učeničko razumijevanje proporcionalnosti

Učeničko razumijevanje proporcionalnosti

Benković, Ivana

Master's thesis / Diplomski rad

2017

Degree Grantor / Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: University of Zagreb, Faculty of Science / Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet

Permanent link / Trajna poveznica: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:759553

Rights / Prava: In copyright

Download date / Datum preuzimanja: 2021-11-04

Repository / Repozitorij:

Repository of Faculty of Science - University of Zagreb

https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:759553

http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/

https://repozitorij.pmf.unizg.hr

https://repozitorij.pmf.unizg.hr

https://zir.nsk.hr/islandora/object/pmf:2041

https://repozitorij.unizg.hr/islandora/object/pmf:2041

https://dabar.srce.hr/islandora/object/pmf:2041

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET

MATEMATIČKI ODSJEK

Ivana Benković

UČENIČKO RAZUMIJEVANJE

PROPORCIONALNOSTI

Diplomski rad

Voditelj rada:

dr.sc. Ana Sušac

Zagreb, rujan, 2017.

Ovaj diplomski rad obranjen je dana ___________________ pred ispitnim

povjerenstvom u sastavu:

1. _______________________, predsjednik

2. _______________________, član

3. _______________________, član

Povjerenstvo je rad ocjenilo ocjenom _______________ .

Potpisi članova povjerenstva:

1. _____________________

2. _____________________

3. _____________________

Veliko hvala mojoj mentorici, dr.sc. Ani Sušac, na pomoći i uloženom trudu, na svim

savjetima pri izradi ovog diplomskog rada, i što je uvijek imala strpljenja i vremena za

moje upite.

Također, zahvaljujem se svim svojim kolegama, prijateljima i partneru koji su uvijek bili uz

mene i bez kojih moje studiranje ne bi prošlo ovako lako i zabavno.

Posebno hvala mojoj obitelji, osobito mojim roditeljima na pruženoj podršci, ljubavi i

odricanju, bez kojih sve što sam postigla ne bi bilo moguće.

1

Sadržaj

Uvod ................................................................................................................................................... 2

1 Prijašnja istraživanja ................................................................................................................... 3

2 Metode......................................................................................................................................... 4

2.1. Konstrukcija testa ................................................................................................................ 4

2.2. Ispitanici i testiranje ............................................................................................................ 6

2.3. Obrada podataka .................................................................................................................. 6

3 Rezultati i diskusija ..................................................................................................................... 8

3.1. Raspodjela svih učenika po ostvarenom broju bodova ....................................................... 8

3.2. Raspodjela učenika osnovne škole po ostvarenom broju bodova ....................................... 9

3.3. Raspodjela učenika srednje škole po ostvarenom broju bodova ......................................... 9

3.4. Usporedba učenika osnovnih škola i srednjih škola .......................................................... 10

3.5. Ostvareni broj bodova po pojedinom zadatku ................................................................... 12

3.6. Analiza po zadacima ......................................................................................................... 12

4 Implikacije za nastavu ............................................................................................................... 84

Literatura .......................................................................................................................................... 86

Prilozi ............................................................................................................................................... 87

Prilog 1. Test ................................................................................................................................ 87

Sažetak ............................................................................................................................................. 91

Summary .......................................................................................................................................... 92

Životopis .......................................................................................................................................... 93

2

Uvod

U 7. razredu osnovne škole učenici se susreću s proporcionalnim i obrnuto

proporcionalnim veličinama u nastavi matematike. Učenici prvo pomoću multiplikativne

veze određuju omjere raznih veličina te njihove vrijednosti. Zatim pomoću jednakosti

omjera dolaze do pojmova razmjera ili proporcije. Nakon što su učenici savladali

postavljanje omjera i proporcija raznih veličina, uvodi se pojam proporcionalnih veličina.

Proporcionalne veličine su veličine koje ovise jedna o drugoj u obliku multiplikativne

veze. Ovisnost proporcionalnih veličina se može odrediti pomoću koeficijenta

proporcionalnosti. Proporcionalne veličine učenici prikazuju i grafički kao pravac kroz

ishodište koordinatnog sustava. Uz proporcionalne veličine, učenici se susreću i s obrnuto

proporcionalnim veličinama i koeficijentom obrnute proporcionalnosti. Učenici se s

proporcionalnosti i obrnutom proporcionalnosti susreću i tijekom nastave fizike.

Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost, se spominju kod objašnjavanja ovisnosti

raznih veličina. Također, učenici, tijekom nastave fizike, grafički prikazuju proporcionalne

veličine, npr. graf ovisnosti produljenja elastične opruge o sili, graf ovisnosti akceleracije

tijela o sili koja djeluje na njega itd. Učenici se još s proporcionalnim veličinama susreću i

tijekom nastave kemije i geografije, ali se tu naglasak stavlja na procese i situacije koje

proporcionalne veličine predstavljaju, a ne direktno na odnos veličina.

Zbog nužnosti proporcionalnog rasuđivanja u mnogim nastavnim predmetima te u

raznim situacijama iz stvarnog života konstruirali smo test kojim ćemo provjeriti stupanj

proporcionalnog rasuđivanja kod učenika. Testirali smo učenike osmih razreda osnovne

škole te drugih razreda srednje škole. Budući da se proporcionalnost obrađuje tek u

sedmom razredu, testirali smo učenike osmog razreda osnovne škole jer se pretpostavlja da

su učenici usvojili koncept proporcionalnosti. Učenike drugog razreda srednje škole smo

testirali tako da provjerimo postoji li napredak u proporcionalnom rasuđivanju u odnosu na

učenike osnovne škole.

3

1 Prijašnja istraživanja

Razvoj proporcionalnog rasuđivanja je jedan od najvažnijih ciljeva u nastavi matematike,

ali i fizike. Ono je povezujuća tema gotovo svih matematičkih sadržajnih područja kao što

su algebra, razlomci, postotci, geometrija, vjerojatnost i slično. Iako je proporcionalno

rasuđivanje veoma bitno u mnogim aspektima nastave i svakodnevnog života, u Hrvatskoj

još nisu provedena istraživanja o učeničkom razumijevanju proporcionalnosti. Što se tiče

istraživanja u svijetu, provedeno je mnogo istraživanja na temelju kojih su napisani razni

članci i priručnici o tome kako učenicima približiti proporcionalne veličine i operacije

vezane za njih.

Prema [1], [2] i [3], učenici imaju problema pri razumijevanju proporcionalnosti,

što dovodi do poteškoća u razumijevanju mnogih nastavnih cjelina raznih predmeta te

različitih situacija u svakodnevnom životu.

Razvoj proporcionalnog rasuđivanja započinje s razumijevanjem multiplikativnih

veza. Dok se nisu upoznali s pojmom proporcionalnosti, učenici uspoređuju vrijednosti

veličina te predočavaju razlomke kao dijelove cjeline (vidi [1]). Pojam proporcionalnosti

treba uvoditi postupno, od učenicima jednostavnijih primjera, kao što su, prema [2],

primjeri s površinom. Prijelaz učeničkog razmišljanja s aditivnog na multiplikativno je

veoma kompleksan proces. Učenici često imaju poteškoća s razumijevanjem situacija gdje

vrijednost omjera nisu prirodni brojevi što ukazuje da učenici nisu u potpunosti usvojili

multplikativnu vezu (vidi [1]). Također, učenici imaju poteškoća kod razlikovanja

proporcionalnih i neproporcionalnih veličina. Da bi nadišli te teškoće učenicima treba

osigurati mnogo primjera s različitim kontekstima s proporcionalnim i neproporcionalnim

veličinama (vidi [2]). Kako bi učenici razvijali sposobnost proporcionalnog rasuđivanja,

potrebno je uočiti da mehaničke procedure rješavanja zadataka s proporcionalnosti ne

pridonose razvoju, već da učenici trebaju biti fleksibilni u svojem razmišljanju tako da

koriste razne strategije kod rješavanja (vidi [3]). Prema [3], s učenicima treba redovito

diskutirati o zadacima te tražiti od njih obrazloženja zadataka tako da se učenici odmaknu

od mehaničkih procedura, a da razviju sposobnost modeliranja raznih situacija pomoću

proporcionalnih veličina.

4

2 Metode

2.1. Konstrukcija testa

Prije konstrukcije testa trebali smo razmisliti što želimo ispitati ovim testom, odnosno koje

obrazovne ishode želimo provjeriti jesu li učenici usvojili. Učenici kroz nastavu

matematike, ali i fizike, kemije i geografije trebaju razvijati sposobnost proporcionalnog

rasuđivanja. Sposobnost proporcionalnog rasuđivanja se temelji na razumijevanju

multiplikativnih ovisnosti veličina. Proporcionalno rasuđivanje je teško definirati

jednostavnom definicijom jer su u njemu isprepleteni procesi i kvalitativnog i

kvantitativnog zaključivanja. Neke od sposobnosti koje bi proporcionalni mislioci trebali

imati su:

osjećaj za kovarijaciju, odnosno, razumijevanje veze u kojoj se dvije veličine

mijenjaju u ovisnosti jedna o drugoj te uočavanja na koji način promjena

vrijednosti jedne veličine utječe na vrijednosti druge veličine;

razlikovanje omjera koji predstavlja vezu dviju veličina od samih veličina koje se

uspoređuju;

razlikovanje proporcionalnih veza od onih koje nisu proporcionalne u kontekstima

iz realnog svijeta;

razvijanje raznovrsnih strategija pri rješavanju zadataka s proporcionalnošću i

uspoređivanju omjera, od kojih su većina neformalne, a ne primjena propisanih

algoritama.

Test koji smo konstruirali se sastoji od 12 zadataka. Zadatke smo podijelili u

nekoliko grupa, ovisno o tome što se provjerava u zadacima. Prvu grupu zadataka čine tri

zadatka u kojima se koristi Ohmov zakon. U zadacima se provjeravalo razumijevanje veze

u kojima se veličine mijenjaju o ovisnosti jedna o drugoj. Zadaci su bili podijeljeni tako da

se prvo ispituje zaključivanje pomoću funkcionalne ovisnosti tako što su u prvom zadatku

veličine bile proporcionalne, u drugom zadatku su bile obrnuto proporcionalne, a u

posljednjem zadatku iz ove grupe, trebalo je pomoću funkcionalne ovisnosti odrediti

5

promjene veličine ako se mijenjaju dvije veličine ovisne o njoj, proporcionalna i obrnuto

proporcionalna.

Drugu grupu zadataka čine dva zadatka u kojima se traži razlikovanje omjera koji

predstavlja vezu dviju veličina od samih veličina koje se uspoređuju. Navedeni zadaci su

osmišljeni tako da za njih nema propisanih algoritama za rješavanje, već se zahtijeva da

učenici kontekst iz realnog svijeta prepoznaju kao vezu veličina. U jednom zadatku se

uspoređuju dvije jednake geografske karte, ali su podaci o mjerilu karata prikazani na

različite načine. U drugom zadatku se uspoređuju „jačine“ limunada čiji su sastojci u

različitim količinama.

Treću grupu zadataka čine tri zadatka u kojima se također traži razlikovanje omjera

koji predstavlja vezu dviju veličina od uspoređivanja tih veličina. Međutim, u ovoj grupi

zadataka treba odrediti jednu nepoznatu veličinu koja se pojavljuje u omjerima. Kao i u

drugoj grupi zadataka, zadaci su osmišljeni tako da za njihovo rješavanje nema propisanih

algoritama. U jednom zadatku se uspoređuju visine dvojice likova. Jedan lik, gosp. Niski,

ima prikazanu veličinu na dva načina, pomoću gumba i spajalica. Drugi lik, gosp. Visoki

ima prikazanu visinu pomoću gumba, a traži se njegova visina u spajalicama. Učenici

trebaju prepoznati ovisnost visine u gumbima i visine u spajalicama te odrediti kako se

promijeni vrijednost visine u spajalicama kada se promijeni visina u gumbima. U drugom

zadatku je prikazano mjerilo geografske karte pomoću odnosa stvarne udaljenosti u km i

udaljenosti na karti u cm. Učenici trebaju odrediti drugačije mjerilo, odnosno pomoću

ovisnosti navedenih veličina odrediti nove vrijednosti jedne veličine ako mijenjamo drugu

veličinu. U trećem zadatku se traži masa smjese ako znamo omjer sastojka te masu jednog

sastojka.

Četvrtu grupu zadataka čine tri zadatka u kojima se traži uočavanje ovisnosti dviju

veličina i na koji način promjena vrijednosti jedne veličine utječe na vrijednost druge

veličine. Za ove zadatke postoji algoritam za rješavanje, odnosno postoje formule pomoću

kojih učenici mogu riješiti zadatke, ali te formule nisu nužne za rješavanje. U prvom

zadatku se pojavljuje brzina kod jednolikog pravocrtnog gibanja. U zadatku su navedene

dvije proporcionalne veličine, prijeđeni put i vrijeme potrebno da se prijeđe taj put.

Učenici trebaju odrediti ovisnost tih veličina te zatim odrediti novu vrijednost vremena,

ako je zadano koliki je prijeđeni put. U drugome zadatku s polugom su navedene obrnuto

proporcionalne veličine, sila, odnosno masa, te udaljenost hvatišta sile od oslonca. Učenici

6

trebaju odrediti ovisnost tih veličina te odrediti novu vrijednost udaljenosti hvatišta sile od

oslonca, ako je zadana nova sila, tj. masa. U trećem zadatku s gustoćom je prikazan omjer

dviju veličina te treba protumačiti značenje tog omjera. Također se traži određivanje

vrijednosti jedne veličine nakon promjene druge veličine.

Posljednju grupu zadataka čini jedan zadatak. U zadatku se provjerava razumijevanje

grafičkog prikaza proporcionalnih veličina. U tekstu zadatka je navedeno da su dvije

veličine proporcionalne te se od učenika traži da odaberu grafički prikaz ovisnosti

navedenih veličina od tri navedena grafička prikaza.

2.2. Ispitanici i testiranje

Istraživanje je provedeno tijekom svibnja i lipnja 2017. godine u 4 osnovne škole i 3

srednje škole u Zagrebu. U osnovnim školama testiran je po jedan osmi razred, a u

srednjim školama po jedan drugi razred, osim u jednoj osnovnoj školi, gdje su testirana dva

osma razreda. Ukupno je sudjelovalo 155 učenika, od čega je 91 učenik osmog razreda

osnovne škole te 64 učenika drugog razreda srednje škole.

Sve osnovne škole imaju jednake programe i satnica fizike je dva sata tjedno u

osmom razredu. Testirane srednje škole su bile različitih profila. Jedna škola je opća

gimnazija, druga je tehnička škola te treća je prirodoslovna gimnazija. Program nastave

fizike u tim školama je sličan, ali je tjedna satnica različita. Satnica fizike je propisana

nastavnim planom Ministarstva znanosti i obrazovanja. U općoj gimnaziji tjedno se

održavaju dva školska sata fizike, u prirodoslovnoj gimnaziji i tehničkoj školi tri sata fizike

od čega su jedan sat praktične vježbe u laboratorijima.

Predviđeno vrijeme za pisanje testa je bio jedan školski sat, odnosno 45 min.

Učenici su mogli pitati ako im je trebalo dodatno objašnjenje u pojedinim zadacima.

2.3. Obrada podataka

Bodovanje testa bilo je na sljedeći način. Svaki točan odgovor uz obrazloženje nosio je dva

boda. Ako su učenici napisali samo točan rezultat ili su zaokružili točan odgovor, bez

obrazloženja, dobili su jedan bod. Također, ako su učenici napisali samo valjano

obrazloženje bez rezultata, dobili su jedan bod. Budući da se test sastoji od 12 zadataka,

maksimalan broj postignutih bodova je 24. Sve podatke o učenicima (ime, prezime, škola)

te odgovore koje su učenici napisali unijela sam u Excel tablicu. U tablici sam napravila

7

analizu rezultata, tj. odredila sam uspjeh svakog učenika na testu i zatim izračunala

prosječni broj bodova svih učenika zajedno te posebno učenika osnovne i srednje škole.

Analiza učeničkih obrazloženja daje uvid u različite strategije koje su učenici koristili kod

rješavanja zadataka, odnosno postotak najčešće korištenih ispravnih i krivih strategija za

svaki pojedini zadatak.

Za statističku obradu podataka koristila sam poznatu statističku metodu, t-test. T-

test je statistički postupak za određivanje statističke značajnosti razlike između dva uzorka,

odnosno između dvije aritmetičke sredine. Razlikujemo t-testove za zavisne i nezavisne

uzorke. T-test promatra odnos razlika aritmetičkih sredina i njihovih pogreška, odnosno

standardnih devijacija. Što je razlika aritmetičkih sredina veća od svoje pogreške to je

statistički značajnija. Kada je neka razlika statistički značajna, to znači da nađena razlika,

bez obzira na njenu veličinu, nije slučajna već da ta razlika postoji i među širom

populacijom. Suprotno, ako navedena razlika nije statistički značajna, to znači da ona

može biti slučajna posljedica varijacije uzorka te da postoji mogućnost da nema nikakve

razlike među uzorcima. Statističku značajnost određujemo pomoću p vrijednosti. p

vrijednost ili razina značajnosti je vjerojatnost da su razlike koje promatramo nastale

slučajno. Ako je p vrijednost manja od 5%, odnosno p < 0,05, razlike su statistički

značajne.

8

3 Rezultati i diskusija

3.1. Raspodjela svih učenika po ostvarenom broju bodova

Na Slici 3.0 prikazana je raspodjela svih testiranih učenika po broju bodova postignutih na

testu.

Slika 3.0: Raspodjela učenika po broju bodova

Iz grafa uočavamo da je najviše učenika, njih 44, dobilo od 9 do 12 bodova,

odnosno da je 28% od ukupnog broja učenika postiglo od 37,5% do 50,0% bodova na

testu. Nadalje, vidimo da su tri učenika dobilo 0 bodova. Slika 3.0 također pokazuje da je

raspodjela broja učenika po broju dobivenih bodova približno normalna, što vidimo po

„zvonolikom“ izgledu grafa. Srednja vrijednost postignutih bodova je 10, a standardna

devijacija, odnosno prosječno odstupanje od srednje vrijednosti, je 5. Gledajući u

postotcima, srednja vrijednost je 42%, a standardna devijacija je 20%. To nam pokazuje da

je većina učenika postigla između 5 i 15 bodova, što možemo vidjeti i na Slici 3.0. Srednja

vrijednost je manja od polovine ukupnih bodova, odnosno, manja od 50% što nam govori

da je test bio težak za učenike.

9

3.2. Raspodjela učenika osnovne škole po ostvarenom broju bodova

Na Slici 3.1 prikazana je raspodjela učenika osnovnih škola po broju bodova postignutih na

testu.

Slika 3.1: Raspodjela učenika osnovne škole po broju bodova

Na Slici 3.1 uočavamo da je najviše učenika, njih 27, ostvarilo od 5 do 8 bodova na

testu. Dvoje učenika je ostvarilo 0 bodova. Gledajući u postotcima, 29,7% učenika

osnovnih škola je postiglo od 20,8% do 33,3% bodova u testu. Srednja vrijednost

postignutih bodova je 9, a standardna devijacija je 5, odnosno srednja vrijednost je 38%, a

standardna devijacija je 21%. Srednja vrijednost nam govore da je test bio vrlo težak za

učenike osnovnih škola.

3.3. Raspodjela učenika srednje škole po ostvarenom broju bodova

Na Slici 3.2 je prikazana raspodjela učenika srednjih škola po broju bodova postignutih na

testu.

10

Slika 3.2: Raspodjela učenika srednje škole po broju bodova

Na Slici 3.2 uočavamo da je najviše učenika, njih 23, postiglo od 9 do 12 bodova,

odnosno, 35,9% učenika je postiglo od 37,5% do 50,0% na testu. Jedan učenik je ostvario

0 bodova. Srednja vrijednost postignutih bodova je 11, a standardna devijacija je 5,

odnosno, gledajući u postotcima, srednja vrijednost je 48%, a standardna devijacija je 19%.

Srednja vrijednost nam govori da je test bio težak za učenike srednjih škola.

3.4. Usporedba učenika osnovnih škola i srednjih škola

Na Slici 3.3 su prikazane raspodjele učenika osnovnih i srednjih škola po broju bodova

ostvarenih na testu.

11

Slika 3.3: Raspodjela učenika osnovnih i srednjih škola po broju bodova

Iz grafa uočavamo da u osnovnoj i u srednjoj školi imamo približno normalne

raspodjele, ali sredine raspodjela se ne preklapaju što ukazuje na to da su prosječne

vrijednosti različite. Učenici osnovnih škola su, očekivano, lošije riješili test od učenika

srednjih škola. Razliku prosječnih vrijednosti možemo uočiti u Tablici 3.1 u kojoj su

navedene srednje vrijednosti i standardna devijacija postignutih bodova za učenike

osnovnih i srednjih škola, i ukupno, za sve učenike zajedno. Da bih odredila je li ta razlika

statistički značajna, provela sam t-test. Dobivena p vrijednost iznosi 0,006 što znači da je

razlika dobivena između učenika osnovnih i srednjih škola statistički značajna.

Srednja vrijednost i

standardna devijacija broja

postignutih bodova

Srednja vrijednost i

standardna devijacija

postotka točnih

odgovora

OSNOVNA ŠKOLA 9 ± 5 (38 ± 21)%

SREDNJA ŠKOLA 11 ± 4 (47 ± 19)%

UKUPNO 10 ± 5 (42 ± 20)%

Tablica 3.1: Usporedba srednjih vrijednosti i standardnih devijacija

12

3.5. Ostvareni broj bodova po pojedinom zadatku

Slika 3.4: Raspodjela postotka točnih odgovora po zadacima

Na Slici 3.4 su prikazani postotci točnih odgovora po zadacima. Najbolje su riješeni 1. i 6.

zadatak u kojima je trebalo prepoznati multiplikativnu ovisnost veličina te odrediti kako se

mijenja vrijednost jedne veličine, ako mijenjamo vrijednost druge veličine, te 12. zadatak u

kojem je također trebalo prepoznati multiplikativnu ovisnost i usporediti dva omjera.

Najlošije su riješeni zadaci koji su tražili zaključivanje pomoću funkcionalne ovisnosti (3.,

7. i 11.) te 9. zadatak u kojemu je trebalo prepoznati graf ovisnosti proporcionalnih

veličina. Detaljna analiza svakog pojedinog zadatka nalazi se u sljedećem poglavlju.

3.6. Analiza po zadacima

Zadatak 1.

Marko i Nikola trče jednakom brzinom. Marko pretrči 4 km u 20 min. Koliko vremena

treba Nikoli da pretrči 12 km? Obrazloži odgovor.

13

Ovim zadatkom ispituje se učeničko razumijevanje ovisnosti veličina, tj. ispituje se

jesu li učenici sposobni odrediti kako će se promijeniti jedna veličina, ako mijenjamo

drugu veličinu, a veličine su u multiplikativnoj vezi. Zadatak se može riješiti, npr. pomoću

strategije svođenja na jedinicu. Marko pretrči 4 km u 20 min, odnosno Marko pretrči 1 km

u 20 : 4 = 5 min. Budući da Marko i Nikola trče jednakom brzinom, slijedi da i Nikola

pretrči 1 km u 5 min. Tada Nikola pretrči 12 km za 5 ∙ 12 = 60 min.

Učenici osnovnih škola su na ovom zadatku postigli (86 ± 31)% bodova, a učenici

srednjih škola (91 ± 27)% bodova. Razlika između učenika osnovne i srednje škole nije

statistički značajna (p = 0,36). Na Slici 3.5 prikazana je raspodjela postotka učenika

osnovne i srednje škole po bodovima. Uočavamo da je veliki broj učenika i osnovne škole

(81,3%) i srednje škole (87,5%) na ovom zadatku dobio dva boda što znači da je učenicima

ovaj zadatak bio lagan.

Slika 3.5: Raspodjela učenika po broju bodova u 2. zadatku

Od 130 učenika koji su postigli dva boda na ovome zadatku, njih 45 (34,6%) su

koristili formulu brzine kod jednolikog pravocrtnog gibanja (Slika 3.6). Za navedene

učenike ne možemo zaključiti jesu li dosegli fazu proporcionalnog rasuđivanja u kojoj

prepoznaju ovisnost proporcionalnih veličina. Učenici se često susreću s pojmom brzine te

s korištenom formulom jednolikog pravocrtnog gibanja pa je razumljivo da je najveći broj

učenika u kontekstu zadatka prepoznao da se može koristiti navedenom formulom.

14

Slika 3.6: Primjer korištenja formule za 2 boda u 1. zadatku

33 učenika (25,4%), koji su postigli dva boda, su koristili strategiju svođenja na

jedinicu (Slika 3.7).

Slika 3.7: Primjer strategije svođenja na jedinicu za 2 boda u 1. zadatku

28 učenika (21,5%) se koristilo svojstvima proporcionalnih veličina, odnosno

multiplikativnom vezom dviju veličina (Slika 3.8).

Slika 3.8: Primjer korištenja svojstva proporcionalnosti za 2 boda u 1. zadatku

15

11 učenika (8,5%) su koristili strategiju rješavanja razmjera, odnosno učenici su

postavili razmjer te odredili vrijednost nepoznate veličine (Slika 3.9). 13 učenika (10,0%)

su također postavili razmjer, ali pomoću metode strelica (Slika 3.10).

Slika 3.9: Primjer strategije razmjera za 2 boda u 1. zadatku

Slika 3.10: Primjer korištenja metode strelica za 2 boda u 1. zadatku

Za učenike koji su postigli dva boda u ovom zadatku možemo reći da u određenim

situacijama prepoznaju proporcionalne veličine te mogu zaključivati na osnovi njihove

ovisnosti.

Od 13 učenika, koji su postigli jedan bod na ovome zadatku, njih 11 (84,6%) nije

kategorizirano. Navedeni učenici su ponudili ispravan odgovor, ali bez obrazloženja pa ne

možemo razaznati kojom su se strategijom koristili. Dvoje učenika (15,4%) je kod

rješavanja zadatka koristilo ispravnu formulu, ali su pogriješili u računu.

16

Od 12 učenika, koji nisu postigli niti jedan bod na ovome zadatku, njih 6 (50,0%)

nije ništa napisalo. 4 učenika (33,3%) su koristili formulu, ali nisu završili račun niti došli

do nekog odgovora. Dvoje učenika (16,7%) nije kategorizirano jer ne možemo razaznati

kojom su se strategijom koristili.

U Tablici 3.2 su prikazane raspodjele učenika koji su se koristili navedenim

strategijama podijeljenim po broju postignutih bodova.

Strategija Osnovna škola/

broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda korištenje formule 20 25

svođenje na jedinicu 22 11

svojstva

proporcionalnosti

20 8

razmjer 2 9

metoda strelica 10 3

ukupno 74 56

1 bod korištenje formule 2 0

nekategorizirano 7 4

ukupno 9 4

0 boda

korištenje formule 2 2


ukupno 4 2

Tablica 3.2: Raspodjela učenika po korištenim strategijama u 1. zadatku

Budući da ovaj zadatak ima veliku riješenost, možemo reći da su učenici

prepoznaju proporcionalne veličine i primjenjuju njihova svojstva u određenim

situacijama. Također učenici modeliraju problemske situacije pomoću proporcionalnosti te

razvijaju raznovrsne strategije kod rješavanja zadatka, ali još uvijek se javlja primjena

propisanih algoritama, u ovom slučaju je to bilo korištenje formule, pa možemo reći da

učenici još uvijek razvijaju sposobnost proporcionalnog rasuđivanja.

17

Zadatak 2.

Maja i Ivan rade limunadu od limuna jednakih veličina. Maja je iscijedila dva limuna i

dodala tri čaše vode, a Ivan je iscijedio tri limuna i dodao četiri čaše vode. Jesu li te

limunade jednakog okusa ili je neka od njih „jačeg“ okusa?

a) Limunade su jednakog okusa.

b) Majina limunada je „jačeg“ okusa.

c) Ivanova limunada je „jačeg“ okusa.

Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učeničko razlikovanje aditivne i multiplikativne veze,

odnosno učeničko poznavanje vrijednosti, odnosno kvocijenta omjera. U zadatku treba

usporediti „jačine“ limunada, odnosno treba vidjeti koja limunada ima veću vrijednost

omjera ili koja limunada sadrži veći udio limuna u sebi. Omjer limuna i vode u Majinoj

limunadi je 2: 3, odnosno vrijednost omjera je 2

3= 0,67. Omjer limuna i vode u Ivanovoj

limunadi je 3: 4, odnosno vrijednost omjera je 3

4= 0,75. Kada usporedimo vrijednosti

omjera, vidimo da je Ivanova vrijednost omjera veća od Majine te zaključujemo da je

Ivanova limunada „jača“. Ako promatramo udjele limuna u limunadama, možemo kao

udio uzeti, već dobivene, vrijednosti omjera limuna i vode ili vrijednost omjera limuna i

zbroja količine limuna i vode. U tome slučaju, vrijednost omjera Majine limunade je 2

5=

0,40, a vrijednost omjera Ivanove limunade je 3

7= 0,43. Uspoređujući dobivene

vrijednosti, opet da je Ivanova limunada „jačeg“ okusa.


srednjih škola (63 ± 44)% bodova. Razlika između učenika osnovne i srednje škole bila je

statistički značajna (p < 0,0001). Na Slici 3.11 prikazana je raspodjela postotka učenika

osnovne i srednje škole po bodovima. Uočavamo da je veliki broj učenika osnovne škole

(skoro 80%) na ovom zadatku dobio nula bodova dok je 55 % učenika srednje škole dobilo

dva boda. To ukazuje na znatan napredak učenika srednje škole u odnosu na učenike

osnovne škole u razumijevanju i primjeni omjera.

18


Učenici koji su postigli 2 boda su najčešće koristili strategiju usporedbe vrijednosti

omjera (Slika 3.12). Od 49 učenika koji su u potpunosti riješili ovaj zadatak, njih 41

(83,7%) je koristilo navedenu strategiju.

Slika 3.12: Primjer strategije usporedbe vrijednosti omjera za 2 boda u 2. zadatku

19

7 učenika (14,3%) se koristilo strategijom svođenja na jedinicu, odnosno učenici su

računali koliko bi koristili čaša vode u pojedinoj limunadi ako imamo jedan limun, i

obratno, koliko limuna ide na jednu čašu vode u pojedinoj limunadi (Slika 3.13).


Jedan učenik se koristio metodom strelica, odnosno pomoću metode strelica je

izjednačio omjere limuna i vode (Slika 3.14).

Slika 1.14: Primjer metode strelica za 2 boda u 2. zadatku

Za sve navedene učenike možemo reći da razlikuju multiplikativnu vezu od

aditivne, odnosno da su u stanju uočiti na koji način promjena jedne veličine utječe na

promjenu druge veličine.

20

Od 16 učenika koji su postigli jedan bod, njih 8 (50,0%) se koristilo strategijom

uspoređivanja veličina (Slika 3.15). Učenici su zaokružili ispravan odgovor na temelju

usporedbe broja limuna i čaša vode. Učenici su do odgovora dolazili uspoređujući broj

limuna. Tako su učenici zaključili da je „jača“ ona limunada koja ima veći broj limuna.

Budući da Ivan ima 3 limuna, a Maja 2 limuna, a kako je 3 > 2, tada je Ivanova limunada

„jača“. Učenici koji su se koristili ovom strategijom su ispravno zaključili da je „jača“ ona

limunada koja ima više limuna, ali oni su uspoređivali samo količinu limuna. Možemo

reći da učenici još nisu razvili sposobnost razmišljanja o omjeru kao vezi dviju veličina, a

ne kao o dvije veličine koje se uspoređuju.

Slika 3.15: Primjer strategije aditivne veze za 1 bod u 2. zadatku

7 učenika (43,8%) je nekategorizirano, nisu dali obrazloženje ili se iz njihovih

odgovora nije moglo razaznati kojom su se strategijom koristili, a zaokružili su točan

odgovor (Slika 3.16).

Slika 3.16: Primjer nekategoriziranog odgovora za 1 bod u 2. zadatku

21

Jedan učenik se koristio strategijom omjera, ali je krivo usporedio vrijednosti

omjera (Slika 3.17).

Slika 32.17: Primjer strategije jednakosti omjera za 1 bod u 2. zadatku

Od 90 učenika koji nisu postigli niti jedan bod, njih 52 (57,8%) se koristilo

strategijom aditivne veze kod rješavanja (Slika 3.18). Koristeći aditivnu vezu veličina koje

promatraju (limun i čaša vode), učenici su uočili da se obje vrijednosti veličina razlikuju za

jednu. Odnosno, Ivan ima jednu čašu vode više i jedan limun više.

Slika 3.18: Primjer strategije aditivne veze za 0 bodova u 2. zadatku

22

30 učenika (33,3%) nije kategorizirano, odnosno ne može se razaznati kojom su se

strategijom koristili (Slika 3.19).

Slika 3.19: Primjer nekategoriziranog odgovora za 0 bodova u 2. zadatku

4 učenika (4,4%) se koristilo strategijom jednakosti omjera (Slika 3.20). Međutim,

ti učenici su ili izjednačili omjere ili su krivo usporedili vrijednosti omjera.

Slika 3.20: Primjer strategije jednakosti omjera za 0 bodova u 2. zadatku

4 učenika nisu ništa odgovorili. Učenici koji su zadatak rješavali koristeći aditivnu

vezu još nisu razvili sposobnost proporcionalnog rasuđivanja pomoću omjera, već umjesto

omjera, koji je rezultat multiplikativne veze, učenici pomoću aditivne veze uspoređuju

veličine.

23




broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda uspoređivanje

vrijednosti omjera

13 28


metoda strelica 0 1

ukupno 14 35

1 bod uspoređivanje

veličina

4 4

jednakost omjera 0 1


ukupno 5 11

0 boda

aditivna veza 43 9

jednakost omjera 4 0


ukupno 69 17


Uočavamo (Slika 3.11 i Tablica 3.3) da su učenici srednjih škola bolje riješili

zadatak u odnosu na učenike osnovnih škola. Učenici srednjih škola više uključuju

multiplikativnu vezu u omjerima, dok se učenici osnovnih škola više koriste aditivnom

vezom. Razumijevanjem multiplikativnih veza započinje sposobnost proporcionalnog

rasuđivanja. Učenici koji koriste aditivnu vezu u primjerima s omjerima, odnosno s

veličinama koje ovise jedna od drugoj, nemaju u potpunosti razvijenu sposobnost

proporcionalnog rasuđivanja.

24

Zadatak 3.

U jednostavnom strujnom krugu otpornik je spojen s izvorom (baterijom). Kako će se

promijeniti struja u tom strujnom krugu ako napon izvora smanjimo pet puta, a otpor

ostane isti? Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učeničko zaključivanje pomoću funkcionalne ovisnosti

dvije proporcionalne varijable. U zadatku se primjenjuje Ohmov zakon. Pomoću Ohmovog

zakona, 𝐼 =𝑈

𝑅, gdje je I struja, U napon te R otpor u strujnom krugu, treba odrediti koliko

će se promijeniti struja ako se promijeni napon, a otpor ostane isti. Struja je, prema

Ohmovom zakonu, proporcionalna s naponom. Iz toga slijedi da se smanjenjem napona pet

puta, zbog proporcionalnosti, i struja smanjuje pet puta. Dakle, iznos struje nakon

promjene će biti 𝐼𝑛𝑜𝑣𝑜 =𝑈

5

𝑅=

𝑈

5𝑅=

1

5

𝑈

𝑅=

𝐼

5.




osnovne i srednje škole po bodovima. Vidimo da veliki broj učenika osnovnih škola

(59,3%) i srednjih škola (65,6%) dobio nula bodova na ovom zadatku. Kao što vidimo na

Slici 3.21 i prema rezultatima t-testa, nije došlo do napretka učenika srednjih škola u

odnosu na učenike osnovnih škola u ovom zadatku.


25

Učenici koji su postigli 2 boda su se najčešće koristili funkcionalnom ovisnosti

dviju varijabli (Slika 3.22). Od 16 učenika koji su u potpunosti riješili ovaj zadatak, njih 12


Slika 3.22: Primjer strategije funkcionalne ovisnosti za 2 boda u 3. zadatku

Za navedene učenike možemo reći da su u ovom zadatku uočili na koji način

promjena jedne veličine utječe na promjenu druge veličine, odnosno da su prepoznali

proporcionalne veličine i odredili njihovu ovisnost.

Troje učenika (18,8%) se koristilo strategijom konkretnog primjera (Slika 3.23).

Učenici su došli do točnog rješenja uspoređujući brojčane vrijednosti. Za navedene učenike

možemo reći da, iako su došli do točnog rješenja, ne prepoznaju proporcionalne veličine i

njihovu ovisnost. Oni su još uvijek konkretni mislioci i s konkretnim brojevima mogu

računati i zaključivati, ali još nisu dosegli fazu formalnih mislioca u kojoj bi mogli

apstraktnije misliti, prepoznati proporcionalnost i zaključivati pomoću funkcionalne

ovisnosti.

26

Slika 3.23: Primjer strategije korištenja konkretnog primjera za 2 boda u 3. zadatku

Jedan učenik se koristio strategijom omjera dviju struja, odnosno učenik je računao

vrijednost omjera (Slika 3.24). I za ovog učenika možemo reći da, iako je računom došao

do točnog rješenja, izravno ne prepoznaje proporcionalne veličine i njihovu ovisnost.

Slika 3.24: Primjer strategije omjera za 2 boda u 3. zadatku


funkcionalne ovisnosti, ali nisu došli do točnog rješenja već su samo kvalitativno

razmišljali (Slika 3.25).

27

Slika 3.25: Primjer kvalitativnog razmišljanja za 1 bod u 3. zadatku

Za navedene učenike, zbog kvalitativnog načina razmišljanja, ne možemo tvrditi da

razlikuju multiplikativnu ovisnost, koja vrijedi za proporcionalne veličine, od aditivne

ovisnosti veličina.

4 učenika (9,3%), koji su postigli jedan bod, se koristilo konkretnim primjerima

kod rješavanja zadatka (Slika 3.26). Međutim, navedeni učenici su naveli da se struja

smanji za brojčanu vrijednost koju su oni dobili što pokazuje da učenici još nisu razvili

sposobnost korištenja funkcionalne ovisnosti varijabli, već da se služe isključivo brojčanim

vrijednostima, koje ne znaju kasnije interpretirati kao ovisnost varijabli.

Slika 3.26: Primjer strategije korištenja konkretnog primjera za 1 bod u 3. zadatku

19 učenika (44,2%), koji su postigli jedan bod, nije kategorizirano. Većinom su to

učenici koji su došli do zaključka da se struja smanjuje, ali bez obrazloženja ne možemo

razaznati kojom su se strategijom koristili (Slika 3.27). Za ovu skupinu učenika ne

možemo odrediti mogu li prepoznati proporcionalne veličine i njihovu ovisnost.

28


Jedna učenica je koristeći aditivnu vezu postavila formulu za Ohmov zakon došla

do točnog rješenja (Slika 3.28). Za navedenu učenicu možemo reći da nije usvojila

značajke multiplikativne veze te da svojstva multiplikativne veze pripisuje aditivnoj vezi.


Od 96 učenika koji nisu postigli niti jedan bod, njih 84 (87,5%) nije ništa napisalo u

zadatku. Ti učenici se vjerojatno nisu sjetili Ohmovog zakona. To je prilično poražavajuće

budući da su Ohmov zakon radili u toj školskoj godini (u 8. razredu osnovne škole i 2.

razredu srednje škole). 7 učenika (7,3%) nije kategorizirano. Navedeni učenici su najčešće

zapisali promjenu napona. 5 učenika (5,2%) se koristilo strategijom funkcionalne

ovisnosti, ali su došli do krivog zaključka (Slika 3.29 i Slika 3.30).

29

Slika 3.29: Primjer strategije funkcionalne ovisnosti za 0 bodova u 3. zadatku

Slika 3.30: Primjer strategije funkcionalne ovisnosti za 0 bodova u 3. zadatku



30


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda

funkcionalna ovisnost 6 6

konkretan primjer 1 2

omjer 0 1

ukupno 7 9

1 bod

funkcionalna ovisnost/

kvalitativno

razmišljanje

13 6



ukupno 30 13

0 boda


pogrešno zaključivanje 3 2


ukupno 7 5


Iz dobivenih odgovora možemo zaključiti da učenici imaju problema s

prepoznavanjem i razumijevanjem proporcionalnih veličina i njihovim ovisnostima.

Samim time, možemo reći da učenici nisu u potpunosti usvojili multiplikativnu vezu,

odnosno da nisu usvojili proporcionalno rasuđivanje. Vjerojatno dobar dio učenika koji

nije ništa odgovorio na ovo pitanje ne zna Ohmov zakon. Bilo bi zanimljivo vidjeti kako bi

oni odgovorili da su imali napisan Ohmov zakon u zadatku.

Zadatak 4.

Dječak mase 20 kg sjedi na udaljenosti 2 m od oslonca klackalice. Gdje treba sjediti otac

mase 80 kg da budu u ravnoteži?

Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učeničko razumijevanje obrnuto proporcionalnih

veličina te korištenje svojstava obrnuto proporcionalnih veličina. U zadatku se pojavljuju

31

dvije obrnuto proporcionalne veličine, masa i udaljenost. Budući da je masa oca 4 puta

veća od mase dječaka, koristeći svojstva obrnute proporcionalnosti, slijedi da je udaljenost

oca od oslonca klackalice 4 puta manja od udaljenosti dječaka. Udaljenost oca od oslonca

klackalice je tada 2 m : 4 = 0,5 m.


srednjih škola (38 ± 48)% bodova. Razlika između učenika osnovne i srednje škole je


osnovne i srednje škole po bodovima. Kao što vidimo na Slici 3.31 i prema rezultatima t-

testa, možemo reći da je došlo do napretka učenika srednjih škola u odnosu na učenike

osnovnih škola.


Od 37 učenika, koji su postigli dva boda na ovome zadatku, njih 29 (78,4%) je

koristilo formulu kod rješavanja ovog zadatka (Slika 3.32). Učenici su prepoznali

klackalicu kao primjer poluge, a uvjet za ravnotežu poluge je da zbroj momenata sile bude

jednak nuli, odnosno, u ovome zadatku vrijedi zakon poluge: Fdječak ∙ kdječak = Fotac ∙ kotac,

gdje su F sile koje djeluju na klackalicu, a k krakovi tih sila (udaljenosti hvatišta sila od

oslonca). Za navedene učenike, iako su došli do točnog rješenja, ne znamo prepoznaju li

32

obrnuto proporcionalne veličine i njihovu ovisnost. Učenici pokazuju sklonost korištenju

formula, umjesto prepoznavanju funkcionalne ovisnosti dviju veličina.


3 učenika (8,1%) su prepoznala obrnuto proporcionalne veličine te su pomoću

njihove ovisnosti odredili rješenje zadatka (Slika 3.33).

Slika 3.33: Primjer korištenja obrnuto proporcionalnih veličina za 2 boda u 4. zadatku

3 učenika (8,1%) su također prepoznala obrnuto proporcionalne veličine te su

zadatak riješili postavljajući razmjere koristeći metodu strelica (Slika 3.34).

33

Slika 4.34: Primjer korištenja metoda strelica za 2 boda u 4. zadatku

Za navedenih 6 učenika možemo reći da prepoznaju obrnuto proporcionalne

veličine i zaključuju pomoću funkcionalnog zaključivanja.

Dvoje učenika (5,4%) nije kategorizirano jer su učenici ponudili točno rješenje, ali

bez obrazloženja pa ne možemo razaznati kojom su se strategijom koristili (Slika 3.35).

Slika 3.35: Primjer nekategoriziranog odgovora za 2 boda u 4. zadatku

Od 17 učenika koji su postigli jedan bod na ovome zadatku, njih 11 (64,7%) nije

kategorizirano jer su učenici ponudili točan odgovor, ali bez obrazloženja ne možemo

razaznati kojom su se strategijom koristili. Troje učenika (17,6%) je u rješavanju zadatka

je koristilo zakon poluge, ali je pogriješilo u računu (Slika 3.36).

34

Slika 3.36: Primjer korištenja formule za 1 bod u 4. zadatku

Troje učenika (17,6%), koji su postigli jedan bod na ovom zadatku, prepoznali su

ovisnost veličina, ali pomoću kvalitativnog razmišljanja (Slika 3.37). Učenici su ispravno

zaključili da otac treba sjediti bliže osloncu od dječaka, ali nisu zaključili na kojoj

udaljenosti pa možemo reći da nemaju u potpunosti razvijenu sposobnost prepoznavanja

obrnuto proporcionalnih veličina te sposobnost zaključivanja pomoću funkcionalne

ovisnosti.

Slika 3.37: Primjer kvalitativnog zaključivanja za 1 bod u 4. zadatku


nije ništa napisalo. 23 učenika (22,8%) nije kategorizirano jer iz njihovih odgovora ne

možemo razaznati kojim su se strategijama koristili. Navedeni učenici su ponudili krivi

35

odgovor bez obrazloženja ili su samo prepisali podatke. 17 učenika (16,8%) su koristili

razmjere kod rješavanja zadatka, ali učenici su razmjere postavili kao da se radi o

proporcionalnim veličinama (Slika 3.38).

Slika 3.38: Primjer strategije korištenja razmjera za 0 bodova u 4. zadatku

20 učenika (19,8%), koji nisu postigli niti jedan bod, su kod rješavanja ovog

zadatka koristili svojstva proporcionalnosti, tj. koristili su koeficijent proporcionalnosti

(Slika 3.39). Ti učenici prepoznaju multiplikativnu vezu, ali imaju poteškoća u

razlikovanju proporcionalne i obrnuto proporcionalne veze između dvije veličine.

Slika 3.39: Primjer strategije korištenja koeficijenta proporcionalnosti za 0 bodova u 4. zadatku

5 učenika (4,9%), koji nisu postigli niti jedan bod, su koristili strategiju svođenja na


36

Slika 3.40: Primjer strategije svođenja na jedinicu za 0 bodova u 4. zadatku

4 učenika (4,0%), koji nisu postigli niti jedan bod, su koristili metodu strelica kod

postavljanja razmjera, međutim, učenici su razmjere postavili za proporcionalne veličine

(Slika 3.41).

Slika 3.41: Primjer korištenja metode strelica za 0 bodova u 4. zadatku

Iako učenici koji nisu postigli niti jedan bod na ovom zadatku koriste

proporcionalnost u svojem zaključivanju, ne prepoznaju kontekst zadatka te ne ispituju

smislenost konačnog rezultata.



37


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda


obrnuta proporcionalnost 2 1

metoda strelica 3 0


ukupno 14 23

1 bod


kvalitativno razmišljanje 3 0


ukupno 15 2

0 boda

razmjeri 3 14

koeficijent

proporcionalnosti 15 5


metoda strelica 3 1


ukupno 41 28

Tablica 3.5. Raspodjela učenika po korištenim strategijama u 4. zadatku

65,2% učenika osnovnih i srednjih škola nije postiglo niti jedan bod na ovome

zadatku. Zaključujemo da je obrnuta proporcionalnost učenicima teža od direktne

proporcionalnosti. Ovaj zadatak te 1. zadatak su slični, samo što se u 1. zadatku pojavljuju

proporcionalne veličine, a u ovome obrnuto proporcionalne veličine, ali ovaj zadatak je, u

usporedbi s 1. zadatkom, dosta lošije riješen.

Zadatak 5.

Na zemljopisnoj karti 30 cm predstavlja 20 km.

a) Koliko centimetara predstavlja jedan kilometar?

38

b) Zračna udaljenost između Zagreba i Karlovca je 50 km. Kolika je udaljenost tih

gradova na karti?

Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učenička sposobnost razumijevanja multiplikativnih

ovisnosti dviju veličina, odnosno ispituje se prepoznaju li učenici vezu između različitih

veličina. Zadatak se mogao riješiti korištenjem različitih strategija, ali sve strategije

uključuju korištenje multiplikativne veze. Jedna od strategija je, npr., svođenje na jedinicu.

Tekst a) dijela zadatka upućuje na korištenje navedene strategije. Imamo, ako 20 km

predstavljaju 30 cm, tada vrijedi: 20 km − 30 cm ↔ 1 km – 30 cm / 20 =1,5 cm. Dakle 1,5

cm predstavlja 1 km. U b) dijelu zadatka se traži udaljenost gradova na karti, ako je

njihova udaljenost 50 km. Koristeći strategiju svođenja na jedinicu te rješenje a) dijela

zadatka, imamo: 1 km = 1,5 cm, 50 km = 50 ∙ 1,5 cm = 75 cm. Dakle, udaljenost Zagreba i

Karlovca na karti je jednaka 75 cm.




osnovne i srednje škole po bodovima.


39

Od 73 učenika, koji su postigli 2 boda na ovom zadatku, njih 54 (74,0%) se

koristilo strategijom svođenja na jedinicu (Slika 3.43).


13 učenika (17,8%), koji su postigli 2 boda, su se koristili strategijom korištenja

razmjera u računanju nepoznate veličine (Slika 3.44).


6 učenika (8,2%) se također koristilo strategijom razmjera, ali su razmjere postavili

pomoću metode strelica (Slika 3.45).

40

Slika 3.45: Primjer korištenja metode strelica za 2 boda u 5. zadatku

Za navedene učenike možemo reći da su ovladali prepoznavanje i korištenje

multiplikativne veze kao ovisnosti dviju promatranih veličina.

Od 30 učenika, koji su postigli jedan bod, njih 19 (63,3%) nije kategorizirano,

odnosno učenici su napisali točan odgovor, ali bez obrazloženja pa ne možemo razaznati

kojom su se strategijom koristili. Učenici su jedan bod dobivali i ako su samo na jedan dio

zadatka ponudili točan odgovor s obrazloženjem. 7 učenika (23,3%) se u jednom dijelu

zadatka koristilo strategijom razmjera (Slika 3.46).

Slika 3.46: Primjer strategije razmjera za 1 bod u 5. zadatku

4 učenika (13,3%), koji su postigli jedan bod, se koristilo strategijom svođenja na

jedinicu u dijelu zadatka koji je točno odgovoren (Slika 3.47).

41

Slika 3.47: Primjer strategije svođenja na jedinicu za 1 bod u 5. zadatku

Od 52 učenika, koji nisu postigli niti jedan bod na ovom zadatku, njih 24 (46,2%)

nije ništa napisalo. 16 učenika (30,8%) nije kategorizirano. To su učenici koji su započeli

zadatak te ga nisu završili te učenici koji su samo ponudili netočne odgovore bez

obrazloženja (Slika 3.48).


10 učenika (19,2%), koji nisu postigli niti jedan bod, se koristilo strategijom

svođenja na jedinicu (Slika 3.49). Navedeni učenici su pogriješili kod izražavanja

vrijednosti 1 km u a) dijelu zadatka te su tu vrijednost upotrijebili i u b) dijelu zadatka.

Učenici prepoznaju multiplikativnu vezu, ali nisu ovladali računanjem nepoznate veličine.

42

Slika 3.49: Primjer korištenja strategije svođenja na jedinicu za 0 bodova u 5. zadatku

2 učenika (3,8%), koji nisu postigli niti jedan bod, se koristilo strategijom razmjera

(Slika 3.50). Učenici su dobro postavili razmjere, ali su pogriješili kod računanja

nepoznate veličine. Možemo reći da navedeni učenici prepoznaju situacije u kojima mogu

postaviti i koristiti razmjere, međutim učenici nisu ovladali tehnikom računa linearne

jednadžbe s jednom nepoznanicom.

Slika 3.50: Primjer strategije razmjera za 0 bodova u 5. zadatku



43


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda


razmjeri 1 12

metoda strelica 5 1

ukupno 38 35

1 bod

razmjeri 3 4



ukupno 16 14

0 boda


razmjeri 1 1


ukupno 19 9


Iz dobivenih odgovora možemo zaključiti da većina učenika nema problema s

prepoznavanjem multiplikativne veze te njenim korištenjem. Možemo reći da većina

učenika u ovom zadatku razumije ovisnost dviju veličina koje promatramo. Učenici koji

nisu postigli bodove na ovom zadatku su najviše problema imali s izražavanjem nepoznate

varijable, odnosno s računskim dijelom zadatka, a ne s prepoznavanjem i korištenjem

multiplikativne veze. Navedeni učenici su, uglavnom, prepoznali da se radi o

multiplikativnoj vezi te su postavili razmjere, ali kod računanja nisu ispravno izrazili

nepoznatu, traženu veličinu.

Zadatak 6.

Gosp. Niski i gosp. Visoki nacrtani su na papiru. Učenik mjeri njihove visine. Gosp. Niski

je visok kao šest spajalica. Ako se mjeri u gumbima, gospodin Niski je visok kao 4 gumba,

a gosp. Visoki kao 6 gumba. Kolika je visina gospodina Visokog mjerena u spajalicama?

Obrazloži odgovor.

44

Ovim zadatkom ispituje se razlikuju li učenici multiplikativnu od aditivne veze.

Razumijevanje i razlikovanje multiplikativne od aditivne veze označava početak razvoja

proporcionalnog rasuđivanja. Zadatak se mogao riješiti pomoću različitih strategija, ali sve

uključuju multiplikativnu vezu. Jedna od strategija je, npr. svođenje na jedinicu. Ovom

strategijom pomoću visine g. Niskog dolazimo do relacije da je visina 2 gumba jednaka

visini 3 spajalice, odnosno da je visina 1 gumba jednaka visini 1,5 spajalice. Budući da je

visina g. Visokog kao 6 gumba, tada je visina u spajalicama jednaka:

6 𝑔𝑢𝑚𝑏𝑎 = 6 ∙ 1 𝑔𝑢𝑚𝑏 → 6 ∙ 1,5 𝑠𝑝𝑎𝑗𝑎𝑙𝑖𝑐𝑎 = 9 𝑠𝑝𝑎𝑗𝑎𝑙𝑖𝑐𝑎.




osnovne i srednje škole po bodovima.

45


Od 92 učenika koji su na ovome zadatku postigli 2 boda, jedan učenik nije

kategoriziran, tj. iz odgovora ne možemo razaznati kojom se strategijom učenik koristio.

47 učenika (51,1%) se koristilo strategijom svođenja na jedinicu (Slika 3.52).


38 učenika (41,3%), koji su postigli 2 boda, su se koristili strategijom korištenja

razmjera, odnosno jednakosti omjera. Učenici su u omjer postavili visine g.Niskog i

g.Visokog te izrazili nepoznatu veličinu (Slika 3.53).

46

Slika 3.53: Primjer strategije korištenja razmjera za 2 boda u 6. zadatku

6 učenika (6,5%), koji su postigli 2 boda, se također koristilo strategijom razmjera,

ali učenici su razmjere postavili pomoću metode strelica (Slika 3.54).

Slika 3.54: Primjer metode strelica za 2 boda u 6. zadatku

Za navedene učenike možemo reći da razumiju kovarijaciju dviju veličina koje se

mijenjaju u ovisnosti jedna o drugoj te da su u stanju uočiti na koji način promjena jedne

veličine utječe na promjenu druge veličine.

47

Od 11 učenika, koji su postigli jedan bod, svih 11 nije kategorizirano. Učenici su

napisali samo točan odgovor bez obrazloženja pa ne možemo razaznati kojom su se

strategijom koristili.

Od 52 učenika, koji nisu postigli niti jedan bod, njih 25 (48,1%) nije ništa napisalo.

6 učenika (11,5%) nije kategorizirano. Iz njihovih odgovora ne možemo razaznati kojom

su se strategijom koristili da bi došli do odgovora. 21 učenika (40,4%) je koristilo aditivnu

vezu. Budući da je razlika između gumba i spajalica kod gosp.Niskog jednaka 2, učenici su

odredili visinu gosp.Visokog u spajalicama tako da su visini od 6 gumba dodali 2 te su

tako dobili 8 spajalica (Slika 3.55). Za navedene učenike možemo reći da nisu usvojili

svojstva multiplikativne veze te nisu u stanju uočiti kako veličine međusobno ovise.

Slika 3.55: Primjer aditivne metode za 0 bodova u 6. zadatku



48


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda


razmjeri 11 27

metoda strelica 5 1

nekategoriziran 0 1

ukupno 48 44

1 bod nekategorizirano 8 3

ukupno 8 3

0 boda

aditivna veza 17 4


ukupno 22 5

Tablica 3.7 Raspodjela učenika po korištenim strategijama u 6. zadatku

Iz rezultata t-testa, Slike 3.51 i Tablice 3.7. uočavamo da nema značajne razlike

između učenika osnovnih i srednjih škola u rješavanju ovog zadatka. Iz dobivenih

odgovora možemo zaključiti da većina učenika nema problema s razlikovanjem

multiplikativne veze od aditivne veze. Možemo reći da većina učenika razumije omjer koji

predstavlja vezu veličina od samih veličina koje se uspoređuju. Učenici koji nisu postigli

bodove na ovom zadatku još nisu na tome stupnju razumijevanja proporcionalnog

rasuđivanja između ovisnih veličina.

Zadatak 7.

Kako će se promijeniti struja u jednostavnom strujnom krugu ako otpor povećamo tri puta,

a napon izvora ostane isti? Obrazloži odgovor.


dvije obrnuto proporcionalne varijable. U zadatku se primjenjuje Ohmov zakon. Pomoću

Ohmovog zakona, 𝐼 =𝑈

𝑅, gdje je I struja, U napon te R otpor u strujnom krugu, treba

odrediti koliko će se promijeniti struja ako se promijeni otpor, a napon ostane isti. Struja je,

prema Ohmovom zakonu, obrnuto proporcionalna s otporom. Iz toga slijedi da se

povećanjem otpora tri puta, zbog obrnute proporcionalnosti, struja smanjuje tri puta.

Dakle, iznos struje nakon promjene će biti 𝐼𝑛𝑜𝑣𝑜 =𝑈

3𝑅=

1

3

𝑈

𝑅=

𝐼

3.

49







odnosu na učenike osnovnih škola.


Učenici koji su postigli 2 boda su se najčešće koristili funkcionalnom ovisnosti

dviju varijabli (Slika 3.57). Od 22 učenika koji su u potpunosti riješili ovaj zadatak, njih 19


50


Za navedene učenike možemo reći da su u stanju uočiti na koji način promjena

jedne veličine utječe na promjenu druge veličine, odnosno da mogu prepoznati obrnuto

proporcionalne veličine i s lakoćom odrediti njihovu ovisnost.

Dvoje učenika (9,1%) se koristilo strategijom konkretnog primjera (Slika 3.58).

Učenici su došli do točnog rješenja uspoređujući brojčane vrijednosti. Za navedene učenike

možemo reći da, iako su došli do točnog rješenja, ne prepoznaju obrnuto proporcionalne

veličine i njihovu ovisnost. Oni su još uvijek konkretni mislioci i s konkretnim brojevima

mogu računati i zaključivati, ali još nisu dosegli fazu formalnih mislioca u kojoj bi mogli

prepoznati proporcionalnost i obrnutu proporcionalnost te zaključivati pomoću

funkcionalne ovisnosti.


Jedan učenik se koristio strategijom omjera dviju struja, odnosno učenik je računao

vrijednost omjera (Slika 3.59). I za ovog učenika možemo reći da, iako je računom došao

51

do točnog rješenja, izravno ne prepoznaje obrnuto proporcionalne veličine i njihovu

ovisnost.



funkcionalne ovisnosti, ali nisu došli do točnog rješenja već su kvalitativno razmišljali

(Slika 3.60).



razlikuju multiplikativnu ovisnost, koja vrijedi za proporcionalne, odnosno, obrnuto

proporcionalne veličine, od aditivne ovisnosti veličina.

Ostalih 12 učenika (36,4%) nije kategorizirano. To su učenici koji su došli do

zaključka da se struja smanjuje, ali nisu napisali kako su došli do zaključka pa ne možemo

razaznati kojom su se strategijom koristili (Slika 3.61). Za ovu skupinu učenika ne

možemo odrediti prepoznaju li obrnuto proporcionalne veličine, odnosno njihovu ovisnost.

52


Jedna učenica je, kao i u 3.zadatku, koristeći aditivnu vezu postavila formulu za

Ohmov zakon došla do točnog rješenja (Slika 3.62). Za navedenu učenicu možemo reći da

nije usvojila značajke multiplikativne veze te da svojstva multiplikativne veze pripisuje

aditivnoj vezi.


Od 100 učenika koji nisu postigli niti jedan bod, njih 87 (87%) nije ništa napisalo u

zadatku. Kao i u 3. zadatku, moguće je da se ti učenici nisu sjetili Ohmovog zakona što je

razočaravajuće budući da se Ohmov zakon obrađuje i u 8. razredu osnovne škole i u 2.

razredu srednje škole. Ostalih 13 učenika (13%) nije kategorizirano. Navedeni učenici ili

nisu prepoznali funkcionalnu ovisnost, pa su zaključili da se struja neće mijenjati ili su

zapisali krivi zaključak bez obrazloženja (Slika 3.63 i Slika 3.64).

53






broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda

funkcionalna ovisnost 12 7


omjer 0 1

ukupno 13 9

1 bod


kvalitativno razmišljanje 16 5


ukupno 24 9

0 boda nekategorizirano 10 3

ukupno 10 3

Tablica 3.8 Raspodjela učenika po korištenim strategijama u 7.zadatku

54

Iz dobivenih odgovora možemo zaključiti da mnogi učenici imaju problema s

prepoznavanjem i razumijevanjem obrnuto proporcionalnih veličina i njihovim

ovisnostima. To pokazuje da učenici nisu u potpunosti usvojili multiplikativnu vezu,

odnosno da nisu usvojili proporcionalno rasuđivanje, već da se i dalje oslanjaju na

aditivnu vezu i njena svojstva pa im je ovaj zadatak bio težak.

Zadatak 8.

Bijelo zlato je legura zlata i nikla u omjeru 9:1. Kolika je masa prstena od bijelog zlata

ako je u njemu 1,1 g nikla? Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učeničko razumijevanje omjera, određivanje vrijednosti

omjera te postavljanje razmjera kako bi se riješio problem. Označimo masu bijelog zlata s

M, masu zlata s m(Au) te masu nikla s m(Ni). Veličina koju tražimo je M, međutim da se

odredi masa bijelog zlata prvo se mora odrediti masa zlata. Budući da su zlato i nikal u

bijelom zlatu u omjeru 9 : 1, u tom omjeru se odnose i njihove mase, odnosno, ako

prikažemo navedene veličine preko razmjera, imamo m(Au) : m(Ni) = 9 : 1. Rješavanjem

razmjera, dobivamo da je m(Au) = 9 ∙ m(Ni) = 9 ∙ 1,1 g = 9,9 g. Dakle masa zlata u leguri

je 9,9 g. Tražena masa bijelog zlata je jednaka zbroju masa u leguri, odnosno, M = m(Au)

+ m(Ni) = 9,9 g + 1,1 g = 11 g.




osnovne i srednje škole po bodovima. Vidimo da je više od polovine učenika osnovnih

škola (56%) na ovom zadatku dobilo nula bodova .

55


Od 48 učenika, koji su postigli 2 boda na ovom zadatku, njih 27 (56,2%) se

koristilo strategijom razmjera (Slika 3.66).


Ostali učenici (43,8%), koji su postigli 2 boda na ovom zadatku, su se koristili

strategijom određivanja vrijednosti omjera, odnosno koeficijenta proporcionalnosti (Slika

3.67).

56

Slika 3.67: Primjer strategije određivanja vrijednosti omjera za 2 boda u 8. zadatku

Za navedene učenike možemo reći da vladaju omjerima te prepoznaju svojstva

omjera kao multiplikativne veze veličina i pomoću njih računaju vrijednost omjera.

Također, učenici su ovladali postavljanjem razmjera i određivanjem nepoznate vrijednosti

iz razmjera.

Od 33 učenika koji su postigli jedan bod na ovome zadatku, njih 6 (18,2%) nije

kategorizirano. To su učenici koji su napisali točan odgovor, ali bez obrazloženja pa ne

možemo razaznati kojom su se strategijom koristili tijekom rješavanja zadatka. Učenici

koji su postigli jedan bod na ovome zadatku su većinom točno odredili masu zlata u leguri,

ali nisu odredili masu legure, tj. bijelog zlata, ili su pogreškom u zbrajanju došli do krivog

rezultata.

14 učenika (42,4%), koji su postigli jedan bod, se koristilo strategijom razmjera

(Slika 3.68).

Slika 3.68: Primjer strategije razmjera za 1 bod u 8. zadatku

57

13 učenika (39,4%), koji su postigli jedan bod, se koristilo strategijom određivanja

vrijednosti omjera (Slika 3.69).

Slika 3.69: Primjer strategije određivanja vrijednosti omjera za 1 bod u 8. zadatku

Za učenike, koji su postigli jedan bod na ovome zadatku, možemo reći da su

ovladali korištenjem omjera i postavljanjem razmjera te računanjem nepoznate vrijednosti

iz razmjera. Međutim, učenici su zaboravili jedan korak do točnog rješenja, zbrajanje

dobivenih vrijednosti. Moguće je da su učenici predvidjeli da se radi o leguri ili koja masa

je tražena u zadatku.

Od 74 učenika, koji nisu postigli nijedan bod u ovome zadatku, njih 52 (70,3%) nije

ništa napisalo. 10 učenika (13,5%) nije kategorizirano. To su učenici koji su prepisali

omjer ili učenici koji su samo ponudili krivo rješenje, bez obrazloženja. 7 učenika (9,5%)

se koristilo strategijom određivanja vrijednosti omjera, odnosno koeficijenta

proporcionalnosti, ali nisu odredili točnu vrijednost omjera (Slika 3.70).

Slika 3.70: Primjer strategije određivanja vrijednosti omjera za 0 bodova u 8. zadatku

58

5 učenika (6,7%), koji nisu postigli nijedan bod, su se koristili strategijom razmjera.

Učenici su postavili razmjer, ali nisu odredili nepoznatu veličinu te zatim došli do

konačnog rješenja (Slika 3.71).

Slika 3.71: Primjer strategije razmjera za 0 bodova u 8. zadatku

Za učenike, koji nisu postigli niti jedan bod u ovome zadatku, možemo reći da nisu

ovladali omjerima, tj. određivanjem vrijednosti omjera i postavljanjem razmjera te

određivanjem nepoznate veličine u razmjeru.



59


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda

razmjer 8 19

određivanje

vrijednosti omjera 16 5

ukupno 24 24

1 bod

razmjer 4 10

određivanje



ukupno 16 17

0 boda

određivanje


razmjer 3 2


ukupno 12 10

Tablica 3.9. Raspodjela učenika po korištenim strategijama u 8. zadatku

Iz rezultata t-testa i Slike 3.65 uočavamo da postoji razlike između učenika

osnovnih i srednjih škola u rješavanju ovog zadatka. Učenici srednjih škola su bolje

savladali razumijevanje omjera i postavljanje ekvivalentnih omjera, tj. razmjera. Zbog

toga možemo reći da učenici srednjih škola pokazuju napredak u proporcionalnom

rasuđivanju, čija je glavna stavka razumijevanje omjera, odnosno multiplikativne veze u

omjeru.

Zadatak 9.

Ana mjeri kako ovisi duljina elastične opruge o sili koja na nju djeluje. Duljina opruge

kada na nju ne djeluje sila je 5 cm. Ana je uočila da produljenje elastične opruge ∆𝑙 ovisi

proporcionalno o sili 𝐹 koja na nju djeluje. Koji od navedenih grafova prikazuje ovisnost

produljenja elastične opruge o sili koja na nju djeluje?

60

a) b) c)

d) Sva tri grafa prikazuju ovisnost produljenja elastične opruge o sili koja na nju djeluje

Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učeničko razumijevanje grafičkog prikaza

proporcionalnih veličina. Grafički prikaz proporcionalnih veličina u koordinatnom sustavu

je pravac koji prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava. U zadatku promatramo grafički

prikaz dvije proporcionalne veličine, produljenje elastične opruge ∆l i sila F koja djeluje na

oprugu. Točan odgovor je a) te je obrazloženje navedeno u tekstu zadatka, tj. navedene

veličine su proporcionalne.







odnosu na učenike osnovnih škola.

61


Učenici koji su postigli 2 boda su najčešće koristili činjenicu da graf

proporcionalnih veličina prolazi kroz ishodište. (Slika 3.73 i Slika 3.74). Svih 12 učenika

koji su postigli 2 boda na ovom zadatku su se koristili ovom strategijom. Za navedene

učenike možemo reći da su ovladali svojstvima proporcionalnih veličina, odnosno, da

razumiju kako izgleda graf dviju proporcionalnih veličina. Slika 3.74 pokazuje da

učeničke poteškoće s izražavanjem proporcionalnosti. Iako je učenik prepoznao

proporcionalnu ovisnost i zna kako izgleda graf ovisnosti dviju proporcionalnih veličina, u

opisu koristi aditivnu terminologiju („za koliko povećamo silu, za toliko će se opruga

produljiti“). U nastavi bi trebalo razvijati i ispravno korištenje terminologije.

62

Slika 3.73: Primjer strategije grafičkog prikaza proporcionalnih veličina za 2 boda u 9. zadatku

Slika 3.74: Primjer strategije grafičkog prikaza proporcionalnih veličina za 2 boda u 9. zadatku

Od 14 učenika koji su postigli jedan bod na ovome zadatku su svi zaokružili točan

odgovor, a), ali nisu obrazložili svoj odgovor pa ne možemo razaznati kojom su se

strategijom koristili.

63

Od 129 učenika, koji nisu postigli nijedan bod, njih 48 (37,2%) nije ništa

odgovorilo. 71 učenik (55,0%) su zaokružili da je točan odgovor b). U slučajevima kada su

učenici obrazložili svoj odgovor, obrazloženje je bilo da je duljina opruge 5 cm kada na nju

ne djeluje sila (Slika 3.75).

Slika 3.75: Primjer iščitavanja odgovora iz teksta zadatka za 0 bodova u 9. zadatku

Zaključujemo da su učenici promatrali koji je od ponuđenih grafova, grafički prikaz

ovisnosti duljine opruge o sili koja djeluje na nju, a ne traženi grafički prikaz ovisnosti

produljenja opruge o sili koja djeluje na oprugu. Mogući razlozi tomu su da učenici ne

razlikuju pojam produljenja i duljine, a samim time ne prepoznaju grafički prikaz

proporcionalnih veličina, jer je u tekstu zadatka navedeno da su veličine proporcionalne

(Slika 3.76). Također, moguće je da su učenici predvidjeli što se traži u zadatku jer nisu

dobro pročitali tekst zadatka.

64

Slika 3.76: Primjer iščitavanja odgovora iz teksta zadatka za 0 bodova u 9. zadatku

Od učenika koji nisu postigli nijedan bod, njih 6 (4,7%) je zaokružilo da je točan

odgovor d). U slučajevima kada su učenici obrazložili svoj odabir, obrazloženje je bilo da

se duljine opruga i sile koje djeluju na njih razlikuju (Slika 3.77). Zaključujemo da

navedeni učenici nemaju sposobnost proporcionalnog rasuđivanja, odnosno ne uočavaju

multiplikativnu vezu koja je temelj proporcionalnosti. Samim time, učenici ne prepoznaju

svojstva grafičkog prikaza proporcionalnih veličina.

65

Slika 3.77: Primjer obrazloženja d) odgovora za 0 bodova u 9. zadatku

4 učenika (3,1%) je zaokružilo da je točan odgovor c). Obrazloženja za navedeni

odgovor su bila da je potrebno djelovanje sile da bi se dogodila promjena duljine (Slika

3.78). Zaključujemo da navedeni učenici ne prepoznaju multiplikativna svojstva

proporcionalnih veličina te zbog toga i ne prepoznaju njihov grafički prikaz.

Slika 3.78: Primjer obrazloženja c) odgovora za 0 bodova u 9. zadatku

66




broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda

grafički prikaz

proporcionalnih veličina 8 4

ukupno 8 4

1 bod nekategorizirano 14 3

ukupno 14 3

0 boda

zaokruženo b) 39 32

zaokruženo c) 1 3

zaokruženo d) 5 1

ukupno 45 36


Iz rezultata t-testa, Slike 3.72 i Tablice 3.10. uočavamo da nema značajne razlike

između učenika osnovnih i srednjih škola u rješavanju ovog zadatka. Ovo je pokus koji se

radi na nastavi fizike te se rezultati pokusa obično prikazuju i pomoću grafičkog prikaza,

tako da smo očekivali da će riješenost ovog zadatka biti veća. Iz dobivenih odgovora

možemo zaključiti da većina učenika ima poteškoća s prepoznavanjem veličina koje su

proporcionalne u ovom primjeru, a samim time i grafičkog prikaza tih veličina. Učenike je

u ovome zadatku najčešće zbunjivalo početno produljenje opruge, tj. razlika između

duljine i produljenja opruge.

Zadatak 10.

Metalni predmet ima masu 800 g i volumen 200 cm3.

a) Koje je značenje omjera 800 𝑔

200 𝑐𝑚3? Obrazloži odgovor.

b) Koliki je volumen 500 g tog metala?

Ovim zadatkom ispituje se učeničko tumačenje brojeva dobivenih dijeljenjem te

korištenje jediničnih „paketića“, odnosno razumijevanje strategije svođenja na jedinicu.

67

Tumačenjem brojeva dobivenih dijeljenjem, dobivamo da je značenje omjera 800𝑔

200𝑐𝑚3 da

200 cm3 metalnog predmeta ima masu 800 g, odnosno da 800 g metalnog predmeta

zauzima volumen 200 cm3. Pomoću strategije svođenja na jedinicu navedeni omjer

možemo preobraziti u 800𝑔|:8

200𝑐𝑚3|:8=

100𝑔

25𝑐𝑚3. To znači da 100 g zauzima volumen od 25 cm3.

Ako želimo saznati koliki je volumen 500 g tog metala, omjer 100𝑔

25𝑐𝑚3 proširimo, odnosno

svaki član omjera pomnožimo, s 5. Tada dobivamo 100𝑔|∙5

25𝑐𝑚3|∙5=

500𝑔

125𝑐𝑚3, što znači da 500 g

metalnog predmeta zauzima volumen od 125 cm3. Ili se omjer može svesti doslovno na

jedinicu, tj. zaključiti da 1 g zauzima 0.25 cm3, onda 500 g zauzima 500 · 0,25 cm3 = 125

cm3.

Učenici osnovne škole su na ovom zadatku postigli (41 ± 45)% bodova, a učenici



osnovne i srednje škole po bodovima. Slika 3.79 prikazuje da je 50,5% učenika osnovne

škole postiglo nula bodova na zadatku, dok je 54,7% učenika srednje škole postiglo dva

boda na zadatku. Kao što vidimo na Slici 3.79 i prema rezultatima t-testa, da je kod

učenika srednjih škola došlo do napretka u rješavanju ovog zadatka u odnosu na učenike

osnovnih škola.


68

Učenici koji su postigli, maksimalnih, dva boda na zadatku su najčešće (76,9%)

koristili formulu gustoće predmeta (Slika 3.80). Učenici su prepoznali omjer mase i

volumena kao gustoću tvari. Učenici su odredili kolika je gustoća, te pomoću izraza 𝜌 =𝑚

𝑉,

gdje je ρ gustoća tvari, m masa tvari i V volumen tvari, odredili volumen (𝑉 =𝑚

𝜌).


9 učenika (13,8%), koji su postigli dva boda, se uz formulu, odnosno poznavanje

omjera kao gustoće tvari, koristilo i strategijom razmjera (Slika 3.81).


5 učenika (7,7%), koji su dobili dva boda na ovom zadatku, su uz poznavanje

omjera kao gustoće tvari te korištenje formule obrazložili značenje navedenog omjera

(Slika 3.82).

69

Slika 3.82: Primjer tumačenja brojeva dobivenih dijeljenjem za 2 boda u 10. zadatku

Jedan učenik, koji je postigao dva boda na ovom zadatku, je uz korištenje formule

gustoće tvari, koristio i strategiju jediničnih „paketića“ te je zbrajanjem nekoliko različitih

„paketića“, do kojih je došao proširivanjem i kraćenjem omjera, došao do ispravnog

rješenja (Slika 3.83).

Slika 3.83: Primjer strategije jediničnih „paketića“ za 2 boda u 10. zadatku

Za učenike, koji su postigli 2 boda na ovome zadatku, možemo reći da vješto

računski manipuliraju omjerima. Svi navedeni učenici su prepoznali navedeni omjer kao

gustoću tvari. Možemo reći da su navedeni učenici sposobni izračunati kako promjena

jedne veličine ovisi o promjeni druge veličine, te su sposobni izračunati vrijednosti

veličina tako da omjer ostane jednak.

70

25 učenika je na ovome zadatku postiglo jedan bod. Učenici su postigli jedan bod

ako su samo jedan dio zadatka ispravno riješili. 14 učenika (56%) je prepoznalo omjer kao

gustoću tvari, ali kod računanja volumena, učenici su krivo izrazili veličinu ili su uvrstili

krive podatke u omjer (Slika 3.84).

Slika 3.84: Primjer korištenja formule za 1 bod u 10. zadatku

7 učenika (28%), koji su postigli jedan bod, su obrazložili omjer tumačenjem

brojeva dobivenih dijeljenjem (Slika 3.85).

Slika 3.85: Primjer tumačenja brojeva dobivenih dijeljenjem za 1 bod u 10. zadatku

Dvoje učenika (8%) se koristilo strategijom razmjera u b) dijelu zadatka, ali u a)

dijelu zadatka nisu ponudili ispravan odgovor i obrazloženje. Jedan učenik je ponudio

točne odgovore, ali bez obrazloženja pa ne možemo razaznati kojom se strategijom koristio

te zbog toga nije kategoriziran.

71

Jedan učenik se koristio strategijom jediničnih „paketića“, odnosno strategijom

svođenja na jedinicu (Slika 3.86). Navedeni učenik barata računskim manipulacijama

omjera, ali učenik nije obrazložio značenje omjera već je omjer preobrazio u jedinični

„paketić“.

Slika 3.86: Primjer strategije jediničnih „paketića“ za 1 bod u 10. zadatku


nije ništa napisalo. Ostatak učenika nije kategoriziran jer su ponudili odgovore bez

obrazloženja pa ne možemo razaznati kojom su se strategijom koristili (Slika 3.87).




72


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda


razmjeri 3 6

tumačenje brojeva

dobivenih dijeljenjem 3 2

jedinični „paketići“ 1 0

ukupno 30 35

1 bod


tumačenje brojeva

dobivenih dijeljenjem 6 1

razmjeri 0 2

jedinični „paketići“ 1 0


ukupno 15 10

0 boda nekategorizirano 4 2

ukupno 4 2


Veliki broj učenika su omjer prepoznali kao gustoću tvari te su u daljnjem računu

koristili formulu gustoće tvari. Za navedene učenike možemo reći da s konkretnim

brojevima mogu računati i zaključivati, ali još nisu dosegli fazu proporcionalnog

rasuđivanja u kojoj bi mogli apstraktnije misliti i zaključivati o vrijednostima veličina

pomoću funkcionalne ovisnosti.

Zadatak 11.

Kako će se promijeniti struja u jednostavnom strujnom krugu ako napon izvora povećamo

tri puta, a otpor smanjimo dva puta? Obrazloži odgovor.


ako se u izrazu mijenja više varijabli. U zadatku se primjenjuje Ohmov zakon. Pomoću

Ohmovog zakona, 𝐼 =𝑈

𝑅, gdje je I struja, U napon te R otpor u strujnom krugu, treba

73

odrediti koliko će se promijeniti struja ako se promijene i napon i otpor. Struja je, prema

Ohmovom zakonu, proporcionalna s naponom te obrnuto proporcionalna s otporom. Iz

toga slijedi da povećanjem napona tri puta, zbog proporcionalnosti, dolazi i do povećanja

struje tri puta. Isto tako, smanjenjem otpora dva puta, zbog obrnute proporcionalnosti,

dolazi do povećanja struje dva puta. Kako se u ovom primjeru, mijenjaju obje varijable,

iznos struje nakon promjene će biti jednak 𝐼𝑛𝑜𝑣𝑜 =3𝑈

𝑅

2

=6𝑈

𝑅= 6

𝑈

𝑅= 6𝐼, odnosno struja će

se povećati 6 puta, tri puta zbog promjene napona i dva puta zbog promjene otpora, a 3 ∙ 2

= 6

Učenici osnovne škole su na ovom zadatku postigli (16 ± 26)% bodova, a učenici

srednje škole (11 ± 30)% bodova. Razlika između učenika osnovne i srednje škole nije


osnovne i srednje škole po bodovima. Slika 3.88 pokazuje da je vrlo veliki dio učenika

srednje škole (88%) dobio nula bodova na ovom zadatku. Kao što vidimo na Slici 3.88 i

prema rezultatima t-testa, nije došlo do napretka učenika srednje škole u odnosu na učenike

osnovnih škola.


74

Učenici koji su postigli maksimalnih dva boda su se najčešće koristili strategijom

funkcionalne ovisnosti, tj. pomoću proporcionalnosti i obrnute proporcionalnosti varijabli i

poznavanjem Ohmovog zakona su došli do točnog rješenja (Slika 3.89). Od 8 učenika koji

su postigli 2 boda, njih 5 (62,5%) se koristilo navedenom strategijom.


Za navedene učenike možemo reći da su u stanju uočiti na koji način promjena

jedne, a zatim i dvije veličine utječe na promjenu tražene veličine, odnosno da mogu

prepoznati proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine i s lakoćom odrediti njihovu

ovisnost.

Jedan učenik (12,5%) je zadatak riješio pomoću konkretnog primjera (Slika 3.90).

Učenik je došao do točnog rješenja uspoređujući brojčane vrijednosti. Za navedenog

učenika možemo reći da, iako je računom došao do točnog rješenja, ne barata suvereno sa

svojstvima proporcionalnih i obrnuto proporcionalnih veličina i još uvijek je konkretni

mislilac.


75

Dvoje učenika (25%) je zadatak riješilo pomoću strategije određivanja vrijednosti

omjera dviju struja (Slika 3.91). I za ove učenike ne možemo reći razumiju li svojstva

proporcionalnih i obrnuto proporcionalnih veličina jer su do rješenja došli načinom u

kojem ne primjenjuju navedena svojstva.


Učenici koji su postigli jedan bod su se također koristili strategijom funkcionalne

ovisnosti, ali nisu došli do točnog rješenja. 14 učenika (50,0%) je kvalitativno razmišljala

te je samo napisala da se struja poveća zbog proporcionalnosti s naponom i obrnute

proporcionalnosti s otporom (Slika 3.92)



razlikuju multiplikativnu ovisnost, koja vrijedi za proporcionalne veličine, od aditivne

ovisnosti veličina.

76

4 učenika (14,3%) se koristio aditivnom vezom umjesto multiplikativne te je zbog

toga zbrojio povećanja struje uzrokovanom promjenom napona i otpora (Slika 3.93). Tom

strategijom struja se povećala 5 puta (3 puta zbog proporcionalnosti s naponom i 2 puta

zbog obrnute proporcionalnosti s otporom).


10 učenika (35,7%), koji su postigli jedan bod, nisu kategorizirani. Iz njihovih

odgovora se nije moglo razaznati kojom su se strategijom koristili da bi došli do rješenja.

Većinom su to učenici koji su došli do zaključka da se struja poveća, ali bez obrazloženja

ne možemo razaznati kojom su se strategijom koristili. Za ovu skupinu učenika ne možemo

odrediti prepoznaju li proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine te koriste li se

njihovim svojstvima.

Od 119 učenika koji nisu postigli niti jedan bod, njih 97 (81,5%) nije ništa napisalo

u zadatku. 10 učenika (8,4%) nisu kategorizirani jer se iz njihovih odgovora nije moglo

razaznati kojom se strategijom koriste. 12 učenika (10,1%) se koristilo strategijom aditivne

veze pri rješavanju zadatka (Slika 3.94). Učenici su dolazili do rješenja da se struja

povećava 1 put jer se napon povećao 3 puta, a otpor smanjio 2 puta te se tada navedene

promjene oduzimaju. Također, učenici koji su samo napisali da se struja poveća 5 puta, bez

obrazloženja, nisu postigli bodove, a za njih pretpostavljamo da su se koristili aditivnom

vezom. Korištenjem ove strategije uočavamo da učenici ne razlikuju aditivnu i

multiplikativnu vezu, posebice kod izraza „povećava se 1 put“.

77

Slika 3.94: Primjer strategije aditivne veze za 0 bodova u 11. zadatku




broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda funkcionalna ovisnost 1 4

određivanje vrijednosti

omjera

1 1

konkretni primjer 0 1

ukupno 2 6

1 bod kvalitativno razmišljanje,

funkcionalna ovisnost

13 1

aditivna veza 3 1


ukupno 26 2

0 boda

aditivna veza 7 5


ukupno 14 8

Tablica 3.12: Raspodjela učenika po korištenim strategijama u 11.zadatku

62,6% ukupnog broja učenika nije ništa napisalo u zadatku. Jedan od razloga za to

može biti nepoznavanje Ohmovog zakona, unatoč tome što se Ohmov zakon obrađuje i u

78

8. razredu osnovne škole i u 2. razredu srednje škole, zatim jedan od razloga može biti i

nedostatak vremena, ali i izbjegavanje zadatka.

Iz dobivenih odgovora možemo zaključiti da učenici imaju problema s

prepoznavanjem i razumijevanjem proporcionalnih i obrnuto proporcionalnih veličina i

njihovim ovisnostima. Proporcionalno zaključivanje pomoću funkcionalne ovisnosti kada

se mijenja više varijabli je jedna od najtežih sposobnosti vezanih za proporcionalno

rasuđivanje jer uključuje korištenje mulitiplikativnih veza više varijabli. Samim time,

možemo reći da učenici nisu u potpunosti usvojili multiplikativnu vezu, odnosno da nisu

usvojili proporcionalno rasuđivanje, već da se neki od njih i dalje oslanjaju na aditivnu

vezu i njena svojstva te je s time ovaj zadatak bio težak za učenike.

Zadatak 12.

Jelena i Katarina koriste različite karte Hrvatske. Cesta duljine 3 cm na Jeleninoj karti

stvarno je duga 15 km. Cesta duljine 9 cm na Katarininoj karti stvarno je duga 45 km. Tko

koristi veću kartu?

a) Jelena

b) Katarina

c) Obje karte su jednake veličine

d) Nema dovoljno podataka da se odgovori.

Obrazloži odgovor.

Ovim zadatkom ispituje se učenička sposobnost razumijevanja multiplikativnih

ovisnosti dviju veličina, odnosno ispituje se prepoznaju li učenici vezu između različitih

veličina umjesto da uspoređuju vrijednosti veličina. Zadatak se mogao riješiti korištenjem

različitih strategija, ali sve strategije uključuju korištenje multiplikativne veze. Jedna od

strategija je, npr., svođenje na jedinicu. Odredimo koliko kilometara predstavlja jedan

centimetar u svakoj karti. Na Jeleninoj karti 1 cm predstavlja 15 km : 3 = 5 km, a na

Katarininoj karti 45 km : 9 = 5 km. Dakle, na obje karte 1 cm predstavlja 5 km što znači da

su obje karte jednake veličine pa je točan odgovor c).



79


osnovne i srednje škole po bodovima. Kao što vidimo na Slici 3.95 i prema rezultatima t-

testa, nije došlo do napretka učenika srednjih škola u odnosu na učenike osnovnih škola.

Slika 3.95: Raspodjela učenika po broju bodova u 12 .zadatku

Učenici koji su postigli maksimalnih dva boda su se najčešće koristili strategijom

uspoređivanja vrijednosti omjera te postavljanja jednakosti omjera (Slika 3.96). Od 86

učenika koji su postigli 2 boda, njih 60 (69,7%) se koristilo navedenom strategijom.

Slika 3.96: Primjer strategije usporedbe vrijednosti omjera za 2 boda u 12. zadatku

80

25 učenika (29,1%), koji su postigli dva boda, se koristilo strategijom svođenja na



Za navedene učenike možemo reći da prepoznaju multiplikativne veze, odnosno

proporcionalne veličine, odnosno da su učenici dostigli fazu proporcionalnog rasuđivanja u

kojoj su sposobni prepoznati proporcionalne veličine u situacijama iz realnog svijeta.

Jedan učenik (1,2%), koji je postigao dva boda, je zadatak riješio pomoću formule

(Slika 3.98). Za navedenog učenika možemo reći da, iako je koristeći formulu došao do

točnog rješenja, ne barata suvereno sa svojstvima proporcionalnosti i još uvijek je

konkretni mislilac.

81


Od 26 učenika koji su postigli jedan bod na ovome zadatku, svi učenici nisu

kategorizirani jer ne možemo odrediti kojom su se strategijom koristili. Učenici su

zaokružili točan odgovor, ali nisu dali nikakvo obrazloženje na odabrani odgovor.

Od 43 učenika koji nisu postigli niti jedan bod na ovome zadatku, njih 25 (58,1%)

nije ništa napisalo. 15 učenika (34,9%) nije kategorizirano jer su zaokružili netočan

odgovor, a nisu dali obrazloženje. Dvoje učenika (4,7%) je usporedilo duljine cesta na

kartama (Slika 3.99). Jedan učenik (2,3%) je odgovorio da su za odgovor potrebni podaci

koliko 1 cm predstavlja kilometara (Slika 3.100) Za navedene učenike možemo reći da su

još u fazi konkretnih mislilaca. Učenici nisu usvojili temelje proporcionalnosti kao što su

razlikovanje ovisnosti dviju veličina umjesto uspoređivanja tih veličina.

82

Slika 3.99: Primjer krivog učeničkog odgovora u 12. zadatku

Slika 3.100: Primjer krivog učeničkog odgovora u 12. zadatku



83


broj učenika

Srednja škola/

broj učenika

2 boda

uspoređivanje

vrijednosti omjera

34 26



1 bod

ukupno 52 34


ukupno 16 10

0 boda

uspoređivanje duljina 0 2



ukupno 11 7


Iz dobivenih odgovora možemo zaključiti da veliki broj učenika (55,5%) nema

problema s prepoznavanjem multiplikativne veze te njenim korištenjem. Možemo reći da ti

učenici razumiju ovisnost dviju veličina koje promatramo. Učenici koji nisu postigli

bodove na ovom zadatku ne prepoznaju multiplikativnu vezu među veličinama već

uspoređuju vrijednosti veličina.

84

4 Implikacije za nastavu

Na temelju rezultata vidimo da je prosjek ostvarenih bodova na testu manji od

očekivanoga. Budući da su svi zadaci bili, nastavnim gradivom, prilagođeni učenicima

osnovne škole, i od učenika osnovne, a ponajviše od učenika srednje škole smo očekivali

bolje rezultate. Učenici osnovnih škola su u prosjeku ostvarili 38% bodova, a učenici

srednjih škola 47% bodova. Vidimo da su učenici srednjih škola pokazali napredak u

odnosu na učenike osnovnih škola. Mogli bismo reći da su 13 učenika (8,4%), koji su

postigli više od 16 bodova (66,7%) na testu, formalni mislioci, odnosno da su ti učenici

sposobni apstraktno razmišljati, da prepoznaju proporcionalne veličine i njihove odnose te

da pomoću njih modeliraju situacije iz realnog svijeta. Za učenike koji su postigli između 8

i 16 bodova (između 33,3% i 66,7%) možemo reći da se nalaze u prijelaznoj fazi između

konkretnih i formalnih mislioca. Toj prijelaznoj fazi pripada 83 učenika (53,5%) učenika.

To su učenici koji u nekim slučajevima prepoznaju multiplikativne veze te su im za

rješavanje zadataka još uvijek potrebni konkretni primjeri. Za ostale učenike, njih 59

(38,1%), koji su postigli manje od 8 bodova (manje od 33,3%), možemo reći da su još

uvijek u fazi konkretnih mislioca. U toj fazi učenici skoro nikada ne prepoznaju

multiplikativnu vezu, već se učestalo koriste propisanim algoritmima rješavanja zadataka,

tj. formulama te rješavaju zadatke samo pomoću konkretnih primjera.

Proporcionalno rasuđivanje započinje razumijevanjem multiplikativnih veza te

njihovim razlikovanjem od aditivnih veza. Pomoću multiplikativnih veza učenici

postavljaju omjere. Omjeri su odnosi dviju veličina. Jedan od ključnih koraka u razvoju

proporcionalnog rasuđivanja je učenikova sposobnost razmišljanja o omjeru kao o vezi

dviju veličina, a ne samo kao o dvije veličine koje uspoređujemo. Proporcionalno

rasuđivanje dalje razvijamo pomoću aktivnosti koje uključuju omjere kao što su jednakost

omjera ili razmjer, usporedba omjera te određivanje nepoznatog člana omjera u raznim

kontekstima. Pomoću omjera i razmjera učenici dolaze do pojma proporcionalnih veličina.

Analizom rezultata testa došli smo do zaključka da učenici nemaju veliku

sposobnost proporcionalnog rasuđivanja, budući da je prosječna vrijednost riješenosti testa

bila ispod 50%. Vidi se da učenici poznaju različite strategije u rješavanju zadataka s

proporcionalnošću (npr. strategija svođenja na jedinicu, postavljanje razmjera,

uspoređivanje vrijednosti omjera) te ih koriste u nekim zadacima. Međutim, u drugim

85

zadacima ne prepoznaju proporcionalnu ovisnost pa ni ne primjenjuju navedene strategije.

Isto tako, rezultati pokazuju da učenici preferiraju korištenje formula u rješavanju

zadataka. Čak i u zadacima koji nemaju propisani algoritam rješavanja, učenici su stvarali

svoje formule. Iako takav način rješavanja nije loš, te su oni učenici koji su rješavali

zadatke koristeći formulu dolazili do točnih rješenja, do problema je dolazilo ako se

učenici nisu sjetili formule. Primjer takve poteškoće su zadaci u kojima se koristio Ohmov

zakon. Do toga dolazi jer se u nastavi stavlja veliki naglasak na korištenje formula.

Umjesto da učenici pamte formule bez ikakvog razumijevanja, trebalo bi uz korištenje

formula, s učenicima raditi na prepoznavanju funkcionalnih ovisnosti i zaključivanja na

temelju proporcionalnosti, odnosno obrnuto proporcionalnosti.

Učenicima treba pružiti mnogo prilika za rješavanje zadataka vezanih za omjere, te

kasnije i proporcionalnost, u raznim kontekstima. Pomoću mnogo primjera treba potaknuti

razvijanje razlikovanja proporcionalnih i neproporcionalnih veličina. Učenicima treba

omogućiti mnogo primjera da ovladaju raznim metoda kao što su metoda svođenja na

jedinicu, metoda koeficijenta proporcionalnosti. Kod svakog primjera treba zahtijevati da

učenici navedu kakva je ovisnost veličina u primjeru. Također, od učenika treba zahtijevati

ispravno korištenje terminologije, npr. izraze „ Ako se poveća jedna veličina, onda se

poveća i druga veličina.“ treba mijenjati s „Koliko se puta promijeni jedna veličina, toliko

se puta promijeni i druga veličina.“. Učenike treba poticati na diskusiju o ovisnosti veličina

te treba eksperimentirati s predviđanjem omjera i rezultata usporedbe vrijednosti omjera

tako da učenici razvijaju kvantitativno razmišljanje te da razviju sposobnost prepoznavanja

ovisnosti veličina bez konkretnog računa.

Jedna od metoda koja se često pojavljuje u udžbenicima, a koja ne potiče učenike

na razmišljanje je metoda strelica kod postavljanja razmjera. Metoda strelica ne pridonosi

razvoju proporcionalnog rasuđivanja. Ako učenicima na prvom susretu s proporcionalnosti

prikažemo navedenu metodu, učenici će primjenjivati navedenu metodu bez ikakvog

promišljanja o ovisnosti veličina koje se promatraju. Zbog toga simboličke i algoritamske

metode kao što su metoda strelica i postavljanje razmjera nipošto ne treba uvoditi prije

nego što učenici steknu iskustvo s konceptualnim i intuitivnim metodama. Najbolje bi bilo

uopće ne uvoditi metodu strelica, ali može se uvesti nakon što se uvjerimo da učenici

promišljaju o proporcionalnim veličinama te da prepoznaju ovisnosti veličina. Kod raznih

problemskih zadataka, metoda strelica nije upotrebljiva te je i zbog toga bolje koristiti npr.

metodu svođenja na jedinicu.

86

Literatura

[1] A. Watson, K. Jones, D. Pratt, Key Ideas in teaching mathematics: research- based

guidance for ages 9 – 19, Oxford University Press, Oxford, 2013.

[2] Ontario Ministry of Education, Paying Attention to Proportional Reasoning, Ontario,

2012.

[3] S. McLaughlin, Effect of Modeling Instruction on Development of Proportional

Reasoning I: an empirical study of high school freshment, Norwalk High School, Norwalk,

Iowa, 2003.

87

Prilozi

Prilog 1. Test

Ime i prezime_______________________Razred i škola__________________________

Marko i Nikola trče jednakom brzinom. Marko pretrči 4 km u 20 min. Koliko vremena

treba Nikoli da pretrči 12 km? Obrazloži odgovor.

Maja i Ivan rade limunadu od limuna jednakih veličina. Maja je iscijedila dva limuna i

dodala tri čaše vode, a Ivan je iscijedio tri limuna i dodao četiri čaše vode. Jesu li te

limunade jednakog okusa ili je neka od njih „jačeg“ okusa?

a) Limunade su jednakog okusa.

b) Majina limunada je „jačeg“ okusa.

c) Ivanova limunada je „jačeg“ okusa.

Obrazloži odgovor.

U jednostavnom strujnom krugu otpornik je spojen s izvorom (baterijom). Kako će se

promijeniti struja u tom strujnom krugu ako napon izvora smanjimo pet puta, a otpor

ostane isti? Obrazloži odgovor.

88

Dječak mase 20 kg sjedi na udaljenosti 2 m od oslonca klackalice. Gdje treba sjediti otac

mase 80 kg da budu u ravnoteži?

Obrazloži odgovor.

Na zemljopisnoj karti 30 cm predstavlja 20 km.

a) Koliko centimetara predstavlja jedan kilometar?

b) Zračna udaljenost između Zagreba i Karlovca je 50 km. Kolika je udaljenost tih gradova

na karti?

Obrazloži odgovor.

Gosp. Niski i gosp. Visoki nacrtani su na papiru. Učenik mjeri njihove visine. Gosp. Niski

je visok kao šest spajalica. Ako se mjeri u gumbima, gospodin Niski je visok kao 4 gumba,

a gosp. Visoki kao 6 gumba. Kolika je visina gospodina Visokog mjerena u spajalicama?

Obrazloži odgovor.

89

Kako će se promijeniti struja u jednostavnom strujnom krugu ako otpor povećamo tri puta,

a napon izvora ostane isti? Obrazloži odgovor.

Bijelo zlato je legura zlata i nikla u omjeru 9:1. Kolika je masa prstena od bijelog zlata ako

je u njemu 1,1 g nikla? Obrazloži odgovor.

Ana mjeri kako ovisi duljina elastične opruge o sili koja na nju djeluje. Duljina opruge

kada na nju ne djeluje sila je 5 cm. Ana je uočila da produljenje elastične opruge ∆𝑙 ovisi

proporcionalno o sili 𝐹 koja na nju djeluje. Koji od navedenih grafova prikazuje ovisnost

produljenja elastične opruge o sili koja na nju djeluje?

a) b) c)

d) Sva tri grafa prikazuju ovisnost produljenja elastične opruge o sili koja na nju djeluje

Obrazloži odgovor.

90

Metalni predmet ima masu 800 g i volumen 200 cm3.

a) Koje je značenje omjera 800 g

200 cm3? Obrazloži odgovor.

b) Koliki je volumen 500 g tog metala?

Kako će se promijeniti struja u jednostavnom strujnom krugu ako napon izvora povećamo

tri puta, a otpor smanjimo dva puta? Obrazloži odgovor.

Jelena i Katarina koriste različite karte Hrvatske. Cesta duljine 3 cm na Jeleninoj karti

stvarno je duga 15 km. Cesta duljine 9 cm na Katarininoj karti stvarno je duga 45 km. Tko

koristi veću kartu?

a) Jelena

b) Katarina

c) Obje karte su jednake veličine

d) Nema dovoljno podataka da se odgovori.

Obrazloži odgovor.

91

Sažetak

U ovom diplomskom radu provedeno je istraživanje o učeničkom razumijevanju

proporcionalnosti. Radi potrebe istraživanja konstruiran je test koji provjerava učeničko

razumijevanje proporcionalnih veličina i operacija s njima. U istraživanju je sudjelovalo

155 učenika, od čega 91 učenik osnovne škole te 64 učenika srednje škole. Zadaci su,

nastavnim gradivom, prilagođeni učenicima osmog razreda osnovne škole. Učenici

srednjih škola su test riješili s (47 ± 19)% bodova što je bolje od učenika osnovnih škola

koji su postigli (38 ± 21)% bodova. Slabi rezultati na ovom testu ukazuju na to da većina

učenika, i u osnovnoj i u srednjoj školi, nije dostigla razinu formalnih mislioca, odnosno da

većina učenika ne barata multiplikativnim vezama te proporcionalnošću. Uočene su velike

razlike u rezultatima kod pojedinih grupa zadataka. Zadaci u kojima se mogu koristiti

formule su najbolje riješeni, npr. zadaci u kojima se spominje brzina i gustoća tvari, a

zadaci koji se rješavaju zaključivanjem pomoću funkcionalne ovisnosti imaju vrlo nizak

broj točnih odgovora (manje od 10%). Rezultati ovog istraživanja mogu pomoći u

razumijevanju učeničkih poteškoća te boljem poučavanju proporcionalnosti u nastavi

matematike i fizike.

92

Summary

In this diploma thesis, a research study on student understanding of proportionality was

conducted. For the purpose of the research, a test on student understanding of proportional

variables and related operations has been constructed. 155 students participated in the

study, of which 91 participants were elementary school students, and 64 participants were

high school students. The test items are adjusted for elementary school students, according

their curriculum. The test score of a high school students was (47 ± 19) %, which is better

than the test score of the elementary school students of (38 ± 21) %. Poor test results

indicate that majority of students, in elementary and in high school, did not reach level of

formal thinkers, i.e. that majority of students do not understand multiplicative relationships

and proportionality. Large differences in results, for different groups of test items, were

found. Test items in which students could use formulas are best solved, for example, test

items referring to the velocity and density of substance. Test items in which students are

supposed to use functional dependence have very low number of correct answers (less than

10%). Results of this research study can help to understand student difficulties and to lead

to better teaching of the proportionality in mathematics and physics classes.

93

Životopis

Ivana Benković rođena je 25. lipnja 1993. godine u Karlovcu gdje je pohađala osnovnu

školu Banija. 2007. godine je pozvana na državno natjecanje iz matematike, a te i sljedeće

godine na državnu smotru i natjecanje hrvatskih GLOBE škola. 2008. godine upisala je

prirodoslovno- matematički smjer u Gimnaziji Karlovac. 2012. godine upisala je

integrirani preddiplomski i diplomski sveučilišni studij matematike i fizike, nastavničkog

smjera na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu.

učeničko razumijevanje proporcionalnosti

Documents