40

Derivadas Parciales (parte 2)

Ejercicio:

Si donde y . Determinar

Solución:

Consideraremos ahora la situación en la que , pero cada una de las

variables e es función de dos variables y . En este caso tiene sentido el problema

de determinar

TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean funciones que

admiten primeras derivadas parciales en y sea

diferenciable en . Entonces

tiene primeras derivadas parciales dadas

por :

i)

ii)

EJEMPLO Si , en donde determinar

y

Usando la Regla de la Cadena , se tiene :

41

zs s s

Análogamente :

OBSERVACION diagrama del Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el

árbol

Ejercicio

Demuestre que ( ) + (

z

r2 1 z

r2

si con e

Solución

Entonces ¡ Justifique !

La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de

variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada

parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización.

TEOREMA (Regla de la Cadena Caso General) Supóngase que

es una función diferenciable y que cada una

de las variables , ... , es una función de variables ,

......, de tal manera que todas las derivadas parciales

existen ( , ,.... y . Entonces es función

de , ,..... y para

cada

42

EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que y

Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la

correspondiente derivada parcial. En este caso

Entonces

EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que y

)

En este caso el diagrama de árbol está dado por

La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada

parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de

un argumento. Por ejemplo :

Sea probar que

43

Aquí el diagrama de árbol corresponde a :

Lo importante de distinguir aquí es que puede ser cualquier función

diferenciable : etc Se probará que

independiente de la selección de , se mantiene el resultado En efecto :

2

Por lo tanto :

El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta

matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales

de un número infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situación tiene

aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas

parciales.

EJEMPLO 4.8 Si demostrar que

Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables

y que puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer

explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución,

esto es :

, donde , ,

Por consiguiente el diagrama de árbol que queda

44

Entonces :

Análogamente :

( 1)

Finalmente :

EJEMPLO La ecuación diferencial parcial

constante

es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios

de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y . Demostrar que

cualquier función diferenciable de la forma satisface la ecuación de la

onda.

Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos de modo que el

diagrama de árbol queda

45

Entonces :

En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones

compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado

Recordemos que

pero , tomándose como una función de y .

Entonces :

En este caso el diagrama de árbol queda :

Entonces

Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente

reemplazando por en la expresión obtenida anteriormente. En

efecto

Luego :

Para calcular recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar por en la

expresión Entonces

46

Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que

2

Se propone al alumno verificar que también es solución de la ecuación

de la onda , de modo que sigue siendo solución

DERIVACION IMPLICITA

Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones

( ) definidas implícitamente por la ecuación , ahora es posible describir

más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto,

definamos la función compuesta por

con

entonces

De la definición de función implícita, se tiene que para todo

de modo que . Además como entonces

Por lo tanto :

Si entonces

Este análisis se puede resumir en

TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una

función derivable ( ) tal que , entonces

47

EJEMPLO Encontrar suponiendo que satisface la ecuación

Supongamos , entonces

Aplicando el Teorema se tiene :

En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de

la forma que define implícitamente a una función, por ejemplo,

. Esto significa que para todo ( ) . Si es

diferenciable y las derivadas parciales y existen entonces es posible usar la regla

de la cadena para determinar las derivadas parciales y , sin que sea necesario

despejar de la ecuación . El siguiente teorema garantiza tal situación :

TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una

función diferenciable tal que en el dominio

de entonces :

EJEMPLO Encontrar y suponiendo que satisface la ecuación

Supongamos , entonces

Aplicando el Teorema se tiene :

y

DERIVADA DIRECCIONAL

48

Recuérdese que si entonces las derivadas parciales y , se definen

como :

lim

lim

y representan las razones de cambio de en direcciones paralelas a los ejes coordenados

e , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios y . Interesa ahorai j

estudiar la razón de cambio de en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto

de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente.

Usando la notación y algebra de vectores se pueden escribir lasp

derivadas parciales anteriores del siguiente modo

p limp i p

p limp j p

Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores y por uni j

vector unitario arbitrario de dirección arbitraria . Se tiene entonces.u

DEFINICION 6.1 Sea una función y u un vector unitario

arbitrario contenido en . Se llama DERIVADA

DIRECCIONAL de en p en la dirección de u , que

se denota por p , al límite u

p limp u p

si es que este límite existe

En la Figura se presenta la interpretación geométrica de p p

49

Notar que el vector determina una recta en el plano que pasa por ( , ). Elu

plano que contiene a y es perpendicular al plano intersecta a la

superficie en una curva . Entonces la pendiente de la tangente a en el

punto ( coincide con .

OBSERVACION p pi) Se confirma facilmente que y que i

j p p

ii La definición se puede generalizar en forma directa para una

función de 3 o más variables.

El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante

el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general.

TEOREMA Sea una función con derivadas parciales continuas en una vecindad

de p . Entonces tiene una derivada direccional en p en la

dirección de un vector unitario u dada por

p p u

El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables.

En efecto

a) Si entonces mientras que si la dirección de estáp u

dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje (Ver Figura

6.2) entonces es un vector unitario en la dirección de (también esu

posible obtener el vector unitario dividiendo por la correspondiente norma) Por lou

tanto

50

EJEMPLO Dado hallar la derivada direccional de

en ¿Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)?

Calculamos primero

Enseguida calculamos el vector unitario

u

Por lo tanto

u u

En particular si ( ) (2, ) , se tiene :

u

EJEMPLO Encontrar la derivada direccional de en el punto ( , )

en la dirección del vector a i j

En este caso :

, entonces

Además el vector unitario en la dirección de está dado por , esto es :u a ua

a

ui j

Por lo tanto :

1,4 , u

b) Si entonces mientras que si la dirección de p u

está dada por la de una recta cuyos ángulos directores son y entonces el

vector unitario en la dirección de está dado por u u

analogamente al caso se puede obtener el vector unitario dividiendo por lau

correspondiente norma) Por lo tanto

u

EJEMPLO Dada la función hallar la derivada

direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a (5,3,3)

51

En este caso , como

se tiene que ,

Entonces

Por otra parte la dirección está dada por luegoa

ua

a

Por lo tanto :

u

(1

En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función

aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente

Teorema proporciona esta información :

TEOREMA Sea una función diferenciable en un punto p entonces

i) El valor máximo de la derivada direccional en p es

p el valor mínimo es p

ii) La razón de cambio máxima de en p se alcanza en la

dirección de p ( la tasa mínima en p

EJEMPLO Suponga que la temperatura en un punto ( ) del espacio

tridimensional está dada por en donde se mide

en °C y en metros ¿En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en

el punto (1,1, 2)? ¿Cuál es el valor de la máxima razón de aumento?

Como ,

entonces

52

Por lo tanto, la temperatura aumenta más rapidamente en la dirección del vector

gradiente (1,1, 2) , lo que equivale a la dirección del vector

( .

Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por :

MAXIMOS Y MÍNIMOS

TEOREMA (CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS

PARCIALES) Supóngase que ( ) tiene segundas

derivadas parciales continuas en una vecindad de ( , ) y que

( )

Sea

i) Si > y ( , ) < ( , ) es un valor máximo

relativo

ii) Si > y ( , ) > ( , ) es un valor mínimo

relativo

iii) Si < ( , ) es un punto de silla de

iv) Si el criterio no proporciona información

EJEMPLO Determinar los valores extremos relativos de la función

( )

Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto

( ) ( )

O sea :

(

53

De la segunda ecuación o Reemplazando en la primera se tiene :

( ) o

+ o

Por lo tanto los puntos críticos estacionarios son :

( ), ( , ( ) y ( )

Enseguida se calculan las segundas derivadas parciales de y ( ). En efecto :

, ,

,

Luego :

Por lo tanto :

Para ( ) : ( ) > , ( ) < ( ) es un valor máximo

relativo

Para ( ) : ( ) > , ( ) > ( ) es un valor mínimo

relativo.

Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla

Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla

METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En el ejemplo anterior se resolvió el problema de maximizar la función de distancia

desde el plano al origen. En los problemas de

aplicación de máximos y mínimos para funciones de una variable también aparecieron

situaciones similares, esto es, optimizar una función (función objetivo) sujeta a una

condición (ecuación de restricción ).

En lo sucesivo centraremos nuestra atención en la resolución de problemas de valores

extremos restringidos, esto es, determinar el valor extremo de una función sujeta a cierta

restricción . Es conveniente considerar que este tipo de problemas fue manejado

anteriormente despejando la variable adecuada de la ecuación de restricción y

reemplazándola en la función a optimizar , esta situación es aplicable para funciones de

54

una o dos variables , sin embargo, existe un método más práctico, conocido como el

método de los , cuya fortaleza radica en el hecho que seMultiplicadores de Lagrange

puede aplicar a funciones de dos, tres o más variables sujetas a una o más condiciones

restrictivas .

Mostraremos solamente el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de

Lagrange, para el caso de funciones de dos variables, en este caso el problema a resolver

es :

Determinar los valores extremos de la función ( ) sujeto a la condición

( )

El método de los Multiplicadores de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico

para determinar los puntos ( , ) y ( , ). En efecto como en estos

puntos la curva de nivel de y la curva de restricción son tangentes, esto es, tienen una

recta tangente común, entonces las curvas también tienen una recta normal común. Pero

( ) es siempre perpendicular a la curva de nivel de que pasa por . Por otra parte

( ) es siempre normal a . (Debiera ser claro que este análisis también es válido

para .)

Por lo tanto, los vectores y son paralelos en y , esto es :

( ) ( ) y ( ) ( ) para algún

Aunque es posible desarrollar una demostración formal solamente entregaremos el

enfoque intuitivo anterior como fundamento de este método.

55

TEOREMA (Método de los multiplicadores de Lagrange) Para maximizar o

minimizar (p) sujeta a la restricción (p) debe resolver el

sistema de ecuaciones

(p) (p)

(p

Cada punto p es un punto crítico estacionario del problema de

valor extremo restringido y el correspondiente se llama

Multiplicador de Lagrange.

EJEMPLO Encontrar los valores extremos de la función ( )

restringidos a la circunferencia

En este caso la ecuación de restricción es ( )

Calculamos entonces ( ) y ( ) , siendo ( ) el punto crítico a precisar. Enp

efecto :

( ) ( , )p

( ) ( , )p

Formamos el sistema de ecuaciones contemplado en el Teorema

( ) ( ) ( , ) ( , )p p

( p)

Se obtiene entonces

i)

ii)

iii)

De i) ( ) entonces o

Si entonces de

iii) resulta +

Si entonces de

ii) resulta 1/2

y reemplazando este valor en iii) se obtiene +

Por lo tanto los puntos críticos son ( ) , ( ) , y

(

56

Evaluando en estos cuatro puntos se tiene :

( ) , ( ) , ( ) 5/4 , ) 5/4

Por lo tanto el valor máximo de en los puntos de la circunferencia es

( ) 5/4 y el valor mínimo es ( )