szkice do wykładu z rachunku prawdopodobieństwa ii rok

Szkice do wykładu z Rachunku prawdopodobieństwa1

II rok matematyki finansowej

III roku matematyki ogólnej

III roku matematyki z metodami informatycznymi

dr Jarosław Kotowicz

24 lutego 2003 roku

1 c© Copyright J.Kotowicz

Spis treści

1 2002.10.01 / 2h 6

1.1 Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 2002.10.08 / 2h 8

2.1 Wzór Beyasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Zdarzenia niezależne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Zdarzenie zależne. Współczynnik korelacji zdarzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Prawdopodobieństwo geometryczne. Paradoks Bertranda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 2002.10.15 / 2h 11

3.1 Schemat Bernoulliego i jego uogólnienia. Schematy urnowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Jednowymiarowe zmienne losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 2002.10.22 / 2h 14

4.1 Uzupełnienia poprzedniego wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Jednowymiarowe zmienne losowe c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Wartość oczekiwana zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 2002.10.29 / 2h 17

5.1 Parametry liczbowe rozkładów c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Parametry pozycyjne rozkładów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 2002.11.05 / 2h 20

6.1 Przykłady jednowymiarowych rozkładów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.2 Nierówność dla zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 2002.11.12 / 2h 23

7.1 Nierówność dla zmiennych losowych c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2 Niezależne zmienne losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.3 Funkcje tworzące prawdopodobieństwa i reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

8 2002.11.19 / 2h 268.1 Własności funkcji tworzących prawdopodobieństwa i reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.2 Zbieżności zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9 2002.11.26 / 2h 289.1 Zbieżności zmiennych losowych c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.2 Prawo 0 – 1 Kołmogorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10 2002.12.03 / 2h 3010.1 Nierówności typu Czebyszewa dla sum zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

11 2002.12.10 / 2h 3111.1 Zbieżności szeregów zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.2 Prawa wielkich liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12 2002.12.17 / 2h 3312.1 Prawa wielkich liczb – c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13 2003.01.14 / 2h 3513.1 Zasady egzaminu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.2 Prawa wielkich liczb – c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

14 2003.01.21 / 2h 3614.1 Twierdzenie Moivre’a - Laplace’a – lokalne i globalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

15 Egzamin 3815.1 Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2 Zadania z egzaminu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3 Zadania z egzaminu poprawkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

Program wykładu

Plan wykładu z przedmiotu Rachunek prawdopodobieństwaw roku akademickim 2002/2003

II rok matematyki finansowej - studia dzienneIII roku matematyki ogólnej - studia dzienne

III roku matematyki z metodami informatycznymi - studia dzienne30 godzin wykładów prowadzący dr J. Kotowicz

Zagadnienia wykładu.1

1. Częstotliwościowe pojęcie prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna. Własności prawdopodobieństwa. 1 godz.

2. Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa. 1 godz.

3. Zdarzenie niezależne. Niezależność zespołowa i parami. 1 godz.

4. Zdarzenie zależne. Współczynnik korelacji zdarzeń. 1 godz.

5. Miara geometryczne i prawdopodobieństwo geometryczne. Paradoks Bertranda. Przestrzenie produktowe jako prze-strzenie dla serii doświadczeń niezależnych. Schemat Bernoulliego i jego uogólnienia (zagadnienia Poissona, Pascala,uogólniony schemat Bernoulliego, Pólya). 1 godz.

6. Jednowymiarowa zmienna losowa.

(a) Dystrybuanta i jej własności. 2 godz.

(b) Przekształcenia zmiennej losowej - związek między dystrybuantami. 1 godz.

(c) Parametry liczbowe i pozycyjne zmiennej losowej: momenty zwykłe, centralne, bezwzględne; wartość oczekiwanai wariancja; odchylenie standardowe, przeciętne, współczynnik zmienności, współczynnik asymetrii, kwantyle,mediana i moda - dominanta. 2 godz.

(d) Przykłady rozkładów ciągłych i dyskretnych. 1 godz.

7. Nierówność związane z momentami dla zmiennych losowych. 2 godz.

8. Niezależność zmiennych losowych. 1 godz.

9. Funkcja tworząca rozkładu zmiennej losowej i jej własności. 1 godz.

10. Ciągi zmiennych losowych. Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych (z prawdopodobieństwem 1, według prawdo-podobieństwa, według k - tego momentu bezwzględnego) i związek między nimi. 3 godz.

11. Prawo 0-1 Kołmogorowa. 1 godz.

12. Sumy niezależnych zmiennych losowych. Nierówności Levy’ego - Ottavianiego oraz Kołmogorowa. Twierdzenie o dwóchszeregach. Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach. 2 godz.

13. Prawa wielkich liczb.1Mogą byc jeszcze modyfikowane

4

(a) Słabe prawo wielkich liczb (Bernoulliego, Czebyszewa, Chinczyna i in.). 2 godz.

(b) Mocne prawo wielkich liczb i warunki dostateczne na jego zachodzenie. Twierdzenia Kołmogorowa 2 godz.

14. Twierdzenia Moivre’a - Laplace’a. 2 godz.

Literatura podstawowa:

1. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987

2. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1981

3. M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1967

4. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2001

5. L. T. Kubik, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1981

6. A. Płocki, Rachunek prawdopodobieństwa dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1981

Literatura uzupełniająca:

1. I.J. Dinner i in., Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach i problemach, PWN, Warszawa 1979

2. T. Gersternkorn, T. Śródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1983

3. W. Krysicki i in., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa 1986

4. J. Stojanow i in., Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszaw 1991

5. Statystyka zbiór zadań, PWE, Warszawa 1995

5

Wykład 1

2002.10.01 / 2h

1.1 Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa

Definicja 1.1 Przestrzenia probabilistyczną nazywamy przestrzeń mierzalną z miarą unormowaną. Oznaczamy ją (Ω, Σ, P ).

Miarę probabilistyczną nazywamy prawdopodobieństwem.

Twierdzenie 1.1 Własności prawdopodobieństwa

P (∅) = 0 (1.1)

∀A,B∈ΣA ⊂ B ⇒ P (A) ¬ P (B) (1.2)

∀A,B∈ΣA ⊂ B ⇒ P (B \ A) ¬ P (B) − P (A) (1.3)

∀A∈ΣP (A′) = 1 − P (A) (1.4)

∀A,B∈ΣP (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (1.5)

∀n∈N∀A1,...,An⊂ΣP (n⋃

k=1

Ak) =n∑

i=1

(−1)i−1∑

1¬k1<...<ki¬n

P

(i⋂

l=1

Akl

)(1.6)

∀An:n1⊂ΣP

( ∞⋃n=1

An

)¬

∞∑n=1

P (An) (1.7)

∀An:n1⊂ΣAn : n 1- wstępujący ⇒ P

( ∞⋃n=1

An

)= lim

n→∞P (An) (1.8)

∀An:n1⊂ΣAn : n 1- zstępujący ⇒ P

( ∞⋂n=1

An

)= lim

n→∞P (An) (1.9)

Przyklad 1.1 Niech Ω = ωO, ωR , Σ = 2Ω oraz P będzie określone następująco: P (∅) = 0, P (ωO) = P (ωR) = 12 .

Wówczas (ωO, ωR , Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną

Przyklad 1.2 Niech Ω = [0, 1], Σ = B([0, 1]) oraz P będzie miarą generowaną przez długość odcinka.

Wówczas ([0, 1], B([0, 1]), P ) jest przestrzenią probabilistyczną

Uwaga 1.1 Nie są prawdziwe następujące implikacje

P (A) = 0 ⇒ A = ∅ (1.10)

P (A) = 1 ⇒ A = Ω (1.11)

Przyklad 1.3 Dla przestrzeni z przykładu (1.2) określamy zbiory A =

12

, B = Q ∩ [0, 1] C = C - zbiór Cantora. Wówczas

P (A) = P (B) = P (C) = 0.

6

1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 1.2 Niech A, B ∈ Σ. Załóżmy, że P (B) 6= 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warun-kiem, że zaszło zdarzenie B (piszemy P (A/B)) nazywamy liczbę

P (A/B) def=P (A ∩ B)

P (B)(1.12)

Niech card I ¬ ℵ0.

Definicja 1.3 Przeliczalną rodzinę zbiorów Ai : i ∈ I ⊂ Σ nazywamy układem zupełnym (zdarzeń) wtedy i tylko wtedy,gdy ⋃

i∈I

Ai = Ω (1.13)

∀i,j∈I i 6= j ⇒ Ai ∩ AJ = ∅ (1.14)

∀i∈IP (Ai) 6= 0 (1.15)

Twierdzenie 1.2 (Prawdopodobieństwo całkowite) Niech Ai : i ∈ I ⊂ Σ będzie układem zupełnym. Wówczas dladowolnego zdarzenia A

P (A) =∑i∈I

P (A/Ai)P (Ai) (1.16)

1.3 Zadania

Zadanie 1.1 Udowodnić (1.8) oraz (1.9).

Zadanie 1.2 Niech

∀1¬k¬n−1, P (k⋂

l=1

Al) > 0. (1.17)

Udowodnić, że

P (n⋂

l=1

Al) = P (An/n−1⋂l=1

Al) · P (An−1/n−2⋂l=1

Al) · . . . · P (A2/A1) · P (A1). (1.18)

Zadanie 1.3 Jeżeli wiadomo, że

P (A/B) = P (B/A) ∧ P (A ∪ B) = 1 ∧ P (A ∩ B) > 0, (1.19)

to dla jakich rzeczywistych a mamy P (A) > a ?

7

Wykład 2

2002.10.08 / 2h

2.1 Wzór Beyasa

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech card I ¬ ℵ0.

Twierdzenie 2.1 (Wzór Bayesa) Niech Ai : i ∈ I ⊂ Σ będzie układem zupełnym. Wówczas dla dowolnego zdarzenia A

o niezerowym prawdopodobieństwie i dowolnego i0 ∈ I

P (Ai0/A) =P (A/Ai0)P (Ai0)∑

i∈I

P (A/Ai)P (Ai)(2.1)

2.2 Zdarzenia niezależne

Niech (Ω, Σ, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 2.1 Mówimy, że zdarzenia A, B z tej przestrzeni są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

P (A ∩ B) = P (A) · P (B) (2.2)

Stwierdzenie 2.1 Niech A, B ∈ Σ oraz P (B) 6= 0. Zdarzenia A, B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

P (A/B) = P (A) (2.3)

Dany jest układ zdarzeń A1, . . . , An ⊂ Σ.

Definicja 2.2 Mówimy, że zdarzenia A1, . . . , An są niezależne zespołowo wtedy i tylko wtedy, gdy

∀1¬k¬n∀1¬i1<...<ik¬nP

(k⋂

l=1

Ail

)=

k∏l=1

P (Ail) (2.4)

Definicja 2.3 Mówimy, że zdarzenia A1, . . . , An są parami niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

∀1¬i<j¬nP (Ai ∩ Aj) = P (Ai) · P (Aj) (2.5)

Przyklad 2.1 Niech Ω = [0, 1]2 oraz Σ = B([0, 1]2). Określamy zdarzenia następująco:

A ≡ Bdef= (x, y) : x > y ∩ [0, 1]2 ∧ C

def=

(x, y) : x <12

∩ [0, 1]2 (2.6)

Wówczas P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C), ale układ nie jest układem zdarzeń niezależnych i parami niezaleznych.

Twierdzenie 2.2 Każdy układ zdarzeń niezależnych jest układem zdarzeń parami niezależnych.

Przyklad 2.2 Na czworościennej kostce (czworościan foremny) napisano na trzech ścianach dokładnie jeden raz jedną zliczb 1, 2 i 3, zaś na czwartej ścianie je wszystkie. Określamy zdarzenia Ai - wyrzucono liczbę i. Zdarzenia A1, A2, A3 sąparami niezależne, ale nie są niezależne zespołowo.

8

Twierdzenie 2.3 Istnieje układ zdarzeń parami niezależnych, który nie jest układem zdarzeń niezależnych.

Definicja 2.4 Dany jest układ zdarzeń An : n 1 ⊂ Σ. Mówimy, że układ zdarzeń jest niezależny (inaczej układ zdarzeńAn : n 1 jest układem zdarzeń niezależnych) wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny skończony jego podukład jest układemzdarzeń niezależnych

Twierdzenie 2.4 Zdarzenia rozłączne A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P (A) = 0 lub P (B) = 0.

Twierdzenie 2.5 Niech card I ¬ ℵ0. Niech A ∈ Σ oraz Ai : i ∈ I ⊂ Σ i zdarzenia Ai : i ∈ I są parami rozłączne.Wtedy, o ile dla dowolnego i ∈ I niezależne są zdarzenia A i Ai, to niezależne są zdarzenia A,

⋃i∈I

Ai.

Twierdzenie 2.6 Oznaczymy A0 ≡ A oraz A1 ≡ A′. Następujące warunki są równoważne

A1, . . . , Anniezależne (2.7)

∀ε1,...,εn∈1,...,n0,1B1 = Aε11 , . . . , Bn = Aεn

n niezależne (2.8)

∀ε1,...,εn∈1,...,n0,1P

(n⋂

k=1

Aεk

k

)=

n∏k=1

P (Aεk

k ) (2.9)

Twierdzenie 2.7 Niech A1, . . . , An ⊂ Σ będzie układem zdarzeń niezależnych. Wówczas

P

(n⋃

k=1

Ak

)= 1 − P

(n⋂

k=1

A′k

)= 1 −

n∏k=1

(1 − P (Ak)) (2.10)

2.3 Zdarzenie zależne. Współczynnik korelacji zdarzeń

Niech (Ω, Σ, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Definicja 2.5 Mówimy, że zdarzenia A, B są zależne wtedy i tylko wtedy, gdy

P (A ∩ B) 6= P (A) · P (B) (2.11)

Inaczej mówimy, że nie są niezależne.

Definicja 2.6 Niech A, B ∈ Σ oraz P (A), P (B) ∈]0, 1[. Współczynnikiem korelacji zdarzeń A i B nazywamy liczbę wyrażonąwzorem

ρ(A, B) def=P (A ∩ B) − P (A)P (B)√

P (A)P (A′)P (B)P (B′)(2.12)

Twierdzenie 2.8 Niech A, B ∈ Σ oraz P (A), P (B) ∈]0, 1[. Wtedy

ρ(A, B) = ρ(B, A) (2.13)

ρ(A′, B) = ρ(A, B′) = −ρ(A, B) (2.14)

ρ(A′, B′) = ρ(A, B) (2.15)

ρ(A, B) = 0 ⇔ A, B niezależne (2.16)

ρ(A, A) = 1 ∧ ρ(A, A′) = −1 (2.17)

ρ(A, B) = 1 ⇒ P (A) = P (A ∩ B) = P (B) (≡ P (A ÷ B) = 0) (2.18)

ρ(A, B) = −1 ⇒ P (A ∩ B) = 0 (2.19)

|ρ(A, B)| ¬ 1 (2.20)

2.4 Prawdopodobieństwo geometryczne. Paradoks Bertranda

Definicja 2.7 Niech Ω będzie takie, że card Ω = ℵ0 oraz miech Σ = 2X . Przyporządkujmy dowolnemu elementowi ω ∈ Ωnieujemną liczbę pω następująco P (ω) = pω, gdzie

∑ω∈Ω

pω = 1. Wówczas (Ω, Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną

przeliczalną.

9

Uwaga 2.1 Takie przyporządkowanie jest możliwe wyłącznie dla zbioru przeliczalnego. Jest to uogólnienie prawdopodobień-stwa ze zbioru skończonego.

W przypadku zbiorów nieprzeliczalnych dochodzi trudność z określeniem przestrzeni, jak i miary probabilistycznej na tejprzestrzeni.

Przyklad 2.3 (Paradoks Bertranda) Dane jest koło o promieniu r > 0, Na kole wybieramy losowo cięciwę. Jakie jestprawdopodobieństwo, że będzie miała ona długość większą od długości boku trójkąta równobocznego wpisanego w brzeg tegokoła (okrąg) ?

Rozważyć następujące wybory:(i) położenie środka cięciwy na kole;(ii) ustalony kierunek cięciwy;(iii) ustalony jeden z końców cięciwy.

2.5 Zadania

Zadanie 2.1 Udowodnić, że dla dowolnych niezależnych zdarzeń A, B niezależne są zdarzenia B i A.

Zadanie 2.2 Udowodnić, że dla dowolnych niezależnych zdarzeń A, B niezależne są zdarzenia A, B′.

Zadanie 2.3 Udowodnić, że dla dowolnych niezależnych zdarzeń A, B niezależne są zdarzenia A′, B′.

Zadanie 2.4 Udowodnić, że dla dowolnego zdarzenia A niezależne są zdarzenia A, ∅ oraz A, Ω.

Zadanie 2.5 Udowodnić, że dowolne zdarzenia A, B takie, że P (A) = 0 lub P (A) = 1 są niezależne.

Zadanie 2.6 Udowodnić twierdzenie 2.6.

Zadanie 2.7 Udowodnić warunki (2.13 – 2.17) twierdzenia 2.8.

Zadanie 2.8 Niech P (A/B) = P (A/B′) oraz P (B) > 0, P (B′) > 0. Udowodnić, że zdarzenia A, B są niezależne.

Zadanie 2.9 Niech A ⊆ B, A i C oraz B i C są zdarzeniami niezależnymi. Udowodnić, że zdarzenia B \ A i C są równieżniezależne.

Zadanie 2.10 W czterech następnych zadaniach mamy Ω =]0, 1], a P jest miarą na ]0,1] generowaną przez długość (tzn.mamy doczynienia z przestrzenią probabilistyczną (]0, 1], B(]0, 1]), PL)).

Podać przykład zdarzeń niezależnych A1, A2 takich, że P (A1) = P (A2) = 23 .

Zadanie 2.11 Podać przykład zdarzeń niezależnych A1, A2, A3 takich, że P (A1) = P (A2) = P (A3) = 12 .

Zadanie 2.12 Podać przykład zdarzeń niezależnych A1, A2, . . . , An takich, że P (A1) = P (A2) = . . . = P (A3) = 12 .

Zadanie 2.13 Podać przykład nieskończonego przeliczalnego układu zdarzeń niezależnych.

Zadanie 2.14 Czy prawdziwe jest zdanie: Jeśli dwa zdarzenia wykluczają się, to są one zależne ?. Odpowiedź uzasadnij tzn. wprzypadku pozytywnej, przeprowadź dowód zaś w przypadku negatywnej podaj kontrprzykład, ponadto podaj w tym przypadku,o ile istnieją, warunki wystarczające, aby zdanie było prawdzie.

10

Wykład 3

2002.10.15 / 2h

3.1 Schemat Bernoulliego i jego uogólnienia. Schematy urnowe

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Istniej miara probabilistyczna – prawdopodobieństwo w przestrzeniproduktowej (Ωn, σa(Σn), Pn), gdzie Xn jest n krotnym produktem kartezjańskim X, zaś σa(Σn) jest najmniejszym σ -ciałem podzbiorów Ωn zawierającym Σn.

Twierdzenie 3.1 (Schemat Bernoulliego.) Jeżeli przeprowadzono n jednakowych i niezależnych prób, gdzie zdarzenie A

mogło pojawić się w pojedynczej próbie z prawdopodobieństwem p, to prawdopodobieństwo że zaszło ono dokładnie w k próbach(0 ¬ k ¬ n) wynosi (

n

k

)pk(1 − p)n−k (3.1)

Uwaga 3.1 n identycznych prób będziemy nazywać serią (długości n).

Twierdzenie 3.2 (Uogólniony schemat Bernoulliego.) Jeżeli przeprowadzono n jednakowych i niezależnych prób, gdziew pojedynczej próbie mogły pojawić się dokładnie jedno ze zdarzeń A1, . . . , Ar z prawdopodobieństwem równym odpowiednio

p1, . . . pr, gdzier∑

i=1pi = 1, to prawdopodobieństwo że każde zdarzenie Ai zaszło dokładnie ni - razy (0 ¬ ni ¬ n), gdzie

i = 1, . . . , r i∞∑

i=r

ni = n wynosi

n!n1! · · · nr!

r∏i=1

pnii (3.2)

Twierdzenie 3.3 (Zagadnienie Poissona.) Przeprowadzamy ciąg serii doświadczeń według schematu Bernoulliego tak,aby w poszczególnych seriach liczb doświadczeń wzrastała do nieskończoności, a jednocześnie prawdopodobieństwo sukcesu pn

dążyło do zera, przy czym npn = λ było stałe. Jeżeli oznaczymy przez An,k zdarzenie, że w n - tej serii otrzymano dokładniek sukcesów, to

limn→∞

P (An,k) = e−λ λk

k!(3.3)

Twierdzenie 3.4 (Zagadnienie Pascala.) Jeżeli przeprowadzono n prób według schematu Bernoulliego, to prawdopodo-bieństwo że do uzyskania k sukcesów będzie potrzebnych dokładnie n prób wynosi(

n − 1k − 1

)pk(1 − p)n−k (3.4)

3.2 Jednowymiarowe zmienne losowe

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Rozważmy (R, B(R)), gdzie B(R) jest rodzina zbiorów borelowskich.

Definicja 3.1 Jednowymiarową zmienną losową nazywamy każde odwzorowanie X: Ω → R takie, że

∀B∈B(R)X−1(B) ∈ Σ. (3.5)

11

Twierdzenie 3.5 Jeżeli odwzorowanie X : Ω → R jest zmienną losową wtedy i tylko wtedy, gdy

∀t∈RX−1((−∞, t]) ∈ Σ. (3.6)

Uwaga 3.2 Warunek (3.6) można zapisać w postaci

∀t∈Rω : X(ω) ¬ t ∈ Σ.

Definicja 3.2 Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy indukowane odwzorowanie µX : R → R takie,że

∀B∈B(R)µX(B) = P (X−1(B)), (3.7)

które jest nieujemny, przeliczalnie addytywne oraz spełnia warunek µX(R) = 1.

Uwaga 3.3 Będziemy pomijać indeks X, jeżli będzie wiadomo o jakiej zmiennej mówimy.

Definicja 3.3 Dystrybuantą jednowymiarowej zmienne losowej nazywamy funkcję FX : R → R określoną wzorem

FX(t) def= P (X ¬ t) (3.8)

Twierdzenie 3.6 (Własności dystrybuanty) Niech F będzie dystrybuantą jednowymiarowej zmiennej losowej X. Wów-czas

(i) F jest funkcją niemalejącą.

(ii) F jest funkcją prawostronnie ciągłą.

(iii) limx→+∞

F (x) = 1.

(iv) limx→−∞

F (x) = 0.

Wniosek 3.1 Dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości.

Twierdzenie 3.7 Jeżeli funkcja F spełnia warunki (i)– (iv) twierdzenia (3.6), to jest dystrybuantą pewnego rozkładu.

Definicja 3.4 Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja borelowska1 f : R →R taka, że

∀t∈RF (t) =∫ t

−∞f(r)dr. (3.9)

Definicja 3.5 Jeżeli dla rozkładu prawdopodobieństwa na Rn µ istnieje gęstość, to taki rozkład nazywamy ciągłym.

3.3 Zadania

Zadanie 3.1 (Schemat urnowy Pólya.) Z urny o b białych i c czarnych kulach losujemy jedną kulę, którą zwracamy dourny wykonując jeszcze dokładnie jedną z czynności

(i) dodajemy do urny s kul tego samego koloru, co wylosowana kula;

(ii) wyjmujemy z urny s kul tego samego koloru, co wylosowana kula;

(iii) nic nie robimy.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że postępując tak n razy wylosujemy dokładnie k razy kulę białą. Kiedy rozwiązanie maniezerowe prawdopodobieństwo (dla jakich liczb b, c, s, n i k) ?

Zadanie 3.2 Udowodnić warunki (iii) – (iv) twierdzenia 3.6.

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech An : n 1 ⊂ Σ.

1Dodano w dniu 2002.10.22

12

Zadanie 3.3 Udowodnić, że

∀ω∈Ω

(ω ∈

∞⋂n=1

∞⋃m=n

Am ⇔ ∃(nk)∈RN(nk)-rosnący ∧ ∀k∈Nω ∈ Ank

)

∀ω∈Ω

(ω ∈

∞⋃n=1

∞⋂m=n

Am ⇔ ∃k∈N∀N3nkω ∈ An

)( ∞⋂

n=1

∞⋃m=n

Am

)′

=∞⋃

n=1

∞⋂m=n

A′m( ∞⋃

n=1

∞⋂m=n

Am

)′

=∞⋂

n=1

∞⋃m=n

A′m

Zadanie 3.4 Udowodnić następujący lemat Borela - Cantelliego

∞∑n=1

P (An) < +∞ ⇒ P (∞⋂

n=1

∞⋃m=n

Am) = 0 (3.10)

An : n 1-układ niezależny ∧∞∑

n=1

P (An) = +∞ ⇒ P (∞⋂

n=1

∞⋃m=n

Am) = 1 (3.11)

Zadanie 3.5 W urnie znajduje się n jednakowych kul z numerami od 1 do n. Kule losujemy po jednej bez zwracania. Obliczyćprawdopodobieństwo, że przynajmniej raz numer kuli będzie się zgadzał z numerem losowania.

Zadanie 3.6 W m różnych komórkach rozmieszczono n czerwonych i r zielonych kul, przy czym w każdej komórce może byćco najwyżej jedna kula n + r ¬ m. Ile jest takich rozmieszczeń, jeśli

• kule są nierozróżnialne;

• kule są rozróżnialne.

Zadanie 3.7 W sposób losowy ustawiono w ciąg m zer i n jedynek. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że ciąg rozpo-czyna się dokładnie od k zer i kończy się dokładnie l jedynkami, jeśli k ¬ m i l ¬ n.

Zadanie 3.8 Dany jest odcinek [0, L] i punkt r należący do tego odcinka. Z odcinka losujemy dwa punkty x1, x2. Zmiennalosowa X przyjmuje wartość 1, gdy punkt r znajduje się miedzy wylosowanymi punktami oraz 0 w przeciwnym wypadku. Podaćrozkład zmiennej losowej X.

13

Wykład 4

2002.10.22 / 2h

4.1 Uzupełnienia poprzedniego wykładu

Definicja 4.1 Funkcję ϕ : R → R nazywamy borelowską wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A∈B(R)ϕ−1(A) ∈ B(R) (4.1)

W definicji podanej na wykładzie (definicja 3.4) o funkcji f powinno być założone, że jest borelowska.

Uwaga 4.1 Często zamiast mówić o konkretnej zmiennej losowej bedziemy mówili o rozkładach prawdopodobieństwa.

Definicja 4.2 Mówimy, że µ: R → R jest rozkładem prawdopodobieństwa na R wtedy i tylko wtedy, gdy

µ(R) = 1

µ 0

∀An:n1⊂B(R) (∀n,k∈Nn 6= k ⇒ An ∩ Ak = ∅) ⇒ µ

(+∞⋃n=1

An

)=

+∞∑n=1

µ(An).

Definicja 4.3 Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa µ na R nazywamy funkcję Fµ : R → R, określoną zależnością

Fµ(t) def= µ((−∞, t]). (4.2)

4.2 Jednowymiarowe zmienne losowe c.d.

Definicja 4.4 σ - ciałem generowanym przez jednowymiarową zmienną losową X, oznaczam przez σ(X), nazywamy naj-mniejsze σ - ciało podzbiorów Ω zawarte w Σ, dla którego zachodzi warunek

∀A∈B(R)X−1(A) ∈ σ(X). (4.3)

Definicja 4.5 Rozkład prawdopodobieństwa µ na R nazywamy dyskretnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór co najwyżejprzeliczalny1 S ⊂ R dla którego µ(S) = 1.

Definicja 4.6 Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś X będzie jednowymiarową zmienną losową. Mówimy,że zbiór WX jest zbiorem wartości zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A⊂RA ∩ WX = ∅ ⇒ P (ω : X(ω) ∈ A) = 0. (4.4)

Definicja 4.7 Zmienną losową nazywamy dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest co najwyżej przeliczalny.

Definicja 4.8 Mówimy, że jednowymiarowa zmienna losowa ma rozkład osobliwy (względem miary Lebesgue’a) wtedy i tylkowtedy, gdy nie jest dyskretna, a pochodna dystrybuanty prawie wszędzie równa jest zero.

1Czyli skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

14

Przyklad 4.1 Niech C będzie zbiorem Cantora. Niech

F (r) =

0 dla r ¬ 01 dla r > 1

.

Jeżeli wyrzucaliśmy z odcinka jego środek to określamy na nim wartość F(r) jako średnią arytmetyczną wartości ”na pra-wo i lewo na nim” (np. na odcinku ] 1

3 , 23 [ wynosi ona 1

2 . Otrzymana funkcja jest ciągła, niemalejąca oraz granica w plusnieskończoności wynosi 1, zaś w minus nieskończoności 0. Jest ona dytrybuanta rozkładu Cantora.

Twierdzenie 4.1 (Lebesgue’a. Bez dowodu.) Każdą dystrybuanta jednowymiarowej zmiennej losowej X można jedno-znacznie przedstawić jako kombinację wypukłą dystrybuant rozkładu dyskretnego, ciągłego i osobliwego tzn.

∃a,b,c0∃Fo,Fc,Fda + b + c = 1 ⇒ F = a · Fo + b · Fc + c · Fd, (4.5)

gdzie Fo - dystrybuanta rozkładu osobliwego, Fc - dystrybuanta rozkładu ciągłego, zaś Fd - dystrybuanta rozkładu dyskretnego.


Lemat 4.1 Niech X będzie jednowymiarową zmienną losową o dystrybuancie F. Niech Y=aX+b, gdzie a ∈ R \ 0 orazb ∈ R, ma dystrybuantę G. Wówczas

G(r) =

F(

r−ba

)dla a > 0

1 −(F(

r−ba

)− P

(ω : X(ω) = r−b

a ))

dla a < 0(4.6)

Wniosek 4.1 Jeżeli spełnione są założenia lematu (4.1) oraz zmienna losowa X ma rozkład ciągły, to wówczas

G(r) =

F(

r−ba

)dla a > 0

1 − F(

r−ba

)dla a < 0

(4.7)

Wniosek 4.2 Jeżeli spełnione są założenia lematu (4.1) oraz f jest gęstością zmiennej losowej X, zaś g zmiennej losowej Y,to

g(r) =1

|a|f(

r − b

a) (4.8)

Twierdzenie 4.2 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f i X(Ω) ⊂]a, b[, funkcja ϕ :]a, b[→ R jest funkcjąklasy C1(]a, b[) oraz ϕ′(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈]a, b[, to zmienna losowa Y = ϕ(X) ma rozkład ciągły o gęstości

g(y) = f(ϕ−1(y))|(ϕ−1(y))′|χϕ(]a,b[)(y) (4.9)

Twierdzenie 4.3 Niech zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f. Niech X(Ω) ⊂ I =n⋃

k=1[ak, bk], gdzie dla dowolnych

1 ¬ k < l ¬ n zachodzi ]ak, bk[∩]al, bl[= ∅. Niech funkcja ϕ : I → R będzie funkcją klasy C1(]ak, bk[) oraz ϕ′(x) 6= 0 dladowolnego x ∈]ak, bk[ i dowolnego 1 ¬ k ¬ n, to zmienna losowa Y = ϕ(X) ma rozkład ciągły o gęstości

g(y) =n∑

k=1

f(ϕ−1(y))|(ϕ−1(y))′|χϕ(]ak,bk[)(y) (4.10)

Przyklad 4.2 Niech fdef= 1

2 I[−1,1], Funkcja ta jest gęstością. Niech φ(r) = r2. Oznaczmy przez g gęstość zmiennej losowejY = φ(X). Wtedy

g(y) = (f(−√y) + f(

√y)) · 1

2√

yI[0,1](y).

4.3 Wartość oczekiwana zmiennej losowej


Uwaga 4.2 Niech r ∈ R+. Wprowadzimy następujące oznaczenia∫Ω

|X|rdP < +∞ ⇔ X ∈ Lr(Ω, Σ, P ) ≡ Lr(Ω). (4.11)

15

Całkę występującą we wzorze (4.11) będziemy rozumieli w sposób następujący

∫Ω

|X|rdP =

∫R

|x|rf(x)dx X ma rozkład ciągły o gęstości f

∞∑n=1

|xn|rpk X ma rozkład dyskretny o zbiorze wartości WX ,(4.12)

gdzie pk = P (ω : X(ω) = xk).

Definicja 4.9 Niech dla jednowymiarowej zmiennej losowej X zachodzi X ∈ L1(Ω, Σ, P ). Wówczas wartością oczekiwanązmiennej losowej X nazywamy liczbę

E(X) def=∫

ΩXdP (4.13)

4.4 Zadania


Zadanie 4.2 Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = 12 X2, gdzie zmienna losowa X ∈ N(0, 1).

Zadanie 4.3 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na (−1, 1). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y = |X|.

Zadanie 4.4 Podać przykład dystrybuanty takiej, że zbiór punktów nieciągłości jest gęsty w R.

Zadanie 4.5 Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeśli zmienna −X posiada ten sam rozkład. Wyrazićwłasność symetryczności ciągłej zmiennej losowej za pomocą jej dystrybuanty oraz gęstości.

Zadanie 4.6 Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, zaś [·] oznacza część całkowitą. Wyznaczyćprawdopodobieństwo zdarzenia A = ω : [X(ω)] ∈ N ∪ 0.

Zadanie 4.7 Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej

• Y = 2X − 1;

• Y =√

X;

• Y = Xα, α > 0;

• Y = αX, α > 0;

16

Wykład 5

2002.10.29 / 2h

5.1 Parametry liczbowe rozkładów c.d.

Twierdzenie 5.1 (Własności wartości oczekiwanej)1

Niech X i Y będą jednowymiarowymi zmiennymi losowymi. Załóżmy, że istnieją wartości oczekiwane X i Y. Wtedy(i) Jeżeli X 0, to E(X) 0(ii) |E(X)| ¬ E(|X|)(iii) Dla dowolnych a, b ∈ R istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej aX + bY i wyraża się ona wzorem

E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ) (5.1)

(iv) (Lemat Fatou) Dla dowolnego ciągu nieujemnych zmiennych losowych Xn: n 1

E(lim infn→∞

Xn) ¬ lim infn→∞

E(Xn) (5.2)

(v) (Twierdzenie Lebesgue’a - Beppo Leviego) Dla dowolnego niemalejącego ciągu nieujemnych zmiennych losowychXn: n 1 zachodzi

E( limn→∞

Xn) = limn→∞

E(Xn) (5.3)

(vi) (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeżeli dla ciągu zmiennych losowych Xn: n 1 istniejecałkowalna zmienna losowa Z taka ,że

∀n∈N|Xn| ¬ Z,

to spełniona jest równość (5.3)

Wniosek 5.1 Jeżeli dla zmiennych losowych Xi (i = 1, . . . , n) istnieją ich wartości oczekiwane, to

E(X1 + . . . + Xn) = E(X1) + . . . + E(Xn) (5.4)

Wniosek 5.2 Jeśli zmienna losowa X ma rozkład dyskretny o zbiorze wartości WX , to wartość oczekiwana zmiennej losowejϕ(X) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

∑x∈WX

|ϕ(x)|P (x) jest zbieżny. Ponadto wartość oczekiwana wyraża się wzorem

E(ϕ(X)) =∑

x∈WX

ϕ(x)P (x) (5.5)

Przyklad 5.1 Zmienna losowa o gęstości2

f(r) =1π

11 + r2 (5.6)

nie posiada wartości oczekiwanej.

Przed podaniem uogólnienia wartośc oczekiwanej sformułujmy następujący lemat1Dowody własności (iv)–(vi) pomijamy. Można je znaleźć w książce J. Jakubowskiego i R. Sztencela2Jest to rozkład Cauchy’ego

17

Lemat 5.1 (Dowód póżniej po nierówności Holdera) Niech R 3 r 1 oraz q ∈ [1, r]. Wtedy jeżeli jest skończona całka∫Ω |X|rdP , to jest skończona całka

∫Ω |X|qdP .

Uwaga 5.1 Pojęcie wartości oczekiwanej można uogólnić zastępując warunek całkowalności innym.

Definicja 5.1 Niech R 3 r 1, zaś a liczbą rzeczywistą, X jednowymiarową zmienną losową. Niech zmienna losowa X będziecałkowalna z r - tą potęgą.3

(i) Momentem zwykłym rzędu r względem liczby a zmiennej losowej X nazywamy liczbę równą

E((X − a)r) def=∫

Ω(X − a)rdP, (5.7)

o ile wyrażenie występujące pod całką jest określone.4

(ii) Momentem absolutnym rzędu r względem liczby a zmiennej losowej X nazywamy liczbę równą

E(|X − a|r) def=∫

Ω|X − a|rdP (5.8)

(iii) Jeżeli a = 0, to są to momenty zwykłe lub absolutne rzędu r.(iv) Jeżeli a = E(X) otrzymujemy momenty centralne rzędu r zwykłe i absolutne.

Definicja 5.2 Niech X ∈ L2(Ω). Liczbę D2(X) równą

D2(X) def= E((X − E(X))2) (5.9)

nazywamy wariancją zmiennej losowej X.

Wniosek 5.3 Niech X ∈ L2(Ω). Wtedy D2(X) = E(X2) − (E(X))2.

Twierdzenie 5.2 Niech X ∈ L2(Ω). Wówczas5

D2(X) 0 (5.10)

∀a∈R D2(aX) = a2D2(X) (5.11)

∀a∈R D2(X + a) = D2(X) (5.12)

D2(X) = 0 ⇔ ∃a∈RP (ω : X(ω) = a) = 1 (5.13)

Wniosek 5.4 Niech X ∈ L2(Ω). Wtedy|E(X)| ¬

√E(X2) (5.14)

Wniosek 5.5 Niech X ∈ L2(Ω). WtedyD2(X) = inf

a∈RE((X − a)2) (5.15)

Definicja 5.3 Niech X ∈ L2(Ω). Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczbę równą

σ(X) ≡ D(X) =√

D2(X) (5.16)

Definicja 5.4 Niech X ∈ L1(Ω). Odchyleniem przeciętnym zmiennej losowej X nazywamy liczbę równą

d(X) def=∫

Ω|X − E(X)|dP (5.17)

Definicja 5.5 Niech X ∈ L2(Ω) oraz E(X) 6= 0. Współczynnikiem zmienności zmiennej losowej X nazywamy liczbę równą

νXdef=

D(X)E(X)

(5.18)

3Nie trzeba zakładać, że całkowalna z r - tą potęgą jest zmienna X − a na podstawie lematu 5.1 i z faktu, że funkcja stała jest całkowalnawzględem miary probabilistycznej.

4Jest ono zawsze określone, gdy r ∈ N.5Równoważność warunku 5.13 zostanie pokazana później.

18

Definicja 5.6 Niech EX ∈ L3(Ω) oraz D2(X) 6= 0. Współczynnikiem asymetrii (skośności) zmiennej losowej X nazywamyliczbę równą

γ(X) def=E((X − E(X))3)

(σ(X))3 (5.19)

Definicja 5.7 Niech X ∈ L1(Ω) oraz 0 6= E(X). Wskaźnikiem nierównomierności zmiennej losowej X nazywamy liczbęrówną

H(X) def=d(X)E(X)

(5.20)

5.2 Parametry pozycyjne rozkładów

Definicja 5.8 Niech p ∈]0, 1[. Kwantylem rzędu p nazywamy liczbę xp taką, że

P (ω : X(ω) ¬ xp) p ∧ P (ω : X(ω) xp) 1 − p (5.21)

Definicja 5.9 Medianą nazywamy kwantyl rzędu 12 i oznaczamy ją Me.

Definicja 5.10 Modą (dominantą) nazywamy w przypadku rozkładu dyskretnego wartość zmiennej losowej o największymprawdopodobieństwie, zaś w przypadku rozkładu ciągłego każde maksimum lokalne gęstości.

Oznaczamy ją Mo.

Definicja 5.11 Odchyleniem ćwiartkowym6 nazywamy liczbę

Qdef=

x 34

− x 14

2(5.22)

5.3 Zadania

Zadanie 5.1 Udowodnić, że jeśli X jest zmienną losową nieujemną, to

E(X) =∫ +∞

0(1 − FX(t))dt =

∫ +∞

0P (ω : X(ω) > t) dt, (5.23)

przy czym istnienie jednej ze stron implikuje istnienie drugiej i równość całek.

Zadanie 5.2 Podać przykład dystrybuanty takiej, że zbiór punktów nieciągłości jest gęsty w R.

Zadanie 5.3 Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeśli zmienna −X posiada ten sam rozkład. Wyrazićwłasność symetryczności ciągłej zmiennej losowej za pomocą jej dystrybuanty oraz gęstości.

Zadanie 5.4 Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, zaś [·] oznacza część całkowitą. Wyznaczyćprawdopodobieństwo zdarzenia A = ω : [X(ω)] ∈ N ∪ 0.

6Jest to parametr liczbowy

19

Wykład 6

2002.11.05 / 2h

6.1 Przykłady jednowymiarowych rozkładów

Rozkłady dyskretne.

Przyklad 6.1 (Rozkład jednopunktowy.)

WX = x1 i P (x1) = 1. (6.1)

E(X) = x1 D2(X) = 0

Przyklad 6.2 (Rozkład dwupunktowy.) Niech p ∈]0, 1[.

WX = x1, x2 , x1 6= x2, P (x1) = p, P (x2) = 1 − p. (6.2)

W szczególnym przypadku, gdy x1 = 0, zaś x2 = 1 taki rozkład nazywamy rozkładem zero - jedynkowym.E(X) = px1 + (1 − p)x2 D2(X) = p(1 − p)(x1 − x2)2

Uwaga 6.1 Jeżeli zbiór wartości dyskretnego rozkładu X jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to przyjmujemy następu-jące oznaczenie

pkozn=

P (k) dla k ∈ WX

0 dla k /∈ WX

(6.3)

Przyklad 6.3 (Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) z parametrami n i p.) Niech p ∈ [0, 1] oraz n ∈ N.

WX = 0, 1, . . . , n , pk =(

n

k

)pk(1 − p)n−k (6.4)

E(X) = np D2(X) = np(1 − p)

Przyklad 6.4 (Rozkład Poissona z parametrem λ.) Niech λ ∈ R+.

WX = 0 ∪ N, pk = e−λ λk

k!(6.5)

E(X) = λ D2(X) = λ

Przyklad 6.5 (Rozkład geometryczny z parametrem p.) Niech p ∈]0, 1[.

WX = N, pk = p(1 − p)k−1. (6.6)

E(X) = 1p D2(X) = 1−p

p2

Przyklad 6.6 (Rozkład ujemny dwumianowy z parametrami p,α.) Niech p ∈]0, 1[ oraz α > 0.

WX = 0 ∪ N, pk =(

α + k − 1k

)pα(1 − p)k. (6.7)

E(X) = α(1−p)p D2(X) = α(1−p)

p2

20

Przyklad 6.7 (Rozkład Pascala z parametrem p.)1

WX = k, k + 1, . . . , pl =(

l − 1k − 1

)pk(1 − p)l−k. (6.8)

Lub inaczej

WX = 0 ∪ N, pl =(

l + k − 1k − 1

)pk(1 − p)l. (6.9)

E(X) = k(1−p)p D2(X) = k(1−p)

p2

Przyklad 6.8 (Rozkład hipergeometryczny z parametrami a, b, n.) Niech a + b > n oraz a n i b n.

WX = 0, 1, . . . , n , pk =

(ak

)(b

n−k

)(a+b

n

) . (6.10)

E(X) = ana+b D2(X) = abn(a+b−n)

(a+b)2(a+b−1)

Rozkłady ciągłe.

Przyklad 6.9 (Rozkład ciągły na odcinku ]a, b[.) Niech a, b ∈ R oraz a < b

f(r) def= 1

b−1 dla r ∈]a, b[0 dla r /∈]a, b[

(6.11)

E(X) = a+b2 D2(X) = (b−a)2

12

Przyklad 6.10 (Rozkład wykładniczy z parametrem λ.) Niech λ ∈ R+

f(r) def= λe−λrχ]0,∞[(r) ≡

λe−λr dla r > 00 dla r ¬ 0

(6.12)

E(X) = 1λ D2(X) = 1

λ2

Przyklad 6.11 (Rozkład Laplace’a z parametrem λ.) Niech λ ∈ R+

f(r) def=12

λe−λ|r| (6.13)

E(X) = 0 D2(X) = 2λ2

Przyklad 6.12 (Rozkład Cauchy’ego z parametrami a, b.) Niech a ∈ R oraz b ∈ R+

f(r) def=1π

b

b2 + (r − a)2 (6.14)

Nie posiada wartości oczekiwanej, a więc i wariancji.

Przyklad 6.13 (Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m, σ.) Niech m ∈ R oraz σ ∈ R+

f(r) def=1√2πσ

exp

− (r − m)2

2σ2

(6.15)

E(X) = m D2(X) = σ2

Definicja 6.1 Funkcję dla p > 0

Γ(p) def=

+∞∫0

xp−1e−xdx (6.16)

nazywamy funkcją gamma (całką Eulera II rodzaju)

1Jest to szczegónly przypadek rozkładu ujemnego dwumianowego.

21

Definicja 6.2 Funkcję dla p, q > 0

β(p, q) def=

1∫0

xp−1(1 − x)q−1dx (6.17)

nazywamy funkcją beta (całką Eulera I rodzaju)

Przyklad 6.14 (Rozkład gamma z parametrami b, p.) Niech b, p ∈ R+

f(r) def=bp

Γ(p)xp−1e−brχ]0,+∞[(r) (6.18)

E(X) = pb D2(X) = p

b2

Przyklad 6.15 (Rozkład beta z parametrami p, q.) Niech p, q ∈ R+

f(r) def=1

β(p, q)xp−1(1 − x)q−1χ[0,1](r) (6.19)

E(X) = pp+q D2(X) = pq

(p+q)2(p+q+1)

Lemat 6.1 (Obowiązuje znajomość powyższych faktów.) Niech p > 0. Wówczas

Γ(p + 1) = pΓ(p) (6.20)

Γ(1) = 1 (6.21)

Γ(n + 1) = n! (6.22)

Lemat 6.2 (Obowiązuje znajomość powyższych faktów.) Niech p, q > 0. Wówczas

β(p, q) = β(q, p) (6.23)

β(p, q) =q − 1

p + q − 1β(p, q − 1) (6.24)

β(p, 1) =1p

(6.25)

β(p, n) =n − 1

p + n − 1β(p, n − 1) =

(n − 1)!(p + n − 1) · . . . · (p + 1)

β(p, 1) (6.26)

β(m, n) =(n − 1)!(m − 1)!

(m + n − 1)!=

Γ(n)Γ(m)Γ(m + n)

(6.27)

6.2 Nierówność dla zmiennych losowych

Twierdzenie 6.1 (Nierówność Schwarza) Niech X, Y ∈ L2(Ω). Wówczas zmienna losowa XY ∈ L1(Ω) oraz

E(|XY |) ¬√

E(X2)E(Y 2) (6.28)

Wniosek 6.1 Niech X, Y ∈ L2(Ω). Wówczas

|E(XY )| ¬√

E(X2)E(Y 2) (6.29)

Twierdzenie 6.2 (Nierówność Jensena) Niech X ∈ L1(Ω). Wówczas dla dowolnej funkcji wypukłej φ: R → R takiej, żeφ(X) ∈ L1(Ω) zachodzi

φ(E(X)) ¬ E(φ(X)) (6.30)

6.3 Zadania

Zadanie 6.1 Policzyć wszystkie wartośc oczekiwane oraz wariancje rozkładów podanych na wykładzie.

22

Wykład 7

2002.11.12 / 2h

7.1 Nierówność dla zmiennych losowych c.d.

Twierdzenie 7.1 (Nierówność Holdera) Niech R 3 p > 1 oraz R 3 q > 1 oraz p−1 + q−1 = 1. Niech X ∈ Lp(Ω) orazY ∈ Lq(Ω). Wówczas zmienna losowa XY ∈ L1(Ω) oraz

E(|XY |) ¬ (E(|X|p))1p (E(|Y |q))

1q (7.1)

Twierdzenie 7.2 (Nierówność Czebyszewa) Niech zmienna losowa X będzie nieujemna.1 Wówczas

∀ε>0P (ω : X(ω) ε) ¬ E(X)ε

(7.2)

Definicja 7.1 Dana jest zmienna losowa X. Supremum istotnym zmiennej losowej nazywamy

esssup Xdef= inf

E∈Σ:P (E)=0sup

ω∈Ω\E

|X(ω) (7.3)

Uwaga 7.1 Warunek definicji 7.3 może być zapisany następująco

esssup Xdef= inf

t∈RFX(t) = 1 (7.4)

Twierdzenie 7.3 (Uogólniona nierówność Czebyszewa) Niech φ: R → R będzie dodatnią funkcją borelowską. Jeżeliφ(X) ∈ L1(Ω) to wówczas:(i) Jeżeli φ jest niemalejąca, to

∀ε>0E(φ(X)) − φ(ε)

esssup φ(X)¬ P (ω : X(ω) ε) ¬ E(φ(X))

φ(ε)(7.5)

(ii) Jeżeli φ jest parzysta i niemalejąca na [0, +∞[, to

∀ε>0E(φ(X)) − φ(ε)

esssup φ(X)¬ P (ω : |X(ω)| ε) ¬ E(φ(X))

φ(ε)(7.6)

Uwaga 7.2 Można osłabić założenia o funkcji φ w twierdzeniu 7.3(ii) następującoJeżeli φ: R → R jest funkcją nieujemną, parzystą, φ 6≡ 0 oraz niemalejącą na ]0, +∞[, to

∀ε>0φ(ε) > 0 ⇒ E(g(X)) − g(ε)esssup φ(X)

¬ P (ω : |X(ω)| ε) ¬ E(φ(X))φ(ε)

(7.7)

Wniosek 7.1 (Nierówność Markowa) Niech R 3 p > 0. Wówczas o ile X ∈ Lp(Ω), to

∀ε>0P (ω : |X(ω)| ε) ¬ E(|X|p)εp

(7.8)

Wniosek 7.2 (Nierówność Czebyszewa - Bienayme) O ile X ∈ L2(Ω), to

∀ε>0P (ω : |X(ω) − E(X)| ε) ¬ D2(X)ε2 (7.9)

Wniosek 7.3 (Nierówność wykładnicza Czebyszewa) O ile dla pewnego p > 0 jest epX ∈ L1(Ω), to

∀λ∈[0,p]∀ε>0P (ω : X(ω) ε) ¬ eλX)eλε

(7.10)

1Obejmuje też przypadek ”trywialny”, gdy jest nieskończona wartość oczekiwana

23

7.2 Niezależne zmienne losowe

Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ) oraz jednowymiarowe zmienne losowe X1, . . . , Xn określone na niej.

Definicja 7.2 Mówimy, że zmienne losowe X1, . . . , Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

∀A1,...,An⊂B(R)P (ω : Xi(ω) ∈ Ai ∧ i = 1, . . . , n) =n∏

i=1

P (ω : Xi(ω) ∈ Ai) (7.11)

Twierdzenie 7.4 Dyskretne zmienne losowe X1, . . . , Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

∀(a1,...,an)⊂(WX1 ×...×WXn )1,...,nP (ω : Xi(ω) = xi ∧ i = 1, . . . , n) =n∏

i=1

P (ω : Xi(ω) = xi) (7.12)

7.3 Funkcje tworzące prawdopodobieństwa i reszt

Definicja 7.3 Niech dany będzie ciąg liczbowy (an). Funkcja tworzącą ciągu (an) nazywamy szereg potęgowy

T (s) def=∞∑

n=1

ansn,

o ile ma on niezerowy promień zbieżności.

Uwaga 7.3 Promień zbieżności szeregu potęgowego jest niezerowy wtedy i tylko wtedy, gdy lim supn→∞

n√

|an| < +∞.

Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ). Niech dyskretna zmienna losowa X, dla której WX ⊆ 0 ∪ N,będzie określona na tej przestrzeni. Przyjmijmy oznaczenia

pkozn= P (ω : X(ω) = k)

oraz

qkozn= P (ω : X(ω) > k) =

∞∑n=k+1

pn.

Definicja 7.4 Funkcję tworzącą ciągu (pn) nazywamy funkcją tworzącą prawdopodobieństwa i oznaczamy ją P (s).Funkcję tworzącą ciągu (qn) nazywamy funkcją tworzącą reszt (ogonów) i oznaczamy ją Q(s).

Uwaga 7.4 Zauważmy, że P (s) = E(sX).

Lemat 7.1 P (1) = 1

Twierdzenie 7.5 Niech X ∈ L1(Ω). Wówczas(i) Q(s) jest bezwzględnie zbieżny dla |s| ¬ 1(ii) P ′(s) jest bezwzględnie zbieżny dla |s| ¬ 1(iii) E(X) = Q(1)(iv) E(X) = P ′(1)

7.4 Zadania


Zadanie 7.2 Przeprowadzono n niezależnych doświadczeń o prawdopodobieństwie sukcesu w k - tym doświadczeniu równym

pk, k = 0, 1, . . . , n. Rozpatrujemy funkcję g(s) =(

1 −n∏

k=1(pks + qk)

)(1 − s)−1. Dowieść, że współczynnik przy sm w funkcji

g jest równy prawdopodobieństwu uzyskania więcej niż m sukcesów, m = 0, 1, . . . , n − 1.

Zadanie 7.3 Rozpatrujemy schemat Bernoulliego z ilością doświadczeń n i prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczymdoświadczeniu p. Dowieść, że współczynnik przy sk w funkcji g(s) = (1 − (ps + q)n) (1 − s)−1 jest równy prawdopodobieństwuuzyskania więcej niż k sukcesów, k = 0, 1, . . . , n − 1.

24

Zadanie 7.4 Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X o wartościach całkowitych nieujemnych, jeśli jej funkcja tworzącaprawdopodobieństwa zadana jest wzorem

• g(s) = 1−4α2

(1−4α2)s2−4s+4 , |α| < 12 ;

• g(s) = 2s18−27s+13s2−2s3 ;

• g(s) = cosh λ√

scosh λ ;

Wskazówka: Rozłożyć na ułamki proste.

Zadanie 7.5 Niech pk = 0 dla k ¬ 0 i pk = bak

k dla k ∈ N, gdzie 0 < a < 1. Dla jakiej wartości b ciąg pk jest rozkłademprawdopodobieństwa. Wyznaczyć dla niej funkcje tworzącą, wartość oczekiwaną i wariancję.

Zadanie 7.6 Niech zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Wyznaczyć funkcję tworzącą prawdopodobień-stwa.

25

Wykład 8

2002.11.19 / 2h

8.1 Własności funkcji tworzących prawdopodobieństwa i reszt

Twierdzenie 8.1 (i) Jeżeli |s| < 1, to Q(s) = 1−P (s)1−s

(ii) Jeżeli X ∈ L1(Ω), to dla |s| ¬ 1 mamy (1 − s)Q(s) = 1 − P (s).

Twierdzenie 8.2 Jeżeli X ∈ L1(Ω), to P ′(s) = Q(s) − (1 − s)Q′(s).

Twierdzenie 8.3 Jeżeli X ∈ L2(Ω), to P (2)(s) = 2Q′(s) + (1 − s)Q(2)(s).

Wniosek 8.1 Jeżeli X ∈ L2(Ω), to

D2(X) = P (2)(1) + P ′(1) − (P ′(1))2 = 2Q′(1) + Q(1) − (Q(1))2.

8.2 Zbieżności zmiennych losowych

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz Xn : n 1 ciągiem zmiennych losowych określonych na tejprzestrzeni.

Definicja 8.1 Mówimy, że ciąg Xn : n 1 zmiennych losowych jest zbieżny do zmiennej losowej X(i) prawie na pewna wtedy i tylko wtedy, gdy

P(

ω : limn→∞

Xn(ω) = X(ω))

= 1 (8.1)

oznaczamy Xnp.n.−→ X;

(ii) według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0 limn→∞

P (ω : |Xn(ω) − X(ω)| > ε) = 0 (8.2)

oznaczamy XnP−→ X;

(iii) według p - tego momentu dla 0 < p < +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

X ∈ Lp(Ω) ∧ ∀n∈NXn ∈ Lp(Ω) ∧ limn→∞

E(|Xn − X|p) = 0 (8.3)

oznaczamy XnLp

−→ X.

Twierdzenie 8.4 Niech Xnp.n.−→ X oraz Yn

p.n.−→ Y . Wówczas(i) dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi aXn + bYn

p.n−→ aX + bY

(ii) XnYnp.n−→ XY

(iii) jeśli P (ω : X(ω) 6= 0) = 1, to χω:X(ω) 6=01

Xn

p.n−→ 1X

26

Twierdzenie 8.5 Następujące warunki są równoważne

Xnp.n.−→ X (8.4)

∀ε>0 limn→∞

P

( ∞⋂k=n

ω : |Xk(ω) − X(ω)| ¬ ε

)= 1 (8.5)

∀ε>0 limn→∞

P

( ∞⋃k=n

ω : |Xk(ω) − X(ω)| > ε

)= 0 (8.6)

∀ε>0 limn→∞

P

∞⋂k,ln

ω : |Xk(ω) − Xl(ω)| ¬ ε

= 1 (8.7)

Wniosek 8.2 Jeśli

∀ε>0

∞∑n=1

P (ω : |Xn(ω) − X(ω)| > ε) < ∞,

to Xnp.n.−→ X.

Wniosek 8.3 Jeśli Xnp.n.−→ X, to Xn

P−→ X.

Twierdzenie 8.6 Jeśli XnLp

−→ X, to XnP−→ X. Gdy dodatkowo ∃K∀n1|Xn| ¬ K, to jeśli Xn

P−→ X, to XnLp

−→ X.

8.3 Zadania

Zadanie 8.1 Udowodnić, że równoważność warunku (8.7) twierdzenia 8.5.

27

Wykład 9

2002.11.26 / 2h

9.1 Zbieżności zmiennych losowych c.d.

Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz Xn : n 1 ciągiem zmiennych losowych określonych na tejprzestrzeni.

Twierdzenie 9.1 Niech Xnp.n.−→ X i niech istnieje R 3 p > 0 oraz zmienna losowa Z taka, że

(i) ∀n∈N|Xn|p ¬ Zp

(ii) E(Zp) < +∞.

Wtedy XnLp

−→ X.

Twierdzenie 9.2 Niech p 1 oraz XnLp

−→ X. Wtedy dla dowolnego q ∈ [1, p] zachodzi XnLq

−→ X.

Przyklad 9.1 Niech dany będzie ciąg An : n 1 zdarzeń niezależnych takich, że

(i)∞∑

n=1P (An) = +∞,

(ii) limn→∞

P (An) = 0.

Wtedy dla ciągu zmiennych losowych (Xn = χAn) zachodzi(1) Xn

Lp

−→ 0;(2) Xn

P−→ 0oraz nie zachodzi Xn

p.n.−→ 0.

Przyklad 9.2 Niech Ω =]0, 1] i Andef= ]0, 1

n ] dla n ∈ N. Wtedy dla ciągu zmiennych losowych (Xn = 2nχAn) zachodzi

(1) Xnp.n.−→ 0;

(2) XnP−→ 0

oraz nie zachodzi XnLp

−→ 0.

Twierdzenie 9.3 (Twierdzenie Riesza) Jeśli XnP−→ X, to, to istnieje podciąg (Xnk

) taki, że Xnk

p.n.−→ X.

Twierdzenie 9.4 Ciąg zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jegopodciąg zawiera podciąg zbieżny prawie na pewno.

Wniosek 9.1 Niech XnP−→ X, f będzie funkcją ciągłą na zbiorze A oraz P (ω : X(ω) ∈ A) = 1, to f(Xn) P−→ f(X)

Twierdzenie 9.5 Niech XnP−→ X oraz Yn

P−→ Y . Wówczas

(i) dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi aXn + bYnP−→ aX + bY

(ii) XnYnP−→ XY

(iii) jeśli P (ω : X(ω) 6= 0) = 1, to χω:X(ω) 6=01

Xn

P−→ 1X

28

Twierdzenie 9.6 Następujące warunki są równoważne

XnP−→ X (9.1)

∀p>0 limn→∞

E

(|Xn − X|p

1 + |Xn − X|p

)= 0 (9.2)

∃p>0 limn→∞

E

(|Xn − X|p

1 + |Xn − X|p

)= 0 (9.3)

9.2 Prawo 0 – 1 Kołmogorowa

Niech X 6= ∅, ∅ 6= H ⊂ 2X .

Definicja 9.1 σ - ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy najmniejsze σ - ciało zawierające rodzinę H. Oznaczamyje przez σa(H).

Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ). Rozpatrzmy ciąg σ - ciał Σn : n 1

Definicja 9.2

Σn,∞def= σa

( ∞⋃k=n

Σn

)(9.4)

σ - ciałem ogonowym lub resztowym nazywamy σ - ciało Σ∞ równe

Σ∞def=

∞⋂n=1

Σn,∞ (9.5)

Wniosek 9.2Σn,∞ ⊇ Σn+1,∞ (9.6)

Twierdzenie 9.7 (Prawo 0 – 1 Kołmogorowa) Jeżeli σ - ciała Σn n ∈ N są niezależne oraz A ∈ Σ∞, to wówczasP (A) = 0 albo P (A) = 1.

9.3 Zadania

Zadanie 9.1 Udowodnic twierdzenie 9.6 korzystając z uogólnionej nierówności Czebyszewa dla funkcji parzystej g(x) =|x|p

1+|x|p .

29

Wykład 10

2002.12.03 / 2h

10.1 Nierówności typu Czebyszewa dla sum zmiennych losowych

Definicja 10.1 Niech Ξi: i ∈ I będzie rodziną zbiorów zdarzeń. Ξi są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

∀J⊂I∀j∈J∀Aj∈Ξjcard J < ℵ0 ⇒ P (

⋂j∈J

Aj) =∏j∈J

P (Aj) (10.1)

Wniosek 10.1 Dany jest ciąg Xn : n 1 niezależnych zmiennych losowych. Wówczas szereg∞∑

n=1Xn jest zbieżny bądź

rozbieżny prawie na pewno (z prawdopodobieństwem 1).

Niech (Ω, Σ, P ) będzie ustalona przestrzenią probabilistyczną, a Xn : n 1 będzie niezależnym ciągiem zmiennychlosowych określonych na tej przestrzeni.

Snozn=

n∑k=1

Xk.

Twierdzenie 10.1 (Nierówność Levy’ego - Ottavianiego)Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Wówczas

∀ε>0P

(ω : max

1¬i¬n|Si(ω)| > ε

)¬ 3 max

1¬i¬nP(

ω : |Si(ω)| >ε

3)

(10.2)

Jeżeli ponadto zmienne losowe mają rozkład symetryczny1, to

∀ε>0P

(ω : max

1¬i¬n|Si(ω)| > ε

)¬ 2P (ω : |Sn(ω)| > ε) (10.3)

Twierdzenie 10.2 (Nierówność Kołmogorowa)Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowej wartości oczekiwanej i skończonym drugim momencie.Wówczas

∀ε>0P

(ω : max

1¬i¬n|Si(ω)| ε

)¬ E(S2

n)ε2 (10.4)

10.2 Zadania

1Zmienna losowa X ma rozkład symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy X i −X mają ten sam rozkład

30

Wykład 11

2002.12.10 / 2h

11.1 Zbieżności szeregów zmiennych losowych

Niech dany będzie ciąg Xn : n 1 niezależnych zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej(Ω, Σ, P ).

Twierdzenie 11.1 (O dwóch szeregach) Niech każda ze zmiennych losowych Xn posiada skończony moment rzędu dwa.

Jeżeli szeregi∞∑

n=1E(Xn) i

∞∑n=1

D2(Xn) są zbieżne, to szereg∞∑

n=1Xn jest zbieżny prawie na pewno.

Niech c > 0. Wprowadźmy oznaczenie

Xc ozn=

X dla |X| ¬ c

0 dla |X| > c

Twierdzenie 11.2 (O trzech szeregach) Warunkiem koniecznym zbieżności prawie na pewna szeregu∞∑

n=1Xn niezależ-

nych zmiennych losowych jest zbieżność dla każdego c > 0 szeregów

∞∑n=1

E(Xcn)

∞∑n=1

D2(Xcn)

∞∑n=1

P (ω : |Xn(ω)| > c) . (11.1)

Warunkiem dostatecznym jest zbieżność tych szeregów przy pewnym c > 0.

Twierdzenie 11.3 (Levy’ego) Szereg∞∑

n=1Xn niezależnych zmiennych losowych jest zbieżny prawie na pewna wtedy i tylko

wtedy, gdy jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

11.2 Prawa wielkich liczb

Niech Xn : n 1 będzie ciągiem zmiennych losowych posiadających wartość oczekiwaną. Wprowadźmy oznaczenie

Sn =n∑

k=1

Xk.

Definicja 11.1 Mówimy, że ciąg zmiennych losowych Xn : n 1 spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL) wtedy itylko wtedy, gdy

Sn − E(Sn)n

p.n.−→ 0. (11.2)

Mówimy, że ciąg zmiennych losowych Xn : n 1 spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL) wtedy i tylko wtedy, gdy

Sn − E(Sn)n

P−→ 0. (11.3)

31

Definicja 11.2 Niech dane będą zmienne losowe X, Y okreslone na tej samej przestrzeni probabilistycznej (Ω, Σ, P ) spełnia-jące warunek X, Y, XY ∈ L1(Ω). Mówimy, że zmienne losowe X i Y sa nieskorelowane wtedy i tylko wtedy, gdy

E(XY ) − E(X)E(Y ) = 0. (11.4)

Powyższy warunek można zapisać w postaci

E((X − E(X))(Y − E(Y ))) = 0. (11.5)

Wniosek 11.1 Jeżeli zmienne losowe sa niezależne, to sa nieskorelowane.

Twierdzenie 11.4 Niech ciąg zmiennych losowych Xn : n 1 posiadających drugi moment spełnia jeden z warunków(i) lim

n→∞D2(Sn)

n2 = 0

(ii) zmienne losowe Xn są parami nieskorelowane i mają wspólnie ograniczoną wariancję.Wówczas ciąg Xn : n 1 spełnia SPWL.

11.3 Zadania

32

Wykład 12

2002.12.17 / 2h

12.1 Prawa wielkich liczb – c.d.

Uwaga 12.1 Założenie (ii) w twierdzeniu 11.4 można osłabić wymagając aby

D2(Xn) ¬ Cnα, α ∈]0, 1[. (12.1)

Twierdzenie 12.1 (Słabe prawo wielkich liczb Bernoulliego) Jeżeli przez Sn oznaczymy liczbę sukcesów w schemacieBernoulliego n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p, to

∀ε>0 limn→∞

P

(ω :∣∣∣∣Sn(ω)

n− p

∣∣∣∣ > ε

)= 0 (12.2)

Lemat 12.1 (Twierdzenie Toeplitza) Niech an : n 1 będzie ciągiem licz nieujemnych i niech ciąg bn : n 1 będzie

ciągiem rosnącym liczb dodatnich określonych następująco bndef=

n∑k=1

ak. Wówczas jeżeli ciąg (xn) jest ciągiem zbieżnym o

granicy równej x, to

limn→∞

1bn

n∑k=1

akxk = x. (12.3)

Lemat 12.2 (Twierdzenie Kroneckera) Niech bn : n 1 będzie rosnącym ciągiem liczb dodatnich rozbieżnym do

nieskończoności, a xn : n 1 ciągiem liczb rzeczywistych takim, że szereg∞∑

n=1xn jest zbieżnym. Wtedy

limn→∞

1bn

n∑k=1

bkxk = 0. (12.4)

W szczególności jeśli bn = n oraz xn = yn

n zachodzi Jeżeli szereg∞∑

n=1

yn

n jest zbieżny, to limn→∞

y1+...+yn

n = 0.

Twierdzenie 12.2 (Kołmogorowa) Niech Xn : n 1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych dla którychistnieje moment rzędu dwa. Niech bn : n 1 będzie rosnącym ciągiem liczb dodatnich takich, że lim

n→∞bn = +∞ i

∞∑n=1

D2(Xn)b2

n< +∞. Wtedy

limn→∞

Sn − E(Sn)bn

= 0 p.n. (12.5)

W szczególności, jeżeli∞∑

n=1

D2(Xn)n2 < +∞, to ciąg Xn : n 1 spełnia MPWL.

Niech Xn : n 1 będzie ciągiem zmiennych losowych posiadających wartość oczekiwaną. Wprowadźmy oznaczenie

Sn =n∑

k=1Xk.

Lemat 12.3 Niech X będzie nieujemną zmienna losową. Wtedy∞∑

n=1

P (ω : X(ω) k) ¬ E(X) ¬ 1 +∞∑

n=1

P (ω : X(ω) k) (12.6)

33

Wniosek 12.1 Jeżeli nieujemna zmienna losowa X posiada skończona wartość oczekiwaną, to

∞∑n=1

P (ω : X(ω) k) < +∞.

Wniosek 12.2 Jeżeli dla nieujemnej zmiennej losowej X zachodzi

∞∑n=1

P (ω : X(ω) k) < +∞,

to posiada ona skończoną wartość oczekiwaną.

Twierdzenie 12.3 (MPWL Kołmogorowa) Niech Xn : n 1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych ojednakowych rozkładach i posiadających wartość oczekiwaną. Wtedy ciąg Xn : n 1 spełnia MPWL.

12.2 Zadania

Zadanie 12.1 Udowodnić lemat 12.3.

34

Wykład 13

2003.01.14 / 2h

13.1 Zasady egzaminu

13.2 Prawa wielkich liczb – c.d.

Twierdzenie 13.1 (Chinczyna) Ciąg Xn : n 1 zmiennych losowych parami niezależnych o jednakowym rozkładzie iskończonej wartości spełnia SPWL.

13.3 Zadania

Zadanie 13.1 Udowodnić, że jeżeli ciąg Xn : n 1 zmiennych losowych posiadających drugi moment spełnia warunki(i) D2(Xn) ¬ C < +∞ dla dowolnego n 1(ii) zmienna losowa Xn zależy jedynie od Xn−1 i Xn+1,to ciąg Xn : n 1 spełnia SPWL.

35

Wykład 14

2003.01.21 / 2h

14.1 Twierdzenie Moivre’a - Laplace’a – lokalne i globalne

Będziemy rozważać schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p (praw-dopodobieństwo porażki oznaczymy q) oraz ilością sukcesów równą k.

Przyjmijmy następujące oznaczenia

B(k, n, p) =(

n

k

)pkqn−1 (14.1)

hozn=

1√

npq(14.2)

δkozn= k − np (14.3)

xkozn=

δk√npq

≡ δkh. (14.4)

Mamy wtedy

n − k = nq − δk (14.5)k

np= 1 + xkqh (14.6)

n − k

nq= 1 − xkph. (14.7)

Twierdzenie 14.1 (Moivre’a - Laplace’a lokalne) Jeżeli h|xk| max p, q ¬ 12 , to

B(k, n, p) =1√

2πnpqe−

x2k

2 eR(n,k), (14.8)

przy czym

|R(n, k)| ¬ 34

|xk|h +13

|xk|3h +1

3n. (14.9)

W szczególności jeżeli n i k zbiegają do nieskończoności w taki sposób, że hx3k zbiega do zera, to R(n, k) również zbiega do

zera.

Przyjmijmy oznaczenie

xa± h2

ozn= xa ± h

2.

Przez Φ będziemy oznaczać dystrybuantę rozkładu normalnego N(0, 1).

Twierdzenie 14.2 (Moivre’a - Laplace’a globalne) Jeżeli h max |xa|, |xb| |xk| max p, q ¬ 12 , to

P (ω : a ¬ Sn(ω) ¬ b) =[Φ(xb+ 1

2) − Φ(xa− 1

2)]

eD(n,a,b), (14.10)

gdzie

|D(n, a, b)| ¬ maxk∈a,b

[54

|xk|h +13

|xk|3h

]+

13n

+h2

8. (14.11)

36

W szczególności jeżeli n zbiega do nieskończoności, zaś a i b zmieniają się tak, że max

x3ah, x3

bh

zbiega do zera, to D(n, a, b)również zbiega do zera oraz

P (ω : a ¬ Sn(ω) ¬ b) ∼ Φ(xb+ 12) − Φ(xa− 1

2) (14.12)

P (ω : a ¬ Sn(ω) ¬ b) ∼ Φ(xb) − Φ(xa) (14.13)

14.2 Zadania

Zadanie 14.1 Udowodnić, że jeżeli Xa i xb są stałe, to

P

(ω : xa ¬ Sn(ω) − np

√npq

¬ xb)

∼ Φ(xb+ 12) − Φ(xa− 1

2) (14.14)

37

Wykład 15

Egzamin

15.1 Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna

1. Prawdopodobieństwo.

(a) Przestrzeń probabilistyczna. Własności prawdopodobieństwa.

(b) Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite. Wzór Bayesa.

(c) Zdarzenie niezależne. Niezależność zespołowa i parami – ich związek.

(d) Własności zdarzeń niezależnych.

(e) Zdarzenie zależne. Współczynnik korelacji zdarzeń.

(f) Prawdopodobieństwo geometryczne. Paradoks Bertranda.

(g) Schemat Bernoulliego i jego uogólnienia (zagadnienia Poissona, Pascala, uogólniony schemat Bernoulliego, Pólya).

(h) Lemat Borela - Cantelliego.

2. Jednowymiarowe zmienne losowe.

(a) Zmienne losowe. Zmienne losowe, a funkcje borelowskie. Rozkład prawdopodobieństwa.

(b) Rozkład ciągły, dyskretny i osobliwy.

(c) Dystrybuanta zmiennej losowej. Własności dystrybuanty.

(d) Twierdzenie, kiedy funkcja jest dystrybuantą (ocena 5.0).

(e) Rozkład prawdopodobieństwa i jego dystrybuanata.

(f) Liniowe przekształcenia jednowymiarowej zmiennej losowej – związek między dystrybuantami.

(g) Dystrybuanta, a gęstość. Gęstość, a odwzorowania gładkie.

(h) Wartość oczekiwana zmiennej losowej i jej własności.

(i) Wariancja zmiennej losowej i jej własności.

(j) Inne parametry liczbowe zmiennych losowych.

(k) Parametry pozycyjne.

(l) Przykładowe rozkłady i ich parametry.

(m) Nierówności dla zmiennych losowych (Schwarza, Jensena, Holdera, Czebyszewa).

(n) Nierówności dla zmiennych losowych (uogólniona Czebyszewa, Markowa, Czebyszewa - Bienayme, wykładniczaCzebyszewa).

(o) Niezależne zmienne losowe.

(p) Kowariacja zmiennych losowych. Zmienne losowe nieskoreowane. Niezależne zmienne losowe, a nieskorelowane.

38

3. Funkcja tworząca prawdopodobieństwa i reszt. Własności.

4. Zbieżność zmiennych losowych.

(a) Typy zbieżności zmiennych losowych.

(b) Zbieżność prawie na pewno i jej własności.

(c) Zbieżność prawie na pewno, a według prawdopodobieństwa.

(d) Zależności między różnego rodzaju zbieżnościami.

(e) Zbieżność według prawdopodobieństwa i jej własności.

(f) Zbieżność według k - tego momentu bezwzględnego i jej związek z innymi zbieżnościami.

5. Prawo zero - jedynkowe Kołmogorowa.

6. Zbieżność szeregów zmiennych losowych.

(a) Nierówność Levy’ego - Ottavianiego.

(b) Nierówność Kołmogorowa.

(c) Twierdzenie o dwóch szeregach.

(d) Twierdzenie o trzech szeregach (warunek dostateczny).

(e) Twierdzenie Levy’ego (o równoważność zbieżności prawie na pewno i według prawdopodobieństwa szeregów zmien-nych losowych).

7. Prawa wielkich liczb.

(a) Pojęcie SPWL i MPWL.

(b) Twierdzenia o warunkach dostatecznych na zachodzenie SPWL.

(c) SPWL Bernoulliego.

(d) Twierdzenie Kołmogorowa dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych (wraz z lematami).

(e) Twierdzenie Kołmogorowa dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach.

(f) Twierdzenie Chinczyna

8. Twierdzenie Moivre’a - Laplace’a

(a) Twierdzenie lokalne.

(b) Twierdzenie globalne.

39

15.2 Zadania z egzaminu

1. (4pt/32pkt) Niech P1, . . . , Pm prawdopodobieństwami określonymi na tym samym σ - ciele Σ podzbiorów Ω (tzn. każdePi spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa). Niech dane będą liczby nieujemne a1, . . . , am o własności a1 + . . .+am = 1.Udowodnić, że funkcja P

def= a1 · P1 + . . . + am · Pm jest prawdopodobieństwem na Σ.

2. (4pt/32pkt) Dokonujemy n doświadczeń rzucając w r - tym doświadczeniu 2r−1 monetami, gdzie 1 ¬ r ¬ n. Obliczyćprawdopodobieństwo, że chociaż w jednym doświadczeniu otrzymamy same orły.

3. (4pt/32pkt) Wybieramy losowo punkt z odcinak [0, 1]. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej, którejwartości są ilorazem długości odcinka krótszego przez dłuższy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wartość tego ilorazten nie przekroczy 1

4 .

4. (4pt/32pkt) Niech λ > 0 oraz zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku ]0, 1[. Udowodnić, że zmiennalosowa Y = − 1

λ ln X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ.

5. (4pt/32pkt) Niech zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Wyznaczyć funkcję tworzącą prawdopo-dobieństwa.

6. (4pt/32pkt) Udowodnić, że

Xnp.n.−→ X ⇔ ∀ε>0 lim

n→∞P

∞⋂k,ln

ω : |Xk(ω) − Xl(ω)| ¬ ε

= 1.

7. (4pt/32pkt) Niech Xn : n 2 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że P (Xn(ω) = ±√

n) = 1n

i P (Xn(ω) = 0) = 1 − 2n . Udowodnić, że spełnia on MPWL ?

8. (4pt/32pkt) Rzucamy n razy prawidłową monetą. Jak duże musi być n, aby z prawdopodobieństwem 0,9 liczbawyrzuconych orłów była zawarta pomiędzy 0, 47n a 0, 53n ?

15.3 Zadania z egzaminu poprawkowego

1. (4pkt/36pkt) Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ). Niech B ∈ Σ będzie takie, że P (B) > 0.Udowodnić, że funkcja PB : Σ 3 A 7→ PB(A) def= P (A|B) jest prawdopodobieństwem.

2. (4pkt/36pkt) Bateria z trzech dział oddała salwę i dwa pociski trafiły w cel. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,że pocisk wystrzelony z pierwszego działa trafił w cel, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel z pierwszego, drugiegoi trzeciego działa wynoszą odpowiednio p1 = 0, 4, p2 = 0, 3 i p3 = 0, 5.

3. (4pkt/36pkt) Na odcinku o długości jednostkowej wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, żeodległości pomiędzy nimi jest nie mniejsza od r, gdzie 0 ¬ r ¬ 1 ?

4. (4pkt/36pkt) Czy prawdziwe jest zdanie: Jeśli dwa zdarzenia wykluczają się, to są one zależne ?. Odpowiedź uzasadnijtzn. w przypadku pozytywnej, przeprowadź dowód zaś w przypadku negatywnej podaj kontrprzykład, ponadto podajw tym przypadku, o ile istnieją, warunki wystarczające, aby zdanie było prawdzie.

5. (4pkt/36pkt) Niech λ > 0 oraz zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku ]0, 1[. Udowodnić, że zmiennalosowa Y = − 1

λ ln(1 − X) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ

6. (4pkt/36pkt) Wzynaczyć rozkład zmiennej losowej jeżeli jej funkcja tworząca prawdopodobieństwa wyraża się wzoremf(s) = 8

9−s2 .

7. (8pkt(4+4)/36pkt) Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie równe jest 14 . Karzystają raz z nierówności Czeby-

szewa, a drugi z twierdzenia Moivre’a - Laplace’a oszacować prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbachilość sukcesów bedzie większa niż 150 , a mniejsza niz 250.

8. (4pkt/36pkt) Niech dany będzie ciąg Xn|n 1 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zadanymi równościa-mi P (Xn(ω) = ±nβ) = 1

2nα , P (Xn(ω) = 0) = 1 − 1nα , gdzie α, β > 0. Przy jakiej zależności miedzy parametrami

α, β spełnia on MPWL?

40

szkice do wykładu z rachunku prawdopodobieństwa ii rok

Documents