vibraciones ultima edicion

7/23/2019 Vibraciones Ultima Edicion

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DINMICEscuela Profesional de

VIBRACIONES.

I.INTRODUCCIN.

El desarrollo de la Ciencia y ecnologa ac!uales i"#lican lageneraci$n y a#licaci$n del conoci"ien!o en "uc%as &reas yconsecuen!e"en!e el es!udian!e de Ingeniera de'e es!ar al!an!o de los "is"os(

El au"en!o #er"anen!e de las #o!encias en "&)uinas* +un!ocon una dis"inuci$n si"ul!&nea de gas!o de "a!eriales* y la al!ae,igencia de calidad y #roduc!ividad indus!rial* %acen )ue elan&lisis din&"ico de las vi'raciones "ec&nicas en ins!alacionesindus!riales sea cada ve- "&s e,ac!o(

El an&lisis de vi'raciones es un !e"a "uy a"#lio al cual se le%a dedicado !e,!os co"#le!os( En consecuencia* es!e es!udio seli"i!ar& a los !i#os "&s si"#les de vi'raciones* a sa'er* lasvi'raciones de un cuer#o o un sis!e"a de cuer#os con un grado deli'er!ad(

Una vi'raci$n "ec&nica se #roduce #or lo general cuando unsis!e"a se des#la-a de una #osici$n de e)uili'rio es!a'le( Elsis!e"a !iende a re!ornar a su #osici$n 'a+o la acci$n de fuer-as

res!auradoras .ya sea fuer-as el&s!icas* co"o en el caso de una"asa unida a un resor!e o fuer-as gravi!acionales* co"o en elcaso de un #/ndulo0( Pero el sis!e"a #or lo general alcan-a su#osici$n original con cier!a velocidad ad)uirida )ue lo lleva "&sall& de esa #osici$n(

Pues!o )ue el #roceso #uede re#e!irse de "anera inde1nida*el sis!e"a se "an!iene "ovi/ndose de un lado a o!ro de su#osici$n de e)uili'rio( El in!ervalo de !ie"#o re)uerido #ara )ue elsis!e"a realice un ciclo de "ovi"ien!o co"#le!o reci'e el no"'re

de #erodo de la vi'raci$n(

El n2"ero de ciclos #or unidad de !ie"#o de1ne la frecuenciay el des#la-a"ien!o "&,i"o del sis!e"a a #ar!ir de su #osici$n dee)uili'rio se conoce co"o a"#li!ud de la u'icaci$n(


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Cuando el "ovi"ien!o se "an!iene 2nica"en!e #or "edio defuer-as res!auradoras* se dice )ue la fricci$n es una vi'raci$nli're( Cuando se a#lica una fuer-a #eri$dica al sis!e"a* el"ovi"ien!o resul!an!e se descri'e co"o una vi'raci$n for-ada(

Cuando es #osi'le ignorar los efec!os de la fricci$n se a1r"a)ue las vi'raciones son no a"or!iguadas( Sin e"'argo* !odas lasvi'raciones son en realidad a"or!iguadas %as!a cier!o grado( Siuna vi'raci$n li're s$lo se a"or!igua de "anera ligera* sua"#li!ud decrece de "anera len!a %as!a )ue* des#u/s de cier!o!ie"#o* el "ovi"ien!o se in!erru"#e(

Pero si el a"or!igua"ien!o es su1cien!e"en!e largo #araevi!ar cual)uier vi'raci$n verdadera* en ese caso el sis!e"arecu#era len!a"en!e su #osici$n original( Una vi'raci$n for-ada

a"or!iguada se "an!iene sie"#re y cuando se a#li)ue la fuer-a#eri$dica )ue la #roduce(

Sin e"'argo* Ia a"#li!ud de la vi'raci$n se ve afec!ada #orla "agni!ud de las fuer-as de a"or!igua"ien!o(

En es!e !ra'a+o se %a'la de en!re o!ros !e"as3 acerca deconce#!os '&sicos )ue se de'en "ane+ar #ara el en!endi"ien!odel !e"a* fuer-as )ue #ar!ici#an en el "ovi"ien!o vi'ra!orio* lasclases de vi'raciones .vi'raciones li'res y vi'raciones for-adas0 y

e+ercicios de a#licaci$n(

II. RESEA HISTRICA DE LASVIBRACIONES.

Es difcil es!a'lecer el origen de la ciencia de lasvi'raciones "ec&nicas* ni si )uiera ad+udicar a una sola#ersona el !!ulo del 4#adre de la ciencia de las vi'raciones5 ya)ue a !rav/s de la %is!oria grandes cien!1cos reali-aroni"#or!an!es a#or!aciones )ue %icieron %oy en da del fen$"enode las vi'raciones !oda una ciencia(

A con!inuaci$n se #resen!a un 'reve recorrido de algunos#ersona+es de ciencia )ue %icieron a#or!aciones so're elfen$"eno de las vi'raciones(


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Re"on!&ndose en la %is!oria* un #ersona+e cele're de laan!igua Grecia sor#renda con grandes e i"#or!an!esa#or!aciones 1los$1cas y "a!e"&!icas* so're !odo en el &reade ari!"/!ica6 %oy en da !odos conoce"os de /l gracias a unfa"oso !eore"a dado en su %onor conocido co"o el !eore"a

de Pi!&goras(

Pi!&goras .789 : ;


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En el #resen!e siglo uno de los #ersona+es de ciencia "&sin)uie!ados #or es!e fen$"eno es conocido co"o Galileo Galilei.@7;>@;B0( Galileo encon!r$ la relaci$n e,is!en!e en!re lalongi!ud de cuerda de un #/ndulo y su frecuencia deoscilaci$n* ade"&s encon!r$ la relaci$n en!re la !ensi$n*

longi!ud y frecuencia de vi'raci$n de las cuerdas(

Se cuen!a )ue cier!a ve-* "ien!ras o'serva'ades#reocu#ada"en!e las oscilaciones de un candela'ro en laca!edral de Pisa Galileo Galilei se in!eres$ en "edir el!ie"#o de cada oscilaci$n co"#ar&ndolo con el n2"ero dela!idos de su #ulso .en esa /#oca !odava no se inven!a'a losrelo+es ni los cron$"e!ros0(

Pudo co"#ro'ar sor#rendido* )ue aun cuando las

oscilaciones fueran cada ve- "&s "enores* el !ie"#o de cadaoscilaci$n era sie"#re el "is"o(

Al re#e!ir el e,#eri"en!o en su casa* co"#ro'$ lo an!erioru!ili-ando un #/ndulo .una #iedra a!ada al e,!re"o de unacuerda0 encon!rando ade"&s )ue el !ie"#o de la oscilaci$nde#enda de la longi!ud(

En la d/cada de los ;9 del siglo II e,is!i$ uno de losgrandes cien!1cos de la %is!oria lla"ado Isaac Ne!on .@;B>@8B80* "a!e"&!ico y fsico 'ri!&nico* considerado uno de los "&s

grandes cien!1cos de la %is!oria* )ue %i-o i"#or!an!esa#or!aciones en "uc%os ca"#os de la ciencia( Susdescu'ri"ien!os y !eoras sirvieron de 'ase a la "ayor #ar!e delos avances cien!1cos desarrollados desde su /#oca( Ne!onfue* +un!o al "a!e"&!ico ale"&n Go!!fried il%el" ei'ni-* unode los inven!ores de la ra"a de las "a!e"&!icas deno"inadac&lculo(


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a"'i/n resolvi$ cues!iones rela!ivas a la lu- y la $#!ica*for"ul$ las leyes del "ovi"ien!o y dedu+o a #ar!ir de ellas la leyde la gravi!aci$n universal( En el ca"#o de las vi'raciones eluso de las leyes de Ne!on for"a un #a#el i"#or!an!e en el

an&lisis de sis!e"as y la de!er"inaci$n de frecuencias deoscilaci$n( Pu'lic$ su !eora en Princi#ios "a!e"&!icos de la1losofa na!ural .@H80* o'ra )ue "arc$ un #un!o de ine,i$n en la%is!oria de la ciencia* y con la )ue #erdi$ el !e"or a #u'licar sus!eoras(

Con la a#arici$n de la o'ra de Ne!on 4%e #rinci#ia5i"#lic$ a Ne!on en un desagrada'le e#isodio con o!ro gran1l$sofo y fsico lla"ado Ro'er! JooKe .@=7>@89@0(

En @H8 JooKe a1r"$ )ue Ne!on le %a'a ro'ado la ideacen!ral del li'ro3 )ue los cuer#os se a!raen rec#roca"en!e conuna fuer-a )ue vara inversa"en!e al cuadrado de la dis!ancia

en!re ellos( Sin e"'argo* la "ayor #ar!e de los %is!oriadores noace#!an los cargos de #lagio de JooKe( Sin e"'argo* es!ecien!1co es reconocido #or sus inves!igaciones en el ca"#ode la elas!icidad( En @8H* el !a"'i/n lla"ado eonardo Ingl/s*#u'lico el li'ro3 4U! Pondus Sic ensia5 .co"o el #eso as es la!ensi$n0 )ue re#resen!a un #ri"er enunciado de su conocida leyde la elas!icidad(

La en una /#oca recien!e Daniel ernoulli .@899>@8HB0*es!udio la for"a de vi'rar de algunos cuer#os usando el

#rinci#io de su#er#osici$n de ar"$nicos( Daniel ernoulli %i-o unaes!rec%a corres#ondencia con su a"igo Euler en la )ue!ra!aron !e"as de la "ec&nica de los "edios e,i'les yel&s!icos* en #ar!icular los #ro'le"as de #e)ueas oscilacionesde cuerdas y vigas( Par!icular"en!e a!rac!iva es la #ol/"ica )uese a'ri$ so're el !e"a de la cuerda "usical* no s$lo en!re Euler yDaniel* sino con la incor#oraci$n de un +oven ge$"e!ra Oean le


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Rond DAle"'er!* )uien #ron!o fue considerado en!re los "&s#res!igiosos ge$"e!ras de Francia en el Siglo de las uces(

El de'a!e so're la ecuaci$n de la cuerda* so"e!ida a unavi'raci$n en un "is"o #lano* es i"#or!an!e desde el #un!o de

vis!a "a!e"&!ico* no s$lo #or)ue re#resen!a el #ri"eran&lisis de la soluci$n de una ecuaci$n diferencial enderivadas #arciales* sino ade"&s #or)ue la discusi$n llev$ alcues!iona"ien!o de las nociones es!a'lecidas de funci$n y dere#resen!aci$n de funciones "edian!e series !rigono"/!ricas(

En #ar!icular en las ideas de Daniel es!a'a el ger"en de la!eora de re#resen!aci$n en series de Fourier )ue se es!a'leci$ enel siglo I con los !ra'a+os de Fourier* Diric%le!* Rie"ann y o!ros(

Pero en el siglo III el "a!e"&!ico franc/s Oose#% Fourier.@8H>@H=90 vino a reali-ar una de las a#or!aciones "&si"#or!an!es en el &rea de las vi'raciones* en @H98 envi$ unar!culo a la Acade"ia de Ciencias en Paris* en /l #resen!a'a unadescri#ci$n "a!e"&!ica de #ro'le"as relacionados con laconducci$n de calor( Pese a )ue el ar!culo fue rec%a-ado*con!ena ideas )ue se conver!iran en una i"#or!an!e &rea delas "a!e"&!icas lla"ada en su %onor* el an&lisis de Fourier(

Una de las sor#renden!es a#or!aciones del !ra'a+o de

Fourier fue )ue "uc%as de las funciones "&s conocidas #odane,#andirse en series de senos y cosenos6 de !al "odo )ue es!aa#or!aci$n es una de las "&s in!eresan!es e i"#or!an!es en elca"#o de las vi'raciones "ec&nicas ya )ue en 'ase al algori!"ode la serie de Fourier !ra'a+an los "odernos anali-adores devi'raci$n(


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III. CONCEPTOS BSICOS.

a.Elongacin.

Es el des#la-a"ien!o a !rav/s del !ie"#o* es ladis!ancia )ue se#ara a un cuer#o de la #osici$n de e)uili'rioo #osici$n cen!ral( .,0

b.Amli!"#.

Se lla"a a"#li!ud* A* al valor "&,i"o )ue #uede !o"arla elongaci$n6 es decir* la elongaci$n vara en el !ranscursodel !ie"#o en!re QA y >A( a elongaci$n y la a"#li!ud se

e,#resan en "e!ros(


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c.P$%io#o.

Mni"o in!ervalo de !ie"#o inver!ido #or un fen$"eno#eri$dico #ara volver a #asar #or la "is"a #osici$n( Sere#resen!a #or Ty se e,#resa en segundos(

Un "$vil reali-a un "ovi"ien!o #eri$dico cuando ain!ervalos iguales de !ie"#o* !odas sus varia'les !o"an el"is"o valor( El #eriodo es el !ie"#o e"#leado en reali-aruna vuel!a co"#le!a o ciclo(

#.&%$c"$ncia.

Es el n2"ero de ciclos reali-ados #or unidad de !ie"#o*la frecuencia indica el n2"ero de veces )ue se re#i!e en unsegundo cual)uier fen$"eno #eri$dico( a frecuencia es "uyi"#or!an!e en "uc%as &reas de la fsica* co"o la "ec&nica oel es!udio de las ondas de sonido(


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$.O'cilacin.

Es el "ovi"ien!o de vaiv/n de un #ar&"e!ro fsicoalrededor de una referencia(

(. Di($%$ncia $n!%$ o'cilacin ) *ib%acin+

Conviene se#arar el conce#!o de vi'raci$n del deoscilaci$n( En las oscilaciones %ay conversi$n de energascin/!ica en #o!encial gravi!a!oria y viceversa* "ien!ras )ue


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en las vi'raciones %ay in!erca"'io en!re energa cin/!ica yenerga #o!encial el&s!ica(

De'ida a la #e)uee- rela!iva de las defor"acioneslocales res#ec!o a los des#la-a"ien!os del cuer#o* las

vi'raciones generan "ovi"ien!os de "enor "agni!ud )ue lasoscilaciones en !orno a un #un!o de e)uili'rio(

Ade"&s las vi'raciones al ser de "ovi"ien!os#eri$dicos .o cuasi #eri$dicos0 de "ayor frecuencia )ue lasoscilaciones suelen generar ondas sonoras lo cual cons!i!uyeun #roceso disi#a!ivo )ue consu"e energa( Ade"&s lasvi'raciones #ueden ocasionar fa!iga de "a!eriales(

IV. &UER,AS -UE PARTICIPAN EN ELOVIIENTO VIBRATORIO.

Una vi'raci$n es el "ovi"ien!o #eri$dico de un cuer#o o deun sis!e"a de cuer#os conec!ados* des#la-ados desde una#osici$n de e)uili'rio(

En general* %ay dos !i#os de vi'raci$n3 li're y for-ada( avi'raci$n li're ocurre cuando el "ovi"ien!o es "an!enido #orfuer-as res!auradoras gravi!a!orias o el&s!icas* co"o el

"ovi"ien!o oscila!orio de un #/ndulo o la vi'raci$n de una 'arrael&s!ica( a vi'raci$n for-ada #roviene de una fuer-a e,!erna o#eri$dica o in!er"i!en!e a#licada al sis!e"a(

A"'os !i#os de vi'raci$n #ueden ser a"or!iguadas o noa"or!iguada( as vi'raciones no a"or!iguadas #ueden con!inuarinde1nida"en!e de'ido a )ue los efec!os de fricci$n sondes#reciados en el an&lisis( De %ec%o* ya )ue !an!o las fuer-as defricci$n e,!ernas co"o in!ernas es!&n #resen!es* el "ovi"ien!o de!odos los cuer#os en vi'raci$n es en realidad a"or!iguado(


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VIBRACIONES LIBRES

A.&UER,AS RESTAURADORAS /RAVITATORIAS O

ELASTICAS.Se "ani1es!a

cuando se ro"#e lasi!uaci$n dee)uili'rio es!a'le #oracci$n de algunafuer-a defor"adora(

os resor!ese+ercen una fuer-arecu#eradora so'rela "asa )ue vale K,*es decir cuando la"asa se des#la-a%acia la derec%a* lafuer-a del resor!ees!& dirigida %acia lai-)uierda y viceversa(

Jay )ue #oner a!enci$n en dis!inguir #erfec!a"en!e en!relas fuer-as de "$dulo Fs* )ue de'en a#licarse a a"'ose,!re"os del resor!e sin "asa #ara #roducir en /l una !racci$n ouna co"#resi$n y la fuer-a F >K, .EL DE J??E0* de igual"odulo* )ue el resor!e e+erce so're la "asa


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a cons!an!e K se conoce co"o cons!an!e del resor!e*cons!an!e recu#eradora o rigide- y se e,#resa en NT" y Xes laelongaci$n o defor"aci$n )ue sufre el resor!e(

VIBRACIONES &OR,ADAS

B.&UER,A E0TERNA O PERIODICA.

A#licadas e,!erior"en!e* son fuer-as )ue no de#endendela #osici$n ni del "ovi"ien!o del cuer#o(

El 'lo)ue y el resor!e )ue se "ues!ra #ro#orcionan un"odelo convenien!e )ue re#resen!a las carac!ers!icasvi'ra!orias de un sis!e"a so"e!ido a una fuer-a #eri$dica F F9sen9!(

Es!a fuer-a !iene una a"#li!ud F9 y frecuencia for-ada ( A#licando la ecuaci$n del "ovi"ien!o3

d2x

d t2+

k

mx=

F0

m sent


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C.

&UER,AS AORTI/UADORAS. &UER,A DE RO,AIENTO O DE &RICCION+

Es una fuer-a )ue in!erviene en!re dos su#er1cies encon!ac!o #ara a"inorar el "ovi"ien!o vi'ra!orio(

En un sis!e"a real las fuer-as de ro-a"ien!o llegan ade!ener las vi'raciones li'res* ade"&s ya )ue las fuer-as defricci$n e,!ernas co"o las in!ernas es!&n #resen!es* el

"ovi"ien!o de !odos los cuer#os en vi'raci$n es en realidada"or!iguado(

RESISTENCIA AL AIRE+

a resis!encia es sie"#re de sen!ido o#ues!o al de lavelocidad* #or lo )ue %a'i!ual"en!e se dice de ella )ue* defor"a si"ilar a la de fricci$n* es la fuer-a )ue se o#one al"ovi"ien!o a !rav/s del aire(

AORTI/UAIENTO VISCOSO+

El a"or!iguador viscoso es un dis#osi!ivo )ue se ins!alain!encional"en!e en los sis!e"as "ec&nicos con la 1nalidadde li"i!ar o "er"ar sus vi'raciones( Consis!e en un cilindrolleno de uido viscoso y un #is!$n con ori1cios u o!ro !i#o de
http://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3n


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co"unicaci$n a !rav/s de las cuales el uido #uede #asar deuno a o!ro lado(

os a"or!iguadores viscosos e+ercen una fuer-a Fdcuyain!ensidad es #ro#orcional a la velocidad de la "asa(

a cons!an!e de #ro#orcionalidad c se conoce co"ocoe1cien!e de a"or!igua"ien!o viscoso y se "ide en N>sT"(El sen!ido de la fuer-a a"or!iguadora a#licado a la "asa eso#ues!o al de la velocidad de es!a es decir* esa fuer-a see,#resa #or :c,


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V. VIBRACIONESLIBRES.

Una es!ruc!ura es!& en

vi'raci$n li're cuando es

#er!ur'ada desu

#osici$n es!&!ica de e)uili'rioy co"ien-a a vi'rar sin la

e,ci!aci$n de fuer-a e,!erna

alguna . p(t)=0 0(

A. Vib%acion$' Lib%$' No Amo%!ig"a#a'

Rigi#$1 234+Re#resen!ada #or un resor!e(Amo%!ig"ami$n!o 2c4+En la "odelaci$n se re#resen!a #orun a"or!iguador viscoso e)uivalen!e* re#resen!a ladisi#aci$n de energa de un sis!e"a(


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D$'la1ami$n!o 25 2!44+Re#resen!a la #osici$n del cen!rode "asa de un cuer#o o sis!e"a* se "ide a #ar!ir de una#osici$n de referencia ar'i!raria(

E5ci!acin 2( 2!44+E,ci!aci$n )ue #rovoca la vi'raci$n* es!a

#uede ser de cual)uier na!urale-a* en caso de no %a'ere,ci!aci$n e,!erna* se de'e considerar una condici$n develocidad yTo des#la-a"ien!o inicial(

a e,#resi$n general del "ovi"ien!o #ara un sis!e"ade un grado de li'er!ad es!ar& dada #or la siguien!ee,#resi$n3

Cuya soluci$nes la ecuaci$nde , .!0 )uee,#resa eldes#la-a"ien!o del cen!ro de "asa del cuer#o .o sis!e"a0 enfunci$n del !ie"#o(

B. Vib%acin Lib%$ No amo%!ig"a#aEn es!e caso* no e,is!e ni a"or!igua"ien!o ni e,ci!aci$n

.f.!096 c.!090* #or lo )ue en nues!ro "odelo no %a'r& #/rdidasde energa( Al no e,is!ir una e,ci!aci$n )ue #rovo)ue lavi'raci$n* !endre"os )ue la 2nica for"a de )ue es!a se#rodu-ca es #or una condici$n inicial de nues!ro sis!e"a* ya sea#or des#la-a"ien!o o #or velocidad inicial* #or lo !an!o nues!roPI .#ro'le"a de valores iniciales0 a resolver ser&3

m x+kx=0

Con las condiciones inciales3

X(0 )=X0

X '(0 )=X '0

m x+cx+kx=f(t)


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Resolviendo es!e PI* !ene"os la siguien!e ecuaci$ncarac!ers!ica3

mr2+k=0r= i km

x (t)=C1

er1

t+C2

er2t

Pode"os e,#resar el resul!ado an!erior de la for"a de laecuaci$n del "ovi"ien!o ar"$nico si"#le3

x (t)=Acoskmt+Bsen kmt

D$nde3=

k

m es frecuencia na!ural del sis!e"a en radTseg(

Des#e+ando Ay de las condiciones iniciales del #ro'le"a!ene"os )ue3

E,#resando losresul!ados en!/r"inos de a"#li!ud y frecuencia3

x (t)=X0

sen(t+)

Donde X0=x02+(x0

)2

es la a"#li!ud de vi'raci$n(

L el &ngulo de fase es!& dado #or3

= x

0

x0(rad)

x ( t)=x0

cost+x

0

sent


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Una ve- de!er"inada* la e,#resi$n #ara el des#la-a"ien!o*#ode"os de!er"inar f&cil"en!e las e,#resiones de velocidad yaceleraci$n* derivando la e,#resi$n de ,.!0* o'!eni/ndose los

resul!ados )ue siguen3

v (t)=V0

sen(t++

2)

a (t)=A0

sen(t++)

Donde las e,#resiones A9 y 9 es!&n dadas #or3

V0=X

0

A0=X02

Es i"#or!an!e no!ar )ue el desfase de a"'as es!& a


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C.Vib%acin Lib%$ amo%!ig"a#a

En es!e caso* !ene"os ausencia de e,ci!aci$n e,!erna* #or

lo )ue de'e"os resolver o!ro PI* #ero en es!e caso* !ene"os lae,is!encia de a"or!igua"ien!o* #or lo )ue !endre"os #/rdidade energa duran!e el #roceso( a ecuaci$n a resolver ser&3

x (0 )=x0x (0 )=x

0

Cuya ecuaci$n carac!ers!ica es "rBQcr Q K 9* luego*resolviendo es!a ecuaci$n alge'raica* !ene"os3

r1

,r2=c

2m

( c2m )

2

km

uego* !ene"os )ue el sis!e"a vi'rar& sola"en!e si r !ienevalores i"aginarios* #or lo )ue #ara )ue el sis!e"a vi're* sede'e cu"#lir la siguien!e condici$n3

k

m>( c2m )

2

A%ora 'ien* el valor "&,i"o de c #ara )ue el sis!e"avi're* se lla"a 4a"or!igua"ien!o cr!ico5 y !iene el siguien!evalor3

cc=2km=2

Pode"os de1nir el !/r"ino 4fac!or de a"or!igua"ien!o5co"o sigue3

6 7 (ac!o% #$ amo%!ig"ami$n!o7C8CC

uego* la soluci$n de la ecuaci$n carac!ers!ica )ueda de lasiguien!e for"a3

Ca'o I+ Amo%!ig"ami$n!o c%9!ico 26 7:4

r1

,r2= 21

m x+cx+kx=0


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En es!e caso* la ra- de la ecuaci$n .r@* rB0 es nula* #or lo )ue!ene"os B races #osi!ivas e iguales* en!onces no !ene"osvi'raci$n( a e,#resi$n del des#la-a"ien!o del sis!e"a es!& dado#or3

r1=r2=

x (t)=(A1+A2t)et

Si des#e+a"os las condiciones iniciales !ene"os3

Ca'o II+ Amo%!ig"ami$n!o 'ob%$c%9!ico %a9c$' %$al$' )

#i'!in!a'; !amoco $5i'!$ *ib%acin 26


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Res#ues!a del sis!e"a fren!e a valores de fac!or dea"or!igua"ien!o cr!ico y so'recr!ico(

Ca'o III+ Amo%!ig"ami$n!o '"bc%9!ico %a9c$' coml$=a'con="ga#a'; $5i'!$ *ib%acin+ 26 >:4

a ecuaci$n de des#la-a"ien!o ser&(

x (t)=et [A sent+Bcost]

A%ora 'ien* si des#e+a"os los valores de A y desde lascondiciones iniciales* !ene"os )ue la e,#resi$n del des#la-a"ien!o

resul!a ser3

x (t)=et[ x0+x0 sen+x0 cost]=12

Donde* =Frec!encia nat!ra" de vi#raci$n amorti%!ada&

Resolviendo a%ora en !/r"inos de a"#li!ud vi'ra!oria*!ene"os )ue el des#la-a"ien!o )ueda3

x (t)=X0et

sen ( t+d)


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x0+ x

0

2

x02

+X0=

Res#ues!a del sis!e"a de un grado de li'er!ad #ara unvi'raci$n li're a"or!iguada* en ella se #uede a#reciar c$"o lavi'raci$n es "odulada #or el a"or!igua"ien!o(

VI. VIBRACIONES &OR,ADAS.

as vi'raciones "&s i"#or!an!es desde el #un!o de vis!a delas a#licaciones de ingeniera son las vi'raciones for-adas( Es!asocurren cuando un sis!e"a se su+e!a a una fuer-a #eri$dica o


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cuando se le conec!a el&s!ica"en!e a un so#or!e )ue !iene un"ovi"ien!o al!ernan!e(

El !/r"ino vi'raciones for-adas signi1ca )ue fuer-as e,!ernasafec!an las vi'raciones de un sis!e"a( Jas!a a%ora %e"os

anali-ado vi'raciones li'res de sis!e"as* o sea* vi'raciones noafec!adas #or fuer-as e,!ernas( Por e+e"#lo* duran!e un sis"o* unedi1cio sufre vi'raciones for-adas inducidas #or fuer-asoscila!orias e+ercidas en su ci"en!aci$n( Cuando el sis"o #asa* eledi1cio vi'ra li're"en!e %as!a )ue su "ovi"ien!o cesa #ora"or!igua"ien!o(a.Vib%acin (o%1a#a no amo%!ig"a#a

Se considera )ue la vi'raci$n for-ada no a"or!iguada es unode los !i#os "&s i"#or!an!es de "ovi"ien!o vi'ra!orio en el

ca"#o de la ingeniera( Sus #rinci#ios #ueden u!ili-arse #aradescri'ir el "ovi"ien!o de "uc%os !i#os de "&)uinas yes!ruc!uras(


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Fuerza peridica.El 'lo)ue y resor!e "os!rados cons!i!uyen un"odelo convenien!e #ara re#resen!ar las carac!ers!icas vi'ra!orias

de un sis!e"a so"e!ido a una fuer-a #eri$dica F=F0 sen t ( Es!a

fuer-a !iene una a"#li!ud de F0 y una frecuencia for-ada de (

El diagra"a de cuer#o li're del 'lo)ue des#la-ado una dis!anciax !a"'i/n se "ues!ra( Al a#licar la ecuaci$n de "ovi"ien!o*

!ene"os3

+F=ma o 'ien3

Es!a es una ecuaci$n diferencial de segundo grado no%o"og/nea( a soluci$n general cons!a de una soluci$n

%o"og/nea x "&s una soluci$n #ar!icular xp (

a soluci$n %o"og/nea se de!er"ina al es!a'lecer el lado

derec%o de la ecuaci$n igual a cero y resolver la ecuaci$n%o"og/nea resul!an!e( a ecuaci$n de1ne la soluci$n* es decir3

Donde es la frecuencia na!ural* =k/m (

Co"o el "ovi"ien!o es #eri$dico* la soluci$n #ar!icular de laecuaci$n #uede de!er"inarse si se su#one una soluci$n de lafor"a3

Donde es una cons!an!e( Si calcula"os la segunda derivadacon res#ec!o al !ie"#o y sus!i!ui"os en la ecuaci$n @ o'!ene"os3

F0sentkx=m

d2x

dt

Ec(d2

xdt +kmx=F

0

m sent

x=Csen(t+) Ec(

xp=Asen(t) Ec(


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A 2 sent+k

m(Asen t)=

F0

msen t

Al fac!ori-ar sen t y resolver #ara X o'!ene"os3

uego se !iene en lasoluci$n #ar!icular3

a soluci$n general es* #or consiguien!e* la su"a de dosfunciones seno de frecuencias diferen!es(

a soluci$n %o"og/nea x de1ne la vi'raci$n li're* la cual

de#ende de la frecuencia na!ural =k/m y las cons!an!es C (

( a soluci$n #ar!icular xp descri'e la vi'raci$n for-ada del

'lo)ue #rovocada #or la fuer-a a#licada F=F0 sen t ( Co"o !odos

A= F

0/m

(k/m)2

A= F

0/k

1( / )2

Ec(

xp= F

0/k

1( / )2

sen(t)

x=x+xp=Csen (t+ )+ F

0/k

1( / )2

sen(t)Ec(


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los sis!e"as vi'ra!orios se so"e!en a una fricci$n* la vi'raci$n

li're* x * se a"or!iguara al #aso del !ie"#o( Por eso la vi'raci$n

li're se conoce co"o !ransi!oria y a la vi'raci$n for-ada se conoceco"o de es!ado con!inuo* #ues!o )ue es la 2nica vi'raci$n )ue

#er"anece(Seg2n la ecuaci$n ;* la a"#li!ud de la vi'raci$n for-ada o de

es!ado con!inuo de#ende de la relaci$n de frecuencia / (Si elfac!or de a"#li1caci$n MF se de1ne co"o la relaci$n de la

a"#li!ud de la vi'raci$n de es!ado con!inuo* A * a la dee,i$n

es!&!ica F0 /k * #roducida #or la a"#li!ud de la fuer-a #eri$dicaF

0 * en!onces* seg2n la ecuaci$n =(

Es!a ecuaci$n se"ues!ra su gr&1ca(

)F= X

F0/ k=

1

1(/ )2

( )


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?'serve )ue si la fuer-a o des#la-a"ien!o se a#lica con unafrecuencia #r$,i"a a la frecuencia na!ural del sis!e"a* es decir

( / )*1 * la a"#li!ud de la vi'raci$n del 'lo)ue llega a ser

e,!re"ada"en!e grande( Es!o ocurre #or)ue la fuer-a F se a#licaal 'lo)ue de "odo )ue sie"#re siga el "ovi"ien!o de /s!e( Es!acondici$n se lla"a resonancia* en la #r&c!ica* las vi'racionesresonan!es #ueden dar lugar a esfuer-os !re"endos y a la ridafalla de las #ar!es(

b.Vib%acin (o%1a#a *i'co'a amo%!ig"a#a.

El caso "&s general de "ovi"ien!o vi'ra!orio de un sologrado de li'er!ad ocurre cuando el sis!e"a incluye los efec!os de"ovi"ien!o for-ado y a"or!iguaci$n inducida( El an&lisis de es!e!i#o #ar!icular de vi'raci$n es de valor #r&c!ico cuando se a#lica asis!e"as con carac!ers!icas de a"or!iguaci$n signi1ca!ivas(

Si se conec!a un a"or!iguador al 'lo)ue y el resor!e !al co"ose "ues!ra3


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De acuerdo con el diagra"a de cuer#o li're de la "asa*en!onces la ecuaci$n diferencial )ue descri'e su "ovi"ien!o es3

+F=ma

Dondec=factor de amorti%!amiento

Dividiendo !odos los !/r"inos de la ecuaci$n #or la "asa m

3

md

2x

dt +

c

m

dx

dt+

k

mx=

F0

m cost

Si %ace"osc

m=2 + 6 ade"&s se sa'e )ue

k

m=2 * se

o'!iene3

d2x

dt +2+

dx

dt+2x=

F0

m cost

Por consiguien!e* su#ondre"os co"o #osi'le soluci$n de laecuaci$n* una e,#resi$n de la for"a3

md

2x

dt +c

dx

dt+kx=F

0cos t


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Jallando la #ri"era y segunda derivada de x res#ec!o at

dx

dt= Acos(t+)

d2x

dt=2Asen(t+)

L ree"#la-ando en la ecuaci$n diferencial se o'!iene3

2Asen (t+ )+2 +[ Acos ( t+ )]+2 [Asen (t+ )]=F

0

m cos t

Desarrollando las funciones !rigono"/!ricas3

t

tt

2A [ sen ( &cos+cos (t) &sen )]+2+ A [cos (&cossen (t) &sen )]+2A [ sen ( &cos+cos (

Fac!ori-ando se !iene3

sen t[(22 )Acos 2 + Asen ]+cost[(22 )Asen +2 + Acos ]=F0m cost

Para )ue es!a ecuaci$n se cu"#la es necesario igualar los!/r"inos de a"'os "ie"'ros* #or lo !an!o o'!ene"os3

De la #ri"era ecuaci$n se o'!iene3

xp=Asen(t+)

( 22)Acos2+ Asen =0Ec(

( 22)Asen+2 + Acos=F

0

mEc(


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t% =22

2 +

Elevando al cuadrado las ecuaciones @ y B y su"&ndolaso'!ene"os3

A2 [(22 )2+4 +2 & 2 ]=(F0m)

2

De donde3

c.El ($nm$no #$ la %$'onancia.

a resonancia es un fen$"eno fsico )ue afec!a a cuer#osrgidos* )ue #ueden vi'rar o reali-ar oscilaciones( En cuer#os'landos es "uc%o "&s co"#licado #or)ue la vi'raci$n se a'sor'e"&s rida"en!e* aun)ue !a"'i/n #odra lograrse( El !/r"inoresonancia #uede referirse a3

Resul!ado de la coincidencia de dos frecuencias de energa)ue coinciden en a"#li!ud y longi!ud(

a #rolongaci$n del sonido )ue se va dis"inuyendo #orgrados(

El sonido #roducido #or re#ercusi$n de o!ro(

Anlisis de resonancia.

En la ecuaci$n = la a"#li!ud de las oscilaciones for-adas A* se!iene un valor "&,i"o cuando el deno"inador sea "ni"o* y #arao'!ener un "ni"o iguala"os a 9 la derivada de dic%odeno"inador(

d

d[ ( 22 )2+4 +2 & 2 ]

A=

F0

m

(22 )2

+4 +2& 2Ec(


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2( 22 ) (2 )+8 +2 & 2=0

2=22 +2

Es!e "&,i"o da lugar al lla"ado fen$"eno de resonancia(

a frecuencia de resonancia3

L la a"#li!ud"&,i"a3

Cuando de la fuer-a a#licada es igual 22+2 * se dice

)ue %ay resonancia en la a"#li!ud( Cuan!o "enor es ela"or!igua"ien!o "&s #ronunciada es la resonancia* y cuando

c=0 * la a"#li!ud de resonancia es in1ni!a y ocurre #ara==,/m

resonancia=22 +2

Aresonancia= F

0/m

2 +22 +2


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( )


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Cola#so del #uen!e aco"a #or efec!o de la resonancia(

Resonancia En Energa

a a"#li!ud de la velocidad de oscilaci$n del sis!e"a esdiferen!e #ara dis!in!as frecuencias de la fuer-a e,!erna(

a funci$n #resen!a un "&,i"o cuando la frecuencia

coincide con la frecuencia #ro#ia de osciladorSe dice )ue a esa frecuencia es #roduce resonancia en energa(

Modelos Clsicos

Su#onga"os )ue un nio se es!& "eciendo en el colu"#io deun +ardn( El colu"#io !arda de!er"inado !ie"#o en ir y regresar* o


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sea en reali-ar un ciclo co"#le!o( Es!e !ie"#o se lla"a el #eriododel colu"#io( a"'i/n #ode"os %a'lar de la frecuencia de laoscilaci$n* es decir* del n2"ero de ciclos )ue reali-a el colu"#ioen un segundo(

Importancia

El es!udio del fen$"eno de resonancia en el ca"#o de la

ingeniera es de vi!al i"#or!ancia #or )ue a'arca endiferen!es as#ec!os !an!o de #royec!os de ingeniera co"ode nues!ra vida(

Proyec!os de ingeniera3

El fen$"eno de la resonancia ad)uiere es#eciali"#or!ancia desde el #un!o de vis!a de la seguridad dees!ruc!uras co"o edi1cios* #uen!es* lneas de al!a !ensi$n*

VII.CONCLUSIONES

Un 'uen conoci"ien!o de los efec!os generados #or nues!rasacciones sie"#re resul!a indis#ensa'le #ara evi!ar lades!rucci$n de las es!ruc!uras .edi1cios* #uen!es* lneas deal!a !ensi$n* e!c(0 #or ellas* #or es!e "o!ivo es necesarioanali-ar con de!alle el es!udio del fen$"eno de resonanciaan!es de cons!ruir una es!ruc!ura de ingeniera(


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VIII. APLICACIONES.

@( a "asa de ; Kg es!& sus#endida en un #lano ver!ical* seg2nse indica en la 1gura( os dos resor!es es!&n so"e!idos a!racci$n en !odo "o"en!o y las #oleas son #e)ueas y es!&ne,en!as de ro-a"ien!o( Si se lleva la "asa a @7 "" #orenci"a de su #eso de e)uili'rio y se suel!a con una velocidadde 879""Ts %acia a'a+o cuando 9 * de!er"inar3

a0 a ecuaci$n diferencial )ue rige el "ovi"ien!o('0 El #eriodo y la a"#li!ud de la vi'raci$n resul!an!e(c0 a #osici$n de la "asa en funci$n del !ie"#o(

d0 El "enor !ie"#o 9W!X corres#ondien!e a velocidad nula dela "asa(


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Solucin:


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4x2+300=0

X=27.386

a0 4(+3000(=0

'0 -=(.750)=27.386

/=2/-=0.029

0(t)=Asen(27.386 t)+Bcos (27.386 t)

( (t)=27.386Acos(27.386 t)27.386Bsen(27.386 t)10001/m

0(0)=0.015m B=0.015

( (0 )=0.75m /s A=0.0274

Amp"it!d=(0.0152+0.0272)=0.03124 0

c0 0(t)=0.0274 sen(27.386 t)0.015cos(27.386 t)

d0 ( (t)=0

A / B=t%(27.386 t)

t=0.076 s

B( Un 'lo)ue )ue #esa @99 N se desli-a #or una su#er1cie%ori-on!al e,en!a de ro-a"ien!o* seg2n se indica en la 1guraPB@>B


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c0 a #osici$n de la "asa en funci$n del !ie"#o(d0 El "enor !ie"#o 9W!X corres#ondien!e a velocidad nula de

la "asa(

Solucin:


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(100/9.81)x+3499X=0

10.2(x2)+3499=0

X=18.52

a0 10.12 x+3499X=0

'0 -=3499 /10.2=18.521

/=2/-=0.339

X(t)=Asen(18.52t)+Bcos (18.52t)

x (t)=18.52Acos (18.52t)18.52Bsen(18.52 t)

X(0)=0.075 B=0.075 amp"it!d=0.0672+0.0752=0.1

x (0)=1.25 A=0.0675

c0 X(t)=0.067 sen(18.52 t)+0.075cos(18.52 t)

d0 x (t)=A /B=ta%(18.52t) t=0.040 s

=( Un 'lo)ue de 79 Kg se sos!ienes "edian!e el arreglo deresor!es )ue se "ues!ra( Si el 'lo)ue se des#la-aver!ical"en!e %acia a'a+o y se suel!a( Si la a"#li!ud del"ovi"ien!o resul!an!e es igual a 9 ""* de!er"ine a0 el#eriodo y la frecuencia del "ovi"ien!o )ue resul!a* '0 la

velocidad y la aceleraci$n "&,i"a del 'lo)ue(


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Solucin:

a( Jallo la cons!an!e e)uivalen!e 4K5

m

N

m

NKkk

Pk

kkkkP

3

21

2121

10*48)2424()(

)(

=+=+==

+=+=

'( a velocidad angular* el #eriodo y la frecuencia(

0.20seg2

T

4.93HZ

2

*2

/98.3050

48000

==

===

===

w

wffw

segradm

kw

c( Jallo la velocidad y aceleraci$n "&,i"a(

22

m g575.76m/se959.76*60.0*a

g18.588m/se98.30*60.0*

===

===

wXm

wXmVm

;( El 'lo)ue de la 1gura oscila con una a"#li!ud de 7 c"(* en elins!an!e )ue #asa #or su #osici$n de e)uili'rio se de+a caerso're el 'lo)ue una "asa de 'arro de @99 gr( Yue )ueda


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#egada a /l( J&llense los nuevos valores del #eriodo y laa"#li!ud(

Solucin:

Ideas:

/0=2m=20

0=,m=4000dina/cm100 %r & =6.325 rad / s

/0= 2 rad

6.325rad /s=0.99 s1s &

Luego se tiene que:

A0=5 cm&

x=A sen(t)

V=A &cos(t)

V=(t)

x=0

a=0

Vmax=A 0=(5cm& ) (6.325 rad /s )

m

m=100 %r

m5 cm.

V=0

=4000dina /cm


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Vmax=A 0=31.625 cm/s

Conservacin de la cantidad de movimiento

2antes=2desp!3s

mVmax= (m+100 %r )V '

(100%r ) (31.625cm /s )=(100%r+100 %r ) V'

V'=

3162.5%r&cm /s200%r

M=m+masa del barro

M=100gr.+100gr

M=200gr.

=4000dinas /cm

0'=

)

=

4000dinas /cm

200%r

/n!evo=2

0'=

2 rad

4.47 rad / s

V'=V'max& de"con4!nto

V'

max=A'

0'

15.8125 cm/s=A' (4.47 rad /s )

A'=

15.8125cm/s4.47 rad /s

2=m V

Velocidad del conjbarro+ mvil.

V

'

=15.8125

cm/s

'=4.47 rad /s

/n!evo=1.41 s


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A'=3.54 cm&

7( Una "asa de @ l'( De #eso es!ira ; #ies a un resor!e( Si la

fuer-a a"or!iguadora es f=4 v (

Dedu-ca la ecuaci$n del "ovi"ien!o( Jalle el #eriodo de las oscilaciones(

Condiciones iniciales3

x=0

v=2

pies/ s a=0

Cu&l ser& x , v , a de 4"5 #ara t=3s

Solucin:

-=16"#-=m%m=-

%=

16 "#

32pies /s2=

1

2s"!%

x=-

= 16 "#

4pies

f=4 v

fr=f=4 v

a4 Pa%a la $c"acin #$l mo*imi$n!o+

md

2x

d t2+fr+,x=0

=4 "# / ft


44/46

1

2

d2x

d t2+4

dx

dt+4x=0

d2x

d t2+8

dx

dt+8x=0

2=8 2=8 2 2

=4 16>8

2=16

X(t)=A e(+22 ) t+A e(

22) t

X(t)=A e(4

+16

8

) t+B e(4

16

8

) t

X(t)=A e6.828t+B e1.172t

Para !9* ,93

X(0 )=A e(4+168 )0+B e(4168 )0

0=A+B

A=B

Para 3

V( t)=dx

dt=6.828A e6.828 t1.172B e1.172 t

!9* v 2pies/ s 3

2pies/ s=6.828A e6.828(0)1.172B e1.172(0)

2=6.828A1.172 B

Co"o A=B 6 se !iene3


45/46

2=6.828 (B )1.172B

2=5.656 B B=0.354 A=0.354 Para a 3

a=d2

xd t

2=46.622A e6.828 t+1.374 B e1.172t

Ecuaciones del "ovi"ien!o3

X(t)=0.354 e6.828t+0.354 e1.172t

V( t)=2.417e6.828 t0.415e1.172 t

a (t)=16.504 e6.828 t+0.486 e1.172 t

b4 El $%io#o #$ la' o'cilacion$'+

=m=4 "# / ft1

2s"!%

=2.828 rad /s

/=2

n=

2 rad

2.828rad /s

c4 0; V; a a%a t=3s +

X(t)=0.354 e6.828t+0.354e1.172t

X(3 )=0.354e6.828(3)+0.354 e1.172(3)

X(3 )=0.01m

V( t)=2.417e6.828 t0.415e1.172 t

V(3 )=2.417e6.828(3)0.415e1.172(3)

/=2.22 s


46/46

V(3 )=0.012m/ s

a (t)=16.504 e6.828 t+0.486 e1.172 t

a (3 )=16.504e6.828(3)+0.486e1.172(3)

a (3 )=0.014m /s2

vibraciones ultima edicion

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