5(3)n – 1 4 4, 1, , . . . ,

16

1 ,

4

1 4-n + 2

5 x + 2, 2x + 4, 4x + 8, 8x + 16, . . ., (x + 2)(2)n – 1 6 0.3, 0.03, 0.003, 0.0003, . . ., 0.3(0.1)n – 1 7 5, 10, 20, 40, . . ., 5(2)n – 1 8 4, 16, 64, 256, . . . , 4n

สรป อนกรมเรขาคณต คอ ……………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

184

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง รหสท 6

ขอท อตราสวนรวม อนกรมเรขาคณต 3 3 5 + 15 + 45 + . . . + 5(3)n – 1

4 4

1 4 + 1 + . . . 16

1

4

1 4-n + 2

5 2 (x + 2) + (2x + 4) + (4x + 8) + (8x + 16) + . . . + (x + 2)(2)n – 1

6 0.1 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + . . . + 0.3(0.1)n – 1

7 2 5 + 10 + 20 + 40 + . . . + 5(2)n – 1

8 4 4 + 16 + 64 + 256 + . . . + 4n สรป อนกรมเรขาคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกแตละพจนของล าดบ เรขาคณต ดงน ถาให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบเรขาคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมเรขาคณต เชน 1, 2, 4, 8, . . ., 2 n – 1 เปนล าดบเรขาคณต 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n – 1 เปนอนกรมเรขาคณต

185



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 ระบอนกรมทเปนอนกรมเรขาคณตได และหาอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ก าหนด a1 และ r จงเขยนอนกรมเรขาคณต 4 พจน ในแตละขอตอไปน 1.1 a1 = 10 , r = 2

1.2 a1 = 3 , r = 3

1

1.3 a1 = 2

1 , r = 4

1.4 a1 = 5 , r = 2

1

1.1 ………………………… 1.2 ………………………… 1.3 ………………………… 1.4 …………………………

2 จงหาอตราสวนรวม (r) จากอนกรมเรขาคณตทก าหนดใหในแตละขอตอไปน 2.1 5 + 5 + 5 + 5 + 5

2.2 - 9 + 3 – 1 + 9

1 -

3

1

2.3 2 + 6 + 18 + 54 2.4 5 + 20 + 80 + 320

2.1 …………………………. 2.2 …………………………. 2.3 …………………………. 2.4 ………………………….

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… การศกษาพฒนาชาต คณตศาสตรพฒนาคน

186

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 6.1 1) 1.1 10 + 20 + 40 + 80

1.2 3 + 1 + 9

1

3

1

1.3 2

1 + 2 + 8 + 32

1.4 5 + 8

5

4

5

2

5

2) 2.1 1

2.2 3

1

2.3 3 2.4 4

187


เอกสารฝกหดเพมเตม รหสเอกสารฝกหดเพมเตมท 6.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 ชวโมงท 21 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอ 1. ก าหนดล าดบเรขาคณต ทม a1 และ r ในแตละขอตอไปน จงเขยน 5 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 1.1 a1 = 4 , r = 3 1.2 a1 = 2n + 6 , r = 3

1.3 a1 = 10 , r = 2

1

2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปการบวก

2.1

6

1 n

n2

2.2

5

1 k

1 - k2(3)

2.3

68

1 k

k )2(2

188



จดประสงคการเรยนร หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได - หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได สาระส าคญ การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ใชสตรดงน Sn = na1 เมอ r = 1

Sn = r - 1

)r - (1a n1 เมอ r 1

หรอ Sn = r - 1

ra - a n1 เมอ r 1


การหาสตรผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ทม a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an Sn = a1 + a1r + a1r

2 + . . . + a1rn – 2 + a1r

n – 1 ……………….. r ; rSn = a1r + a1r

2 + a1r

3 + . . . + a1rn – 2 + a1r

n – 1 + a1rn ………………..

- ; Sn - rSn = a1 – a1rn

(1 – r)Sn = a1(1 – rn) , r 1 …………………… เมอ r = 1 จากสมการ จะได Sn =

พจนn 1111 a . . . a a a

= na1 ……………………. จากสมการ และ สรปไดวา

189

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ Sn = na1 เมอ r = 1

Sn = r - 1

)r - (1a n1 เมอ r 1

หรอ Sn = 1 -r

1) - (ra n1 เมอ r 1

หรอ Sn = r - 1

ra - a n1 เมอ r 1

ตวอยางท 1 จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 2 + 6 + 18 + . . .

วธท า จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

จากโจทย จะได a1 = 2 , r = 3 , n = 8

แทนคา S10 = 3 - 1

)3 1(2 10

= 2

59049) - 2(1

= 59,048 ตวอยางท 2 ก าหนด a1 = 5 , r = -2 และ an = 80 จงหา n และ Sn วธท า จากสตร an = a1r

n – 1 แทนคา 80 = 5(-2)n – 1

5

80 = (-2)n – 1

16 = (-2)n – 1 (-2)4 = (-2)n – 1 n – 1 = 4 n = 5

จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

= (-2) - 1

](-2) - 5[1 5

= 3

32) 5(1

= 5(11) = 55

190

n = 5 , Sn = 55 Ans รายวชา คณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค 42101 ระดบชน มธยมศกษาปท 5


แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 หาผลบวก n พจนแรกของอนกรม

เรขาคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณตตามเงอนไขทโจทยก าหนดใหตอไปน

1.1 a1 = 3 , r = 2

1 , an = 64

3

1.2 a1 = 2 , r = -2 , an = -64 1.3 a1 = 6 , r = 3 , an = 486

1.4 a1 = 27 , r = 3

1 , an =

27

1

1.1 ……………… 1.2 ……………… 1.3 ……………… 1.4 ………………

2 ให an = 81 , r = 3 , n = 6 จงหา a1 และ Sn 3 ให a1 = 15 , r =

5

2 และ Sn = 5

117 จงหา an และ n

4 ให a1 = 9

2 , r = 3 , an = 18 จงหา n และ Sn

5 ให a1 = 8

1 , an = 64

27 , n = 4 จงหา r และ Sn

คะแนนทได = ………………………… ควรฝกตนเอง ใหเปนคน ผตรวจ ………………………………….. - รจกคด วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… - รจกถาม - รจกอาน - รจกท าความด

191

ฯลฯ


1) 1.1 64

381

1.2 - 42 1.3 726

1.4 27

547

2) a1 = 3

1 , Sn = 3

121

3) an = 5

12 , n = 3

4) n = 5 , Sn = 9

242

5) r = 2

3 , Sn = 64

65

192


เอกสารฝกหดเพมเตม รหสแบบฝกทกษะท 6.2 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 2 ชวโมงท 22 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอโดยละเอยด 1. จงหาผลบวก 6 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 4 + 8 + 16 + . . .

2. จงหาผลบวก 8 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 14 + 7 + 2

7 + . . .

3. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 8 + 4 + 2 + . . . 4. อนกรมเรขาคณตชดหนง มผลบวกของพจนท 1 กบพจนท 3 เทากบ 5 และผลบวกของพจนท 4 กบพจนท 6 จงหาผลบวก 5 พจนแรก 5. อนกรมเรขาคณต 2 + 6 + 18 + . . . จงหาคาของ n ทท าให Sn = 2,186

193


ใบความร รหสใบความรท 6.2 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 ชวโมงท 23 - 24 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได สาระส าคญ การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตหาไดจากสตร

Sn = 1 r , r - 1

)r - (1a n1

หรอ Sn = 1 r , 1 -r

1) - (ra n1

สาระการเรยนร การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต (ตอ)

ตวอยางท 1 อนกรมเรขาคณตชดหนงมผลบวกของพจนท 1 กบพจนท 2 เทากบ 36 และผลบวกของพจนท 3 กบพจนท 4 เทากบ 4 จงหาผลบวก 4 พจนแรก วธท า จากโจทย a1 + a2 = 36 a1 + a1r = 36 …………………… และ a3 + a4 = 4 a1r

2 + a1r3 = 4 ……………………

r) (1a

r) (1ra

1

21

= 36

4

r2 = 9

1

r = 3

1

แทนคา r = 3

1 ใน จะได

a1 + 3

1 a1 = 36

194

3

4a 1 = 36

a1 = 27

แทนคา r = - 3

1 ใน จะได

a1 - 3

1 a1 = 36

3

2a 1 = 36

a1 = 54

จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

S4 = 3

1 - 1

3

1 - 1 27

4

= 3

2

81

1 - 1 27

= 2

3

81

80 27

= 40

เมอ a1 = 54 และ r = - 3

1

S4 =

3

1 - 1

3

1 - 1 54

4

= 3

1 1

81

1 - 1 54

= 3

4

81

80 54

= 4

3

81

80 54

= 40 ผลบวก 4 พจนแรก คอ 40

195

ตวอยางท 2 ก าหนดใหอนกรมเรขาคณต ม a1 = 160 , r = 2

3 และ Sn = 2110

จงหาคา n

วธท า จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

แทนคา 2110 = 2

3 - 1

2

3 - 1 160

n

16

211 = 2

1

2

3 - 1

n

32

211 =

n

2

3 - 1

n

2

3

= 32

211 1

n

2

3

= 32

243

n

2

3

= 5

2

3

n = 5

196



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ถาพจนแรกของอนกรมเรขาคณตอนกรมหนงเปน 27

ผลบวก n พจนแรกเทากบ 9

665 และพจนท n เทากบ 9

32

แลว จงหาผลบวก 5 พจนแรก

2 ก าหนด a1 + a2 = - 3 และ a5 + a6 = 16

3 จงหา S10

3 อนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมอตราสวนรวมเปน 4

3 พจน

ท n คอ 81 และผลบวก n พจนแรกเทากบ 781 อนกรมนมกพจน

4 อนกรมเรขาคณต คอ 3 + 6 + 12 + . . . จงหาคา n ทท าให Sn = 1,533

คะแนนทได = ………………………… การเรยนคณตศาสตร

ผตรวจ ………………………………….. ใหไดผล จะตอง วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… 1. มความรกในวชาคณตศาสตร

2. เชอมนในตนเอง 3. ตงจดมงหมาย

4. ลงมอปฏบตไปสจดมงหมาย

197


1) 3

211

2) 256

1023

3) 5 4) 9

198

โจทยแขงขนคณตศำสตร

ค าชแจง ใหนกเรยนหาค าตอบแลวเตมลงในชองวางแตละขอใหถกตอง ใชเวลาท า 5 นาท ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ก าหนดอนกรมเรขาคณต 4 + 8 + 16 + . . . จงหาผลบวก 4 พจนแรก

2 ก าหนด a1 = 2 , r = 3 , n = 6 จงหา Sn 3 ก าหนด a1 = -56 , an =

4

7 และ n = 6 จงหา r และ Sn

4 ก าหนด a1 = -2 , n = 3 และ Sn = 2

7 จงหา r

5 ก าหนด a1 = 3 , an = 48 และ Sn = 33 จงหา r และ n

ชอกลม …………………………………………………….. ชน ……………………….

199



เรอง อนกรม ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 6 ชวโมงท 24 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอ


10

3 k

2 6) k - (3k

2. ก าหนดอนกรมเลขคณต ม a1 + a3 = 24 และ a4 + a6 = 36 จงหาผลบวก 10 พจนแรก 3. อนกรมเลขคณต ม a1 = 8 , d = 2 และ Sn = 228 จงหา n 4. จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณต 5 + 8 + 11 + . . . + 50 5. จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 + 2 + 4 + . . . + 1024

200

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

เรอง ความนาจะเปน


1. มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 5.2 มาตรฐานการเรยนรชวงชน ค 5.2 ขอ 1 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใชในการคาดการณบางอยางได ขอ 2 น าผลทไดจากการทดลองหรอการส ารวจความคดเหนไปใชในการคาดการณบางอยางได มาตรฐาน ค 5.3 มาตรฐานการเรยนรชวงชน ค 5.3 ขอ 2 ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหาได 2. ผลการเรยนรทคาดหวง 2.1 หาจ านวนผลลพธทอาจเกดขนของเหตการณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และแผนภาพตนไมอยางงายได 2.2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และหาความ นาจะเปนของเหตการณทก าหนดใหได 2.3 น าความรเกยวกบความนาจะเปนไปใชในการคาดการณ และชวยในการตดสนใจ และแกปญหาได 3. สาระการเรยนร 3.1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 3.2 ความนาจะเปนของเหตการณ

201

ผงมโนทศน หนวยการเรยนรท 4 ความนาจะเปน

แผนการจดการเรยนรท 8 แฟกทอเรยล n แผนการจดการเรยนรท 7 แผนการจดการเรยนรท 9 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบ แซมเปลสเปซ การนบ

หนวยการเรยนรท 4 ความนาจะเปน

แผนการจดการเรยนรท 11 ความนาจะเปน

แผนการจดการเรยนรท 10 เหตการณ

แผนการจดการเรยนรท 12

กฎบางประการของความนาจะเปน

ความหมายของแฟกทอเรยล

โจทยปญหาเกยวกบ แฟกทอเรยล

ความหมายของแซมเปลสเปซ

การเขยน แซมเปลสเปซ

แผนภาพตนไม

กฎการนบขอท 1

กฎการนบขอท 2

ความหมายและ ลกษณะการนบ

การด าเนนการของเหตการณ

ความหมาย ของเหตการณ

ยเนยนของเหตการณ อนเตอรเซกชนของเหตการณ เหตการณทไมเกดรวมกน คอมพลเมนตของเหตการณ

ความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ความนาจะเปนของ

เหตการณ E1 และ E2

ความนาจะเปนของคอมพลเมนตของ

เหตการณ

ความนาจะเปนของเหตการณ ทเปนอสระตอกน

สมบตความนาจะเปน ของเหตการณ

การหาความนาจะเปน

ความหมาย ของความนาจะเปน

โจทยปญหาความนาจะเปน

202


กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

203




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 7 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 13 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 25 – 26 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน




………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ผเชยวชาญ

………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. …..

204

(……………………………….) ต าแหนง …………………………………. …………./……………/………….

(……………………………….) ผอ านวยการโรงเรยน

…………./……………/………….


แผนการจดการเรยนรท 7 สปดาหท 13

ชวโมงท 25 – 26

เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม อยางงายได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.2.4 ในการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบ ศาสตรอน ๆ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มความเชอมนในตนเอง 1.3.3 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

205


25 1. แจงคะแนนสอบ เรองอนกรม พรอมทงคนกระดาษค าตอบ เพอใหนกเรยนไดทราบขอบกพรองของตนเอง จะไดน าไปแกไขปรบปรงพฒนาตอไป 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ทบทวนความรเกยวกบผลคณคารทเชยนโดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงยกตวอยาง ดงน ก าหนดให A = {a, b, c} , n(A) = 3 B = {x, y} , n(B) = 2 A B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} n(A B) = 6 n(A B) = n(A) n(B) เลอกสมาชกในเซต A ครงละตวได 3 วธ เลอกสมาชกในเซต B ครงละตว ได 2 วธ ดงนนจ านวนวธทงหมดทจะเลอกสมาชกในเซต A แลวเลอกสมาชกในเซต B เทากบ 3 2 = 6 วธ ซงอาจเขยนแผนภาพตนไมชวยในการคดไดดงน A B ผลลพธ x (a, x) a y (a, y)

x (b, x) b y (b, y)

x (c, x) c

206

y (c, y)

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 3. ครเขยนโจทยบนกระดาน แลวใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบ ดงน

1. นกเรยนมกางเกง 2 ตว คอ กางเกงขาสนและกางเกงขายาว และมเสอ 3 ตว คอ เสอสแดง, สเขยว และสขาว จงหาวธทนกเรยนจะเลอกเสอและกางเกงมาใสเปนชดทแตกตางกน 2. นกเรยนคนหนงเดนทางจากบานไปโรงเรยนโดยรถประจ าทางได 4 สาย และเดนทางจากโรงเรยนกลบบานโดยรถประจ าทางได 3 สาย จงหาวานกเรยนคนนเดนทางไปโรงเรยนและกลบบานในแตละวนไดกวธ 4. นกเรยนชวยกนสรปกฎเกณฑการนบเบองตน โดยครชแนะแนวทาง ซงไดขอสรปดงน กฎขอท 1 ถาตองการท างานสองอยาง โดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน มวธท างานอยางทสองได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1n2 วธ 5. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 7.1 แลวชวยกนอภปรายกลมยอย หากมขอสงสยใหสอบถามครผสอน 6. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 7.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย แลวบนทกคะแนนทไดไว โดยครผสอนตรวจสอบความถกตองอกครง 7. นกเรยนแบงกลม ๆ ละ 5 – 6 คน หาโจทยเกยวกบกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบขอท 1 กลมละ 1 ขอ แลวหาค าตอบโดยใชแผนภาพตนไม สงครนอกเวลาเรยนเปนผลงานของกลม

26 1. ครซกถามปญหาเกยวกบการท างานกลมวามปญหาอะไรบาง พรอมทงใหขอแนะน าตาง ๆ ในการท างานเปนกลม 2. ทบทวนความรเกยวกบกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบขอท 1 โดยใชการถาม-ตอบ 3. นกเรยนแตละกลมศกษาใบความร รหสท 7.2 แลวชวยกนสรปกฎเกฎฑ

207

เบองตนเกยวกบการนบ ดงน


กฎขอท 2 ถางานอยางแรกมวธท าได n1 วธ ในแตละวธเลอกท างานอยางแรก มวธทจะท างานอยางทสองได n2 วธ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรก และ ท างานอยางทสองมวธทจะท างานอยาทสามได n3 วธ จ านวนวธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยาง เทากบ n1 n2 n3 . . . nk วธ 4. ครเขยนโจทยบนกระดาน แลวใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบพรอม ๆ กน เพอตรวจสอบความเขาใจ ดงน มบตร 3 ใบ คอ น าบตรทง 3 ใบนมาเรยงเปนค า

ตาง ๆ (อาจจะมความหมายหรอไมมความหมายกได) ไดกวธ 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 7.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 6. นกเรยนแตละกลมท าบตรค าถามเกยวกบโจทยกฎเกณฑเกยวกบการนบ โดยก าหนดขนาดของบตร และออกแบบเอง กลมละ 5 บตร สงครนอกเวลาเรยนเปนผลงานของกลม

4. สอการเรยนร 4.1 ใบความร รหสท 7.1 – 7.2 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 7.1 – 7.2


6. หลกฐานการเรยนร

P I G

208

6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 7.1 – 7.2 6.2 โจทยปญหาเกยวกบกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 6.3 บตรค าถาม 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การแกโจทยโดยแผนภาพตนไม 5. การท าบตรค าถาม

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตองและ สวยงาม 5. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง มความ รบผดชอบสง

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

209

………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


210


211



จดประสงคการเรยนร แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไมอยางงายได สาระส าคญ กฎขอท 1 ถาตองการท างานสองอยางโดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกนมวธท างานอยางทสองได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1n2 วธ สาระการเรยนร

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ กฎขอท 1 ถาตองการท างานสองอยางโดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกนมวธท างานอยางทสองได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1n2 วธ ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 นายด ามเสอ 2 ตว สตางกน และกางเกง 3 ตว สตางกน จงหาจ านวนวธ ทงหมดทนายด าสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กน วธท า นายด ามวธเลอกสวมเสอได 2 วธ และเลอกสวมกางเกงได 3 วธ นายด ามวธสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กนได 2 3 = 6 วธ ตอบ

212

หรออาจจะใชแผนภาพตนไมในการหาค าตอบไดดงน เสอ กางเกง ผลลพธ กๅ (ส1 , ก1) ส1 ก2 (ส1 , ก2) ก3 (ส1 , ก3) กๅ (ส2 , ก1) ส2 ก2 (ส2 , ก2) ก3 (ส2 , ก3) จากแผนภาพตนไม จะไดวา จ านวนวธทงหมดทนายด าเลอกสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ กนเทากบ 6 วธ ตวอยางท 2 นายวฒนาท าขอสอบ 5 ขอ แตละขอมตวเลอก 4 ตวเลอก จงหาวา นายวฒนาจะมวธท าขอสอบดงกลาวไดทงหมดกวธ วธท า นายวฒนาเลอกท าขอสอบได 5 วธ นายวฒนาเลอกตวเลอกในขอสอบแตละขอได 4 วธ นายวฒนามวธท าขอสอบไดทงหมด 5 4 = 20 วธ

213



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนร แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบ การนบและแผนภาพตนไมได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 มเลขโดด 10 ตว คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 น าเลขโดดเหลานมาสรางจ านวนทมสองหลกไดกจ านวน

2 จงหาจ านวนวธทงหมดในการท าขอสอบปรนย 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ

3 มนก 3 ตว และตนไมใหญ 4 ตน จงหาจ านวนวธทนก 3 ตว บนไปเกาะตนไม 5 ตนน

4 หองประชมหองหนงมประตเขา-ออก 8 ประต ผเขาประชมแตละคนจะมวธเดนเขา-ออกหองประชมแหงนโดยออกไมซ าประตเดมไดกวธ

5 ในการจบฉลากเพอหยบรายชอนกเรยนทมอย 100 คน เขารบรางวลท 1, 2 และ 3 ตามล าดบ จงหาจ านวนวธทจะเกดขนทงหมด

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… นกเรยนควรฝกตนเอง

214

ใหเปนผทม MQ, EQ และ AQ สง

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 7.1 1) 90 จ านวน 2) 40 วธ 3) 25 วธ 4) 56 วธ 5) 30 วธ

215



จดประสงคการเรยนร แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไมอยางงายได สาระส าคญ กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ขอท 2 คอ ท างานอยางแรกมวธท าได n1 วธ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกมวธทจะท างานอยางทสองได n2 วธ ในแตละวธท เลอกท างานอยางแรกและท างานอยางทสองมวธทจะท างานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จ านวนวธทงหมดทจะเลอกท างาน k อยาง เทากบ n1 n2 n3 . . . nk วธ สาระการเรยนร

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ตอ) ตวอยางท 1 มบตร 4 ใบ คอ น าบตรเหลานมาเรยงเปน

จ านวนทมสองหลก ไดกจ านวน วธท า จ านวนวธทเลอกบตร 4 ใบ วางในหลกสบได 4 วธ จ านวนวธทเลอกบตร 3 ใบ วางในหลกหนวย 3 วธ จ านวนทมสองหลกเทากบ 4 3 = 12 จ านวน หรออาจเขยนเปนแผนภาพตนไม ไดดงน 2 1 1 1 1 3 2 3 3 2 4 2 4 4 4 3 จ านวนทมสองหลก คอ 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43 จ านวนทม 2 หลกเทากบ 12 จ านวน ตอบ

1 2 3 4

216

ตวอยางท 2 จงน าอกษรจากค าวา SPECIAL มาจดเปนค าใหม โดยไมค านงถง ความหมาย จะจดเปนค าทแตกตางกนไดกจ านวน วธท า ต าแหนงท 1 2 3 4 5 6 7 ตวอกษร S P E C I A L เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 7 ตว วางในต าแหนงท 1 ได 7 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 6 ตว วางในต าแหนงท 2 ได 6 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 5 ตว วางในต าแหนงท 3 ได 5 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 4 ตว วางในต าแหนงท 4 ได 4 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 3 ตว วางในต าแหนงท 5 ได 3 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 2 ตว วางในต าแหนงท 6 ได 2 วธ เลอกตวอกษร 1 ตว จาก 1 ตว วางในต าแหนงท 7 ได 1 วธ จ านวนวธทเลอกตวอกษรจาก SPECAIL มาเรยงเปนค าไดทงหมด 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 จ านวน

217



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนร แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบ การนบและแผนภาพตนไมอยางงายได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 มบตร 4 ใบ คอ 1 2 3 4 น าบตรเหลานมาเรยง

เปนจ านวนทมสามหลกไดกจ านวน

2 จะมกวธทแตกตางกนในการใชส 6 ส ทาลกเตาหนาละส 3 ในการสอบวชาภาษาซงมขอสอบแบบถก-ผด อย 10 ขอ นกเรยน

จะเลอกตอบขอสอบทง 10 ขอ ดงกลาวไดกวธ

4 สมชายมเสอ 6 ตว สตางกน กางเกง 4 ตว สตางกน และรองเทา 2 ค สตางกน จงหาจ านวนวธทงหมดทสมชายสวมเสอ กางเกงและรองเทาเปนชดตาง ๆ กน

5 มหนงสอ 6 เลม ตองการน ามาจดเรยงกนเปนแถวบนชนหนงสอซงวางไดครงละ 3 เลม จะมวธจดเรยงหนงสอเหลานไดกวธ

คะแนนทได = ………………………… การเรยนคณตศาสตรตอง ผตรวจ ………………………………….. รอบคอบจงจะสอบไดคะแนนด วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………

218

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 7.2 1) 24 2) 720 3) 1,024 4) 48 5) 60

219


แฟกตอเรยล n

220




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 8 เรอง แฟกทอเรยล n การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 14 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 27 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


221


แผนการจดการเรยนรท 8 สปดาหท 14 ชวโมงท 27

เรอง แฟกทอเรยล n จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของแฟกทอเรยล n ได 1.1.2 น าความรเกยวกบแฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

222


27 1. ทบทวนความรเกยวกบกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ โดยใชการถาม-ตอบ พรอมยกตวอยางประกอบการอธบาย 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา หลงจากเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถ - บอกความหมายของแฟกทอเรยล n ได - น าความรเกยวกบแฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได 3. นกเรยนท าเอกสารแนะแนวทาง รหสท 8 โดยครใชการถาม-ตอบ และเฉลยค าตอบไปพรอมกน และรวมกนสรปความหมายของแฟกทอเรยล n ดงน บทนยาม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n หมายถง ผลคณของ จ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n แฟกทอเรยล n เขยนแทนดวย n! หรอ n 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 8.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 8 โดยศกษาตวอยางใหละเอยดทกขนตอน หากมขอสงสยใหสอบถามครผสอน 6. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 8.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 7. นกเรยนแขงขนเกมคณตศาสตร โดยใหนกเรยนสงตวแทนแถวละ 2 คน เพอตอบปญหาจ านวน 5 ขอ ตวแทนแถวใดท าไดคะแนนมากทสดเปนผชนะ และไดรบรางวล

223

4. สอการเรยนร 4.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 8 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 8.1 – 8.2 4.3 ใบความร รหสท 8 4.4 โจทยแขงขนเกมคณตศาสตร


6. หลกฐานการเรยนร 6.1 เอกสารแนะแนวทาง รหสท 8 6.2 แบบฝกทกษะ รหสท 8.1 – 8.2 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าโจทยแขงขนคณตศาสตร

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง

224

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


225


226


เอกสารแนะแนวทาง รหสเอกสารแนะแนวทางท 8 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 8 ชวโมงท 27 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง


ขอท ค าถาม แฟกทอเรยล

สญลกษณ อานวา 1 8 7 6 5 4 3 2 1 8! 8 แฟกทอเรยล 2 4 3 2 1 4! 4 แฟกทอเรยล 3 k(k – 1)(k – 2) . . . 3 2 1 เมอ k I+ k! k แฟกทอเรยล 4 6 5 4 3 2 1 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 a(a – 1)(a – 2) . . . 3 2 1 เมอ a I+ 7 7 6 5 4 3 2 1 8 5 4 3 2 1

สรป ให n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n คอ ………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

227

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง รหสท 8

ขอท แฟกทอเรยล

สญลกษณ อานวา 4 6! 6 แฟกทอเรยล 5 10! 10 แฟกทอเรยล 6 a! a แฟกทอเรยล 7 7! 7 แฟกทอเรยล 8 5! 5 แฟกทอเรยล

สรป ถาให n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวก ตงแต 1 ถง n แฟกทอเรยล n เขยนแทนดวย n! หรอ n

228



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 บอกความหมายของแฟกทอเรยล n ได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท โจทย ค าตอบ

1 จงเขยนจ านวนตอไปนในรปการคณ 1.1 3! 1.2 6! 1.3 7!

1.1 ……………………… 1.2 ……………………… 1.3 ………………………

2 จงเขยนจ านวนตอไปนในรปการคณของ 3 จ านวน 2.1 15! 2.2 25! 2.3 30!

2.1 ……………………… 2.2 ……………………… 2.3 ………………………

3 จงหาคาของจ านวนตอไปน

3.1 ! 4

! 6

3.2 ! 5

! 8

3.1 ……………………… 3.2 ………………………

4 จงเขยนจ านวนตอไปนในรปแฟกทอเรยล 4.1 61 62 63 4.2 n3 – 3n2 + 2n

4.1 ……………………… 4.2 ………………………

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ใหเวลาเรยนคณตมาก ความยากจะหายไป

229

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 8.1 1) 1.1 3 2 1 1.2 6 5 4 3 2 1 1.3 7 6 5 4 3 2 1 2) 2.1 15 14 13 ! 2.2 25 24 23 ! 2.3 30 29 28 ! 3) 3.1 30 3.2 336

4) 4.1 ! 60

! 63

4.2 ! 3) - (n

! n

230


ใบความร รหสใบความรท 8 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 8 ชวโมงท 27 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร น าความรเรอง แฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได สาระส าคญ แฟกทอเรยล n เปนชอทใชเรยกสญลกษณทางคณตศาสตรอยางหนง ซงจะน าไปใชเขยน ในเรองของการเรยงสบเปลยนและการจดหม ซงแฟกทอเรยล n หมายถง ผลคณของจ านวน เตมบวกตงแต 1 ถง n เขยนแทนดวย n! สาระการเรยนร

ตวอยางท 1 จงหาคาของ n จากสมการ ! 3) - (n

! n = 720

วธท า ! 3) - (n

! n = 720

! 3) - (n

! 3) - 2)(n - 1)(n - n(n = 720

n(n – 1)(n – 2) = 8 9 10 n(n – 1)(n – 2) = 10(10 – 1)(10 – 2)

ตวอยางท 2 จงหาคา n จากสมการ ! 1) - (n

! 1) (n = 1640

วธท า ! 1) - (n

! 1) (n = 1640

1 . . . 3) - 2)(n - 1)(n - (n

1 . . . 3) - 2)(n - 1)(n - 1)n(n (n = 1640

(n + 1)n = 1640 (n + 1)n = 41 40 n + 1 = 41 n = 40 ตอบ

231

ตวอยางท 3 จงแกสมการ ! 3) - (n

! 1) - (n = 20

วธท า ! 3) - (n

! 1) - (n = 20

! 3) - (n

! 3) - 2)(n - 1)(n - (n = 20

(n – 1)(n – 2) = 4 5 n – 1 = 5 หรอ n – 2 = 4 n = 6 ตอบ

232



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 น าความรเรอง แฟกทอเรยลไปใชใน การแกปญหาได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 จงแกสมการ ! 3) - (n

! 1) - (n = 56


! n = 60


! 1) (n = 3660

4 จงหาคา n จากสมการ ! 2) - (n

! n = 930

5 จงหาคา n จากสมการ ! 5 ! 5) - (n

! n = ! 3 ! 3) - (n

! n

คะแนนทได = ………………………… การเรยนคณตศาสตร ผตรวจ ………………………………….. ใหเขาใจตองสงสยและซกถาม วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………

233


234


การทดลองสมและแซมเปลสเปซ

235




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 9 เรอง การทดลองสมและแซมเปลสเปซ การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 14 – 15 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 28 – 29 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


236



เรอง การทดลองสมและแซมเปลสเปซ จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของการทดลองสมได 1.1.2 บอกความหมาย และหาจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการใหเหตผล 1.2.2 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มความเชอมนในตนเอง 1.3.3 มความซอสตย 2. สาระการเรยนร 2.1 การทดลองสม 2.2 แซมเปลสเปซ

237


28 1. ทบทวนความรเกยวกบแฟกทอเรยล n โดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงยกตวอยางประกอบการอธบาย 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวาหลงจากเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถ - บอกความหมายของการทดลองสมได - บอกความหมายและหาสมาชกของแซมเปลสเปซได 3. นกเรยนดแผนโปรงใส รหสท 9 แลวรวมกนพจารณาและอภปรายรวมกน จนไดขอสรป ดงน บทนยาม การทดลองสม คอ การทดลองซงทราบวาผลลพธอาจเกดขนได แตกตางกนหลายอยาง แตเราไมทราบวาผลลพธใดจะเกดขน 4. สมนกเรยนออกมาน าเสนอการทดลองสมหนาชนเรยน เพอเปนการตรวจสอบความเขาใจของนกเรยน 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 9.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 6. ใหนกเรยนแตละกลมบอกการทดลองทเปนการทดลองสมมา 5 ขอ เปนการบาน และเตรยมน าเสนอหนาชนเรยน

29 1. สมนกเรยนแตละกลมน าเสนอการทดลองทเปนการทดลองสมหนาชนเรยนโดยมเพอนและครใหก าลงใจ และตรวจแกไข (ถาม) 2. ทบทวนความรเกยวกบความหมายของการทดลองสม โดยใชการถาม-ตอบ 3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 9 โดยศกษาตวอยางโดยละเอยด แลวรวมกนอภปรายเกยวกบแซมเปลสเปซ หากมขอสงสยใหถามครผสอน 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 9.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลยและบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. นกเรยนแตละกลมเขยนแผนภาพตนไมแสดงการหาแซมเปลสเปซของการทดลองสม มา 1 ขอ สงครนอกเวลาเรยนเปนผลงานของกลม

238

4. สอการเรยนร 4.1 แผนโปรงใส รหสท 9 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 9.1 – 9.2 4.3 ใบความร รหสท 9


6. หลกฐานการเรยนร 6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 9.1 – 9.2 6.2 แผนภาพตนไม 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าแผนภาพตนไม

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง

239

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


240


241


แผนโปรงใส รหสเอกสารแนะแนวทางท 9 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 9 ชวโมงท 28 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ตวอยำงกำรทดลองสม

1. การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง 2. การโยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง 3. หยบลกบอล 1 ลก จากถงซงมลกบอล 5 ลก

สรป การทดลองสม คอ การทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเกดขนได แตกตางกนหลายอยาง แตเราไมทราบวาผลลพธใดจะเกดขน

242



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 บอกความหมายของการทดลองสมได

ค าชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย ลงในชองวางในแตละขอตอไปนทการทดลองนน เปนการทดลองสม

ขอท การทดลอง การทดลองสม

เปน ไมเปน 1 โยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง 2 ดงไพ 1 ใบ จากส ารบ 3 หาผลบวกของจ านวนสามจ านวน 4 เลอกนกเรยนทมความสงทสดในหอง 5 เลอกยมหนงสอทชอบอาน 1 เลม จากหองสมดกลมสาระคณตศาสตร 6 ซอสลากกนแบงรฐบาล 1 ใบ 7 เปดหนงสอหนาทมรปภาพมากทสด 8 จบสลากชอของนกเรยนในหองขนมา 1 คน

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… การแขงขนกรฑาของนกเรยน เปนการทดลองสมหรอไม เปน ไมเปน

243


ใบความร รหสใบความรท 9 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 9 ชวโมงท 29 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร บอกความหมายและหาสมาชกของแซมเปลสเปซได สาระส าคญ แซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทอาจจะเปนไปไดทงหมดของ การทดลองสม และใช S แทนแซมเปลสเปซของการทดลองสม สาระการเรยนร

แซมเปลสเปซ บทนยาม แซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทอาจจะเปนไปไดทงหมด ของการทดลองสม ใชสญลกษณ S แทนแซมเปลสเปซ ตวอยางท 1 จากการทดลองสมโดยการทดลองทอดลกเตา 2 ลก จงหาแซมเปลสเปซ ของแตมของลกเตาทหงายขน วธท า เนองจากโจทยสนใจแตมของลกเตาทหงายขน ดงนนเราจะตองเขยนแตมของ ลกเตาทมโอกาสทจะหงายขนทงหมด แซมเปลสเปซของการทดลองสม คอ S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

244

ตวอยางท 2 โยนเหรยญ 1 เหรยญ และลกเตา 1 ลก พรอมกน จงเขยนแผนภาพตนไม แสดงผลลพธและแซมเปลสเปซ วธท า เขยนแผนภาพตนไมไดดงน เหรยญบาท แตมบนลกเตา ผลลพธ 1 (H, 1) 2 (H, 2) 3 (H, 3) 4 (H, 4) 5 (H, 5) 6 (H, 6) 1 (T, 1) 2 (T, 2) 3 (T, 3) 4 (T, 4) 5 (T, 5) 6 (T, 6) S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}

H

T

245


แบบฝกทกษะ รหสแบบฝกทกษะท 9 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 9 ชวโมงท 29 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 บอกความหมายและหาจ านวน สมาชกในแซมเปลสเปซได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซแตละขอลงในชองวางใหถกตอง สมบรณ

ขอท การทดลองสม จ านวนสมาชกของ S n (S)

1 โยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง 2 การจบสลาก 1 ใบ จาก 10 ใบ หมายเลข 1 ถง 10 3 การจบสลาก 2 ใบ โดยจบทละใบจากสลาก 4 ใบ หมายเลข

1, 2, 3 และ 4 ตามล าดบ

4 การเขยนเลขทาย 3 ตว จากเลขโดด 0, 5, 9 5 หยบลกบอล 1 ลก จากกลองใบหนงทมลกบอลสแดง 2 ลก

สขาว 1 ลก

6 ถงใบหนงมลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก หยบลกบอลออกจากถง 2 ลก

7 มบตรอย 10 ใบ ซงแตละใบมหมายเลข 1, 2, 3, . . . , 10 ตามล าดบ สมหยบบตรมา 2 ใบ พรอมกน จงหาแซมเปลสเปซของผลรวมของหมายเลขบนบตร

8 โยนลกเตา 1 ลก คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ………

246

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 9 1) n (S) = 4 2) n (S) = 10 3) n (S) = 12 4) n (S) = 27 5) n (S) = 3 6) n (S) = 10 7) n (S) = 17 8) n (S) = 6

247


เหตการณ

248




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 10 เรอง เหตการณ การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 15 – 16 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 30 – 32 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


249


แผนการจดการเรยนรท 10 สปดาหท 15 - 16 ชวโมงท 30 -32

เรอง เหคการณ จ านวนชวโมงสอน 3 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของเหตการณได 1.1.2 บอกความหมายและจ านวนสมาชกในยเนยน อนเตอรเซกชน ดสจอยและ คอมพลเมนตของเหตการณได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.2.4 มความคดสรางสรรค 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มความเชอมนในตนเอง 1.3.3 มความซอสตย 2. สาระการเรยนร 2.1 ความหมายของเหตการณ 2.2 ยเนยนของเหตการณ 2.3 อนเตอรเซกชนของเหตการณ 2.4 เหตการณทไมเกดรวมกน 2.5 คอมพลเมนตของเหตการณ

250


30 1. ทบทวนความรเกยวกบการทดลองสมและแซมเปลสเปซ โดยใชการถาม-ตอบ 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวาหลงจากเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถ - บอกความหมายของเหตการณ - บอกความหมายและหาสมาชกในยเนยน อนเตอรเซกชน ดสจอย และคอมพลเมนตของเหตการณได 3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 10.1 แลวรวมกนสรปความหมายของเหตการณ และยเนยนของเหตการณ ถามปญหาสงสยใหถามครผสอน 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 10.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง

31 – 32 1. ทบทวนความรเกยวกบเหตการณ และยเนยนของเหตการณ โดยใชการถาม-ตอบ พรอมทงยกตวอยางประกอบ 2. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 10.2 แลวรวมกนสรปควมหมายของอนเตอรเซกชน เหตการณทไมเกดรวมกน และคอมพลเมนตของเหตการณ ถามปญหาสงสยใหถามครผสอน 3. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 10.2 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 4. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 10 เปนการบานเพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร 5. นกเรยนแตละกลมจดท าสมดเลมเลกคณตศาสตร เรองเหตการณ สงครนอกเวลาเรยน เปนผลงานของกลม

4. สอการเรยนร 4.1 เอกสารประกอบการสอน รหสท 10.1 – 10.2 4.2 แบบฝกทกษะ รหสท 10.1 – 10.2

251


6. หลกฐานการเรยนร 6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 10.1 – 10.2 6.2 สมดเลมเลกคณตศาสตร เรอง เหตการณ 7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าสมดเลมเลมคณตศาสตร

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง สวยงาม

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

252

8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


253


254



จดประสงคการเรยนร - บอกความหมายของเหตการณได - บอกความหมายและสมาชกในยเนยนของเหตการณได สาระส าคญ เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ ยเนยนของเหตการณประกอบดวยสมาชกของ เหตการณ E1 หรอของเหตการณ E2 หรอทงสองเหตการณ สาระการเรยนร 1. เหตการณ (Events) บทนยาม เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ ตวอยางท 1 โยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง จงหา 1. เหตการณทเหรยญขนหว 1 เหรยญ และกอย 1 เหรยญ 2. เหตการณทเหรยญขนหวทงสองเหรยญ 3. เหตการณทเหรยญขนกอยอยางนอย 1 เหรยญ 4. เหตการณทเหรยญขนกอยทงสองเหรยญ วธท า S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} ให E1 แทนเหตการณทเหรยญขนหว 1 เหรยญ และกอย 1 เหรยญ E1 = {(H, T), (T, H)} E2 แทนเหตการณทเหรยญขนหวทงสองเหรยญ E2 = {(H, H)} E3 แทนเหตการณทเหรยญขนกอยอยางนอย 1 เหรยญ E3 = {(H, T), (T, H), (T, T)}

255

E4 แทนเหตการณทเหรยญขนกอยทงสองเหรยญ E4 = {(T, T)} 2. ยเนยนของเหตการณ ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณแลว ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 คอ เหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 หรอของเหตการณ E2 หรอทงสอง เหตการณ เขยนแทนยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 ดวยสญลกษณ E1 E2 ตวอยางท 2 ในการจบสลาก 1 ใบ จาก 20 ใบ หมายเลข 1 ถง 20 เมอก าหนดให E1 แทน เหตการณทไดสลากเปนจ านวนท 2 หารลงตว E2 แทน เหตการณทไดสลากเปนจ านวนท 3 หารลงตว E3 แทน เหตการณทไดสลากเปนจ านวนเฉพาะ จงหา (E1 E2) , (E1 E3) และ (E2 E3) วธท า จากการจบสลาก 1 ใบ จาก 20 ใบ จะไดแซมปลสเปซ ดงน S = {1, 2, 3, . . . , 20} E1 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} E2 = {3, 6, 9, 12, 15, 18} E3 = {2, 3, 5, 7,11, 13} (E1 E2) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} (E1 E3) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20} (E2 E3) = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 18} ตอบ

256

ตวอยางท 3 ก าหนด S = {a, b, c, d, e, f, g, h} E1 = {a, b, c, h} E2 = {c, d, e, f} E3 = {a, e, g} จงหา (E1 E2) และ (E2 E3) วธท า จาก E1 = {a, b, c, h} E2 = {c, d, e, f} (E1 E2) = {a, b, c, d, e, f, h} (E2 E3) = {a, c, d, e, f, g}

257



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 – 1.1.2 บอกความหมายของเหตการณ และบอกความหมายและสมาชกในยเนยนของเหตการณได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ 1. จากการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง 1.1 จงเขยนเหตการณ E1 ทลกเตาขนแตมรวมเปน 5 E1 = …………………………………………………………………………… 1.2 จงเขยนเหตการณ E2 ทลกเตาขนแตมเหมอนกน E2 = …………………………………………………………………………… 1.3 จงเขยนเหตการณ E3 ทลกเตา 2 ลก ขนแตมรวมมากกวา 10 E3 = …………………………………………………………………………… 2. ในการจบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซงมหมายเลข 0 ถง 9 ก ากบอยใบละ หมายเลข ให E1 เปนเหตการณทจบสลากไดหมายเลขทเปนจ านวนค E2 เปนเหตการณทจบสลากไดหมายเลขเปนจ านวนค E3 เปนเหตการณทจบสลากไดหมายเลขเปนจ านวนเฉพาะ 2.1 E1 E2 = ………………………………………………………………. 2.2 E1 E3 = ………………………………………………………………. 2.3 E2 E3 = ……………………………………………………………….

258

3. โยนเหรยญบาท 3 เหรยญ 1 ครง ถา E1 เปนเหตการณทเหรยญออกหว 2 เหรยญ และ E2 เปนเหตการณทเหรยญเหรยญแรกออกกอย จงหา E1 E2 E1 E2 = ……………………………………………………………….. 4. ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมค , E2 เปนเหตการณ ทไดแตมเปนจ านวนเฉพาะ และ E3 เปนเหตการณทไดแตมค จงหา 4.1 E1 E2 = ……………………………………………………………….. 4.2 E1 E3 = ……………………………………………………………….. 4.3 E2 E3 = ……………………………………………………………….. คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. ฝกทกษะการคด วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ใหมากจะไมยากใน การเรยนคณต

259

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 10.1 1) 1.1 E1 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} 1.2 E2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 1.3 E3 = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)} 2) 2.1 E1 E2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2.2 E1 E3 = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 2.3 E2 E3 = {1, 2, 3, 5, 7, 9} 3) E1 E2 = {(H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)} 4) 4.1 E1 E2 = {2, 3, 4, 5, 6} 4.2 E1 E3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4.3 E2 E3 = {1, 2, 3, 5}

260


ใบความร รหสใบความรท 10.2 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 10 ชวโมงท 31 – 32 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร บอกความหมายและสมาชกอนเตอรเซกชน ดสจอย และคอมพลเมนตของเหตการณได สาระส าคญ เหตการณจะมการด าเนนการเชนเดยวกบเซต คอ อนเตอรเซกชน ดสจอย และ คอมพลเมนต สาระการเรยนร

อนเตอรเซกชนของเหตการณ (Intersection of events) บทนยาม ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณแลว อนเตอรเซกชน ของเหตการณ E1 และ E2 คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชก ทอยท งในเหตการณ E1 และเหตการณ E2 เขยนแทนอนเตอรเซกชน ของเหตการณ E1 และ E2 ดวยสญลกษณ E1 E2 จากบทนยาม แสดงเหตการณ E1 และ E2 ดวยแผนภาพของเวนนไดดงน S E1 E2

E1 E2 คอ สวนทแรเงา

261

เหตการณทไมเกดรวมกน (Mutaully events or disjoint events) บทนยาม ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ และ E1 E2 = แลว จะเรยกเหตการณ E1 และ E2 วาเหตการณทไมเกดรวมกน จากบทนยาม สามารถแสดงเหตการณ E1 และ E2 ดวยแผนภาพของเวนนไดดงน S E1 E2 E1 E2 = คอมพลเมนตของเหตการณ (Complement of events) บทนยาม ถา S เปนแซมเปลสเปซ และ E เปนเหตการณทเปนสบเซตของ S แลว คอมพลเมนตของเหตการณ E คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชก ทอยในแซมเปลสเปซ S แตไมอยในเหตการณ E เขยนแทนคอมพลเมนต ของเหตการณ E ดวยสญลกษณ E/ จากบทนยาม แสดงเหตการณ E

S E E/

E/ คอสวนทแรเงา

262

ตวอยางท 1 ก าหนดให S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} E1 = {1, 3, 5, 7, 9} E2 = {2, 4, 6, 8, 10} E3 = {3, 6, 9} จงหา E1 E2 , E1 E3 , E2 E3 , E1

/ และ E3/

วธท า E1 E2 = ซงเรยกวาเหตการณทไมเกดรวมกน E1 E3 = {3, 9} E2 E3 = { 6 } E1

/ = {2, 4, 6, 8, 10} E3

/ = {1, 2, 5, 7, 8, 10} ตอบ ตวอยางท 2 ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาให E1 เปนเหตการณทไดแตมค , E2 เปนเหตการณไดแตมค และ E3 เปนเหตการณทไดแตมเปน จ านวนเฉพาะ จงหา E1 E2 , E2 E3 , E2

/ และ E3/

วธท า ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จะไดแซมเปลสเปซ ดงน S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ E1 = {2, 4, 6} E2 = {1, 3, 5} E3 = {2, 3, 5} E1 E2 = ซงเรยกวาเหตการณทไมเกดรวมกน E2 E3 = {3, 5} E2

/ = {2, 4, 6} E3

/ = {1, 4, 6}

263


แบบฝกทกษะ รหสแบบฝกทกษะท 10.2 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 10 ชวโมงท 31 - 32 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 บอกความหมายและสมาชกใน อนเตอรเซกชน ดสจอย และคอมพลเมนตของเหตการณได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ 1. ทอดลกเตาสองลก 1 ครง ถาให E1 เปนเหตการณทลกเตาออกแตมตรงกน , E2 เปนเหตการณทผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองเปน 9 และ E3 เปนเหตการณ ทผลตางของแตมบนลกเตาทงสองเปน 2 จงหา 1.1 E1 E2 = ………………………………………………………………… 1.2 E2 E3 = ………………………………………………………………… 1.3 E1

/ = ………………………………………………………………… 1.4 E3

/ = ………………………………………………………………… 2. โยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง ถาให E1 เปนเหตการณทเหรยญจะออกหวทงสองเหรยญ E2 เปนเหตการณทเหรยญจะออกหวอยางนอย 1 เหรยญ และ E3 เปนเหตการณทเหรยญ จะออกกอยอยางนอย 1 เหรยญ จงหา 2.1 E1 E2 = ………………………………………………………………… 2.2 E2 E3 = ………………………………………………………………… 2.3 E1 E3 = ………………………………………………………………… 2.4 E1

/ = …………………………………………………………………

264

3. สมหยบไพ 1 ใบ จากส ารบ ซงม 52 ใบ ถาให E1 เปนเหตการณทหยบไดไพ K E2 เปนเหตการณทหยบไดไพสด า และ E3 เปนเหตการณทหยบไดไพสแดง จงหา 3.1 E1 E2 = ………………………………………………………………… 3.2 E2 E3 = ………………………………………………………………… 3.3 E2

/ = ………………………………………………………………… 3.4 E3

/ = ………………………………………………………………… 4. โยนเหรยญหาบาท 3 เหรยญ 1 ครง ถา E1 เปนเหตการณทเหรยญออกหว 2 เหรยญ E2 เปนเหตการณทเหรยญออกกอย 2 เหรยญ และ E3 เปนเหตการณทเหรยญเหรยญแรก ออกกอย จงหา 4.1 E1 E2 = ………………………………………………………………… 4.2 E1 E3 = ………………………………………………………………… 4.3 E2 E3 = ………………………………………………………………… 4.4 E2

/ = ………………………………………………………………… คะแนนทได = ………………………… คณตศาสตรเปนพนฐาน ผตรวจ ………………………………….. ทกสาขาวชา ควรศกษา

วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ใหถองแท แมจะยาก กตองทน

จรงไหม ! เจานาย

265

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 10.2 1) 1.1 E1 E2 = 1.2 E2 E3 = 1.3 E1

/ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} 1.4 E3

/ = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (6, 6)} 2) 2.1 E1 E2 = {(H, H)} 2.2 E2 E2 = {(H, T), (T, H)} 2.3 E1 E3 = 2.4 E1

/ = {(H, T), (T, H), (T, T)} 3) 3.1 E1 E2 = 3.2 E2 E3 = 3.3 E2

/ = {x | x เปนไพสแดง} 3.4 E3

/ = {x | x เปนไพสด า} 4) 4.1 E1 E2 = 4.2 E1 E3 = {(T, H, H)} 4.3 E2 E3 = {(T, T, H), (T, H, T)} 4.4 E2

/ = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, T)}

266


เอกสารฝกหดเพมเตม

รหสเอกสารฝกหดเพมเตมท 10 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 10 ชวโมงท 31 - 32 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอ 1. ก าหนดให S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18} E1 = {3, 9, 15, 18} E2 = {1, 3, 5, 7, 11, 13} E3 = {9, 18} จงหา E1 E2 , E1 E3 , E2 E3 และ E3

/ 2. โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง และให E1 เปนเหตการณทผลรวมของแตมหนาทหงายเปน 7 E2 เปนเหตการณทผลตางของแตมหนาทหงายเปน 2 และ E3 เปนเหตการณทผลรวม ของแตมทหงายหารดวย 3 ลงตว จงหา 2.1 E1 E2 2.2 E2 E3 2.3 E1 E3 2.4 E2

/

267


ความนาจะเปนของเหตการณ

268




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 11 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 17 – 18 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 33 – 35 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


269


แผนการจดการเรยนรท 11 สปดาหท 17 – 18 ชวโมงท 33 –35

เรอง ความนาจะเปนของเหคการณ จ านวนชวโมงสอน 3 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 บอกความหมายของความนาจะเปนของเหตการณได 1.1.2 หาความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดใหได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มความซอสตย 1.3.3 มความกระตอรอรนในการเรยน 2. สาระการเรยนร 2.1 ความนาจะเปนของเหตการณ

270

3. กจกรรมการเรยนร ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 33 – 34 1. ทบทวนความรเกยวกบเหตการณและการด าเนนการของเหตการณ โดยใชการ

ถาม-ตอบ 2. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถ - บอกความหมายความนาจะเปนของเหตการณได - หาความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดใหได 3. นกเรยนดแผนใส รหสท 11.1 – 11.2 แลวรวมกนสรปความหมายของความนาจะเปนของเหตการณ โดยครคอยชแนะแนวทาง ซงไดขอสรปดงน บทนยาม ถา n (S) เปนจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซ S ซงประกอบ ดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน และ n (E) เปนจ านวน สมาชกของเหตการณ E ซงเปนสบเซตของ S แลว

ความนาจะเปนของเหตการณ E เทากบ (S) n

(E) n

ความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E)

P(E) = (S) n

(E) n

4. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 11 โดยศกษาตวอยางใหละเอยด จนกวาจะเขาใจ แลวรวมกนสรปวธหาความนาจะเปนของเหตการณวาตองหาอะไรบาง ซงนกเรยนสวนใหญสรปวา จะตองหา n (E) และ n (S) 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 10.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 6. นกเรยนแตละกลมหาโจทยเกยวกบการหาความนาจะเปนของเหตการณในหองสมดของโรงเรยน กลมละ 1 ขอ เพอน าเสนอหนาชนเรยนในชวโมงตอไป

35 1. นกเรยนอาสาน าเสนอโจทยเกยวกบการหาความนาจะเปนของเหตการณหนาชนเรยน โดยมเพอนและครผสอนคอยตรวจสอบและซกถาม โดยครกลาวชมเชยและใหก าลงใจ หลงจากการน าเสนอจบ

271

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 2. นกเรยนแตละกลมสงตวแทนกลมละ 1 คน เพอเขาแขงขนโจทยคณตศาสตร

หนาชนเรยน โดยนกเรยนแตละกลมทเหลอคอยใหก าลงใจ 3. นกเรยนรวมกนเฉลยโจทยการแขงขนคณตศาสตรบนกระดาน ครผสอนประกาศผลการแขงขน และมอบรางวลกลมทชนะเลศ 4. นกเรยนท าเอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 11 เปนการบานเพอเสรมทกษะและความแมนย าในการเรยนร

4. สอการเรยนร 4.1 แผนโปรงใส รหสท 11.1 – 11.2 4.2 ใบความร รหสท 11 4.3 แบบฝกทกษะ รหสท 11 4.4 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 11 4.5 โจทยแขงขนคณตศาสตร 5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน 6. หลกฐานการเรยนร 6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 1 6.2 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 11 6.3 โจทยปญหาเกยวกบการหาความนาจะเปนของเหตการณ

272


การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าโจทยแขงขนคณตศาสตร 5. การน าเสนอโจทยปญหาเกยวกบ การหาความนาจะเปนของเหตการณ

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนน าเสนอไดถกตองและมความ รบผดชอบด

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

273

8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


274


275


แผนโปรงใส รหสแผนโปรงใสท 11.1 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 11 ชวโมงท 33 – 34 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

ความหมายของความนาจะเปน

พจารณา S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} E1 = {6, 12, 18} E2 = {4, 8, 12, 16, 20}

จะได n (S) = 10 , n (E1) = 3 และ n (E2) = 5

ถาให P(E1) แทน ความนาจะเปนของ E1 P(E2) แทน ความนาจะเปนของ E2

ดงนน

P(E1) = (S) n

)(E n 1

สรปไดวา ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณใดยอมเทากบ จ านวนสมาชกในเหตการณนนหารดวยจ านวนสมาชกใน แซมเปลสเปซ

276


แผนโปรงใส รหสแผนโปรงใสท 11.2 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 11 ชวโมงท 33 – 34 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

พจารณา ในการสอบถามนกเรยน 3 คน วาจะเลอกเรยนภาษาจนหรอไม อาจจะไดค าตอบทงหมดเปนดงน ให ล แทน ค าตอบ “เลอกเรยน” ม แทน ค าตอบ “ไมเลอกเรยน”

คนท 1 คนท 2 คนท 3 ผลลพธ ล ล, ล, ล ล ม ล, ล, ม ล ล ล, ม, ล ม ม ล, ม, ม ล ม, ล, ล ล ม ม, ล, ม ม ล ม, ม, ล ม ม ม, ม, ม

S = {(ล, ล, ล), (ล, ล, ม), (ล, ม, ล), (ล, ม, ม), (ม, ล, ม), (ม, ล, ล), (ม, ม, ล), (ม, ม, ม)} , n (S) = 8 ถา E เปนเหตการณทนกเรยนตอบวาเลอกอยางนอย 2 คน E = {(ล, ล, ล), (ล, ล, ม), (ล, ม, ล), (ม, ล, ล)} n (E) = 4 P(E) =

(S) n

(E) n = 8

4 = 2

1

สรป การหาความนาจะเปนของเหตการณใด จะตองหา n (E) และ n (S) กอน

277


ใบความร รหสใบความรท 11 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 11 ชวโมงท 33 – 34 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร - บอกความหมายของความนาจะเปนของเหตการณได - บอกความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดใหได สาระส าคญ ความนาจะเปนของเหตการณหาไดจากจ านวนสมาชกในเหตการณนนหารดวยจ านวน สมาชกในแซมเปลสเปซ สาระการเรยนร

ความนาจะเปนของเหตการณ ความนาจะเปน เปนจ านวนทบอกใหทราบวาเหตการณทเราสนใจมโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด บทนยาม ถา n (S) เปนจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซ S ซงประกอบดวย สมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน และ n(E) เปนจ านวนสมาชก ของเหตการณ E ซงเปนสบเซตของ S แลว ความนาจะเปนของ

เหตการณ E เทากบ (S) n

(E) n ซงความนาจะเปนของเหตการณ E

เขยนแทนดวย P(E)

P(E) = (S) n

(E) n

278

ตวอยางท 1 โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปน 1.1 ทลกเตาหงายแตมเปนจ านวนท 3 หารลงตว 1.2 ทลกเตาหงายแตมมากกวา 2 1.3 ทลกเตาหงายแตมเปนจ านวนเฉพาะ วธท า โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง จะไดแซมเปลสเปซ ดงน S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n (S) = 6 1.1 ให E1 แทน เหตการณทลกเตาหงายแตมเปนจ านวนท 3 หารลงตว E1 = {3, 6} , n (E1) = 2

จาก P(E) = (S) n

(E) n

แทนคา P(E1) = (S) n

)(E n 1

= 6

2 = 3

1

1.2 ให E2 แทน เหตการณทลกเตาหงายแตมมากกวา 2 E2 = {3, 4, 5, 6} , n (E2) = 4

P(E2) = (S) n

)(E n 2

= 6

4 = 3

2

1.3 ให E3 แทน เหตการณทลกเตาหงายแตมเปนจ านวนเฉพาะ E3 = {2, 3, 5} , n (E3) = 3

P(E3) = (S) n

)(E n 3

= 6

3 = 2

1

279

ตวอยางท 2 เรยงบตร 3 ใบ คอ A C T ใหเปนค าตาง ๆ จงหาความนาจะเปน ทไดค าทมความหมาย วธท า เรยงบตร 3 ใบ ไดดงน ACT, ATC, TCA, CTA, CAT, TAC n(S) = 6 ให A แทน เหตการณทไดค าทมความหมาย A = {CAT} , n(A) = 1

P(A) = n(S)

n(A)

= 6

1

สมบตทส าคญของความนาจะเปน 1. ความนาจะเปนของเหตการณ E ใด ๆ มคาเทากบ 1 นนคอ 0 P(E) 1 2. ความนาจะเปนของแซมเปลสเปซ S มคาเทากบ 1 นนคอ P(S) = 1 3. ความนาจะเปนของเหตการณทเปนเซตวางมคาเทากบ 0 นนคอ P() = 0

280


แบบฝกทกษะ รหสแบบฝกทกษะท 11 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 11 ชวโมงท 33 - 34 จ านวนชวโมงสอน 2 ชวโมง

แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 หาความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดใหได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท โจทย ค าตอบ

1 ครอบครวหนงมบตร 2 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1.1 บตรคนแรกเปนชาย 1.2 บตรทงสองคนเปนหญง 1.3 บตรชายอยางนอย 1 คน

1.1 …………………. 1.2 …………………. 1.3 ………………….

2 จากการสอบถามนกเรยน 3 คน วาชอบเรยนคณตศาสตรหรอไม จงหาความนาจะเปนท 2.1 นกเรยนทงสามคนชอบเรยนคณตศาสตร 2.2 นกเรยนอยางนอย 1 คน ไมชอบเรยนคณตศาสตร

2.1 …………………. 2.2 ………………….

3 สมเลอกตวอกษรในค าวา “mountain” จงหาความนาจะเปน 3.1 ทจะเลอกไดสระในภาษาองกฤษ 3.2 ทจะเลอกไดตวอกษรทไมใชสระภาษาองกฤษ 3.3 ทจะเลอกได n

3.1 …………………. 3.2 …………………. 3.3 ………………….

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ชวตจะกาวหนา ตองพงพาคณตศาสตร

281

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 11

1) 1.1 2

1

1.2 4

1

1.3 4

3

2) 2.1 8

1

2.2 8

7

3) 3.1 2

1

3.2 2

1

3.3 4

1

282

โจทยแขงขนคณตศาสตร ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ใชเวลาท า 10 นาท

1. ทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนทลกเตาจะหงายแตมรวมท 3 หารลงตว ตอบ …………………………………………………………………………………………

2. สมหยบไพ 1 ใบ จากส ารบทม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะหยบไดไพ K ตอบ …………………………………………………………………………………………

3. โยนเหรยญ 3 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญขนหวอยางนอย 2 เหรยญ ตอบ …………………………………………………………………………………………

4. มเลขอย 10 ตว คอ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 สมหยบมา 1 ตว จงหาความนาจะเปนท จะหยบไดเลขท 5 หารลงตว ตอบ …………………………………………………………………………………………

5. สมเลอกตวอกษร 1 ตว ในค าวา “SPECIAL” จงหาความนาจะเปนทจะไดสระในภาษา องกฤษ ตอบ …………………………………………………………………………………………

283


เอกสารฝกหด เพมเตม

รหสเอกสารฝกหดเพมเตมท 11 ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 11 ชวโมงท 35 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอ 1. โยนลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 1.1 ผลรวมของแตมเปน 8 1.2 ผลตางของแตมเปน 4 1.3 ผลรวมของแตมเปน 14 2. ครคนหนงท าสลากเลขสองตว หมายเลข 00 ถง 99 ถานกเรยนสมหยบขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทผลบวกของเลขโดยในสลากเปน 5 3. มกลมคน 2 กลม กลมละ 7 คน แตละกลมมคนทเกดวนจนทร, องคาร, พธ, พฤหสบด ศกร, เสาร และอาทตย สมเลอกคน 1 คน จากแตละกลม จงหาความนาจะเปนทคนทง สองจะเกดวนเดยวกน 4. นายจกรพงษ ชวนเพอน 3 คน ไปเทยว จงหาความนาจะเปนทเพอนตอบวาไปอยางนอย สองคน 5. นายวชยโยนเหรยญสบบาท 1 ครง พรอม ๆ กบโยนลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปน ทจะไดหวและเลขค

284


กฎบางประการของความนาจะเปน

285




ใชส าหรบแผนการจดการเรยนรท 12 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน การก าหนดการใชแผนการจดการเรยนร สปดาหท 18 – 20 จ านวนนกเรยนทเรยน คน ชวโมงท 36 – 40 สอนวนท ผจดท า / ผใชแผน





………………………………………………… ………………………………………………… ลงชอ ……………………………. ….. (……………………………….)


286


แผนการจดการเรยนรท 12 สปดาหท 18 – 20 ชวโมงท 36 –40

เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน จ านวนชวโมงสอน 5 ชวโมง ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………

1. จดประสงคการเรยนร 1.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 1.1.1 หาความนาจะเปนของคอมพลเมนตของเหตการณ E ได 1.1.2 หาความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ได 1.1.3 หาความนาจะเปนของเหตการณ E1 และ E2 ได 1.1.4 หาความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกนได 1.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนมความสามารถ 1.2.1 ในการแกปญหา 1.2.2 ในการใหเหตผล 1.2.3 ในการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 1.3 ดานคณลกษณะ 1.3.1 มความรบผดชอบ 1.3.2 มระเบยบวนย 1.3.3 มความเชอมนในตนเอง 2. สาระการเรยนร 2.1 ความนาจะเปนของคอมพลเมนตของเหตการณ E 2.2 ความนาจะเปนของเหตการณ E1 E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ได 2.3 ความนาจะเปนของเหตการณ E1 และ E2 2.4 การใชแผนภาพตนไมของความนาจะเปน

287


36 1. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบแผนการจดการเรยนรนแลว นกเรยนจะสามารถ - หาความนาจะเปนของคอมพลเมนตของเหตการณ E ได - ความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ได - หาความนาจะเปนของเหตการณ E1 และ E2 ได - หาความนาจะเปนของเหตการณโดยใชแผนภาพตนไมได 2. ทบทวนความรเกยวกบความนาจะเปนของเหตการณ E โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายโดยสรป 3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 12.1 แลวรวมกนสรปวธหาความนาจะเปนของคอมพลเมนตของเหตการณ พรอมทงซกถามครผสอนจนกวาจะเขาใจ 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 12.1 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง

37 – 38 1. ทบทวนความรเกยวกบความนาจะเปนของคอมพลเมนตของเหตการณ E โดยใชการถาม-ตอบ ประกอบการอธบายโดยสรป 2. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 12.2 แลวรวมกนอภปรายกลมยอยตลอดซกถามปญหาทสงสยจากครผสอน โดยครเดนดคอยชแนะแนวทางใหอยางใกลชด 3. นกเรยนรวมกนสรปวธหาความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ได ดงน 1. ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณทไมเกดรวมกน (E1 E2 = ) แลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) 2. ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ โดยท E1 E2 แลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 12.2 และเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลย และบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง

288

ชวโมงท กจกรรมการเรยนร / สอการเรยนร 5. นกเรยนสงตวแทนกลมละ 1 คน เพอแขงขนโจทยคณตศาสตร หนาชนเรยน

กลมทท าคะแนนไดมากทสดจะเปนผชนะ และไดรบรางวล 6. ครและนกเรยนรวมกนเฉลยโจทยแขงขนคณตศาสตร พรอมทงประกาศผลการแขงขน และชมเชยนกเรยน นกเรยนทสนใจเขารวมกจกรรมเปนอยางด

39 – 40 1. ซกถามปญหาเกยวกบการท าการบาน พรอมทงเฉลยค าตอบบนกระดาน 2. ทบทวนความรเกยวกบความนาจะเปนของเหตการณ E1 E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 โดยใชการถาม-ตอบ 3. นกเรยนศกษาใบความร รหสท 12.3 แลวรวมกนอภปรายกลมยอยเกยวกบการหาความนาจะเปนของเหตการณ E1 และ E2 และการหาความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน โดยครใชการถาม-ตอบ และแนะแนวทางนกเรยนอยางใกลชด 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะ รหสท 12.3 แลวเปลยนกนตรวจตามแผนภมเฉลยและบนทกคะแนนทไดไว โดยครตรวจสอบความถกตองอกครง 5. นกเรยนท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธ เรอง ความนาจะเปน เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน หลงจากเรยนจบแผนการจดการเรยนรท 7 – 12 (หนวยการเรยนรท 4)

4. สอการเรยนร 4.1 ชดการเรยนการสอน รหสท 12.1 – 12.2 4.2 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 12 4.3 ใบความร รหสท 12 4.4 แบบฝกทกษะ รหสท 11 4.5 โจทยแขงขนคณตศาสตร 5. แหลงการเรยนร 5.1 หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 5.2 หองสมดโรงเรยน 5.3 หองสมดประชาชน

289

6. หลกฐานการเรยนร 6.1 แบบฝกทกษะ รหสท 12 6.2 เอกสารฝกหดเพมเตม รหสท 12


การวดผล การประเมนผล 1. สงเกตจากการตอบค าถาม 2. สงเกตจากการเขารวมกจกรรม 3. การท าแบบฝกทกษะ 4. การท าเอกสารฝกหดเพมเตม 5. การท าโจทยแขงขนคณตศาสตร

1. นกเรยนสวนใหญตอบค าถามไดถกตอง 2. นกเรยนสนใจและรวมกจกรรมด 3. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 4. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง 5. นกเรยนสวนใหญท าไดถกตอง

8. บนทกหลงการจดการเรยนร 8.1 สรปผลการเรยนร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. 8.2 แนวทางในการแกไขและพฒนา ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

290

8.3 ขอเสนอแนะ ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ลงชอ ……………………………………. ครผสอน (………………………………………)


291


292



จดประสงคการเรยนร หาความนาจะเปนของคอมพลเมนตของเหตการณ E ได สาระส าคญ คอมพลเมนตของเหตการณ E หาไดจาก P(E/) = 1 – P(E) หรอ P(E) + P(E/) = 1 สาระการเรยนร

คอมพลเมนตของเหตการณ E พจารณา S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} E = {3, 9}

P(E) = 7

2

ถาให E/ เปนคอมพลเมนตของเหตการณ E E/ = {1, 5, 7, 11, 13}

P(E/) = 7

5

= 7

2 -

7

7

= 1 - 7

2

= 1 – P(E) E/ เปนคอมพลเมนตของเหตการณ E ซงเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S แลว P(E/) = 1 – P(E) หรอ P(E) + P(E/) = 1

293

ตวอยางท 1 ก าหนด S = {a, b, c, d, e, f} และ E = {a, d, f} จงหา P(E/) วธท า จาก S = {a, b, c, d, e, f} E = {a, d, f}

P(E) = 6

3

= 2

1

จาก P(E/) = 1 – P(E)

P(E/) = 1 – 2

1

= 2

1 ตอบ

ตวอยางท 2 ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง และให E แทนเหตการณทลกเตาหงายแตมเปน จ านวนค จงหา P(E/) วธท า S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมเปนจ านวนค E = {2, 4, 6}

P(E) = 6

3

= 2

1

จาก P(E/) = 1 – P(E)

= 1 – 2

1

= 2

1 ตอบ

294



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.1 หาความนาจะเปนของคอมพลเมนตเหตการณ E ได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท โจทย ค าตอบ

1 ก าหนดให S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} และ E = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} จงหา P(E./)

2 โยนเหรยญหาบาท 2 เหรยญ พรอมกน ถา E เปนเหตการณทเหรยญหงายกอยอยางนอย 1 เหรยญ จงหา P(E./)

3 ในการโยนลกเตา 2 ลก พรอมกน ถา A เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมคทงสองลก จงหา P(A./)

4 ในกลองใบหนงมปากกาสแดง 3 ดาม และสน าเงน 2 ดาม ถาสมหยบขนมา 1 ดาม จงหาความนาจะเปนทจะหยบไมไดสน าเงน

5 ดงไพ 1 ใ บ ออกจากส ารบ ถาให B เปนเหตการณทจะไดไพสด า จงหา P(B./)

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. เรยนคณตตองขยนคดและ วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… ไตรตรอง ลองฝกโจทยใหมาก ไมยากเลย

295


1) 16

9

2) 4

1

3) 4

3

4) 5

2

5) 2

1

296




หาความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ได

สาระส าคญ การหาความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2

หาไดจาก P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) เมอ E1 E2 = P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) เมอ E1 E2 สาระการเรยนร

ความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 = พจารณา การโยนลกเตาสองลก 1 ครง ถาให E1 แทน เหตการณทผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทหงายเทากบ 5 E1 = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2)} และ E2 แทน เหตการณทผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทหงายเทากบ 10 E2 = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} E1 E2 = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} ความนาจะเปนของเหตการณทผลรวมของแตมบนลกเตาทหงายเทากบ 5 หรอ 10

P(E1 E2) = 36

7

= 36

3 4

= 36

3

36

4

= P(E1) + P(E2) ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณทไมเกดรวมกน (E1 E2 = ) แลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)

297

ตวอยางท 1 ก าหนดให S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} , E1 = {3, 9, 15} และ E2 = {5, 7, 11, 13} จงหา P(E1 E2) วธท า จาก S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

E1 = {3, 9, 15} , P(E1) = 8

3

E2 = {5, 7, 11, 13} , P(E2) = 8

4

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)

= 8

4

8

3

= 8

7

ความนาจะเปนของเหตการณ E1 หรอ E2 เมอ E1 E2 พจารณา การโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาให E1 แทน เหตการณทลกเตาขนแตมค E1 = {2, 4 ,6} และ E2 แทน เหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนเฉพาะ E2 = {2, 3, 5} จะได E1 E2 = {2, 3, 4, 5, 6} ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาขนแตมคหรอจ านวนเฉพาะ

P(E1 E2) = 6

5

= 6

1 - 3 3

= 6

1 -

6

3

6

3

= P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ โดยท E1 E2 แลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2)

298

ตวอยางท 2 โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง ถา E1 เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมรวมเปน 5 และ E2 เปนเหตการณทลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 3 จงหา ความนาจะเปนทผลรวมของแตมเปน 5 หรอลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 3 วธท า E1 แทน เหตการณทลกเตาหงายแตมรวมเปน 5 E1 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} E2 แทน เหตการณทลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 3 E2 = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} จาก P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2)

= 36

2 -

36

11

36

4

= 36

13

P(E1) = n(S)

)n(E 1 , n(E1) = 4 , n(S) = 36

= 36

4

P(E2) = n(S)

)n(E 2 , n(E2) = 11

= 36

11

E1 E2 = {(2, 3), (3, 2)} , n(E1 E2) = 2

P(E1 E2) = 36

2

299



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.2 หาความนาจะเปนของเหตการณ E1

หรอ E2 เมอ E1 E2 = และ E1 E2 ได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท โจทย ค าตอบ

1 ก าหนดให S = {2, 4, 6, 8, 10} , E1 = {2, 4, 6} และ E2 = {8, 10} จงหา P(E1 E2)

2 โยนเหรยญบาท 2 เหรยญ 1 ครง ถา E1 เปนเหตการณทเหรยญหงายกอยอยางนอย 1 เหรยญ และ E2 เปนเหตการณทเหรยญหงายหวอยางนอย 1 เหรยญ จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะหงายกอยอยางนอย 1 เหรยญ หรอหงายหวอยางนอย 1 เหรยญ

3 ในการหยบลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทลกเตาหงายแตมรวมเปน 6 หรอลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 5

4 ในถงใบหนงมลกแกวสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก และสเขยว 5 ลก สมหยบลกแกวจากถง 1 ลก จงหาความนาจะเปน 4.1 ไดลกแกวสขาวหรอสแดง 4.2 ไดลกแกสแดงหรอสเขยว

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. เรยนคณตใหปราดเปรอง วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… จะรงเรองในปฐพ

300

เฉลยแบบฝกทกษะ รหสท 12.2 1) 1 2) 1

3) 18

7

4) 4.1 2

1

4.2 10

7

301


โจทยแขงขนคณตศาสตร

ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 12 ชวโมงท 37 – 38

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ 1. ก าหนด S = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13} A = {2, 6, 8, 10} B = {3, 5, 7, 9} C = {7, 9, 11, 13} จงหา P(A B) และ P(B C) 2. ในถงใบหนงมลกแกวสขาว 7 ลก สแดง 8 ลก และสเขยว 5 ลก สมหยบลกแกว จากถง 1 ลก จงหาความนาจะเปนทจะไดลกแกวสขาวหรอสแดง 3. หองเรยนหองหนงมนกเรยน 45 คน จากการส ารวจพบวา 25 คนชอบเรยนคณตศาสตร 15 คนชอบเรยนภาษาองกฤษ 10 คนชอบเรยนทงคณตศาสตรและภาษาองกฤษ ถาสม นกเรยนในหองนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนคนนนจะชอบเรยน คณตศาสตรหรอภาษาองกฤษ

302



จดประสงคการเรยนร - หาความนาจะเปนของเหตการณ E1 และ E2

ได - หาความนาจะเปนของเหตการณโดยใชแผนภาพตนไมได สาระส าคญ แผนภาพตนไมสามารถชวยในการหาความนาจะเปนของเหตการณได และถาเหตการณ สองเหตการณเปนเหตการณทไมเกดรวมกนแลว ความนาจะเปนของสองเหตการณนเกดขน ดวยกน เทากบ 0 สาระการเรยนร

ความนาจะเปนของเหตการณ E1 และ E2 ตวอยางท 1 โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปน 1. ทผลรวมของแตมเปน 7 และลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 4 2. ทผลรวมของแตมเปน 7 และผลรวมเปน 11 วธท า 1. ให E1 แทน เหตการณทผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทหงายเทากบ 7 E1 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} และให E2 แทน เหตการณทลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 4 E2 = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 1), (4, 2), (4 ,3)} E1 E2 = {(4, 3), (3, 4)}

จาก P(E1 E2) = n(S)

)E n(E 21

= 36

2

= 18

1

ความนาจะเปนทผลรวมของแตมเปน 7 และลกเตาลกใดลกหนงหงายแตม 4

มคาเทากบ 18

1 ตอบ

303

2. ถาให E3 แทน เหตการณทผลรวมของแตมเปน 11 E3 = {(6, 5), (5, 6)}

E1 E3 = , n(E1 E3) = 0

P(E1 E3) = n(S)

)E n(E 31

= 36

0

= 0 ความนาจะเปนทผลรวมของแตมเปน 7 และผลรวมเปน 11 มคาเทากบ 0 ตอบ สรป ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณทไมเกดรวมกนแลว P(E1 E2) = 0

ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ถา E1 แทน เหตการณทลกเตาลกแรกออกแตม 1 E2 แทน เหตการณทลกเตาลกท 2 ออกแตม 1 E1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

P(E1) = 6

1

36

6

และ E2 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)}

P(E2) = 6

1

36

6

E1 E2 = 36

1

P(E1 E2) = 36

1

จะเหนวา P(E1 E2) = P(E1) . P(E2) = 36

1 และการเกดเหตการณ E1 ไมม

ผลตอการเกดเหตการณ E2 เราเรยกเหตการณเชนนวา เปนเหตการณทเปนอสระตอกน

304

บทนยาม เหตการณ E1 และเหตการณ E2 เปนอสระตอกน เมอ

P(E1 E2) = P(E1) . P(E2)

ตวอยางท 2 โยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง ให A แทน เหตการณทเหรยญแรกออก หว B แทนเหตการณทเหรยญท 2 ออกหว จงหา P(A B) วธท า S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} A = {(H, H), (H, T)}

P(A) = 2

1

4

2

B = {(H, H), (T, H)}

P(B) = 2

1

4

2

แตเหตการณ A และ B เปนอสระตอกน P(A B) = P(A) . P(B)

= 2

1

2

1

= 4

1 ตอบ

ตวอยางท 3 ถงใบหนงมลกบอลสแดง 2 ลก สด า 3 ลก สมหยบลกบอลครงละลก 2 ครง โดยใสลกบอลคนกอนหยบครงท 2 จงหาความนาจะเปนทสม หยบไดลกบอลสด าครงแรก และไดบอลสแดงในครงท 2 วธท า ให E1 แทน เหตการณทหยบครงแรกไดบอลสด า E1 = {B1, B2, B3}

S = {R1, R2, B1, B2, B3}

P(E1) = 5

3

และ E2 แทน เหตการณทหยบครงท 2 ไดบอลสแดง E2 = {R1, R2}

P(E2) = 5

2

305

แตเหตการณ E1 และ E2 เปนอสระตอกน

P(E1 E2) = P(E1) . P(E2)

= 5

2

5

3

= 25

6 ตอบ

306



แบบฝกทกษะตามจดประสงคการเรยนรขอท 1.1.3 – 1.1.4 หาความนาจะเปนของ เหตการณ E1 และ E2 ได และหาความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกนได ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ ขอท ค าถาม ค าตอบ

1 ในการทอดลกเตา 2 ลก ลกหนงเปนสขาว อกลกหนงเปนสด า จงหาความนาจะเปนทลกเตาสขาวขนหนา 4 และสด าขนหนา 5

2 ในการทอดลกเตา 1 ลก และดงไพ 1 ใบ จากส ารบ ซงม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตการณ 2.1 ลกเตาหงายแตมเปนจ านวนค และไดไพ K 2.2 ลกเตาหงายแตม 6 และไดไพ 2 ดอกจก 2.3 ลกเตาหงายแตมมากกวา 4 และไดไพขาวหลามตด

2.1 ………………… 2.2 ………………… 2.3 …………………

3 ทอดลกเตา 1 ลก 3 ครง โอกาสทลกเตาจะออกแตมตาง ๆ ในการทอดแตละครงเทากน จงหาความนาจะเปนทลกเตาออกแตม 6 ในครงท 1 ออกแตมคในครงท 2 และออกแตมเปนจ านวนเฉพาะในครงท 3

คะแนนทได = ………………………… ผตรวจ ………………………………….. P(A B) = P(A) . P(B) วนท ……. เดอน ………….. พ.ศ. ……… เมอ A และ B เปนอสระตอกน

307


1) 36

1

2) 2.1 26

1

2.2 312

1

2.3 12

1

3) 24

1

308


แบบวดผลสมฤทธ เรอง ความนาจะเปน ใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 12 ชวโมงท 40 จ านวนชวโมงสอน 1 ชวโมง

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าทกขอ 1. ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกน 1 ครง จงเขยน 1.1 แซมเปลสเปซของการทดลอง 1.2 เหตการณทลกเตาหงายแตมรวมเปน 5 1.3 เหตการณทลกเตาหงายแตมรวมท 2 หารลงตว 2. โยนเหรยญหาบาท 3 เหรยญ 1 ครง จงหา 2.1 ความนาจะเปนทเหรยญออกหวอยางนอย 1 เหรยญ 2.2 ความนาจะเปนทเหรยญออกกอยอยางนอย 1 เหรยญ 3. ดงไพ 1 ใบ จากส ารบ ซงม 52 ใบ และโยนเหรยญ 1 เหรยญ จงหาความนาจะเปน ทจะไดไพ A และเหรยญขนกอย 4. ในหมบานแหงหนงม 600 ครอบครว ในจ านวนนม 320 ครอบครวทเลยงเปด 210 ครอบครวทเลยงไก และ 260 ครอบครวทไมไดเลยงเปดหรอไก ถาสมครอบครว ในหมบานแหงนขนมา 1 ครอบครว จงหาความนาจะเปนทจะไดครอบครวทเลยง ทงเปดหรอไก

แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5...

Education