UNIDAD III.- SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD CON EXCITACIÓN ARMONICA

Un sistema forzado es aquel que se encuentra sujeto a fuerzas o excitaciones externas. Estas excitaciones pueden ser 1.- Armónicas 2.- Periódicas 3.- Constantes 4.- Aleatorias 5.- Choques Las fuerzas armónicas son de las más comunes, y se representan por

( ) oF t F sen t .

La fuente más común de excitación armónica es el desbalance en las máquinas rotatorias. La excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. 3.1.- Análisis de un sistema sujeto a fuerza armónica externa. En general un sistema en vibración forzada se representa como sigue:

La ecuación diferencial para el sistema anterior es

omx cx kx F sen t -------------- (3.1)

La solución general de esta ecuación es

H Px x x -------------------------------- (3.2)

en donde Hx = solución homogénea conocida

Px = solución particular a determinar

Para la solución particular supondremos lo siguiente:

( )Px Xsen t ----------------------- (3.3)

en donde X y son incógnitas a determinar, siendo X la amplitud de oscilación, mientras

que es la fase del desplazamiento respecto a la fuerza excitatriz.

La amplitud y la fase de excitación se calculan sustituyendo la ecuación (3.3) en la ecuación (3.1). Recordando que en el movimiento armónico la velocidad y la aceleración se encuentran adelantadas con respecto al desplazamiento en 90o y 180o respectivamente, los términos de la ecuación diferencial se pueden representar gráficamente por:

Del diagrama anterior encontramos que

2 22 22 2 2 2

oF kX m X c X X k m c

2 22

oF

k m c

X

----------------- (3.4)

2 2( )tan c X c

k m X k m

2

1tan c

k m

----------------------- (3.5)

Las expresiones anteriores se pueden representar en forma adimensional considerando que

kn m

, 2 cn m

y oFest k

X .

Sustituyendo en (3.4) y (3.5) se obtiene lo siguiente:

22 2

1

1 ( / ) (2 / )est

n n

XX

---------------- (3.6)

2

2 /1

1 ( / )tan n

n

---------------------------------- (3.7)

Las ecuaciones (3.6) y (3.7) se representan gráficamente como se indica a continuación:

Figura (3.1)

Las curvas anteriores nos muestran que el factor de amortiguamiento tiene gran influencia

sobre la amplitud y el ángulo de fase, en la región de la frecuencia próxima a la resonancia

( / 1)n .

De acuerdo con lo anterior se tienen tres casos límite:

a).- / 1n , ( 0o )

En este caso las fuerzas de inercia y amortiguamiento son pequeñas, por lo que se traduce en un pequeño ángulo de fase , siendo la magnitud de la fuerza global casi igual a la fuerza del

resorte, por lo que F kx .

b).- / 1n , ( 90o )

En este caso la fuerza de inercia que ahora es mayor, es equilibrada por la fuerza de resorte; mientras que la fuerza aplicada supera la fuerza de amortiguación. La amplitud de resonancia se determina por la ecuación (3.6) quedando

2o oF F

res c kX

------------------- (3.8)

c).- / 1n , ( 180o )

En este caso la inercia se encarga de equilibrar la fuerza, por lo que F mx . En resumen la solución general de la ecuación diferencial (3.1) es

( )21 1 2

2 21 / 2 /

( ) 1F sen tt on

n k

n n

x t X e sen t

----------------- (3.9)

21 11

tntran nx X e sen t

------------------------------------------------------ (3.10)

( )

22 2

1 / 2 /

F sen toestac k

n n

x

----------------------------------------------------------- (3.11)

3.2.- Desbalance rotatorio. El desbalance rotatorio es una de las causas más comunes de vibración en las máquinas, y se debe a que el centro de gravedad no coincide con el eje de rotación. Esto se puede observar en la siguiente figura:

Consideremos el siguiente sistema resorte-masa restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una masa rotatoria no balanceada tal y como se muestra en la siguiente figura:

De la figura tenemos que m = masa que gira

Movimiento de m : x e sen t

M m = masa que no gira

Movimiento de M m : x

La ecuación diferencial del movimiento es:

2

2( ) ( )

dM m x m x e sen t kx cx

dt

2( )M m x mx kx cx me sen t

2c k m

M M Mx x x e sen t ----------------------- (3.12)

Esta ecuación tiene una excitación armónica de amplitud 2me . La solución estacionaria de la ecuación (3.12) se representa por

2

22 2( )

me

k M c

X

--------------------- (3.13)

2

22 2

/

1 / 2 /

n

n n

M Xm e

-------- (3.13.1)

2

2 /

1 ( / )tan n

n

----------------------------- (3.14)

Las gráficas de las ecuaciones anteriores se representan como sigue:

Figura (3.2)

La solución de la ecuación diferencial (3.12) es

2

22 2

( )21 1

( )

( ) 1n me sen ttn

k M c

x t X e sen t

-------------- (3.15)

3.3.- Cabeceo de flechas rotatorias. El cabeceo (whirling) es la rotación del plano realizado por el eje flexionado con respecto a la línea de centros de los cojinetes. Esto puede representarse como sigue:

Analizando el disco de masa m de la figura anterior tenemos:

Posición de s : ( ,s sx y )

Posición de G : ( cos , s sx e t y e sen t )

En el cabeceo sincronizado O , s y G se mantienen fijos entre sí para constante.

Ecuación del movimiento en dirección de x : 2

2( cos )s s s

dm x e t kx cx

dt

2 coss s smx cx kx me t -------------- (3.16)

k = constante elástica debida a la flexión en la flecha

Ecuación del movimiento en dirección de y : 2

2( )s s s

dm y esen t ky cy

dt

2s s smy cy ky me sen t --------------- (3.17)

La solución estacionaria para las ecuaciones anteriores es:

2

22 2

cos( )

( )

me ts

k m c

X

--------- (a)

2

22 2

( )

( )

me sen ts

k m c

Y

---------- (b)

Por otro lado 2 2s sr X Y

2

22 2( )

me

k m c

r

----------- (3.18)

r no depende del tiempo 3.4.- Excitación armónica en la base. Cuando un sistema dinámico es excitado en la base, se tiene lo siguiente:

y Ysen t = movimiento prescrito de la base

Y y son valores conocidos

El diagrama de cuerpo libre del sistema anterior es

La ecuación diferencial del movimiento es

mx cx kx cy ky ----------------- (3.19)

Usando el álgebra compleja se tiene que

j ty Ye ----------- ( i )

( )j t j t jx Xe Xe e --------- ( ii ) X y son parámetros a determinar

Sustituyendo ( i ) y ( ii ) en (3.19) se obtiene

2 ( )( ) ( )j t j tk m j c Xe k jc Ye 2

( )

( )

jk j c eXY k m j c

----------- ( iii )

2 2

22 2

( )

( )

k cXY

k m c

2

22 2

1 2 /

1 ( / ) (2 / )

n

n n

XY

---------------- (3.20)

Esta expresión representa la magnitud de estado estacionario.

Sabiendo que cosje jsen , y sustituyendo en la ecuación ( iii ), ordenando y

reduciendo, se obtiene lo siguiente

3

2 2( )tan mc

k k m c

3

2 2

2 ( / )

1 ( / ) (2 / )tan n

n n

------------------ (3.21)

Las ecuaciones (3.20) y (3.21) se representan gráficamente como sigue.

Figura (3.3)

3.5.- Aislamiento de vibración y cimentación de maquinaria. Las fuerzas vibratorias generadas por máquinas y motores son a menudo inevitables, sin embargo su efecto en un sistema dinámico puede reducirse considerablemente mediante resortes diseñados apropiadamente, llamados aisladores Consideremos la siguiente figura:

Figura (3.4).- Fuerza perturbadora transmitida por los resortes y el amortiguador.

La fuerza transmitida a través de los resortes y del amortiguador es

2 2 2

1 /TF kX c X kX c k

2 2

1 / 1 2 /

T T

n

F F

c k

kX

---------- (a)

Por otro lado

2 22 2 2 2

/1

1 ( / ) (2 / ) 1 ( / ) (2 / )

o

est

n n n n

F kXX

X

2

2 21 / 2 /

o

n n

FkX

--------------- (b)

Igualando (a) y (b) y ordenando se obtiene la siguiente expresión:

2

22 2

1 2 /

1 / 2 /

nT

o

n n

F

F

-------------- (3.22)

Esta relación se conoce como “transmisibilidad” de fuerza (TR ).

La comparación de las ecuaciones (3.22) y (3.20) nos indica que /T oF F es idéntica a /X Y ,

por lo que el problema de aislar una masa del movimiento del punto de soporte es idéntico al de aislar fuerzas perturbadoras. Las curvas mostradas en la figura (3.3) muestran que la

transmisibilidad es menor que la unidad solo para / 2n , por lo que el aislamiento

vibratorio solo es posible bajo ésta condición. Es posible reducir la amplitud de la vibración apoyando la máquina de masa m , sobre una gran masa M como se muestra en la siguiente figura:

Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de a transmisibilidad se reduce a

2

1

/ 1nRT

------------ (3.23)

en donde se entiende que el / 2n .

3.6.- Instrumentos de medición de vibraciones. Las mediciones que se van a medir pueden clasificarse como a).- Periódicas b).- De choque c).- Casual o aleatoria De estos movimientos el periódico es el más conocido, y los instrumentos utilizados para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración, o pendiente de onda, están bien desarrollados. En la medición de choques, solamente son de interés los valores pico. En el caso de los movimientos casuales, es deseable el espectro de frecuencia del valor cuadrático medio, siendo los instrumentos utilizados para estas mediciones de gran complejidad y de reciente desarrollo. El elemento básico de muchos instrumentos de medición es la unidad sísmica que se describe a continuación:

La ecuación diferencial del movimiento es

( ) ( )mx c x y k x y

( ) ( ) 0mx c x y k x y ------------- (3.24)

Si z es el movimiento relativo (lectura directa), y hacemos z x y , entonces x z y , por lo

que

( ) 0m y z cz kz

mz cz kz my -------------------------- (3.25)

Suponiendo un movimiento sinusoidal y Ysen t del cuerpo vibrante, se obtiene la siguiente

ecuación:

2mz cz kz mY sen t ---------------- (3.26)

Esta ecuación es idéntica al caso de desbalance rotatorio, si se cambia a z por x y a 2mY

por 2me .

La solución estacionaria es ( )z Zsen t , en donde la amplitud 2

2 2 2( ) ( )

mY

k m cZ

2

22 2

( / )

1 / 2 /

n

n n

YZ

--------------- (3.27)

El ángulo de fase se determina por

2tan c

k m

2

2 /

1 /tan n

n

--------------------- (3.28)

A partir de las ecuaciones anteriores se obtienen las siguientes gráficas:

Sismómetro.

Es un instrumento de n pequeña con respecto a la frecuencia de vibración que se va a

medir; esto es / 1n , por lo que / 1.0Z Y , sin importar el valor del amortiguamiento.

La masa m permanece entonces estacionaria mientras que la caja portante se mueve con el cuerpo vibrante. Una desventaja del sismómetro es su gran tamaño. Como Z Y , el movimiento relativo de la masa sísmica debe ser del mismo orden de magnitud que el de la vibración que se va a medir. El movimiento relativo z es generalmente convertido en un voltaje haciendo que la masa sísmica sea un magneto que se mueve relativamente a bobinas fijas a la caja. Como el voltaje generado es proporcional a la razón de corte del campo magnético, la salida del instrumento es proporcional a la velocidad del cuerpo vibrante, razón por la cual se les conoce como velómetros. El voltaje de salida se determina por

( )sE Sv S z ----------- (3.29)

en donde S = sensibilidad

v z = velocidad del cuerpo vibrante Un sismómetro tiene las siguientes características:

Frecuencia natural: (1 5 Hz)n a

Rango útil de frecuencias: 10 a 2000 Hz Sensibilidad: 20 mV/cm/s a 350 mV/cm/s Acelerómetro. Es un instrumento de alta frecuencia natural comparada con la de la vibración que se va a medir, por lo que indica aceleración.

Un examen de la ecuación (3.27) muestra que el factor 2

2 21 / 2 / 1n n

para / 0n , de modo que

2

2 2

( )

n n

aceleraciónYZ

------------- (3.30)

Acelerómetros de cristal piezoeléctrico. Este tipo de acelerómetros utilizan cristales de cuarzo o titanato de bario, y se utilizan para medidas de alta frecuencia natural. Los cristales están montados de manera que bajo aceleraciones, se comprimen o se reflectan para generar carga eléctrica.

La frecuencia natural de tales acelerómetros puede hacerse muy alta ( 50,000 Hznf ), lo

que permite medidas hasta de 3000 g . (g=gravedad). El tamaño del acelerómetro es muy pequeño, cerca de 1 cm de diámetro y de altura, siendo muy resistente ya que puede soportar choques hasta de 10,000 g. La sensibilidad S del acelerómetro está dada en términos de carga (picocoulombs/g), o en

términos del voltaje (milivolts/g). Si S Q (carga en coulombs), y TC es la capacitancia del

cristal, incluyendo la capacitancia “Shunt” del cable conector, entonces la salida de voltaje en el circuito abierto se reduce a

1 2T

S Ss C C C

E

----------------- (3.31)

en donde S = sensibilidad del acelerómetro

1C = capacitancia del cristal

2C = capacitancia del cable

sE = voltaje de salida en mV/g (milivolts/gravedad)

Ejemplo 1.- Un medidor de vibraciones tiene una sensibilidad 30 mV/cm/sS . Suponiendo que la precisión límite del aparato es de 3 mV (rms), determinar el límite superior de frecuencia del instrumento para una excitación de una gravedad ( 1 g). ¿Qué voltaje debe generarse a 200 Hz? Solución:

Aceleración: 2981 cm/sa g

Sensibilidad: 30 mV/cm/sS

En el límite de precisión 330

( ) sEs S

E S z z 0.1 cm/s = límz v

9812 2 (0.1)

1561.31 cpsg g

lím fv f

1561.31 cpsf

Para 200 cpsf , 9812 (200)

0.78065 cm/sv

30 0.78065 23.42 mVsE Sv

23.42 mVsE

Ejemplo 2.- Un motor de 100 kg está montado sobre cuatro resortes, cada uno de constante

90 kN/mk , y está conectado al suelo por medio de un amortiguador con 6500 N.s/mc . El motor está restringido a moverse verticalmente, y se observa que la amplitud de su movimiento es de 2.1 mm a una velocidad de 1200 rpm. Si la masa del rotor es de 15 kg, determinar la distancia entre el centro de masa del rotor y el eje de la flecha.

Solución: 100 kgM , 15 kgm , 2.1 mmx , 120030

40 rad/s

Constante elástica equivalente: 4 90 360 kN/mek

360,000

10060 rad/sek

n M

2

4060

2.094 4.38648n n

6,500

2 100 602 0.54167c

n M

2

22 2

/

1 / 2 /

n

n n

M Xm e

22 2

2

1 / 2 /

/

n n

n

MX

me

2 2

100 0.0021 1 4.38648 2 0.54167 2.09439

15 4.386480.01301 m e

13.01 mme

Ejemplo 3.- Un vibrómetro cuyo amortiguamiento es despreciable, tiene una frecuencia natural de 31.4 rad/s y se emplea para medir la amplitud de vibración de una máquina. Si el vibrómetro da una lectura del desplazamiento relativo de 0.08 pul, ¿Cuál es la amplitud de vibración de la parte de la máquina considerada, si se encuentra girando a 200 rpm?

Solución: 31.4 rad/sn , 2 20060

20.9438 rad/s , 2

0.44489n

, 0

2

22 2

( / ) 0.444891 0.44489

1 / 2 /

n

n n

Y YZ

0.5551 0.080.44489

0.09981 pulY

0.09981 pulY

Ejemplo 4.- Una parte de una máquina de masa 4 kgm , vibra en un medio viscoso.

Determine el coeficiente de amortiguamiento c , si una fuerza excitatriz armónica de 30 N genera

una amplitud de resonancia de 1.5 cm, con periodo de 0.3 seg. Encontrar el valor de k .

Solución: Para 1n

, 1.5 cm = 0.015 mresX , 2 20.3

20.944 rad/sn

2 24(20.944) 1754.59 N/m nk m 1754.59 N/mk

3020.944 0.015

c 95.5 o o

res

F Fres c X

X

95.5 N.s/mc

Ejemplo 5.- Obtenga la constante del resorte equivalente para la base de una rectificadora de corriente directa que gira a 300 rpm y pesa 50 lb, la cual reduciría la fuerza transmitida a la base

a una quinta parte de su valor. Suponga 0 .

Solución: 25032.2

1.55279 lb.s /pie (slugs)m , 2 30060

31.4159 rad/s ,

15

0.2RT

Para 0 ,

2

21 1

/ 1 / 1 / 1 5

Rn

R n nTT

31.4159

612.825 rad/sn

2 21.55279 (12.825) 255.4 lb/pie nk m 255.4 lb/pulk

Ejemplo 6.- Un sistema resorte masa es excitado por una fuerza oF F sen t . En resonancia

la amplitud medida es de 0.6 pul. A 0.5 de la frecuencia de resonancia, la amplitud es 0.4 pul. Hallar el factor de amortiguamiento del sistema.

Solución:

A resonancia 2

2 2 (0.6) 1.2oXres o res oX X X X

------- (a)

A 0.5 de resonancia

22

2

2 221

1 (2 / )

0.4 1 0.5 2 0.5o

nn

XoX

X

20.4 0.5625oX ----------- (b)

Igualando (a) y (b) se obtiene lo siguiente:

2 2 2 21.2 0.4 0.5625 9 0.5625 0.05625 0.23717

Ejemplo 7.- Una máquina que pesa 200 lb es soportada por cuatro resortes de rigidez k lb/pul

cada uno. Si la unidad opera a 1200 rpm, ¿cual debe ser el valor de la constante k si solo el 20% de la fuerza excitatriz de la unidad debe ser transmitida a la estructura que lo soporta?

Solución: 0 , 2200386

0.5181347 lb.s /m pul , 2 120060

125.6636 rad/s

2

21 10.2/ 1

/ 1 6 / 2.44949n

R n nT

51.3 rad/sn

2 20.5181347 (51.3) 1363.57 lb/pulT nk m

La rigidez para cada resorte es 1363.574

340.89 lb/pulk 340.89 lb/pulk

Ejemplo 8.- Un medidor de vibraciones sin amortiguamiento, con una frecuencia natural de 1 cps es utilizado para medir vibraciones armónicas de 4 cps. Si la amplitud indicada por el medidor (amplitud relativa entre la masa del medidor y el marco) es 0.052 cm, ¿Cuál es la amplitud correcta? Solución: 0.052 cmZ , 0

2

2 2

2 222 2

1 /( / ) ( / )

( / )1 /1 / 2 /

n

n n

nnn n

ZY Y

Z Y

22 1

1 0.052 1 0.04875 cm4

nY Z

0.04875 cmY

Ejemplo 9- Un instrumento sensible de 113 kg debe instalarse en un sitio donde la aceleración es de 15.24 cm/s2 a una frecuencia de 20 cps. El instrumento se coloca en una cama de caucho con las siguientes propiedades: 2802 N/cmk y 0.1 , ¿Qué aceleración se transmite al

instrumento?

Solución: 280200113

49.796 rad/skn m

, 2 20 125.6636 rad/s

125.66362.52356

49.796n

, 2

6.3684n

2

2 2 15.24

(125.6636)15.24 cm/s 0.000965 cmAceleración Y Y

2 2

2 2 22 2

1 2 / 1 2 0.1 2.52356

1 6.3864 (2 0.1 2.52356)1 ( / ) (2 / )

0.207 n

n n

XY

0.207 0.207 0.000965 0.000199772 cmX Y

Aceleración transmitida al instrumento:

2 2 2(125.6636) 0.000199772 3.15468 cm/stransa X 23.15468 cm/stransa

Ejemplo 10- Para el sistema mostrado, determinar la amplitud de la vibración, y el ángulo de fase, de acuerdo con los siguientes datos: 800 N/mk , 8 kgm , 20 N.s/mc

Solución:

Ecuación diferencial del movimiento: omx cx kx F sen t

8008

10 rad/skn m

202 10 8

2 0.125cn m

2 2

2 2 220210

/ 10/800

1 2 0.125 20/101 (2 / )

0.00411 mo

nn

F kX

4.11 mmX

2

22 0.125 2

1 41

tan 0.16666n

n

9.46o