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5/9/2018 Apuntes Ant - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍAAPUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL

SEMESTRE 2009-II

Prof. Ing. Alicia Pineda Ramírez



Algebra Lineal

ÁLGEBRA LÍNEAL

MÉTODO DE EVALUACIÓN

• La exención se otorgará a los alumnos que acrediten el curso con calificación aprobatoriamínima de seis (6).

• Para poder presentar los exámenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deberáentregar las series correspondientes a los capítulos que comprenda cada examen. Esta serietiene un valor del 10% + la calificación del examen.

• Se dejarán tareas por clase, su promedio tendrá un valor del 25%, NO SE ACEPTAN TAREASATRASADAS.

• Lectura de dos libros en el semestre, para evaluarlos se necesita calificaciónAPROBATORIA.

• En caso de no quedar exentos se tendrá la posibilidad de presentar los dos exámenes finales,siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final será promediado conparciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso.Para este promedio se considerarán los siguientes porcentajes.

Examen final 50%Exámenes parciales 40%Tareas 10%

ESCALA DE CALIFICACIONES

0.0 – 5.9 --- 56.0 – 6.4 --- 6

6.56.6 – 7.4 --- 7

7.57.6 – 8.4 --- 8

8.58.6 – 9.4 --- 9

9.5

9.6 – 10 --- 10

En caso de no aprobar el primer examen final, la calificación correspondiente será la obtenida en elsegundo examen final.

Los oyentes serán evaluados con el segundo examen final colegiado.

Fechas de exámenes.

1er. Final 3 de Junio 7:00 hrs.2do. Final 10 de Junio 7:00 hrs.

2



Algebra Lineal

CAPÍTULOS

I. Matrices y determinantesII. Estructuras AlgebraicasIII. Espacios Vectoriales

IV. Transformaciones linealesV. Espacios con Producto Interno

BIBLIOGRAFÍA

1. Lay, David C.Álgebra Lineal y sus Aplicaciones, 2da. Edición, Prentice Hall, 2001

2. Nakos. George y Joyner, DavidÁlgebra Lineal con Aplicaciones, Thomson Editores, 1999

3. Solar G., Eduardo y Speziale, LedaApuntes de Álgebra Lineal, Editorial Limusa, 1996

4. Anton H.Introducción al Álgebra Lineal, Edit. Limusa, 2003

5. Godínez C, Héctor y Herrera C., AbelÁlgebra Lineal, teoría y ejercicios, Facultad de Ingeniería 1987

Álgebra Lineal : es la parte de la matemática que estudia los espacios vectoriales y los conceptos

relacionados con ellos (matrices, espacios y formas algebraicas), así como las aplicaciones a lateoría de sistemas de ecuaciones lineales y al comportamiento algebraico de las funciones.

3



a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

1 1 1 2 1

21 22 2

1 2

...

...

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

a a a n1 1 1 2 1

a

a

a

ij

j

mj

2

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

Algebra Lineal CAPITULO I.

“MATRICES Y DETERMINANTES”

I.1 Definición de matriz y de igualdad de matrices. Operaciones con matrices: adición,multiplicación por un escalar y multiplicación. Propiedades elementales de las operaciones conmatrices.

MATRIZ: Es una “tabla” o “arreglo rectangular” de elementos reales o complejos.

Para trabajar con matrices se ha desarrollado una notación especial. La posición de unelemento en una matriz se describe al dar el renglón y la columna en la que éste se encuentra.El elemento en el renglón i y la columna j de una matriz A se denota como aij .El primer subíndice indica el renglón y el segundo subíndice indica la columna.

Una matriz A de m x n es un arreglo de la forma:

A =

En forma abreviada, la matriz de la definición anterior puede expresarse como:

aij Donde i = 1, 2, 3, …, m y j = 1,2,3,…, n.

Al arreglo horizontal: se le conoce como el primer renglón de

la matriz, así hasta el i-ésimo renglón de la matriz.

En forma análoga, el arreglo vertical

Se le conoce como la j-ésima columna.

Comúnmente se representa a las matrices con letras mayúsculas y a sus elementos con letrasminúsculas.

Una matriz de orden 1 x n es conocida como “matriz renglón” o “vector renglón” y una matriz deorden n x 1 es conocida como “matriz columna” o “vector columna”.

EJEMPLO:

El desarrollo de una teoría algebraica de matrices se inicia al definir el concepto de igualdad dematrices.

4



A a y B b i m j nij ij= = = =para y; , , ... , , , ,... ,1 2 3 1 2 3

c a bij ij ij= +

aij

eij

e a i m j nij ij= = =α ; ,... , ,.. . ,para y1 1

Algebra Lineal IGUALDAD DE MATRICES:Se dice que dos matrices son iguales cuando tienen los mismos elementos y éstos se encuentrandispuestos de la misma manera en ambos arreglos. Por lo tanto A = B si aij = bij donde

EJEMPLO:

OPERACIONES CON MATRICES.ADICIÓN.La primera de las operaciones con matrices y también la más sencilla, es la adición. Esta operaciónpuede efectuarse cuando las matrices son del mismo orden y el resultado se obtiene sumando loselementos correspondientes de ambas matrices. Si las matrices no son del mismo tamaño u orden,se dice que las matrices “no son conformables” y no se pueden sumar, y en consecuencia lasuma no existe

Si C = A + B, entonces

EJEMPLO.

La adición de matrices, satisface las propiedades que se enuncian a continuación.

TEOREMASi A, B y C son matrices de mxn cuyos elementos son números complejos, entonces:

1) Asociatividad; A + (B + C) = (A + B) + C2) Conmutatividad; A + B = B + A3) Elemento idéntico; Existe una matriz 0 de mxn tal que A + 0 = A4) Elemento inverso; Existe una matriz –A de mxn tal que A + (-A) = 0

A la matriz 0, que es una matriz de mxn cuyos elementos son todos nulos, se le conoce como“matriz nula” o “matriz cero” de mxn.

A la matriz –A, que es una matriz de mxn cuyos elementos son los simétricos de los elementos deA, se le conoce como “la simétrica de A” o la “negativa de A”

Auxiliándonos de la definición anterior, se pueden definir la Sustracción de Matrices.

Para obtener la diferencia A – B, bastará con restar los elementos de la matriz A con los elementoscorrespondientes de la matriz B.

A – B = A + (-B)

EJEMPLO:

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR.En ocasiones, se requiere multiplicar una matriz por un número, al que genéricamente se le conocecomo “escalar”. La multiplicación del escalar por una matriz A, es la matriz que se obtiene al

multiplicar cada uno de los elementos de A por el escalar. La matriz resultante será del mismoorden que la matriz A.

Sea A = una matriz de mxn con elementos en C, y α Є C. El producto αA

Es una matriz E = de mxn, definida por

EJEMPLO:

5



a a ai i in1 2

b

b

b

j

j

nj

1

2

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

c a b a b a bij i j i j in nj= + + +1 1 2 2

c a bij ik

k

n

kj =

=

∑1

Algebra Lineal

La multiplicación por un escalar satisface las siguiente propiedades.

TEOREMA:Si A y B son matrices de mxn con elementos en C y α, β Є C, entonces:

1) α ( A + B) = αA + αB2) (α + β) A = αA + βA3) α ( βA ) = ( αβ ) A

Se define –A como la matriz (-1)A. Esto significa que para negar una matriz, se multiplica cadaelemento de la matriz por -1.

De aquí se tiene que A – B = A + (-1) B

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

La manera más natural de multiplicar dos matrices A y B parecería ser multiplicar elementoscorrespondientes de A y de B. Sin embargo, se ha encontrado que ésta no es la manera más útilpara multiplicar matrices. Los matemáticos han dado una regla alternativa que consiste enmultiplicar, de manera sistemática, los renglones de la primera matriz A por las columnas de lasegunda matriz B. Esta regla se establece al dar un método para obtener un elemento arbitrario de

la matriz producto AB.

En general si A y B son dos matrices tales que el número de columnas de A coincide con elnúmero de renglones de B, el elemento que se encuentra en la posición correspondiente al renglóni y la columna j de la matriz producto AB, se obtiene sumando los productos de los elementos delrenglón i de la matriz A por sus elementos correspondientes en la columna j de la matriz B.

Si el número de columnas de A no es igual al número de renglones de B, se dice que el productono existe, las matrices no son conformables para el producto de matrices.

Sea A una matriz de n columnas y B una matriz de n renglones. El renglón i de A es

Y la columna j de B es .

Si C = AB, entonces

Generalizando esto es:A = [ aij ] m x n y B = [ bij ] de n x q, el producto AB es una matriz C = [ cij ] de m x q definida por:

EJEMPLO.

La multiplicación de matrices no es conmutativa; es decir, no puede establecerse que para dosmatrices A y B (conformables para el producto AB) se tenga que AB = BA

6



ń

A B AB

m x r r x n m x n

eriores coinciden

exteriores dan el tama o de AB

=

A AA

int

Algebra Lineal Puesto que AB y BA representan en general matrices diferentes, es importante hacer énfasis en elorden en que se multiplican. Así, en el producto AB se dice que la matriz A “premultiplica” a lamatriz B; mientras que en el producto BA se dice que A “postmultiplica” a B.

En algunos casos, la multiplicación puede efectuarse en un sentido, digamos AB, pero no en elotro, es decir BA. En otros casos la multiplicación puede efectuarse tanto en un sentido como en elotro, pero los resultados pueden ser diferentes o iguales según las matrices de que se trate.

Cuando dos matrices Ay B son tales que AB = BA se dice que son “permutables” (también sueledecirse que “conmutan”).

EJEMPLO.

Orden de una matriz producto:

Sea A una matriz de m x r y B una matriz de r x n. A tiene r columnas y B tiene r renglones,entonces AB existe. El primer renglón de AB se obtiene al multiplicar el primer renglón de A por cada una de las columnas de B. Por lo tanto, el número de columnas de AB es igual al número decolumnas de B. La primera columna de AB es el resultado de multiplicar cada uno de los renglonesde A por la primera columna de B; entonces el número de renglones de AB es igual al número derenglones de A. AB será una matriz de m x n.

Esto se representa como sigue:

EJEMPLO:

La multiplicación de matrices satisface la ley asociativa que establece el siguiente enunciado.

TEOREMA:Sean A, B y C matrices de orden mxn, nxp y pxq, respectivamente, cuyos elementos son númeroscomplejos, entonces:

A (BC) = (AB) C

Consideradas simultáneamente, la adición y la multiplicación de matrices tienen las propiedadesque se enuncian a continuación, conocidas como leyes distributivas de la multiplicación sobre laadición.

TEOREMA:Sean A, B y C matrices de orden mxn, nxp, y nxp, respectivamente, y D, E y F matrices de mxn,

mxn y nxp, respectivamente, cuyos elementos son números complejos; entonces:1) A (B + C) = AB + AC2) (D+ E) F = DF +EF

7



diagonal principal

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

\

=

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

11 12 1

21 22 2

1 2

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

=

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

11 12 1

21 22 2

1 2

triangulo superior

triangulo inferior

a i jij tales que <

a i j ij tales que >

A aij =

a a a

a a

a

11 12 13

22 23

33

0

0 0

L

N

MMM

O

Q

PPP

Algebra Lineal I.2 Matrices cuadradas: triangulares y diagonales y sus propiedades. Definición de traza de unamatriz y sus propiedades. Matriz identidad.

MATRICES CUADRADAS: TRIANGULARES Y DIAGONALES.Las matrices cuadradas desempeñan un papel muy importante en la teoría de matrices,especialmente en lo que se refiere a sus aplicaciones. Es por ello que se establece ciertaterminología especial para este tipo de matrices.

Si el número de renglones m es igual al número de columnas n, se dice que la matriz A es unamatriz cuadrada.

En una matriz cuadrada, los elementos que tienen los dos subíndices iguales, es decir, a11. a22 , …,ann, forman la diagonal principal. Dichos elementos se encuentran ubicados en lo quegeométricamente sería una de las diagonales del cuadrado formado por la matriz (la diagonal que vade izquierda a derecha y de arriba hacia abajo)

Es una matriz de orden nxn

El “triángulo superior”, está constituido por lo elementosEstos elementos se encuentran situados “por arriba” de la diagonal principal.

El “triángulo inferior” constituido por los elementosEstos elementos se encuentran situados “por debajo” de la diagonal principal.

Los tipos especiales de matrices cuadradas que veremos en esta sección se refieren a lanaturaleza y disposición de los elementos de acuerdo con estas tres regiones.

MATRICES TRIÁNGULARES.

Sea una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que:

1) A es triangular superior si aij = 0 para i > j2) A es triangular inferior si aij = 0 para i< j

De acuerdo a esta definición, en una matriz triangular superior los elementos correspondientes altriángulo inferior son todos nulos. En consecuencia, en una matriz de este tipo sólo puedenhallarse elementos distintos de cero en el triángulo superior y en la diagonal principal.

8



a

a a

a a a

11

21 22

31 32 33

0 0

0

L

N

MMM

O

Q

PPP

a i j

diag a a a

ij

nn

= ≠0

11 22

para y se representa con:

( , ,..., )

α

α

α

0 0

0 0

0 0

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

Algebra Lineal

Por el contrario, en una matriz triangular inferior los elementos del triángulo superior deben ser nulos.

Con relación a las matrices triangulares, superiores e inferiores se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA:

Si A y B son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y α Є C, entonces:

1) A + B es triangular superior (inferior)2) αA es triangular superior (inferior)3) AB es triangular superior (inferior)

MATRIZ DIAGONALUna matriz que es triangular superior e inferior a la vez; esto es, una matriz cuyos elementossituados fuera de la diagonal principal son todos nulos, recibe el nombre de matriz diagonal; dichode otra forma, es una matriz en la que todos los elementos, fuera de la diagonal principal son cero.

Sea A = [ aij ] una matriz de orden n x n con elementos C. Se dice que A es una matriz diagonal si

EJEMPLO:

Los cálculos para efectuar operaciones con matrices se simplifican notablemente cuando se tratade matrices diagonales, especialmente la multiplicación.

TEOREMA:Si A y B son dos matrices diagonales tales que A = diag (a11, a22, … , ann) y B = diag (b11, b22, …,

bnn) y α Є C, entonces:

1) A + B = diag (a11 + b11 , a22+b22, …, ann+bnn)2) αA = diag(αa11, αa22, ..., αann)3) AB = diag(a11b11, a22b22, ..., annbnn)

Un caso particular de matriz diagonal es aquel en que todos los elementos de la diagonal principalson iguales. A una matriz de este tipo se le conoce como “matriz escalar”; es decir, una matriz A = [aij) de nxn con elementos en C se dice que es una matriz escalar si aij = 0 para i ≠ j y aii = α.

Así una matriz escalar es de la forma:

9



tr A aii

i

n

b g =

=

∑1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

L

N

MM

MMMM

O

Q

PP

PPPP

Algebra Lineal TRAZA DE UNA MATRIZ.Se conoce como traza de una matriz cuadrada al número que se obtiene sumando los elementosde su diagonal principal.

DEFINICIÓN.

Sea A = [ aij ] una matriz de orden nxn con elementos en C. Se llama traza de A, y se representacon tr A, al número:

EJEMPLO.

PROPIEDADES.

TEOREMA:Si A y B son dos matrices de nxn con elementos en C y α Є C:

1) tr (A + B) = (tr A) + (tr B)

2) tr (αA) = α(tr A)3) tr (AB) = tr (BA)

MATRIZ IDENTIDAD.Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que todo elemento diagonal es 1.

Se conoce como “matriz identidad” de orden n a una matriz cuadrada de orden n que es de laforma.

Como puede verse, esta matriz está formada con unos y ceros únicamente. Los elementos igualesa uno son aquello en que coinciden el número del renglón y el de la columna donde se encuentran,y todos los demás elementos son iguales a cero.

DEFINICIÓN:Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada In = [ δij ], tal que

δij = 1, si i = j; δij = 0, si i ≠ j.

Al símbolo δij de la definición anterior se le conoce como “delta de Kronecker”.

La matriz identidad juega un papel muy importante en el álgebra de matrices, ya que constituye unelemento idéntico para la multiplicación. Las matrices cero juegan un papel semejante al del ceroen los números reales, y las matrices identidad juegan un papel semejante al del 1.

10



Algebra Lineal TEOREMA:Sea A una matriz de orden m x n y 0mn la matriz cero de m x n. Sea B una matriz cuadrada de n x n, On e In las matrices cero e identidad de n x n. Entonces:

A + 0mn = Omn + A = AB0n = 0nB = 0n

BIn = InB = BImA = A

EJEMPLO:

I.3 Definición y propiedades de la inversa de una matriz. Cálculo de la inversa por transformacioneselementales.

DEFINICION Y PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.No toda matriz cuadrada tiene inversa. A las matrices que tienen inversa les llamamos “nosingulares” (regular) y a las que no tienen inversa “singulares”

DEFINICION:

Sea A una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es no singular si existe A-1, en casocontrario se dice que A es singular.

En cuanto a la unicidad, la inversa de una matriz cuadrada (si existe) es única.

PROPIEDADES.

TEOREMA:Si A y B son dos matrices no singulares del mismo orden y λ Є C, entonces:

1) A-1 es única2) (A-1)-1 = A3) (AB)-1 = B-1 A-1

4) (λA)-1 = λ-1A-1, si λ ≠ 0.

NOTA: El producto de dos matrices no singulares es una matriz no singular.

CALCULO DE LA INVERSA POR TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

Existe un método práctico que se basa en el empleo de las transformaciones elementales por renglón. Este método consiste en aplicar una sucesión de transformaciones elementales a la matrizA, hasta obtener la matriz identidad, y aplicar esta misma sucesión de transformaciones a la matrizIn con lo que se obtiene A-1. Si no es posible transformar la matriz A en la matriz identidad entoncesno existe A-1.

Transformaciones elementales:- Intercambiando renglones- Sumando renglones- Multiplicar el renglón por un escalar - Multiplicar el renglón por un escalar y sumando el resultado a otro renglón.

EJEMPLOS:

11



A I I AnT T

nk 1 1

→ → −

Algebra Lineal

OBTENIENDO LA INVERSA.

Sea A una matriz de n x n. 1.- Se adjunta a A la matriz identidad del mismo orden In, para formar la matriz[A│In].2.- Se calcula la forma escalonada reducida de [A│In].Si la forma escalonada reducida es de la forma [In│B], entonces B es la inversa de A.Si la forma escalonada reducida no es de la forma [I n│B, debido a que la primera submatriz de n x n no es In, entonces A no tiene inversa.

Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo a la matriz A y del lado derecho a la matriz identidadIn. Se efectúan entonces (en ambas matrices simultáneamente) las transformaciones necesariaspara obtener en el lado izquierdo la matriz In, y al finalizar el proceso se obtiene en el lado derechoa la matriz A-1.

Esquematizando:

EJEMPLOS:

I.4 Transposición de una matriz y sus propiedades. Matrices simétricas, antisimétricas yortogonales. Conjugación de una matriz y sus propiedades. Matrices reales e imaginarias.Transposición-conjugación de una matriz y sus propiedades.

TRANSPOSICIÓN DE UNA MATRIZ Y SUS PROPIEDADES.La transposición es una operación que transforma una matriz en otra, llamada su transpuesta,cuyos renglones son las columnas de la matriz original y cuyas columnas son los renglones de lamatriz original.

DEFINICIÓN:

Sea A = [ aij ] una matriz de m x n con elementos en C. Se llama transpuesta de A a la matriz de n x m AT = [cij ] tal que:

Cij = a ji

De acuerdo con esta definición, el elemento correspondiente al renglón i y columna j de A T es elque se encuentra en el renglón j y columna i de la matriz A.

EJEMPLO:

PROPIEDADES.

TEOREMA:

Si A y B son dos matrices con elementos en C y α Є C, entonces:1) (AT)T = A2) (αA)T = α AT

3) (A + B)T = AT + BT, A + B puede obtenerse.4) (AB)T = BTAT, si AB puede obtenerse.

MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS.

12



a aij ji =

a aij ji = −

a a aii ii ii = − ⇒ = 0

Algebra Lineal

La transposición da lugar a la definición de dos tipos especiales de matrices cuadradas.

DEFINICIÓN.Sea A una matriz de n x n con elementos en C. Se dice que:

1) A es simétrica si AT = A2) A es antisimétrica si AT = -A

Las características que tienen los elementos de una matriz simétrica y antisimétrica son lassiguientes:

A = AT en consecuencia:

Es decir que los elementos “simétricos” con respecto a la diagonal principal son iguales.

EJEMPLO:

De manera similar, para las matrices antisimétricas se tiene:A = -AT esto es:

Es decir que los elementos “simétricos” con respecto a la diagonal principal deben ser uno elnegativo del otro. Además, de la expresión anterior se tiene, para i = j, que:

Por lo que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos.

EJEMPLO.

PROPIEDADES.

TEOREMA:Si A y B son dos matrices simétricas (antisimétricas) de nxn y α Є C, entonces:

1) A + B es simétrica (antisimétrica)2) αA es simétrica (antisimétrica)

TEOREMA:Si A es una matriz de nxn con elementos en C, entonces:

1) A + AT es simétrica2) A – AT es antisimétrica.

MATRIZ ORTOGONAL.

Una matriz A no singular se dice que es ortogonal si AT = A-1.

EJEMPLO.

13



A c c aij ij ij = =tal

1

2

3

4

)

)

) ,

,

si A + B puede obtenerse

) si AB puede obtenerse.

A A

A A

A B A B

AB A B

F H I K =

=

+ = +

=

α α

A A= A A= −

A A+

A A−

Algebra Lineal

CONJUGACIÓN DE UNA MATRIZ Y SUS PROPIEDADES.

La conjugación transforma una matriz en otra, llamada su conjugada, cuyos elementos son losconjugados de los elementos correspondientes en la matriz original, como lo establece la siguientedefinición.

DEFINICIÓN.

Sea A = [aij] una matriz mxn con elementos en C. Se llama conjugada de A a la matriz de mxn

EJEMPLO.

PROPIEDADES.

TEOREMA:Si A y B son dos matrices con elementos en C y α Є C, entonces:

MATRICES REALES E IMAGINARIAS.

La conjugación también da lugar a dos tipos especiales de matrices.

DEFINICIÓN.Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Se dice que:

1) A es real si2) A es imaginaria si

Los elementos de una matriz real, en efecto son números reales, y el conjugado de un número real,es el mismo número real.

Para una matriz imaginaria sus elementos son imaginarios, y el conjugado de un númeroimaginario es el negativo de ese número.

PROPIEDADES.

TEOREMA:Si A y B son dos matrices reales (imaginarias), entonces:

1) A + B es real (imaginaria), si A+B puede obtenerse.2) AB es real (real), si AB puede obtenerse.

TEOREMA:Si A es una matriz de mxn con elementos en C, entonces:

1) es real2) es imaginaria.

14



A AT ∗

= d i

A A AT T ∗

= =d i e j

1

2

3

4

)

)

) ,

) ,

si A +B puede obtenerse

si AB puede obtenerse.

A A

A A

A B A B

AB B A

∗∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

=

=

+ = +

=

e j

b gb gb g

α α

Algebra Lineal

TRANSPOSICIÓN-CONJUGACIÓN DE UNA MATRIZ Y SUS PROPIEDADES.

Se conoce como transposición-conjugación a la aplicación sucesiva de las dos operacionesdefinidas anteriormente. A la matriz que se obtiene se le llama conjugada-transpuesta de la matrizoriginal.

DEFINICIÓN.Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Se llama conjugada transpuesta de A, y serepresenta con A*, a la matriz de nxm definida por:

El orden es que se efectúen las operaciones de transposición y conjugación es indiferente, como loseñala el siguiente teorema.

TEOREMA.Si A es una matriz de mxn con elementos en C, entonces:

EJEMPLO:

PROPIEDADES.

TEOREMA.Si A y B son dos matrices con elementos en C y α Є C, entonces:

I.5 Ecuaciones matriciales y su resolución.

Considerando la siguiente ecuación entre matrices:

AX + B = 3X, donde X es la matriz incógnita.

En ciertos casos estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones matriciales, pueden resolversesiguiendo el mismo procedimiento que se emplea para resolver ecuaciones planteadas con

números, esto es, tratando de “despejar” la incógnita en términos de los otros elementos queintervienen en la ecuación. Sin embargo, las propiedades de las operaciones con matricespresentan algunas diferencias con respecto a las operaciones con números, por lo que se debetener especial cuidado en que los pasos efectuados en el despeje son válidos en el álgebra dematrices.

Siguiendo el ejemplo anterior y dando valores a A y B.

EJEMPLO:

15



Algebra Lineal

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Otro ejemplo de ecuación matricial, de uso frecuente en las aplicaciones, los constituye la llamadarepresentación matricial de un sistema de ecuaciones.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede quedar representado por laexpresión:

AX = B donde A es una matriz de mxn que se conoce como “matriz de coeficientes” del sistema,X es una matriz de nx1 conocida como “vector de incógnitas” y B es una matriz de mx1 conocidacomo “vector de términos independientes”

EJEMPLO:

RECORDATORIOS:

- No siempre se puede sumar o multiplicar matrices, puesto que éstas deben ser conformables para la operación a efectuar. Como consecuencia de ello podemos

encontrarnos con ecuaciones matriciales “mal planteadas”, en el sentido de que no puedanefectuarse las operaciones propuestas.

- La multiplicación de matrices no es conmutativa. AX = B y querer despejar X.- El producto de dos matrices diferentes de la matriz cero puede ser igual a la matriz cero.- La ley cancelativa para la multiplicación de matrices tiene una aplicación más restringida.

- Hay ecuaciones matriciales las cuales no pueden resolverse empleando el procedimiento antesdescrito y que, sin embargo, tienen solución. Para estos casos queda el recurso de plantear unsistema de ecuaciones lineales y resolverlo empleando el método de Gauss.

Método de Gauss: consiste en aplicar a un sistema de m ecuaciones con n incógnitas (o a lamatriz que lo representa) una sucesión de transformaciones elementales (transformacioneselementales por renglón) hasta llevarlo a la forma escalonada.

Si durante el proceso se obtiene una ecuación nula:0x1+0x2+0x3+... + 0xn = 0 se desecha, puesto que cualquier conjunto de n valores esuna solución a la misma.

Si se obtiene una ecuación de la forma:0x1+0x2+0x3+ ... + 0xn = b; b≠0 es un sistema incompatible, ya que dicha ecuación no tienesolución.

EJEMPLO:

16

Sistemas de

Ecuaciones

Lineales

Incompatibles

(no t iene solución)

Compatibles

(tienen solución)

Determinados

(una sola solución)

Indeterminados

(más de una solución)

R

S||

T||

R

S

||||

T

||||



a a

a aa a a a

11 12

21 2211 22 12 21= −

Algebra Lineal

I.6 Definición de determinante y sus propiedades. Determinante de una matriz triangular. Cálculode determinantes: desarrollo por cofactores y método de condensación.

DEFINICIÓN DE DETERMINANTE Y SUS PROPIEDADES.

La forma de representar al determinante de una matriz consiste en escribir sus elementos tal ycomo aparecen en el arreglo, pero reemplazando los paréntesis rectangulares por barras verticalespara indicar que se trata de un determinante.Así, para la matriz anterior se tiene:

Expresión que puede considerarse como la definición del determinante de orden dos.

Es importante resaltar que una matriz es un arreglo de números mientras que su determinante esun número.

EJEMPLO:

DETERMINANTE:1) Es la suma de n! productos, la mitad de ellos con signo + y la mitad con signo -.2) Cada uno de los productos consta de n factores.3) En cada producto hay un elemento de cada renglón y un elemento de cada columna.

Determinante de orden tres, se define como sigue.

det A

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a ab g = = + + − − −

1 1 1 2 1 3

21 22 23

31 32 33

1 1 22 33 1 2 23 31 1 3 21 32 1 3 22 31 1 2 21 33 1 1 23 32

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de tres elementos de la matriz diagonal.Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo), y tres con signonegativo (cambian su signo)

EJEMPLO:

PROPIEDADES.Las principales propiedades de los determinantes pueden ser consideradas en dos grupos: lasprimeras se refieren a las condiciones bajo las cuales se puede concluir que un determinante esnulo mediante la simple inspección de las líneas de la matriz (renglones y columnas), así como alos efectos producidos en el determinante al efectuar transformaciones elementales como las

líneas de la matriz. El segundo grupo se refiere a las propiedades del determinante en relación conlas operaciones definidas para las matrices.

TEOREMA:Sea A= [aij] una matriz de nxn con elementos en C.

1) Si los elementos de una línea de A (renglón o columna) son todos nulos, entonces det A =0.

17



det A aii

i

n

=

=

∏1

a a

a aa a a a

11 12

21 2211 22 21 12= −

Algebra Lineal 2) Si B se obtiene de A multiplicando los elementos de una de sus líneas por un número λ Є

C, entonces det B = λ det A.3) Si B se obtiene de A intercambiando dos líneas paralelas (dos renglones o dos columnas),

entonces det B = - det A.4) Si dos líneas paralelas de A son proporcionales entonces det A = 0.5) Si B se obtiene de A sumando a los elementos de una línea los elementos de una línea

paralela multiplicados por un número λ Є C, entonces det B = det A.

TEOREMA:Si A = [aij] y B= [bij] son dos matrices de nxn con elementos en C, entonces:

1) det A = det AT

2) det (λA) = λn det A3) det (AB) = (det A) (det B)

EJEMPLO.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TRIANGULAR.

El cálculo del determinante de una matriz triangular resulta particularmente sencillo, ya que su valor es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

TEOREMA:Si A = [aij] es una matriz triangular superior (inferior) entonces:

EJEMPLO.

CÁLCULO DE DETERMINANTES: REGLA DE SARRUS, DESARROLLO POR COFACTORES YMETODO DE CONDENSACIÓN.

REGLA DE SARRUS:Es el método más sencillo para el cálculo de determinantes. Este método se emplea para calcular determinantes de segundo y tercer orden exclusivamente.

Para calcular el valor de un determinante de segundo orden empleando la regla de Sarrus, seefectúa el producto de los elementos de la diagonal principal y a éste se resta el producto de loselementos de la “diagonal secundaria”, esquematizando:

Como se ve, el resultado que arroja la regla de Sarrus coincide con la definición de determinantede segundo orden.

EJEMPLO.

Para calcular el valor de un determinante de tercer orden empleando la regla de Sarrus, se efectúael producto de los elementos de la diagonal principal y de las dos “diagonales paralelas” a ella; eltérmino “diagonales paralelas” se debe a que, cuando se emplea el artificio que consiste en volver a escribir los dos primeros renglones a continuación del tercero, los elementos en cuestiónaparecen formando “diagonales” paralelas a la principal. A la suma de dichos productos se restanlos productos de los elementos de la diagonal secundaria y de las dos “paralelas” a ella.

18



a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 21 3 2 13 31 2 3 12 31 2 2 13 11 32 23 21 12 33

11 12 13

21 22 23

= + + − − −

det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − + + −11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31

det ( ) ( ) ( ) A a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + + −11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

( )a a a aa a

a a22 33 23 32

22 23

32 33

− =

Algebra Lineal

En forma esquemática:

EJEMPLO.

También se pueden agregar las dos primeras columnas a la derecha y formar losproductos de los elementos que atraviesas las flechas. A los productos de las flechas quevan de la izquierda superior a la derecha inferior se les asigna el signo positivo y a losotros el signo negativo.

a a a

a a a

a a a

a a

a a

a a

1 1 1 2 1 3

21 22 23

31 32 33

1 1 1 2

21 22

31 32

EJEMPLO.

Es importante subrayar que la regla de Sarrus sólo se aplica a determinantes de segundo y tercer orden. En ocasiones se pretende erróneamente “generalizar” esta regla para calcular determinantes de orden mayor; sin embargo se puede comprobar fácilmente que al aplicar la “regla

de Sarrus” a un determinante de orden superior al tercero se obtiene un desarrollo que no coincidecon el de la definición.

DESARROLLO POR COFACTORES.Este método es aplicable al cálculo de determinante de cualquier orden y constituye el fundamentode todos los métodos de aplicación práctica.

Considerando nuevamente el desarrollo del determinante de tercer orden de la definición se tiene:

Como en cada término hay un elemento de cada renglón y de cada columna, podemos seleccionar una línea cualquiera y factorizar los elementos de ésta. Por ejemplo, eligiendo el primer renglónpodemos factorizar sus elementos y escribir.

Cada uno de los factores que multiplican a los elementos del primer renglón en la expresiónanterior constituye el desarrollo de un determinante de segundo orden. Así:

Para a11 tenemos que:

19



− + = = −a a a aa a

a a

a a

a a21 33 23 31

23 21

33 31

21 23

31 33

1b g b g

a a a

a a a

a a a

a a

a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

21 23

31 33

→

a a a aa a

a a21 32 22 31

21 22

31 32

− =b g

−

+

1b gi j

ij M .

1 ≤ ≤r n,

i A a c

ii A a c

rj

j

n

rj

ir

i

n

ir

) det

) det

=

=

=

=

∑

∑

1

1

Algebra Lineal Para a12 se tiene:

Para a13 tenemos que:

Cada uno de estos determinantes puede ser obtenido de la matriz original suprimiendo el renglón yla columna en que se encuentre el elemento correspondiente. Tales determinantes reciben elnombre de “menores”

Así por ejemplo, el menor de a12 se puede obtener de la siguiente manera:

Podemos ver que los factores que multiplican a los elementos del primer renglón no son, en todoslos casos, los menores correspondientes.

En el caso de a12 dicho factor es igual al menor con el signo cambiado. Esto se identifica con elhecho de que tal elemento es de “característica impar”; es decir que la suma del número delrenglón y de la columna en que se encuentra es un número impar (1+ 2 = 3). Sólo se tiene unelemento de característica impar en el desarrollo anterior por haber elegido el primer renglón parafactorizar sus elementos. Si se hubiese elegido el segundo renglón se tendrían dos elementos decaracterística impar (a21 y a23) y, en tal caso, los factores que multiplican a éstos en el desarrollo deldeterminante serían iguales a sus correspondientes menores con el signo cambiado.

Surge así el concepto de “cofactor”, como el factor que multiplica al elemento en el desarrollo deldeterminante. Dicho cofactor es igual ala menor, o al negativo de éste, según sea par o impar la

característica del elemento.Expresión que se conoce como el “desarrollo por cofactores según el primer renglón”. Es claro quepueden obtenerse desarrollos similares para cada uno de los otros renglones y columnas de lamatriz A.

DEFINICIÓN:Sea A = [aij] una matriz de nxn con elementos en C.

1) Se llama menor del elemento aij, y se representa como Mij, al determinante de la matriz quese obtiene suprimiendo en A el renglón i y la columna j.

2) Se llama cofactor del elemento a ij y se representa como c ij, al producto

EJEMPLO:

TEOREMA.Si A = [aij] es una matriz de nxn con elementos en C y r es un número entero tal que

Entonces:

20



Algebra Lineal

• El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los elementos de una cualquiera desus líneas, sumando los productos de éstos por sus respectivos cofactores.

EJEMPLO.

En caso general, el desarrollo por cofactores transforma el problema de calcular un determinantede orden n en el de calcular n determinantes de orden n-1. Cada uno de estos determinantespuede desarrollar a su vez por cofactores, obteniéndose menores de orden n-2 y asísucesivamente. Se acostumbra continuar el proceso hasta obtener menores de orden 3 o de orden2, cuyo valor puede obtenerse empleando la regla de Sarrus.

CONDENSACIÓN.

Este método consiste en:1) Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posible.2) Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia un 1 o un -1) y aplicar

reiteradamente las transformaciones elementales en las matrices hasta reducir a cerotodos los demás elementos de la línea.

3) Desarrollar por cofactores según dicha línea.4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determinante de tercer orden (o de

segundo orden si se prefiere) y obtener su valor mediante la regla de Sarrus.

EJEMPLO.

El método de condensación ofrece en cada ciclo un gran número de posibilidades para la selecciónde la línea y del elemento pivote. Una selección adecuada en cada caso puede contribuir notablemente a simplificar los cálculos correspondientes.

1.7 Matriz Adjunta. Cálculo de la matriz inversa por medio de la adjunta.

MATRIZ ADJUNTA.Se conoce como adjunta de una matriz cuadrada de A a la transpuesta de la matriz que se obtienereemplazando los elementos de A por sus respectivos cofactores, como lo establece la siguientedefinición.

DEFINICIÓN.

Sea A = [aij] una matriz de nxn con elementos en C, y sea cij el cofactor del elementos aij. Se llamaAdjunta de A a la matriz:

Adj A = [bij], donde bij = c ji

EJEMPLO.

TEOREMA:Si A es una matriz de nxn con elementos en C, entonces:

A (Adj A) = (Adj A) A = (det A) Im

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR MEDIO DE LA ADJUNTA.

21



A A

Adj A−=

1 1det

b g

Algebra Lineal Es un método el cual consiste en multiplicar el recíproco del determinante por la adjunta.Para esto se tiene que cumplir con el siguiente teorema.

TEOREMA:Sea A una matriz de nxn con elementos en C: A-1 existe si y solo si det A ≠ 0

COROLARIO.Si det A ≠ 0, entonces

EJEMPLO.

CAPITULO II.“ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS”

II.1 Definición de operación binaria. Propiedades de las operaciones binarias: cerradura,

asociatividad, existencia del elemento idéntico, existencia de elementos inversos y conmutatividad.

DEFINICIÓN DE OPERACIÓN BINARIA.El concepto de operación binara es fundamental para el estudio de las estructuras algebraicas. Nose trata de una operación en particular, como la adición de números complejos o la multiplicaciónde matrices, sino del concepto mismo de operación binaria; es decir, de aquello que es común atodas las operaciones de este tipo.

Lo que podemos observar entre operaciones es:

- Se aplican a dos elementos de la misma especie (de ahí el término de binaria).- Asignan a dichos elementos un único “resultado”, que es otro elemento de la misma

especie, por medio de un criterio determinado.

Se puede decir que una operación binaria es una regla que asigna a cada par ordenado deelementos de un conjunto, un único elemento de dicho conjunto.

DEFINICIÓN.Una operación binaria * definida en un conjunto S no vacío es una función de SxS en S. La imagendel par ordenado (a, b) bajo la operación * se representa con a*b.

EJEMPLO.

Operaciones binarias conocidas:- Adición y multiplicación en el conjunto de los números naturales

- La sustracción en el conjunto de los números enteros.- La división en el conjunto de los números complejos diferentes de cero.- La adición y la sustracción de polinomios- La adición y la multiplicación en el conjunto de matrices cuadradas de orden n.- La unión e intersección de conjuntos, etc.

Para definir una operación binaria en un conjunto S bastará con especificar una regla que asigne acada par ordenado de elementos de S un único elemento de S.

EJEMPLO.

22



∀ ∈ ∗ ∈a b T a b T , :

e a a e a a S * * ,= = ∀ ∈

i a a i e* *= =

∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗a b c S a b c a b c , , : b g b g

∀ ∈ ∗ = ∗a b S a b b a, :

Algebra Lineal

Aunque la manera más usual de definir una operación binaria es mediante una expresión“matemática” en ciertos casos suele hacerse también mediante una “tabla”. Estas tablas sonparticularmente útiles cuando el conjunto sobre el que se define la operación es finito y tiene pocoselementos.

EJEMPLO.

PROPIEDADES.

CERRADURA.Sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto de S. Se dice que Tes cerrado respecto a la operación * si:

Es decir que el subconjunto T es cerrado respecto a la operación * si al aplicar dicha operación ados elementos cualesquiera de T se obtiene como resultado otro elemento de T.EJEMPLO.

CONMUTATIVIDAD.Sea * una operación binaria definida en un conjunto S. Se dice que * es conmutativa si:

EJEMPLO.

EXISTENCIA DEL ELEMENTO IDÉNTICO.Sea * una operación binaria definida en un conjunto S:Un elemento e Є S es un idéntico para * si

EJEMPLO.

EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO.Sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y:Sea e un elemento idéntico para *. Un elemento i Є S es un inverso del elemento a Є S para * si:

* Para poder obtener elementos inversos se requiere que exista elemento idéntico.

EJEMPLO.

ASOCIATIVIDAD.Sea * una operación binaria definida en un conjunto S. Se dice que * es asociativa si:

EJEMPLO.

II.2 Definición de grupo y grupo abeliano.

La estructura algebraica más simple es la de grupo. Se emplea el nombre de grupo para designar la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuandodicha operación es asociativa, está dotada de elemento idéntico y todo elemento del conjunto tieneinverso para la operación. Recordar la cerradura, que se da por asentada en una operación binaria.

23



i a b S a b S

ii a S i S

) , :

) : .

∀ ∈ ∗ ∈

∀ ∈ ∈

i a b G a b G

ii a b c G a b c a b c

iii e G e a a a G

iv a G i G i a e

) ,

) , ,

) ,

) ,

,

,

tal que

tal que

∀ ∈ ∗ ∈

∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗

∃ ∈ ∗ = ∀ ∈

∀ ∈ ∃ ∈ ∗ =

b g b g

Algebra Lineal

DEFINICIÓN.Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G,*) tieneestructura de grupo si:

EJEMPLO.

Como consecuencia de los postulados que establece la definición de grupo, se deducen una seriede propiedades, las cuales son comunes a todos los sistemas que tienen dicha estructura.

TEOREMA:Si (G, *) es un grupo entonces el idéntico para * es único.

TEOREMA:Si (G, *) es un grupo entonces el inverso de a Є G para la operación * es único.

SUBGRUPO.Cuando un sistema (G, *) tiene estructura de grupo es posible que algunos subconjuntos de G conla operación * tengan, por si mismos, estructura de grupo. En tal caso se dice que éstos sonsubgrupos de G.

DEFINICIÓN.

Sea (G, *) un grupo y sea S ⊂ G, se dice que S es un subgrupo de G para la operación * si (S, *)es un grupo.

El siguiente teorema nos permite determinar cuándo un subconjunto es un subgrupo, sin tener queverificar todas las condiciones definidas para analizar a un grupo.

TEOREMA.Sea (g, *) un grupo y sea S ⊂ G, S es un subgrupo de G para la operación * si y sólo si:

EJEMPLO.

GRUPO ABELIANO.Si a la estructura anterior se le agrega un nuevo postulado, se obtendría una estructura máscompleta; más rica, en el sentido que se podrían efectuar en ella ciertos procesos algebraicos queno serían válidos en estructuras más simples.

Al agregar la propiedad de conmutatividad a la operación, la estructura obtenida se conoce como“grupo conmutativo” o “grupo abeliano”.

24



∀ ∈ ∗ = ∗a b G a b b a,

Si (G, ) es un grupo abeliano entonces:

∗

∀ ∗ = ∗ ⇒ =

∀ ∈ ∗ = ∗ ⇒ =

i a b cG a b c a b c

ii a b c G b a a c b c

) , , ;

) , , ;

i a b A a b A

ii a b c A a b c a b c

iii a b A a b b a

iv e A e a a a A

v a A i A i a e

vi a b c A a b c a b c

vii a b c A a b c a b a c

) , ;

) , , ;

) , ;

) ,

) ,

) , , ;

) , , ;

tal que

tal que

∀ ∈ + ∈

∀ ∈ + + = + +

∀ ∈ + = +

∃ ∈ + = ∀ ∈

∀ ∈ ∃ ∈ + =

∀ ∈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∀ ∈ ⋅ + = ⋅ + ⋅

b g b g

b g b gb g b g b g

i a b A a b b a

ii u A u a a a A

) , ; ,

) ; ,

S i se dice que el anillo es c onmutativo

S i tal que

se d ice que el anillo tiene unidad.

∀ ∈ ⋅ = ⋅

∃ ∈ ⋅ = ∀ ∈

Algebra Lineal DEFINICIÓNUn grupo (G, *) se dice que es abeliano si:

Entre las propiedades adicionales que poseen los grupos abelianos, como consecuencia de laconmutatividad, se encuentran las siguientes.

EJEMPLO.

II.3 Definición de anillo, anillo conmutativo y anillo con unidad.

A partir de está nueva estructura algebraica, se podrá observar que es más completa, y sehablaran de sistemas formados por un conjunto y dos operaciones binarias.

DEFINICIÓN.Sea A un conjunto no vacío y sean + y ∙ dos operaciones binarias definidas en A. El sistema(A, +, ∙) tiene estructura de anillo si:

Un anillo es un grupo abeliano para la primera operación; en consecuencia, todas las propiedades

de los grupos y de los grupos abelianos son válidas en la estructura (A, +) conocida como “laestructura aditiva” del anillo.

Al elemento idéntico del postulado iv), se le conoce como “el cero del anillo”, cabe enfatizar queeste elemento no es el número cero necesariamente.

A partir del postulado vi) se comienza a trabajar con la segunda operación binaria, y se estableceque debe cumplir con la asociatividad además de la distributividad, en donde se utilizan las dosoperaciones simultáneamente.

EJEMPLO.

De manera similar al concepto de subgrupo, un subconjunto de anillo que es un anillo para las

mismas operaciones, se dice que es un subanillo de éste.ANILLO CONMUTATIVO Y ANILLO CON UNIDAD.DEFINICIÓN.Sea (A, +, ∙) un anillo:

25



Algebra Lineal Al elemento u es el idéntico para la segunda operación, se le conoce como “la unidad” del anillo.Este elemento no es el uno necesariamente.

EJEMPLO.

DOMINIOS ENTEROS.Cuando sus elementos a y b de un anillo son tales que:

a ≠ 0, b ≠ 0 y a ∙ b = 0se dice que son “divisores propios de cero”

Divisores propios de cero: Aquellos números diferentes ambos de cero para los cuales se cumpleque el producto entre ellos sea cero.

La estructura denominada “dominio entero” posee como característica adicional la no existencia dedivisores propios de cero, como lo establece la definición.

DEFINICIÓN.Sea (A, +, ∙) un anillo conmutativo con unidad de por lo menos dos elementos, donde 0 ≠ 1; si a ∙b = 0 a=0 o b=0 se dice que (A, +, ∙) es un dominio entero.

II.4 Definición de campo.

Al incorporar los inversos para la segunda operación se obtiene la estructura más algebraica máscompleta, dicha estructura recibe el nombre de “campo” (cuerpo) y contiene las propiedadescomunes a los sistemas numéricos más completos algebraicamente; entre los que se encuentranlos números racionales, los números reales y los números complejos con sus respectivasoperaciones de adición y multiplicación.

Un campo es un anillo conmutativo con unidad cuyos elementos distintos del cero tienen inversopara la segunda operación.

DEFINICIÓN.

Sea A un conjunto de por los menos dos elementos y sean + y ∙ dos operaciones binarias definidasen A. El sistema (A, +, ∙) es un campo si:

1) (A, +) es un grupo abeliano.2) (A-{e}, ∙) es un grupo abeliano3) ∙ es distributiva.

Estado anillo conmutativo con unidad para el cual existen inversos para la segunda operación paratodos los elementos del conjunto, excepto el cero del anillo (entendiendo por cero del anillo, elelemento idéntico de la 1ª. Operación.)

*Todo campo es un dominio entero.

EJEMPLO.Otras estructuras algebraicas.

Estructura semigrupo: Se le define a un conjunto de operaciones que cumple con la cerradura y laasociatividad (A, *).

Semigrupo conmutativo: Se asocia con la propiedad de conmutatividad.

Semigrupo con unidad: Tiene un elemento idéntico

26



Algebra Lineal

CAPITULO III.“ESPACIOS VECTORIALES”

III.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales.Subespacios. Isomorfismos entre espacios vectoriales.

ESPACIO VECTORIAL.En este capítulo se analizaran conjuntos en los cuales exista una relación entre sus elementos, demanera que se establezca el concepto de dependencia lineal.

En forma genérica, a los elementos de un espacio vectorial se les llama “vectores”, por lo que, eneste contexto, la palabra vector adquiere un significado más amplio.

DEFINICIÓNEn primera instancia se definirá lo que es un espacio vectorial, para tal efecto se considerará unconjunto U y un campo K, cuyos elementos se conocen como vectores y escalares

respectivamente.

Para poder llegar a definir la estructura de espacio vectorial se requiere, además de las siguientesoperaciones:

1) Suma de vectores2) Multiplicación de un vector por un escalar.

Regla de correspondencia (criterio)

(a, b) + (c, d) = (a+d, b+c)α(a, b) = (αa,αb)

Si estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades, entonces se tendrá un espaciovectorial.

I. La suma forma un grupo abeliano con el conjunto UII. Se debe cumplir la cerradura de la multiplicación de un vector por un escalar.III. Existe la distributividad tanto para la suma de vectores por un escalar, como para la suma

de escalares por un vector.IV. Se cumple la homogeneidad para el producto de escalares por un vector.V. Existe el escalar idéntico.

Analíticamente lo anterior queda representado de la siguiente manera.

I. (U, +) Grupo Abeliano

1) Cerradura:

2) Conmutatividad.

3) Asociatividad:

27

∀ ∈ a b c U , ,

a b U + ∈e j

( )a b c a b c + + = + +e j

a b b a+ = +



S i V es un espacio vectorial sobre K , entonces

E l vec tor es unico y es tal que:

E l vector es unico para cada vector y es tal que:

L a ecuación tiene soluc ión niś ca en V

i u v w V u v u w v w

ii e v v v V

iii i v i

iv u x v

v v V v v

vi u v V u v u v

) , , :

) ;

)

)

) : ( )

) , : ( ) ( )

∀ ∈ + = + ⇒ =

= + = ∀ ∈

+ =

+ =

∀ ∈ − − =

∀ ∈ − + = − + −

0 0

0

Algebra Lineal 4) Elemento idéntico.

5) Elemento inverso.

El elemento inverso no es único.

II. Cerradura para la multiplicación por un escalar.

III. Distributividades.

IV. Homogeneidad.

V. Escalar idéntico.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

EJEMPLO:

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.De los diez postulados que integran la definición de espacio vectorial, los primeros cinco se refiereúnicamente a la adición, y establecen que el sistema (V, +) es un grupo abeliano; por lo tanto, sepueden enunciar las siguientes propiedades, las cuales son comunes a todos los espaciosvectoriales.

TEOREMA.

28

∀ ∈

∃ ∈ + = + =

a U

e U e a a e a

∀ ∈

∃ ∈ + = + =

a U

i U a i i a e

∀ ∈ ∈y , Ka b U , α β

7

8

)

)

b

+ a a

α α α

α β α β

a b a

a

+ = +

= +

d i

b g

∀ ∈ ∀ α ∈

=

,a U K

a a

;

)

β

α β α β9 b g d i

∀ ∈ ∈

∈

a U K

a U

;

)

α

α6 d i

∀ ∈ ∈

=

a U K

a a

;

)

α

α10



i K ii v V v

iii K v V v v v

iv K v V v v

v K u v V u v u v

vi K v V v v v

) :) : ,

) , :

) , :

) , :

) , , :

donde 0 es el cero de K

o

, y

y

∀ ∈ =∀ ∈ =

∀ ∈ ∈ − = − = −

∀ ∈ ∈ = ⇒ = =

∀ ∈ ∈ = ≠ ⇒ =

∀ ∈ ∈ = ≠ ⇒ =

α α

α α α α

α α α

α α α α

α β α β α β

0 00 0

0 0 0

0

0

b g b g b g

Algebra Lineal

Continuando con los postulados de la multiplicación por un escalar se establecen otraspropiedades que, junto con las anteriores, rigen los procedimientos algebraicos en un espaciovectorial.TEOREMA:Sea V un espacio vectorial sobre K.

SUBESPACIO.Es posible que un espacio vectorial tenga subconjuntos que sean, por sí mismos, espaciosvectoriales.

Subespacio vectorial.Dado un espacio vectorial A y un subconjunto B de A, si B es también un espacio vectorial respectoa las operaciones definidas en A, decimos entonces que B es un subespacio vectorial de A.

Todo espacio vectorial es subespacio del mismo.

Para facilitar la verificación de que un conjunto es subespacio vectorial o no, se dispone delsiguiente teorema.

Teorema: Dado un subconjunto B de un espacio vectorial A, se tiene que si:1) El conjunto B es cerrado para la suma de dos elementos cualesquiera del conjunto y2) El conjunto B es cerrado para la multiplicación de uno de sus elementos por un escalar.

Entonces B es un subespacio vectorial de A.

Es decir que bastará con verificar la “cerradura” de B con respecto a la adición y a la multiplicaciónpor un escalar definidas en A para concluir que B es subespacio de A,

EJEMPLO:

NOTA: Condición necesaria que un conjunto contenga el vector cero para que sea subespacio,pero dicha condición no es suficiente.

EJEMPLOS:

ISORMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES.El concepto de isomorfismo es de relevante importancia en las matemáticas, especialmente desdeel punto de vista de sus aplicaciones. El término “isomorfo”, etimológicamente significa “de igualforma”, se emplea en el álgebra para denotar la idea de que dos sistemas son tan parecidos quepueden considerarse, en esencia, como el mismo.

EJEMPLO.

29



Algebra Lineal Los espacios vectoriales del tipo Rn tienen una gran aplicación en el estudio mismo de los espaciosvectoriales. Es probablemente que la aplicación más útil resulte el teorema que estable que losespacios vectoriales de la misma dimensión, son isomorfos. Es decir, todos los espaciosvectoriales de la misma dimensión son algebraicamente hablando, iguales. De esta manera alestudiar un espacio vectorial V, de dimensión n, emplearemos el isomorfismo para trabajar convectores del espacio vectorial Rn y el resultado lo aplicaremos al espacio V.

DEFINICIÓN.Sean U y V dos espacios vectoriales. Se dice que la función I:U→V es un isomorfismo de U a V, siI es biyectiva (inyectiva y suprayectiva) y además cumple con las siguientes condiciones.

Los espacios vectoriales isomorfos sólo difieren en la naturaleza de sus elementos, suspropiedades algebraicas son idénticas.

Si U y V son espacios vectoriales isomorfos bajo el isomorfismo f, entonces para el vector a delespacio U, existe un único vector v en el espacio V, tal que f(u)=v y recíprocamente, para cada

vector de V del espacio V, existe un único vector u del espacio U tal que f(v)=u

De acuerdo con lo anterior podemos establecer los siguientes teoremas:

Teorema 1: Si V es un espacio vectorial real de dimensión n, entonces v es isomorfo a Rn.Teorema 2: Todo espacio vectorial V es isomorfo a si mismoTeorema 3: Si un espacio vectorial V es isomorfo a otro espacio W, entonces W es isomorfo a VTeorema 4: Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos.

EJEMPLO.

III.2 Combinación Lineal. Dependencia Lineal. Conjunto generador. Base y dimensión de unespacio vectorial. Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada. Matriz de transición.

COMBINACIÓN LINEAL.

Dado un espacio vectorial:

Se define como combinación lineal de ellos a la expresión:Donde αi ∈K (campo del espacio vectorial (V)).

EJEMPLO:30

V v v v v n= 1 2 3, , , . . . ,l qα α α α1 1 2 2 3 3v v v v n n+ + + +...

R M

M a b

c d a b c d R

R a b c d a b c d R

n

nxn⇔

=LNM

OQP

∈RST

UVW

= ∈

−LNM

OQP

⇒ −

⇒LNM

OQP

, , ,

, , , , , ,

, , ,

, , ,

4

1 0

2 31 0 2 3

1 4 4 21 4

4 2

b gm r

b g

b g

1 1 2 1 2) I

2)

u u I u I u

I u I u

+ = +

=

b g b g b gb g b gα α



Algebra Lineal

EJEMPLO:

DEPENDENCIA LINEAL.Sea el conjunto de vectores:

Decimos que el conjunto V es linealmente dependiente, si existen escalares no todos nulos, quesatisfagan la ecuación:

Si la única solución a dicha ecuación es α1=α2=α3=...=αn=0, entonces decimos que el conjunto Ves linealmente independiente.Ejemplo: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

De acuerdo con lo anterior se tienen los siguientes dos teoremas:Teorema 1: Todo conjunto de vectores que contenga al vector es linealmente dependiente.

{(1,0), (0,1), (0,0)}Teorema 2: Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es a su vezlinealmente independiente.

{(1,0), (0,1)}

NOTA: Un conjunto formado por dos o más vectores es linealmente dependiente cuando al menosuno de ellos es una combinación lineal de los otros vectores del conjunto.En caso contrario; cuando ninguno de los vectores es combinación lineal de los restantes, elconjunto es linealmente independiente.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

CONJUNTO GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Cuando todos los vectores de un espacio vectorial pueden obtenerse mediante combinacioneslineales de un conjunto finito de vectores de dicho espacio, se dice que dicho conjunto esgenerador del espacio vectorial.

De acuerdo con lo anterior, el concepto de conjunto generador se puede definir formalmente de lasiguiente forma:

Definición: Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea

Un conjunto de vectores de V. Se dice que G es generador del espacio vectorial V, si para todovector existen escalares α1, α2, α3,..., αn tales que:

Todo conjunto de vectores no vacío genera un espacio vectorial y para un espacio vectorial elconjunto generador no es único.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores de un espacio vectorialV es un subespacio de V.

EJEMPLO:

31

V v v v v n= 1 2 3, , , . . . ,l q

α α α α1 1 2 2 3 3 0v v v v n n+ + + + =. . .

Ecuación de dependencia lineal

0

G v v v v n= 1 2 3, , ,. ..,l q

x V ∈

x v v v v n n= + + + +α α α α1 1 2 2 3 3 ...

2

2 2

2 3

3

2

5 2 0 172

12 5 5

1 2 3 4

1

1

1

1 2 3 4

α α α α

α

α

α

α α α α

= − − +

= − − + − − + +

= −

=−

− ⇒ = = − = =

∀

x

x x y z x z x

x y

x y

b g

b g

( )

, , , , ,

El conjunto A es generador de R

combinación lineal de A

3



Algebra Lineal

BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL:

Se define como base de un espacio vectorial V, a cualquier conjunto B de vectores de V tal que:1) Los elementos de B son linealmente independientes2) Cualquier vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los elementos

B.

De acuerdo con las condiciones establecidas, existen varias bases en un espacio vectorial, larelación que existe entre bases, consiste en el número de elementos que las constituyen, ya quedicho número es el mismo para cualquier base.

Base canónica, base natural.

Todas las bases de un espacio vectorial de n elementos tienen el mismo número de elementos omenor.

EJEMPLO:

Dimensión:

La dimensión de un espacio vectorial se define como la cantidad de elementos de cualquiera desus bases.

Teoremas:- Sea V un espacio vectorial sobre K. Si se dice que V es de

Dimensión n. Dim V = n, en particular si entonces dim V = 0.- Sea V un espacio vectorial sobre K. Si es una base de V, entonces

cualquier conjunto de vectores de V con más de n elementos es linealmente dependiente.

- Si V es un subespacio vectorial de dimensión n, cualquier conjunto linealmente independienteformado por n vectores de V es una base de dicho espacio.

- Si V es un espacio vectorial de dimensión n y W es un subespacio de V entoncesSi dim W = n entonces W=V

EJEMPLOS.

COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO A UNA BASE:

Dada la base: de un espacio vectorial, en donde un vector

cualquiera de dicho espacio está dado por:

A los escalares α1, α2, α3,..., αn, les llamaremos las coordenadas de en la base B, y al arreglo:

le llamaremos vector de coordenadas de respecto a la base B.

Tratándose de bases, el orden de sus elementos es importante.- El vector de coordenadas respecto a una base dada es único para cada vector del espacio.

32

B v v v v n= 1 2 3, , ,...,l qV = 0n s

dim W n≤

B b b b bn= 1 2 3, , ,...,n s

a

a b b b bn n= + + + +α α α α1 1 2 2 3 3 . . .

a

aB nb g = ( , , , . .. , )α α α α1 2 3

a

B v v v v n=1 2 3, , ,...,l q



Algebra Lineal - El vector de coordenadas de un vector perteneciente a un espacio, cambia al cambiar la base

de referencia.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

MATRIZ DE TRANSICIÓN:

El cambio de coordenadas de una base a otra puede efectuarse multiplicando una matriz por unvector. Esta matriz se conoce como matriz de transición o matriz de cambio de base.

Para obtener esta matriz se procede de la siguiente forma:

Dos bases de un espacio vectorial, la matriz de transición está formada por la disposición encolumnas de los vectores de coordenadas de los elementos de la base B con respecto a la base

W, esto es:

De tal forma que, si conocemos el vector y deseamos obtener el vector de

coordenadas de , entonces será suficiente con desarrollar el siguiente producto

EJEMPLO:

Toda matriz de transición de una base A a otra B, es no singular y su inversa es la matriz de B a A.

Conviene hacer notar que toda matriz de transición tiene inversa y además que:Si se conoce la matriz de transición de una base V, a una base W, entonces la inversa de esamatriz resulta ser:

EJEMPLO:

33

Sean B v v v v

W w w w w

n

n

=

=

1 2 3

1 2 3

, , ,... ,

, , , ...,

l ql q

W B

M

W B

W W W n W

W

M v v v v

v v w w

=

= = + +

1 2 3

1 1 1 1 2 2

b g b g b g b gb g

. ..

. ..α α

v v V B

b g donde ∈

v W

b g

W

B

B W M v v

b g b g=

M

M M

V W

W V

V W

esto es:

d i−

=

1



Algebra Lineal

III.3 Espacio renglón, espacio columna y rango de una matriz.

Espacios vectoriales generados por los renglones y las columnas de una matriz.

Dada una matriz A de orden nxn, se tiene que tanto sus renglones como sus columnas puedendefinir un espacio vectorial, por ejemplo:

Se pueden formar espacios vectoriales con los renglones y las columnas de la matriz A, además,se puede presentar el hecho de aplicar transformaciones elementales a la matriz original y asíobtener matrices equivalentes.

Lo que se hace con renglones se puede hacer con columnas y hacer operaciones simultáneas.

De la misma forma en que se obtienen espacios vectoriales iguales con los renglones de unamatriz (aplicando transformaciones elementales), se pueden obtener espacios vectoriales igualesconsiderando las columnas de dicha matriz.

Por lo tanto la aplicación de transformaciones elementales sobre las líneas de una matriz conducena espacios vectoriales iguales a los espacios de las líneas originales. De esta manera es factible

obtener la base y dimensión de un espacio vectorial, reduciendo una matriz determinada, a laforma escalonada.

Forma canónica escalonada.La aplicación sucesiva de transformaciones elementales se efectúa hasta obtener una “formacanónica escalonada”.

Se dice que una matriz es una forma canónica escalonada, cuando además de ser una matrizescalonada, el primer elemento distinto de cero de cada renglón es uno y dicho elemento es elúnico diferente de cero en la columna en que se encuentra.

Ejemplo:

• Para una matriz dada a existe una y sólo una forma canónica escalonada que es equivalente ala matriz A.

• Los renglones no nulos de una forma canónica escalonada constituyen una base de su espaciorenglón.

La última propiedad es válida también para una matriz escalonada cualquiera, pero en el caso deuna forma canónica aún más evidente.

EJEMPLO:

34

A

L A

A

L A

R

T

C

=−L

NMOQP

= −

=−

LNM

OQP

= −

1 2

1 0

1 2 10

1 1

2 0

11 2 0

Con los renglones de A tenemos:

Con las columnas de A tenemos:

b g b g b gm r

b g b g b gm r

, , ,

, , ,



Algebra Lineal

TEOREMA:La relación que guardan los espacios renglón y columna de una matriz es que la dimensión deestos es la misma.Para cualquier matriz A se tiene que: L (AR) ≠ L(AC), dim L(AR)=dim L(AC)

EJEMPLO:

RANGO:Se llama rango de una matriz A, y se denota con R(A) al número:

R(A)=dim L(AR) = dim L(AC)

El rango de una matriz representa el número máximo de renglones (y de columnas) linealmenteindependientes que contiene la matriz.

EJEMPLO.

III.4 El espacio vectorial de las funciones continuas de variable real. Subespacios de dimensiónfinita. La dependencia lineal de funciones. Criterio del Wronskiano.

ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES:El conjunto de las funciones reales de variable real constituyen un espacio vectorial con lasoperaciones de adición y multiplicación por un escalar definidas en el curso de Cálculo Diferencialintegral.

(f+g) (x) = f(x) + g(x)(αf) (x) = αf(x)

SUBESPACIOS DE FUNCIONES:El espacio F de las funciones continuas de variable real, no puede ser generado por un conjunto

infinito de vectores, y se dice por ello que es de dimensión finita.Subespacios de dimensión finita son:- Polinomios de grado menor o igual que n, funciones definidas en un intervalo, funciones

continúas en un intervalo.- Conjunto de las soluciones de la ecuación diferencial y”+ay’+by=0

Si tenemos f 1, f 2, f 3,...,f n α1f 1+α2f 2+α3f 3+ ... + αnf n = 0∴ α1f 1(x)+α2f 2(x)+α3f 3(x)+ ... + αnf n(x) = 0Esta expresión representa un número finito de ecuaciones una para cada número real x. Cómo noes posible generar a todas las funciones reales de variable real con un conjunto de un número finitode elementos, se considera que la dimensión del espacio es finita.

DEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES:

Si representamos con F al conjunto de todas las funciones continuas de variable real, dado que Fes un espacio vectorial sobre R, es claro entonces que los conceptos de combinación lineal sonaplicables tanto a los elementos de F, como a cualquiera de sus subespacios.

EJEMPLO:

35



Algebra Lineal

WRONSKIANO.

Dado el conjunto de funciones:{f 1, f 2, f 3, ..., f n} se define como Wronskiano al determinante:

Se tiene que el conjunto de funciones {f 1, f 2, f 3, ..., f n} será linealmente independiente si existe almenos un valor de la variable para el cual W≠0.En caso de que el determinante W=0 se tiene incertidumbre sobre la dependencia o independenciadel conjunto, por lo que se tendrá que recurrir, en este caso a la ecuación de dependencia lineal.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

36

W

f f f f

f f f f

f f f f

f f f f

n

n

n

n n n

n

n

=

′ ′ ′ ′

′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− − − −

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

2

1

3

1 1

b g ( ) ( ) ( )



u

N T u u U T u b g b go t= ∈ =; 0

Algebra Lineal

CAPITULO IV.“TRANSFORMACIONES LINEALES”

IV.1 Definición de transformación. Dominio, codominio, núcleo y recorrido de una transformación.

DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN:

Como sabemos una función f de A en B (donde A y B son conjuntos no vacíos cualesquiera) esuna regla o criterio que asocia a cada elemento de A, uno y solo un, elemento de B, lo cualdenotamos mediante f: A→B; existen también funciones entre espacios vectoriales que en formasimilar denotamos por: T:U→V, donde U y V son espacios vectoriales sobre el mismo campo K y Tes la regla de correspondencia que asigna a cada vector de U uno y solo un vector de V, al quellamaremos “imagen de u” y representamos como T(u).

A este tipo de funciones le daremos el nombre de transformaciones:T

Dominio Codominio

Y a los espacios U y V se llaman, respectivamente, dominio y codominio de la transformación.

Al conjunto formado por todos los vectores que son imagen de algún vector del dominio, se leconoce como el recorrido de la transformación.Lo representamos con T (U), esto es:

U V

T

El núcleo de una transformación es el conjunto de vectores cuya imagen es el vector cero. Dichoconjunto lo representamos con: N (T), esto es:

U V

37

T(u)

T U V

T U v V v T u u U

:

;

→

= ∈ = ∀ ∈b g b gn s

v=T(u)

u

N(T)

u1

0



Si es una transformación lineal, entonces:

es un subespacio de W.

es un subespacio de V.

T V W

i T V

ii N T

:

) ( )

)

→

b g

Algebra Lineal

Sea T:U→V una transformación tenemos que:Dominio: Es el conjunto U de vectores sobre los cuales actúa la transformación:

U VT

T(x,y,z) = (x,y)

Los espacios vectoriales U= R3 y V= R2 son el dominio y codominio de la transformación. Como se puede observar, el recorrido de una transformación es un subconjunto del codominio y elnúcleo es un subconjunto del dominio.

EJEMPLO.

IV.2 Definición de transformación lineal. El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales.Caso de dimensión finita: relación entre las dimensiones del dominio, el recorrido y el núcleo de

una transformación lineal.

TRANSFORMACIÓN LINEAL:Antes de continuar con la descripción de conjuntos que caracteriza a una transformación se dará ladefinición correspondiente a transformación lineal.

Una transformación T:U→V donde U y V son espacios vectoriales, es lineal, si y solo si, satisfacelas siguientes propiedades:

1) Superposición: La transformación de una suma es igual a la suma de las transformaciones:

2) Homogeneidad: La transformación de un vector multiplicado por un escalar es igual al productodel escalar por la transformación del vector.

EJEMPLO:

LOS SUBESPACIOS NÚCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Como ya hemos visto, el recorrido de una transformación es un subconjunto del codominio y elnúcleo es un subconjunto del dominio. Si la transformación es lineal dichos subconjuntos son

además subespacios.TEOREMA:

Si T: M→V es una transformación lineal entonces: T (M) es un subespacio de V y N (T) es unsubespacio de M.

38

T u u T u T u u u U 1 2 1 2 1 2+ = + ∀ ∈b g b g b g ,

T u T u u U K α αb g b g= ∀ ∈ ∀ α ∈; ,

( x,y,z)

x,



Algebra Lineal

Como T (M) es un subcojunto de V, se prueba que T (M) es cerrado para la adición y multiplicaciónpor un escalar.

Sea v1 y v2 vectores de T (M), existen dos vectores w1, w2 ∈ M tales que:

Se tiene que: como T es lineal entonces:

Multiplicación por un escalar.como T es lineal,

Es un subespacio vectorial de M.

Obtención del recorrido de una transformación lineal.

Para determinar el recorrido de una transformación lineal específica podemos aprovechar lasiguiente propiedad:

Sea T:V→W una transformación lineal. Si es una base de V, entonces elconjunto es un generador de T(V).

Sea una base de V. Si w es un vector cualquiera de T(V), entonces existeun vector v ∈ V tal que:

Como B es una base de V:

en consecuencia G= {T(v1), T(v2), T(v3), ..., T(vn)} es un conjunto generador de T(V)

Si G es linealmente independiente entonces es una base de T(V) y si es linealmente dependientepuede obtenerse una base de T(V) a partir de este.

EJEMPLO:

TEOREMA de dimensiones: Sea U un espacio vectorial y sea T:U→V una transformación lineal,se tiene que:

Dim U = Dim T(U) + Dim N(T)

Donde U = dominio de la transformaciónT(U) = Recorrido de la transformaciónN(T) = Núcleo de la transformación

Esto sucede siempre que se trabaja con espacios de dimensión finita, U es un espacio vectorial dedimensión finita.

39

v T w v T w 1 1 2 2= =b g b gy

v v T w T w 1 2 1 2+ = b g b g+

v v T w w w w M

v v T M

1 2 1 2 1 2

1 2

+ = ∈

+ ∈ ∴

+ ,

cumpleb gb g

;

α αv T w 1 1= b g α α αv T w v T M 1 1 1= ∈b g b g,

B v v v v n= 1 2 3, , , . . . ,l qG T v T v T v T v n= 1 2 3b g b g b g b gm r, , , . . . ,

B v v v v n= 1 2 3, , , . . . ,l q

w T v = b g

v v v v v n n= + + + +α α α α1 1 2 2 3 3 .. .

w T v v v v

v T v T v T v v T v T v T v

n n

n n

n n

= + + + +

+ + + ++ + + +

α α α α

α α α αα α α α

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

.. .

.. .

.. .

b g

b g b g b g b gb g b g b g b g

Por lo que:

w = T y como T es lineal:w = T



Algebra Lineal EJEMPLO:EJEMPLO:

IV.3 Matriz asociada a una transformación lineal con dominio y codominio de dimensión finita.

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.Existe una forma alternativa para obtener imágenes de una transformación lineal, la cual estábasada en el concepto de matriz asociada a una transformación.

Esta matriz se obtiene por la disposición en columnas de las imágenes de los elementos de unabase canónica del dominio. De esta forma, la imagen de un vector esta dada por el producto de lamatriz asociada y el vector dado en forma de columna.

U V

Esto es posible de esta forma, siempre y cuando tanto el dominio como el codominio seanespacios del tipo Rn.

EJEMPLO:

Las ideas anteriores pueden generalizarse al caso de espacios vectoriales cualesquiera,simplemente, reemplazando los vectores imagen por sus respectivos vectores de coordenadas.

TU V

U y V cualquier espacio vectorial.

De acuerdo con esto la matriz asociada a la transformación referida a dos bases cualesquiera A y

B respectivamente se representa de la siguiente forma:U V

T

A BA es base del dominioB es base del codominio

De esta forma se tiene que las columnas de dicha matriz son los vectores de coordenadas, en labase B, de las imágenes de los elementos que integran la base A.

T: R3 R2

R3 T R2

40

M T B A

b g

u T(u)



M T

M T v T v v V

B A

B A

A B

de orden nxn, tal que:

b g

b g b g( ) = ∀ ∈

M T B

Ab gbase del cod ominio

base del dominio

→

→

∴ = T T T

M T T u T u T uB

A

B B n Bb g b g b g b g1 2

Algebra Lineal

TEOREMA: Si T:VW es una transformación lineal, existe una y solo una matriz:

Donde A y B son bases de V y W respectivamente.• En toda transformación es posible obtener su matriz asociada.

De acuerdo con este teorema la matriz nos permite calcular la imagen de un vector cualquiera v del dominio, mediante el siguiente procedimiento, que podríamos considerar indirecto.

1) Determinar las coordenadas de v en la base A, ( )A.2) Multiplicar la matriz por el vector ( )A.

3) Obtener el vector a partir de sus coordenadas en la base B.Esquematizando:Aplicando la regla

de correspondencia

Cálculo Obtenciónde de la

coordenadas imagen

Multiplicando por la matriz.

EJEMPLO:

41

M T B A b g

M T B A

b g

A u u u u

B v v v v

T u T u

T u T u

T u T u

T u T u

n

n

B

B

B

n n B

=

=

⇒

⇒

⇒

⇒

1 2 3

1 2 3

1 1

2 2

3 3

, , , . . . ,

, , , . . . ,

l ql q

b g b gb g b gb g b g

b g b g

imágenes

Como combinación

lineal de los

elementos de B

v

v v

T v b g

T v b g



Algebra Lineal TEOREMA: En una transformación lineal, la dimensión del recorrido es igual a la dimensión orango de la matriz asociada referida a dicha transformación.

T: VW R(M(T)) = dim T(V)R(MA

B (T)) dim T(V)

EJEMPLO:

IV.4 Álgebra de las transformaciones lineales: definición y propiedades de la adición, lamultiplicación por un escalar y la composición de transformaciones.

ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES:Así como se tiene operaciones con funciones también se tienen operaciones con transformaciones.

Entre otras se tienen las siguientes:

1) Igualdad: Sean S y T dos transformaciones de V en W. Se dice que S y T son iguales, lo cual sedenota mediante S=T, cuando S( ) = T( ) ∀ ∈ V.

2) Adición: Dadas dos transformaciones cuyo dominio es el mismo T:U→ V yS:U→V. Se tiene como resultado de esta operación: (T+S) = T( ) + S( ); ∀ ∈ U. En términos dematrices asociadas se tiene que: M(T + S) = M(T) + M(S).

3) Multiplicación por un escalar: Dada una transformación T:U→V y un escalar α que pertenece alcampo de definición, se define esta operación de la siguiente forma:

(α T) = α T( ) ∀ ∈ U.En términos de matrices asociadas se tiene: M(αT) = α M(T)

4) Composición: Dadas las transformaciones T:U→V y R:V→W, se define a la transformaciónS:U→W como el resultado de la composición entre las transformaciones R y T, esto es:

S( ) = [R•T] , desarrollando tenemos queS( )=R[T( )], ∀ ∈ U, gráficamente:

V

U T WR

S( )=R[T( )],

Para que esta operación pueda ser realizada debe existir intersección entre el recorrido de T y eldominio de R.

La relación entre matrices asociadas está dada por:M(R•T)=M(R)M(T) o MR•T=MRMT

Estas operaciones también se aplican a matrices asociadas con diferentes bases:

NOTA: Si R y T son transformaciones lineales, entonces R+T y ∝R también son lineales.

TEOREMA: El resultado de efectuar las operaciones anteriores con transformaciones lineales esuna transformación lineal.

42

M R T M R M T C A

C B

B A

b g b g b g=

v v v

u u

u u u

u u u u u

uT(u) R[T(u)

]u u

u u



Algebra Lineal EJEMPLOS:

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON TRANSFORMACIONES:1) Conmutatividad de la adición: S+T=T+S2) Asociatividad de la adición: (S+T) + R = S+ (T+R)3) Homogeneidad del producto por escalares: α(βT) = (αβ)T4) Asociatividad de la composición: (S•T)•R = S•(T•R)5) Homogeneidad en la composición: α(S•T) = (αS) •T = S•(αT)

6) Distributividad de la composición sobre de la adición: S•(T+R)=(S•T)+(S•R)7) Distributividad entre el producto por un escalar y la adición:a) (α+β)T = αT + βTb) α(T+R)= αT + αR

IV.5 La inversa de una transformación lineal.

TRANSFORMACIÓN INVERSA:

Dada una transformación lineal T:V→W existe una transformación inversa T-1:W→V, si y solo si, latransformación original es biyectiva, esto es:

1) Dim V = Dim W

2) Dim N(T) = 0En términos de matrices asociadas tenemos que:

T →MT

T-1→ MT-1=(MT)-1

EJEMPLO:

EJEMPLO:

Propiedades de la transformación inversa:

Si F:U→V y T:V→W son dos transformaciones biyectivas, y λ es un escalar del campo sobre el queestán definidos V y W entonces:

i) T

-1

es únicaii) (T-1)-1 = Tiii) (T•F)-1 = F-1 • T-1

iv) (λT)-1 = λ-1 T-1 ; si λ≠0

TEOREMA: Sea T: V→W una transformación lineal. Si T-1 existe entonces es una transformaciónlineal.

TEOREMA: Sean T:V→W una transformación lineal, V un espacio de dimensión finita y A, B basesde V y W respectivamente.

i) T-1 existe si y solo si no es singular ii) Si T-1 existe, entonces

EJEMPLO:

IV.6 Efectos geométricos de las transformaciones lineales.

La transformación T(x, y, z) = (x, y) su interpretación geométrica es (x,y,z) representa un segmentodirigido cualquiera del espacio cartesiano tridimensional, T transforma dicho segmento en suproyección sobre el plano X-Y.

Otro tipo de efectos geométricos de la transformación son la traslación, escalamiento, y rotación.

43

M T B Ab g

M T M T AB

B A−

−

=11

d i b g



Algebra Lineal

Al tener la siguiente transformación:

T(x) =Ix+b= x+b si b ≠ 0, esta transformación es no lineal, a esta transformación se le llamatraslación por b.

Una traslación por un vector b ≠ 0 desplaza a una figura sumando b a todos sus puntos. Unatransformación afín es una transformación lineal seguida de una traslación.

El escalamiento consiste en simplemente multiplicar la transformación por un escalar, paraagrandar o empequeñecer la imagen. T(x) = αx, todo dependerá del valor del escalar.

EJEMPLO.

IV.7 Definición de operador lineal. Definición y propiedades de valores y vectores característicosde un operador lineal. Definición de espacios característicos. Caso de dimensión finita: polinomiocaracterístico, obtención de valores y vectores característicos.

OPERADOR LINEAL:Son transformaciones de un espacio vectorial en si mismo, esto es, transformaciones del tipo:

T: V→V

A las que se les conoce con el nombre de “operadores”

VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS.

Para este tipo de transformaciones puede haber vectores que no se modifiquen al aplicar latransformación, o cuya modificación consista únicamente en quedar multiplicados por un escalar.

T(v) = λv donde λ es un escalar

Los vectores no cambian de dirección, sino cambian de tamaño:

T(x,y) = (2x+y, 6x+y) v1=(1,2) T(v1)=(4,8)= 4(1,2)=4v1

A tales vectores se les llama “vectores característicos” del operador T y a los escalares se lesconoce como “valores característicos” de dicho operador.Del ejemplo, 4 es un valor característico, y (1,2) es el vector característico.

Se excluye al vector cero como vector característico. Esto se debe a la conveniencia de que todovector característico corresponda a un solo valor característico. Empero, esta definición permite alescalar cero ser un valor característico.

Algunos ejemplos:Para la transformación identidad:

I:V→V, todos los vectores no nulos de V son vectores característicoscorrespondientes al valor 1 puesto que I(v)=v=1v; ∀ v ∈ V.

Para la transformación cero:O:V→V, todos los vectores no nulos de V son vectores característicoscorrespondientes al valor 0, puesto que: O(v)=0=0V; ∀ v ∈ V

Para el operador derivación definido por:D(f)=f’, en el espacio de las funciones reales de variables real, sus valores

característicos son aquellas funciones f no nulas tales que: f’=λf para algún λ∈R. Esta es unaecuación diferencial cuyas soluciones están dadas por la expresión:

f(x)= ceλx

44



Algebra Lineal PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS.

1) Los vectores característicos asociados a valores propios distintos son linealmenteindependientes.2) El escalar λ es único3) Si v es un vector asociado a un valor característico λ, entonces αv es también un vector característico, ∀ α∈k (campo de definición) con α ≠ 0.4) Si u y v son vectores característicos asociados a λ y u ≠ -v entonces u+v es un vector

característico asociado a λ.ESPACIO CARACTERÍSTICO:Es claro que todos los vectores de un espacio vectorial se transforman en vectores del mismoespacio al aplicarles la transformación.Si v ∈V entonces T(v) ∈ V.Si al conjunto de vectores característicos le agregamos el vector nulo, entonces dicho conjuntodefine un espacio vectorial al cual llamaremos espacio característico:

E(λ)={v|v∈V, T(v)=λv} v=0

OBTENCIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS:En un espacio de dimensión finita, el problema de obtener los valores y vectores característicos deun operador lineal puede resolverse con ayuda de los determinantes y los sistemas de ecuaciones

lineales, mediante el procedimiento que se presenta a continuación.Dado un operador lineal T que T: U→U para el cual se tiene que T(u)=λu; ∀u∈U, donde u ≠ 0, λ esun escalar.

Se define a u como un vector característico del operador T y al escalar λ como un valor característico de dicho operador.

Para obtener tales elementos, se tiene que:T(u) = λu ....... (1)

Considerando:MT=A ...... (2)T(u) = A u ...... (3)

De 1 y 3 tenemos que:λ I u =A u; donde I es la matriz identidad.

De donde:Au - λIu=0(A-λ I)u=0 ....... (4)

Si obtenemos el determinantes de A-λ I, esto es: DET (A-λ I) a esta expresión se le conoce como“polinomio característico”, de la transformación si se iguala a cero (DET(A-λ I))=0 y se le llama“ecuación característica”, la cual nos permite obtener los valores de λ, es decir los valorescaracterísticos.

Para obtener los respectivos vectores característicos, asociados a los valores de λ, se utiliza la

ecuación (4), esto es se determina la relación entre los componentes del vector u, para los cualesse satisface esta ecuación.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

IV.8 Matrices similares y sus propiedades. Diagonalización de la matriz asociada a un operador lineal.

45



Algebra Lineal

MATRICES SIMILARES:Las matrices asociadas a una transformación lineal en dos bases cualesquiera, pertenecen a uncierto tipo de matrices cuadradas llamadas similares.

La forma en que se relacionan las matrices asociadas a una transformación lineal está dada por elsiguiente teorema:

TEOREMA: Sea T:V→V una transformación lineal sobre un espacio vectorial V de dimensión finita.Si M es la matriz asociada a T referida a la base A y N es la matriz asociada a T respecto a la baseB, entonces N=P-1MP, donde P es a matriz de transición de B a A.

Por consiguiente el teorema puede escribirse de la siguiente manera: “Dos matrices representan ala misma transformación lineal T de B a B en bases diferentes, si son similares, donde V es elespacio vectorial de dimensión finita”

Dos matrices representan al mismo operador si y solo si son similares.

Propiedades:- Si A y B son matrices similares entonces Det A = Det B- Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico y por lo tanto, los mismos

valores característicos.

EJEMPLO:

DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL.

Que la matriz asociada sea de forma sencilla ofrece ciertas ventajas pues, además de que permiteidentificar más fácilmente la información contenida en ella, su manejo algebraico se simplifica

Entre los tipos más sencillos de matrices están las diagonales. No siempre es posible encontrar una representación diagonal para cualquier operador. Las condiciones bajo las cuales existe talrepresentación:

Sea V un espacio vectorial de dimensión n y T:V→V un operador lineal: existe una matriz diagonalasociada a T, referida a una base, si y solo si existe una base de V formada por vectorescaracterísticos. En tal caso, la matriz asociada a T, referida a esta base, es una matriz diagonalcuyos elementos dii son los valores característicos correspondientes.

Para que un operador lineal tenga representación diagonal es condición suficiente que sus valorescaracterísticos sean diferentes, sin embargo tal condición no es necesaria.

46

D

n

=

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

λ

λ

λ

1

2

0 0

0 0

0 0 0

0 0

M M T

N M T

P M

N P MP

A A

BB

AB

=

=

=

= −

b gb g

1 ecuación de similaridad



Algebra Lineal

Dicho de otra manera, la suma de la dimensión de los espacios característicos debe ser ladimensión del dominio, de esta forma se comprueba que el operador es diagonalizable; significaque el operador o transformación se puede representar por una matriz diagonal.

EJEMPLO:

Diagonalización: Es un procedimiento que permite modificar a una matriz cualquiera a efecto deobtener su matriz diagonal. Para el caso de matrices asociadas a una transformación, la matrizdiagonal que representa al operador se obtiene con la expresión: D=P-1AP

Donde D es la matriz diagonal, P es una matriz formada por vectores característicos dispuestos enforma de columna y se le llama matriz diagonalizadora, y A es una matriz asociada al operador referida a una base canónica, llamada matriz diagonalizable.

TEOREMA: Una matriz A de nxn es similar a una matriz diagonal D, si y solo si existe un conjuntolinealmente independiente formado por n vectores característicos de A. En tal caso, existe unamatriz no singular P tal que: D=P-1AP

EJEMPLO:

IV.9 Aplicación de los valores propios y los vectores propios a las formas cuadráticas:

Para esta parte del curso lo que se pretende es la aplicación de algunos conceptosestudiados en la geometría analítica. En particular a lo referente al giro de ejes, parasimplificar la identificación de cónicas o bien la degeneración de ellas.

Una ecuación de la forma:

ax2 + bxy + cy2 + Dx + Ey + F = 0

donde a,b,c,D,E,F ε R, se le llama ecuación cuadrática de las variables x y y. A la

expresión formada por los 3 primeros términos de la expresión anterior se le llama formacuadrática de las variables x, y.

ax2 + bxy + cy2

El problema consiste en eliminar el término xy, de la ecuación cuadrática mediante uncambio de variable de tal manera que la ecuación se reduzca a una de la siguiente forma:

αx´´2 + βy´´2 + σ = 0

A través de un giro de ejes y si es necesario una traslación de los mismos, obteniendocon esto, una cónica con centro en el origen y sus ejes paralelos o coincidentes con los

ejes coordenados.

Una forma cuadrática siempre puede ser expresada en forma matricial de la siguientemanera:

ax2 + bxy + cy2

47



Algebra Lineal

x y a

b

bc

x

y x A x T 2

2

L

N

MMM

O

Q

PPP

LNM

OQP

=

Se observa que el término xy de la ecuación aparece debido a los elementos que noestán en la diagonal principal de la matriz A.

En cambio, si A fuese una matriz diagonal, el término xy no aparecería.

Por lo tanto para tener una ecuación sin el término xy, se debe hacer un cambio devariable que diagonalice a la matriz A. Utilizando la ecuación: D=P-1AP, como se sabe lamatriz P se forma con los vectores característicos, sin embargo, es preferible usar vectores unitarios, ya que entonces la matriz P es ortogonal, y por lo tanto PT=P-1.

λ λ λ λ

λ

λ

λ

1 2 3

1

2

0 00 0

0 0 0

0 0

≤ ≤ ≤ ≤

=

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

n

n

D

Es importante tener presente que el determinante de la matriz P deberá ser igual a 1. Sidicho determinante fuese igual a -1 basta con invertir el orden de las columnas para tener la condición buscada.

El nuevo sistema de coordenadas x´, y´, en el cual la cónica carece del término xy, está

dado por la expresión:

x

y P

x

y x P x T T

′

′

LNM

OQP

=LNM

OQP

′ =o bien

EJEMPLO.

48



S ea V un espacio vectorial sobre C y sea un producto interno en V ,

entonces, u,v V y C :

u = 0

• •

∀ ∈ ∈

=

∈

= =

= ⇔

c h

c h c hc hc h d ic h

α

α α i u v u v

i u u R

ii u u

iii u u

)

)

)

)

0 0 0

0

Algebra Lineal CAPITULO V.

“ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO”

V.1 Definición de producto interno y sus propiedades elementales

PRODUCTO INTERNO:Se ha visto que en un espacio vectorial se tiene la posibilidad de establecer varias operaciones,una operación muy importante es la correspondiente al producto interno entre vectores, la cual sedenota por:

Si una operación cumple con las siguientes propiedades entonces será un producto interno.

Siempre y cuando el campo de definición del espacio vectorial sea el campo de los reales.

EJEMPLO:

En el caso de que el campo de definición del espacio vectorial corresponde al de los númeroscomplejos, la definición de producto interno está dada por la verificación de las siguientespropiedades:

TEOREMA.

49

< >a b

a b

,

e j

1

0 0

)

;

Simetría o conmut atividad

2) Distribut ividad sobre la adición

3) Homogeneidad

4) Positividad

con

a b b a

a b c a c b c

a b a b R

a b a b

a a a

e j d i

d i c h d i

e j e j

e j e j

c h

=

+ = +

= ∀ α ∈

=

> ≠

α α

α α

1

3

4 0

)

) ;

)

* donde * = conjugado

2)

con a 0

a b b a

a b c a c b c

a b a b C

a a

e j d id i c h d i

e j e j

c h

=

+ = +

= ∀ α ∈

> ≠

α α



Algebra Lineal EJEMPLO:

V.2 Definición de norma de un vector y sus propiedades, vectores unitarios. Desigualdad deCauchy-Schwarz. Definición de distancia entre dos vectores y sus propiedades. Definición deángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales.

NORMA DE UN VECTOR

La idea de magnitud (o tamaño) de un vector se introduce formalmente en un espacio vectorial conel concepto de norma.

En un espacio vectorial V, el número no negativo definido por la expresión:

se denomina norma del vector , sobre un producto interno definido.La norma de un vector depende del producto interno que se haya elegido. Un mismo vector puedetener diferentes normas.

Las propiedades que cumple la norma de un vector son las siguientes:

EJEMPLO:

EJEMPLO:

VECTORES UNITARIOS:Se dice que un vector es unitario cuandoPara cualquier vector de un espacio con producto interno, el vector:

TEOREMA: DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZSea V un espacio vectorial sobre C y sea (••) un producto interno en V; entonces:

Además, la igualdad se cumple si y solo si y son linealmente dependientesSi =0 o =0, es inmediato que la igualdad se verifica.

EJEMPLO:

50

v

v

v v v = c h12

v = 1

1

v v

v

v

F H G

I K J

= es un vector unitario

v

v v

∀ ∈

≤

donde es el módulo de

u v V

u v u u v v

u v u v

, :

c h c hc hc h c h

2

u v

u v

1 0 0

2 0 0

3

4

)

)

)

)

s i

s i

v v

v v

v v

u v u v

= =

> ≠

=

+ ≤ +

α α



Algebra Lineal

DEFINICIÓN DE DISTANCIA ENTRE VECTORES.

Empleando el concepto de norma, podemos introducir en un espacio vectorial el concepto dedistancia entre vectores:Sea V un espacio vectorial con producto interno, y sean, ∈ V. Se llama distancia de a yse representa con

La distancia es el conjunto de los números reales no negativos, y tiene las siguientes propiedades.

EJEMPLO:

ÁNGULO ENTRE VECTORESEl ángulo entre dos vectores de un espacio vectorial, se obtiene a partir de la siguiente expresión.

Siempre y cuando el campo de definición del espacio vectorial al cual pertenecen y sean losreales R.

Si el campo de definición es complejo, entonces la expresión que me permite calcular el ángulo es:

Donde R( | ) representa la parte real del número complejo que resulte del producto interno.

• El hecho de que dos vectores definan 90° no implica que sean ortogonales.( | )=2i ≠ 0, pero la parte real es 0 entonces θ=90°

EJEMPLO

VECTORES ORTOGONALES.En un espacio con producto interno, dos vectores y son ortogonales si:

La ortogonalidad depende de la selección del producto interno. Es posible que dos vectores seanortogonales con respecto a un producto interno y que al mismo tiempo no lo sean con respecto aotro producto interno.

51

d u v v u ( , ) = −

1 0

2 0

3

4

) ,

) ,

) , ,

) , , ,

si y sólo si

d u v

d u v u v

d u v d v u

d u w d u v d v w

b gb gb g b gb g b g b g

≥

= =

=

≤ +

u v

u v

u v

,

cos

dos vectores no nulos de V

θ =c h

cos θ =R u v

u v

c h

u v c h = 0

v u u v

u v

u v

u v

v u



Algebra Lineal EJEMPLO.

Uno de los resultados más importantes relacionado con la ortogonalidad de dos vectores es lageneralización del llamado “Teorema de Pitágoras”, el cual se enuncia a continuación.

Sea V un espacio con producto interno y sean y ∈ V. Si y son ortogonales entonces:

V.3 Conjuntos ortogonales y ortonormales. Independencia de un conjunto ortogonal de vectores nonulos. Coordenadas de un vector respecto a una base ortogonal. Proceso de ortogonalización deGram-Schmidt.

CONJUNTOS ORTOGONALES Y ORTONORMALES.Se considera que un conjunto es ortogonal, cuando cada uno de sus vectores es ortogonal a losdemás elementos del conjunto, como lo establece la siguiente definición:

Sea V un espacio con producto interno y sea un conjunto de vectores de V.Se dice que S es un conjunto ortogonal cuando:

Si además el conjunto S es ortonormal.

EJEMPLO:

INDEPENDENCIA LINEAL DE UN CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES NO NULOS.

TEOREMA. Un conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente.

En el capítulo I se estableció el concepto de base de un espacio vectorial, considerando solamente2 condiciones.

- Independencia lineal- Conjunto generador

En este capítulo, se ampliará este concepto al combinarlo con ortogonalidad.

De esta manera, una base ortonormal es aquella base ortogonal en la que todos sus elementostienen como valor del producto interno, consigo mismo a la unidad, esto es:

Para normalizar un vector, hay que dividirlo entre su norma.

Lo anterior significa que para obtener una base ortonormal, se debe partir de una base arbitraria,

por lo cual se llegue a una base ortogonal y finalmente al dividir cada elemento por su normarespectiva, se obtenga la correspondiente base ortonormal.Conjunto Independiente, generador, ortogonal y unitario.

COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO A UNA BASE ORTOGONAL.Dado un vector a de un espacio vectorial, en el cual B constituye una base ortogonal,

se tiene que:52

u v u v + = +2 2 2

S v v v v n= 1 2 3, , , . . . ,l q

v v i j i j e j = ∀ ≠0;

v i i = ∀1;

a ai i c h = 1

B v v v v n= 1 2 3, , , . . . ,l q

u v u v



Algebra Lineal

Para determinar la coordenada αi se procede a efectuar el producto interno de la expresiónanterior, miembro a miembro, considerando como factor al vector v i de la base ortogonal, esto es:En general el vector de coordenadas de a respecto a una base ortogonal viene dado por:

En el caso de que la base sea ortonormal, entonces el vector de coordenadas vendrá dado por:

Es una base ortonormal.

EJEMPLO:

PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT

Este se utiliza para obtener bases ortogonales de un espacio vectorial, a partir de una basecualquiera de dicho espacio.

Entonces, dada la base: de un espacio vectorial, se tiene que:

Representa una base ortogonal del espacio vectorial considerando que:

53

B b b b bn

=1 2 3

, , , . . . ,

n sB v v v v n' , , , . . . ,= 1 2 3l q

donde

v b

v bb v

v v v

r n

r r

r i

i i

i i

r

1 1

1 1

1

1

12 3 1

=

= −

= −

+ +

+

=

∑d ic h

, , , . .. ,

a v v v v n n= + + + +α α α α1 1 2 2 3 3 .. .

a v v v v v v v v v v v

a v v v

a v

v v

u u

i i i i i i i n n i

i i i i

i

i

i i

c h c h c h c h c h c hc h c h

c hc h

c h

= + + + + +

=

=

=

α α α α α

α

α

1 1 2 2 3 3

1

.. . . . .

aa v

v v

a v

v v

a v

v v B

n

n n

b gc hc h

c hc h

c hc h

=L

NMM

O

QPP

1

1 1

2

2 2

, , . . . ,

a a e a e a e

B e e e

B' n

n

b g c h c h c h

l q

=

=

1 2

1 2

, ,. .. ,

' , , . . .,

donde:



Algebra Lineal

EJEMPLO:

V.4 Complemento ortogonal. Proyección de un vector sobre un subespacio. El teorema deproyección.

COMPLEMENTO ORTOGONAL.Sea V un espacio con producto interno y sea S un subconjunto de V. Se dice que un vector ∈ Ves ortogonal al conjunto S si:

El conjunto de todos los vectores de V ortogonales a S se denota como S ⊥ (complementoortogonal), esto es:

S⊥ es un subespacio.

EJEMPLO:

TEOREMA:Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V de dimensión finita. Entoncescualquier vector ∈ V puede expresarse en forma única como:

EJEMPLO:

54

v bb v

v v v

b v

v v v

v bb v

v v v

b v

v v v

b v

v v v

i

i

3 3

3 1

1 1

1

3 2

2 2

21

2

4 4

4 1

1 1

1

4 2

2 2

2

4 3

3 3

31

3

= − +L

NMM

O

QPP∑

= − + +L

NMM

O

QPP∑

=

=

d ic h

d ic h

d ic h

d ic h

d ic h

v u u S c h = ∀ ∈0

S v V v u u S ⊥ = ∈ = ∀ ∈

c h{ }0;

Cerradura suma u u

Cerradura multiplicación

v u

1, 2

1 2 0

0 0 0

0 0

v u v u

v u

c h c h

c h c h

+ =

+ =

=

=

α α

v w w

donde w W w W

= +

∈ ∈ ⊥

'

' y

v

v



b Ax −

~ x R n∈

b Ax b Ax − ≤ −~

~ x ~b

Ax b~ ~=

Algebra Lineal PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN SUBESPACIO.Sea V un espacio con producto interno, W un subespacio de V de dimensión finita y

una base ortonormal de W.

Si v ∈ V, el vector

EJEMPLO:

TEOREMA DE PROYECCIÓN.Uno de los resultados de la teoría de los espacios con producto interno es el llamado teorema deproyección (o teorema de la mejor aproximación).

Se trata de encontrar un vector w0 del plano W que sea “el más cercano” a (o “el másaproximado”), en el sentido de que la distancia entre y w0 sea la menor distancia posible entre

y cualquier vector de W.

Tal vector existe, es único y es precisamente la proyección de sobre el plano W.El vector w0 se conoce como la proyección de v sobre el espacio W, debido a que es la suma delas proyecciones de sobre cada uno de los elementos de una base de W.

Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V. Para cada vector ∈Vexiste uno y sólo un vector w0∈W tal que:

Dicho vector es la proyección de sobre W.

V.5 MINIMOS CUADRADOS.

Los sistemas inconsistentes surgen con frecuencia en las aplicaciones, aunque generalmente nocon una matriz de coeficientes tan grande. Cuando se necesita una solución y no existe alguna, lomejor que se puede hace es encontrar una solución tan cercana a la posible.

Por ejemplo al sistema no homogéneo Ax = b, se debe encontrar una x que haga Ax tan cercana ab como sea posible.

DEFINICIÓN.Si A es una matriz de orden mxn y b está en Rm, una solución por mínimos cuadrados de Ax=b esuna tal que:

TEOREMA:Para cualquier matriz A de mxn y cualquier vector b, hay una solución de mínimos cuadrados deAx=b. Además, si es la proyección de b sobre Col A, entonces:

TEOREMA: Si las columnas de una matriz de mxn forman un conjunto ortogonal, entonces A TA esuna matriz diagonal nxn.

55

v w v w w W w w − < − ∀ ∈ ≠0 0, ,

v v

v

v

v

v

e e e en1 2 3, , , . . . ,l q

v e ei i i

n

c h=

∑1

se llama proyección de v sobre W



~ x

~ x ~ x

A Ax A bT T ~=

∆ = −b Ax ~

~ x A A A bT T =

−

e j1

Algebra Lineal

A A

v

v

v

T

n

=

L

N

MMMMM

O

Q

PPPPP

1

2

2

2

2

0 0

0 0

0 0

TEOREMA:Si A es una matriz mxn, siempre hay solución por mínimos cuadrados de Ax=b.Además,

1. es una solución por mínimos cuadrados de Ax=b si y solo si es unasolución de las ecuaciones normales

El error de mínimos cuadrados se define por:

2. A tendrá columnas linealmente independientes si y solo si ATA es invertible. En este caso, la

solución por mínimos cuadrados es única y puede calcularse con:

EJEMPLO.

Si A no tiene columnas linealmente independientes, habrá varias soluciones de mínimoscuadrados.

EJEMPLO.

56

apuntes ant

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