apuntes - ximobeneyto.files.wordpress.com · xb apuntes sucesiones k|ÅÉ uxÇxçàÉa tÑâÇàxá...
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Universidad
Apuntes
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Apuntes
Sucesiones
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SUCESIONES 1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Formas más frecuentes de definir una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Cálculo del término general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1. Expresiones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2. Expresiones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3. Alternadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4. Otras ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Sucesiones monótonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Sucesiones acotadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8. Sucesiones divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9. Sucesiones regulares ó de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10. Relaciones entre conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.1.- Toda sucesión monótona y acotada es convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.2.- Toda sucesión convergente es acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11.Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12.Sucesiones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13. Infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14. Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
15. Cálculo del límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15.2. Cálculo de Límites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
15.2.1. Indeterminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
15.2.2. Teorema de Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15.2.3. Indeterminación +4 - 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15.2.4. Indeterminación 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
15.2.5. Indeterminaciones 40 , 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
15.3. Infinitésimos (2ª Parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
15.3.1. Técnica de sustitución de infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
15.4 Infinitos (2ª Parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
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gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA F
15.5 Otras técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
15.5.1. Técnica de la media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
15.5.2. Técnica de la media geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
15.5.3. Técnica de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
15.5.4. InfinitésimoAacotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
15.5.5. Indeterminaciones 04 , 40 , 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
16. Sugerencias finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
17. Test de comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
18. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19. Cuestiones resueltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sucesiones
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Ya de manera intuitiva, numerosas circunstancias de la vida cotidiana nos acercan a la idea de Sucesión, el
simple hecho de coger turno en una cola de personas nos acerca a la idea de que delante de nosotros hay varias
personas, una de las cuales es la primera, la que le sigue la segunda, la siguiente la tercera, etc. y así
sucesivamente. Es claro que en el caso que nos ocupa la cola tiene un principio y un final, hecho éste que no
ocurre, por regla general, en las Sucesiones de Números Reales. Para efectuar una construcción de las Sucesiones
de Números Reales, precisaremos del soporte de los Números Naturales que nos ayudarán en la tarea de asignar
un orden en los términos de la Sucesión, el orden inferido del de los Números Naturales.
1. Definición.
Sea el conjunto de los Números Naturales excepto el cero, ù = {1, 2, 3,......}, con su ordenación usual y con
la operación Suma de Números Naturales, por otra parte sea ( ú,+,A) el cuerpo de los Números Reales, con sus
respectivas operaciones (Suma y Producto de números reales), llamamos Sucesión de Números Reales (
"Sucesión" simplemente a lo largo de este tema ) a una función cuyo dominio es N.
a : ù ÿ ú
n a(n)0ú, œ n 0 ù
Por ejemplo:
a: ù 6 ú / es una Sucesión de Números Reales que, a cada número natural ‘n’ le hace
corresponder el número real .
Habitualmente, la expresión de la aplicación a(n) la notaremos con notación subíndice, an (leemos 'a sub ene'
), siendo los TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN, a1, a2, a3, .., los valores obtenidos en la expresión de an, para los
diferentes valores naturales de "n" : 1, 2, 3, ....,
[ En ocasiones, una sucesión se define a partir de n = 0, otras de n = 2, etc, en cuyo caso se hace mención
expresa del hecho ].
Así mismo, identificaremos la Sucesión como la imagen de la aplicación considerada, manteniendo para este
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA H
conjunto la ordenación inducida de la ordenación de N, { a1 ,a2 , a3 ,..., an,...}.
Resumiendo:
6 a(n) [ expresión de la aplicación que define la sucesión ]
6 an [ expresión habitual de la aplicación que define la SUCESIÓN. ( Permite,
como a(n), obtener cualquier término de la sucesión ). Se llama TÉRMINO
GENERAL DE LA SUCESIÓN.]
6 a1 [ primer término de la Sucesión.]
6 a2 [ segundo término de la Sucesión.]
6 a12 [ duodécimo término de la Sucesión.]
6 Notación abreviada de la Sucesión
6 [ término de la Sucesión que ocupa el lugar n0-ésimo.]
6 { a1 ,a2 , a3 ,..., an,...} Notación de la SUCESIÓN. [ Otra notación. Los puntos suspensivos son
fundamentales en ésta ]
Ejemplo 1: Dada la SUCESIÓN hallar:
i) an
ii) La SUCESIÓN
iii) Los cinco primeros términos
iv) El lugar que ocupa en la sucesión el término de la misma cuyo valor es
v) ap+1
i) ¿ an ?
(¡¡ Obvio !!)
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA I
ii)
Apoyándonos en el resultado anterior :
iii) Los cinco primeros términos : a1, a2, a3, a4, a5
iv) ¿Término de la sucesión cuyo valor es ?
Ya que an nos permite obtener el valor de cualquier término de la sucesión,
Observa, que en el ejemplo anterior hemos tenido en cuenta la solución obtenida al tratarse de un número
natural, de lo contrario no hubiera sido posible haberla tenido en cuenta.
[ Otra cosa, es fundamental empezar a distinguir la diferencia entre el VALOR de un término de una sucesión
y el LUGAR que ocupa en ésta.]
XB
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Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA J
v) ¿ ap+1 ?
Y, antes de terminar el ejemplo, un pequeño gráfico que refleje la posición de los términos de la sucesión
en la recta real :
Para representar gráficamente una Sucesión de Números Reales podemos acudir a unos ejes de coordenadas,
pues como función real que es, podemos a asignar a cada número natural su correspondiente imagen. No obstante,
debido a las especiales características de las Sucesiones, esta representación es la mayoría de las veces insuficiente
para una correcta visualización de la Sucesión. Es pues costumbre, representar una Sucesión a lo largo de la recta
real, dejando constancia en ésta del valor de los diferentes términos de la Sucesión, tal como hemos aplicado,
por ejemplo, en el caso anterior.
Bien, creo que ha quedado suficientemente claro tanto el concepto de Sucesión de Números Reales, como
la notación y diferentes expresiones de las mismas. La notación , debe aportar un plus
de intuición, sin cometer la ingenuidad de sustituir n por , observa el matiz de poner
n =1, pero no n = .
A partir de ahora abandonaremos la notación funcional, a(n), para quedarnos con la notación de Subíndices
an, aunque espero no perdamos la conexión con el concepto de función, tal y como vimos en la definición.
2. Formas más frecuentes de definir una sucesión
Veamos a continuación, a través de unos ejemplos las formas más frecuentes de definir una Sucesión
1 Mediante su Expresión General.
Colocar entre llaves el término general de la Sucesión Ejemplo:
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA K
[En esta notación es muy frecuente omitir los extremos superior e inferior de la llave de la derecha]
1 Mediante su término general.
Basta con indicar el término general de la Sucesión. Ejemplo:
1 Mediante algunos de sus primeros términos.
Indicando los tres o cuatro primeros términos de la sucesión. Ejemplo:
1 Mediante una relación de recurrencia.
Para ello se definen los dos primeros términos y la relación de formación de uno cualquiera de los que siguen.
Ejemplo:
Puesto que habitualmente operaremos con el término general de la sucesión, an, vamos a dar algunas ideas
sencillas para poderlo hallar. Es conveniente resaltar el enorme interés de disponer de algunas técnicas para poder
obtener el término general de una Sucesión conocidos sus tres o cuatro primeros términos (o los que sean), pese
a lo cual no debemos descartar la opción de intuición aplicable en este caso.
3. Cálculo del TÉRMINO GENERAL ( Algunas ideas)
3.1 Expresiones exponenciales
Para obtener el término general de una expresión exponencial, buscar una relación entre n y an, escribiendo
los cinco o seis primeros términos de la sucesión.
Ejemplo 3 : Hallar el término general de la sucesión { 22, 23, 24, 25, ... }
XB
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3.2 Expresiones polinómicas
Para obtener el término general de una SUCESIÓN cuyo término general obedece a una expresión polinómica
se siguen los siguientes pasos :
1º.- Colocar en una fila ordenada los términos de la sucesión que estamos estudiando.
2º.- En una fila inferior, poner los resultados obtenidos al RESTAR en la fila superior a cada elemento,
excepto el primero, el anterior
3º.- Repetir el proceso con esta fila, hasta conseguir una fila cuyos elementos sean todos nulos.
El término general se obtiene mediante la expresión :
siendo A, B, C, ... el 1 er elemento de cada una de las
filas construida, y en el orden establecido.
NOTA : Los números combinatorios se calculan así:
Ejemplo :
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DC
Ejemplo 4 : Hallar el término general de la sucesión : { 1, 3, 7, 13, 21, ..}
Coloquemos los términos:
[ Facilito, ¿eh? ]
[ Se puede comprobar la veracidad del resultado, dando valores a "n" ]
3.3 Alternancia
En muchas ocasiones, los términos de la Sucesión llevan signos alternativamente positivos,
negativos y viceversa. En este caso, acompañamos el término general de un ALTERNADOR.
± (-1)n Asigna signos en este orden - , + , - , + , AAAAAAAAAAAA
± (-1)n+1 Asigna signos en este orden + , - , + , - , AAAAAAAAAAAA
± Asigna signos en este orden - , - , + , + , AAAAAAAAAAAA
± Asigna signos en este orden + , + , - , - , AAAAAAAAAAAA
Ejemplo 5 : Hallar el término general de la sucesión : { -1, 2, -3, 4, -5, ...}
Signos : -, +, -, +, -, AAA
Alternador : (-1)n
Valores: n
Término general : an = (-1)nAn
XB
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gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DD
Ejemplo 6 : Hallar el término general de la sucesión : { -1, - 2, 3, 4, -5, -6, . ...}
Signos : -, -,+, +, - ,- , AAA
Alternador:
Valores: n
Término General : an = An
3.4 Otras ideas
Buscar similitudes con cuadrados
Buscar similitudes con cubos, etc.
Si el término general es una fracción hallar por separado numerador y denominador.
Etc.
Bien, una vez organizado el trabajo inicial, vamos a pasar al estudio de las sucesiones.
± Operaciones (elementales) con sucesiones
± Sucesiones monótonas
± Sucesiones acotadas
±±±± Sucesiones convergentes
4. Operaciones elementales con sucesiones
Consideremos dos Sucesiones y , y , definimos:
Suma de Sucesiones
Definimos la Sucesión Suma de dos Sucesiones dadas como una nueva Sucesión obtenida sumando los
términos de ambas Sucesiones que ocupan el mismo lugar.
+ =
Producto de un Número Real por una Sucesión.
Dada una Sucesión y un número real, , definimos la Sucesión
cA =
5. Monotonía
La monotonía de una Sucesión es una característica de ésta referente al valor de sus términos. Si éstos
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DE
van aumentando de valor, disminuyendo, se repiten, etc. Así :
S Una sucesión es monótona creciente, si an+1 $ an, œ n 0 ù
( Es decir: an+1 - an $ 0, œ n 0 ù )
[En una sucesión monótona creciente, los términos de la misma van aumentando de valor,
si m > n Y am $ an m, n 0 ù]
S Una sucesión es monótona decreciente, si an+1 # an, œ n 0 ù
( Es decir: an+1 - an # 0, œ n 0 ù)
[ En una sucesión monótona decreciente, los términos de la misma van disminuyendo de valor,
si m > n Y am # an m, n 0 ù ]
SUna sucesión es monótona si es una sucesión monótona creciente o monótona decreciente.
En el caso de que las desigualdades de las definiciones anteriores sean estrictas ('>' ó '<' ), diremos que
la monotonía es estricta. ( Sucesión monótona estrictamente creciente / Sucesión monótona estrictamente
decreciente )
Ejemplo 6 :
es una sucesión monótona estrictamente decreciente
es una sucesión monótona decreciente
no es una sucesión monótona
Fijándonos en la definición de monotonía, observamos que podemos caracterizar la monotonía de una
sucesión mediante el signo de la diferencia an+1 - an. Así :
6666 an+1 - an $ 0, œ n 0 ù 6666 sucesión monótona creciente
[Repitiéndose algún término]
6666 an+1 - an > 0, œ n 0 ù 6666 sucesión monótona estrictamente creciente
6666 an+1 - an # 0, œ n 0 ù 6666 sucesión monótona decreciente
[Repitiéndose algún término]
6666 an+1 - an < 0, œ n 0 ù 6666 sucesión monótona estrictamente decreciente
6666 En cambio, si la diferencia an+1 - an no mantiene un signo constante œ n 0 ù 6 la sucesión
no es monótona. De manera más operativa, si pensamos que una sucesión no es monótona, lo más
aconsejable para demostrarlo, es encontrar un contra ejemplo con términos concretos de la sucesión
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DF
que no cumplan la definición de alguno de los tipos de monotonía.
Ejemplo 7: Estudiar la monotonía de la sucesión
6 Construyamos, en parte, la sucesión :
Ejemplo 8 : Estudiar la monotonía de la sucesión
Calculemos algunos términos de la sucesión :
±±±± 6. 6. Sucesión acotada
Una sucesión está acotada superiormente, si podemos encontrar un número Real, M 0 ú, que
sea mayor o igual que cualquier término de la sucesión.
Análogamente definimos sucesión acotada inferiormente.
En plan definición :
6666 es una sucesión acotada superiormente si › M 0 ú / an # M, œ n 0 ù
[Cada valor real M que verifica la definición anterior se llama cota superior de la sucesión ]
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DG
6666 es una sucesión acotada inferiormente si › H 0 ú / an $ H, œ n 0 ù
[Cada valor real H que verifica la definición anterior se llama cota inferior de la sucesión ]
6 es una sucesión acotada, si está acotada superior e inferiormente.
Propiedad:
es una sucesión acotada <=> › K 0 ú+ / *an* # K, œ n 0 ù
[Cada valor real K que verifica la definición anterior se llama cota de la sucesión ]
Demostración:
=>
Si es una sucesión acotada, está acotada superior e inferiormente, es decir:
› M 0 ú / an # M, œ n 0 ù
› H 0 ú / an $ H, œ n 0 ù , por tanto › M, H 0 ú / H # an # M, œ n 0 ù.
Si llamamos K = máx {*H *, *M *}, K 0 ú+ => -K # an # K => *an* # K, œ n 0 ù
<=
Si › K 0 ú+ / *an* # K, œ n 0 ù, aplicando las propiedades del valor absoluto, tendremos que,
-K # an # K œ n 0 ù, con lo cual:
-K # an œ n 0 ù , está acotada inferiormente
an # K œ n 0 ù, está acotada superiormente
y por tanto está acotada.
Ejemplo 9 :
es una sucesión acotada superiormente.
[ M = 0 es una de sus cotas superiores]
es una sucesión acotada inferiormente
[H = -2 es una de sus cotas inferiores]
es una sucesión acotada
[K = 3 es una de sus cotas]
No es, desde luego, sencillo probar si una SUCESIÓN es acotada de cualquier tipo o no, ya que de una
forma intuitiva debemos encontrar la "cotas" que cumplan la definición, no obstante vamos a dar unos
ejemplos para podernos desenvolver con un poco de soltura.
XB
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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DH
Notaremos : M 6666 Cota Superior
H 6666 Cota Inferior
K 6666 Cota
[ Nota : Las cotas propuestas obviamente no son únicas. ]
Ejemplo 10 : Estudiar la acotación de las siguientes sucesiones
a)
6666 Acotada Superiormente ( P.ej. M = 2 )
6 Acotada Inferiormente ( P.ej. H = -1 )
6 Acotada ( P.ej. K = 3 )
6 Conjunto de Cotas Superiores : [1, + 4[
6 Conjunto de Cotas Inferiores : ]-4, 0]
6 Conjunto de Cotas : [1, +4 [
b)
6 Acotada Superiormente ( P.ej. M = 3 )
6 Acotada Inferiormente ( P.ej. H = -3 )
6 Acotada ( P.ej. K = 4 )
6 Conjunto de Cotas Superiores : [5/2, + 4[
6 Conjunto de Cotas Inferiores : ]-4, -3]
6 Conjunto de Cotas : [3, +4 [
c)
6 No Acotada Superiormente
6 No Acotada Inferiormente
6 No Acotada
En cualquier caso, es muy aconsejable, representar los términos de la sucesión sobre la recta real, para
poder determinar cualquier tipo de cota.
7. Sucesión convergente
Límite de una sucesión
Una sucesión tiene por límite el número Real a 0 ú , y escribimos , si, para
cualquier número real positivo g > 0, podemos encontrar un término de la sucesión
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DI
Es decir:
Tratemos de entender la definición.
Empleando la propiedad del valor absoluto :
, y si sumamos "a" : -g+a < an < a+ g
De manera que, a 0 ú es el límite de una SUCESIÓN , si, para todo número real positivo g
> 0, podemos encontrar un término dependiente de g, a partir del cual, todos los términos de la
SUCESIÓN pertenecen al intervalo ]a - g, a + g[.
De alguna manera, siempre podemos encontrar un término de la sucesión, a partir del cual, todos están
tan próximos al límite como queramos, sin llegar a alcanzar mediante términos de la sucesión el valor
de dicho límite, salvo en contadas ocasiones.
Escribimos y leemos : límite cuando "n" tiende a infinito de an es igual a "a".
Cuando una sucesión tiene límite finito, decimos que es una sucesión convergente, es
convergente, converge a ‘a’, o tiende a ‘a’
Observa que en la notación propuesta para el límite, ponemos el término general de la sucesión en lugar
de ésta, es una forma abreviada de poner .
Tengamos en cuenta que el límite de una sucesión se obtiene siempre cuando 'n' tiende a +4, no
olvidemos que 'n' es una variable natural, aunque en la notación convencional de límite omitiremos
siempre el signo +, y escribiremos .
Idea Gráfica del concepto convergencia, en una sucesión monótona creciente:
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DJ
Idea Gráfica del concepto convergencia, en una sucesión monótona decreciente:
Es fundamental la comprensión del concepto límite de una sucesión, si es preciso revisarlo tantas
veces como sea necesario.
Propiedad
El límite de una sucesión, si existe, es único. Demostraremos que una sucesión convergente no puede
tener dos límites distintos.
Demostrando.....(Caso de límite finito)
Sea una sucesión de números reales convergente y sea .
Supongamos también que . Queremos probar que a = b.
6 Por definición,
6 Por definición,
Por tanto, si œ , > 0 tomamos un n0 posterior al n1 y n2 de ambas definiciones, podremos emplear las
dos desigualdades finales, es decir :
œ , > 0 sea n0 = máx {n1, n2} Y œ n $ n0 *a - b* = (I)
= *a - an + an - b * # (II) *a - an* + *an - b* < ( III)
Y *a - b* < 2, œ , > 0
Como *a - b* es un nº $ 0 Y *a - b* = 0
( Para que sea menor que cualquier 2, > 0 ) Y a = b c.q.d.
(I) Sumamos y restamos an
(II) Propiedad del valor absoluto *x + y* # *x* + *y*
(III) Definición de límite
Veamos a continuación, sobre una sucesión concreta, los elementos de convergencia de una sucesión.
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DK
Ejemplo 11: Sea una sucesión,
i) Probar que
ii) ¿ Es convergente ?
iii) Hallar el término de la sucesión a partir del cual, en adelante, los términos de la misma
pertenecen al intervalo
iv) ¿ Cuántos términos de la sucesión quedan fuera de dicho intervalo ?
i) ¿ ?
Aplicando la definición
] œ g > 0 › n0 (g) / si n $ n0 < g ] ,
operando,
] ] 3 < 8n g - 2 g ] 3 + 2 g < 8n g ] 8n g > 3+2 g , n >
Bastará con tomar n0 > œ g > 0
Para dar un término de la sucesión , para indicar un término concreto, se acostumbra tomar :
, œ g > 0
Donde E(x) representa la parte entera de x ( mayor entero menor o igual que x )
ii) ¿ Convergente ?
Sí, pues , como hemos demostrado
iii) Hallar el término de la sucesión a partir del cual, en adelante pertenecen al intervalo
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA DL
Sea . Basta con interpretar el concepto de límite de una
sucesión y tomar . Sustituyendo en la expresión final del apartado i) tendremos :
A partir del 38º término de la sucesión, todos los términos de ésta, pertenecen al intervalo
. [ También se dice, que
la distancia de todos los términos de la sucesión,
a partir del 38º, al límite, es inferior a ]
iv) Si a partir del término 38º, los términos de la sucesión se encuentran en el intervalo
, fuera de este intervalo quedarán 37 términos. ( Los 37 primeros : a1, a2, ...,
a37 )
8. Sucesión divergente
Si una sucesión no es convergente ( No tiene límite finito), decimos que es divergente.
DIVERGENCIA
SUna sucesión diverge a infinito positivo, si, para todo número real positivo
M 0 ú+, podemos encontrar un número natural n0,dependiendo de M, de forma que œ n $ n0 ,
an > M
Escribimos :
[ Decimos que diverge a +4 ]
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EC
S De la misma forma, una sucesión diverge a menos infinito, si, para todo número real
negativo Q 0 ú-, podemos encontrar un número natural n0, dependiendo de Q, de forma que
œ n $ n0, an < Q
Escribimos :
[ Decimos que diverge a -4 ]
Propiedades.
6666 Una sucesión acotada superiormente no puede tener límite +4.
6666 Una sucesión acotada inferiormente no puede tener límite -4.
6666 Una sucesión no acotada superiormente y monótona creciente tiene límite +4.
6 Una sucesión no acotada inferiormente y monótona decreciente tiene límite -4.
Ejemplo 13:
diverge a + 4,
diverge a - 4,
diverge, pues no tiene límite.
diverge, pues no tiene límite.
diverge [ Los términos 'tienden' a '-1' y a '1'. Ninguno de los dos
valores satisface la definición de límite de dicha sucesión ]
Ejemplo 14: Probar que la sucesión diverge a +4, y encontrar a partir de qué
término, en adelante, los términos de la sucesión son mayores que 450.
6 Aplicando la definición :
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA ED
6 Para encontrar los términos mayores que 450, tomando M = 450 en la relación anterior:
a partir del término a16 los términos de la sucesión son mayores que 450.
9. Sucesión regular o sucesión de Cauchy
Una sucesión es una sucesión regular ó de Cauchy si :
Si en una sucesión convergente, a partir de un término en adelante, TODOS los términos se acercan al
valor del límite tanto como queramos, en una sucesión regular, los términos de la misma se acercan
entre sí tanto como deseemos.
Es sencillo demostrar que ambos conceptos son equivalentes.
es convergente <=> es regular
[ La propiedad anterior no es cierta en sucesiones de números racionales ]
10. Relaciones entre conceptos
Veamos algunas relaciones entre los conceptos estudiados:
<Monótona y Acotada Y Convergente
<Convergente Y Acotada
<Monótona Convergente. es monótona y no converge
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EE
<Acotada Convergente. es acotada y no converge
<Acotada Monótona. es acotada y no es monótona
<<<< Demostraciones:
±±±±Toda Sucesión Monótona y Acotada es Convergente
Supondremos una sucesión monótona creciente y, como es acotada, será acotada superiormente.
Así pues, sea el conjunto de todas las cotas superiores del
conjunto de términos de la sucesión. A … , pues, por hipótesis, la sucesión es acotada superiormente.
Sea a = Sup A [ el supremo de A ], es decir, la menor de las cotas superiores,
œ g > 0 consideremos ] a- g, a ], obviamente ›››› n0 / 0 ] a- g, a ], pues, de lo contrario, a - g
sería una cota superior de la sucesión menor que a, en contra de la hipótesis de que "a" es el supremo
y por tanto, la menor.
Y a - g < # a Y a - < g
Si n $ n0 , como la sucesión es monótona creciente :
Y an $ Y a - an # a - < g Y a - an < g
Como a $ an Y a - an =
Y Leyendo el texto subrayado c.q.d.
De manera análoga se demuestra si suponemos la sucesión monótona decreciente, siendo en este caso
a = inf (A) y A el conjunto de todas las cotas inferiores
±Toda Sucesión Convergente está acotada
Idea Gráfica ( sobre una sucesión creciente )
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EF
Y Acotaremos los términos de "fuera" de ] a - g, a + g [
Y Acotaremos los términos de "dentro" de ] a - g, a + g [
DEMOSTRACIÓN
Sea una sucesión convergente de números reales :
es decir, a - g < an < a + g
Fijemos un g > 0, le llamamos g1
Y Por la definición, a partir de un n0 en adelante, 6 los
términos están acotados superiormente por a + g1 e inferiormente por a - g1 6 están acotados.
Bastará con tomar
6 está acotada c.q.d.
11. Subsucesiones
Dada una sucesión , y una función , estrictamente creciente, llamamos subsucesión
de , a la sucesión definida mediante la aplicación compuesta .
Los términos de esta nueva sucesión se obtienen a partir de los términos de , siendo la nueva
sucesión . Por ejemplo, dada la sucesión /
, , una subsucesión suya, sería, por ejemplo,
, para cuya construcción hemos utilizado la función
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EG
, . .
Análogamente
No obstante la construcción anterior, se acostumbra a tomar la notación , siendo entonces
la notación para la subsucesión considerada, siendo, obviamente
n1 < n2 < ....< nk <......
Propiedades:
1. Si es una sucesión convergente, cualquier subsucesión extraída de ella es convergente, y tiene
el mismo límite.
2. De cualquier sucesión , podemos extraer una subsucesión que sea creciente o decreciente.
3. Teorema de Bolzano-Weierstrass
De toda sucesión acotada , puede extraerse una subsucesión convergente.
4. Si es una sucesión divergente con límite (resp. ), cualquier subsucesión extraída de
ella, es divergente y tiene límite (resp. ).
12. Sucesiones y funciones
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a ‘a’, excepto quizá en ‘a’, de manera que
.
Supongamos ahora una sucesión tal que:
1. Cada an pertenece al dominio de f
2. Cada an es distinto de a
3.
Entonces
Propiedad que nos va a permitir en numerosas ocasiones acudir a la resolución del correspondiente límite
funcional para poder hallar el límite de una sucesión cuya estructura se pueda adecuar a las hipótesis del
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EH
teorema anterior. En el apartado de problemas resueltos veremos aplicaciones del teorema anterior.
Una vez estudiados los conceptos de sucesión convergente y sucesión divergente, observamos que
podemos deducir si un número es o no límite de una sucesión, si la divergencia se produce a alguno de
los diferentes tipos de infinito estudiados, pero, obviamente, se nos plantea la dudadta de cómo
averiguar el límite de la sucesión, tanto en casos de convergencia como en casos de divergencia.
Para ello estudiaremos las técnicas más habituales para el cálculo del límite de una sucesión. Veamos,
en primer lugar, sus propiedades:
Las demostraciones de algunas de estas propiedades se pueden encontrar en el apartado de cuestiones
resueltas de este cuaderno.
13. Infinitésimos
< Una sucesión se llama infinitésimo si
Ejemplo 14: son infinitésimos
; ;
Todos ellos de muy sencilla demostración mediante la definición. Estos resultados van a resultar de enorme interés
a la hora de poder hallar el límite de una sucesión.
14. Infinitos
< Una sucesión se llama infinito si
Ejemplo 14: son infinitésimos
; ;
También en este caso resulta muy sencillo su demostración mediante la definición.
15. Límites de Sucesiones
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EI
Propiedades de los límites:
Si
S Suma:
S Producto :
S Exponente:
S Producto por un número:
S Cociente:
S Encaje :
S Función. , si f es continua.
El primer paso para obtener el límite de una sucesión, consiste en reemplazar 'n' por +4 en el término
general de la sucesión. [ Recuerda que +4 representa, en este caso, un número natural arbitrariamente
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EJ
grande ].
Si obtenemos como resultado un número finito ó cualquiera de los tipos de infinitésimo o infinito, ése
será el valor del límite.
Si, en cambio, obtenemos uno de los casos de indeterminación que veremos a continuación, deberemos
aplicar la técnica adecuada para resolverla. Veamos cuales son éstas.
Casos de Indeterminación:
; ; 0A4
4 - 4
14 ; 40 ; 04 ; 00
No lo son, en cambio :
+4 + 4 = 4 A 4 = 4
+4+4 = +4
[Debemos concedernos cierto ‘margen’ para los signos +4 o - 4, cuando escribamos simplemente 4 en
el cuadro anterior].
Realmente una indeterminación es un tránsito para poder aplicar una técnica adecuada para resolver el
límite. No pasar por este tránsito significa, en la mayoría de los casos, establecer una serie de operaciones
algebraicas y propiedades de difícil intuición para un estudiante medio.
Así pues nos concederemos una cierta licencia en la notación transitoria del cálculo de un límite, sin
significar ésto la más mínima pérdida de rigor en la exposición del tema.
15.2.1 Indeterminación
T.1
6 [ La indeterminación se origina por un cociente de expresiones polinómicas ]
Para resolver la indeterminación: Dividir numerador y denominador por la mayor potencia de "n"
[ Nota : Dividir numerador y denominador de una fracción por una misma expresión no altera su
valor]
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EK
Ejemplo :
Tanto como son infinitésimos.
A partir de ahora obviaremos estas situaciones tan elementales.
Otras ideas :
T.2.
[ La indeterminación se origina por un cociente de expresiones exponenciales ]
6 Operar previamente, dividir numerador y denominador por el mayor número elevado al mayor
exponente.
Ejemplo :
[ Recuerda : si a > 1 a +4 = +4
si *a * < 1 a +4 = 0
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA EL
si a > 1 a-4 = 0
si *a * < 1 a -4 = +4 ]
T. 3
6 Cálculo rápido : p, q 0 ù
Ejemplos : , ,
15.2.2 Teorema de Stolz
Se emplea en casos muy concretos de la indeterminación
es una SUCESIÓN MONÓTONA CRECIENTE, DIVERGENTE y
Se suele emplear la expresión :
Ejemplo 18: Hallar
[ Aplicando el criterio de Stolz ]
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FC
[ Simplificando ¡ Ojo ! observa como se simplifican los elementos del numerador, para que
tan solo quede n2, pues los términos hasta (n - 1)2 aparecen sumando y
restando. Este hecho causa cierta confusión, pues en ocasiones, como no se
escribe, hay que "intuirlo".]
[ NOTA: Veamos qué hubiera ocurrido si hubiéramos operado la indeterminación con la técnica
de dividir por la máxima potencia de n, en este caso n3 ]
[ Todos los términos del numerador tienden a cero, hay nAtérminos y n tiende a 4]
Por tanto, con esta técnica, no habríamos resuelto la indeterminación, sino que obtendríamos otra.
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FD
15.2.3 Indeterminación + 4444 - 4444
T. 1 6 Multiplicar y dividir por la expresión conjugada si la indeterminación se origina por raíces
cuadradas
[ Objetivo : Reducir la indeterminación original a otra del tipo ]
Ejemplo 19: Hallar
< Multiplicando y dividiendo por su expresión conjugada :
[ Operando : (A-B) (A+B) = A2 - B2 ]=
[ Dividiendo numerador y denominador por "n", dentro de la raíz dividiremos por n2 ]
¡ Un momento !
Más de uno, seguro que ha pensado que, en la resolución del límite, se ha pasado por alto el interior del
2º radical, pues : y no lo hemos tenido en cuenta. Aunque es muy sencillo,
recordemos que : =
Propiedad extensible a cualquier sucesión con término general representado por una expresión
polinómica en “n”.
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FE
T. 2 6 Se generaliza la técnica anterior para cualquier índice finito mediante la fórmula:
, p 0 ù, p $ 2
Cuyo desarrollo para p = 3 y p = 4 es :
Como norma, se toma para "p" el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales de las
expresiones que originan la indeterminación..
Ejemplo 20: Hallar
[ Operando y tomando las potencias más elevadas del desarrollo del denominador]
[ dividiendo por n2, dentro de la raíz cúbica por n6 ]
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FF
[ Observa la eficacia de proponer n6 + AAA, sin necesidad de obtener la expresión concreta, pues los tér-
minos señalados con puntos suspensivos en número finito, son de menor grado que n6 y al dividir por
n6 tenderán a cero ]
15.2.4 Indeterminación
Se origina este tipo de indeterminaciones al hallar el límite de sucesiones de la forma cuando:
( Y an no es la sucesión constante 1 )
( + 4 ó - 4, no importa )
Regla de Cálculo :
Ejemplo 21: Hallar
Aplicando la regla de cálculo : L = e8, donde :
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FG
¡ Comprendido !. Un consejo, verifica siempre que, en efecto, se trate de una indeterminación 14
resolviendo los límites auxiliares con la técnica apropiada.
15.2.5 Indeterminaciones
Técnica de la Raíz.
Si es una sucesión de números reales positivos, y
Se suele emplear la expresión :
Ejemplo 22: Hallar
[ Aplicando la Técnica de la Raíz, ]
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FH
Se generaliza la técnica anterior mediante la fórmula :
para cualquier índice del radical bn
15.3 Infinitésimos
Hemos definido un Infinitésimo, como una sucesión
Dos Infinitésimos y son equivalentes cuando .
Escribimos: """"n ---- $$$$n
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FI
15.5.1.- Tabla de Infinitésimos equivalentes
Sin necesidad de dar una demostración de cada uno de ellos, vamos a proponer una tabla con los
infinitésimos equivalentes utilizados con mayor frecuencia en el cálculo del límite de una sucesión.
Tabla de Infinitésimos equivalentes
Equivalencia Cond Ejemplo
sen "n - "n si "n 6 0
arc sen "n - "n si "n 6 0
tg "n - "n si "n 6 0
arc tg "n - "n si "n 6 0
1 - cos "n - si "n 6 0
cos "n - 1 - - si "n 6 0
ln ( 1 + "n ) - "n si "n 6 0
ln ( "n ) - "n - 1 si "n 6 1
si a > 0
ln, como siempre, logaritmo Neperiano.
15.5.2 Técnica de sustitución de infinitésimos
¿ Cómo operar con un infinitésimo equivalente ?.
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FJ
De una forma muy concreta y sencilla. Si en la expresión del límite de una sucesión aparece un
infinitésimo multiplicando, dividiendo o como exponente pero no sumando ni restando, ni formando
parte de una suma o resta, podemos reemplazarlo por su infinitésimo equivalente para seguir
resolviendo el límite de una manera más sencilla, si es que ello conviene para una correcta resolución
del límite.
Veamos :
Ejemplo 24: Hallar
Ejemplo 25: Hallar
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FK
15.4 Infinitos
Llamamos infinito, a una sucesión [ +4, -4 no importa ]
Por ejemplo, son infinitos, pues:
; ;
Dos infinitos son equivalentes .
Escribimos : """"n ---- $$$$n
Ejemplo 23:
Tabla de infinitos equivalentes
EQUIVALENCIA EJEMPLO
ap np + ap-1 n
p-1 + a1 n + a0 - ap np p
0 ù
3n4 + n2 - 2n + 4 - 3n4
n! - [ STIRLING ]
Técnica de Sustitución de infinitos
Si en la expresión del límite de una sucesión aparece un infinito multiplicando, dividiendo o como
exponente pero no sumando ni restando, ni formando parte de una suma o diferencia, podemos
reemplazarlo por su infinito equivalente para seguir resolviendo el límite.
En la sección de problemas resueltos, propondremos su utilización.
15.5 Otras técnicas
15.5.1 Técnica de la media aritmética
Sea una sucesión /
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA FL
Ejemplo :
Como an = 2n
= [ Técnica de la media aritmética ] =
15.5.2 Técnica de la media Geométrica
Sea una sucesión / creciente y positiva
Y
15.5.3 Técnica de la integral
Sea una sucesión cuyo término general es de la forma : ,
si f(n, j) es una función homogénea de grado -1 y existe
En la sección de problemas resueltos, daremos ejemplos de estas dos últimas técnicas.
15.5.4 infinitésimoAAAAacotada
Si es un infinitésimo (sucesión cuyo límite vale cero) y una sucesión acotada
Y
[ El límite del producto de dos sucesiones, una de ellas acotada y la otra que tiende a cero, es cero]
Ejemplo :
Como
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA GC
15.5.5 Indeterminaciones 04 , 40 , 00
Para las dos últimas indeterminaciones, podemos también utilizar la técnica de la raíz.
Podemos dar una técnica general aplicando nuestros conocimientos de logaritmos.
Así, como ab = eb A ln a Y
Ejemplo : Hallar
Como Indeterminación.
Aplicando la fórmula anterior :
[ Dividiendo por ln (n), en el exponente ]
XB
Apuntes
Sucesiones
k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá
gxÅt M fâvxá|ÉÇxá wx aØÅxÜÉá extÄxáA GD
16. Sugerencias finales
Para resolver un límite, en primer lugar debemos reemplazar 'n' por infinito en la expresión del límite.
Si obtenemos una indeterminación, hay que pensar cual será la técnica más apropiada para su
resolución.
Una vez aplicada, si es la correcta, sigue, procurando saber en cada fase del mismo, el tipo de
indeterminación que se presenta para poder aplicar la técnica adecuada.
Si se complica excesivamente, regresa al punto de decisión anterior, y aplica otra técnica.
No obstante, siempre hay un margen para la propia creación e intuición en la resolución del mismo,
pues las operaciones planteadas no son exclusivas de un determinado tipo de indeterminación.
Buenas ideas :
S Averiguar el tipo de indeterminación
S Buscar infinitésimos equivalentes y sustituirlos
S Separar en varios límites
S Operar con aseo, limpiar y ordenar el límite en cada paso de su resolución.