vnitřní síly přímého vodorovného prutu zatížení spojité...
TRANSCRIPT
Vnitřní síly přímého vodorovného prutu
zatížení spojité trojúhelníkové
Rovnoměrné spojité zatížení = konstantní spojité zatížení (opakování)
Matematické vyjádření:
Vnitřní síly přímého prutu zatíženého spojitým zatížením
� � = � = ����. ��/� ,
Schwedlerovy vztahy (integračně-derivační schéma):
průběh q je polynom 0°
� � = � (0°)
� � = ∓ � · � (1°)
� � = −�·��
�(2°)in
tegr
ace
�
q.x
�� � = −�. � ·
�
2= −
� · ��
2
� � = −�. �
�
2
deriv
ace
�
Trojúhelníkové spojité zatížení = spojité zatížení s lineárním průběhem hodnot q
Matematické vyjádření: � � = � ·�
���/� !"#$!� %°
�(�)
�
�
�
� � = ∓� · ��
2 · & (2°)
inte
grac
e
deriv
ace
�(�) = −� · �'
6 · & (3°)
� � =� · �
& (1°)
�
�
3*+ =
%
,�(�) · �
� � = ∓1
2· �(�) · � = ∓
� · ��
2 · &
� � = −.
��(�) · � ·
�
'=
= −.
�� ·
�
/· � ·
�
'= −
�·�0
1·/
�2 =2 · � · &
�
3
�2 =�
�
�2 = �(�45) ∓� · �2
�
2 &= 0 ⇒
�2 = � ∓ � · �2 = 0 ⇒
• l je délka trojúhelníku
• V síla ve špici
trojúhelníka (q=0)
Červeně označené vztahy umět nazpaměť
q=0
Ohybový moment M [kNm]: je „integrace“ posouvající síly → průběh M na úseku pod q je polynom 3°.Vliv části spojitého zatížení q na velikost M pod tímto zatížením:
Výpočet zleva (špička vlevo) i zprava (špička vpravo):
Vnitřní síly přímého prutu zatíženého trojúhelníkovým spojitým zatížením
Trojúhelníkové spojité zatížení = spojité zatížení s lineárním průběhem hodnot q
Matematické vyjádření:
Řešení vnitřních sil založeno na stejném principu jako u rovnoměrného spojitého zatížení:rozdíl pouze u výpočtu vnitřních sil na úseku, kde působí trojúhelníkové spojité zatížení (tzv. pod spoj. zatížením).
� � = � ·�
&kN/m ;<&=><? 1°
Posouvající síla V [kN]: je „integrace“ spojitého zatížení → průběh V síly na úseku pod q je polynom 2°.Vliv části spojitého zatížení q na velikost V síly pod tímto zatížením:
Ze Schwedlerových vztahů vyplývá (integračně derivační schéma):
� � = −� · �'
6 &
Platí i obráceně: Posouvající síla je „derivace“ ohybového momentu → v místě, kde hodnota V = 0, je nejen extrém M ale současně vrchol jeho parabolického průběhu → parabola tam má vodorovnou tečnu.
�� �
&�
Vztah pro qx je odvozen z podobnosti trojúhelníku a platí pouze pro řešení ze strany, kde je q = 0, tedy od špičky trojúhelníku,
proto veškeré výpočty vnitřních sil pod trojúhelníkovým zatížením je nutné počítat pouze z jedné strany:od „špičky trojúhelníku“
Spojité zatížení je „derivace“ posouvající síly → v místě, kde hodnota q = 0, má parabola průběhu V sil vodorovnou tečnu.
znaménka jsou v souladu se znaménkovou konvencí pro V síly, tzn:špička vlevo, výpočet zleva, znaménko -špička vpravo, výpočet zprava, znaménko + � � = ±
� · ��
2 &
Příklad 1:
Řešení reakcí u všech následujících příkladů máte vypracováno za DÚ
3
a b
Rax= 0
Raz = 4,9kN Rbz =5,6kN
q = 3kN/m
c
7
N
[kN]
= 0
1°
V síly, kde se mění silové příčné zatížení.
Tady bod c (zleva začíná spojité zatížení).
Výhodné zleva:
Posouvající síly V [kN]:
3
a b
Rax= 0
Raz =4,9 Rbz =5,6
q = 3kN/m
c
7
Q =10,5 kN
4,9
-5,6
2°
V
[kN]
V síly na krajích nosníku:
�A = BAC �D = −BDC
�EF = �A = BAC
Výpočet zprava (v bodě c spojité zatížení končí):
�EG = −BDC + I
0°4,9 V bodě c není osamělé silové zatížení, nejsou 2
hodnoty V síly, není skoková změna v průběhu V sil.
V sílu neznačíme pomocí dvou indexů.
n
xn
V bodě n (nebezpečný průřez) přechází V síla přes nulu, Vn = 0, v bodě n je extrém momentu Mn.
Polohu xn určíme pouze z jedné strany, vždy od špičky trojúhelníku, tzn. od strany, kde q = 0.
n
Výpočet se zatím neliší od řešení při rovnoměrném q
Změna oproti řešení při rovnoměrném q
Spojité zatížení q je polynom 1°, proto spojení bodů c-b musí být polynomem 2°.
Tvar paraboly je dán tečnou, která musí být vodorovná v místě, kde q = 0
(protože q je derivace V síly a V síla má v místě q = 0 svůj vrchol).
= 0
[kN]N
1°
4, 662, 33
vodorovná tečna (q=0)
3
a bRax= 0
Raz =4,9 Rbz =5,6
q = 3kN/m
c
7
4,9
-5,62°
V
[kN]
0°4,9n
xn
n
Posouvající síly pod spojitým zatížením a poloha nebezpečného průřezu:
Hodnota V síly v místě x pod spojitým zatížením se změní o
plochu příslušného zatěžovacího obrazce – tady červeně:
xHodnotu V síly, pod spojitým zatížením je nutné počítat
od špičky trojúhelníka (v tomto případě zprava)
� �G = �D +
� · ��
2 &
�LG = �D +
� · 2�
2 · 7= −5,6 + 0,857 = −4,743 kN
• l je délka trojúhelníku, nikoli nosníku
• V je posouvající síla ve špici trojúhelníkového
zatížení, tady v podpoře b
x2 =d
V síla v nebezpečném průřezu Vn = 0:
Poloha nebezpečného průřezu xn:
�2G = �D +
� · �2�
2 &= 0 ⟹
�2 =2 · � · &
�
3
=2 · 5,6 · 7
3
3
= 5,112 m
-4,743
= 5,112
1°
Např. V síla v bodě d (x=2):
V sílu obecně pod spojitým zatížením není nutné počítat, pouze informativně:
Odvození polohy xn (není třeba odvozovat):
�2 =2 · �D · &
�
3
Ohybové momenty, kde se mění každé příčné zatížení.Tady bod c (zleva začíná spojité zatížení).
Ohybové momenty M [kNm]:
Ohybové momenty na krajích nosníku:
�A = �D = 0
�EF = BAC · 3 = 14,7 kNm
V bodě c není osamělé momentové zatížení,
nejsou 2 hodnoty M, není skoková změna v průběhu M,
Moment neznačíme pomocí dvou indexů.
Výpočet zleva:
�EG = BDC · 7 − I · 2, 33 = 14,7 kNm
Výpočet zprava:
1° 3°14,7
M
[kNm]Mn
Navazuje-li parabola na lineární průběh, měl by být přechod
plynulý. Pomyslné pokračování lineárního průběhu je tečna k
parabole v místě přechodu (tady bod c, Mc= 14,7kNm).
Na úseku mezi body c-b je trojúhelníkové zatížení q (1°), proto
je průběh V sil parabola 2°.
Průběh M mezi body c-b musí být parabola 3° tak,
aby v místě V=0 (bod n), byl extrém (vrchol) paraboly.
Tečna ve vrcholu paraboly musí být vodorovná.
3
a b
Rax= 0
Raz =4,9 Rbz =5,6
q = 3kN/m
c
7
Q =10,5 kN
4,9
-5,62°
V
[kN]
0°
n
xn
n
= 0
[kN]N
x2 =d
Výpočet se zatím neliší od řešení při rovnoměrném q
= 5,112
1°
4, 662, 33
0 0
1° 3°
14,7
M
[kNm]19,1
3
a b
Rax= 0
Raz =4,9 Rbz =5,6
q = 3kN/m
c
7
4,9
-5,62°
V
[kN]
0°
n
xn
n
= 0
[kN]N
x2 =d
= 5,112
�A = �D = 0
�E = 14,7 kNm
� �G = BDC · � −
� · �'
6 &
�LG = BDC · 2 −
3 · 2'
6 · 7= 10,6 kNm
�2G = BDC · �2 −
� · �2'
6 &
�2G = BDC · 5,112 −
3 · 5,112'
6 · 7= 19,1 kNm
Ohybové momenty pod q
x
Hodnotu ohybového momentu,
pod trojúhelníkovým spojitým zatížením
je v tomto příkladu nutné počítat zprava
& = 7 m
�L = 2 m
10,6
1°
Další hodnoty momentů není nutné počítat, parabola je jednoznačně dána třemi body (v bodě c, v bodě a a v x
n,
pouze informativně výpočet Md:
0 0
-4,743
Příklad 2
6 2
3
a b
q = 2 kN/m
d
60°
P = 4 kN
1
3
Q1 = 2.3/2 = 3 kNQ2 = 2.2 = 4 kN
Px = P . cos60° = 2 kNPz = P . sin60° = 3,464 kN
N
[kN]
Normálové síly N [kN]
RE = −S�= −2 kN
Hodnoty N sil na krajích nosníku:
Hodnoty N sil,kde se mění zatížení v ose prutu:
RDG = −BD�= −2 kN
RT =0
Výhodnější určit zprava:
-2− 2−
Úsek mezi body c-b beze změny v osovém namáhání
6 2
3
a b
Rbz=6,589
Q1= 3 kN
cRbx=2
Raz= 3,875
dPx= 2
Pz= 3,464 kN
1
3
e
Q2= 4 kN
q = 2 kN/m
2 1 1
1°
1°
Rbz=6,589Raz= 3,875
Rbx=2c e
1
+
N
[kN]
Posouvající síly V [kN]
-2− 2−
-2,589
-
+-
-3,464
0,411
n
4,0
a bc edV
[kN]
V síly na krajích nosníku:
�E = −SC= −3,464 kN
V síly, kde se mění příčné silové zatížení:
Silové zatížení se mění v obou podporách a v bodě d.
�T = 0
�AE = −SC = −3,464 kN
Výpočet zleva:
�AL = �AE + BAC = −3,464 + 3,875 = 0,411 kN
�DT = �DL + BDC = −2,589 + 6,589 = 4 kN
�DL = �L − I. = −2,589 kN
�L = �AL = 0,411kN Není skoková změna, nejsou 2 indexy
f
6 2
3
a b
Rbz=6,589
Q1= 3 kN
cRbx=2
Raz= 3,875
dPx= 2
Pz= 3,464
1
3
e
q = 2 kN/m
2 1Q2= 4 kN
Zprava:
�DT = +I� = 4 kN
V bodě n (nebezpečný průřez) přechází V síla přes nulu, Vn = 0, v bodě n je extrém momentu Mn.
Je nutné určit polohu xn pouze ze strany od špičky trojúhelníku, tzn. od strany, kde kde q = 0.
Spojité zatížení q na úseku mezi body d-b je polynom 1°, proto spojení bodů d-b musí být polynomem 2°. Tvar paraboly je dán tečnou, která musí být vodorovná v místě, kde q = 0. (protože q je derivace V síly a V síla má v místě q = 0 svůj vrchol).
2°
0°
0°
1°
1°
xn
vodorovná tečna (q=0)
+
N
[kN] -2− 2−
-
+-
-3,464
0,411
n
4,0
a bc edV
[kN]
xn
6 2
3
a bcRbx=2dPx= 2
Pz= 3,464
1
3
e
q = 2 kN/m
2°
0°
0°
1°
1°
Posouvající síly pod spojitým zatížením a poloha nebezpečného průřezu:
Hodnotu V síly, pod spojitým zatížením
je v tomto příkladu nutné počítat zleva
Výpočet V síly pod q zleva (q začíná v bodě d) –
není nutné počítat, jen informativně:
� �F = �L −
� · ��
2 &l je délka trojúhelníku, nikoli nosníku
x
Rbz=6,589Raz= 3,875
= 1,11
-2,589
Poloha nebezpečného průřezu xn:
�2 =2 · �L · &
�
3
=2 · 0,411 · 3
2
3
= 1,11 m
Nebezpečný průřez je na úseku mezi body d-b,
hodnota V síly, kde q začíná zleva je Vd= 0,411 kN.
0,411
N
[kN] -2−
1°1°
-2°
a bc ed
-3,464
-2,231-4,0
- -
Ohybové momenty M [kNm]
�E = �T =0Hodnoty ohybových momentů na krajích nosníku:
�AF = −SC · 1 = −3,464 kNm
�LF = −SC · 4 + BAC · 3 = −2,231 kNm
Nulovou hodnotu M v bodě e spojíme s Mb=-4 kNm
parabolou 2° tak, aby v bodě e byla vodorovná tečna
k parabole, protože Ve=0. Na úseku mezi body e-b
není extrém momentu, protože V nepřechází přes 0.
Hodnotu M v bodě d spojíme s Mb= -4 kNm
parabolou 3° tak, aby v bodě n byl extrém
ohybového momentu (lokální nebo absolutní).
Hodnotu Mn zatím neznáme a tady může mít
kladnou nebo také zápornou hodnotu.
Proto je nutné hodnotu Mn spočítat ještě před
vykreslením.
Momenty, kde se mění příčné zatížení:
Zatížení se mění v obou podporách a v bodě d.
M
[kNm]
Výpočet provedeme ze strany, která je jednodušší
�DG = −I� · 1 = −4 kNm
+
-
+
-
-3,464
0,411
n
a bc edV
[kN]
xn
2°
0°
0°
1°
6 2
3
a bcRbx=2dPx= 2
Pz= 3,464
1
3
e
q = 2 kN/m1°
Rbz= 6,589Raz= 3,875
vodorovná tečna
= 1,11
1Q2= 4 kN
4,0
-2,589
Ohybový moment pod trojúhelníkovým spojitým zatížením, výpočet nutný zleva:
Ohybové momenty pod spojitým zatížením
� � = −SC · 4 + � + BAC · 3 + � −� · �'
6 &
�2 = −SC · 4 + �2 + BAC · 3 + �2 −� · �2
'
6 &
Ohybový moment na převislém konci
Výpočet výrazně jednodušší zprava, není nutné provádět zleva
�2 = −1,93 kNm
N
[kN] -2−
1°1°
-
3°2°
a bc ed
-1,93
-3,464
-2,231-4,0
- -M
[kNm]
+
-
+
-
-3,464
0,411
n
a bc edV
[kN]
xn
2°
0°
0°
1°
Vodor. tečna
6 2
3
a bcRbx=2dPx= 2
Pz= 3,464 kN
1
3
e
q = 2 kN/m1°
x
Rbz =6,589Raz= 3,875
Ohybový moment pod rovnoměrným zatížením:
� � = −� · ��
2
�U = −2 · 1�
2= −1,0 kNm
M v bodě f - v polovině převislého konce (x=1)
f
-1,0
-2,589
Normálové síly N [kN]
RA =0
Hodnoty N sil na krajích nosníku:
REF = +V = 5 kN
Hodnoty N sil,kde se mění zatížení v ose prutu:
REG = RD = 5 kN
Příklad 3
Rbx = 5kN
a
Rbz =6 kN
Mb = 42kNm
b
9
6 3
q = 2 kN/m
Q = 6 kN
cd F=5kN
5N
[kN]
RD = +BD� = 5 kN
3
2 4
1°
Posouvající síly V [kN]
�A =0
Hodnoty V sil na krajích nosníku:
�EF = −I = −6 kN
Rbx = 5kN
a
Rbz =6kN
Mb = 42kNm
b
9
6 3
cdF=5kN
5N
[kN]
�D = −BDC = −6 kN
2°
-4,5
V
[kN]
V síly, kde se mění silové příčné zatížení.Tady bod c (zleva končí spojité zatížení).
Výhodné zleva:
Výpočet zprava (v bodě c spojité zatížení začíná):
�EG = �D = −BDC = −6 kN
V bodě c není osamělé silové zatížení, nejsou 2 hodnoty V síly, není skoková změna v průběhu V sil. V sílu neznačíme pomocí dvou indexů.
V síla pod spojitým zatížením nepřechází přes nulu, pod q nebude extrém ohybového momentu.
q začíná v bodě c, Vc= -6 kN, (pro bod d je x=3)
� �G = �E +
� · ��
2 &
�LG = �E +
� · ��
2 &= −6 +
� · 3�
2 · 6= −4,5 kN
3
-60°
q = 2 kN/m
Q = 6 kN
Informativně výpočet V síly pod spojitým zatížením
- v tomto příkladu výpočet nutný zprava
x
-6
Vodorovná tečna k parabole je v místě, kde q = 0, tady v bodě c.
1°
vodorovná tečna (q=0)
0
�A =0Hodnoty ohybových momentů na krajích nosníku:
�EF = −I · 4 = −24 kNm
Rbx = 5kN
a
Rbz =6kN
Mb = 42kNm
b
9
6 3
cdF=5kN
5N
[kN]
�D,WXYD.ZWZT2[ = −�D,\TA]ET = −42 kNm
V
[kN]
Výpočet M zprava (v bodě c spojité zatížení začíná):
�EG = −�D + BDC · 3 = −42 + 6 · 3 = −24 kNm
3°
1°-42
-24-7,5
M
vodorovná tečna Tečna k parabole
plynulé pokračování lineárního průběhu
[kNm]
Ohybové momenty, kde se mění každé příčné zatížení.Tady bod c (zleva končí spojité zatížení).
Průběh M na úseku pod q (mezi body a-c) je parabola 3°. Vrchol paraboly (vodorovná tečna) je tam, kde V=0 (bod a), tím získáme tvar paraboly.V bodě c končí spojité zatížení, úsek mezi body c-b nezatížen, proto zde průběh M lineární (1°). Přechod je plynulý. Pomyslné pokračování lineárního průběhu je tečna k parabole v místě přechodu (tady bod c).
� �G = −�D + BDC · 3 + � −
� · �'
6 &
�LG = −42 + 6 · 3 + 3 −
2 · 3'
6 · 6= −7,5 kNm
q = 2 kN/m
Q = 6 kN
3
2 4
2°-4,5 -60°-6
Hodnotu ohybového momentu, pod spojitým zatížením
je v tomto příkladu nutné počítat zprava:
pro bod d je x=3
x1°
Ohybové momenty M [kNm]:
x
0
Rbx = 5kN
a
Rbz =6kN
Mb = 42kNm
b
9
6 3
cdF=5kN
5N
[kN]
V
[kN]
3°
1°-42
-24-7,5
M
vodorovná tečna Tečna k parabole
plynulé pokračování lineárního průběhu
[kNm]� �
G = −�D + BDC · 3 + � −� · �'
6 &
�LG = −42 + 6 · 3 + 3 −
2 · 3'
6 · 6= −7,5 kNm
3
2
2°-4,5 -60°-6
Hodnotu ohybového momentu, pod spojitým zatížením
je v tomto příkladu nutné počítat zprava:
pro bod d je x=3
xq = 2 kN/m
Nápověda pro výpočet M pod q:
vodorovná tečna
Trojúhelník zrcadlově otočenvnitřní síly pod q nutno řešit zleva
�EF = −I · 2 = −12 kNm
Rbx = 5kN
a
Rbz =6kN
Mb = 30kNm
b
9
6 3
cdF=5kN
5N
[kN]
V
[kN]
3°
1°-30
-12-1,5
M
Tečna k parabole, plynulé pokračování lineárního průběhu
[kNm] � �F = −
� · �'
6 &
�L = −� · �'
6 &= −
2 · 3'
6 · 6= −1,5 kNm
q = 2 kN/m
Q = 6 kN
3
4 2
2°-1,5
-60°-6
x
Posouvající síla:Vodorovná tečna k parabole V síly je v místě, kde q = 0, tady v bodě a.
� �F = −
� · ��
2 &
�L = −� · ��
2 &= −
2 · 3�
2 · 6= −1,5 kN
Ohybový moment:Vodorovná tečna k parabole M je v místě, kde q = 0, tady opět v bodě a.
vodorovná
tečna
1°
Příklad 4
Tvar paraboly v případě, když v místě jejího začátku není V=0.Tím pádem není vodorovná tečna u M.Rbx
a
Rbz
Mb
b
6 3
c
N
[kN]
V
[kN]
3°
1°M
[kNm]
q
2°0°
x
vodorovná tečna, protože q=0
1°
Příklad 5
1
d
d
F
0°
1°
Toto pravidlo platí i v případěrovnoměrného spojitého zatížení
Tvar paraboly v případě, když v místě jejího začátku není V=0.Tím pádem není vodorovná tečna u M.Rbx
a
Rbz
Mb
b
6 3
c
N
[kN]
V
[kN]
3°
1°M
[kNm]
q
2°
0°vodorovná tečna, protože q=0
1°
Příklad 6
1
d
d
F
0°
1°
Toto pravidlo platí i v případěrovnoměrného spojitého zatížení
x