GR 1 L. 2 .

Wektorystycsne , kowektovy M - rozmaitosi gtadke ,CYM ) algebra fuukyi growl kick me

M,

FCO ) algebra funky grandkids no , stone otwowtym O sawavtym w M.

←ada

.me/oolwowtysawiercgpcy0UstalmypunktXeM.rjI-M8(o)=x1RTkmywegradkieWabiomeC0(M)wpnowaokouuynelag.qniwuowaZuosa.2wip2aug2puuktaux:moioimy

,ze date

fuukye fif'

sp ndwnowazne w × wteayitylko wteoly , gay ale kazolg.

Kmywg.

8 jak wyzg.

o¥f°M±=o=¥ftMt⇒.

Klasq Ndwwowazhosa.

funky f ozuacsamy dfk ) imasywamy vioznicskgfuukji f wpunkuie ×

.

Lbion CTM ) lest wszcsegoluosa.

pmestmeuip wektorowq .

Strukturo pnsestmeui wektorowg.

, pmezywa"

dzieleuie pmez nelocjq niwuowaznosa.

one wsglgau na to,

Ze ndzhicskowanie pot jest liuiore.

Innymi showy mozemy sdefiniowac strukturg pmestneui wektorowg.

no . Klasacu rdwuowazrwsa.

2a pomocp representation :

df G) + age) := d ( ftgkxj fnf'

, gng'

ton o¥( for )(oko¥(to 8) G), off (g°8)(o)=¥h(g' or )( o )

xafcx ) :=d(Xf ) C x ) wtedyftg ~ ftg'

off #+g) or ) G) = off # 6) tohftfgorko)=¥f( for) 6) +

toottojooko) = off #g) °8) 6)

Pmestmen wektonowpnozhicsek funky f wpunkcie x osnacsamy T*xM .

STWIERDZENIE TIM jest skohcsenie wymiarowq pmestmeuig wektorowq wymiaru mniwnegowymienaoiNoonmaitosci .

DOWJD : Wesimy ukiad wspolmednych y :( ysi .. . ,y

" ) wotocseniu punktu x. Najwygodniei wybrai

take, zeby fH= ... =p

"( × ) to Pokazemy ,

ze ndznicski dy4 x ) ,...

, dy"

( x ) Sg liniowo miesalezhe

ora2 Ze throne bazg TIM . Wezimy

Xzolyttx) + . . . + Andy"

( × ) =0 02ham to,

Ze funky .e Xy y1t . . . + Any"

jest nowuowazme

fuukyi 0 w punkud x .

Neck Vi 02ham knywg wspitmgdwosciowp ,t2n No )=x yk ( silt ) ) = t.si .

( xipt ... any" ) or

, = xiforit .

. . + any "or ;

= xit

# ( 114 't . . . + Any"

) ori ( o ) = # ( hit )|⇐o = X ; Riwuowazuosi fmkyi state = 0 osuocse dio .

Rolznicski fuukyi wspotmgduosciowychtwomq uktad liwiowo - miesalezmy .

Teraz pokazewy ze dfcx )

moze by'c sapisane jako Kowbinogd limiowe moznicsek dy?... dym . Dozwazmy atozeuie

funky f a powouuehyaaqiq damp pmez uktad wspotmgdnych yd :

,Yzn→ Onm

f of'

jest funky .p n swieunym meosywinych .

tatwo stwierobic'

* ¥ ( fog'

)|o - oottffori ) G) = : Ey¥1×

Pokazemy ze f jest nownowazme wpuukue × funky.it#s/xy2+fytIY2t...tftyzhyh=:fIstotnie, vozwazmy kmywg 8 : I → M no )=x

,

+ mywe w R "

off for )(o)=oE÷( fofloyorko ) = Ytg9I(ojftllyiorko ) - oft ( for )( o )-

funky 'd me Rn -

¥ilx

wiemyize dfcx) = ysytfxdy'H+ . . . +jtytnlxdyhk ) wigc dfktdfcx ) =

ftp./xdy1klt...+fydn/xdynH.PokazalismyizeT*Mjestno2pigtepme2dq1Cx) ... dy

"

( × ).

Stwierokeuie sostouo dowieobiome.

a

TIM mazywamy pmestmeniq Kostyosnq do M w punkue x. Jest to mwymiarowapmestmen'

wektorowa.

Lbior ×YmTx*M oznocsamyT * M i nasywamy wig 2kg Kostycsnq do M

. ShukturpT*M zajmiemy siq wkrotce .

Majgc TIM - skonicsenie wyuiiowowq pmestmeh wektorowq mozemy ocsywiscie sdefimiowac'

duaengdo mig.

pmestmen , ktorq osnacsymy Txmimaaoiemypmestmeuiq stycsnq do M w

punkcie x. 2 defimigi jest to skonicseuie wyuiieuowa pmestmen'

wektorowe. sajmieeuy he

terror poszukiwauiem wygodnyck realizing TM w mniq.

abshakyjmym jgzyku .

Zauwazmy , ze Kazda knywa V : I→M take,

ze r ( o ) - X defimiye fuukgionae limingme pmestmeni TYM wsorem

T×*M a df(x ) - off # ( o ) EIR

STWIERDZENIE : Kazdy funky .onoI liuiowy me TIM zadany jest pmez pewnq

kmywq

DOWJD Dow 'od pvowowbimypny uzyciu wspilmgdnych .Nick

PETYMp .-

pzdfk) + ... +

pndqyx) . Dowolny funkyinot liuiowy he # M mozme wyraaiiwe wspiimgdnycn ✓

(Psi... ,

Pn ) -> vlpztrtpzt . . . + ohpn e R

Bawazmy knywq 8✓ :I→M Ict ) - f'

( v 't,

02T,

...

,out ) ,

tzn qi ( Mti ) = vit

Biorgc neprezeutante p Poston

fp ( x ) = pzyyx ) + . . . + pnyhlx ) dostojemy

¥ ( fpoti )(o)=offk=o ( pro 'tt ... + pnoht ) - Pitt .. . tpno

"

Fuukyouai o zwigzauy jestwise 2 knywq of . osywiscie wide kmywycn prowowbiobtegosaeuego fuutyomouu :

Wsbioke kbywych pmechodzgcych pmea × abet -0 wprowowkamy relay rowuowaznosii :

v~r'

⇐ > VFECTM ) ¥ ( fo 8) ( o ) = 0¥ ( for'

) ( o )

tatwo zauwazyi ze done Kmywe sq riwmwazne wtedyitylko wtedyydy defining.ee

ten saw fuutyowae liuiowy we Tx*M . Istmieje wigc wzajemnie jedhoauacsmeodpowiedniosc migoby wektorami stycsnymi a keasawi vdwwowazhosci kmywych .

Fuukyiuou , ktoryodpowiowhekmywq.

Vhazywamy wektonem stycsnym do rw to i

oznacsamy JCO) lub tko ) . Zauwazmy ,ze struktura wektonowd w T×M hie

pochodziad representation ,ale jest sdefimioweme popmes olualnosd

.

Ukiad wspotmgdnych defining .e bazg dy'

... dy"

. Oznacsmy ¥ wektor stycsnydo knywej t - f

'

( 0, ;yt,

...0 ) .

STWIERDZENIE : (3ps , ...

, In ) jest base wTx*M dualug do dy?. .dy

".

DOWOD : Wystanosypokasai

( dqi , # > = dj : ( dqi , # ) = off yifflaiitr . 91+5= ftp.odijt - dig a

Wektory stycsnewyreprezentowai mozmejeszcse imacsej . Nick Ai B oznaosojgdwie algeory mecsywiste , pmemienne 2 jedynkq .

Nieu takze g : A → B bgdziehomomorfizmem algebr . Rtznicskowaniem alyebry A wsglgdem homomorfizmu

g hazywamy liuiowe odwzorovanie D: A → B spetuiajgce wowuuek

V. Qaase A D ( asaz ) = �1� ( as )g( az ) + gc an )D( as )

Powyzhywowuuek nazywesig Reguiq Leibnize. Pmypomineistotuie RL. shame

2 nachuuku Ndzhicskowego jeduej siuiennej . Iauwazmy ,Ze jail

.

1^-02 none jeolynkg w

algebke A to DHA )=O dhe olowolneguD:

DGA )=D(1a1^ ) = SHA )D(1a ) + DAA )gAA ) = 1pDAa ) + DAAHB = 2. Daa )

Dan )=2DHa ) ⇒ D ( 1^1=0

Nick terror A= CTM ) ,13=112 g

: f- fcx ) olla ustalonego xem. Obserwaqie :

Kazoly wektov stycsny JCO ) defimiuje vizhicskowanie wtglgdem homomorfizmubgdpcego ewalwagig fuukyi w punkcie .

Istotnie,

odwzarowanie

f 1- oott ( for ) ( o ) jest liuiowe, zalezyjeolynie od JCO ) oraz

f. gi→ftt¢f. g) or )(o)=oYz¢for )( gor ))(o) - ( for )6)otk(got )(o ) + off ( for )6)(g°DG)=

=fC x ) # gcrko ) + gHgt( for )(o )

STWIERDZENIE : Kazde rizhicskowanie Co ( M ) had ftffx ) pochoobi od

wektora stycsnego .

LEMAT : Ofuukyiach Znikafgcych W punkcie : Niech fbgdzie growlkg funky .q okre -

sling me otocseniu Ow R"

. wtedy f ( × ) = xigilx ) dle pewnych gradkich fuukcji

:Owid : Wezimy ×eR

"w otoueniu 2 era

,I c R [ on ]cI

Fct ) =f( tx ) = fltxt ,tx ?

. .

tx"

)

Fjest funky.q gradkq . Moto . Hazystojgcz podstawowegotwierokenie rachunku

Ndznicskowego iwukouego

F. G) = § Ficsds = § 3¥ (a) xids - xi § }f÷Csx)ds = xig ;

÷ .

gi sq fuukyiemi gradkimi co wynike 2 odpowiednich twierdzen 0 wiekaih 2 paramewem .

a

DOWO 'D STWIERDZENIA : Nick D bgdzie riznicskowaniem Co ( M ) wsglgdem f- fk )

Komystajgc z leiuatn zapisujemy f w szcsegiluq.

posada.

f- fK)t yigi f- fk ) Mike w x wigc . . .

J salezyooe f a nie

funky .e state niwna fk ) od D

DCfkDCfHtyigij-DfhxDtDCgigiI-otTTxiDCgiltDCqijgiH-DCyijgYxITelicsty2alezpadDJWukiadziewsp.otmgdnycuyDzaowmejestlicsoamiv2.i.Vngobievi-DCyijWeomytera2knywq8vCtklflCv1t.v2ti.i.vhtjipolicsmyDqCf1DqCfj-oYTCfokK9-oftlfHtgiC8vltDgi@HlDkjo0ttCTZvitgiCrvHDh.o-TVigiK-D-fjRszhicskowam.e

Dpodwobi wigcod I. •