3.2 Základy pevnosti materiálu

Ing. Pavel Bělov23.5.2018

2

Normálové napětí

● představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit

● je kolmé na rovinu řezu● v případě že je rovnoměrně rozloženo po řezu jedná se o tah nebo

tlak

σ=FS

[N ]

[mm2]=[MPa ]

3

Poměrné prodloužení

● Jedná se o bezrozměrné číslo vyjadřující délkové prodloužení původního tělesa

ε=Δ ll0

[-]● poměrné

prodloužení

● prodloužení

● poměrné prodloužení v procentech

Δ l=l−l0 [mm]

ε=Δ ll0

∗100 []

4

Hookeův zákon

● Napětí je přímo úměrné deformaci● Při tahové zkoušce se materiál podle Hookeova zákona chová do

meze úměrnosti● Základní formulace

σ1ε1

=σ2ε2

=σUεU

=tgα=E

σ=E∗ε [MPa]

5

Modul pružnosti v tahu

● E [MPa] – modul pružnosti v tahu (Youngův modul)

● základní materiálovou konstantu● pro ocel 2.1*105 MPa do teploty okolo

100°C● pro hliník 0.7*105 MPa

6

Koeficient příčné kontrakce (Poissonova konstanta)

● Popisuje závislost mezi podélným poměrným prodloužením a příčným poměrným zkrácením

● značka Poissonovy konstanty je μ

ε y=εz=−μ∗εx ε y=εz=Δh

h0

=Δb

b0

7

Smykové napětí

● představuje vazbu, která brání částicím tělesa se od sebe oddálit ve směru roviny řezu

● je rovnoběžné s rovinou řezu● v případě rovnoměrného rozložení po rovině řezu se jedná o

prostý smyk

τ=FS

[N ]

[mm2]=[MPa ]

8

Zkos

● elementární těleso je zatíženo silou vyvolávající změnu pravého úhlu tělesa

● pro malé úhly lze psát tg γ∼γ=BCAB

9

Hookův zákon pro smyk

● Platí pouze pro malé deformace

● Hodnota modulu pružnosti ve smyku pro ocel 8*104MPa

● Základní vyjádření pro smyk

τ=G∗γ

τ - napětí v materiálu

G – modul pružnosti ve smyku

γ – zkos

● Vztah mezi modulem pružnosti ve smyku a v tahu

G=E

2∗(1+μ)

10

Tahový diagram

● Slouží pro určení základních materiálových vlastností

● Jedná se o jednu z nejběžnějších zkoušek● Při zkoušce je materiál zatěžován jednoosou

napjatostí● Výsledný graf určuje závislost síly na

deformaci F-Δl nebo napětí na poměrné deformaci σ-ε

11

Tahový diagram

12

Tahový diagram různých materiálů

13

Charakteristiky získané z tahové zkoušky

● Smluvní mez pevnosti Rm

● Smluvní mez kluzu Re

● Tažnost A

● Kontra Z

A=Lu−L0

L0

∗100 []

Z=S0−Su

S0

∗100 []

Rm=Fm

S0

[MPa]

Re=F e

S0

[MPa]

14

Smluvní mez kluzu

● U materiálů s nevýraznou mezí kluzu se používá smluvní mez kluzu

● Smluvní mez kluzu Rp0.2 je napětí, které způsobí trvalou deformaci o velikosti 0.2% z L0

15

Elastická a plastická deformace

Drtivá většina strojních konstrukcí se provozuje v oblasti elastických deformací (do meze kluzu Re)

16

Metoda řezů

● těleso je v klidu a pomocí myšleného řezu ho rozdělíme na dvě části

● aby zůstala část A i B v rovnováze musíme do rovin řezů připojit takové vnitřní síly, které zajistí rovnovážný stav

● vnitřní síly se následně stávají silami vnějšími a je možno je řešit metodami statiky

∑ F x=0 ∑M x=0

∑ F y=0 ∑M y=0

∑ F z=0 ∑M z=0

17

Metoda řezu

● VVU – výsledné vnitřní účinky● VVU v bodě střednice – výsledné vnitřní účinky se vyšetřují na středníci prutu v

daném bodě● VVU prutu – jedná se o funkční závislost vyjadřující průběh VVU po střednici prutu

● N – normálová síla

● T – posouvající síla

● Mk – kroutící moment

● Mo – ohybový moment

18

Př:1 Vyšetřete průběh VVU

Vyšetřete průběh VVU u vetknutého prutu zatíženého dvěma silami

● F1 = 500N● F2 = 800N● a = 400mm● b = 700mm

19

Př:1 Stanovení VVU

∑ F x=0

−N=0

∑ F z=0

−T+F2=0T=F2

∑M y=0

−M o−F2∗x1=0M o=−F2∗x1

∑ F z=0

−T+F1+F2=0T=F1+F2

∑ M y=0

−M o−F1∗(x2−b)−F2∗x2=0M o=−F1∗(x2−b)−F2∗x2

20

Př:1 Výsledný průběh VVU

21

Př:2 Vyšetřete průběh VVU

Vyšetřete průběh VVU u prutu na dvou podporách● zatěžující síla F=1000N● rozměr a=300mm● rozmer b=1000mm

22

Př:2 Stanovení síly v podporách

∑ Fz=0

−F Az+F−FBz=0F Az=F−FBz

F Az=1000−230.8F Az=769.2N

∑ M Ay=0

−F∗a+F Bz∗(a+b)

FBz=F∗a(a+b)

FBz=1000∗300(300+1000)

FBz=230.8N

∑ Fx=0

23

Př:2 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech

∑ F z=0

−F Az+T=0T=FAz

∑M y=0

M o−F Az∗x1=0M o=F Az∗x1

∑ F x=0

N=0

∑ F z=0

−F Az+F+T=0T=F Az−F

∑M y=0

M o−F Az∗x2+F∗(X 2−a)=0M o=F Az∗x2−F∗(x2−a)

24

Př:2 Výsledný průběh VVU v prutu

25

Základní druhy namáhání materiálu

● Tah a tlak● Prostý smyk● Ohyb● Krut

26

Tah a tlak

Výpočet napětí v materiálu

Zatěžující síla je kolmá na příčný průřez prutu a napětí je rovnoměrně rozloženo po průřezu.

σ=FS

[N ]

[mm2]=[MPa]

σ - napětí v materiálu

F – zatěžující síla

S – příčný průřez

27

Př:3

Vetknutý nosník z materiálu S235 je zatížen břemenem. Vypočtěte velikost napětí v nosníku a bezpečnost vůči mezi kluzu Re

28

Př:3 řešení

● Zatěžující síla

● Plocha příčného průřezu

● Napětí v nosníku

● Koeficient bezpečnosti

F=Q∗q=2000∗9.81=19620 N

S=20∗10=200mm2

σ=FS=

519620200

=98.1N

mm2

k=Reσ =

23598.1

=2.4

29

Prostý smyk

Výpočet napětí v materiálu

Zatěžující síla je rovnoběžná s příčným průřezem a napětí je rovnoměrně rozloženo po průřezu (pouze teoreticky).

τ - napětí v materiálu

F – zatěžující síla

S – příčný průřez

τ=FS

[N ]

[mm2]=[MPa ]

30

Př:4

Jakou sílu je třeba vyvodit pro ustřižení kulatiny z materiálu 11 373. Mez pevnosti ve smyky je přibližně 0.8*Rm.

31

Př:4 řešení

● Výpočet plochy příčného průřezu

● Výpočet meze pevnosti ve smyku

● Výpočet potřebné síly

S=π∗d2

4=

π∗202

4=314mm2

τ=Rm∗0.8=373∗0.8=298.4N

mm2

F=τ∗S=298.4∗314=93697.6N

32

Ohyb

Výpočet napětí v materiálu

Zatěžující moment působí kolmo na osu prutu a způsobuje jeho průhyb.

σo - napětí v materiálu

Mo – zatěžující moment

Wo – průřezový modul v ohybu

σo=M o

W o

[N∗mm]

[mm3]

=[MPa]

33

34

Př:5 Vyšetřete průběh VVU a zkontrolujte maximální ohybové napětí na nosníku

Vyšetřete průběh VVU u prutu na dvou podporách● zatěžující síla F=5000N● rozměr a=450mm● rozmer b=700mm● materiál nosníku S235

35

Př:5 Stanovení síly v podporách

∑ Fz=0

F−F Az+FBz=0F Az=F+FBz

F Az=5000+3214.3F Az=8214.3 N

∑ M Ay=0

F∗a−F Bz∗b

FBz=F∗ab

FBz=5000∗450(700)

FBz=3214.3 N

∑ Fx=0

36

Př:5 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech

∑ F z=0

F+T=0T=−F

∑M y=0

M o+F∗x1=0M o=−F∗x1

∑ F x=0

N=0

∑ F z=0

−F Az+F+T=0T=F Az−F

∑M y=0

M o−F Az∗(x2−a)+F∗x2=0M o=F Az∗(x2−a)−F∗x2

37

Př:5 Výsledný průběh VVU v prutu

38

Př:5 Výpočet maximálního ohybového napětí a porovnání s mezí kluzu

● Průřezový modul v ohybu

● Maximální ohybový moment

● Maximální ohybové napětí

● Koeficient bezpečnosti

Wo=BH 2

6=

30∗502

6=12500mm3

M omax=F∗a=5000∗450=2250000 N∗mm=2250 N∗m

σo=M o

W o

=2250000

12500=180

N

mm2

k=Reσo

=235180

=1.3

39

Krut

Výpočet napětí v materiálu

Zatěžující moment působí v ose prutu a způsobuje jeho kroucení.

τk - napětí v materiálu

Mk – zatěžující moment

Wk – průřezový modul v krutu

τk=M k

W k

[N∗mm]

[mm3]

=[MPa]

40

Př:6 Navrhněte průměr kruhové tyče zatížené silovou dvojicí

● F = 100● h = 500● τdk = 200MPa

● d = ?

41

Př:6 řešení

● Zatěžující kroutící moment

● Výpočet průřezového modulu v krutu

● Výpočet minimálního průřezu

M k=F∗h=100∗500=50000 N∗mm=50N∗m

W k=M kτdk

=50000

200=250mm3

d=3√ 16∗W k

π =3√ 16∗250

π =10.8mm

42

Př:7 Vyšetřete průběh VVU v nosníku

● Nosník na dvou podporách● F1 = 1000N● F2 = 1500N● a = 1000 mm● b =700 mm● c = 800 mm

43

Př:7 Stanovení síly v podporách

∑ Fz=0

−F Az+F1−F2+FBz=0FAz=F1−F2+FBz

FAz=1000−1500+620FAz=120 N

∑M Ay=0

−F1∗a+F2∗(a+b)−FBz∗(a+b+c)

FBz=−F1∗a+F2∗(a+b)

(a+b+c)

FBz=−1000∗1000+1500∗(1000+700)

(1000+700+800)FBz=620 N

∑ Fx=0

44

Př:7 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech

∑ F z=0

−F Az+T=0T=FAz

∑M y=0

M o−F Az∗x1=0M o=F Az∗x1

∑ F x=0

N=0

∑ F z=0

−F Az+F1+T=0T=F Az−F1

∑M y=0

M o−F Az∗x2+F1∗(x2−a)=0M o=F Az∗x2−F1∗(x2−a)

45

Př:7 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech

∑ F z=0

−F Az+F1−F2+T=0T=F Az−F1+F 2

∑M y=0

M o−F Az∗x3+F1∗(x3−a)−F2∗(x3−a−b)=0M o=F Az∗x3−F1∗(x3−a)+F2∗(x3−a−b)

46

Př:7 Výsledný průběh VVU v prutu