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ºººº Integración Inmediata(III)ºººº Integración Por Partes (I)ºººº Anexo

Genius, a good idea in MathsGenius, a good idea in MathsGenius, a good idea in MathsGenius, a good idea in MathsXimo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto

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TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

A lo largo de los dos temas anteriores I_1 e I_2, hemos estudiado FÓRMULAS DEINTEGRACIÓN INMEDIATA que, poco a poco, deben haber contribuido a quitar el"espeluznante" aspecto de una integral o primitiva. A propósito, hemos dejado aparte dos de lasfórmulas de integración inmediata más utilizadas y, a la vez, más confundidas en su uso. Ponmucha atención :

En la cual,como siempre, " u " representa una función y " u' " su derivada.

¡Ah!, por cierto ! "a " es un número real cualquiera distinto de cero.OBSERVA: En el numerador debe aparecer la derivada de la función "u" solamente, sin elevaral cuadrado.

La fórmula con la cual SE SUELE CONFUNDIR ES : , en la cual, el

numerador es la derivada de TODA la expresión del radicando. En los problemas, alguna vez,trataré de tenderte esta trampa. ¡ Cuidadito !.

Ejemplo :

¿ Qué ? No es tan difícil, ¿ Verdad ?. Vamos con los problemas...

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Recuerda :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

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35.

Aquellos que quieran coger más soltura en la técnica de ajustes de cuadrados, les remito al

final de la unidad.

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Y la otra fórmula importante que vamos a emplear es la del arco tangente :

OBSERVA bien su estructura y no la confundas con la expresión del logaritmo, en la cual, el

numerador debe ser la derivada de toda la función que hay en el denominador, mientras que en ésta

el numerador es la derivada sólo de "u".

Vamos con los ejemplos :

Una de las situaciones más usuales para utilizar esta fórmula es el caso en el cual, el

denominador sea un POLINOMIO de segundo grado, sin raíces reales y el numerador una

constante, en cuyo caso el polinomio siempre se puede expresar como SUMA de cuadrados.

¿ Qué ? No es tan difícil, ¿ Verdad ?. Vamos con los problemas...

36. 37.

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41.

42.

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47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

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61.

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63.

[ ¡ Interesante ! ]

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69.

70.

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71.

72.

[ Observa que en las integrales 69, 70, 71 y 72, los polinomios del denominador no tienen raíces

reales ]

TURNO LIBRE :Construye y resuelve tres integrales que se resuelvan con las fórmulas

anteriores.

Para continuar, vamos a hacer el mismo ejercicio que hemos planteado en el tema anterior.

Sin clasificación previa, aunque puedes consultar la tabla, voy a proponerte doce primitivas :

Míralas Y Ajústalas ( si es preciso ) Y Resuélvelas bien. ¡Ánimo y suerte!

73.

74.

75.

76.

77.

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78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

Es muy importante pensar que ESTÁS CAPACITADO para resolverlas todas y bien.

Procura fijarte bien en la tabla de INTEGRALES INMEDIATAS.

¡Bueno!, ¡Un descansito!, 10 minutillos y continuamos.

85. Elige 5 problemas al azar, del 1 al 84. Deriva la solución obtenida y comprueba que

coincide con la función del integrando. [ IMPORTANTE ]

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Algunos comentarios :

Y Supongo que ya te has dado cuenta que la expresión dx, dt, etc, que ponemos en el

integrando, nos indica cual es la variable de integración que hemos de considerar, las demás letras

las consideraremos como constantes.

Y Procura MEMORIZAR las tablas de DERIVADAS e INTEGRALES, y no olvides que

INTEGRAR es el proceso contario a DERIVAR.

Prosigamos ...

Otras técnicas de INTEGRACIÓN.

No siempre la primitiva de una función la podemos obtener de una forma tan rápida como

hasta ahora, la mayoría de las veces deberemos recurrir a otras técnicas que me voy a ocupar de

presentarte ahora.

TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Fórmula de aplicación:

Comentario: Para resolver una integral por este método de integración:

1. Separa el integrando en "dos partes"

2. A una de ellas le llamas 'u'

A la que lleve 'dx' le llamas 'dv'

3. Hallas "du" derivando "u"

Hallas "v" integrando "dv" (sin la constante de integración)

4. Aplicas la fórmula de integración por PARTES

5. Cuando tengas , la resuelves ( Por el momento siempre será

INMEDIATA )

¿ Ah ? ¿ Qué seleccionar como "u" y qué como "dv" ?... A base de practicar y

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Recuerda :

"pensar" se aprende.

Ejemplo:

=

Solución : x ex dx = xA ex - ex + C

Otro ejemplo:

Solución : x ln x dx =

û Observa que la elección de las "PARTES" hay que hacerla con cuidado para de no te

resulte más complicada que la integral que tenías.

¡ Venga ! ¡A ver que tal te defiendes tú solo !

86. m x ex dx =

87. m x ln x dx =

88. m x2 ln x dx =

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89. m x3 ln x dx =

[ Hazla “de cabeza”, sin escribir qué es u y qué dv. Opera mentalmente ]

90.

91. m x e-x dx =

92. m x e2x dx =

93.

94. m x sen x dx =

[ Hazla 'de cabeza'. Sin escribir qué es 'u' y 'dv', y operando mentalmente siempre ]

95. m x sen 2x dx =

96. m 2x sen 3x dx =

97. m x 2x dx =

98. m x 3x dx [ resolver como la 94 ] =

99.

100. m arc tg 2x dx =

101. m arc sen x dx =

102. m arc sen (2x) dx ={ Un poco complicada. Como ayuda, la integral que sale es inmediata y se resuelve con la raíz }

A partir del problema 103 te vas a encontrar con que la integral que sale no es inmediata,

sino que se debe volver a resolver por partes. Pon cuidado con el signo menos de delante.

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mx2A ex dx = = x2 A ex - m2x ex dx =[de nuevo Por Partes]

(Copiamos ”x2 A ex” del resultado anterior)

= x2 ex - ( 2x ex - m 2ex dx) = x2A ex - 2x ex + 2 mex dx = x2A ex - 2x ex + 2ex + C

Solución : m x2 ex dx = ( x2 - 2x + 2 ) ex + C

¡ Bueno !, ¡ Bueno ! tampoco es tan complicado ! A ver como se te da a tí sólo.

NOTA: Todos los resultados hay que simplificarlos al máximo.

103. m x2 ex dx =

104. m t2A2t dt =

105. m x2Acos x dx =

106. m x2Ae-x dx =[ Ojo con -x ]

107. m x2Ae3x dx =[ Ojo con 3x ]

108. m x2Aex/2 dx =[ Ojo con x/2 ]

109. m ( x2+ x + 1 )A ex dx =

110. m x3Aex dx =[ Pues sí, tres veces por partes ]

111. m (x3-x)Ae2x dx =

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Es muy frecuente utilizar esta técnica de integración para integrar productos de funciones ]

Resolver las integrales siguientes, procurando distinguir entre INMEDIATAS, SEMI-

MEDIATAS y POR PARTES.

112. m x4Aln x dx =

113. m ( sen ax + cos bx ) dx =

a,b … 0

114.

[ Un tanto complicada de ver ]

115. .

Y, por ahora, una parada. Tan sólo ordenar un poco las ideas sobre integración que hemos

ido acumulando :

Y Si F(x) es una función primitiva de la función f(x) => F'(x) = f(x)

Y Notamos F(x) = m f(x) dx

Y dx, dt, dp, ... se emplea para indicar la variable de integración.

Y Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante ( Teorema Fundamental

del Cálculo Integral )

Y Conocemos tres técnicas para obtener la primitiva de una función:

O INMEDIATAS Y Según tabla

OO SEMI.MEDIATAS Y Las que hemos de ajustar y preparar

OOO POR PARTES m u dv = uAv - m v du

Es FUNDAMENTAL comenzar con la tarea de decidir cual es la técnica adecuada de las

tres que hemos aprendido.

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¡Ah! La regla nmemotécnica de la fórmula de integración por partes

mmmm u dv = uAAAAv - mmmm v du

Un día vi, una vaca que salía vestida de uniforme (¡Jaja!).

FINAL DE LA UNIDAD ( Opcional. Para adquirir nivel y agilidad, mental, ¡ Claro !.)

OOOO EXPRESIÓN DE UNA SUMA DE CUADRADOS:

Veamos cómo podemos expresar como una SUMA de cuadrados, un polinomio de segundo

grado de la forma : x2 + bx + c ó c + bx + x2 cuando éste no tiene raíces reales.

Y x2 + bx + c = (x2 + bx ) + c = .

Como en el desarrollo anterior, procura no memorizar el resultado, sino comprender la lógica

del proceso y, al final, efectuar todos los ajustes mentalmente.

Veamos unos ejemplos :

De una forma más mecanizada, para expresar como SUMA de cuadrados un polinomio de

segundo grado con discriminante negativo, y siendo 1 el coeficiente de la máxima potencia de 'x',

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podemos proponer la igualdad x2 + bx + c = ( x - " )2 + $2 , a continuación desarrollar la expresión de

la derecha y mediante igualación de coeficientes, hallar " y $.

Ejemplo:

x2 + 4x + 6 = (x - ")2 + $2

x2 + 4x + 6 = x - 2"x + "2 + $2

1 = 1, 4 = -2", 6 = "2 + $2. Resolviendo este sencillo sistema, tenemos:

" = -2, ß =

Por tanto: x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + ( )2

Personalmente, prefiero el ajuste intuitivo de cuadrados, no obstante la mayoría de mis alumnos

me sugieren éste.

Para los algebraicos, " es la parte real de la raíz compleja del polinomio y $ su parte

imaginaria.

Vamos cogiendo técnica, eh?

Expresar ( cuando sea posible, ¡ Cuidado !) como SUMA de CUADRADOS:

116. 2 + 2x + x2 =

117. 6 + 4x + x2 =

118. 2 + x + x2 =

119. x2 + x + 5 =

120. x2 + 4x + 5=

121. x2 + 5x + 1=

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122. x2 + 3/2x + 3=

Como aplicación, resolver :

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

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O EXPRESIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS :

Veamos como podemos expresar como una diferencia de cuadrados, un polinomio de segundo

grado de la forma :

-x2 + bx + c ó c + bx - x2, cuyo discriminante sea POSITIVO.

Recordemos que: ( a - b ) 2 = a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2

Y c + bx - x2 = c - (x2 - bx ) = .

Procura no memorizar el resultado, sino comprender la lógica del proceso, buscando el ajuste

con el cuadrado de una SUMA / DIFERENCIA.

Veamos unos ejemplos :

Hemos sacado factor común 4 para conseguir que el coeficiente de x2 sea -1

NOTA : Esta técnica NO es válida si el discriminante del POLINOMIO de 2º grado es

NEGATIVO

Problemas : Expresar como diferencia de cuadrados :

132. 4x - x2 =

133. 6x - x2 =

134. 8x - 2x2 =

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135. 5x - x2 =

136. 5x - 3x2 =

137. 2 - x - x2 =

138. 1 - x - x2 =

139. 2 - 3x - 2x2 =

Como aplicación, resolver :

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148. .

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