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Sucesiones de números reales Página nº 2

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Dada la sucesión de números reales con

1.1 Estudiar su monotonía

1.2 Probar que está acotada

1.3 Probar que converge y su límite es 5/3

1.4 Encontrar a partir de qué término de la sucesión en adelante éstos

pertenecen al intervalo

1.1.- ¿ Monótona ?

Como

La SUCESIÓN es MONÓTONA ESTRICTAMENTE CRECIENTE

1.2.- ¿ Acotada ?

Demos una lista de términos de la SUCESIÓN :

Vamos a probar que 2 es una cota de la sucesión :

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6 2 es una COTA de la SUCESIÓN 6 La sucesión está ACOTADA

1.3.- ¿ ?

Bastará, pues, tomar

Y, si queremos dar un término concreto

Además, al tener límite finito Y la SUCESIÓN es CONVERGENTE.

[ Recuerda que E(x) representa la parte entera de "x", es decir, el mayor número entero menor o

igual que "x", por ejemplo : E(2) = 2 ; E(-3) = -3; E(-4, 5) = -5 ]

1.4.- n0 / si n $ n0 . ¿ an 0 ?

Se nos plantea el dilema de saber si tomamos en la definición,

para obtener el n0 correspondiente. Averigüemos primero, por donde "entran" los términos de la

SUCESIÓN dentro del intervalo. Vimos en el apartado 1.1 que la SUCESIÓN es MONÓTONA

CRECIENTE, por lo tanto, los términos de la SUCESIÓN van aumentando de valor y se acercan al

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k|ÅÉ UxÇxçàÉA TÑâÇàxá


límite por la izquierda, tomaremos, pues, . Sustituyendo en el resultado del apartado

1.3, se tiene :

A partir de a155 los términos de la SUCESIÓN se encuentran en el intervalo

2.- Sea la SUCESIÓN de números reales definida por :

x1 = 2

Probar, por inducción, que xn $ 1 œ n 0 ù

2.1 Probar de es monótona decreciente

2.2 Discutir la existencia de límite y, en caso afirmativo, hallarlo.

2.1. ¿ xn $$$$ 1 œœœœ n 0000 ùùùù ?

6 si n = 1 x1 = 2 $ 1. Cierto

6 Suponemos cierta para n = k, es decir, xk $ 1 ( Hipótesis de Inducción )

6 si n = k+1 6 ( Sustituyendo n = k+1 en la expresión de xn )

Si hacemos xk+1-1 tenemos:

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6 Por inducción xn $ 1 œ n 0 ù, por tanto, la sucesión está acotada inferiormente.

2.2. ¿ monótona decreciente ?

Estudiemos si la diferencia xn+1 - xn < 0 œ n 0 ù

6 Si n = 1 Cierta

6 Suponemos cierta para n = k, es decir, xk+1 - xk < 0 ( Hipótesis de Inducción )

6 Si n = k+1

Como, por hipótesis xk+1 - xk < 0 y xn $ 1 œ n 0 ù

6 La propiedad es cierta y xn+1 - xn < 0 Y xn+1 < xn œ n 0 N

6 es MONÓTONA DECRECIENTE ESTRICTAMENTE

2.3. ¿ ›››› ?

Al ser una sucesión de números reales monótona decreciente y acotada inferiormente 6 es

CONVERGENTE

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3.- Hallar

´ Dividiendo numerador y denominador por n3

De otra forma :

´ Sacando factor común en numerador y denominador la máxima potencia de n.(n3)

De otra :

´ Utilizando INFINITOS EQUIVALENTES

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Y, ¡ de otra !:

´ Utilizando Cálculo Rápido en expresiones Racionales

[ Puesto que es tan frecuente esta indeterminación, utiliza en los problemas la técnica que estimes más sencilla]

4.- Sean sucesiones de números reales positivos / an # bn œ n 0 ù y .

Analizar si es CONVERGENTE y hallar su límite

Si ambas sucesiones son de términos positivos y an # bn

5.- Sean y sucesiones de números reales tales que :

Probar que

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Propongamos la definición de ambos límites, con alguna peculiaridad :

Y œ g > 0 sea n0 = máx { n1, n2 } / si n $ n0

[ NOTA : Tomando n0 = máx. { n1, n2 } podemos aplicar las dos desigualdades de las definiciones anteriores ]

6.- Sea una Sucesión Convergente / , y sea b 0 ú / b < a. Probar que existe n0 0 ù /

œ n $ n0 , an > b.

< Si Y aplicando la definición :

Aplicando las

propiedades del valor absoluto:

-g < an - a < g Y sumando a 0 ú Y a - g < an < a + g

En particular, como a > b, a - b > 0. Tomando g = a - b Y › n 0 si n $ n0

, a-(a -b) < an < a +(a -b)

b < an < 2a - b an > b c.q.d.

7.- Hallar

Utiliza la técnica aplicada en este límite, para resolver las indeterminaciones originadas por un cociente

de logaritmos como el del problema.

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´

´ Operando con cuidado

Observa : Una nueva técnica para resolver la indeterminación . Hemos dividido numerador y

denominador por ln(n), expresión conveniente en este problema y similares. La

preparación del límite, si te fijas bien, también ha resultado muy elegante

8.- Dada la SUCESIÓN n $ 2 .

Probar que es CONVERGENTE y hallar su límite.

Sabemos, por teoría, que toda sucesión Monótona y Acotada es CONVERGENTE.

´ ¿ MONÓTONA ?

Vamos a probar por Inducción sobre n, que an+1 - an > 0 œ n 0 ù

si n = 1

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si n = k Suponemos ak+1 -ak > 0 ( Hipótesis Inducción )

si n = k+1

< es MONÓTONA ESTRICTAMENTE CRECIENTE

´ ¿ ACOTADA ?

Vamos a probar por inducción sobre n que œ n 0 ù

Como es de términos positivos, *an * = an

si n = 1 < 5 . Se cumple

si n = k < 5 ( Hipótesis de Inducción )

si n = k+1

< Se cumple la Inducción 6 está ACOTADA

Por tanto, es CONVERGENTE.

Sea

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9.- Hallar

´

Multiplicamos y dividimos por el conjugado :

9.- Hallar

´

Multiplicamos y dividimos por conjugado

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10.- Hallar

´

Preparemos el límite antes de resolverlo :

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[ Observa que, con la separación propuesta, hemos resuelto la indeterminación . Con n2 +AAA+ hemos restado “n” y con

4n2 + AAA hemos restado “2n” ¿ Comprendes ? ]

11.- Hallar

´

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Un sencillo problema con la indeterminación 14

12.- Hallar

´

Preparemos el límite antes de resolverlo, teniendo en cuenta que

Afianzando la idea de preparar las expresiones matemáticas antes de operar con ellas.

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13.- Hallar una relación entre , q … 0.

´ Es fácil comprobar que, en ambos casos se trata de la Indeterminación 14

Así pues, para que ambos límites sean iguales : p - 4q = 3

NOTA : En algunas fases del cálculo de un límite obviamos ciertos cálculos por elementales y repetitivos.

14 Hallar

´

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Aplicando la técnica de la raíz, tenemos :

15.- Hallar

´

Expresando en forma de radical y, aplicando la técnica de la raíz :

16.- Hallar

´

Operando como antes y empleando la expresión generalizada de la técnica de la raíz :

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17.- Hallar

´

Aplicamos la técnica de Stolz : [ es monótona divergente y n2 > 0 œ n 0 ù ]

18.- Hallar

´ Como l n (n+1) es monótona ( ln (n+1) > 0) divergente, aplicamos la técnica de Stolz

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19.- Hallar

´

Como es DIVERGENTE y MONÓTONA aplicamos el criterio de Stolz.

[ Desarrollando por el BINOMIO DE NEWTON :

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20.- Hallar

´

[ Hay n términos como nos indica la estructura de los términos del denominador ]. Vamos a emplear la técnica

del ENCAJE para resolver el límite. [ Técnica del "bocata" para los modernos ó del EMPAREDADO ]

Observemos que :

S Hay n sumandos en el término general

S es el mayor de todos [ tiene el menor denominador ]

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S es el menor de todos [ tiene el mayor denominador ]

Por tanto :

Por tanto, en virtud del teorema del ENCAJE :

21.- Hallar

´

Empleando el infinitésimo equivalente : y sustituyendo, queda :

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[ Diversas formas de resolver una misma indeterminación ]

22. Hallar-

´

Sea L = e8 donde :

Empleando en el numerador, en el denominador no podemos pues forma parte de una resta :

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[ Un bonito problema para delimitar el uso de INFINITÉSIMOS ]

23.- Hallar [ Para que cos a … 0 ]

´

Sea L = e8 donde :

[ Recordemos un poco de trigonometría : cos ( " + $ ) = cos "A cos $ - sen "A sen $ ]

[ Una idea feliz, separar convenientemente en dos límites , buscando infinitésimos equivalentes ]

[ Empleando infinitésimos : y , en ambos casos ]

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24.- Hallar

´

Sea L = e8 donde :

25.- Dada la sucesión Probar que es una SUCESIÓN REGULAR ( de CAUCHY)

¿ REGULAR ?

es una SUCESIÓN REGULAR ]

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Bastará tomar, pues :

26.- Hallar

´

Empleando la equivalencia de STIRLING

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27.- Hallar

´

Preparemos el interior del radical

Por lo tanto :

Empleando la equivalencia de STIRLING tanto para n! como para (2n)! :

28.- Hallar el límite de an siendo

´ Hallemos el término general. Como no observamos una expresión geométrica vamos a buscarlo mediante

un polinomio :

´ NUMERADOR

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´ DENOMINADOR

´

Variando la técnica habitual del :

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29.- Hallar el límite de an siendo

´ Hallemos en primer lugar, el término general. Para ello, trabajaremos con las tres sucesiones que forman

parte de él.

Por tanto,

´

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[ Aplicando propiedades de los logaritmos ]

30.- Hallar el límite

´

Ya

que tenemos

una raíz

cúbica,

vamos a

emplear :

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´

Bien, ya está listo. Vamos a dar dos formas de resolverlo :

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32.- Sabiendo que . Hallar

´

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33.- Dada la SUCESIÓN Estudiar la convergencia según a 0 ú

´ Recordemos que una sucesión es convergente si ›

Discutamos, pues, el valor del límite de an según valores de "a", tomando como referencia el valor 3

del grado del denominador

6 Si a = 3 pues el grado del numerador = grado del denominador

6 Si a < 3 pues el grado del numerador < grado del denominador

6 Si a > 3 pues el grado del numerador > grado del denominador

Así pues, para valores de a 0 ú a # 3 la SUCESIÓN es CONVERGENTE.

34.- Hallar el límite a, b, c > 0

´

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´


Sea :

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Límites auxiliares :

38 Hallar el límite

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Razonemos con una propiedad que dejamos en su rincón de la teoría:

Sea an = 1n + (-1)n Y está ACOTADA pues *an* # 2 œ n 0 ù

Sea bn = Y es tal que

[ ¿ Ha estado bien el razonamiento, eh? ]

En cambio, = ò

[ Cosas de la matemática ]

39 Hallar

[¿ Cómo seguir ? . Las técnicas usuales del no nos sirven,... tal vez la técnica de STOLZ. ]

Probemos 2n > 0 y diverge a infinito

[ Esta técnica deberemos dominarla para el trabajo que desarrollaremos en el tema de Series, al sumar las

Aritmético-Geométricas ]

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40 Hallar

Aplicando la técnica o Criterio de Stolz

Aplicando de nuevo Stolz

41 Aplicando la definición de límite, demostrar que

En efecto :

œ M > 0 › n0(M) / si n $ n0 Y > M

Busquemos la relación n0 - M, para ello recurriremos a un habilidoso juego de acotaciones en la expresión

> M

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Bastará tomar, pues, n0 > M œ M > 0 para que > M

42 Hallar el valor de “a” para que las dos sucesiones siguientes tengan el mismo límite

S Hallemos ambos límites :

S [ 00 Indeterminación. Técnica de la Raíz ]

= Indeterminación. Cálculo rápido Expresiones Racionales ]= 1

S Indeterminación. Operando ] =

= = [Dividiendo por 6n] =

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para a = 1 ambas sucesiones tienen el mismo límite.

43 Probar que y son INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES

S Tendremos que comprobar que el límite del cociente de ambos INFINITOS es 1

Sea, pues, Aplicamos la técnica de Stolz ] =

[ Operamos y simplificamos ]

* = ln e = 1

Y ~

44 Hallar

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S = [ 14 Indeterminación. Técnica del número e ] = e8

Indeterminación. Optamos por

la técnica de Stolz ]

Indeterminación Cálculo

rápido Expresiones Racionales ] = ln 1 = 0

= e0 = 1

45 Hallar

S = 1 + ò = ò

[ Ni 1 ni -1 ni ningún otro número cumplen la definición de límite ]

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