Unidad 2 Matrices y determinantes.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada.

2.1 Matriz: definición

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos ajj dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la fo.

2.2 Operaciones con matrices. OPERACIONES CON MATRICES Suma o adición

“Dadas matrices iguales en filas y columnas m-por-n, sean A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes a filas y columnas respectivamente. (y.i (A + B) [i, j] = A [i, j] + B [i, j]). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar”.22 Por ejemplo:

“Propiedades Asociativa

Dadas las matrices m por n A, B y C”23 A + (B + C) = (A + B) + C “Conmutativa

Dadas las matrices m por n A y B A + B = B + A Existencia de matriz cero o matriz nula”24

A + 0 = 0 + A = A Existencia de matriz opuesta Con gr-A = [-ai, j] A + (-A) = 0 Producto por un escalar

Cuando se da una “matriz A y un escalar numérico c, su producto cA se calcula multiplicando el valor numérico escalar por cada elemento de la matriz A (i.e. (cA) [i, j] = cA [i, j]).”

EJEMPLO:

Propiedades Sean A y B matrices y c y d escalares. Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz. Asociatividad: (Cd)A = c(da)

Elemento Neutro: 1·A = A

Distributividad: O De escalar: c(A+B) = cA+cB

O De matriz: (c+d) A = cA+dA

Producto

“El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha, deben de coincidir filas de una matriz con columnas de la otra matriz.”26 “Si A es una matriz m por n y B es una matriz n por p, entonces su producto matricial AB es la matriz m por p (m filas, p columnas) dada por”:

Propiedades “Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades”: “Propiedad asociativa: (AB) C = A (BC)”.“Propiedad distributiva por la derecha: (A + B) C = AC + BC”.Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB”.“En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0, No necesariamente A o B son matrices nulas”.“El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C.”“El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas”.

“Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si ℝn es el espacio euclídeo n-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f: ℝn → ℝm existe una única matriz A m por n de tal forma que”35

Para cada vector x de ℝn.

“Se dice que la matriz A "representa" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f”.

“El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m B representa otra aplicación lineal g: ℝm → ℝk, entonces la composición g o f se representa por BA”:

Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices”.

2.3 Clasificación de las matrices.

CLASIFICACIÓN DE MATRICES

Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal con cero

Ejemplos: A=[1 2

0 4 ] B=[1 2 40 5 30 0 9 ]

Matriz triangular inferior: Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero,

Ejemplos: A=[1 0

2 4 ] B=[1 0 02 5 04 3 9 ]

Matriz diagonal. Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todos los componentes que están fuera de la diagonal principal son cero.

Ejemplos: A=[1 0

0 4 ] B=[1 0 00 5 00 0 9 ]

Matriz escalar: Es una matriz diagonal, donde a11=a22=…=ann=k,

Ejemplos: A=[2 0

0 2 ] B=[5 0 00 5 00 0 5 ]

Matriz identidad. Es una matriz escalar, con escalar igual a 1, es decir, tiene 1’s en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones.

Ejemplos: I 2=[1 0

0 1 ] I 3=[1 0 00 1 00 0 1 ]

Se denota por la letra I y el subíndice indica el orden.

Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz AT de tamaño nxm que se obtiene permutando la fila a columna.

Ejemplos: A=[1 2 34 5 6 ]

AT=[1 42 53 6 ]

Matriz simétrica. Una matriz simétrica es simétrica si cumple con A= AT

Ejemplos: A=[1 3

3 0 ] AT=[1 33 0 ]

B=[ 2 −1 0−1 3 40 4 5 ] BT=[ 2 −1 0

−1 3 40 4 5 ]

C=[1 4 32 1 12 8 0 ] CT=[1 4 3

2 1 12 8 0 ]

La matriz C no es simétrica

Matriz anti simétrica. Una matriz es anti simétrica, cuando cumple con A= -AT

B=[0 −3 −1 −43 0 2 −51 −2 0 64 5 −6 0

] BT=[0 −3 −1 −43 0 2 −51 −2 0 64 5 −6 0

]Matriz potencia. Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo “k”. Las potencias de A se definen como sigue: A2=AA, A3=A2A,…, An+1=AnA y A0=I

Ejemplo: Sea A=[1 2

3 −4 ], calcular A2 y A3

Solución A2=[1 2

3 −4 ] [1 23 −4 ]=[ 7 −6

−9 22 ] A3=[ 7 −6

−9 22 ] [1 23 −4 ]=[−11 38

57 −106 ]Matriz Periódica. Una matriz A se llama periódica, si k el menor número entero y positivo para el cual se cumple Ak+1=A, se dice que la matriz A tiene como periodo k.

Ejemplo:

A=[ 1 −2 −6−3 2 92 0 −3 ]

demostrar que A es una matriz de periodo 2.

Solución: Para determinar si A tiene periodo 2 es necesario calcular A3, por lo tanto

A2=[ 1 −2 −6−3 2 92 0 −3 ][ 1 −2 −6

−3 2 92 0 −3 ]=[−5 −6 −6

9 10 9−4 −4 −3 ]

A3=[−5 −6 −69 10 9

−4 −4 −3 ][ 1 −2 −6−3 2 92 0 −3 ]=[ 1 −2 −6

−3 2 92 0 −3 ]

Como vemos de A3=A, entonces A es una matriz periódica, con periodo 2.

Matriz nilpotente. También llamada matriz nulipotente, siendo A una matriz cuadrada y si p es el menor número entero positivo para el cual A p=0, entonces A es nilpotente de orden p.

Ejemplo: Demostrar que

A=[ 1 1 35 2 6

−2 −1 −3 ]es una matriz nilpotente de orden 3.

Solución: Para hacer dicha demostración es necesario calcular A3, por lo que tenemos

A2=[ 1 1 35 2 6

−2 −1 −3 ][ 1 1 35 2 6

−2 −1 −3 ]=[ 0 0 03 3 9

−1 −1 −3 ]

A3=[ 0 0 03 3 9

−1 −1 −3 ][ 1 1 35 2 6

−2 −1 −3 ]=[0 0 00 0 00 0 0 ]

Como vemos que A3=0, entonces A es nilpotente de orden 3.

Matriz idempotente. Una matriz A de nxn es idempotente si y solo si A2=A.

Ejemplo: Si a

A=[ 2 −2 −4−1 3 41 −2 −3 ]

, demostrar que A es idempotente.

Solución:

A2=[ 2 −2 −4−1 3 41 −2 −3 ] [ 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3 ]=[ 2 −2 −4

−1 3 41 −2 −3 ]

Como vemos que se cumple A2=A., entonces A es una matriz idempotente.

Matriz involutiva. Una matriz A es involutiva si cumple con A2=I.

Ejemplo: Si

A=[−1 −1 −20 1 00 0 1 ]

, demostrar de A2=I.

Solución:

Es necesario calcular A2=I, por lo que tenemos:

A2=[−1 −1 −20 1 00 0 1 ] [−1 −1 −2

0 1 00 0 1 ]=[1 0 0

0 1 00 0 1 ]

Como vemos que A2=I., entonces A es una matriz involutiva.

Matriz ortogonal. Una matriz cuadrada es ortogonal si AAT=ATA=I.

Ejemplo. Si

A=[1/√3 1/√6 −1/√21/√3 −2/√6 01/√3 1/√6 1/√2 ]

, demostrar que A es ortogonal

Solución:

A=[1/√3 1/√6 −1/√21/√3 −2/√6 01/√3 1/√6 1/√2 ]

AT=[ 1/√3 1/√3 1 /√31/√6 −2/√6 1/√6

−1/√2 0 1 /√2 ]=[1 0 00 1 00 0 1 ]

Matriz compleja. Sea A una matriz de tamaño mxn, se llama compleja si sus elementos con números complejos

Ejemplo:A=[2+8 i 5−3i 4−7 i

6i 1−4 i 3+2i ]

Matriz conjugada. Sea A una matriz compleja, la matriz conjugada se forma con

los con jugados de cada elemento de A, se representa por A

Ejemplo:A=[1−2 i i

3 2+3 i ] A=[1+2 i −i3 2−3 i ]

Matriz hermitiana. Si A es una matriz compleja, una matriz hermitiana debe cumplir

con AT=A .

Ejemplo:

A=[ 2 2+3 i 4−5i2−3 i 5 6+2 i4+5i 6−2i −7 ]

demostrar que A es una matriz hermitiana

Solución:

AT=[ 2 2−3i 4+5 i2+3 i 5 6−2 i4−5i 6+2i −7 ] AT=[ 2 2+3i 4−5 i

2−3i 5 6+2 i4+5 i 6−2 i −7 ]

Como se cumple que AT=A , por lo tanto A es una matriz hermitiana.

Matriz antihermitiana: Si A es una matriz compleja y además cumple con AT=−A ,

entonces se llama matriz antihermitiana, hermihermítica o antihermítica.

Ejemplo:

A=[ i 1−i 2−1−i 3 i i−2 i 0 ]

demostrar que A es una matriz antihermitiana

Solución

AT=[ i −1−i −21−i 3 i i2 i 0 ]

,

AT=[ −i −1+i −21+i −3i −i2 −i 0 ]

Por otro lado

−A=[ −i −1+i −21+i −3 i −i2 −i 0 ]

Como se cumple que AT=−A , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1.

2. donde k es un escalar. RANGO DE UNA MATRIZ “En álgebra lineal, el rango de una matriz es el número de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si se da el caso de que el rango fila y el rango columna son iguales, este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como R(A)”.40 “El número de columnas independientes de una matriz m por n es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y n”.41 Ahora bien, lo que procede es definir el concepto de rango de una aplicación lineal:

El rango es la dimensión del conjunto, imagen de la aplicación:

Una cualidad relevante del rango tal como se ha definido y del rango de matrices, radica en que ambos son coincidentes. Es decir, partiendo de una base arbitraria, la aplicación lineal puede mostrarse por conducto de base en forma de matriz, con

lo cual resulta el rango de la matriz, igual al rango de la aplicación lineal que representa. Para establecer más claramente esta relación, deben fijarse dos bases vectoriales

en cada uno de espacios se puede

expresar la transformación lineal por una matriz como una en una cierta base:

Siendo: , la imagen del vector x.

, la anti imagen del vector y.

De este modo, puede demostrarse que el rango de coincide con la dimensión de la imagen de f, como ya se mencionó. El rango puede calcularse, en relación con una aplicación lineal, al considerar una base cualquiera y al determinar el rango de la matriz que representa la aplicación en esa base, pues el número que se obtenga no estará sujeto de la base elegida. Con el cálculo de determinantes, el rango de una matriz puede determinarse de modo sencillo. Así, la matriz de modo sencillo. Así, la matriz

El rango queda de definido como el máximo entero r, de tal manera que existe un menor no nulo de orden r:

Cabe mencionar que el método de Gauss-Jordán representa otra forma de obtener el rango de una matriz, la cual es idéntica al número de filas no nulas de la matriz obtenida con este método. “Una útil aplicación de calcular el rango de una matriz es la de determinar el número de soluciones al sistema de ecuaciones lineales. El sistema tiene por lo menos una solución si el rango de la matriz de coeficientes equivale al rango de la matriz aumentada. En ese caso, ésta tiene exactamente una solución si el rango equivale al número de incógnitas; en otro caso, la solución general tiene k parámetros libres, donde k es la diferencia entre el número de incógnitas y el rango.”“Una matriz es invertible (tiene inversa) si y sólo si su rango es máximo. En teoría de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable”.

2.6 Definición de determinante de una matriz.

En matemáticas se define el determinante como una forma no-lineal alterna de un cuerpo En. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

El caso de matrices de orden inferior (orden 2 o 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.

Los determinantes de una matriz de orden 2 se calculan con la siguiente fórmula:

2.7 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Un valor invariante algebraico se constituye en el determinante de una matriz, esto conlleva que todas las matrices que la represente, dada unas aplicaciones lineales, habrán de tener el mismo determinante. Lo cual posibilita definir el valor del determinante, tanto para matrices como para aplicaciones lineales. El comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices constituye una característica o cualidad fundamental del determinante:

“Los cual implica, en términos de aplicaciones lineales dada la relación existente entre la composición de aplicaciones lineales y el producto de matrices que las representan que, dadas dos aplicaciones lineales u y u se tiene la siguiente igualdad”:

“El determinante de una matriz y el de su matriz traspuesta coinciden:

.“Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible si y sólo si su determinante es no nulo”.“Sean A, B, C, D matrices respectivamente. Entonces”.

“Esto se puede ver de la fórmula de Leibniz. Empleando la siguiente identidad

Vemos que para una matriz general

“Análogamente, se puede obtener una identidad similar con de (D) factorizado Si dij son matrices diagonales,

“Dada una matriz cuadrada o rectangular se pueden definir los llamados determinantes menores de orden r a partir del determinante de submatrices

cuadradas de r x r de la matriz original. Dada la matriz .

Se define cualquier menor de rango r como:

Cabe resaltar que hay, en general, un número elevado de menores de orden r, incluso tal número de una matriz mxn viene dado por:

Se debe señalar, como punto de interés, que el rango coincide con el orden del menor no nulo más grande posible. Así, para calcular el rango de una matriz o de una aplicación lineal, se suele ocupar el cálculo de menores.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que,

AA−1 = A−1A = In,Donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

La inversa de una matriz, si existe, es única.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

Y, evidentemente:

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

“Donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A”.89 “Supongamos que B y C son inversas de A”

AB = BA = IAC = CA = I

Multiplicando por C (BA)C = IC = C(BA)C = B (AC) = BI = BDe modo que B=C y se prueba que la inversa es única. El cálculo de la matriz inversa, en matrices de 2x2, se hace del siguiente modo:

Los cual es posible siempre que el determinante de la matriz (ad-bc), no sea cero. Ahora bien, la siguiente fórmula puede ocuparse para matrices de órdenes superiores:

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.MATRIZ CUADRADA:Tiene el mismo número de filas que de columnas. Es decir : m = n.Ejemplo:

-2 7 4

6 2 0

4 6 1 Orden: m.n = 3x3

DIAGONAL PRINCIPAL DE UNA MATRIZ:

1 2 3

6 9 0 *La diagonal principal consiste en: a11 = 1 a22 = 9 a33 = 7 7 8 7

MATRIZ TRIANGULAR (superior o inferior):

Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior o inferior, si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.Por ejemplo:

5 -3 7 7 0 0 0

0 1 2 y -3 2 0 0

0 0 4 6 5 -4 0 1 6 0 1 Diagonal principalLas matrices anteriores son: triangulares superior e inferior, respectivamente.

RESUELVE:

a) 3x j 6 2 = z -3w 0 4

b) 2 4 -6 -8

A = B =

6 9 2 -2

OPERAR:

I. A + BII. A – BIII. –3A + 2B 4 3IV. AXBV. BXAVI. BXBVII. B2

VIII.A2

IX. A - 4B 2NOTA: Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de ADebe ser igual al número de filas de B.EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO!!!

X. Verifica que A.(B + C) = A.B + A.C, si

1 0 -2 0 -2 1

A = B = C =

2 3 1 3 0 2

Entonces, ¿se cumple la propiedad anterior?¡DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA!

XI.SI:

3 -2 X 8

A = B = Y C =

7 1 Y 5

HALLAR LOS VALORES DE “X” E “Y”.

XII.RESOLVER:

X1 4 23. - = 5. X2 -3 -4

XIII.MULTIPLICAR:

-2 1 0 -1 5

B = 1 3 2 Y A =

-1 3 1 6 3

*EFECTUAR BxA.¿PUEDES MULTIPLICAR A x B?

2 1 4 2 2 0

SEAN A = 4 3 , B = Y C = 1 0 1 3 1 3 CALCULAR:

a) A x B y b) B x C ; c) A x C =?

XIV.INDICA SI LAS SIGUIENTES MATRICES SE PUEDEN MULTIPLICAR: (plantear todos los productos posibles).

A: ES UNA MATRIZ DE 3x4B: ES UNA MATRIZ DE 4x7C: ES UNA MATRIZ DE 7x3

OBSERVACIÓN: UN MODO DE SABERLO (si el producto está definido), ES ESCRIBIR EL ORDEN O TAMAÑO DEL PRIMER FACTOR A LA IZQUIERDA Y EL ORDEN DEL SEGUNDO FACTOR A LA DERECHA.SI LOS NÚMEROS INTERIORES SON IGUALES EL PRODUCTO ESTÁDEFINIDO. (Se puede efectuar).LOS NÚMEROS EXTERIORES DAN EL ORDEN O TAMAÑO DEL PRO-DUCTO.VEAMOS:

A B = AxB (m.n) m.r interiores r.n

Exteriores

XV.MULTIPLICA:

a) 1 2 10 9 3 4 Y 0 1 4 3

b)

8 5 1 0 20 13 Y 2 1 2 3

c)

3 2 -1 2 0 1 0

4 10 0 Y 0 1 0 0

0 1 2 0 1 0 1

d) SI: 2 1 -6 -5A = B = Y 3 -3 2 -3

-2 -1C = .EFECTUAR:

-3 3

a) 1/2.A – 2.(B + 2.C) =b) 2.B – 3.A + 2.C =c) 2.A – 1/2.(B + C) =d) 3.C – 2.B =

XV. DADA LA MATRIZ:

4 5 0 0 -2 3

HALLAR SU TRANSPUESTA: At

XVI. HALLAR LAS INVERSAS De:

2 3 4 1 6 -2 Y 3 5 2 3 7 9

A-1 = MATRIZ INVERSA Ver ejercicios resueltos en clase. -2 1

XVII. SI A-1 = 3/2 -1/2 HALLAR A y At.XVIII. HALLAR LAS MATRICES TRANSPUESTAS DE:

0 -1 1 3 5 -2 4, y

1 1 1 2 -3 6 0

XIX.RESUELVE:

4 1 2 3 9 12 a) x = 3 0 a 0 6 9

*HALLAR “a”.

RESPUESTA: a = 1

b) 3 0 -1 a 1 -1 3 1 -2 -1 1 3 x -1 b 0 = -2 7 -2 0 2 0 0 2 c -2 4 0

*HALLAR “a”, “b” y “c”.XX.CALCULA LA MATRIZ INVERSA DE:

1 -2A = -2 -4

*Siempre hay que tener en cuenta que: AxA-1 = I (matriz identidad)

XXI.RESUELVE POR CUALQUIER MÉTODO:

X + Y + Z = 6a) Y – Z = 1 Z = 1

b) X + Y + Z = 0 4X + 6Y + 8Z = 2 7X – 4Y – Z = -11

1 1COMPRUEBA QUE LA INVERSA DE: 0 1 1 1

Y DE 1 -1 SON RESPECTIVAMENTE:

1 -1 ½ 1/2

A-1 = Y B-1 = 0 1 ½ -1/2

CALCULA LA INVERSA Y LA TRANSPUESTA DE:

4 -7 -6 2

XXII.RESUELVE LA SIGUIENTE ECUACIÓN MATRICIAL:

1 1 -4 X 103 -5 -2 x Y = -42 -2 -3 Z 3

XXIII. Calcula la inversa de:

2 -1

-5 3

Calcula la transpuesta de la inversa obtenida.

XXIV.Halla el valor de “x” en los siguientes determinantes: 1 -2 = 0 3 x

2 5 = 3 1 x

x2 2 = 0 8 1

Método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones:

Sea el sistema de ecuaciones representado por:

X1 + 2x2 = 0

4x1 + 9x2 = 1

Es: 1 2 x1 0 4 9 x x2 = 1 1 2 9 -2

Si A = A-1 = 4 9 -4 1

De este modo:

9 -2 0 -2

x = -4 1 1 1

Por lo tanto, x1 = -2 y x2 = 1

Ejercicio: Resolver el sistema dado, hallando la inversa de la matriz de los coeficientes:

X1 - 2x3 = 1 4x1 - 2x2 + x3 = 2

X1 + 2x2 - 10x3 = -1

Es: 1 0 -2 -9 2 2

A = 4 -2 1 y A-1 = -41/2 4 9/2 1 2 -10 -5 1 1

X1 -9 2 2 1 -7 X2 = -41/2 4 9/2 x 2 = -17 X3 -5 1 1 -1 -4

En consecuencia: x1 = -7, x2 = -17 y x3 = -4

Ejercicio: Resolver por el método de la matriz inversa:

3x – y = 7

x + y = 1

Respuestas: x = 2 e y = -1Ejercicio: Proceder igualmente con:

3x + 4y = 2 Respuestas: x = 0 e y = 1/2 x - 8y = -4

DETERMINANTES:

Tratar los determinantes es otro objetivo de esta materia. Un determinante de segundo orden por ejemplo, se calcula así: + – a b

D = = a.d - b.c

c d

Sea resolver el siguiente determinante: + – + 0 1 1

2 3 2 = 4 ¿Por qué?

0 -1 -3