Univerzitet u BeograduMatematički fakultet

Seminarski rad iz metodike nastave matematike 2

Valjak i Kupa

Predmetni profesor Student Zoran Lučić Saša Biševac

br. indeksa 454/06

Sadržaj:

Osnovni pojmovi.......................................................................................................3

Valjak.........................................................................................................................3

Kupa...........................................................................................................................5

Zarubljena kupa........................................................................................................8

Površina valjka i kupe...............................................................................................9

Površina valjka..........................................................................................................9

Površina kupe...........................................................................................................10

Površina zarubljene kupe........................................................................................12

Zapremina tela.........................................................................................................12

Zapremina valjka.....................................................................................................12

Zapremina kupe.......................................................................................................13

Zapremina zarubljene kupe....................................................................................13

Literatura..................................................................................................................15

2

1. OSNOVNI POJMOVI

Površ koja nastaje neprekidnom rotacijom neke prave linije po kružnici oko određene ose

naziva se obrtna površ. Pokretna prava je izvodnica ili generatrisa, a stalna kružnica vodilja ili

direktrisa obrtne površi.

Telo ograničeno jednom obrtnom površi ili delom obrtne površi i ravnima normalnim na osu

rotacije, naziva se obrtno ili rotaciono telo.

1.1 Valjak

Površ koja nastaje tako što se prava, ostajući paralelna svom prvobitnom položaju, kreće po

nekoj kružnici, tako da je normalna na raven kružnice, naziva se cilindrična površ.

Cilindričnu površ nazivamo prostom ako joj je vodilja prosta linija I nigde ne seče samu sebe. U

protivnom, cilindričnu površ nazivamo složenom. Ako je vodilja cilindrične površi otvorena linija

odgovarajuću cilindričnu površ nazivamo otvorenom, a ako je vodilja zatvorena linija odgovarajuću

cilindričnu površ nazivamo zatvorenom.

3

Slika 1.

Ako cilindričnu površ kod koje je izvodnica normalna na raven vodilje presečemo prema

dvema paralelnim ravnima normalnim na izvodnicu dobijamo oblo geometrijsko telo ograničeno sa dva

kruga I delom cilindrične površi. To telo nazivamo pravi kružni valjak ili pravi valjak.

Slika 2.

Kada se cilindrična površ kod koje izvodnica nije normalna na ravan vodilje (kosa cilindrična

kružna površ) preseče dvema ravnima paralelnim sa ravnima vodilje, doibija se kosi kružni valjak.

Pravi valjak može nastati rotacijom pravougaonika ABCD oko jedne njegove stranice, npr.

Stranice AB. Pri tome stranice AD i BC opisuju krugove (osnove ili baze valjka), a stranica CD opisuje

deo cilindrične površi (omotač valjka). Prava AB je osa valjka, a odsečak ose AB=H je visina valjka

(slika 3).

4

Slika 3.

Presek pravog valjka i ravni kojoj pripada osa valjka naziva se osni presek. Osni presek valjka

je pravougaonik čije su dve stranice izvodnice valjka, a ostale dve prečnici osnova.

Preseci pravog valjka sa ravnima normalnim na osu su podudarni krugovi.

Presek pravog valjka sa ravni koja je paralelna njegovoj osi je pravougaonik čije su dve stranice

izvodnice, a druge dve tetive osnova.

Ravan koja je paralelna osi pravog valjka, a čije je rastojanje od ose jednako poluprečniku

osnove, koja sadrži jednu izvodnicu valjka i sa cilindričnom površi nema drugih zajedničkih tačaka,

naziva se tangentna ravan pravog valjka (slika4).

5

Slika 4.

1.2. Kupa

Ako se prava kreće tako da stalno prolazi kroz jednu istu tačku, onda se nastala površ naziva

konusna površ. Tačka kroz koju prolazi prava naziva se vrh konusne površi, a sama pokretna prava

izvodnica ili generatrisa konusne površi. Izvodnica u toku kretanja stalno seče jednu krivu-vodilju

(direktrisu) (slika 5).

Slika 5.

Konusna površ može biti prosta (ako joj je vodilja prosta linija i nigde ne seče samu sebe). U

protivnom konusnu površ nazivamo složenom.

6

Ako je vodilja konusne površi otvorena linija odgovarajuću konusnu površ nazivamo

otvorenom, a ako je vodilja zatvorena linija odgovarajuću konusnu površ nazivamo zatvorenom (slika

6).

Slika 6.

Ako je vodilja konusne površi krug, a vrh jedna tačka na pravoj, koja je normalna na ravan

vodilje i koja prolazi kroz njegov centar, dobija se prava kružna konusna površ.

Ako se vrh nalazi na pravoj koja nije normalna na ravan vodilje a prolazi kroz centar, dobija se

kosa kružna konusna površ (slika 7).

Slika 7.

7

Ako se prava kružna konusna površ preseče jednom ravni, normalnoj na osu, dobija se oblo

geometrijsko telo ograničeno delom konusne površi i delom ravni koje nazivamo prava kružna kupa ili

prava kupa.

Prava kupa može nastati i rotiranjem pravouglog trougla ABC oko jedne katete, npr. AB. U tom

slučaju dužina katete AB je visina kupe H, kateta AC opisuje krug (osnova ili baza kupe), a hipotenuza

BC opisuje deo konusne površi (slika 8).

Slika 8.

Prava koja pripada visini kupe je osa kupe. Osim prave kupe imamo i kosu kružnu kupu koja

nastaje kada se kosa kružna konusna površ preseče jednom ravni koja je paralelna sa ravni vodilje

(direktrise).

Presek prave kupe i ravni kojoj pripada osa kupe naziva se osni presek. Osni presek kupe je

jednakokraki trougao čiji su kraci izvodnice, a osnovica prečnik kupe.

Presek prave kupe sa ravni koja je normalna njenoj osi je krug. Presek prave kupe sa ravni koja

prolazi kroz vrh kupe i dve izvodnice je jednakokraki trougao čiji su kraci te izvodnice, a osnovica

tetiva osnove kupe.

Ravan koja sadrži jednu izvodnicu prave kupe, a normalna je na ravan osnog preseka u kome se

nalazi ta izvodnica i sa konusnom površi nema drugih zajedničkih tačaka sem tačaka te izvodnice,

naziva se tangentna ravan kupe (slika9).

8

Slika 9.

1.3. Zarubljena kupa

Deo kupe između ravni osnove i ravni koja seče kupu, a koja je paralelna ravni osnove kupe

naziva se zarubljena kupa (slika 10).

Slika 10.

Zarubljena kupa je ograničena sa dva kruga (osnove ili baze) i delom konusne površi (omotač).

Ako je prvobitna kupa bila prava i zarubljena kupa će biti prava. U protivnom zarubljena kupa je kosa.

Prava zarubljena kupa je obrtno telo koje nastaje rotacijom pravouglog trapeza oko kraka koji je

normalan na osnovice.

9

2. POVRŠINA VALJKA I KUPE

2.1. Površina valjka

Ako su osnove prizme upisane u osnove valjka i ako su njene bočne ivice neke od izvodnica

valjka, kažemo da je prizma upisana u valjak (slika 11).

Slika 11.

10

Ako su osnove prizme opisane oko krugova tj. osnova valjka kažemo da je prizma opisana oko

valjka. Pretpostavimo da je u datom valjku upisana pravilna prizma sa n stranica. Površina omotača te

prizme jednaka je proizvodu obima njene osnove i visine. Obim osnove prave prizme je manji od

obima osnove valjka. Međutim, pri neograničenom odvajanju broja osnovnih ivca prizme njena visina

se ne menja, a obim osnove teži svojoj granici, tj. obimu kruga 2rπ, gde je r poluprečnik osnove valjka.

Prema tome, granična vrednost omotača upisane prizme je 2rπh i to je površina omotača valjka:

Površina omotača valjka jednaka je proizvodu obima njegove osnove i visine.

Kako se mreža valjka sastoji iz dve osnove i omotača, površina valjka je:

Do formule za izračunavanje površine valjka lako se može doći pomoću mreže valjka (slika

12).

Slika 12 (l=h)

2.2. Površina kupe

11

Ako je osnova piramide upisana u osnovu kupe, a vrh se poklapa sa vrhom kupe, kažemo da je

piramida upisna u datu kupu (slika 13).

Slika 13. (l=s)

Piramida je opisana oko kupe ako je njena osnova opisana oko osnove kupe, a vrhovi im se

poklapaju.

Pretpostavimo da je oko date kupe opisana pravilna piramida. Površina omotača te piramide

jednaka je polovini proizvoda obima njene osnove i apoteme Pri neograničenom udvajanju broja

osnovnih ivica opisane pravilne priramide površina njenog omotača teži površini omotača kupe, a obim

osnove piramide teži obimu kruga 2rπ, gde je r poluprečnik osnove kupe.

Prema tome, omotač prave kupe je , tj. M=rs .

Površina omotača prave kupe jednaka je poluproizvodu obima osnove i

izvodnice.

Kako se površina prave kupe sastoji od površine omotača i površine osnove,

dobijamo…

P=r(s + r)

2.3. Površina zarubljene kupe

Pretpostavimo da je oko pravilne zarubljene kupe opisana pravilna zarubljena piramida (slika 14).

12

Slika 14. (l=s)

Površina omotača ove zarubljene piramide jednaka je polovini proizvoda zbira obima osnova

pravilne zarubljene piramide i apoteme.

Analogno valjku i kupi, ako n ∞, onda površina omotača zarubljene piramide teži površini

omotača prave zarubljene kupe, pa je površina omotača prave zarubljene kupe:

, ili M=s(R+r),

gde su R i r poluprečnici osnova.

Pošto se zarubljena kupa sastoji od dve osnove i omotača njena površina je:

P=s(R+r)+r2+R2

3. ZAPREMINA TELA

Za izračunavanje zapremine geometrijskih tela veoma važnu ulogu ima i Kavalijerijev princip

koji je 1635. godine razradio italijanski matematičar Bonaventura kavalijeri 1598-1647), mada su

metodu poznavali i koristili još starogrčki matematičari.

Kavalijerijev princip glasi:

Ako dva tela T1 i T2 presecamo paralelnim ravnima i ako, pri tome, preseci tela T1 i T2 sa bilo

kojom od tih ravni imaju jednake površine, tada tela T1 i T2 umaju jednake zapremine, tj. V(T1)=V(T2).

13

3.1. Zapremina valjka

Pretpostavimo da je u jednom datom valjku upisana ili oko njega opisana pravilna piramida.

Zapremina valjka predstavlja granicu koja teži zapremina upisanih ili opisanih prizmi pri

neograničenom udvajanju broja osnovnih ivica tih prizmi.

Na osnovu Kavalijerijevog principa zaključujemo da je zapremina valjka jednaka zapremini

prizme, pod uslovom da su valjak i prizma iste visine i da imaju jednake površine osnova. Tako da je

zapremina valjka:

V = Bh B = r2 π

Zapremina valjka jednaka je proizvodu površine osnove B i visine h.

3.2. Zapremina kupe

Zapremina kupe jednaka je granici kojoj teže zapremina pravilnih piramida koje su opisane oko

kupe ili upisane u tu kupu pri neograničenom uvećavanju broja njenih osnovnih ivica.

Zapremina opisane ili upisane piramide je: gde je Bn površina osnove piramide, a h

visina i piramide i kupe.

Ako se broj osnovnih ivica piramide n neograničeno uvećava onda, površina osnove piramide

Bn teži površini kruga (osnove kupe), kao svojoj granici.

Prema Kavalijerijevom principu zaključujemo da je zapremina kupe jednaka zapremini

piramide iste visine i čija je površina osnove Bn jednaka površini osnove kupe. Prema tome, zapremina

kupe je:

tj.

Zapremina kupe jednaka je trećini proizvoda površine osnove B I visine h.

14

3.3. Zapremina zarubljene kupe

Slika 15.

Zapremina zarubljene kupe jednaka je razlici zapremina dveju kupa.Ako i zapremina zarubljene kupe biće:

gde je

R – poluprečnik osnove veće kuper – poluprečnik osnove manje kupe

Iz sličnosti trouglova SOA SPB dobijamo:

odakle je

Zamenom u prethodnu jednačinu dobija se:

Odavde dobijamo da je zapremina zarubljene kupe:

15

Literatura

1. Matematika za II razred zajedničke osnove srednjeg usmerenog obrazovanja, Pavle Miličić, Dragomir Lopandić, Rade Dacić, Zoran Ivković, „Naučna knjiga“, Beograd, 1982.

2. Matematika za 8. razred osnovne škole, Dušan Adnašević, Dragoslav Milić, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1995.

3. Matematika za III razred gimnazije prirodno-matematičkog smera, Dr Ivan Bandić, Dr Milica Ilić, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1973.

16