Pojęcie

prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy

proporcję przypadków, w których zaszło

zdarzenie, w serii wielokrotnie powtarzanych

eksperymentów.

Przykład:

Codziennie podjeżdżam o tej samej porze do

tego samego skrzyżowania ze światłami. Po

roku stwierdzam, że czerwone światło

wystąpiło w 62% przypadków. Na tej

podstawie oceniam, że prawdopodobieństwo

trafienia na światło czerwone (na tym

skrzyżowaniu i o tej godzinie) wynosi 0.62.

Kilka podstawowych definicji pojęć:

Próba: doświadczenie lub obserwacja

Wynik: rezultat próby

Zdarzenie: wynik lub zbiór wyników próby

Prawdopodobieństwo: częstość zdarzenie w dużej liczbie prób

Niezależność: próby nazywamy niezależnymi, jeżeli wynik jednej próby nie wpływa na wyniki innych prób.

Prawo Wielkich Liczb

Przy dużej liczbie prób, częstość zdarzenia dąży do jego rzeczywistego prawdopodobieństwa.

Inaczej, prawdopodobieństwo zdarzenia jest czymś dobrze określonym, nie zależy od wybranej próby dopóki jest ona wystarczająco duża.

Państwo X mają już pięć córek. Czy na skutek tego faktu zwiększa się prawdopodobieństwo, że szóstym dzieckiem państwa X będzie syn?

Pan Y bierze ze sobą bombę do samolotu, licząc na to, że prawdopodobieństwo dwóch bomb w jednym samolocie jest niezwykle małe. Co o tym sądzisz?

Jutro może padać deszcz.

Jest prawdopodobne, że jutro będzie padać.

Istnieje szansa, że jutro spadnie deszcz.

Te zdania wyrażają naszą opinię o tym, jakie jest prawdopodobieństwo, że jutro spadnie deszcz. Chcielibyśmy jednak móc określić to prawdopodobieństwo liczbowo.

Stwierdzenie: „Istnieje 50% szans, że jutro będzie padać” oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadu jest dokładnie równe prawdopodobieństwu, że padać nie będzie.Natomiast: „Istnieje 80% szans, że jutro będzie padać” oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia opadu jest cztery razy większe od prawdopodobieństwa, że padać nie będzie”

Zdarzenie: jest zbiorem możliwych wyników jakiegoś doświadczenia.

Zdarzenie złożone: można je podzielić na dwa lub więcej zdarzeń Zdarzenie elementarne: nie da się go już podzielić.

Przykład:Rzut sześcienną kostką. Zdarzenie: wypadła „szóstka” jest zdarzeniem elementarnymZdarzenie: wypadła parzysta liczba oczek jest zdarzeniem złożonym, składa się z trzech zdarzeń elementarnych: wypadła dwójka, wypadła czwórka, wypadła szóstka.

Zagadnienie wyróżniania zdarzeń elementarnych i złożonych nie zawsze jest tak trywialne. Np. zdarzenie „wystąpił opad” może być traktowane jako zdarzenie elementarne przeciwne zdarzeniu „opad nie wystąpił”, ale czasem interesuje nas nie tylko czy wystąpił opad, ale też jaka była jego postać i wtedy zdarzenie „wystąpił opad” jest zdarzeniem złożonym, w którym możemy wyróżnić trzy elementarne zdarzenia: „opad stały”, „opad ciekły”, „opad stały i ciekły”

Przestrzenią zdarzeń nazywamy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia. Jest to jednocześnie największe możliwe zdarzenie złożone.

Wypadładwójka

Wypadłajedynka

Wypadłatrójka

Wypadłaczwórka

Wypadłapiątka

Wypadłaszóstka

Wypadłajedynka

Wypadładwójka

Wypadłatrójka

Wypadłaczwórka

Wypadłapiątka

Wypadłaszóstka

Dwie wersje diagramu przedstawiającego zbiór zdarzeń elementarnych dla rzutu kostką

W tej wersji diagramu wyraźnie widać, że sześć zdarzeń elementarnych wyczerpuje wszystkie możliwości.

brak opadu

opadciekły

opadstały

brak opadu

opad tylko stały

opad tylko ciekły

opad ciekły i stały

Trzy aksjomaty prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest nieujemne

Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego ze wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi 1

Prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego z dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń elementarnych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Z pierwszego i drugiego aksjomatu wynika, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest liczbą z przedziału domkniętego od 0 do 1.

1EPr0

Zdarzenie na pewno nie wystąpi 0Pr E

1EPr Zdarzenie na pewno wystąpi

E1

E2

Jeżeli zdarzenie {E2} zachodzi zawsze, gdy zaszło zdarzenie {E1}, to mówimy, że {E2} jest podzbiorem {E1}.Z aksjomatu III wynika, że:

EPrEPr 12

Przykład:Jeżeli zaszło zdarzenie „pada śnieg”, to na pewno wystąpiło zdarzenie „wystąpił opad”. Zdarzenie „pada śnieg” jest podzbiorem zdarzenia „wystąpił opad”

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia {E}

Zdarzeniem przeciwnym do danego zdarzenia {E} jest, zdarzenie polegające na tym, że {E} nie wystąpiło. Oznaczamy je symbolem {-E}.

E

-E

Zdarzenia {E} oraz {-E} wzajemnie się wykluczają i jednocześnie wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń.Oznacza to, że musi zajść dokładnie jedno ze zdarzeń {E} i {-E}.

1}EPr{}EPr{

}Pr{1}Pr{ EE

Suma zdarzeń

Sumą zdarzeń {E1} i {E2} nazywamy zdarzenie polegające na tym, że zaszło zdarzenie {E1} lub zdarzenie {E2} lub oba jednocześnie.

EEPrEPrEPr

obalubElubEPrEEPr

2121

2121

EiEPrEEPr 2121

E1 E2EE 21

Przykład:

Zdarzenie {E1} – „pada deszcz”Zdarzenie {E2} – „pada śnieg”Zdarzenie {E1E2} – „pada deszcz lub śnieg”Zdarzenie {E1E2} – „pada deszcz ze śniegiem”

Prawdopodobieństwo zdarzenia „pada deszcz lub śnieg” jest sumą prawdopodobieństw zdarzeń „pada deszcz” i „pada śnieg” zmniejszoną o prawdopodobieństwo zdarzenia „pada deszcz ze śniegiem”

pada deszcz

śnieg padai

Prawdopodobieństwo warunkowe

Pr{E1/ E2} = Pr{E1 jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie E2}

S

E1

E2E1

E2

S’=E2

E1/

E2

EPrEEPr

EEPr2

2121

Niezależność zdarzeń

S

E1

E2E1

E2

S’=E2

E1/

E2

EPrEEPrEPrEEPrEEPr 11222121

EPrEPrEEPr 2121

Jeżeli zdarzenia E1 i E2 są niezależne, to

EPrEEPr 121 EPrEEPr 212

Korzystając z zamieszczonej Tabeli (następny slajd) policz prawdopodobieństwa:

wystąpienia opadu deszczu śniegu śniegu z deszczem śniegu pod warunkiem, że wystąpił opad deszczu pod warunkiem, że wystąpił opad śniegu po warunkiem, że padał deszcz deszczu pod warunkiem, że padał śnieg

Czy wystąpienie śniegu i deszczu są zdarzeniami niezależnymi?

l.p. deszcz śnieg l.p. deszcz śnieg l.p. deszcz śnieg

1 tak tak 11 Tak Nie 21 Nie Nie

2 tak nie 12 Tak Nie 22 Nie Nie

3 tak tak 13 Tak Nie 23 Tak Nie

4 nie nie 14 Tak Tak 24 Nie Nie

5 nie tak 15 Tak Tak 25 Nie nie

6 nie tak 16 Tak Nie 26 Nie tak

7 nie nie 17 Nie Nie 27 Nie tak

8 nie nie 18 Nie Nie 28 Nie tak

9 nie tak 19 Nie Nie 29 Nie Tak

10 nie tak 20 nie nie 30 nie tak

Korzystając z zamieszczonej Tabeli (następny slajd) policz prawdopodobieństwa:

wystąpienia zachmurzenia wystąpienia chmur konwekcyjnych wystąpienia chmur warstwowych wystąpienia chmur konwekcyjnych i warstwowych wystąpienia chmur konwekcyjnych pod warunkiem, że występowały chmury wystąpienia chmur warstwowych pod warunkiem, że występowały chmury wystąpienia chmur konwekcyjnych pod warunkiem, że występowały chmury warstwowe wystąpienia chmur warstwowych pod warunkiem, że występowały chmury konwekcyjne

Czy wystąpienie chmur konwekcyjnych i warstwowych są zdarzeniami niezależnymi?

l.p. Ckonwek. Cwarstw. l.p. Ckonwek. Cwarstw. l.p. Ckonwek. Cwarstw.

1 nie nie 11 nie nie 21 nie nie

2 nie tak 12 tak tak 22 nie tak

3 tak tak 13 nie nie 23 tak nie

4 tak nie 14 tak tak 24 nie nie

5 nie tak 15 nie tak 25 nie nie

6 tak nie 16 nie nie 26 tak tak

7 nie nie 17 nie nie 27 tak tak

8 nie nie 18 tak tak 28 tak tak

9 nie tak 19 nie tak 29 tak nie

10 tak nie 20 nie nie 30 nie tak