zbiór zadan z rachunku prawdopodobienstwa i statystyki...

Zbiór zadań z rachunkuprawdopodobieństwa i statystyki

matematycznej

Wojciech Mł[email protected]

Kamila [email protected]

Agnieszka [email protected]

Uniwersytet Rolniczy w Krakowie

Katedra Zastosowań Matematyki

kzm.ur.krakow.pl

Kraków 2007 - 2011

kzm.ur.krakow.pl

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Prawdopodobieństwo geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Schemat Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Zdarzenia niezależne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Zmienne losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1. Zmienne losowe dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Zmienne losowe ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Estymatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Charakterystyki próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Przedziały ufności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1. Przedziały ufności dla średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4. Minimalna liczebność próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. Parametryczne testy istotności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1. Testy istotności dla średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2. Testy istotności dla dwóch średnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3. Testy istotności dla wariancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4. Testy istotności dla dwóch wariancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5. Testy istotności dla wskaźnika struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6. Testy istotności dla dwóch wskaźników struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Nieparametryczne testy istotności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7. Korelacja i regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8. Analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Wzory statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Tablice statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Katalog wybranych rozkładów prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Zasady tworzenia szeregów rozdzielczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Charakterystyki liczbowe próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Spis oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Odpowiedzi do zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska

Wstęp

Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej jest przeznaczony dlastudentów kierunków przyrodniczych i technicznych. Podlega on aktualizacji, bieżąca wersjaznajduje się na stronie kzm.ur.krakow.pl/dydaktyka.html.Zbiór składa się z 8 rozdziałów poświęconych m.in. rachunkowi prawdopodobieństwa, zmiennymlosowym, charakterystykom próby, przedziałom ufności, parametrycznym i nieparametrycznymtestom istotności, korelacji i regresji liniowej, analizie wariancji. Na końcu zbioru zamieszczonyzostał dodatek, który zawiera wzory i tablice statystyczne, charakterystykę niektórych rozkładówprawdopodobieństwa, zasady tworzenia szeregów rozdzielczych oraz charakterystyki liczbowepróby.Większość zadań posiada odpowiedzi. Ostateczny wynik w odpowiedziach podawany z przybli-żeniem świadczy o dokonywaniu ich z dokładnością do 2-go lub 3-go miejsca po przecinku nakażdym etapie obliczeń. Jedynie w rozdziale „Charakterystyki próby” zaokrąglano je z dokład-nością o jeden rząd wyższą niż wartości próby.Autorzy będą wdzięczni za wszelkie uwagi i sugestie dotyczące zadań lub odpowiedzi. Uwagimożna przesyłać na adres [email protected].

Autorzy


kzm.ur.krakow.pl/dydaktyka.html

1. Rachunek prawdopodobieństwa

1.1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

1. Egzaminator przygotował 20 pytań, z których zdający losuje 3. Jakie jest prawdopodobień-stwo, że uczeń dobrze odpowie na 3 pytania, jeżeli umie odpowiedzieć na połowę pytań.

2. Z urny, w której jest 13 kul białych i 7 czarnych losujemy 2 kulea) ze zwrotem,b) bez zwrotu.Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie kule będą białe.

3. Z grupy studenckiej liczącej 30 osób w tym 20 chłopców wybrano delegację złożoną z 5osób, przy czym rozważano różne możliwości liczby chłopców i dziewcząt w delegacji,w każdym razie liczby różne od zera. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do delegacji będąwybrane najwyżej 3 dziewczyny.

4. Z talii złożonej z 52 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowanakarta jest damą lub królem.

5. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskanoliczbę oczek podzielną przez trzy lub pięć?

6. Spośród liczb 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa od 13?

7. W przetargu bierze udział 5 firm. Prawdopodobieństwo tego, że wygra firma A jest równe0,25, natomiast, że wygra firma B - 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetarg wygrafirma A lub B?

8. Wykonujemy jeden rzut kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeniaprzeciwnego do zdarzenia polegającego na tym, że otrzymaliśmy jedno lub trzy oczka?

9. Z cyfr 1, 2, . . . , 9 losujemy bez zwracania trzy cyfry x, y, z i tworzymy liczbę trzycyfrowąxyz. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę mniejszą od 555.

10. Na dziesięciu klockach wyrzeźbiono litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiąc się nimi dzieckoukłada je w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo złoży ono słowo„statystyka”.

1.2. Prawdopodobieństwo geometryczne

11. Na koło o promieniu R losowo ”rzucono” punkt. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, żepunkt trafi do wnętrzaa) kwadratu wpisanego w koło,b) trójkąta równobocznego wpisanego w koło.Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu w daną część koła jest proporcjonalnedo pola tej części i nie zależy od jej położenia w kole.

12. Wybieramy losowo punkt (x, y) z kwadratu [0, 1]× [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo,że jego współrzędne będą spełniały nierówność y < x2?

13. Na odcinku OA o długości L na osi liczbowej OX, losowo wybrano punkt B. Znaleźć praw-dopodobieństwo tego, że mniejszy z odcinków OB i BA będzie miał długość większą niż13L. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu na odcinek jest proporcjonalnedo długości odcinka i nie zależy od jego położenia na osi liczbowej OX.


1. Rachunek prawdopodobieństwa 5

14. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy losowo 2 punkty: jeden na lewo, a drugi naprawo od środka odcinka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między wybranymipunktami jest mniejsza niż 13a?

15. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na ”chybił trafił” dwa punkty. Jakie jestprawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza niż 13a?

16. Na płaszczyźnie poprowadzono proste równoległe. Odległość między nimi jest stała i równad. Na płaszczyznę rzucamy igłę (tak cienką, że może być interpretowana jako odcinek)o długości l, przy czym l < d. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jednąz wykreślonych prostych? (Jest to tzw. zadanie Buffona)

17. Parę liczb (b, c) wybrano losowo z prostokąta [0, 2]× [0, 4]. Jakie jest prawdopodobieństwo,że pierwiastki równania x2 + 2bx+ c = 0 są rzeczywiste?

18. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x2 + 2bx+ c = 0 są rzeczywiste,jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, 1]?

19. Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [−1, 1]2. Oblicz prawdopodobieństwo, żerównanie ax2 + bx+ 1 = 0 maa) pierwiastki rzeczywiste,b) pierwiastki równe,c) pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu {|x| < 1, |y| < 1} jestpunktem leżącym wewnątrz okręgu x2 + y2 = 1?

21. Dwoje znajomych umawia się w pewnym miejscu. Każdy ma przyjść w dowolnej chwilimiędzy godz. 15.00, a 16.00 i czekać na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że się spotkają?

22. Drewniane pale mają losową długość L, przy czym największa długość wynosi 12 m. Palesą przeznaczone do wbijania w ziemię, której skalna warstwa stanowiąca opór znajduje sięna losowej głębokościH, której maksimum wynosi 10 m. Zaproponować przestrzeń zdarzeńelementarnych i podać jej interpretację geometryczną. Zilustrować następujące zdarzeniai obliczyć ich prawdopodobieństwa:a) długość losowo wziętego pala jest większa od głębokości, na której znajduje się skalnawarstwa,

b) głębokość skalnej warstwy przekroczy 8 m,c) długość losowo wziętego pala przekroczy 8 m.

23. Przy projektowaniu przepustu odprowadzającego wodę z 2 oddzielnych obszarów A i Bzałożono, że ilość wody pochodząca z A może wahać się w granicach 0−900 dm3/s, na-tomiast z B: 0−1500 dm3/s. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ilość wody łącznie z obuobszarów przekroczy 2000 dm3/s.

24. Z przedziału (0, π) wybrano losowo punkty x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, żesinx 2y.

25. Dwa punkty A i B zostały wybrane losowo z I ćwiartki układu współrzędnych, a następniekażdy z nich połączono z początkiem O układu współrzędnych. Obliczyć prawdopodobień-stwo, że obie proste będą nachylone do siebie pod kątem mniejszym niż π4 .


6 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

1.3. Schemat Bernoulliego

26. Dziesięciu wyborowych strzelców celuje do lecącego samolotu. Prawdopodobieństwo tra-fienia samolotu dla każdego z nich jest stałe i wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwotego, że samolot zostanie trafiony.

27. Rzucamy 5 razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo trzykrotnego wy-rzucenia orła?

28. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w każdym doświadczeniu jest równe 0,2. Obliczyćprawdopodobieństwo, że w ciągu 9 niezależnych doświadczeń zdarzenie A zajdzie 6 razyw dowolnej kolejności.

29. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy w pojedynczym strzale wynosi 0,25. Jakie jestprawdopodobieństwo, że na 6 strzałów 2 będą trafione?

30. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Niech zdarzenie A polega na tym, że wypadłaco najmniej jedna reszka, a zdarzenie B, że wypadły same reszki. Znaleźć P (A ∪B) orazP (A ∩B).

31. Zmienna losowa X ma rozkład B(50, 0, 1). Obliczyć P (X = 5). Wynik dokładny porównaćz wartością przybliżoną uzyskaną z prawa małych liczb Poissona.

1.4. Prawdopodobieństwo warunkowe. Zdarzenia niezależne

32. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 4 białe. Wyciągamy losowo dwa razy po jednej kulia) ze zwrotem kuli do urny po pierwszym wyjęciu,b) bez zwrotu.Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie biała, jeśli wiadomo, żepierwsza wylosowana była biała.

33. Z liczb 2, 3, 15, 30 losujemy jedną liczbę. Sprawdzić, czy zdarzeniaA - wylosowana liczba jest podzielna przez 2,B - wylosowana liczba jest podzielna przez 3

są niezależne.34. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie „suma wyrzuconych oczekrówna się 8”, zaś B zdarzenie „w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek”. Ustalić, czy zdarzeniaA i B są niezależne.

35. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Czy zdarzeniaA - wyciągnięcie asa,B - wyciągnięcie karty koloru czerwonego

są niezależne?36. Prawdopodobieństwo, że cena pewnego towaru pójdzie jutro w górę wynosi 0,3, a praw-dopodobieństwo, że cena srebra pójdzie w górę wynosi 0,2. Wiadomo ponadto, że w 6%przypadków obie ceny - towaru i srebra idą w górę. Czy cena towaru i cena srebra sąniezależne?


1. Rachunek prawdopodobieństwa 7

1.5. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa

37. Przed konkursem ogłoszono listę 200 pytań z dziedziny D1, 100 pytań z dziedziny D2 oraz100 pytań z dziedzinyD3. Umiemy odpowiedzieć na 150 pytań z dziedzinyD1, na wszystkiepytania z dziedziny D2 oraz na 80 pytań z dziedziny D3. Jakie jest prawdopodobieństwo,że podczas konkursu odpowiemy na losowo zadane pytanie?

38. W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk. 6% pochodzi z fabryki I.Wśród żarówek z fabryki I jest 1% wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II 2% wadli-wych. Z magazynu pobrano losowo jedną żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jestprawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II?

39. Fabryka chemiczna jest wyposażona w system alarmowy. W razie zagrożenia system alar-mowy działa w 95% przypadków. Prawdopodobieństwo, że system włączy się, gdy niema żadnego zagrożenia jest równe 0,02. Rzeczywiste zagrożenie zdarza się rzadko − jegoprawdopodobieństwo wynosi 0,004. Gdy odzywa się system alarmowy, jakie jest prawdo-podobieństwo, że naprawdę istnieje zagrożenie?

40. Około 10% studentów i 15% studentek pali papierosy. Z populacji liczącej 50 studentówi 100 studentek wylosowano osobę palącą papierosy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że niejest to mężczyzna.

41. Wiadomo, że 55% mężczyzn i 70% kobiet nie zdaje egzaminu praktycznego na prawo jazdyza pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdała egzaminu. Zakładając, że liczba zda-jących egzamin kobiet i mężczyzn była taka sama, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwotego, że wybraną osobą jest kobieta.

42. Dane są trzy urny. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 1 czarna, w drugiej 4 białe i 2 czarne,w trzeciej 2 białe i 2 czarne. Zakładając, że wylosowanie kuli z każdej urny jest jednako-wo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula, która okazała siękoloru białego pochodzi z urny pierwszej.

43. Na egzaminie z matematyki 40% stanowią zadania z algebry, 30% − zadania z geometrii,natomiast pozostałe − to zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadańłatwe stanowią odpowiednio: 1%, 2%, i 3%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeślilosowo wybrane zadanie jest trudne, to jest zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa.

44. Długoletnie doświadczenia wskazują na to, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnietrudniejsza − 60% zdających, od części ustnej − 95% zdających. Aby zdać egzamin, trzebapozytywnie zaliczyć obie części, obowiązuje przy tym zasada, że student, który nie zaliczyłczęści pisemnej, nie jest dopuszczony do części ustnej. Obliczyć prawdopodobieństwo tego,że osoba, która nie zdała egzaminu, nie zaliczyła części pisemnej.

45. Firma poszukująca złóż ropy naftowej zamówiła test sejsmiczny w celu ustalenia, czy jestprawdopodobne, że w pewnym rejonie wierceń znajdują się złoża. Znana jest wiarygodnośćtestu: jeżeli w miejscu wiercenia ropa występuje, test wskazuje to w 85% przypadków,jeżeli ropy nie ma, test omyłkowo wykazuje jej występowanie w 10% przypadków. Firmaposzukująca złóż jest przekonana, że prawdopodobieństwo wystąpienia ropy w badanymterenie wynosi 0,4. Jeżeli test wykazał występowanie ropy, jakie jest prawdopodobieństwo,że w badanym terenie ropa rzeczywiście występuje?

46. Do eliminacji sportowych na uczelni wybrano z I roku 4 studentów, z II − 6, a z III −5 studentów. Prawdopodobieństwo, że student I roku dostanie się do drużyny uczelnianejwynosi 0,9, dla II i III roku jest one równe 0,7 i 0,8.a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student z lat I − III dostanie siędo drużyny uczelnianej?

b) Pewien student dostał się do drużyny uczelnianej. Z którego był najprawdopodobniejroku?



47. W zakładzie znajdują się maszyny typu A, B, C produkujące odpowiednio 5%, 3% i 1%braków. Z całej masy towarowej wybieramy losowo jedną sztukę. Obliczyć prawdopodo-bieństwo, żea) jest ona brakiem,b) pochodzi od B, jeśli nie okazała się brakiem?

48. Mamy trzy kostki do gry, które zostały sfałszowane tak, że częstość wyrzucenia szóstkipierwszą kostką wynosi 20%, drugą kostką 25% i trzecią 30%. Wybieramy losowo jednąkostkę i wyrzucamy 6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybraliśmy trzecią kostkę.

49. Wybranej grupie studentów zadano pytanie, czy ściągają na egzaminach ze statystyki.Ponieważ wielu studentów nie chciało udzielić odpowiedzi, zastosowano metodę „odpowie-dzi losowej” polegającej na tym, że każdy ze studentów rzuca monetą. Jeżeli wypadnieorzeł i student nie ściąga, powinien odpowiedzieć „nie”, w pozostałych przypadkach mówi„tak”. Załóżmy, że 30% studentów ściąga na egzaminie. Jakie jest prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie „nie” na zadane pytanie?

50. Pewna drużyna futbolowa rozgrywa 70% meczów po południu, a 30% późnym wieczorem.Wiadomo ponadto, że wygrywa 50% meczów popołudniowych i 90% wieczornych. Drużynawygrała mecz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mecz grany późnym wieczorem?

51. Trzech dostawców dostarcza do punktu skupu grzyby. Dostawca I dostarczył 20% wszyst-kich łubianek, a w tej partii było 80% z borowikami, dostawca II dostarczył 30% łubianekwśród nich było 50% z borowikami, a wśród łubianek ostatniego było 40% z borowikami.a) Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania łubianki z borowikami spośród wszyst-kich dostarczonych do punktu skupu.

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana przez nas łubianka z borowikami pochodziod I dostawcy?

52. Prawdopodobiestwo tego, że w czasie pracy komputera nastąpi awaria: procesora, pamięci,urządzeń WE-WY mają się do siebie tak, jak 3 : 2 : 5. Prawdopodobieństwa wykrycia awa-rii w tych urządzeniach są odpowiednio równe 0, 8, 0, 9, 0, 9. Znaleźć prawdopodobieństwo,że awaria w komputerze zostanie wykryta.

53. Na 100 mężczyzn pięciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w którejjest 3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że wylosowana osobaa) jest daltonistą,b) jest kobietą, jeśli jest daltonistą,c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonistą?

54. Do pudełka włożono trzy normalne monety i jedną fałszywą, w której awers i rewers sąreszkami. Losowo wyciągamy jedną monetę i rzucamy ją. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wyciągnęliśmy fałszywą, jeśli wypadła reszka?

55. Zaobserwowano, że w pewnym drzewostanie występuje 30% buka, 60% brzozy i resztagrabu. Na hubiaka pospolitego zapadło 10% buków, 5% brzóz i 1% grabów. Jakie jestprawdopodobieństwo, że losowo wybrane drzewoa) jest zdrowe,b) jest bukiem, jeśli jest chore.

56. Szansa zapadnięcia na pewną chorobę wynosi 0,001. Test medyczny wykrywa chorobęu osoby chorej z prawdopodobieństwem 0,99, a w przypadku osoby zdrowej prawdopo-dobieństwo uzyskania wyniku dodatniego wynosi 0,02. Jakie jest prawdopodobieństwo,żea) test dał wynik ujemny u losowo wybranej osoby,b) osoba, w przypadku której test dał wynik dodatni, jest chora?


2. Zmienne losowe

2.1. Zmienne losowe dyskretne

57. Z urny zawierającej 3 kule białe i 6 czarnych losowo wyjęto dwie. Niech wartością zmien-nej losowej X będzie liczba wyjętych kul białych. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwai dystrybuantę zmiennej X oraz obliczyć jej wariancję.

58. Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela:

xi 1 a 3 4pi 0,1 0,4 0,3 b

Wiadomo, że EX = 135 . Wyznaczyć a i b oraz obliczyć DX.59. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X:

x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4,+∞)F (x) 0 0,12 0,44 0,62 0,78 1

a) Wyznaczyć jej funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.b) Obliczyć EX oraz DX.c) Obliczyć P (1 < X ¬ 3), P (X = 12), P (X > 5).

60. Rzucamy 5 razy monetą. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wy-rzuconych reszek. Znaleźć rozkład X oraz obliczyć D2X.

61. W partii składającej się z 6 detali znajdują się 4 detale standardowe. Losowo wybrano3 detale. Znaleźć rozkład dyskretnej zmiennej losowej X − liczby standardowych detaliwśród wybranych. Obliczyć EX i D2X.

62. W urnie znajduje się 8 kul, 3 białe i 5 czarnych. Wyciągamy losowo 3 kule. Niech zmiennalosowa X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych kul czarnych. Znaleźć funkcjęrozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X.

63. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3. Obliczyć P (X 3).64. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwaną 40 i wariancją 30.Znaleźć n i p.

65. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Znaleźć wariancję zmiennejlosowej Z = 2X − 3.

66. Zmienna losowa Z ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 10, p = 13 . Obliczyć

P (Z > 2).67. Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela:

xi 10 a 30 40 50pi 0,1 0,2 0,3 0,3 b

Wiadomo, że EX = 31. Wyznaczyć a i b oraz obliczyć D2X.68. Zmienna losowa Y ma rozkład Bernoulliego z parametrami n = 900, p = 0, 1. Znaleźćodchylenie standardowe zmiennej losowej X = 3Y + 2.

69. Dwie rozróżnialne sześcienne kostki do gry rzucamy jednocześnie. Zmienna losowaX przyj-muje wartości równe wartości bezwzględnej różnicy oczek. Znaleźća) rozkład zmiennej X,b) medianę oraz dominantę zmiennej X.



70. Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z któ-rych każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z praw-dopodobieństwem p = 0, 8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazdi poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźća) funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,b) momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego zmiennej X,c) P (X > 2), P (X = 3), P (0 < X ¬ 4).

71. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 0, 1 i 2. Wiadomo, że EX=1 oraz EX2 =1,5.Wyznaczyć rozkład zmiennej X.

72. Z grupy 3 mężczyzn i 5-ciu kobiet losowo wybrano 2-osobowy zarząd. Niech wartościązmiennej losowej X będzie liczba kobiet w zarządzie. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopo-dobieństwa zmiennej X oraz wyznaczyć medianę i dominantę.

73. W pewnym drzewostanie zebrano informacje o liczbie nabiegów korzeniowych:

xi 0 1 2 3 4

pi 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1

Niech X oznacza liczbę nabiegów korzeniowych w losowo wybranym drzewie.a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej X i naszkicować jej wykres.b) Obliczyć EX oraz D2X.c) Obliczyć P (X > 2), P (1 6 X 6 4).

74. W partii złożonej z 10 produktów znajdują się 3 produkty wadliwe. Wybrano losowo 2produkty. Znaleźć rozkład liczby produktów wadliwych (wśród wybranych), dystrybuantęi wartość oczekiwaną.

75. Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w pojedynczej próbie jest równe p. Próbyprzeprowadzane są dopóty, dopóki zdarzenie zajdzie. Znaleźć rozkład liczby przeprowa-dzonych prób oraz EX.

76. Rzucamy monetą aż do pierwszego wypadnięcia orła. Niech X oznacza liczbę rzutów.Znaleźć rozkład X, dystrybuantę oraz EX.

77. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa pewnej zmiennej X:

xi -5 -2 0 1 3 8

pi 0,1 0,2 0,1 0,2 c 0,1

Wyznaczyća) stałą c,b) dystrybuantę i jej wykres,c) EX, D2X, DX,d) P (X < 0), P (X ¬ 0), P (X < 4), P (X ¬ 4), P (−2 ¬ X < 4), P (X = 2), P (X = 3),P (−6 < X ¬ 0), P (1 < X ¬ 8).

78. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X:

F (x) =

0 dla x ¬ 2,0, 3 dla 2 < x ¬ 4,0, 7 dla 4 < x ¬ 6,0, 9 dla 6 < x ¬ 7,1 dla x > 7.

Narysować jej wykres, wyznaczyć rozkład, obliczyć EX, D2X, DX, P (X > 1),P (X 0, 5), P (−1 < X < 2), P (X 7).


2. Zmienne losowe 11

79. Gramy z drugą osobą, na przykład z bankierem w następującą grę: jeśli w rzucie kostkąwypadnie parzysta liczba oczek, bankier płaci nam tyle złotych, ile wypadło na kostce,a jeśli nieparzysta - my płacimy bankierowi tyle, ile wypadło na kostce. Znaleźć rozkładkwoty uzyskanej przez nas w pojedynczym rzucie. Obliczając jej wartość oczekiwaną roz-strzygnąć, czy można przypuszczać, że gra będzie dla nas opłacalna.

80. Wśród wszystkich dzieci szkolnych z pewnego województwa przeprowadzono ankietę: ilerazy byłeś na wakacjach w ciągu ostatnich 4 lat. 20% odpowiedziało 0 razy, 14% − 1 raz,43% − 2 razy, 19 % − 3, a reszta − 4. Zmienna X jest określona jako: liczba wyjazdówna wakacje w ciągu ostatnich 4 lat. Znaleźć jej rozkład, narysować wykres dystrybuanty,obliczyć EX, D2X, P (X > 3), P (X ¬ 1), P (0 ¬ X ¬ 4).

81. Prawdopodobieństwo urodzenia się dziewczynki w pewnej populacji wynosi 0,51. W zbiorzerodzin posiadających troje dzieci określamy zmienną X− liczba dziewczynek w rodzinie.Znaleźć rozkład X, obliczyć średnią i wariancję liczby dziewczynek oraz prawdopodobień-stwo, że w rodzinie z trójką dzieci jest co najmniej jeden chłopiec.

82. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Wyznaczyć kwartyle zmien-nej X.

83. Korzystając z własności wartości oczekiwanej zmiennej losowej X wykazać, że

D2X = EX2 − E2X.

2.2. Zmienne losowe ciągłe

84. Zmienna losowa Z ma rozkład N(0, 1). Obliczyć P (Z > 0), P (|Z| < 2), P (|Z| > 1) orazkwantyle x0,1, x0,7, x0,97.

85. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(3, 5). Obliczyć P (|X − 1| > 1).86. W populacji studentów w Krakowie wzrost ma rozkład N(170, 8). Obliczyć prawdopodo-bieństwo tego, że wzrost przypadkowo napotkanego studentaa) będzie większy od 166,b) będzie należał do przedziału (168, 174),c) będzie równy co najwyżej 154.Każde z prawdopodobieństw zinterpretować na dwóch wykresach funkcji gęstości rozkładunormalnego.

87. Stwierdzono, że błąd podczas wykonywania pomiaru ma rozkład N(1, 0, 25) (mm). Jakiejest prawdopodobieństwo, że wykonując ten pomiar pomylimy się oa) więcej niż 0,5 mm,b) mniej niż 0,75 mm,c) co najwyżej 0,25 mm?

88. Rozkład długości liścia rośliny pewnego gatunku jest N(14, 2). Obliczyć prawdopodobień-stwo, że losowo wybrany liść ma długośća) większą niż 17,b) równą co najmniej 12 i co najwyżej 19,c) równą co najwyżej 13.Prawdopodobieństwa zinterpretować na 2 wykresach.

89. Pierśnica buka w pewnym drzewostanie ma rozkład N(30, 4). Jaki procent buków mapierśnicę większą niż 40?

90. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(m, σ).a) Obliczyć P{|X −m| < 3σ}.b) Dobrać stałą k tak, aby P{|X −m| < kσ} = 0, 99.

91. Zmienna losowa X ma rozkład N(2, 1). Znaleźć dla tej zmiennej kwantyl rzędu 0,2.



92. NiechXi ∈ N(0, σ), i ∈ N. Ile należy zsumować niezależnych zmiennychXi, aby odchyleniestandardowe sumy było równe 10σ?

93. Niech zmienne Xi (i ∈ N) mają rozkład jednostajny na przedziale [−σ, σ]. Ile należyzsumować niezależnych zmiennych Xi, aby odchylenie standardowe sumy było równe 10σ?

94. Funkcja gęstości zmiennej losowej X ma postać

f(x) =

{3x2 dla x ∈ [0, 1],0 dla x ∈ R \ [0, 1].

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.95. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa

f(x) =

0 dla x < −1,25 |x| dla x ∈ [−1, 2],0 dla x > 2.

a) Znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres.b) Obliczyć EX oraz D2X.c) Obliczyć P (X > 3), P (−12 ¬ X < 1), P (X = 0).

96. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o funkcji gęstości

f(x) =

{0 dla x < 0,λe−λx dla x 0,

gdzie λ > 0. Znaleźć EX oraz DX.97. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [a, b] o funkcji gęstości

f(x) =

0 dla x < a,1b−a dla a ¬ x ¬ b,0 dla x > b.

Znaleźć EX oraz D2X.98. Gęstość zmiennej losowejX ma postać: f(x) = a

ex+e−x , x ∈ R. Znaleźć stałą a oraz obliczyćP (X > 0).

99. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa

f(x) =

{x2 dla 0 ¬ x ¬ 2,0 dla pozostałych x.

a) Obliczyć EX oraz D2X.b) Wyznaczyć momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego oraz kwartylezmiennej X.

100. Dobrać tak stałą a, by funkcja

F (x) =

0 dla x ¬ 1,2(1− 1x) dla 1 < x ¬ a,1 dla x > a

była dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć jej gęstość. ObliczyćP (−1 ¬ X ¬ 1, 5) i zinterpretować je za pomocą wykresu gęstości.



101. Zmienna losowa X ma dystrybuantę daną równaniem:

F (x) = 12 +1π arc tg

x2 , x ∈ R .

Znaleźć możliwą wartość a, dla której zmienna losowa X w wyniku próby przyjmie wartośćwiększą niż a z prawdopodobieństwem 16 .

102. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać

f(x) =

{sin(2x) dla x ∈ [0, π2 ],0 dla x ∈ R \ [0, π2 ].

a) Znaleźć dystrybuantę X.b) Obliczyć EX oraz D2X.c) Obliczyć P (X > π4 ).d) Obliczyć x 1

4oraz x 3

4.

103. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać

f(x) =

{a√4−x2 dla x ∈ (−1, 2),0 dla x ∈ R \ (−1, 2).

Znaleźća) stałą a,b) dystrybuantę X,c) D2X,d) P (−1 < X < 1), P (X > 0), P (X = 12).

104. Gęstość zmiennej losowej X ma postać

f(x) =

0 dla x < 0,

bex dla x ∈ [0, ln 3],0 dla x > ln 3.

a) Wyznaczyć stałą b.b) Znaleźć dystrybuantę X.c) Obliczyć EX oraz D2X.d) Obliczyć P (X > 1).e) Na wykresie gęstości zaznaczyć P (0 < X ¬ ln 2).

105. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci

F (x) =

0 dla x ¬ 0,127x3 dla 0 < x ¬ 3,

1 dla x > 3.

Znaleźć funkcję gęstości zmiennejX, obliczyć jej wartość oczekiwaną oraz kwantyle x0,125, x 1125

i x 827.

106. Zmienne losowe X i Y są niezależne oraz wiadomo, że EX > 0, EX2 = 16, DX = 2√3,

EY > 0, EY 2 = 12, DY = 3. Obliczyć E(3XY − 2).107. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

f(x) =

{|x| dla − 1 ¬ x ¬ 1,0 poza tym.

Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2X,P (X < 0), P (X 1). Prawdopodobieństwa zaznaczyć na wykresie f i F .



108. Niech

f(x) =

{34 (1− x

2) dla − 1 ¬ x < 1,0 poza tym.

Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2X,P (X < −12), P (|X| >

13).

109. Dobrać tak stałą a, by funkcja

f(x) =

{a · cosx dla − π2 ¬ x <

π2 ,

0 poza tym

była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantęi narysować jej wykres, obliczyć EX, D2X,P (|X| > π6 ), P (X

π3 ), P (−

π6 < X ¬

π2 ) oraz

medianę i modę X.110. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci:

f(x) =

{0 dla x 6 0

2 e−2x dla x > 0.

Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2X,P (X > 1), P (0 < X ¬ ln 3) oraz medianę X.

111. Niech gęstość pewnej zmiennej X będzie postaci

f(x) =

{0 dla x 6 1,2x3 dla x > 1.

Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i narysować jej wykres, obliczyć EX, D2X,P (|X| > 1) oraz medianę X.

112. Niech f(x) = 1π ·

11+x2 dla x ∈ R. Narysować wykres f , znaleźć dystrybuantę i naryso-

wać jej wykres, zbadać istnienie EX. Obliczyć P (0 < X ¬ 1), P (3X − 1 >√3 − 1),

P (0 < X <√3). Znaleźć medianę oraz modę.

113. Zmienna X ma gęstość postaci

f(x) =

0 dla x < 0,

x e−x2

2 dla x 0.

Znaleźć dystrybuantę, medianę, modę, wartość oczekiwaną, P (X >√ln 4), P (X ¬

√ln 9).


f(x) =

1π ·

1√4−x2 dla |x| < 2,

0 poza tym.

Zbadać istnienie EX. Wyznaczyć dystrybuantę X oraz obliczyć P (1 < X ¬ 2).115. Zmienna X ma gęstość postaci

f(x) =

{e2x dla x ∈ (0, ln

√3),

0 poza tym.

Znaleźć P (ln 2 < X ¬ 1), P (X < ln 12).



116. Dobrać k tak, by funkcja

F (x) =

0 dla x ¬ 0,k arc sinx dla x ∈ (0, 1],1 dla x > 1

była dystrybuantą pewnej zmiennej X, następnie wyznaczyć jej funkcję gęstości oraz ob-liczyć P (12 ¬ X), P (X 1), P (

12 < X ¬ 1).

117. Dobrać A i B tak, by funkcja

F (x) =

0 dla x ¬ −1,A+B arc cosx dla x ∈ (−1, 1],1 dla x > 1

była dystrybuantą pewnej ciągłej zmiennej losowej X. Narysować wykres F , znaleźć funk-cję gęstości, obliczyć P (0 < X ¬ 1), P (X > 12).

118. Bok prostokąta jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 10].Obliczyća) EX2,b) wartość oczekiwaną pola prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 20.


f(x) =

{0 dla x < 0,

xe−x dla x 0.

Wyznaczyć dystrybuantę oraz P (0 < X < ln 2).120. Dobrać tak stałą k, by funkcja

f(x) =

{k arc sinx dla x ∈ [0, 1],0 poza tym

była gęstością pewnej zmiennej losowej X.121. Zmienna losowa X ma dystrybuantę postaci

F (x) =

0 dla x ¬ 0,3x2 − 2x3 x ∈ (0, 1],1 dla x > 1.

Znaleźć funkcję gęstości i narysować jej wykres. Obliczyć EX, D2X, P (0 < X < 12),

P (X > 13) oraz podać interpretację geometryczną tych prawdopodobieństw.122. Dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X jest postaci

F (x) =

0 dla x ¬ 0,x3 dla x ∈ (0, 1],1 dla x > 1.

Narysować wykres F , znaleźć funkcję gęstości, obliczyć EX,D2X, P (0 < X < 12), medianęoraz x0,2 i x0,729.



2.3. Nierówność Czebyszewa. Twierdzenia graniczne

Wskazówka: W poniższych zadaniach należy skorzystać z prawa małych liczb Poisso-na, twierdzenia Lindeberga−Levy’ego, twierdzenia Moivre’a−Laplace’a lub z nierównościCzebyszewa.

123. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,01. Korzystając z prawa ma-łych liczb Poissona obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losującycha) żaden nie wygra,b) wygra co najmniej jeden.

124. Tkaczka obsługuje 100 wrzecion. Prawdopodobieństwo zerwania się nici na jednym wrze-cionie w czasie jednej minuty, jest równe 0,03. Korzystając z prawa małych liczb Poissonaznaleźć prawdopodobieństwo tego, że w czasie jednej minuty zerwą się dokładnie 2 nici.

125. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 100 osobach. Producent ocenia jejskuteczność na 80%. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że co najmniej 74 osobyi co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki.

126. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, abyprawdopodobieństwo tego, że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 co najwyżej o 0,1było równe 0,95?

127. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe 0,515. Jakie jest prawdopodobień-stwo tego, że wśród 900 noworodków będzie co najwyżej 470 dziewczynek?

128. Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę, aby mieć 95% pewności, że wyzna-czona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnienia się (tzn. stosunek liczby radykałówdo liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczona błędem nie przekraczającym 0,03, jeśliśrednio co dziesiąty krasnoludek jest radykałem?

129. (Trudniejsza wersja zadania 128.) Wśród ilu krasnoludków należy przeprowadzić ankietę,aby mieć 95% pewności, że wyznaczona na jej podstawie frakcja zwolenników ujawnieniasię (tzn. stosunek liczby radykałów do liczby wszystkich krasnoludków) jest obarczonabłędem nie przekraczającym 0,03?

130. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodo-bieństwo, że wśród 200 losującycha) żaden nie wygra,b) wygra co najmniej jeden.Podać wynik dokładny i przybliżony.

131. Podręcznik wydano w nakładzie 100000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że pod-ręcznik zostanie źle oprawiony jest równe 0,0001. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, żew nakładzie pojawi się 5 źle oprawionych książek.

132. Automat produkuje detale. Prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowany detal jest wy-brakowany jest równe 0,01. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wśród 250 detalia) dokładnie 4 będą wybrakowane,b) co najwyżej 2 będą wybrakowane.

133. Rzucamy 720 razy kostką symetryczną. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacowaćprawdopodobieństwo tego, że liczba wyrzuconych czwórek będzie należeć do przedziału(100, 140).

134. Wykonano 200 rzutów symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbawyrzuconych orłów będziea) większa od 90,b) z przedziału (88, 105]?Zapisać wartość dokładną i obliczyć przybliżoną.



135. W populacji dorosłych Polaków 39% ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobień-stwo, że wśród 100 losowo wybranych dorosłych Polaków częstość osób mających kłopotyze snem nie przekroczy 33%.

136. Wykonujemy 100 rzutów kostką symetryczną. Znaleźć przedział symetryczny wokół warto-ści średniej, w jakim z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się liczba wyrzuconych szóstek.Wykorzystać twierdzenie Moivre’a−Laplace’a.

137. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 osób znajdzie się co najmniej trzech mań-kutów, jeśli przeciętnie co setna osoba jest mańkutem.

138. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższychzdarzeń jest bardziej prawdopodobne:a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób?

139. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przy dokonywaniu pomiaru przez geodetę wynosip = 0, 05. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 200 pomiarach liczba pomyłek będziea) większa niż 12,b) od 5 do 15?Określić zmienną losową, opisać jej rozkład oraz oszacować (wszystkimi znanymi sposoba-mi) powyższe prawdopodobieństwa.

140. O pewnej porze dnia prawdopodobieństwo, że nie uzyskamy połączenia z serwerem wynosi0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 400 osób próbujących się połączyć z serwerema) co najmniej 70 nie uzyska połączenia,b) nie połączy się od 72 do 88 osób?Określić zmienną losową i jej rozkład, a następnie oszacować wszystkimi znanymi sposo-bami powyższe prawdopodobieństwa.

141. Prawdopodobieństwo awarii nowego samochodu w pierwszym miesiącu użytkowania wy-nosi p = 1

300 . Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 900 nowo kupionych auta) dokładnie 5 przytrafi się awaria,b) awaria wystąpi w co najwyżej 2 samochodach,c) liczba samochodów z awarią będzie od 1 do 3?Zapisać prawdopodobieństwa dokładne i obliczyć przybliżone (wszystkie możliwe).

142. Prawdopodobieństwo, że młode drzewko nie przyjmie się w szkółce wynosi p = 0, 05. Jakiejest prawdopodobieństwo, że w szkółce liczącej 1000 drzew nie przyjmie sięa) od 40 do 50 drzew,b) więcej niż 30 drzew,c) od 40 do 60 drzew?Wykorzystać wszystkie znane oszacowania.

143. Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej cechy genetycznej wśród osobników pewnego ga-tunku wynosi p = 0, 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie liczącej 300 osobnikówliczba osób o tej cesze będziea) od 40 do 50,b) większa niż 55,c) od 50 do 70?Wykorzystać wszystkie znane oszacowania.

144. Rzucono 1000 razy symetryczną kostką do gry. Oszacować prawdopodobieństwo, że ”6”wypadła więcej niż 150 razy.

145. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych lo-sowych o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 10], przyjmie wartość z prze-działu [5, 512 ]?



146. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych lo-sowych o rozkładzie N(10, 2) przyjmie wartość większą niż 9,8 i mniejszą niż 10,1?

147. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 500 niezależnych zmiennych lo-sowych o tym samym rozkładzie danym gęstością

f(x) =

{38x2 dla 0 ¬ x ¬ 2,

0 poza tym

przyjmie wartość z przedziału (1,49, 1,5)?148. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma 100 niezależnych zmiennych losowych o tym

samym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 12 przyjmie wartość z przedziału

(200, 250)?149. Pojedynczy pomiar pewnej wielkości ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Ile należy

wykonać pomiarów, aby przy obliczaniu średniej arytmetyczej z tych pomiarów uzyskaća) odchylenie standardowe nie większe niż σ,b) odchylenie standardowe nie większe niż 0,01,c) pewność 95%, że średnia arytmetyczna będzie leżeć w przedziale (0, 4, 0, 6)?

150. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych lo-sowych o rozkładzie geometrycznym z p = 0, 75 przyjmuje wartości z przedziału (1, 2]?

151. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 300 niezależnych zmiennych loso-wych o rozkładzie Poissona z λ = 3 przyjmie wartość większą niż 2,8 i równą co najwyżej3,1?

152. Pewna firma zatrudnia 100 pracowników. Każdy z nich z prawdopodobieństwem 0, 8 ko-rzysta codziennie z komputera (zakładamy, że jeśli zaczyna z niego korzystać, to używaprzez cały dzień). Ile należy kupić komputerów, aby prawdopodobieństwo tego, że jakiśkomputer jest w danym dniu do dyspozycji wynosiło 0, 95?

153. Zmienna losowa X opisuje względny wzrost ceny nieruchomości w pewnym regionie i madystrybuantę postaci

F (x) =

0 dla x < 0,

x3 dla x ∈ [0, 1],1 dla x > 1.

Ile elementów powinna liczyć próba prosta pobrana z tej populacji, aby odchylenie stan-dardowe średniej arytmetycznej było mniejsze niż 0,01?

154. Zmienna losowa Xi (i = 1, . . . , n) ma rozkład normalny o średniej 5 i odchyleniu standar-dowym 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna zmiennych Xi przyjmiewartość większą niż 4,9 i równą co najwyżej 5,3, jeślia) n = 100,b) n = 500?W każdym z powyższych przypadków zinterpretować to prawdopodobieństwo na odpo-wiednim wykresie.



2.4. Estymatory

155. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie z war-tością oczekiwaną równą m i odchyleniem standardowym σ. Wykazać, że estymatory po-

staci T = a1X1+...+anXna1+...+an, gdzie ai ∈ R (i = 1, . . . , n) oraz

n∑i=1ai 6= 0 są nieobciążonymi

estymatorami parametru m.156. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć

estymator parametru λ rozkładu Poissona.157. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć

estymator parametru λ rozkładu wykładniczego.158. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć

estymator parametru λ (λ > 0) rozkładu Rayleigha określonego funkcją gęstości

f(x) =

{2λxe−λx

2dla x > 0

0 dla x 6 0.

159. T1 i T2 są nieobciążonymi i niezależnymi estymatorami parametru θ oraz D2(Ti) = σ2i dlai = 1, 2.a) Sprawdzić, czy statystyka T = aT1 + (1− a)T2 jest nieobciążonym estymatorem para-metru θ dla każdego a ∈ R.

b) Wyznaczyć tę wartość a, przy której wariancja estymatora T jest najmniejsza.160. Metodą największej wiarygodności w oparciu o n-elementową próbę prostą wyznaczyć

estymator parametru θ (θ > 0) rozkładu określonego funkcją gęstości

f(x) =

{θxθ−1 dla x ∈ (0, 1)0 dla pozostałych x.

161. Niech X i Y będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi, że E(X) = 1, E(Y ) = 3,D2(X) = D2(Y ) = σ2. Dla jakiej stałej c statystyka cX2 + (1− c)Y 2 jest nieobciążonymestymatorem parametru σ2.

162. Wyznaczyć metodą największej wiarygodności estymator parametru p rozkładu geome-trycznego, którego funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest postaci:

P (X = k) = p(1− p)k−1, k ∈ N.

163. Rozkład zmiennej losowej X opisany jest następującą funkcją gęstości prawdopodobień-stwa:

f(x) =

0 dla x < 0,

(2a+ 1)x2a dla x ∈ [0, 1],0 dla x > 1.

Wyznaczyć estymator parametru a metodą największej wiarygodności. Wyrazić go zapomocą średniej geometrycznej powyższej próby.


3. Charakterystyki próby

164. Dokonano pomiaru zawartości witaminy C w owocach agrestu. Uzyskano następujące wy-niki w miligramach na 100 gramów świeżych owoców: 35, 38, 29, 34, 41, 28, 36, 31, 28,30, 34, 37, 35, 39, 30, 33. Obliczyć średnią, medianę, wariancję, odchylenie standardowei współczynnik zmienności badanej cechy.

165. W pewnym zakładzie badano czas dojazdu pracowników do pracy. Otrzymane wynikizestawiono w szeregu rozdzielczym:

czas dojazdu (w min) (0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 100]liczba pracowników 9 26 30 21 14

a) Narysować histogram liczebności.b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną.c) Obliczyć średnią, wariancję oraz odchylenie standardowe.

166. Sprawdzono 40 stron maszynopisu znajdując na nich następujące liczby błędów: 0, 0, 2,0, 2, 4, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 0, 1, 0, 1, 1,2, 2, 1. Zbudować punktowy szereg rozdzielczy, a następnie wyznaczyć średnią, odchyleniestandardowe oraz kwartyle liczby błędów.

167. Strukturę wiekową zbiorowości w pewnym ośrodku wczasowym w sierpniu 2007 roku przed-stawia szereg:

wiek w latach 10−20 20−30 30−40 40−50 50−60liczba osób 12 16 24 30 18

a) Narysować histogram liczebności.b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną i sporządzić jej wykres.c) Obliczyć odchylenie przeciętne.

168. W pewnej centrali handlu zagranicznego przeprowadzono sondaż wśród 50 pracowników,pytając ich o liczbę wyjazdów w ciągu roku do krajów Europy Zachodniej. Wyniki byłynastępujące: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Zbudować punktowy szereg rozdzielczya następniea) wyznaczyć średnią i odchylenie standardowe,b) wyznaczyć i zinterpretować modę oraz medianę,c) wyznaczyć współczynnik skośności.

169. Badano czas reakcji organizmu osób cierpiących na pewne schorzenie. Otrzymano następu-jące wyniki (w s): 45, 40, 39, 50, 37, 38. Wyznaczyć i zinterpretować wartości następującychwspółczynników: asymetrii, koncentracji.

170. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości drzew. Otrzymane wyniki zesta-wiono w szeregu rozdzielczym:

wysokość (w metrach) (41, 43] (43, 45] (45, 47] (47, 49] (49, 51]

liczba drzew 11 29 33 20 7

Wykreślić histogram liczebności oraz wyznaczyć odchylenie standardowe, modę i kwartylebadanej cechy.

171. W drzewostanie zmierzono pierśnice (d) i wysokości (h) 12 drzew uzyskując wyniki:

di [cm] 28,4 44,1 36,8 25,0 31,2 19,9 24,3 48,0 32,2 22,7 42,5 30,6

hi [m] 24,7 27,3 26,1 19,4 27,8 21,8 24,0 28,2 25,8 22,1 26,9 25,4

Obliczyć średnią ważoną wysokość drzew, stosując jako wagę kwadrat pierśnicy.


3. Charakterystyki próby 21

172. W celu scharakteryzowania rozkładu wysokości drzew pewnego drzewostanu dokonanopomiaru 69 drzew, uzyskując następujące wyniki w metrach:

4, 50 6, 45 5, 53 5, 40 7, 24 5, 29 6, 25 5, 90 6, 81 6, 05 4, 68 6, 55

5, 75 5, 93 4, 53 6, 91 5, 64 7, 36 4, 36 6, 49 5, 36 6, 27 4, 25 5, 70

6, 35 5, 41 6, 18 5, 18 6, 78 4, 93 5, 72 4, 79 5, 06 7, 05 5, 43 5, 80

6, 50 5, 76 7, 41 5, 59 5, 81 5, 80 6, 61 4, 82 6, 20 4, 12 7, 46 5, 50

4, 45 5, 03 6, 00 4, 70 6, 85 5, 21 6, 42 7, 30 5, 60 7, 21 5, 92 5, 89

5, 49 6, 30 7, 00 6, 75 5, 90 5, 35 7, 35 6, 60 4, 90

Zbudować przedziałowy szereg rozdzielczy i sporządzić histogram liczebności.173. W celu określenia rozkładu cen działek budowlanych w gminie Kraków zebrano informacje

o 80 losowo wybranych transakcjach w ciągu ostatniego miesiąca:

cena (w tys. zł za ar) (3, 5] (5, 7] (7, 9] (9, 11] (11, 13] (13, 15]

liczba transakcji 8 11 22 17 13 9

Sporządzić histogram częstości znormalizowanej i częstości skumulowanej oraz wyznaczyćśrednią i wariancję w próbie.

174. Lesistość oraz powierzchnia województw Polski (stan na dzień 31 XII 2005 roku):

województwo powierzchnia w % lesistość w %dolnośląskie 6,4 29,2

kujawsko-pomorskie 5,8 23,1lubelskie 8,0 22,4lubuskie 4,5 48,7łódzkie 5,8 20,7małopolskie 4,9 28,4mazowieckie 11,4 22,1opolskie 3,0 26,4podkarpackie 5,7 36,6podlaskie 6,5 30,0pomorskie 5,9 35,9śląskie 3,9 31,7

świętokrzyskie 3,7 27,6warmińsko-mazurskie 7,7 30,0wielkopolskie 9,5 25,5

zachodniopomorskie 7,3 34,8

Na podstawie powyższych danych obliczyć średnią ważoną lesistość Polski, stosując jakowagę powierzchnię województw.

175. W pewnym doświadczeniu fizycznym mierzony jest czas określonego efektu świetlnego.Przeprowadzono 100 doświadczeń i otrzymano następujące wyniki:

czas efektu świetlnego (w s) (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, 5]

liczba doświadczeń 7 21 33 24 15

Wyznaczyć i zinterpretować wartości następujących miar położenia: średniej, mody, kwar-tyli.



176. Rozkład liczby wyjazdów służbowych w ciągu roku wśród 100 pracowników pewnej firmyprzedstawia się następująco:

liczba pracowników 1 2 3 4 5 6 7 8

liczba wyjazdów 7 8 17 27 14 7 11 9

a) Wyznaczyć i zinterpretować wartości następujących miar położenia: średniej, mody,kwartyli.

b) Wyznaczyć dystrybuantę empiryczną.177. Dla wylosowanej próby 100 klientów pewnego sklepu RTV otrzymano następujący rozkład

wartości zakupów:

wartość zakupów (w euro) (0, 40] (40, 80] (80, 120] (120, 160] (160, 200]liczba klientów 9 19 36 24 12

Wyznaczyća) dystrybuantę empiryczną oraz narysować jej wykres,b) średnią, modę oraz kwartyle,c) wariancję, odchylenie standardowe oraz odchylenie przeciętne.

178. Posortowane rosnąco wartości pewnej próby są następujące:

4, 6, 7, 9, 11, 11, 11, 13, 14, 15, 15, 17, 18, 18, 20, 20, 20, 21, 23.

Znaleźć kwartyle w tej próbie.179. Badaniu statystycznemu poddano czas trwania pewnej reakcji chemicznej. Przeprowadzo-

no 100 doświadczeń i otrzymano następujące wyniki:

czas trwania (w s) (1, 3] (3, 5] (5, 7] (7, 9] (9, 11]

liczba reakcji 12 19 28 24 17

Wyznaczyć średnią, odchylenie standardowe (s), medianę, skośność oraz współczynnikzmienności czasu trwania reakcji chemicznej.


4. Przedziały ufności

4.1. Przedziały ufności dla średniej

180. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego (w kg/cm2) jest zmienną losową o roz-kładzie N(m, 1). Wylosowano niezależnie 5 sztuk tego materiału i dokonano pomiaru wy-trzymałości. Wyniki pomiarów były następujące: 20,4, 19,6, 22,1, 20,8, 21,1. Przyjmującwspółczynnik ufności 0,9, zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości badanegomateriału budowlanego.

181. Z drzewostanu sosnowego pobrano próbę prostą o liczebności 50 drzew i dla niej obliczonośrednią wysokość x = 20 m i odchylenie standardowe s = 1, 5 m. Przyjmując, że roz-kład wysokości drzew jest normalny wyznaczyć przedział ufności dla średniej, przyjmującwspółczynnik ufności 1− α = 0, 98.

182. W instytucie chemii przeprowadzono badania czasu trwania określonej reakcji chemicznej.W tym celu wykonano 10 niezależnych prób tego eksperymentu, otrzymując następującewyniki (w s): 9, 11, 10, 12, 7, 10, 11, 12, 10, 8. Wiedząc, że w określonych warunkachbadany czas jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, wyznaczyć przedział ufnościdla średniego czasu trwania badanej reakcji, przyjmując współczynnik ufności na poziomie0,95.

183. W 50-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnegozadania matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): x = 17, 5, s = 6.Wiedząc, że badany czas jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, wyznaczyć przedziałufności dla średniej, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,99.

184. Na podstawie informacji o czasie przepisywania na komputerze jednej strony tekstu przez100 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedział dla średniego czasu pisania jednejstrony tekstu przez ogół maszynistek (5,804 min, 6,196 min). Wiedząc dodatkowo, żerozkład czasu pisania jednej strony tekstu jest rozkładem normalnym z parametrem σ = 1,ustalić jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu powyższego przedziału.

185. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości losowo wybranych drzew. Otrzy-mano następujące wyniki (w m): 6,45, 5,53, 5,40, 7,24, 5,29, 6,25, 5,90, 6,81, 4,68,6,55, 5,75, 5,93, 4,53, 6,91, 5,64, 7,36, 4,36, 6,49. Na poziomie ufności 0,95 wyznaczyćprzedział ufności dla średniej. Zakładamy, że badana cecha ma rozkład normalny.

186. W szklarni pewnego gospodarstwa ogrodniczego pobrano losowo próbę 27 goździków i zmie-rzono ich długość, oto wyniki (w cm): 34,96, 26,28, 26,18, 28,28, 28,81, 29,13, 33,14,27,53, 36,31, 25,59, 31,19, 30,68, 34,04, 32,92, 21,32, 33,31, 31,62, 28,68, 37,20, 27,57,28,94, 27,54, 35,02, 33,91, 25,31, 35,33, 32,18. Przyjmując, że rozkład długości goździkówjest normalny, na poziomie ufności 0,98, wyznaczyć przedział ufności dla średniej.

187. Z drzewostanu pobrano próbę prostą o liczebności 46 drzew, dla której określono średniąpierśnicę uzyskując x = 25 cm przy odchyleniu standardowym s = 5 cm. Przyjmującα = 0, 04, wyznaczyć przedział ufności dla średniej pierśnicy drzewostanu przy założeniu,że rozkład pierśnic drzew jest normalny.

188. W pewnym gospodarstwie ekologicznym pobrano losowo próbę 9 tuczników, które na-stępnie zważono, oto wyniki (w kg): 105, 117, 125, 123, 120, 135, 123, 115, 117. Znaleźćprzedział ufności dla średniej. Założyć normalność rozkładu wagi oraz przyjąć poziomufności równy 0,96.



189. Zmierzono grubości kory na pierśnicy w 20 - elementowej próbie pobranej z pewnegodrzewostanu świerkowego uzyskując x = 1, 6 mm. Zakładając, że grubość kory jest zmiennąlosową o rozkładzie normalnym z parametrem σ = 0, 15 znaleźć przedział ufności dlaśredniej grubości kory. Przyjąć poziom ufnościa) 1− α = 0, 9,b) 1− α = 0, 95.

4.2. Przedziały ufności dla wariancji i odchyleniastandardowego

190. Z drzewostanu pobrano próbę prostą o liczebności 50 drzew, dla których dokonano po-miarów pierśnicy, uzyskując: x = 25 cm, s = 5 cm. Przy założeniu, że rozkład pierśnicdrzew jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla wariancji, przyjmując współczynnikufności na poziomie 0,95.

191. Z populacji liczącej 2000 robotników wylosowano niezależną próbę 120, dla których odchy-lenie standardowe wykonania dziennej normy pracy wynosiło s = 8%. Oszacować z praw-dopodobieństwem 0,95 przedział pokrywający nieznaną wartość odchylenia standardowegow populacji generalnej, jeżeli zakłada się, że stopień wykonania normy ma rozkład nor-malny.

192. Zmierzono średnice 20 drzew wybranych losowo z drzewostanu mieszanego świerkowo -sosnowego i otrzymano s2 = 13, 5. Zakładając, że średnice drzew mają rozkład normalny,zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego. Przyjąć 1− α = 0, 9.

193. Dokonano pomiaru zawartości witaminy C w owocach agrestu. Uzyskano następujące wy-niki w miligramach na 100 gramów świeżych owoców: 34, 32, 33, 34, 35, 32, 28, 30, 33,35, 31, 31, 33, 34, 32, 36, 27, 32, 32, 34, 34, 32, 27, 30, 35, 27, 31. Na poziomie ufności0,98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji. Zakładamy, że badana cecha ma rozkładnormalny.

194. W instytucie chemii przeprowadzono badania czasu trwania określonej reakcji chemicznej.W tym celu wykonano 10 niezależnych prób tego eksperymentu, otrzymując następującewyniki (w s): x = 10, 6, s = 2, 1. Wiedząc, że w określonych warunkach badany czasjest zmienną losową o rozkładzie normalnym wyznaczyć przedział ufności dla wariancji,przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,99.

195. W pewnym gospodarstwie ekologicznym pobrano losowo próbę 9 tuczników, które następ-nie zważono, oto wyniki (w kg): x = 120, s = 7, 72. Znaleźć przedział ufności dla wariancjioraz odchylenia standardowego masy tuczników badanego gatunku na poziomie ufności0,9. Założyć normalność rozkładu wagi.


4. Przedziały ufności 25

4.3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury

196. Oszacować przedziałowo jaka część młodzieży szkół licealnych pali papierosy, jeżeli w pró-bie wybranej w losowaniu niezależnym, liczącej 1000 uczniów, 230 osób paliło papierosy.Przyjąć współczynnik ufności 0,9.

197. W pewnej przychodni rejonowej wśród 920 ludzi poddanych prześwietleniu stwierdzonozmiany chorobowe u 9 osób. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla frakcji osób chorychobsługiwanych przez te przychodnie.

198. W losowo wybranej próbie 200 studentów UJ 70 osób mieszkało na stałe w Krakowie.Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,99, wyznaczyć przedział ufności dla frakcjiosób mieszkających na stałe poza Krakowem.

4.4. Minimalna liczebność próby

199. Dostarczono partię cytryn, z której należy wylosować próbę w celu oszacowania ich średniejwagi, przy założeniu, że błąd szacunku wynosi 4,6 g, a poziom ufności jest równy 0,99.W tym celu z populacji generalnej pobrano 5-elementową próbę wstępną, dla której od-chylenie standardowe s = 20 g. Czy próba wstępna jest wystarczająco liczna? Zakładamy,że rozkład wagi cytryn jest normalny.

200. Waga opakowań kawy (w dag) ma rozkład N(m, 0, 08). Ile co najmniej torebek kawynależy pobrać do próby, aby przy współczynniku ufności równym 0,99 oszacować średniąwagę ogółu opakowań kawy, otrzymując przedział o długości nie przekraczającej 0,1 dag?

201. Wyznaczyć minimalną liczebność próby służącej do oszacowania średniego wzrostu ucznióww klasach piątych szkół podstawowych, jeżeli wiadomo, że rozkład wzrostu uczniów jestnormalny, a dla próby wstępnej liczącej 10 uczniów otrzymano następujące wyniki [w cm]:147, 145, 149, 152, 143, 161, 150, 151, 138, 144. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku5 cm przy współczynniku ufności 0,95.

202. Wariancja 5-letniego przyrostu pierśnicy drzew drzewostanu sosnowego wynosi 16 mm,a rozkład tej cechy jest normalny. Przyjmując poziom ufności 0,95, wyznaczyć minimalnąliczebność losowej próby tak, aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 1 mm przyszacowaniu średniego przyrostu pierśnicy drzew.

203. Zbadać, ile niezależnych obserwacji powinna liczyć próba, by na jej podstawie można byłooszacować średni czas wykonywania przez robotnika pewnej operacji technicznej z błę-dem maksymalnym 20 s, przy współczynniku ufności na poziomie 0,95. Wiadomo, że czaswykonywania tej operacji technicznej jest zmienną losową o rozkładzie N(m, 40).

204. Jaką minimalną liczbę drzew z lasów sosnowych należy wylosować do próby, aby przywspółczynniku ufności 0,99 oszacować przeciętną wysokość drzewa w lesie sosnowym? Wa-riancja wysokości drzew obliczona z pilotażowej 10-elementowej próby wyniosła s2 = 25cm2. Zakładamy, że maksymalny błąd szacunku jest równy 4 cm, a rozkład wysokościdrzew jest normalny.

205. Podczas badania pierśnic w pewnym drzewostanie pobrano próbę 22-elementową i obliczo-no dla niej x = 32, 8 oraz s2 = 1, 8. Zakładając normalność rozkładu, sprawdzić, czy próbata jest wystarczająco liczna do oszacowania średniej pierśnicy z maksymalnym błędemszacunku l = 0, 5 cm na poziomie ufnościa) 1− α = 0, 9,b) 1− α = 0, 99.Jeśli próba nie jest wystarczająco liczna obliczyć, o ile należy ją powiększyć.



206. Małopolski Oddział NFZ wyasygnował na badania poziomu magnezu w surowicy krwiu 10-latków kwotę 1400 zł. Dla 20-elementowej próby pilotażowej otrzymano: x = 0, 9mmol/l, s = 0, 05 mmol/l. Czy kwota ta jest wystarczająca dla oszacowania na poziomieufności 0,99 średniego poziomu magnezu w populacji 10-latków z dopuszczalnym błędemszacunku równym 0,01 mmol/l? Koszt badania dla jednego pacjenta wynosi 10 zł. Założyćnormalność rozkładu.


5. Parametryczne testy istotności

5.1. Testy istotności dla średniej

207. Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady o nominalnej wadze250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(m, 5). Kon-trola techniczna pobrała w pewnym dniu próbę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymałaich średnią wagę 247 g. Czy można twierdzić, że automat rozregulował się i produkujetabliczki czekolady o mniejszej niż przewiduje norma wadze? Na poziomie istotności 0,05zweryfikować odpowiednią hipotezę statystyczną.

208. Zakład L otrzymuje od zakładu N pręty stalowe, których średnia długość powinna wy-nosić 1 m. Odbiorca L złożył reklamację, że dostarczane pręty są krótsze. Dostawca Nw obecności odbiorcy L wylosował z dostarczanej partii próbę liczącą 10 prętów. Wynikipomiarów były następujące (w cm): 97, 101, 100, 102, 96, 99, 101, 98, 99, 100. Czy możnauznać reklamację odbiorcy L za słuszną? Do weryfikacji hipotezy przyjąć poziom istotności0,05 oraz założyć, że rozkład długości prętów jest normalny.

209. Plony żyta w gospodarstwach indywidualnych pewnego województwa mają rozkład nor-malny o nieznanych parametrach. Przypuszcza się, że średnie plony są równe 30 q/ha. Czyprzypuszczenie to jest słuszne, jeżeli w próbie złożonej z 49 losowo wybranych gospodarstwotrzymano: x = 28 q/ha oraz s = 4 q/ha? Przyjąć poziom istotności 0,05.

210. W stołówce studenckiej przeprowadzono kontrolę masy porcji obiadowej mięsa, która nomi-nalnie powinna wynosić 120 g. Losowo wybrano a następnie zważono 40 porcji, uzyskującwyniki: x = 118 g, s = 2, 7 g. Na poziomie istotności 0,02, zweryfikować, czy masa mięsajest zgodna z masą nominalną.

211. Sklep spożywczy otrzymał dostawę rodzynek w torebkach, z których każda powinna ważyćśrednio 10 dag. Ponieważ zdarzały się reklamacje co do wagi zakupionych bakalii, wybranolosowo 10 torebek, zważono je i uzyskano następujące wyniki: 10,5, 9,3, 9,5, 10,3, 10,9,8,7, 9,9, 10,1, 10,5, 10,2. Przy poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę, żeprzeciętna waga rodzynek w torebkach jest zgodna z podaną na opakowaniu, przyjmując,że badana cecha ma rozkład normalny.

212. Kiedy w drzewostanie sosnowym II klasy wieku liczba gąsienic barczatki sosnówki wyniesieprzeciętnie pod jednym drzewem 50 lub więcej sztuk, wówczas należy przystąpić do za-kładania na drzewach pierścieni lepowych, co stanowi sposób zwalczania tego szkodnika.Przyjmując poziom istotności 0,05, zbadać, czy próba o liczebności 9 drzew, dla którejx = 45 i s = 10 gąsienic, stanowi sygnał do zwalczania barczatki.

213. Zmierzono czasy pracy 10 wylosowanych bateryjek radiowych i otrzymano następującewyniki (w godz.): 29, 34, 37, 40, 35, 37, 34, 36, 33, 30. Zakładając, że czasy pracy mająrozkład normalny na poziomie istotności 0,02 zweryfikować hipotezę, że wartość przeciętnaczasu pracy tego typu bateryjek jest mniejsza niż 35 godz.

214. Sklep ogrodniczy otrzymał dostawę nasion fasoli w torebkach, których średnia waga powin-na być równa 10 dag. Ponieważ zdarzały się reklamacje, co do wagi zakupionych nasion, wy-brano losowo 36 torebek, zważono je i w wyniku obliczeń otrzymano: x = 9, 94, s = 0, 24.Przyjmując, że badana cecha ma rozkład normalny, na poziomie istotnościa) α = 0, 08,b) α = 0, 05,sprawdzić zasadność składanych reklamacji.



215. Badania wykazały, że średnie zużycie paliwa w pewnym modelu samochodu wynosi 7litrów na 100 km. Wprowadzono nowy model i po przeprowadzeniu 45-ciu jazd próbnychotrzymano następujące wyniki: x = 6, 95, s = 0, 16. Czy na poziomie istotnościa) α = 0, 01,b) α = 0, 05,firma może twierdzić, że nowy model zużywa mniej paliwa? Założyć, że rozkład zużyciapaliwa jest normalny.

216. Dla celów dietetycznych konieczne jest ustalenie zawartości witaminy C w owocach agrestu.Czy można przyjąć, że przeciętna zawartość tej witaminy w 100 g świeżych owoców jestrówna 35 mg, jeżeli na podstawie wyników badań 46 próbek 100-gramowych uzyskano:x = 33, 625, s2 = 15, 11. Przyjąć α = 0, 05

217. W pewnym biochemicznym doświadczeniu bada się czas życia żywych komórek w pewnymśrodowisku. Rozkład tego czasu można przyjąć za normalny. Dokonano 8 pomiarów i otrzy-mano następujące czasy życia tych komórek w badanym środowisku (w godz.): 4,7, 5,3,4,0, 3,8, 6,2, 5,5, 4,5, 6,0. Przyjmując poziom istotności α = 0, 05 sprawdzić hipotezę, żeśredni czas życia tych komórek w tym środowisku jest dłuższy niż 4 godziny.

218. Konsumenci twierdzą, że waga netto dżemu produkowanego w słoikach przez pewien zakładjest mniejsza, niż podano na etykiecie, czyli mniej niż 495 g. Dla zbadania czy skarga jestsłuszna, z partii słoików produkowanych przez ten zakład wylosowano 15 sztuk i zważonoje otrzymując x = 493, 4 g oraz s = 7, 48 g.Zakładając, że waga dżemu w słoikach ma rozkład normalny, zbadać, na poziomie istot-ności α = 0, 05 czy skarga konsumentów jest uzasadniona.

219. Dzienne zużycie wody w zakładzie jest zmienną losową o rozkładzie N(1000, 200). Napodstawie obserwacji przez 196 dni w roku stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wodywynosi x = 1025 m3. Na poziomie istotności α = 0, 05, sprawdzić, czy średnie rzeczywi-ste zużycie wody różni się istotnie od teoretycznego. Rozważyć dwie (sensowne) postaciehipotezy alternatywnej.

220. W drzewostanie sosnowym IV klasy wieku z drzew zebrano jaja brudnicy mniszki uzy-skując na 6 drzewach: 820, 1500, 780, 1000, 600 i 1300 jaj. Krytyczna średnia liczba jajod której należy przystąpić do zwalczania brudnicy wynosi 1200 na drzewo. Zakładającnormalność rozkładu, sprawdzić na poziomie istotnościa) α = 0, 05,b) α = 0, 2,czy należy przystąpić do zwalczania szkodnika.

221. Zmierzono wysokości 40 świerków wylosowanych z drzewostanu Węgierska Górka i otrzy-mano: x = 21, 5, s = 3, 3. Czy można twierdzić, że średnia wysokość świerka jest większaniż 20 m? Przyjąć α = 0, 1 oraz założyć, że rozkład wysokości świerków jest normalny.


5. Parametryczne testy istotności 29

5.2. Testy istotności dla dwóch średnich

222. Porównano długość śledzia bałtyckiego i atlantyckiego. Losowo wybrano 100 śledzi bał-tyckich i otrzymano: x1 = 28 cm, s1 = 3 cm, a dla 100 śledzi atlantyckich: x2 = 33 cm,s2 = 4 cm. Zakładając, że rozkład badanej cechy w obu populacjach śledzi jest normalny,na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że śledzie atlantyckie osiągają większąśrednią długość.

223. W teście badającym pamięć uczniów, dla 10 wylosowanych uczniów otrzymano następująceliczby zapamiętanych przez nich elementów: 21, 16, 21, 14, 17, 25, 17, 22, 19, 17. Natomiastpo specjalnym treningu pamięci grupa ta wykazała następujące wyniki: 25, 23, 19, 25, 18,17, 19, 15, 23, 22. Przyjmując poziom istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że treningzwiększa średnią liczbę zapamiętanych przez uczniów elementów (zastosować test dla parwiązanych).

224. Pewnej grupie 12 pacjentów leczonych na nadciśnienie podawano odpowiedni lek. Wynikipomiarów ciśnienia tętniczego krwi były w tej grupie przed leczeniem następujące (w mmHg): 220, 180, 270, 290, 200, 300, 250, 190, 220, 230, 260, 270. Natomiast po pewnymokresie leczenia pacjenci ci mieli odpowiednio ciśnienie: 190, 170, 220, 260, 220, 200, 260,150, 160, 170, 210, 190. Przyjmując poziom istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, żelek ten powoduje spadek ciśnienia u pacjentów (zastosować test dla par wiązanych).

225. Opracowano dwie metody produkcji pewnego wyrobu. W metodzie A zaobserwowano na-stępujące liczby zużycia surowca w kg na jednostkę wyrobu: 17, 11, 20, 18, 19, 13, 14, 16, zaśw metodzie B: 15, 12, 10, 18, 14, 16, 13. Zakładając, że zużycie surowca w metodzie A i Bna jednostkę wyprodukowanego wyrobu ma rozkład normalny o równych wariancjach, napoziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętne zużycie surowca na jednostkęwyrobu w metodach A i B jest różne.

226. Zmierzono w dwóch losowych próbach długość ziaren fasoli. Otrzymano następujące wy-niki:odmiana A: x1 = 11, 9 mm, s1 = 2, 1 mm, n1 = 100,odmiana B: x2 = 12, 3 mm, s2 = 1, 8 mm, n2 = 100.

Zakładamy, że rozkład badanej cechy w obu populacjach jest rozkładem normalnym. Napoziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętna długość ziaren w populacjachA i B jest taka sama.

227. Badano wpływ koszenia liści po zbiorach na plon owoców na plantacji truskawek. Za-bieg koszenia zastosowano w drugim roku uprawy. Dla wybranych losowo roślin uzyskanonastępujące wyniki określające łączny plon owoców z trzech lat:x1 = 8, 4 kg, s1 = 0, 5 kg, n1 = 50 dla roślin bez zabiegu,x2 = 8, 7 kg, s2 = 1, 2 kg, n2 = 60 dla roślin z zastosowanym zabiegiem.

Na poziomie istotnościa) α = 0, 1,b) α = 0, 01,zweryfikować hipotezę, że średnie plony są takie same, przeciw alternatywnej, że dla roślinbez zabiegu średni plon jest mniejszy.

228. Dwóm grupom robotników zlecono wykonanie tej samej pracy z tym jednak, że robotni-cy grupy drugiej przeszli wcześniej odpowiednie przeszkolenie. Zaobserwowana wydajnośćpracy w pierwszej grupie kształtowała się następująco (w szt/h): 17,3, 17,6, 17,8, 16,7,18,1, podczas gdy w drugiej grupie zaobserwowano następujące wydajności: 18,2, 17,7,18,1, 17,1, 18,6, 18,3. Zakładając, że wydajność pracy ma rozkład normalny zweryfikowaćhipotezę, że przeszkolenie zwiększa średnią wydajność pracy . Przyjąć α = 0, 1.



229. Porównywano średnią wysokość 2 gatunków cisów i dla roślin 5-letnich uzyskano następu-jące wyniki (w cm): x1 = 84, s1 = 5, n1 = 14 oraz x2 = 79, s2 = 6, n2 = 16. Na poziomieistotnościa) α = 0, 05,b) α = 0, 01,zweryfikować hipotezę, że średnie wysokości są równe przeciw alternatywnej, że 1-szy ga-tunek ma większy średni przyrost. Zakładamy, że w obu populacjach badana cecha marozkład normalny o równych wariancjach.

230. W województwie śląskim i małopolskim dokonano pomiarów 5-letniego przyrostu wysoko-ści 20-letnich drzewostanów sosnowych. Otrzymano następujące wyniki:Śląsk: n1 = 19, x1 = 66 cm, s1 = 3 cm,Małopolska: n2 = 23, x2 = 70 cm, s2 = 2, 7 cm.

Zakładamy, że w obu populacjach 5-letni przyrost wysokości badanych drzewostanów marozkład normalny o równych wariancjach. Przyjmując poziom istotności 0,05, zweryfiko-wać hipotezę, że średni 5-letni przyrost wysokości drzewostanu sosnowego jest większyw Małopolsce.

231. W drzewostanie mieszanym świerkowo-sosnowym o przeciętnym wieku sosny 179 lat, wy-różniono dwie populacje świerka: populację drzew zdrowych i populację drzew porażonychprzez hubę korzeniową. Z obu populacji pobrano próbę liczącą po 46 świerków i określonodla każdego drzewa 5-letni przyrost pierśnicy. Dla próby pobranej z populacji drzew zdro-wych otrzymano x1 = 7, 87 mm i s1 = 4, 01 mm, a dla próby pobranej z populacji drzewporażonych hubą korzeniową otrzymano x2 = 6, 2 mm i s2 = 2, 28 mm. Przyjmując po-ziom istotności 0, 01 zbadać istotność różnicy między średnimi, przy założeniu, że rozkładbadanej cechy jest normalny. Rozważyć dwie postacie hipotezy alternatywnej.

232. Wybrani studenci matematyki i fizyki na pewnej uczelni uzyskali następujące średnie wy-ników nauczania: x1 = 3, 6, x2 = 4, 1, przy czym n1 = n2 = 50. Na poziomie istotnościα = 0, 08 zweryfikować hipotezę, że średnie oceny na obu kierunkach są takie same. Zało-żyć, że próby pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym i wariancji równej 3. Rozważyćdwie postacie hipotezy alternatywnej.

233. Badano zawartość nikotyny w dwóch gatunkach papierosów. Dla próby liczącej 60 papie-rosów gatunku A otrzymano x1 = 23, 2 mg, s1 = 1, 1 mg. Natomiast dla próby liczącej50 papierosów gatunku B otrzymano x2 = 23, 8 mg, s2 = 1, 3 mg. Czy można uważać, napoziomie istotności 0,01, że przeciętna zawartość nikotyny w papierosach gatunku A jestniższa niż w papierosach gatunku B? Zakładamy, że rozkład zawartości nikotyny dla obugatunków jest rozkładem normalnym.

234. Dla 7 losowo wybranych roślin chmielu wykonano następujące doświadczenie laboratoryj-ne: zapylono jedną połowę każdej kwitnącej rośliny, a drugiej nie zapylono. Otrzymanonastępujący plon z tych roślin (masa nasion na 10 g chmielu):

część zapylona część niezapylona0,75 0,180,73 0,090,40 0,290,89 0,260,82 0,270,56 0,170,65 0,11

Przyjmując α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że zapylenie zwiększa średnią masę nasionchmielu. Zastosować test dla par wiązanych oraz założyć normalność rozkładów.



235. W celu porównania zawartości witaminy C dla dwóch gatunków porzeczek pobrano 8próbek owoców czarnej i 7 owoców czerwonej porzeczki otrzymując następujące wynikipomiarów (w mg/100 g):czarna: 48, 42, 50, 56, 55, 45, 60, 44,czerwona: 40, 41, 42, 38, 48, 32, 39.Zweryfikować hipotezę o jednakowej średniej zawartości witaminy C w obu gatunkachzakładając normalność rozkładów i równość wariancji. Przyjąć α = 0, 1.

236. Pojemność płuc studentów uprawiających czynnie sport ma rozkład normalny z odchyle-niem standardowym 440 cm3, natomiast studentów nie uprawiających sportu ma rozkładnormalny z odchyleniem standardowym 620 cm3. Z obu populacji studentów wylosowanopróby i zmierzono średnią pojemnośc płuc każdego studenta otrzymując dla 40 studen-tów uprawiających sport średnią równą 4080 cm3, a dla 50 pozostałych średnią równą3615 cm3. Sprawdzić, czy na podstawie powyższych danych można twierdzić, że uprawia-nie sportu zwiększa średnią pojemność płuc. Przyjąć poziom istotności α = 0, 02.

237. Wydział Ochrony Środowiska Urzędu Miasta w Czarnkowicach postanowił zasadzić topolewzdłuż Alei Topolowej. W ofercie są dwa gatunki topól: Robusta i Hybrida. Postanowio-no wybrać ten gatunek, który charakteryzuje się większym średnim rocznym przyrostemwysokości. Lokalna firma ogrodnicza, w wyniku wieloletnich badań, uzyskała następującewyniki:Robusta: 112, 93, 121, 80, 97, 125, 118, 104, 113,Hybrida: 98, 96, 94, 107, 93, 99, 82, 115.

Który gatunek topoli powinni wybrać urzędnicy? Przyjąć α = 0, 1 oraz założyć, że rozkładprzyrostu wysokości jest normalny.

238. Dwa 70 - letnie drzewostany sosnowe miały takie same: przeciętną pierśnicę, wysokość,miąższość i przyrost wysokości. Około 30 lat temu jeden z drzewostanów znalazł się w za-sięgu emisji nowo wybudowanego zakładu wapienniczego. Z obu drzewostanów pobranopróby 6 elementowe i zmierzono 30 letnie przyrosty pierśnic (w cm.):I drzewostan: 13, 9, 19, 18, 11, 14,II drzewostan (w zasięgu emisji): 7, 5, 9, 14, 13, 12.Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić, czy wybudowanie zakładu spowodowało zmniejsze-nie średniego przyrostu pierśnic. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji.



5.3. Testy istotności dla wariancji

239. W szklarni pewnego gospodarstwa ogrodniczego pobrano losowo próbę 20 goździków i zmie-rzono ich długość, otrzymując s = 3, 35 cm. Zakładając, że długość goździków ma rozkładnormalny, na poziomie istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że wariancja goździkówszklarniowych wynosi 6,5 cm2, przeciw hipotezie, że jest ona większa od 6,5 cm2.

240. Sadzonki sosny posadzono na powierzchni doświadczalnej nowo skonstruowaną sadzarką.Postawmy żądanie dotyczące precyzji sadzenia − korzenie sadzonek powinny być umiesz-czone na odpowiedniej głębokości w ziemi z dopuszczalnym odchyleniem standardowymrównym 5 mm. Dla próby złożonej z 26 sadzonek, uzyskano odchylenie standardowe głę-bokości sadzenia s = 5, 8 mm. Zakładając, że rozkład głębokości sadzenia jest normalny,na poziomie istotnościa) α = 0, 1,b) α = 0, 05,ocenić, czy sadzarka spełniła postawiony wymóg.

241. W szklarni pewnego gospodarstwa ogrodniczego pobrano losowo próbę 46 róż, zmierzonoich długość i otrzymano następujące wyniki: (w cm): x = 60, 8, s = 2, 6 cm. Zakładając,że długość róż ma rozkład normalny, na poziomie istotności 0,02, zweryfikować hipotezęH0 : σ2 = 7, wobec hipotezy alternatywnej HA : σ2 6= 7.

242. Sklep spożywczy otrzymał dostawę maku w torebkach. Podczas kontroli wylosowano i zwa-żono 12 torebek uzyskując następujące wyniki (w g): x = 485, s = 9, 3. Zakładającnormalność rozkładu, na poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę H0 : σ = 10,wobec hipotezy alternatywnej HA : σ < 10.

243. Temperatura w chłodni ma rozkład normalny o nieznanych parametrach. Wykonano 20niezależnych pomiarów i na ich podstawie otrzymano s = 2, 3oC. Zweryfikować hipotezęH0 : σ = 2oC, wobec hipotezy alternatywnej HA : σ > 2oC. Przyjąć α = 0, 1.

244. Do produkcji pewnego typu baterii używane są metalowe płytki o średnicy 6 mm. Jeśliwariancja średnicy płytki jest nie większa niż 1 mm2, produkcja jest kontynuowana. Jeśliwariancja przekracza 1 mm2 proces produkcji trzeba przerwać. W celu przeprowadzeniakontroli pobrano losowo próbę 28 płytek i obliczono wariancję s2 = 1, 34. Czy na poziomieistotnościa) α = 0, 01,b) α = 0, 1,możemy podjąć decyzję o przerwaniu produkcji? Założyć, że badana cecha ma rozkładnormalny.

245. Zebrano następujące plony z pewnej odmiany leszczyny szlachetnej, w kilogramach z krza-ka: 2,45, 3,81, 2,60, 4,12, 5,05, 4,28, 5,20, 4,62, 3,85, 4,52. Zakładamy, że rozkład plonówleszczyny jest normalny. Na poziomie istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że wariancjaplonu leszczyny szlachetnej wynosi 0,85, przeciw hipotezie, że jest ona różna od 0,85.

246. Przeciętne zróżnicowanie czasu wykonania pojedynczego detalu przy produkcji pewnegowyrobu powinno wynosić 10 minut. Wylosowano 80 stanowisk roboczych i ustalono, żeodchylenie standardowe czasu wykonania tego detalu wynosi s = 12 minut. Zakładając,że rozkład czasu wykonania detalu jest normalny, zweryfikować hipotezę, że odchyleniestandardowe faktycznie nie odbiega od wartości teoretycznej. Przyjąć α = 0, 04.

247. Dla zbadania wariancji wysokości powojnika Clematis ”Błękitny Anioł” zmierzono wyso-kości 10 roślin (w m): 3,9, 4,3, 3,9, 3,7, 4,5, 4,8, 3,5, 3,2, 4,5, 4,7.Zakładając normalność rozkładu rozstrzygnąć, czy można twierdzić, że odchylenie stan-dardowe wysokości jest mniejsze niż 0,6. Przyjąć α = 0, 1.



248. W celu zbadania dokładności urządzenia pomiarowego dokonano 40 pomiarów pewnejwielkości uzyskując s2 = 0, 45 mm2. Na poziomie istotności α = 0, 1, sprawdzić, czymożna twierdzić, że wariancja pomiarów jest wyższa niż zadeklarowana przez producentaurządzenia tj. 0, 4 mm2. Założyć normalność rozkładu pomiarów.

249. Badano zróżnicowanie wzrostu 10 - letnich chłopców. W tym celu pobrano próbę 15 ele-mentową i obliczono (w cm) x = 143, s = 3, 1. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić,czy można twierdzić, że odchylenie standardowe jest mniejsze niż 4. Założyć normalnośćrozkładu wzrostu.

250. Nowa metoda pomiaru długości powinna zapewnić odchylenie standardowe nie większe niż0,5 cm. Stosując ją dokonano 15 pomiarów tej samej działki otrzymując x = 1425, 3 cm orazs2 = 0, 37 cm2. Czy wynik ten neguje skuteczność nowej metody z prawdopodobieństwema) 0,9,b) 0,95?Założyć normalność rozkładu długości.

5.4. Testy istotności dla dwóch wariancji

251. Z dwóch drużyn piłkarskich wybrano losowo po 8 zawodników. Wariancja wzrostu wy-losowanych piłkarzy wynosiła w I drużynie: s21 = 5, 28 cm

2, a w II drużynie: s22 = 4, 96cm2. Zakładając, że rozkład wzrostu piłkarzy w obu drużynach jest rozkładem normalnym,zweryfikować hipotezę, że wariancje wzrostu zawodników w obu drużynach są jednakowe.Przyjąć poziom istotności 0,02.

252. Dla sprawdzenia stabilności pracy maszyny pobrano dwie próbki: pierwszą w początkowymokresie eksploatacji oraz drugą po miesięcznym okresie pracy tej maszyny i wykonanopomiary wylosowanych produktów. Otrzymano:dla pierwszej próbki: n1 = 25, s21 = 0, 1447,dla drugiej próbki: n2 = 19, s22 = 0, 1521.

Zakładając, że rozkład badanej cechy jest normalny, na poziomie istotności α = 0, 1 zwe-ryfikować hipotezę o równości wariancji wymiarów wykonanych produktów w badanychokresach (tzn. hipotezę o nierozregulowaniu się maszyny w sensie stabilności rozproszeniamierzonego wymiaru produktów).

253. Dwaj zawodnicy skaczą w dal. W czasie treningu zawodnik A oddał 10 skoków o następu-jącej długości (w m): 9,0, 7,8, 8,0, 7,9, 7,6, 8,2, 7,5, 8,1, 7,7, 8,1. Zawodnik B natomiast6 skoków o długości (w m) 8,0, 7,6, 7,8, 8,2, 7,9, 7,7. Czy na poziomie istotności 0,05można twierdzić, że zawodnik B jest bardziej regularny niż zawodnik A? Zakładamy, żerozkład długości skoków obu zawodników jest normalny.

254. W celu stwierdzenia, czy wariancje ocen uzyskanych na egzaminie z pewnego przedmiotuprzez studentów dwóch wydziałów pierwszego roku pewnej uczelni są jednakowe, dla losowowybranej z każdego wydziału grupy 30 studentów obliczono wariancje ocen, otrzymując:s21 = 1, 4, s

22 = 0, 9. Zakładając, że rozkłady ocen są normalne, na poziomie istotności

α = 0, 1 zweryfikować hipotezę o równości wariancji ocen dla wszystkich studentów pierw-szego roku tych dwóch wydziałów.

255. W drzewostanie mieszanym świerkowo-sosnowym z populacji zdrowych świerków pobranopróbę o liczebności 12 drzew, dla której otrzymano s1 = 4, 01 mm. Z populacji świerkówporażonych hubą korzeniową pobrano próbę o liczebności 16 drzew, dla której s2 = 2, 78mm. Przyjmując poziom istotności 0,02, zbadać, czy wariancje w obu populacjach majątakie same wartości.



5.5. Testy istotności dla wskaźnika struktury

256. Celem przeprowadzenia oceny owoców buka zebrano w drzewostanie 600 bukwi. Ocenawykazała, że 162 bukwie są płonne lub uszkodzone przez owady. Ponieważ nadleśnictwomoże podjąć decyzję o zbiorze bukwi w przypadku, kiedy liczba owoców płonnych lubuszkodzonych przez owady jest mniejsza od 30%, należy zbadać na poziomie istotności0,05, czy decyzja dotycząca zbioru bukwi może być podjęta.

257. Sondaż opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej na wyborach do samorząduwykazał, że w losowo wybranej grupie 2500 osób, 1600 zamierza uczestniczyć w głosowaniu.Czy na poziomie istotności równym 0,03 można przyjąć, że 60% ogółu osób zamierza wziąćudział w wyborach do samorządu?

258. Wmagazynie żywnościowym wylosowano niezależnie 120 składowanych tam skrzynek z cy-trynami i po zbadaniu ich okazało się, że w 16 skrzynkach znaleziono zepsute cytryny. Napoziomie istotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że przechowywana partia zawiera więcejniż 5% skrzynek z zepsutymi cytrynami.

259. W jednej z politechnik wylosowano niezależnie próbę 150 studentów, z których jedynie 45zdało wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. Na poziomie istotności 0,05, zweryfikowaćhipotezę, że mniej niż trzecia część studentów zdaje egzaminy w pierwszym terminie.

260. W czasie transportu ze szklarni zakładu ogrodniczego do sklepu może ulec uszkodzeniu5% kwiatów. Wśród dostarczonych do sklepu 250 chryzantem uszkodzeniu uległo 17 sztuk.Zweryfikować hipotezę, że frakcja uszkodzonych kwiatów chryzantem jest zgodna z prze-widywaną normą. Przyjąć α = 0, 1.

261. Z drzewostanu mieszanego pobrano próbę 150 drzew iglastych i stwierdzono, że 18 z nichjest porażonych przez korzeniowiec wieloletni. Czy można twierdzić, na poziomie istotności0,1, że frakcja drzew chorych wynosi w drzewostanie 15%?

262. Gdy frakcja drzew mających na najmłodszych pędach wierzchołkowych igły uszkodzoneprzez choinka szarego będzie równa co najmniej 30%, należy przystąpić do zwalczaniaszkodnika. Zaobserwowano, że wśród 300 drzew 85 ma uszkodzone igły. Na poziomie istot-ności α = 0, 05 sprawdzić, czy ingerencja jest już konieczna.

263. Opracowano nową metodę wyznaczania współrzędnych (X,Y ) punktu. W celu jej zweryfi-kowania wyznaczono 40 - krotnie współrzędne tego samego punktu (którego współrzędne(X0, Y0) były wcześniej wyznaczone inną metodą, którą można uznać za dokładną), a na-stępnie dla każdego pomiaru obliczono odległość (X,Y ) od (X0, Y0). Nowa metoda będzieuważana za równie dokładna, jak stara, jeśli więcej niż 90 % punktów (X,Y ) będzie leżećw odległości mniejszej niż 1 cm od (X0, Y0). Okazało się, że 38 współrzędnych spełnia tenwarunek. Na poziomie istotności α = 0, 05 dokonać weryfikacji.

264. Z populacji pobrano próbę 150 osób. Wśród nich 117 było nosicielami gronkowca złoci-stego. Czy można twierdzić, że frakcja nosicieli gronkowca jest mniejsza niż 80%? Użyćα = 0, 1.

265. Przyjmuje się, że przy prawidłowym przechowywaniu ziarna pszenicy przez okres 12 miesię-cy do 5% ziaren może ulec zepsuciu. Z populacji pobrano losowo 200 ziaren i stwierdzono,że 14 z nich jest zepsutych. Czy można twierdzić, że odsetek zepsutych jest zbyt dużyw stosunku do dopuszczalnego, np. na skutek złego przechowywania? Użyć α = 0, 1.

266. Badając drzewostan świerkowy Puszczy Knyszyńskiej stwierdzono, że duża część popu-lacji została zaatakowana przez kornika drukarza. Na 230 wylosowanych świerków u 30zaobserwowano typowe objawy obecności szkodnika. Czy na poziomie istotnościa) α = 0, 08,b) α = 0, 01można twierdzić, że odsetek zaatakowanych jest większy niż 10%?



267. Na 800 zbadanych pacjentów pewnego szpitala 320 miało grupę krwi „0”. Na poziomieistotności 0,05, zweryfikować hipotezę, że procent pacjentów z tą grupą krwi wynosi 35%.

5.6. Testy istotności dla dwóch wskaźników struktury

268. Badając wpływ nowego leku na poprawę stanu zdrowia diabetyków podzielono ich nadwie grupy. Z pierwszej wylosowano 300 osób, którym podano nowy lek. U 240 stwier-dzono, po ustalonym okresie leczenia, powrót poziomu cukru w organizmie do normy.Natomiast z drugiej grupy wylosowano 200 chorych, których leczono lekami tradycyjnymii u 124 pacjentów stwierdzono powrót poziomu cukru do normy. Na poziomie istotności0,01 zweryfikować hipotezę o większym procencie wyzdrowień w grupie pacjentów, któraotrzymywała nowy lek.

269. W odpowiedzi na pewną ankietę na 300 wylosowanych pracowników pewnego zakładu,pracujących w produkcji, 52 pracowników oświadczyło, że pragnie zmienić swoje stanowi-sko na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 200 pracowników zapleczatechnicznego i administracji 26 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Na poziomie istotności0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowym odsetku pracowników produkcji i administracjipragnących zmienić swe dotychczasowe stanowisko pracy.

270. 23 z 251 osób, które zostały zaszczepione przeciw grypie, zachorowało na nią, natomiastwśród 214 osób nie szczepionych zachorowało 91. Czy można wyciągnąć wniosek, że taszczepionka jest skuteczna? Zastosować test dla dwóch frakcji przyjmując α = 0, 05.


6. Nieparametryczne testy istotności

Uwaga! Minimalną liczebność klasy w teście χ2 ustalono na 5.

271. Wylosowano 250 robotników i zbadano ich pod względem liczby wytwarzanych brakóww partii 100 sztuk wyrobów. Otrzymano następujące wyniki:

liczba braków 0 1 2 3 4

liczba robotników 54 82 64 30 20

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby wytwarzanych brakóww populacji generalnej jest w stosunku 4:8:5:2:1.

272. Zbadano 300 losowo wybranych 5-sekundowych odcinków czasowych pracy pewnej centralitelefonicznej i otrzymano następujący empiryczny rozkład liczby zgłoszeń:

liczba zgłoszeń 0 1 2 3 4 5liczba odcinków 50 100 80 40 20 10

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń w centralijest rozkładem Poissona.

273. W celu sprawdzenia, czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna (symetryczna), wykonano120 rzutów tą kostką i otrzymano następujące wyniki:

liczba oczek liczba rzutów

1 112 303 144 105 336 22

Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że wszystkie liczby oczek w rzucietą kostką mają identyczne prawdopodobieństwo wyrzucenia.

274. W pewnym doświadczeniu mierzony jest czas określonego efektu świetlnego. Przeprowa-dzono 140 doświadczeń i otrzymano następujące wyniki:

czas efektu świetlnego 0−0,2 0,2−0,4 0,4−0,6 0,6−0,8 0,8−1liczba doświadczeń 10 30 45 34 21

Korzystając z testu zgodności χ2 zweryfikować hipotezę, że rozkład czasu efektu świetlnegojest rozkładem normalnym. Przyjąć poziom istotności α = 0, 05. Estymatory zaokrąglićdo 2-go miejsca po przecinku.

275. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości 200 drzew i uzyskano następującewyniki:

wysokość (w m) 0−26 26−52 52−78 78−104 104−130liczba drzew 14 46 69 51 20

Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład wysokości drzew badanegodrzewostanu jest N(70, 28).


6. Nieparametryczne testy istotności 37

276. W WSSE w Krakowie przeprowadzono badania czasu trwania pewnej reakcji chemicznej.W tym celu wykonano 180 niezależnych prób tego eksperymentu i otrzymano następującewyniki:

czas trwania (w s) 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6liczba doświadczeń 9 16 30 48 77

Korzystając z testu zgodności χ2, na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, żebadany czas ma rozkład, którego gęstość jest postaci

f(x) =

0 dla x < 0,172x2 dla x ∈ [0, 6],

0 dla x > 6.

277. Automat paczkuje kostki masła o nominalnej wadze 250 g. Zważono 200 kostek i uzyskanonastępujące wyniki:

waga (w g) 248−248,4 248,4−248,8 248,8−249,2 249,2−249,6 249,6−250liczba kostek 15 45 70 50 20

Korzystając z testu λ-Kołmogorowa, na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę,że waga kostek masła ma rozkład normalny. Estymatory zaokrąglić do 2-go miejsca poprzecinku.

278. Rejestrując straty czasu na skutek przestoju maszyn i urządzeń otrzymano dla dwóchwydziałów pewnego zakładu następujące wyniki:

Straty czasu (w min) 0−10 10−20 20−30 30−40Liczba stanowisk na wydziale I 10 14 15 11

Liczba stanowisk na wydziale II 20 30 40 10

a) Zweryfikować hipotezę, że rozkład strat czasu na obydwu wydziałach jest taki sam.Przyjąć α = 0, 05.

b) Czy można uważać na poziomie istotności 0,05, że rozkład strat czasu na wydziale IIjest rozkładem N(20, 9)?

279. W pewnym drzewostanie dokonano pomiaru wysokości 200 drzew i uzyskano następującewyniki:

wysokość (w m) 0−26 26−52 52−78 78−104 104−130liczba drzew 15 45 70 50 20

W wyniku obliczeń otrzymano: x = 67, s = 28. Korzystając z testów zgodności: χ2,λ-Kołmogorowa, na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład wysokościdrzew badanego drzewostanu jest rozkładem normalnym.

280. Młodnik bukowy podzielono na 500 małych działek, po czym na każdej działce policzonodrzewa i otrzymano następujący rozkład liczby drzew:

liczba drzew 0 1 2 3 4liczba działek 182 185 92 30 11

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby drzew jest rozkłademPoissona z parametrem λ = 1.



281. Zaobserwowane liczby roślin ostu na poletkach o powierzchni 20 m2 przedstawia poniższyszereg:

liczba roślin ostu 0 1 2 3 4

liczba poletek 22 58 70 39 11

Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład ten jest w stosunku 2:6:7:4:1.282. Wylosowano 250 robotników i zbadano ich pod względem liczby wytwarzanych braków

w partii 100 sztuk wyrobów. Otrzymano następujące wyniki:

liczba braków 0 1 2 3 4

liczba robotników 54 82 64 30 20

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby wytwarzanych brakóww populacji generalnej jest rozkładem Poissona z parametrem λ = 1, 5.

283. Dla 200 próbek betonu przeprowadzono badanie wytrzymałości na ściskanie i uzyskanowyniki (w kg/cm2) zapisane w tabeli:

wytrzymałość 190−200 200−210 210−220 220−230 230−240 240−250liczba próbek 10 26 56 64 30 14

Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że rozkład wytrzymałości jest rozkłademN(221, 12).

284. Wykonano 200 serii po 6 niezależnych rzutów pewną monetą i uzyskano następujące liczbywyrzuconych orłów:

liczba orłów w serii 0 1 2 3 4 5 6liczba serii 7 18 45 60 46 19 5

Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że liczba orłów wyrzuconych na tejmonecie w serii rzutów ma rozkład dwumianowy z parametrem p = 12 .

285. Wylosowano 300 robotników i zbadano ich pod względem liczby wytwarzanych brakóww partii 100 sztuk wyrobów. Otrzymano następujące wyniki:

liczba braków 0 1 2 3

liczba robotników 99 138 39 24

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby wytwarzanych brakóww populacji generalnej jest rozkładem Poissona z parametrem λ = 0, 9.

286. W pewnym drzewostanie mieszanym sosnowo-brzozowo-dębowym dokonano pomiaru wy-sokości losowo wybranych 100 drzew i uzyskano następujące wyniki:

wysokość (w metrach) (41, 43] (43, 45] (45, 47] (47, 49] (49, 51]

liczba drzew 10 26 35 21 8

Na poziomie istotności 0,01, zweryfikować hipotezę, że wysokość drzew badanego drzewo-stanu ma rozkład N(46, 2).

287. Młodnik bukowy podzielono na 500 małych działek, po czym na każdej działce policzonodrzewa i otrzymano następujący rozkład liczby drzew:

liczba drzew 0 1 2 3 4liczba działek 182 185 92 30 11

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby drzew jest w stosunku8:8:4:2:1.



288. Ogrodnik podzielił wszystkie sadzonki pomidorów na 90 skrzynek po 5 sztuk. Po pewnymczasie zauważył, że część z nich choruje:

liczba chorych liczba skrzynek

0 331 152 163 164 85 2

Sprawdzić zgodność liczby chorych sadzonek z rozkładem Bernoulliego, przyjąć α = 0, 01.Estymator parametru p rozkładu teoretycznego zaokrąglić do pierwszego miejsca po prze-cinku.

289. Dokonano pomiaru 160 liści pewnego gatunku otrzymując następujący rozkład ich długości(w mm):

długość liścia liczba liści

0− 5 25− 10 1010− 15 3015− 20 4820− 25 4125− 30 1530− 35 1135− 40 240− 45 1

Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że rozkład długości jest normalny.Użyć testów χ2 oraz λ-Kołmogorowa. Estymatory zaokrąglić do pierwszego miejsca poprzecinku. Narysować na jednym obrazku histogram częstości znormalizowanej oraz wykreshipotetycznej krzywej Gaussa.

290. Z populacji pobrano próbę 500 - elementową, której wartości ustawiono w szereg rozdziel-czy:

wartości próby liczebność

1, 0− 1, 5 221, 5− 2, 0 642, 0− 2, 5 842, 5− 3, 0 833, 0− 3, 5 1033, 5− 4, 0 144

Na poziomie istotności α = 0, 1 sprawdzić, czy próba pochodzi z populacji o rozkładziezadanym następującą funkcją gęstości:

f(x) =

13x−

13 dla x ∈ [1, 2),

13 dla x ∈ [2, 3),13x−

23 dla x ∈ [3, 4)

0 poza tym.



291. Dokonano 200 pomiarów długości sardynek (w cm), złowionych w pewnym rejonie Atlan-tyku i otrzymano następujący rozkład długości:

długość sardynki 10− 12 12− 14 14− 16 16− 18 18− 20 20− 22liczebność 10 26 56 64 30 14

Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że rozkład długości sardynek jest nor-malny. Estymatory parametrów zaokrąglić do pierwszego miejsca po przecinku.

292. Młodnik sosnowy podzielono na 500 małych działek i na każdej działce policzono drzewa.Otrzymano empiryczny rozkład liczby drzew na działce:

liczba drzew liczba działek

0 1821 1852 923 304 85 26 1

Sprawdzić zgodność rozkładu liczby drzew z rozkładem Poissona, przyjąć α = 0, 05. Esty-mator parametru λ zaokrąglić do liczby całkowitej.

293. Zebrano informacje o liczbie zachorowań na grypę w pewnym województwie w kolejnychdniach tygodnia:

dzień tygodnia liczba zachorowań

poniedziałek 350wtorek 270środa 240czwartek 260piątek 270sobota 190niedziela 150

Na poziomie istotności α = 0, 05 sprawdzić, czy rozkład liczby zachorowań jest równomier-ny.

294. Zbadano 100 niezależnych próbek pobranych z dużej zawiesiny drożdży i otrzymano na-stępujący rozkład liczby komórek w próbkach:

liczba komórek liczba próbek

0 101 272 293 194 85 7

Na poziomie istotności α = 0, 1 zweryfikować hipotezę, że rozkład ten jest rozkłademPoissona. Estymator parametru λ zaokrąglić do liczby cakowitej.



295. Grupa krwi ludzi w układzie AB0 jest wyznaczana trzema allelami: A, B i 0. W próbiepobranej z pewnej narodowości stwierdzono 161 osobników 0, 229 A, 326 B oraz 124 AB. Napoziomie istotności α = 0, 1 sprawdzić zgodność rozkładu grup krwi w populacji, z którejpochodzi próba z rozkładem danym tabelą:

grupa krwi 0 A B ABprocent 20 25 40 15

296. Firma telekomunikacyjna badała liczbę zgłoszeń w wybranej centrali telefonicznej w go-dzinach od 8.00 do 15.00, oto wyniki:

godzina liczba zgłoszeń

8− 9 10239− 10 111210− 11 123411− 12 152012− 13 108913− 14 132114− 15 1163

Na poziomie istotności α = 0, 1 sprawdzić, czy rozkład liczby zgłoszeń jest jednostajny(prostokątny) na przedziale [8, 15].

297. Na podstawie przeprowadzonych transakcji zebrano informacje o cenach działek w dwóchwojewództwach:

cena za 1 ar ( tys. zł) liczba sprzedanych działekw województwie A

liczba sprzedanych działekw województwie B

3, 5− 4, 0 10 −4, 0− 4, 5 22 154, 5− 5, 0 25 335, 0− 5, 5 39 465, 5− 6, 0 69 726, 0− 6, 5 60 556, 5− 7, 0 42 477, 0− 7, 5 23 227, 5− 8, 0 10 118, 0− 8, 5 − 9

Zweryfikować testem Kołmogorowa-Smirnowa hipotezę, że rozkłady cen są takie same.Użyć α = 0, 05.

298. Zebrano informacje o cenach działek w województwach dolnośląskim (D), małopolskim(M) i wielkopolskim (W ) (w tys. zł/ar):

D 10,3 8,3 9,0 8,4 8,9 8,0 7,5 7,8 7,2 7,6M 8,5 6,2 5,3 7,9 11,5 10,3 12,1 7,3 6,4 8,7W 8,2 7,4 6,3 5,9 10,1 8,3 7,8 8,8 6,8 9,1

Na poziomie istotności 0, 05 sprawdzić testem Kruskala-Wallisa równość rozkładów cenw tych trzech województwach.

299. W populacji dębów badano liczbę nabiegów korzeniowych. W losowej próbie było 15 drzewz czterema nabiegami, 25 z trzema, 32 z dwoma, 28 z jednym i 10 bez nabiegów. Czyna podstawie powyższej próby można twierdzić, że w populacji liczba dębów z cztere-ma, trzema, dwoma, jednym i brakiem nabiegów pozostaje w stosunku 1:2:2:2:1? Przyjąćα = 0, 05.



300. Badano względny przyrost nadwyżki bezpośredniej uzyskanej po zwiększeniu intensywno-ści uprawy fasoli zwykłej z poziomu technologii ekstensywnej do integrowanej. Na podsta-wie próby 100 - elementowej sporządzono następujące zestawienie:

względny wzrost ceny liczebności

0− 0, 2 20, 2− 0, 4 100, 4− 0, 6 180, 6− 0, 8 250, 8− 1, 0 45

Stosując dowolny test zgodności sprawdzić na poziomie istotności α = 0, 1, czy populacja,z której pochodzi próba, ma rozkład zadany następującą funkcją gęstości:

f(x) =

0 dla x < 0,

3x2 dla x ∈ [0, 1],0 dla x > 1.

301. Z populacji pobrano 100 elementową próbę prostą. Wyniki jej badania ze względu na cechęX przedstawia poniższa tabela:

klasy 0−0,2 0,2−0,4 0,4−0,6 0,6−0,8 0,8−1,0liczebności 2 10 18 23 47

Korzystając z testu λ-Kołmogorowa zweryfikować na poziomie istotności 0,05 hipotezę, żebadana cecha X ma rozkład, którego gęstość jest postaci

f(x) =

0 dla x < 0,

xex dla x ∈ [0, 1],0 dla x > 1.


7. Korelacja i regresja liniowa

302. W pewnym zakładzie pobrano losową próbę 11-tu partii gotowych wyrobów i obliczonowspółczynnik korelacji r = 0, 4 między wielkością partii a wadliwością (procent braków).Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę o braku korelacji między wielkością pro-dukowanych w tym zakładzie partii gotowych wyrobów a ich wadliwością.

303. Wylosowano 10 par zawierających związek małżeński i otrzymano dla nich następującedane o wieku (w latach) kobiety i mężczyzny:

wiek kobiety 23 24 29 27 33 29 19 22 21 23

wiek mężczyzny 27 28 30 30 35 41 22 25 26 26

Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że istnieje dodatnia korelacjamiędzy wiekiem osób zawierających małżeństwo.

304. W celu zbadania zależności między kątami nachylenia terenu a wielkością błędów wyso-kościowych popełnianych w pewnej metodzie aerotriangulacji, dokonano 9 pomiarów tychbłędów dla różnych kątów nachylenia i otrzymano wyniki (xi kąt w radianach, yi błądwysokościowy w metrach):

xi 0,157 0,140 0,122 0,105 0,087 0,070 0,052 0,035 0,017

yi 0,111 0,097 0,183 0,215 0,214 0,209 0,200 0,178 0,225

Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że istnieje ujemna korelacja mię-dzy kątem nachylenia terenu a wielkością błędu wysokościowego.

305. Badając zależność między wielkością produkcji X pewnego wyrobu a zużyciem Y pewnegosurowca zużywanego w produkcji tego wyrobu otrzymano dla losowej próby 7 obserwacjinastępujące wyniki (xi w tys. sztuk, yi w tonach):

xi 1 2 3 4 5 6 7

yi 3,3 4,1 4,4 5,0 5,2 6,1 6,6

a) Narysować wykres rozrzutu punktów empirycznych. Co na podstawie tego wykresumożna powiedzieć o kształcie zależności badanych cech?

b) Znaleźć funkcję regresji liniowej Y względem X oraz ocenić stopień jej dopasowania dodanych empirycznych.

306. W rezultacie badania ceny działek budowlanych i odległości działek od centrum miastaotrzymano następujące wyniki:

odległość od centrum [km] 0 1 2 3 4 5 6

ceny działek [zł/m2] 2000 1900 1500 1500 1270 1300 1100

Wyznaczyć równanie regresji liniowej opisujące ceny działek w zależności od odległości odcentrum miasta. Zbadać dokładność dopasowania tej funkcji do danych empirycznych.

307. Badając zależność między wiekiem i wzrostem dzieci i młodzieży, otrzymano następującedane (xi wiek w latach, yi wzrost w cm):

xi 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

yi 122 125 131 135 142 145 150 154 159 164 168

Zbadać korelację między zmiennymi X i Y oraz zbudować odpowiedni model regresjiliniowej.



308. Wysunięto hipotezę, że istnieje związek między czasem leczenia chorych na zaburzeniaukładu krążenia a aktywnością pewnego enzymu w organizmie tych chorych. Losowa próbadała następujące wyniki (xi czas leczenia w dniach, yi aktywność badanego enzymu):

xi 1 2 3 4 5 7 10 14 18 20

yi 42 40 37 39 36 35 30 26 22 20

Wyznaczyć równanie regresji liniowej opisujące aktywność enzymu od czasu leczenia orazocenić stopień dopasowania tego równania do danych empirycznych. Podać interpretacjęotrzymanych wyników.

309. W pewnej szkole dokonano, na podstawie całokształtu pracy zawodowej i kwalifikacji,oceny nauczycieli. Opinie wyraził dyrektor szkoły oraz wizytator, wyniki ujęto w punktach:

nauczyciele A B C D E F G H I J K

ocena dyrektora 41 27 35 33 25 47 38 53 43 35 36

ocena wizytatora 38 24 34 29 27 47 43 52 39 31 29

Wyznaczyć współczynnik korelacji rang Spearmana oraz podać interpretację otrzymanegowyniku.

310. Wykonano pomiary biometryczne pszenicy losując 12 roślin. Dla każdej rośliny zmierzonojej wysokość oraz masę i długość kłosa.

masa kłosa (g) 2, 0 1, 6 1, 5 2, 5 3, 1 3, 0 2, 8 1, 8 2, 2 1, 9 2, 7 2, 4długość kłosa (cm) 7, 8 8, 0 7, 5 8, 3 9, 0 8, 4 8, 9 8, 0 7, 5 7, 8 7, 2 7, 6wysokość rośliny (cm) 112 102 96 110 114 102 112 98 104 100 106 104

Obliczyć współczynniki korelacji liniowej dla wszystkich par zmiennych. Która para jestnajsilniej skorelowana?

311. W tabeli zebrano informacje o pierśnicowej liczbie kształtu strzały (yi) oraz procentemgrubości kory na pierśnicy (xi) w próbie wybranej z 63-letniego drzewostanu sosnowegoPuszczy Białej.

xi 8 10 12 12 13 14 14 16 17 17

yi 0,469 0,473 0,465 0,448 0,437 0,441 0,438 0,432 0,429 0,425

Znaleźć współczynnik korelacji w próbie, sprawdzić, czy korelacja między zmiennymi jestujemna (α = 0, 1), znaleźć równanie prostej regresji.

312. Dla kilku oddziałów leśnych określono liczbę gatunków drzew (X) i liczbę gatunków ptaków(Y ):

xi 2 5 5 7 8 8 8 9 10 10

yi 4 3 6 5 5 7 6 8 9 9

Obliczyć współczynnik korelacji Spearmana, sprawdzić testem Spearmana na poziomieistotności 0, 05, czy istnieje zależność między X i Y .

313. Analizowano zmiany poziomów oceanów wyznaczonych z obserwacji altimetrycznych sa-telity TOPEX/POSEIDON. Zaistniały podejrzenia (bazujące na obserwacjach poczynio-nych w okresie El Nino i bezpośrednio go poprzedzającym), że wraz ze wzrostem ampli-tudy oscylacji poziomu wody na okołorównikowym Pacyfiku, maleje amplituda oscylacjipoziomu Oceanu Indyjskiego. Obliczony współczynnik korelacji liniowej Pearsona dla 10pomiarów wynosił −0, 4. Sprawdzić, czy można twierdzić, że istnieje ujemna korelacjamiędzy oscylacjami poziomu wody. Założyć normalność rozkładu i przyjąć α = 0, 1.


7. Korelacja. Regresja liniowa 45

314. Badano zależność między głebokością całkowitą studni a ciśnieniem subartezyjskim. Dla20-elementowej próby otrzymano r = 0, 78. Zakładając normalność rozkładu zweryfikowaćhipotezę, że współczynnik korelacji dla tej pary zmiennych wynosi 0, 7 przeciw alterna-tywnej, że jest większy. Przyjąć α = 0, 05.


8. Analiza wariancji z klasyfikacjąpojedynczą

315. Prowadząc badania wzrostu dzieci z klas 6-tych otrzymano następujące wyniki:klasa A: 1,75, 1,38, 1,51, 1,55,klasa B: 1,63, 1,30, 1,73, 1,45,klasa C: 1,55, 1,48, 1,58, 1,52,klasa D: 1,72, 1,51, 1,67, 1,59.

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o identycznym średnim wzroście ucznióww populacjach różnych klas. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji.

316. Fabryka „Polam” przeprowadziła badania czasu świecenia nowego typu żarówek (o różnychkształtach), pobierając losowo żarówki do czterech niezależnych prób. Oto wyniki (w tys.godz.):próba I: 1,61, 1,65, 1,70, 1,72, 1,80,próba II: 1,58, 1,64, 1,70, 1,75,próba III: 1,55, 1,60, 1,64, 1,74, 1,82,próba IV: 1,52, 1,57, 1,60, 1,68.

Przyjmując poziom istotności 0,05 zbadać, czy kształt żarówki ma wpływ na średni czasjej świecenia. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji.

317. W 80 - letnim drzewostanie bukowym w 1956 roku założono 16 działek, na których prze-prowadzono trzebieże o różnym nasileniu: A−wariant bez trzebieży, B−trzebież o nasileniusłabym, C−trzebież umiarkowana i D−silna. W 1971 roku przeprowadzono kontrolny po-miar drzew na działkach:

A B C D

36,4 39,7 40,1 38,237,3 37,0 39,9 39,936,6 38,5 38,5 45,934,1 41,1 38,9 36,6

Przyjmując poziom istotności α = 0, 05 zbadać, czy nasilenie trzebieży ma wpływ naśrednią pierśnicę drzew. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji pierśnicy.

318. Badano wpływ różnych pochodzeń, które oznaczono A, B, C, D na wysokość 3-letnichsiewek jedlicy, oto wyniki (w mm):

A B C D

482 343 219 216367 349 195 237333 341 219 206261 270 156 165298 294 156 155327 227

Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić, czy pochodzenie ma wpływ na średnią wysokość3-letnich siewek jedlicy. Założyć normalność rozkładów i równość wariancji wysokości.


8. Analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą 47

319. Trzech nauczycieli języka polskiego N1, N2, N3 miało ocenić w skali punktowej 1−20wypracowania czterech uczniów pewnej szkoły. Wyniki oceny (punkty) były następujące:N1: 19, 20, 10, 14;N2: 17, 20, 11, 15;N3: 20, 19, 9, 12.

Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że wszyscy trzej nauczyciele są tak sa-mo surowi (wystawiają średnie oceny takie same). Założyć normalność rozkładów i równośćwariancji.


Dodatek

Wzory statystyczne

x− uα ·σ√n< m < x+ uα ·

σ√n

x− tα;n−1 ·s√n− 1

< m < x+ tα;n−1 ·s√n− 1

, n 6 30

x− uα ·s√n< m < x+ uα ·

s√n, n > 30

n · s2

χ2α2 ;n−1

< σ2 <n · s2

χ21−α2 ;n−1, n 6 30

s ·√2n√

2n− 3 + uα< σ <

s ·√2n√

2n− 3− uα, n > 30

{p− uα ·

√p(1− p)n

< p < p+ uα ·√p(1− p)n, n > 100

χ2 =

n · s2

σ20, n 6 30

u =

√2n · s2σ20−√2n− 3, n > 30

{f =s21s22, gdy s21 > s

22

u = 2√n(arc sin

√p− arc sin√p0), n < 100

u =p− p0√p0(1− p0)

·√n, n > 100

u =p1 − p2√p(1− p)

·√n, p = n1·p1+n2·p2n1+n2

, n = n1·n2n1+n2

χ2 =k∑i=1

(ni − npi)2

npi

λ = D√n, D = sup

x∈R|Fn(x)− F0(x)|

λ = D∗√n, D∗ = sup

x∈R|F1n1(x)− F2n2(x)|, n = n1·n2

n1+n2

α 0, 01 0, 02 0, 05 0, 1

λα 1, 628 1, 517 1, 358 1, 224

f =1k−1 qG1n−k qR

(k − 1, n− k) stopni swobody

xi = 1ni

ni∑j=1

xij , i = 1, . . . , k, x = 1n

k∑i=1

xini

qR =k∑i=1

ni∑j=1

(xij − xi)2, qG =k∑i=1

(xi − x)2 ni

n >(uα · σl

)2n >

(tα;n0−1 · sl

)2u =x−m0σ·√n

t =x−m0s·√n− 1, n 6 30

u =x−m0s·√n, n > 30

u =x1 − x2√σ21n1+ σ

22n2

t =x1 − x2√

n1·s21+n2·s22

n1+n2−2

(1n1+ 1n2

) , n1 6 30lubn2 6 30

u =x1 − x2√s21n1+ s

22n2

, n1, n2 > 30

χ2 = 12

n(n+1)

3∑i=1

R2ini− 3(n+ 1), k = 3

χ2 =k∑i=1

12[Ri − ni(n+1)2 ]2

ni(n− ni)(n+ 1), k > 3

r =

1n

n∑i=1xiyi − x · y

sx · syt =

r√1− r2

·√n− 2

rs = 1−6n∑i=1d2i

n3 − nus = rs ·

√n− 1

a =

n∑i=1xiyi − x

n∑i=1yi

n∑i=1x2i − x

n∑i=1xi

= rsysx

b = y − ax


Dodatek 49

Tablice statystyczne

Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego, Φ(x) = 1√2π

x∫−∞e−

12 t2dt, x > 0

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94411,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,98172,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99522,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,99903,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,99933,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,99953,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,99973,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,99983,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,99983,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,00004,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000



Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego, Φ(x) = 1√2π

x∫−∞e−

12 t2dt, x < 0

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-4,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


Dodatek 51

Wartości krytyczne rozkładu t-Studenta, P (|T | > tα; r) = α

α

r 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0,0011 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,706 15,894 31,821 63,656 318,29 636,582 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 4,849 6,965 9,925 22,328 31,6003 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 3,482 4,541 5,841 10,214 12,9244 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 2,999 3,747 4,604 7,173 8,6105 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 2,757 3,365 4,032 5,894 6,8696 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 2,612 3,143 3,707 5,208 5,9597 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,517 2,998 3,499 4,785 5,4088 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,449 2,896 3,355 4,501 5,0419 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,398 2,821 3,250 4,297 4,78110 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,359 2,764 3,169 4,144 4,58711 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,328 2,718 3,106 4,025 4,43712 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,303 2,681 3,055 3,930 4,31813 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,282 2,650 3,012 3,852 4,22114 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,264 2,624 2,977 3,787 4,14015 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,249 2,602 2,947 3,733 4,07316 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,235 2,583 2,921 3,686 4,01517 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,224 2,567 2,898 3,646 3,96518 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,214 2,552 2,878 3,610 3,92219 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,205 2,539 2,861 3,579 3,88320 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,197 2,528 2,845 3,552 3,85021 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,189 2,518 2,831 3,527 3,81922 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,183 2,508 2,819 3,505 3,79223 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,177 2,500 2,807 3,485 3,76824 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,172 2,492 2,797 3,467 3,74525 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,167 2,485 2,787 3,450 3,72526 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,162 2,479 2,779 3,435 3,70727 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,158 2,473 2,771 3,421 3,68928 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,154 2,467 2,763 3,408 3,67429 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,150 2,462 2,756 3,396 3,66030 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,147 2,457 2,750 3,385 3,64635 0,255 0,529 0,852 1,306 1,690 2,030 2,133 2,438 2,724 3,340 3,59140 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,123 2,423 2,704 3,307 3,55145 0,255 0,528 0,850 1,301 1,679 2,014 2,115 2,412 2,690 3,281 3,52050 0,255 0,528 0,849 1,299 1,676 2,009 2,109 2,403 2,678 3,261 3,49660 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,099 2,390 2,660 3,232 3,46070 0,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,994 2,093 2,381 2,648 3,211 3,43580 0,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,990 2,088 2,374 2,639 3,195 3,41690 0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,084 2,368 2,632 3,183 3,402100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,081 2,364 2,626 3,174 3,390120 0,254 0,526 0,845 1,289 1,658 1,980 2,076 2,358 2,617 3,160 3,373∞ 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,054 2,327 2,576 3,091 3,291



Wartości krytyczne rozkładu χ2, P (χ2 > χ2α; r) = α

α

r 0,999 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0011 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,8272 0,002 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13,8153 0,024 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16,2664 0,091 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18,4665 0,210 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 20,5156 0,381 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,4577 0,599 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,3218 0,857 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26,1249 1,152 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27,87710 1,479 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29,58811 1,834 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31,26412 2,214 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 32,90913 2,617 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34,52714 3,041 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36,12415 3,483 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37,69816 3,942 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39,25217 4,416 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40,79118 4,905 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 42,31219 5,407 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 43,81920 5,921 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 45,31421 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 46,79622 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 48,26823 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 49,72824 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 51,17925 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 52,61926 9,222 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 54,05127 9,803 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 55,47528 10,391 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994 56,89229 10,986 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335 58,30130 11,588 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 59,70235 14,688 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 66,61940 17,917 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 73,40345 21,251 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 80,07850 24,674 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 86,66060 31,738 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 99,60870 39,036 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95,023 100,43 104,21 112,3280 46,520 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96,578 101,88 106,63 112,33 116,32 124,8490 54,156 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 137,21100 61,918 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17 149,45120 77,756 83,852 86,923 91,573 95,705 100,62 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65 173,62140 93,925 100,65 104,03 109,14 113,66 119,03 161,83 168,61 174,65 181,84 186,85 197,45


Dodatek 53

WartościkrytycznerozkładuF-Snedecora,P(F

>f 0,01;r1;r2)=0,01

r 1r 2

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2430

4060

120200∞

1405249995404562457645859592859816022605660836107612661436157617061816191620162096234626062866313634063506366

298,5099,0099,1699,2599,3099,3399,3699,3899,3999,4099,4199,4299,4299,4399,4399,4499,4499,4499,4599,4599,4699,4799,4899,4899,4999,4999,50

334,1230,8229,4628,7128,2427,9127,6727,4927,3427,2327,1327,0526,9826,9226,8726,8326,7926,7526,7226,6926,6026,5026,4126,3226,2226,1826,13

421,2018,0016,6915,9815,5215,2114,9814,8014,6614,5514,4514,3714,3114,2514,2014,1514,1114,0814,0514,0213,9313,8413,7513,6513,5613,5213,46

516,2613,2712,0611,3910,9710,6710,4610,2910,1610,059,969,899,829,779,729,689,649,619,589,559,479,389,299,209,119,089,02

613,7510,929,789,158,758,478,268,107,987,877,797,727,667,607,567,527,487,457,427,407,317,237,147,066,976,936,88

712,259,558,457,857,467,196,996,846,726,626,546,476,416,366,316,286,246,216,186,166,075,995,915,825,745,705,65

811,268,657,597,016,636,376,186,035,915,815,735,675,615,565,525,485,445,415,385,365,285,205,125,034,954,914,86

910,568,026,996,426,065,805,615,475,355,265,185,115,055,014,964,924,894,864,834,814,734,654,574,484,404,364,31

1010,047,566,555,995,645,395,205,064,944,854,774,714,654,604,564,524,494,464,434,414,334,254,174,084,003,963,91

119,657,216,225,675,325,074,894,744,634,544,464,404,344,294,254,214,184,154,124,104,023,943,863,783,693,663,60

129,336,935,955,415,064,824,644,504,394,304,224,164,104,054,013,973,943,913,883,863,783,703,623,543,453,413,36

139,076,705,745,214,864,624,444,304,194,104,023,963,913,863,823,783,753,723,693,663,593,513,433,343,253,223,17

148,866,515,565,044,694,464,284,144,033,943,863,803,753,703,663,623,593,563,533,513,433,353,273,183,093,063,00

158,686,365,424,894,564,324,144,003,893,803,733,673,613,563,523,493,453,423,403,373,293,213,133,052,962,922,87

168,536,235,294,774,444,204,033,893,783,693,623,553,503,453,413,373,343,313,283,263,183,103,022,932,842,812,75

178,406,115,194,674,344,103,933,793,683,593,523,463,403,353,313,273,243,213,193,163,083,002,922,832,752,712,65

188,296,015,094,584,254,013,843,713,603,513,433,373,323,273,233,193,163,133,103,083,002,922,842,752,662,622,57

198,185,935,014,504,173,943,773,633,523,433,363,303,243,193,153,123,083,053,033,002,922,842,762,672,582,552,49

208,105,854,944,434,103,873,703,563,463,373,293,233,183,133,093,053,022,992,962,942,862,782,692,612,522,482,42

218,025,784,874,374,043,813,643,513,403,313,243,173,123,073,032,992,962,932,902,882,802,722,642,552,462,422,36

227,955,724,824,313,993,763,593,453,353,263,183,123,073,022,982,942,912,882,852,832,752,672,582,502,402,362,31

237,885,664,764,263,943,713,543,413,303,213,143,073,022,972,932,892,862,832,802,782,702,622,542,452,352,322,26

247,825,614,724,223,903,673,503,363,263,173,093,032,982,932,892,852,822,792,762,742,662,582,492,402,312,272,21

257,775,574,684,183,853,633,463,323,223,133,062,992,942,892,852,812,782,752,722,702,622,542,452,362,272,232,17

267,725,534,644,143,823,593,423,293,183,093,022,962,902,862,812,782,752,722,692,662,582,502,422,332,232,192,13

277,685,494,604,113,783,563,393,263,153,062,992,932,872,822,782,752,712,682,662,632,552,472,382,292,202,162,10

287,645,454,574,073,753,533,363,233,123,032,962,902,842,792,752,722,682,652,632,602,522,442,352,262,172,132,06

297,605,424,544,043,733,503,333,203,093,002,932,872,812,772,732,692,662,632,602,572,492,412,332,232,142,102,03

307,565,394,514,023,703,473,303,173,072,982,912,842,792,742,702,662,632,602,572,552,472,392,302,212,112,072,01

357,425,274,403,913,593,373,203,072,962,882,802,742,692,642,602,562,532,502,472,442,362,282,192,102,001,961,89

407,315,184,313,833,513,293,122,992,892,802,732,662,612,562,522,482,452,422,392,372,292,202,112,021,921,871,80

457,235,114,253,773,453,233,072,942,832,742,672,612,552,512,462,432,392,362,342,312,232,142,051,961,851,811,74

507,175,064,203,723,413,193,022,892,782,702,632,562,512,462,422,382,352,322,292,272,182,102,011,911,801,761,68

607,084,984,133,653,343,122,952,822,722,632,562,502,442,392,352,312,282,252,222,202,122,031,941,841,731,681,60

707,014,924,073,603,293,072,912,782,672,592,512,452,402,352,312,272,232,202,182,152,071,981,891,781,671,621,54

806,964,884,043,563,263,042,872,742,642,552,482,422,362,312,272,232,202,172,142,122,031,941,851,751,631,581,49

1006,904,823,983,513,212,992,822,692,592,502,432,372,312,272,222,192,152,122,092,071,981,891,801,691,571,521,43

1206,854,793,953,483,172,962,792,662,562,472,402,342,282,232,192,152,122,092,062,031,951,861,761,661,531,481,38

∞6,634,613,783,323,022,802,642,512,412,322,252,182,132,082,042,001,971,931,901,881,791,701,591,471,321,251,00


54 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznejWartościkrytycznerozkładuF-Snedecora,P(F

>f 0,05;r1;r2)=0,05

r 1r 2

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2430

4060

120200∞

1161199216225230234237239241242243244245245246246247247248248249250251252253254254

218,5119,0019,1619,2519,3019,3319,3519,3719,3819,4019,4019,4119,4219,4219,4319,4319,4419,4419,4419,4519,4519,4619,4719,4819,4919,4919,50

310,139,559,289,129,018,948,898,858,818,798,768,748,738,718,708,698,688,678,678,668,648,628,598,578,558,548,53

47,716,946,596,396,266,166,096,046,005,965,945,915,895,875,865,845,835,825,815,805,775,755,725,695,665,655,63

56,615,795,415,195,054,954,884,824,774,744,704,684,664,644,624,604,594,584,574,564,534,504,464,434,404,394,37

65,995,144,764,534,394,284,214,154,104,064,034,003,983,963,943,923,913,903,883,873,843,813,773,743,703,693,67

75,594,744,354,123,973,873,793,733,683,643,603,573,553,533,513,493,483,473,463,443,413,383,343,303,273,253,23

85,324,464,073,843,693,583,503,443,393,353,313,283,263,243,223,203,193,173,163,153,123,083,043,012,972,952,93

95,124,263,863,633,483,373,293,233,183,143,103,073,053,033,012,992,972,962,952,942,902,862,832,792,752,732,71

104,964,103,713,483,333,223,143,073,022,982,942,912,892,862,852,832,812,802,792,772,742,702,662,622,582,562,54

114,843,983,593,363,203,093,012,952,902,852,822,792,762,742,722,702,692,672,662,652,612,572,532,492,452,432,40

124,753,893,493,263,113,002,912,852,802,752,722,692,662,642,622,602,582,572,562,542,512,472,432,382,342,322,30

134,673,813,413,183,032,922,832,772,712,672,632,602,582,552,532,512,502,482,472,462,422,382,342,302,252,232,21

144,603,743,343,112,962,852,762,702,652,602,572,532,512,482,462,442,432,412,402,392,352,312,272,222,182,162,13

154,543,683,293,062,902,792,712,642,592,542,512,482,452,422,402,382,372,352,342,332,292,252,202,162,112,102,07

164,493,633,243,012,852,742,662,592,542,492,462,422,402,372,352,332,322,302,292,282,242,192,152,112,062,042,01

174,453,593,202,962,812,702,612,552,492,452,412,382,352,332,312,292,272,262,242,232,192,152,102,062,011,991,96

184,413,553,162,932,772,662,582,512,462,412,372,342,312,292,272,252,232,222,202,192,152,112,062,021,971,951,92

194,383,523,132,902,742,632,542,482,422,382,342,312,282,262,232,212,202,182,172,162,112,072,031,981,931,911,88

204,353,493,102,872,712,602,512,452,392,352,312,282,252,222,202,182,172,152,142,122,082,041,991,951,901,881,84

214,323,473,072,842,682,572,492,422,372,322,282,252,222,202,182,162,142,122,112,102,052,011,961,921,871,841,81

224,303,443,052,822,662,552,462,402,342,302,262,232,202,172,152,132,112,102,082,072,031,981,941,891,841,821,78

234,283,423,032,802,642,532,442,372,322,272,242,202,182,152,132,112,092,082,062,052,011,961,911,861,811,791,76

244,263,403,012,782,622,512,422,362,302,252,222,182,152,132,112,092,072,052,042,031,981,941,891,841,791,771,73

254,243,392,992,762,602,492,402,342,282,242,202,162,142,112,092,072,052,042,022,011,961,921,871,821,771,751,71

264,233,372,982,742,592,472,392,322,272,222,182,152,122,092,072,052,032,022,001,991,951,901,851,801,751,731,69

274,213,352,962,732,572,462,372,312,252,202,172,132,102,082,062,042,022,001,991,971,931,881,841,791,731,711,67

284,203,342,952,712,562,452,362,292,242,192,152,122,092,062,042,022,001,991,971,961,911,871,821,771,711,691,65

294,183,332,932,702,552,432,352,282,222,182,142,102,082,052,032,011,991,971,961,941,901,851,811,751,701,671,64

304,173,322,922,692,532,422,332,272,212,162,132,092,062,042,011,991,981,961,951,931,891,841,791,741,681,661,62

354,123,272,872,642,492,372,292,222,162,112,072,042,011,991,961,941,921,911,891,881,831,791,741,681,621,601,56

404,083,232,842,612,452,342,252,182,122,082,042,001,971,951,921,901,891,871,851,841,791,741,691,641,581,551,51

454,063,202,812,582,422,312,222,152,102,052,011,971,941,921,891,871,861,841,821,811,761,711,661,601,541,511,47

504,033,182,792,562,402,292,202,132,072,031,991,951,921,891,871,851,831,811,801,781,741,691,631,581,511,481,44

604,003,152,762,532,372,252,172,102,041,991,951,921,891,861,841,821,801,781,761,751,701,651,591,531,471,441,39

703,983,132,742,502,352,232,142,072,021,971,931,891,861,841,811,791,771,751,741,721,671,621,571,501,441,401,35

803,963,112,722,492,332,212,132,062,001,951,911,881,841,821,791,771,751,731,721,701,651,601,541,481,411,381,32

1003,943,092,702,462,312,192,102,031,971,931,891,851,821,791,771,751,731,711,691,681,631,571,521,451,381,341,28

1203,923,072,682,452,292,182,092,021,961,911,871,831,801,781,751,731,711,691,671,661,611,551,501,431,351,321,25

∞3,843,002,602,372,212,102,011,941,881,831,791,751,721,691,671,641,621,601,591,571,521,461,391,321,221,171,00


Dodatek 55

Katalog wybranych rozkładów prawdopodobieństwa

Rozkłady dyskretne

X ma rozkład parametry funkcja prawdopodobieństwa EX D2X

jednopunktowy c ∈ R P (X = c) = 1 c 0

dwupunktowyBernoulliego

p ∈ (0, 1) P (X=0)=1− p, P (X=1)=p p p(1− p)

dwumianowyBernoulliego ∼ B(n, p)

p ∈ (0, 1)n ∈ N

P (X = k) =(nk

)pk(1− p)n−k

k ∈ {0, 1, . . . , n}np np(1− p)

Poissona ∼ P (λ) λ > 0 P (X = k) = λk

k! e−λ, k ∈ N λ λ

geometryczny p ∈ (0, 1) P (X = k)=(1− p)k−1p, k ∈ N 1p

1−pp2

hipergeometrycznyn,N,M ∈ N 1

M<N,n¬Mn¬N−M

P (X = k) =(Mk )(

N−Mn−k )(Nn)

k ∈ {0, 1, . . . , n}MnN

Mn(N−M)(N−n)N2(N−1)

Rozkłady ciągłe

X ma rozkład parametry funkcja gęstości EX D2X

jednostajny a, b ∈ R, a < b f(x) =

0 dla x < a,1b−a dla a ¬ x ¬ b,0 dla x > b

a+b2

(a−b)212

wykładniczy λ > 0 f(x) =

{0 dla x < 0,λe−λx dla x 0

1λ

1λ2

normalny ∼ N(m, σ) m ∈ R, σ > 0 f(x) = 1σ√2πe−12 (x−mσ )

2

, x ∈ R m σ2

Cauchy’ego ∼ C(µ, λ) µ ∈ R, λ > 0 f(x) = 1π

λλ2+(x−µ)2 , x ∈ R nie istnieją

t-Studenta z rstopniami swobody

r ∈ N f(x) =Γ( r+12 )Γ( r2 )

√πr

(1 + x

2

r

)− r+12, x ∈ R 0 r

r−2 (r > 2)

χ2 (chi-kwadrat) z rstopniami swobody

r ∈ N f(x) =

{0, x 6 0,

12r/2Γ( r2 )

xr2−1e−

x2 , x > 0 r 2r

F -Snedecora z r1 orazr2 stopniami swobody

r1, r2 ∈ N f(x) =Γ(r1+r22

)r

r121 r

r222

Γ( r12 )Γ(r22 )

· xr12 −1

(r1x+r2)r1+r22

dla x > 0

r2r2−2

(r2 > 2)

2r22(r1+r2−2)r1(r2−2)2(r2−4)

(r2 > 4)

logarytmiczno -normalny

m ∈ R, σ > 0 f(x) =

{0, x 6 0,1

xσ√2πe−12 (ln x−mσ )2 , x > 0

em+12σ2(eσ

2− 1)e2m+σ

2

1 n - liczebność próby, N - liczebność populacji, M - liczba sukcesów w populacji.



Zasady tworzenia szeregów rozdzielczych

W celu przedstawienia zasad budowy szeregów rozdzielczych przypomnijmy najpierw pojęciai oznaczenia z tymi zagadnieniami związane:n − liczebność próby (N − liczebność populacji),k − liczba klas szeregu,b − długość klasy (dla szeregu przedziałowego),xi − środek i-tej klasy (dla szeregu przedziałowego),ymin − najmniejsza wartość próby y1, y2, . . . , yn,ymax − największa wartość próby y1, y2, . . . , yn,R = ymax − ymin − rozstęp badanej cechy w próbie,ni − liczebność i-tej klasy (nazywana też często częstością absolutną lub częstością),wi = nin − częstość względna i-tej klasy,

fi =i∑s=1ws − częstość skumulowana i-tej klasy,

vi = wib − częstość znormalizowana i-tej klasy.Szereg rozdzielczy punktowy tworzy się poprzez grupowanie powtarzających się wartościbadanej cechy w próbie. Tego typu grupowanie stosujemy dla cech o charakterze skokowym.Szereg rozdzielczy punktowy dla cechy o k różnych wartościach x1, x2, . . . , xk będziemy przed-stawiać w postaci tabeli:

xi x1 x2 . . . xk

ni n1 n2 . . . nk

Szereg rozdzielczy przedziałowy tworzy się poprzez grupowanie wartości próby y1, y2, . . . , ynw tzw. klasach. Klasy są przedziałami, najczęściej jednakowej długości. Szereg rozdzielczy prze-działowy stanowią poszczególne klasy oraz ich liczebności ni. Istnieje kilka reguł ustalania orien-tacyjnie liczby klas szeregu rozdzielczego w zależności od liczebności próby. My przyjmiemynastępujące kryterium:

k ∼=√n (n ¬ 500) lub k ∼= 1 + 3, 322 lnn (n > 500).

Jako długość klasy przyjmuje się liczbę b ∼= Rk , tak jednak, by bk R. Jako lewy koniec

pierwszej klasy możemy przyjąć x1 = ymin.Mając k, b oraz x1 wyznaczamy wszystkie klasy szeregu oraz ich liczebności otrzymując szeregrozdzielczy przedziałowy postaci:

klasy [x1, x2] (x2, x3] . . . . . . (xk, xk+1]liczebności n1 n2 . . . . . . nk

Empiryczny rozkład cechy możemy przedstawić w formie graficznej poprzez narysowanie histo-gramu. Histogram to wykres kolumnowy, gdzie oś pozioma reprezentuje wartości (klasy) apionowa odpowiadające im:• liczebności − histogram liczebności,• częstości względne − histogram częstości względnej,• częstości skumulowane − histogram częstości skumulowanej (obrazuje on dystrybuantęempiryczną),• częstości znormalizowane − histogram częstości znormalizowanej (obrazuje on empi-ryczny rozkład gęstości prawdopodobieństwa).


Dodatek 57

Charakterystyki liczbowe próby

szereg szczegółowy szereg punktowy szereg przedziałowy

miaryopisowe

x1 6 x2 6 . . . 6 xnxi x1 x2 . . . xk

ni n1 n2 . . . nk

klasy (x1, x2] (x2, x3] . . . (xk, xk+1]

ni n1 n2 . . . nkśrodki klas x1 x2 . . . xk

średniaarytmetyczna

x = 1nn∑i=1xi x = 1n

k∑i=1xini x = 1n

k∑i=1xini

średniageometryczna

xg = n

√n∏i=1xi xg = n

√k∏i=1xnii xg = n

√k∏i=1xnii

średniaharmoniczna

xh = nn∑i=1

1xi

xh = nk∑i=1

nixi

xh = nk∑i=1

nixi

moda(dominanta)

wartość występująca najczęściejwartość xi dla której ni jestnajwiększa

d - nr klasy o największej liczebności

Mo = xd +nd−nd−1

2nd−nd−1−nd+1 |xd+1 − xd|

Uwaga! Przy wyznaczaniu mody nie bierzemy pod uwagę wartości oraz klas skrajnych.

mediana(kwartyl drugi)

Me = xn+12n - nieparzyste

Me = 12(xn2+ xn

2+1)n - parzyste

m - nr pierwszej klasy, dla którejm∑i=1ni > n

2

Me = xm Me = xm +[n2 −

m−1∑i=1ni

]|xm+1−xm|nm

kwartylpierwszy

wyznacza się w ten sposób, żez pierwszej części zbiorowości, którapowstała po wyznaczeniu mediany,wyznacza się medianę

m - nr pierwszej klasy, dla którejm∑i=1ni > n

4

Q1 = xm Q1 = xm +[n4 −

m−1∑i=1ni

]|xm+1−xm|nm

kwartyltrzeci

wyznacza się w ten sposób, żez drugiej części zbiorowości, którapowstała po wyznaczeniu mediany,wyznacza się medianę

m - nr pierwszej klasy, dla którejm∑i=1ni > 3n

4

Q3 = xm Q3 = xm +[3n4 −

m−1∑i=1ni

]|xm+1−xm|nm

odchylenieprzeciętne

d = 1nn∑i=1|xi − x| d = 1n

k∑i=1|xi − x|ni d = 1n

k∑i=1|xi − x|ni

wariancja

s2 = 1n

n∑i=1(xi − x)2

s2 = 1n−1

n∑i=1(xi − x)2

s2 = 1n

k∑i=1(xi − x)2ni

s2 = 1n−1


s2 = 1n


s2 = 1n−1


odchyleniestandardowe

s =√s2, s =

√s2

współczynnikzmienności

V = sx · 100 [%], V =sx · 100 [%]

momentyzwykłe

mr = 1nn∑i=1xri mr = 1n

k∑i=1xrini mr = 1n

k∑i=1x ri ni

momentycentralne

Mr = 1nn∑i=1(xi − x)r Mr = 1n

k∑i=1(xi − x)rni Mr = 1n

k∑i=1(xi − x)rni

współczynnikasymetrii(skośność)

γ = M3s3 , γ =√n2−nn−2 · γ

współczynnikkoncentracji(kurtoza)

K = M4s4 − 3, K =n2−1

(n−2)(n−3)(K + 6

n+1

)

dystrybuantaempiryczna

Fn(x) =

0 dla x 6 x1,in dla xi < x 6 xi+1,

1 dla x > xn

Fn(x) =

0 dla x 6 x1,i∑s=1

nsn dla xi < x 6 xi+1, i = 1, 2, . . . , k − 1,

1 dla x > xk



Spis oznaczeń

B(n, p) rozkład dwumianowy Bernoulliego z parametrami n i pχ2α; r kwantyl rzędu 1− α rozkładu χ2 z r stopniami swobodyd odchylenie przeciętne od średniejD2X wariancja zmiennej losowej XDX odchylenie standardowe zmiennej losowej XEX wartość oczekiwana zmiennej losowej Xfα; r1; r2 kwantyl rzędu 1− α rozkładu F -Snedecora z r1 oraz r2 stopniami swobodyF dystrybuanta zmiennej losowej X 2

ϕ gęstość standaryzowanego rozkładu normalnegoΦ dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnegoγ, γ współczynnik asymetrii (skośność)Γ funkcja gamma 3

K, K współczynnik koncentracji (kurtoza)Me medianaMo moda (dominanta)mr moment zwykły rzędu rMr moment centralny rzędu rN(m, σ) rozkład normalny z parametrami m i σP (λ) rozkład Poissona z parametrem λQk kwartyl k-ty, gdzie k = 1, 2, 3r współczynnik korelacji liniowejrs współczynnik korelacji rang SpearmanaR2 współczynnik determinacjis2, s2 wariancja z próbys, s odchylenie standardowe z próbytα; r kwantyl rzędu 1− α2 rozkładu t-Studenta z r stopniami swobodyuα kwantyl rzędu 1− α2 rozkładu N(0, 1)V , V współczynnik zmiennościxp kwantyl rzędu p, gdzie p ∈ (0, 1)x średnia arytmetyczna z próbyxg średnia geometryczna z próbyxh średnia harmoniczna z próbyxw średnia ważona z próby

2 F (x) = P (X < x).

3 Γ(r) =+∞∫0

xr−1e−xdx, r > 0.


Odpowiedzi do zadań

1. P = 219 .

2. a) P = 169400 , b) P =3995 .

3. P = 0, 86.

4. P = 213 .

5. P = 12 .

6. P = 0, 4.

7. P = 0, 65.

8. P = 23 .

9. P = 0, 5.

10. P = 175600 .

11. a) P = 2π , b) P =3√34π .

12. P = 13 .

13. P = 13 .

14. P = 29 .

15. P = 59 .

16. P = 2lπd .

17. P = 13 .

18. P = 13 .

19. a) P = 1324 , b) P = 0, c) P =148 .

20. P = π4 .

21. P = 59 .

22. a) P = 712 , b) P =

15 , c) P =

13 .

23. P = 4675 .

24. P = 1π2 .

25. P = 34 . Wskazówka: z każdą prostą związać jej kąt nachylenia do osi OX.

26. P = 1− (1− p)10.

27. P = 516 .

28. P = 0, 003.

29. P = 0, 297.

30. P (A ∪B) = 78 , P (A ∩B) =18 .

31. P (X = 5) = 0, 185, P (X = 5) ≈ 0, 175.



32. a) P = 25 , b) P =13 .

33. P (A ∩B) = 14 6=38 = P (A) · P (B), zatem zdarzenia nie są niezależne.

34. P (A ∩B) = 136 6=

5216 = P (A) · P (B), zatem zdarzenia nie są niezależne.

35. P (A ∩B) = P (A) · P (B) = 126 , zatem zdarzenia są niezależne.

36. P (A ∩B) = P (A) · P (B) = 0, 06, zatem zdarzenia są niezależne.

37. P = 3340 .

38. P = 0, 969.

39. P = 0, 16.

40. P = 0, 75.

41. P = 0, 56.

42. P = 923 .

43. P = 97327 .

44. P = 0, 93.

45. P = 0, 85.

46. a) P = 0, 787, b) z drugiego.

47. a) P = 0, 03, b) P = 13 .

48. P = 0, 4.

49. P = 0, 35.

50. P = 0, 435.

51. a) P = 0, 51, b) P = 0, 314.

52. P = 0, 87.

53. a) P = 0, 038, b) P = 0, 013, c) P = 0, 741.

54. P = 0, 4.

55. a) P = 0, 939, b) P = 0, 492.

56. a) ok. 0, 98, b) 0, 047 - jest to pozorna sprzeczność, gdyż milcząco zakładamy, że testowipoddanych zostaje aż 99, 9% zdrowych i tylko 0, 1% chorych.

57.xi 0 1 2

pi512

612

112

,x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2,+∞)F (x) 0 5

121112 1

, D2X = 718 .

58. a = 2, b = 0, 2, DX = 0, 917.

59. a)xi 0 1 2 3 4

pi 0,12 0,32 0,18 0,16 0,22,

b) EX = 2, 04, DX = 1, 356,c) P (1 < X ¬ 3) = 0, 34, P (X = 12) = P (X > 5) = 0.

60.xi 0 1 2 3 4 5

pi 0,031 0,156 0,313 0,313 0,156 0,031, D2X = 1, 246.


Odpowiedzi do zadań 61

61.xi 1 2 3

pi153515

, EX = 2, D2X = 0, 4.

62.xi 0 1 2 3

pi156155630561056

.

63. P (X 3) = 0, 577.

64. p = 14 , n = 160.

65. D2Z = 8.

66. P (Z > 2) = 0, 701.

67. a = 20, b = 0, 1, D2X = 129.

68. DX = 27.

69.xi 0 1 2 3 4 5

pi318

518

418

318

218

118

, Me = 2, Mo = 1.

70. a)xi 0 1 2 3 4

pi 0,2 0,16 0,128 0,102 0,41,

b) M1 = 0, M2 = 2, 571, M3 = −1, 217,c) P (X > 2) = 0, 512, P (X = 3) = 0, 102, P (0 < X ¬ 4) = 0, 8.

71.xi 0 1 2

pi 0,25 0,5 0,25.

72.xi 0 1 2

pi32815281028

, Me =Mo = 1.

73. a)x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, +∞)F (x) 0 0,1 0,4 0,7 0,9 1

,

b) EX = 1, 9, D2X = 1, 29,c) P (X > 2) = 0, 3, P (1 6 X 6 4) = 0, 9.

74.xi 0 1 2

pi715

715

115

,x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, +∞)F (x) 0 7

151415 1

, EX = 35 .

75. P (X = n) = (1 − p)n−1p dla n = 1, 2, 3, ..., EX = 1p . (Wskazówka: Można zauważyć, żeEX jest pochodną pewnego szeregu geometrycznego)

76. P (X = n) = (12)n, n = 1, 2, 3, . . . ,

F (x) =

{0 dla x ∈ (−∞, 1],1− (12)

n dla x ∈ (n, n+ 1], n = 1, 2, 3, . . . ,EX = 2.

77. a) c = 0, 3



b) F (x) =

0 dla x ¬ −5,0, 1 dla −5 < x ¬ −2,0, 3 dla −2 < x ¬ 0,0, 4 dla 0 < x ¬ 1,0, 6 dla 1 < x ¬ 3,0, 9 dla 3 < x ¬ 8,1 dla x > 8

c) EX = 1, D2X = 11, 6, DX = 3, 406d) P (X < 0) = 0, 3, P (X ¬ 0) = 0, 4, P (X < 4) = 0, 9, P (X ¬ 4) = 0, 9,P (−2 ¬ X < 4) = 0, 8, P (X = 2) = 0, P (X = 3) = 0, 3, P (−6 < X ¬ 0) = 0, 4,P (1 < X ¬ 8) = 0, 4.

78.xi 2 4 6 7

pi 0,3 0,4 0,2 0,1, EX = 4, 1, D2X = 2, 89, DX = 1, 7,

P (X > 1) = 1, P (X 0, 5) = 1, P (−1 < X < 2) = 0, P (X 7) = 0, 1.

79. EX = 12 , tak.

80.xi 0 1 2 3 4

pi 0,2 0,14 0,43 0,19 0,04,

x (−∞, 0] (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, +∞)F (x) 0 0,2 0,34 0,77 0,96 1

,

EX = 1, 73, D2X = 1, 217, P (X > 3) = 0, 04, P (X ¬ 1) = 0, 34, P (0 ¬ X ¬ 4) = 1.

81.xi 0 1 2 3

pi 0,118 0,367 0,382 0,133, EX = 1, 53, D2X = 0, 751, P = 0, 867.

82. Q1 = 1, Me = 2, Q3 = 3.

84. P (Z > 0) = 0, 5, P (|Z| < 2) = 0, 9544, P (|Z| > 1) = 0, 3174,x0,1 = −1, 28, x0,7 = 0, 52, x0,97 = 1, 88.

85. P (|X − 1| > 1) = 0, 8536.

86. a) P = 0, 6915, b) P = 0, 2902, c) P = 0, 0228.

87. a) P = 0, 9772, b) P = 0, 1587, c) P = 0, 0013.

88. a) P = 0, 0668, b) P = 0, 8351, c) P = 0, 3085.

89. 0, 62%.

90. a) P{|X −m| < 3σ} = 0, 9974, b) k = 2, 58.

91. x0,2 = 1, 16.

92. n = 100.

93. n = 300.

94. EX = 34 , D2X = 3

80 .



95. a) F (x) =

0 dla x ¬ −1,−15(x

2 − 1) dla x ∈ (−1, 0],15(x2 + 1) dla x ∈ (0, 2],

1 dla x > 2.

b) EX = 1415 , D2X = 373450 , c) P (X > 3) = 0, P (−12 ¬ X < 1) =

14 , P (X = 0) = 0.

96. EX = 1λ , DX =1λ .

97. EX = a+b2 , D2X = (a−b)

2

12 .

98. a = 2π , P (X > 0) =12 .

99. a) EX = 43 , D2X = 29 ,

b) M1 = 0, M2 = 29 , M3 = −8135 , Q1 = 1, Me =

√2, Q3 =

√3.

100. a = 2, P (−1 ¬ X ¬ 1, 5) = 23 , f(x) ={2x2 dla x ∈ (1, 2),0 poza tym

101. a = 2√3.

102. a) F (x) =

0 dla x ¬ 0,12(1− cos 2x) dla 0 < x ¬

π2 ,

1 dla x > π2b) EX = π4 , D

2X = π2

16 −12 ,

c) P (X > π4 ) =12 ,

d) x 14= π6 , x 34

= π3 .

103. a) a = 32π ,

b) F (x) =

0 dla x ¬ −1,32π (π6 + arc sin

x2 ) dla x ∈ (−1, 2],

1 dla x > 2,

c) D2X = 8π2−27−3π

√3

4π2 ,

d) P (−1 < X < 1) = 12 ,P (X > 0) =14 , P (X =

12) = 0.

104. a) b = 12 ,

b) F (x) =

0 dla x ¬ 0,12(ex − 1) dla x ∈ (0, ln 3],

1 dla x > ln 3.

c) EX = 12(3 ln 3− 2), D2X = 2− 34 ln

2 3,

d) P (X > 1) = 12(3− e).

105. f(x) =

{ 19x2 dla x ∈ [0, 3],

0 poza tymEX = 94 , x0,125 =

32 , x 1125

= 35 , x 827= 2.

106. 2(3√3− 1).



107. F (x) =

0 dla x ¬ −1,12(1− x

2) dla x ∈ (−1, 0],12(1 + x

2) dla x ∈ (0, 1],1 dla x > 1

EX = 0, D2X = 12 , P (X < 0) =12 , P (X 1) = 0.

108. F (x) =

0 dla x ¬ −1,14(3x− x

3 + 2) dla x ∈ (−1, 1],1 dla x > 1,

EX = 0, P (X < −12) =15 , P (|X| >

13) =

1427 .

109. F (x) =

0 dla x ∈ (−∞, −π2 ],12(1 + sinx) dla x ∈ (−

π2 ,π2 ],

1 dla x ∈ (π2 , +∞)

a = 12 , EX = 0, D2X = π

2−84 ,

P (|X| > π6 ) =12 , P (X

π3 ) =

2−√34 , P (−

π6 < X ¬

π2 ) =

34 , Mo =Me = 0.

110. F (x) =

{0 dla x 6 0,

1− e−2x dla x > 0,EX = 12 , D

2X = 14 , P (X > 1) = e−2, P (0 < X ¬ ln 3) = 89 , Me =

12 ln 2.

111. F (x) =

{0 dla x ¬ 1,1− 1

x2 dla x > 1

EX = 2, D2X = +∞, P (|X| > 1) = 1, Me =√2.

112. EX nie istnieje, Me =Mo = 0, F (x) = 1π (π2 + arc tgx) dla x ∈ R,

P (0 < X ¬ 1) = 14 , P (0 < X <√3) = 13 , P (3X − 1 >

√3− 1) = 13 .

113. F (x) = 1− e−x2

2 dla x > 0, poza tym F (x) = 0, Me =√ln 4, Mo = 1,

EX =√π2 , P (X >

√ln 4) = 12 , P (X ¬

√ln 9) = 23 .

114. EX = 0, P (1 < X ¬ 2) = 16 , F (x) =

0 dla x ¬ −2,12 +

1π arc sin

x2 dla x ∈ (−2, 2],

1 dla x > 2.

115. P (ln 2 < X ¬ 1) = P (X < ln 12) = 0.

116. k = 2π , f(x) =π

2√1−x2 dla x ∈ (0, 1), poza tym f(x) = 0, P (

12 ¬ X) =

23 ,

P (X 1) = 0.

117. A = 1, B = − 1π , f(x) =1

π√1−x2 dla x ∈ (−1, 1), poza tym f(x) = 0

P (0 < X ¬ 1) = 12 , P (X >12) =

13 .

118. a) EX2 = 1003 , b)503 .

119. F (x) = 1− xe−x − e−x dla x 0 oraz F (x) = 0 dla x < 0,P (0 < X < ln 2) = 1− ln

√2e.



120. k = π2 − 1.

121. f(x) =

{−6x2 + 6x dla x ∈ [0, 1],0 poza tym

EX = 12 , D2X = 1

20 , P (0 < X <12) =

12 ,P (X >

13) =

2027 .

122. f(x) =

{3x2 dla x ∈ (0, 1),0 poza tym,

EX = 34 , D2X = 3

80 , P (0 < X <12) =

18 , Me =

13√2, x0,2 = 3

√0, 97, x0,729 = 0, 9.

123. a) P ≈ 0, 135, b) P ≈ 0, 865.

124. P ≈ 0, 224.

125. P (74 ¬ X ¬ 85) ≈ Φ(54)− Φ(−64) = 0, 8276.

126. n > 96.

127. P (X ¬ 470) ≈ Φ(0, 43) = 0, 6664.

128. n 385.

129. n 1068. Wskazówka: Dla każdego p ∈ (0, 1) mamy p(1− p) ¬ 14 .

130. a) P (X = 0) = (0, 999)200 ≈ e−0,2,b) P (X 1) = 1− (0, 999)200 ≈ 1− e−0,2.

131. P (X = 5) ≈ 1055! e−10.

132. a) P (X = 4) ≈ 2,54

4! e−2,5,

b) P (X ¬ 2) ≈ 6, 625 e−2,5, P (X ¬ 2) ≈ Φ(−0, 32) = 0, 3745.

133. P (100 < X < 140) = P (|X − 120| < 20) 34 .

134. a) P (X > 90) = 12200

200∑i=91

(200i

)≈ 1− Φ(−1, 41) = 0, 9207,

b) P (88 < X ¬ 105) = 12200

105∑i=89

(200i

)≈ Φ(0, 71)− Φ(−1, 7) = 0, 7165.

135. P ( k100 ¬ 0, 33) ≈ Φ(−1, 23) = 0, 1093, gdzie k jest liczbą osób w próbie mających problemyze snem.

136. P (−ε < X − E(X) < ε) ≈ 0, 95, stąd ε = 7, 31 i szukany przedział to (9, 35, 23, 98).

137. P (X 3) ≈ 1− e−2, P (X 3) ≈ 1− Φ(0, 71) = 0, 2389.

138. a) P (X 1) = 0, 344,b) P (X 38) ≈ 1− Φ(−0, 33) = 0, 6293, Pa < Pb.

139. a) X jest liczbą pomyłek, X ∈ B(200, 0, 05), P (X > 12) ≈ 1− Φ(0, 65) = 0, 2578,b) P (5 ¬ X ¬ 15) 265360 , P (5 ¬ X ¬ 15) ≈ Φ(1, 62)− Φ(−1, 62) = 0, 8948.

140. a) X jest liczbą osób, które nie uzyskały połączenia, X ∈ B(400, 0, 2),P (X 70) ≈ 1− Φ(1, 25) = 0, 1056,

b) P (72 ¬ X ¬ 88) 1781 , P (72 ¬ X ¬ 88) ≈ Φ(1)− Φ(−1) = 0, 6826.



141. a) P (X = 5) =(9005

)( 1300)

5 (299300)295 ≈ 355! e

−3,

b) P (X ¬ 2) =(9000

)(299300)

300 +(9001

) 1300 (

299300)

299 +(9002

)( 1300)

2 (299300)298 ≈ 172 e

−3,

P (X ¬ 2) ≈ Φ(−0, 42) = 0, 3372,

c) P (X = 1∨X = 2∨X = 3) ≈ 12e−3, P (X = 1∨X = 2∨X = 3) ≈ 0, 5−Φ(−1, 16) = 0, 377.

142. a) P (40 ¬ X ¬ 50) ≈ 0, 5− Φ(−1, 45) = 0, 4265,b) P (X > 30) ≈ 1− Φ(−2, 9) = 0, 9981,c) P (40 ¬ X ¬ 60) ≈ Φ(1, 45)− Φ(−1, 45) = 0, 853, P (40 ¬ X ¬ 60) 735

1210 .

143. a) P (40 ¬ X ¬ 50) ≈ Φ(−1, 44)− Φ(−2, 89) = 0, 073,b) P (X > 55) ≈ 1− Φ(−0, 72) = 0, 7642,c) P (50 ¬ X ¬ 70) ≈ Φ(2, 88)− Φ(−2, 88) = 0, 996, P (50 ¬ X ¬ 70) 73

121 .

144. P (X > 150) ≈ 1− Φ(−1, 41) = 0, 9207.

145. P (5 ¬ X ¬ 5, 5) ≈ Φ(1, 73)− 0, 5 = 0, 4582.

146. P (9, 8 < X < 10, 1) ≈ Φ(0, 5)− Φ(−1) = 0, 5328.

147. P (1, 49 < X < 1, 5) ≈ 0, 5− Φ(−0, 58) = 0, 219.

148. P (200 < S100 < 250) ≈ Φ(2, 5)− 0, 5 = 0, 4938.

149. a) n 112σ2 ,

b) n 834,c) P (0, 4 < X < 0,6) = 0, 95, stąd n 33.

150. P ≈ 1.

151. P (2, 8 < X ¬ 3, 1) ≈ Φ(1)− Φ(−2) = 0, 8185.

152. n 87.

153. 14√35n < 0, 01, stąd n > 375.

154. a) P (4, 9 < X < 5, 3) ≈ Φ(1, 5)− Φ(−0, 5) = 0, 6247,b) P (4, 9 < X < 5, 3) ≈ Φ(3, 35)− Φ(−1, 19) = 0, 8826.

155. Wskazówka: Należy pokazać, że ET = m.

156. λ = x

157. λ = 1x

158. λ = 1x

159. a) Wskazówka: Należy pokazać, że E(aT1 + (1− a)T2) = θ,b) a = σ22

σ21+σ22.

160. θ = − 1lnxg.

161. Dla c = 98 .

162. p = 1x

163. a = −12(1lnxg+ 1).



164. x = 33, 6, Me = 34, s2 = 16, 1, s = 4, V = 10%.

165. b)x (−∞, 0] (0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, +∞)Fn(x) 0 0,09 0,35 0,65 0,86 1

,

c) x = 51, s2 = 555, s = 23, 6.

166.xi 0 1 2 3 4ni 13 12 9 5 1

, x = 1, 2, s = 1, 1, Q1 = 0, Q2 = 1, Q3 = 2.

167. d = 10, 7.

168.xi 0 1 2 3 4ni 3 13 17 10 7

, a) x = 2, 1, s = 1, 1, b) Mo =Me = 2, c) γ = 0, 15.

169. γ = 0, 9, K = −0, 7.

170. s = 2, 2, Mo = 45, 5, Q1 = 44, Me = 45, 6, Q3 = 47, 2.

171. xw =

n∑i=1

d2i ·hin∑i=1

d2i

= 26, 02.

173. x = 9, 1, s2 = 8, 5.

174. xw = 28, 78.

175. x = 2, 7, Mo = 2, 6, Q1 = 1, 9, Me = 2, 7, Q3 = 3, 6.

176. a) x = 4, 4, Mo = 4, Q1 = 3, Me = 4, Q3 = 6,

b)x (−∞, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, 5] (5, 6] (6, 7] (7, 8] (8, +∞)Fn(x) 0 0,07 0,15 0,32 0,59 0,73 0,80 0,91 1

177. a)x (−∞, 0] (0, 40] (40, 80] (80, 120] (120, 160] (160, +∞)Fn(x) 0 0,09 0,28 0,64 0,88 1

,

b) x = 104, 4, Mo = 103, 4, Q1 = 73, 7, Me = 104, 4, Q3 = 138, 3,

c) s2 = 2012, 7, s = 44, 9, d = 35, 2.

178. Q1 = 11, Q2 =Me = 15, Q3 = 20.

179. x = 6, 3, s = 2, 5, Me = 6, 36, γ = −0, 13, V = 0, 4.

180. Przedział (20,067, 21,533) jest jednym z przedziałów, który z prawdopodobieństwem 0,9pokrywa nieznaną średnią.

181. 19, 506 < m < 20, 494.

182. 8, 832 < m < 11, 168.

183. 15, 311 < m < 19, 689.

184. 1− α = 0, 95.

185. 5, 504 < m < 6, 392.

186. 28, 597 < m < 32, 363.

187. 23, 489 < m < 26, 511.



188. 113, 318 < m < 126, 682.

189. a) 1, 545 < m < 1, 655, b) 1, 534 < m < 1, 666.

190. Przedział (17,928, 40,171) jest jednym z przedziałów, który z prawdopodobieństwem 0,95pokrywa nieznaną wariancję.

191. 0, 071 < σ < 0, 092.

192. 2, 993 < σ < 5, 165.

193. 3, 670 < σ2 < 13, 768.

194. 1, 870 < σ2 < 25, 418.

195. 34, 590 < σ2 < 196, 263.

196. 0, 208 < p < 0, 252.

197. 0, 003 < p < 0, 016.

198. 0, 563 < p < 0, 737.

199. Należy do próby wstępnej dolosować co najmniej 396 elementów.

200. n = 18.

201. Próba wstępna jest wystarczająco liczna.

202. n = 62.

203. Próba powinna liczyć co najmniej 16 elementów.

204. Należy do próby wstępnej dolosować 7 elementów.

205. a) jest wystarczająco liczna,b) nie jest wystarczająco liczna, należy do próby wstępnej dobrać co najmniej 36 elementów.

206. Nie jest wystarczająca, brakuje 760 zł.

207. u = −2, 4 ∈ (−∞, −1, 64]. Wyniki badań sugerują, że z prawdopodobieństwem 0,95automat zaniża wagę czekolady.

208. t = −1, 172 6∈ (−∞, −1, 833]. Reklamacje odbiorcy L są nieuzasadnione.

209. Rozważając H0 : m = 30, HA : m 6= 30 mamy u = −3, 5 ∈ (−∞, −1, 96] ∪ [1, 96, +∞),zatem z prawdopodobieństwem 0,95 możemy twierdzić, że średnie plony są różne od 30 q/ha.

210. u = −4, 68 ∈ (−∞, −2, 05]. Mamy podstawy, by z prawdopodobieństwem 0,98 przypusz-czać, że waga porcji mięsa jest zaniżana.

211. Rozważając H0 : m = 10, HA : m 6= 10 mamy t = −0, 048 6∈ (−∞, −1, 833]∪ [1, 833, +∞),zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

212. t = −1, 414 6∈ (−∞, −1, 86]. Należy przystąpić do zwalczania szkodnika.

213. t = −0, 478 6∈ (−∞, −2, 398]. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

214. a) u = −1, 5 ∈ (−∞, −1, 41], zatem z prawdopodobieństwem 0,92 reklamacje są zasadne,b) u = −1, 5 6∈ (−∞, −1, 64], reklamacje są bezzasadne.

215. a) u = −2, 1 6∈ (−∞, −2, 33], brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0,b) u = −2, 1 ∈ (−∞, −1, 64], firma ma podstawy, by z prawdopodobieństwem 0,95 twierdzić,że nowy model zużywa mniej paliwa.



216. Rozważając H0 : m = 35 mg, HA : m < 35 mg mamy u = −2, 41 ∈ (−∞, −1, 64], zatemz prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA.

217. t = 3, 172 ∈ [1, 895, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na ko-rzyść HA.

218. t = −0, 8 6∈ (−∞, −1, 761]. Nie ma podstaw do tego, by przypuszczać, że skarga konsu-mentów jest uzasadniona.

219. Rozważając H0 : m = 1000, HA : m 6= 1000 mamy u = 1, 75 6∈ (−∞, −1, 96]∪ [1, 96, +∞),zatem nie ma podstaw do odrzucenia H0.Natomiast rozważając H0 : m = 1000, HA : m > 1000 mamy u = 1, 75 ∈ [1, 64, +∞), zatemz prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA.

220. a) t = −1, 437 6∈ (−∞, −2, 015], należy przystąpić do zwalczania,b) t = −1, 437 ∈ (−∞, −0, 92], wyniki nie dają podstaw do tego, by już przystąpić do zwalczaniaszkodnika.

221. u = 2, 87 ∈ [1, 28, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 średnia wysokość świerka jest więk-sza niż 20 m.

222. u = −10 ∈ (−∞, −2, 33]. Z prawdopodobieństwem 0,99 śledzie atlantyckie osiągają więk-szą średnią długość.

223. t = −0, 95 6∈ (−∞, −1, 833]. Wyniki badań przemawiają za tym, że trening nie ma wpływuna liczbę zapamiętanych elementów.

224. t = 4, 146 ∈ [2, 718, +∞). Możemy twierdzić z prawdopodobieństwem 0,99, że zastosowanylek powoduje spadek ciśnienia.

225. t = 1, 328 6∈ (−∞, −2, 16] ∪ [2, 16, +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

226. Rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 6= m2 otrzymujemy u = −1, 45 6∈ (−∞, −1, 96] ∪[1, 96, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

227. a) u = −1, 76 ∈ (−∞, −1, 28], z prawdopodobieństwem 0,9 badania wskazują na to, żezastosowanie zabiegu zwiększa plon, b) u = −1, 76 6∈ (−∞, −2, 33], brak podstaw do odrzuceniahipotezy H0.

228. Weryfikujemy najpierw hipotezę H0 : σ21 = σ22, HA : σ

21 6= σ22, otrzymujemy f = 1, 02 6∈

[5, 19, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.Rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 < m2 mamy t = −1, 555 ∈ (−∞, −1, 383], stąd możemytwierdzić z prawdopodobieństwem 0,9, że przeszkolenie zwiększa średnią wydajność.

229. a) t = 2, 377 ∈ [1, 701, +∞), z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 nakorzyść HA,b) t = 2, 377 6∈ [2, 467, +∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

230. t = −4, 434 ∈ (−∞, −1, 684]. Przeprowadzone pomiary sugerują, że z prawdopodobień-stwem 0,95 badany przyrost jest większy w Małopolsce.

231. Rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 6= m2 mamy u = 2, 45 6∈ (−∞, −2, 58] ∪ [2, 58, +∞),zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.Natomiast rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 > m2 mamy u = 2, 45 ∈ [2, 33, +∞), zatemz prawdopodobieństwem 0,99 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA.



232. Rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 6= m2 otrzymujemy u = −1, 44 6∈ (−∞, −1, 75] ∪[1, 75, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.Natomiast rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 < m2 mamy u = −1, 44 ∈ (−∞, −1, 41], zatemz prawdopodobieństwem 0,92 odrzucamy hipotezę H0 na korzyść HA.

233. u = −2, 59 ∈ (−∞, −2, 33], zatem z prawdopodobieństwem 0,99 można tak uważać.

234. t = 7, 493 ∈ [1, 943, +∞). Przeprowadzone doświadczenie wskazuje, że z prawdopodobień-stwem 0,95 zapylenie zwiększa średnią masę nasion.

235. Rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 6= m2 otrzymujemy t = 3, 367 ∈ (−∞, −1, 771] ∪[1, 771, +∞), zatem z prawdopodobieństwem 0,9 hipotezę H0 należy odrzucić.

236. u = 4, 15 ∈ [2, 05, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,98 odrzucamy hipotezę H0 na korzyśćHA.

237. Weryfikujemy najpierw hipotezę H0 : σ21 = σ22, HA : σ

21 6= σ22, otrzymujemy f = 2, 26 6∈

[3, 73, +∞), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.Rozważając H0 : m1 = m2, HA : m1 > m2 mamy t = 1, 463 ∈ [1, 341, +∞), zatem z prawdopo-dobieństwem 0,9 urzędnicy powinni wybrać Robustę.

238. t = 1, 852 ∈ [1, 812,+∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 możemy twierdzić, że zakład miałwpływ na zmniejszenie przyrostu pierśnic.

239. χ2 = 34, 531 ∈ [30, 144, +∞), z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezę H0 nakorzyść HA.

240. a) χ2 = 34, 986 ∈ [34, 382, +∞), z prawdopodobieństwem 0,9 możemy twierdzić, że sa-dzarka nie spełnia wymogów dotyczących precyzji sadzenia,b) χ2 = 34, 986 6∈ [37, 652, +∞), brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

241. u = −0, 01 6∈ (−∞, −2, 33] ∪ [2, 33, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

242. χ2 = 10, 379 6∈ (0, 5, 578]. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

243. χ2 = 26, 45 6∈ [27, 204,+∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

244. a) χ2 = 37, 52 6∈ [46, 963,+∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0,b) χ2 = 37, 52 ∈ [36, 741,+∞), z prawdopodobieństwem 0,9 decyzja o przerwaniu produkcji jestsłuszna.

245. χ2 = 9, 049 6∈ (0, 2, 7] ∪ [19, 023, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

246. u = 2, 65 ∈ (−∞, −2, 05]∪ [2, 05, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,96 hipotezę H0 należyodrzucić.

247. χ2 = 7, 282 6∈ (0, 4, 168]. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

248. u = 0, 71 6∈ [1, 28, +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

249. χ2 = 9, 009 6∈ (0, 6, 571], zatem nie można tak twierdzić.

250. a) χ2 = 22, 2 ∈ [21, 064, +∞), z prawdopodobieństwem 0,9 uzyskane wyniki negują sku-teczność nowej metody, b) χ2 = 22, 2 6∈ [23, 685, +∞), brak podstaw do odrzucenia H0.

251. f = 1, 06 6∈ [6, 99, +∞). Test nie zaprzecza równości wariancji.

252. f = 1, 05 6∈ [2, 05, +∞). Nie mamy podstaw, by twierdzić, że maszyna uległa rozregulo-waniu.



253. f = 3, 81 6∈ [4, 77, +∞). Nie możemy twierdzić, że skoki zawodnika B cechuje większaregularność.

254. f = 1, 55 6∈ [1, 85, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.

255. f = 2, 13 6∈ [3, 73, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

256. u = −1, 6 6∈ (−∞, −1, 64]. Brak podstaw do podjęcia takiej decyzji.

257. u = 4, 08 ∈ [1, 88, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,97 możemy przyjąć, że frekwencjaw wyborach przekroczy 60%.

258. u = 4, 17 ∈ [1, 64, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 odsetek zepsutych cytryn jestwiększy niż 5%.

259. u = −0, 87 6∈ (−∞, −1, 64]. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

260. u = 1, 31 ∈ [1, 28, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 frakcja uszkodzonych kwiatów prze-wyższa dopuszczalną normę.

261. u = −1, 03 6∈ (−∞, −1, 28], zatem nie można tak twierdzić.

262. u = −0, 64 6∈ (−∞, −1, 64]. Należy przystąpić do zwalczania szkodnika.

263. u = 1, 22 6∈ [1, 64, +∞). Przy przyjętym poziomie istotności nie możemy uznać nowejmetody za równie dokładną.

264. u = −0, 61 6∈ (−∞, −1, 28]. Przeprowadzone badania nie pozwalają tak twierdzić.

265. u = 1, 3 ∈ [1, 28, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 możemy twierdzić, że dopuszczalnenormy są przekroczone.

266. a) u = 1, 52 ∈ [1, 41, +∞), zatem z prawdopodobieństwem 0,92, możemy twierdzić, żeodsetek jest większy niż 10%, b) u = 1, 52 6∈ [2, 33, +∞), nie mamy podstaw, by tak twierdzić.

267. u = 2, 96 ∈ (−∞, −1, 96]∪[1, 96, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 odrzucamy hipotezęH0 na korzyść HA.

268. u = 4, 43 ∈ [2, 33, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,99 badany lek ma wpływ na poprawęstanu zdrowia.

269. u = 1, 3 6∈ (−∞, −1, 96] ∪ [1, 96, +∞). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

270. u = −8, 32 ∈ (−∞, −1, 64]. Z prawdopodobieństwem 0,95 zastosowanie szczepionkizmniejsza odsetek zachorowań.

271.

nr klasy xi pi npi ni(ni−npi)2npi

1 0 0,2 50 54 0,322 1 0,4 100 82 3,243 2 0,25 62,5 64 0,0364 3 0,1 25 30 15 4 0,05 12,5 20 4,5

suma − 1 250 250 9,096

χ2 = 9, 096 /∈ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być w postaci podanej proporcji.

272. λ = 1, 7, χ2 = 1, 820 /∈ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być Poissona.



273. χ2 = 24, 451 ∈ [11, 070, +∞). Odrzucamy H0, z prawdopodobieństwem 0,95 kostka niejest symetryczna.

274. H0 : badany czas ma rozkład N(0, 54, 0, 23), HA : badany czas nie ma takiego rozkładu

nrklasy

prawe końceklas (xi)

ui = xi−mσ F (xi) = Φ(ui) pi npi ni(ni−npi)2npi

1 0,2 −1, 48 0,069 0,069 9,66 10 0,0122 0,4 −0, 61 0,271 0,202 28,28 30 0,1053 0,6 0, 26 0,603 0,332 46,48 45 0,0474 0,8 1, 13 0,871 0,268 37,52 34 0,3305 1,0 2, 00 0,977 0,129 18,06 21 0,479

suma − − − 1 140 140 0,973

χ2 = 0, 973 /∈ [5, 991, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być N(0, 54, 0, 23).

275. χ2 = 1, 84 /∈ [13, 277, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład wysokości drzew może byćN(70, 28).

276. χ2 = 1, 034 /∈ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0, czas trwania reakcji może mieć rozkładzadany daną gęstością.

277. H0 : waga kostek masła ma rozkład N(249, 0, 44), HA : waga kostek masła nie ma takiegorozkładu

nrklasy


ui = xi−mσ F0(xi) = Φ(ui) nin Fn(xi) |Fn(xi)− F0(xi)|

1 248,4 −1, 43 0,076 0,075 0,075 0,0012 248,8 −0, 52 0,302 0,225 0,300 0,0023 249,2 0, 39 0,652 0,350 0,650 0,0024 249,6 1, 30 0,903 0,250 0,900 0,003

5 250,0 2, 20 0,986 0,100 1,000 0,014

λ = 0, 198 /∈ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być N(249, 0, 44).

278. a) λ = 0, 693 /∈ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być taki sam.b) χ2 = 5, 714 /∈ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być N(20, 9).

279. χ2 = 0, 181 /∈ [9, 21, +∞), λ = 0, 17 /∈ [1, 628, +∞). W obu przypadkach nie odrzucamyH0, rozkład może być normalny.

280. χ2 = 0, 272 /∈ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład liczby drzew może być P(1).

281. χ2 = 0, 392 /∈ [13, 277, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład liczby roślin ostu może być danytaką proporcją.

282. χ2 = 1, 053 /∈ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład liczby drzew może być P(1,5).


284. χ2 = 6, 073 /∈ [10, 645, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład liczby orłów może być B(200, 12).

285. χ2 = 15, 408 ∈ [7, 815, +∞). Odrzucamy H0, z prawdopodobieństwem 0,95 rozkład liczbybraków nie może być P(0,9).




287. χ2 = 10, 668 ∈ [9, 488, +∞). Odrzucamy H0, z prawdopodobieństwem 0,95 rozkład liczbydrzew nie może być dany taką proporcją.

288. Wskazówka: Estymatorem frakcji chorych sadzonek w całej populacji (tzn. parametru p)jest frakcja chorych w próbie p = (liczba chorych)/(liczba wszystkich sadzonek).p = 0, 3, χ2 = 59, 934 ∈ [13, 345, +∞). Odrzucamy H0, z prawdopodobieństwem 0,99 rozkładnie jest Bernoulliego.

289. H0 : długość liści ma rozkład N(19, 4, 7, 1), HA : długość liści nie ma takiego rozkładu

nrklasy


ui F (xi) = Φ(ui) pi npi ni(ni−npi)2npi

1 5 −2,03 0,021 0,021 3,36}14,88

2}12 0,557

2 10 −1,32 0,093 0,072 11,52 10

3 15 −0,62 0,268 0,175 28 30 0,143

4 20 0,08 0,532 0,264 42,24 48 0,785

5 25 0,79 0,785 0,253 40,48 41 0,007

6 30 1,49 0,932 0,147 23,52 15 3,086

7 35 2,20 0,986 0,054 8,64}10,88

11}14 0,8958 40 2,90 0,998 0,012 1,92 2

9 45 3,61 1,000 0,002 0,32 1

suma − − − 1 160 160 5,473

χ2 = 5, 473 /∈ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być N(19,4, 7,1).

nrklasy


ui F0(xi) = Φ(ui) nin Fn(xi)

∣∣Fn(xi)− F0(xi)∣∣1 5 −2,03 0,021 0,013 0,013 0,008

2 10 −1,32 0,093 0,063 0,076 0,017

3 15 −0,62 0,268 0,188 0,264 0,004

4 20 0,08 0,532 0,300 0,564 0,032

5 25 0,79 0,785 0,256 0,82 0,035

6 30 1,49 0,932 0,094 0,914 0,018

7 35 2,20 0,986 0,069 0,983 0,003

8 40 2,90 0,998 0,013 0,996 0,002

9 45 3,61 1 0,006 1,002 0,002

λ = 0, 443 /∈ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być N(19,4, 7,1).

290. χ2 = 58, 408 ∈ [9, 236, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 rozkład nie jest zadany takągęstością.

291. x = 16, 2, s = 2, 5, χ2 = 1, 259 /∈ [6, 251, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład długościsardynek może być normalny.

292. λ = 1, χ2 = 0, 272 /∈ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być P (1).

293. χ2 = 99, 305 ∈ [12, 592, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 rozkład nie jest równomierny.

294. χ2 = 1, 752 /∈ [7, 779, +∞). Rozkład może być Poissona.

295. χ2 = 2, 341 /∈ [6, 251, +∞). Nie odrzucamy H0, test χ2 nie zaprzecza zgodności.

296. χ2 = 139, 005 ∈ [10, 645, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 rozkład nie jest jednostajny.



297. λ = 0, 407 /∈ [1, 358, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkłady cen mogą być jednakowe.

298. χ2 = 0, 477 /∈ [5, 991, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkłady cen nie różnią się istotnie.

299. χ2 = 2, 109 /∈ [9, 488, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być zadany taką proporcją.

300. χ2 = 6, 427 ∈ [6, 251, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,9 rozkład nie jest zadany takągęstością.

301. χ2 = 1, 309 /∈ [7, 815, +∞). Nie odrzucamy H0, rozkład może być zadany taką gęstością.

302. t = 1, 309 /∈ (−∞, −1, 833]∪ [1, 833, +∞). Nie istnieje korelacja między tymi wielkościami.

303. t = 4, 225 ∈ [1, 860, +∞). Istnieje dodatnia korelacja między wiekiem nowożeńców.

304. t = −2, 701 ∈ (−∞, −1, 895]. Istnieje ujemna korelacja między tymi wielkościami.

305. y = 0, 525x+ 2, 857, R2 = 0, 982 - stopień dopasowania prostej regresji jest wysoki.

306. y = −147, 5x+ 1952, 5, R2 = 0, 92 - stopień dopasowania prostej regresji jest wysoki.

307. r = 0, 999, y = 4, 692x+ 84, 004.

308. y = −1, 130x+ 42, 192, R2 = 0, 986. Stopień dopasowania prostej regresji jest wysoki.

309. rs = 0, 923.

310. Niech X− masa kłosa, Y− długość kłosa, Z− wysokość rośliny. Wtedy rxy = 0, 546,rxz = 0, 648, ryz = 0, 548. Najsilniej skorelowane są X i Z.

311. r = −0, 918, t = −6, 547 ∈ (−∞, −1, 397], z prawdopodobieństwem 0,9 istnieje ujemnakorelacja między zmiennymi. Równanie prostej regresji: y = −0, 005x+ 0, 518.

312. rs = 0, 876, us = 2, 628 ∈ (−∞, −1, 96]∪[1, 96, +∞), z prawdopodobieństwem 0,95 istniejezależność między X i Y .

313. t = −1, 234 /∈ (−∞, −1, 397], nie można twierdzić, że istnieje ujemna korelacja.

314. u = 0, 734 /∈ [1, 64, +∞), współczynnik korelacji ρ może być równy 0,7.

315. f = 0, 44 /∈ [3, 49, +∞), brak istotnych różnic w średnich.

316. f = 1, 21 /∈ (3, 34, +∞), kształt nie ma istotnego wpływu na średni czas świecenia.

317. f = 2, 28 /∈ [3, 49, +∞), trzebież nie ma istotnego wpływu na średnie pierśnice.

318. f = 14, 4 ∈ [3, 16, +∞). Z prawdopodobieństwem 0,95 pochodzenie ma wpływ na średniąwysokość siewek jedlicy.

319. f = 0, 03 /∈ [8, 02, +∞), nie ma istotnych różnic w średnich ocenach.


Literatura

[1] A. Balicki, W. Makać, Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskie-go, Gdańsk 2000.

[2] A. Bruchwald, Statystyka matematyczna dla leśników, Wydawnictwo SGGW, Warszawa 1997.[3] W.J. Gmurman, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, WNT,Warszawa 1976.

[4] J. Greń, Statystyka matematyczna, modele i zadania, PWN, Warszawa 1984.[5] Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa1975.

[6] J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2006.[7] J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych,WNT, Warszawa 2001.

[8] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwai statystyka matematyczna w zadaniach, część I i II, PWN, Warszawa 2004.

[9] J. Ombach, Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo − MAPLE, WydawnictwoUniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.

[10] Cz. Platt, Problemy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa1978.

[11] M. Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 2002.[12] A. Sowa, M. Nelicka-Leonhard, R. Sawińska, Elementy matematyki i probabilistyki, WydawnictwoAR, Kraków 1999.


zbiór zadan z rachunku prawdopodobienstwa i statystyki...

Documents