vibraciones simples casado

8/19/2019 Vibraciones Simples Casado

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – ENERGÍADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA

Curso: Dinámica (M 4119) Periodo Académico 2011-A

Vibraciones Mecánicas

DEFINICIONES PREVIASA) Movimiento periódico

B)

.- Es aquel que se repite en iguales intervalos de tiempo, llamadosperiodo.

Movimiento vibratorio u oscilatorio

C)

.- Es aquel movimiento periódico que constantementecambia de sentido.

Movimiento armónico

.- Es aquel movimiento de tipo matemático que tiene lugar segúnuna función armónica (seno o coseno).

x ; y ; θ (coordenada)

MOVIMIENTOA PERIODICO

PURO

T

MOVIMIENTOA VIBRATORIO

T

T

A MOVIMIENTOARMONICO

t Fig. 1. Tipos de movimiento vibratorio


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2

Modelo elemental de un movimiento oscilatorio (De un grado de libertad)

Fig. 2. El más elemental sistema vibratorio

Elementos de un movimiento oscilatorio

• Posición de Equilibrio (P.E.).- Es el puntoen donde la deformación del sistema vi-bratorio es nulo.

• Fuerza restauradora o recuperadora.- Es la fuerza que permite que el movi-

miento retorne a su posición de equilibrioluego de haberla alejado cierta longitud.

• Amplitud (A ).- Es el máximo desplaza-miento del móvil oscilante con respecto asu posición de equilibrio.

• Periodo (T ).- Es el tiempo en que el móvilrealiza una oscilación completa.

• Frecuencia ( f ).- Es el número de oscila-ciones o ciclos realizados por el móvil enla unidad de tiempo. Se expresa en hertz(1 Hz = 1 ciclo /segundo = 1 s -1).

T f /1=

Movimiento oscilatorio por su modo devibración

Sistemas de un grado de libertad.- Sonsistemas que requieren tan solo de una

coordenada que definan su movimiento.

Fig. 3. La coordenada que define las oscilacionesdel carrito es la deformación x .

Sistemas de n grados de libertad.-

Fig. 5. El sistema oscilatorio mostrado es de dosgrados de libertad, ya que requiere de las coorde-nadas x 1 y x 2 para definir su movimiento.

VIBRACIÓN TORSIONAL

Fig. 4a. La coordenadaque define la oscilación delpéndulo es el ángulo θ.

Fig. 4b. De igual modoque en 4a, θ define laoscilación del péndulotorsional.

Fig. 6. El sistema mostradotiene dos grados de libertad, ya que las coordenadas quedefine sus oscilaciones sony ; .

Posición deequilibrio (P.E.)

Longitud naturaldel resorte (δ = 0)

Superficie horizontalde oscilación sin

fricción

L


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3

Fig. 7. Sistema de n grados de libertad (n = 6).

Vibración continua

Fig. 8. Al liberar el extremo libre, la varilla puedeoscilar en forma indefinida en el plano vertical.

En el curso se estudiarán los siguientes tiposde movimiento vibratorio, y todos con ungrado de libertad:

Movimiento armónico simple (MAS), que se caracteriza porque puede realizarseindefinidamente, sin pérdida de energíamecánica1

. El modelo elemental presentadoen la fig. 2 es un ejemplo de MAS.

Movimiento oscilatorio amortiguado(fig. 9), en el cual la energía del sistemavibrante disminuye en cada oscilación delmóvil debido a una fuerza amortiguadora.

Fig. 9. Sistema que oscila adherido a un amorti-guador, y por ello la oscilación es amortiguada.

Movimiento oscilatorio forzado (fig.10), el cual se mantiene así por la acciónde una fuerza de acción periódica (F (t )),llamada fuerza excitatriz.

1 Durante el estiramiento y la compresión, el resorte secalienta, lo cual hace que la energía total del sistemadisminuya en una magnitud casi despreciable.

Fig. 10. Sistema que oscila, además, por la acciónde una fuerza periódica, y por ello la oscilación esforzada.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Es el tipo más sencillo de movimiento oscila-torio, y sucede cuando la fuerza recuperadorade la oscilación es proporcional al desplaza-miento x (es decir, el resorte obedece a la Leyde Hooke) respecto al punto de equilibrio, yasimismo no hay pérdida de energía mecánica2

.

Fig. 12. DCL del bloque en MAS.

En la fig. 12, el bloque es desplazado una dis-

tancia x hacia la derecha (dirección positiva).La fuerza recuperadora del resorte de masadespreciable F = kx siempre se dirige haciaP.E., mientras que la aceleración x tiene susentido positivo coincidente con el de x . Luego,al aplicar la Segunda Ley de Newton se tiene:

Despejando se obtiene:

2 Al pretender hacer oscilar una masa en un MAS, enrealidad veremos que al cabo de un largo tiempo laamplitud disminuye debido a la fricción del aire sobrela masa.

F = kx

Fig. 11. Bloque en MAS

Amortiguador


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4

ECUACIÓN DIFERENCIAL (ED) DEL MOVIMIENTO

Ecuación que se puede escribir como: (I)

El coeficiente se llama frecuencia natural, y representa el número de radianes porsegundo que la partícula giraría si tuviera un movimiento circular uniforme (MCU).

APLIACIONES DEL MAS

A) Oscilación vertical de un bloque suspendido en un resorte o cuerda elástica demasa despreciable

Fig. 13. Masa que oscila en un plano vertical con movimiento armónico simple.

Aplicando la 2da Ley de Newton se tiene:

Haciendo: y = y´ + y 0 se obtiene: ´

´2

2

ym

k

dt

yd

−=

Cuya solución es: y´ = A cos(ωt + )

Asimismo:m

k

T m

k ==⇒=

π ω ω

22 ⇒ k

mT π 2=

Posición deequilibriosin masa

mgPosición de equilibriocon la masa m . El

resorte se alarga lalongitud y 0. La masa oscila respecto a

la posición de equilibriocon un desplazamiento:

y´ = y - y 0.

L


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5

B) Oscilación de un péndulo simple (Ángulo de oscilación máximo: 10°)

Asimismo: L

g

T L

g==⇒=

π ω ω

22 ⇒

g

LT π 2=

Para oscilaciones cuya amplitud angular es mayor de 10°, la ecuación (*) debe ser resuelta ensu forma original. La solución de ésta se obtiene mediante series de potencias, la cual esaproximadamente:

+

+

+= ........

2sen

4

3

2

1

2sen

2

112

4

2

2

2

2

φ φ π

g

LT

C) Oscilación de un péndulo físico

Cuando un cuerpo rígido es suspendido de un punto lejano de su centro de masa y se ledesplaza de su posición de equilibrio, este péndulo recibe el nombre de péndulo físico.Consideremos un cuerpo rígido que oscila alrededor de un eje situado a la distancia D delcentro de masa.

Teniendo en cuenta que el ángulo de oscilación φ ≤ 10°,aplicando la 2da Ley de Newton para un cuerpo rígidoen rotación se tiene:

∑ = α OO I M

φ φ

φ φ

−=⇒

=−

O

2

2

2

2

O)(

I

mgD

dt

d

dt

d I Dsenmg

2da Ley de Newton:

2

2

2

2

dt

d mL

dt

sd mmamgsen t

φ φ ===−

φ φ sen2

2

−= Lg

dt d (*)

Como φ ≤ 10°, senφ ≈ φ. Luego, la ecuación anteriorse puede escribir como:

φ φ

−=

L

g

dt

d 2

2

Cuya solución es: = Acos(ωt + 0) Fig. 14. Oscilación de un péndulosimple.

O

mg

Fig. 15. Oscilación de un péndulofísico.


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6

De donde:O

2

2 2

I

mgD

T =

=

π ω

⇒ mgD

I T O2π =

Nota importante.- La relación obtenida para el periodo del péndulo físico nos permite calcularexperimentalmente el momento de inercia de un cuerpo de forma irregular, así como también conocer

su radio de giro centroidal mediante la aplicación del Teorema de Steiner.

D) Oscilación de un péndulo de torsión

Considérese ahora un cuerpo rígido suspendido en un plano horizontal, y adherido a unresorte que solo puede deformarse por torsión. Al desplazar al cuerpo de su posición deequilibrio, el péndulo formado recibe el nombre de péndulo torsional. Su periodo secalcula del mismo modo que el del péndulo físico.

∑ = α ejeeje I M

θ θ θ

θ

−=⇒=−eje

2

2

2

2

eje I

K

dt

d

dt

d I K

De donde: K

I T

eje2π =

Siendo K la constante elástica torsional del péndulo, expresada en N .m /rad .

E) Métodos energéticos en el MAS

Sabiendo que en un MAS la energía mecánica se conserva, el Principio de Conservación dela Energía ofrece un método alternativo en la solución de problemas que requieren calcularel periodo o la frecuencia de oscilación de sistemas mecánicos, principalmente de cuerposrígidos.

Aplicación: Consideremos ahora la masa del resorte de longitud L deun sistema vibratorio común masa–resorte. Si λ es la masa por unidadde longitud del resorte, la masa del resorte es λL . Luego, la energíacinética del sistema viene dada por:

[ ]∫+=+=

L

x L e de x m

T T T

0

22

2

1

2

1 )/()(

resortedelmasaladesistemadel

λ

siendo (e /L )x el desplazamiento en un punto intermedio del resorte auna distancia e del extremo superior de éste. Para calcular el periododel sistema, al aplicar el Principio de Conservación de la Energía setiene:

∫+=

=L

máx máx máx

máx máx

de e L x x m T

V T

0

222

21

21 )/(

(*)g

λ

Fig. 16. Oscilación de un péndulotorsional.

Fig. 17. Sistema que

vibra con MAS, peroconsiderando la masadel resorte.


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7

2

2322

2

1

3

1

2

13

2

1

2

1

kA V

x L m L L x x m T

máx

máx máx máx máx

=

+=+=

g

)/()/( λ λ

Para un MAS, si su ecuación de movimiento es de la forma x = A sen(ωt ), la velocidadmáxima máx x será: A xmáx ω = . Al llevar las energías máximas en (*) se obtiene:

22

2

1)(

3

1

2

1kA A Lm =

+ ω λ ⇒

Lm

k

T λ

π ω

3

1

2

+==

Como la masa del resorte es λL , la fórmula del periodo del péndulo será:

k

mm

T res.

3

1

2+

= π

PROBLEMAS PROPUESTOS

Vibraciones armónicas

1. Un bloque de 10 kg de masa se desliza sobreuna superficie horizontal lisa, según se mues-tra. Ambos resortes están estirados en todomomento, y las poleas son ideales. Si el bloquese desplaza 75 mm (←) de su posición de equi-librio, y se le da una velocidad de 1,25 m /s (→)cuando t = 0, determinar:

a) La ED del movimiento del bloque, y a partirde ella, indicar la posición del bloque enfunción del tiempo

b) El periodo de la vibración resultante.

2. El bloque de 25 N de peso mostrado se deslizapor una superficie horizontal lisa, mientrasque el bloque de 15 kg pende en un plano ver-tical. La barra ABC es de masa despreciable,

y su brazo AB está horizontal en la posiciónde equilibrio, y los resortes están sin deformar.Si en t = 0 el brazo AB es girado 2º, y se lesuelta del reposo, y suponiendo oscilacionesde pequeña amplitud angular, determinar:

a) La ED del movimiento de la barra ABC.b) El periodo de vibración de la barra.c) La posición angular θ(t ) de la barra función

del tiempo, así como su velocidad angular

y aceleración angular.

3. Una barra esbelta de 3 kg de masa está ator-nillada a un disco uniforme de 5 kg . A éste estásujeto un resorte de constante k = 280 N /m ,que está sin deformar en la posición mostrada.Si el extremo B de la varilla recibe un pequeñodesplazamiento θ = 5º, y se suelta del reposo,determinar:

a) La ED del movimiento de la varilla.

b) El periodo y la amplitud de la vibraciónresultante.

c) La posición de la varilla θ en función deltiempo.

10 kg


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8

4. Dos varillas uniformes AB y CD de masa m ylongitud l cada una, están sujetas a sendosengranajes, según se muestra. Sabiendo quela masa del engranaje A es m , la del engranajeC es m /4, y los engranajes pueden modelarsecomo discos macizos, calcular el periodo de las

oscilaciones de cada uno de los sistemas pro-puestos.

PRIMER CASO

SEGUNDO CASO

5. Determinar el periodo de pequeñas oscilacionesde la placa plana mostrada, de lado a , alojadaen un eje paralelo a uno de sus lados, quedista b de su centro de gravedad.

SE RECOMIENDA RESOLVER LOS SIGUIENTESPROBLEMAS APLICANDO EL PRINCIPIO DECONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

6. Una barra uniforme de 3 kg está soldada en Ca un eje de masa despreciable, que a su vezestá soldada a los centros de dos discos uni-formes de 6 kg A y B. Sabiendo que los discosruedan sin deslizar, calcular el periodo de laspequeñas oscilaciones del sistema.

7. La barra AB de 10 kg de masa está unida alos dos discos de 4 kg , según se muestra. Si losdiscos ruedan sin deslizar, calcular el periodode las pequeñas oscilaciones del sistema.

8. Determinar el periodo de pequeñas oscilacionesen el plano vertical de una placa plana cua-

drantal homogénea de masa m y radio R , alpivotarla en los siguientes puntos:

a) En su centro geométrico.


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9

b) En uno de sus bordes cercanos al arco delcuadrante.

9. Suponga usted que en los bordes del arco dela placa del problema anterior se colocan dosresortes lineales de constante k , de masa des-preciable, perpendiculares a los lados del cua-drante. Determinar el nuevo periodo de oscila-ción de la placa en estas condiciones.

10. Un semidisco de radio r y masa m descansasobre los rodillos A y B, cada uno de los cualeses un disco uniforme de radio r /4 y masa m /8.El semidisco se hace girar un ángulo pequeño y después se suelta para que ruede sobre losdiscos sin deslizar, calcular la frecuencia depequeñas oscilaciones del sistema.

11. Resuelva el problema anterior, si ahora losrodillos son retirados, y se deja al semidiscooscilar sin deslizar.

12. Un disco unifor-me de radio r ymasa m puede

rodar sin deslizarsobre una curvacilíndrica, y estáconectado a unabarra ABC delongitud L ymasa desprecia-ble. La barraestá unida a unresorte de cons-tante elástica k , y puede girarlibremente en el

plano vertical al-rededor del puntoB. Si al extremoA se le aplica unpequeño despla-zamiento y luegose suelta, deter-minar la frecuencia de pequeñas oscilacionesdel sistema.

EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM

Bellavista, 1º de julio del 2011

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