UNIVERISIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS

CARRERA DE ECONOMA

TERCER SEMESTRE

AULA 31

INFERENCIA ESTADSTICA

ING. CESAR ESCOBAR

TRABAJO N 1

TEMA: DEFINICIN E IMPORTANCIA, EJEMPLOS DE LOS PRINCIPALES

CAPITULOS DE ESTADISTICA PROBABILISTICA

PAMELA AYALA CRUZ

N DE LISTA 3

1

Tabla de contenido

Tabla de contenido ...................................................................................................................... 1

PROBABILIDAD ........................................................................................................................ 2

DEFINICIN DE PROBABILIDAD ....................................................................................... 2

PRINCIPALES PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES ........................................... 2

ESPACIO MUESTRAL ............................................................................................................ 3

PRINCIPALES EVENTOS ...................................................................................................... 3

Eventos dependientes .................................................................................................. 4

Eventos independientes: ............................................................................................. 4

DIAGRAMA DE VENN .......................................................................................................... 5

PERMUTACIONES ................................................................................................................. 6

COMBINACIONES ................................................................................................................. 7

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS DE PROBABILIDADES ................. 8

DISTRIBUCIN BINOMIAL .................................................................................................. 8

DISTRIBUCIN GEOMTRICA ........................................................................................... 9

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA .............................................................................. 11

DISTRIBUCIN DE POISSON ............................................................................................. 12

DISTRIBUCIN MULTINOMIAL ....................................................................................... 13

TEOREMA DE CHEBYSHEV .............................................................................................. 14

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS DE PROBABILIDAD .................... 16

DISTRIBUCIN NORMAL .................................................................................................. 16

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL ........................................................................................ 18

DENSIDAD TRIANGULAR ................................................................................................. 19

APROXIMACION DE LA NORMAL A LA BINOMIAL .................................................... 21

APROXIMACION DE LA NORMAL A POISSON ............................................................. 22

ESPERANZA MATEMATICA .............................................................................................. 23

MEDIA, VARIANZA, DESVIACIN ESTNDAR DE UNA DISTRIBUCIN

BINOMIAL ............................................................................................................................. 24

MEDIA DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL .................................................. 24

VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL .......................................... 26

DESVIACIN ESTNDAR DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL ............... 26

Bibliografa ................................................................................................................................ 28

2

PROBABILIDAD

DEFINICIN DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un mtodo mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso

determinado mediante la realizacin de un experimento aleatorio, del que se conocen

todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

PRINCIPALES PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale1, por tanto la

probabilidad del suceso contrario es:

Probabilidad del suceso imposible es cero.

La probabilidad de la unin de dos sucesos es la suma de sus probabilidades

restndole la probabilidad de su interseccin.

Si un suceso est incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de ste.

Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

3

Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P (par) = P (2) + P (4) + P (6)

ESPACIO MUESTRAL

Definicin:

Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenmeno o experimento

aleatorio.

Ejemplo:

Mano de pker

De una baraja de 52 de juego, se reparte una mano pker. Describa un espacio muestral

y determine el nmero de puntos mustrales.

Solucin:

Un espacio muestral consiste en todas las combinaciones de 53 cartas tomadas cinco a

la vez. Es decir de puntos muestrales es de 52C5=2598960

PRINCIPALES EVENTOS

Definicin de evento: Es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto

de posibles resultados que se pueden dar en un experimento.

4

Eventos dependientes

Dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve

afectada porque haya sucedido o no B.

Ejemplo:

Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estndar de 52 cartas y B sacar un Rey de

corazn rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazn rojo en dos

extracciones sin devolver la carta extrada.

Solucin: A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la

probabilidad de ocurrencia de B. La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

() =4

52

La probabilidad de que la segunda carta sea un rey dado que ya se sac en AS en la

primera extraccin es: (\) =1

51

Eventos independientes:

Dos o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un

evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos),

es decir que la ocurrencia del evento A no cambia la probabilidad de el evento B

suceda.

Ejemplo:

En un estudio los pacientes se clasifican de acuerdo al tipo de sangre: A, B, AB,

O y tambin de acuerdo a su presin sangunea: BAJA, NORMAL, ALTA

En cuntas formas pueden los pacientes clasificarse de acuerdo con el tipo de

sangre y la presin sangunea?

5

Cul es la probabilidad de que el tipo de sangre de un paciente sea B y a la vez

su presin sangunea sea baja?

R1: existen 12 posibilidades (3 x 4 = 12)

R2: La probabilidad de que el tipo de sangre de un paciente sea B y a la vez

tenga su presin sangunea baja es de 1/12

DIAGRAMA DE VENN

Es un diagrama para representar los espacios mustrales y los eventos, el espacio

muestral se representa por medio de un rectngulo y los eventos por medio de un

circulo o partes de crculos dentro del rectngulo.

Ejemplo:

Una escuela tiene maestros que ensean en ms de un grado. El total de maestros es 20.

Siete ensean en 7mo grado, ocho ensean en 8vo grado y dos ensean en 7mo y 8vo.

Hacer un diagrama de ven que muestre cuantos maestros quedan en el universo que no

ensean ni en 7mo ni en 8vo grado.

6

Al colocar las cantidades de cada conjunto le restamos las intersecciones. En este caso

tanto a 7mo como a 8vo hay que restarle 2. As se obtenemos que solamente 7mo es 5 y

solamente 8vp es 6.

Para saber cuntos del universo quedan fuera de esos dos conjuntos restamos todos los

elementos contenidos en ellos.

De ah surge 7 como el restante.

PERMUTACIONES

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada

uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

7

FORMULA:

=!

( )!

Ejemplo: Puestos en un club

Un club tiene 20 miembros deben ocuparse los puestos de presidente, vicepresidente,

secretario y tesorero y ningn miembro puede ocupar ms de un puesto. Cuntas

planillas diferentes de candidatos son posibles?

Solucin:

Se considerara una planilla en el orden de presidente, vicepresidente, secretario y

tesorero. Cada ordenacin de 4 miembros constituye una planilla, por lo que el nmero

de planillas es 204

204 =20!

(20 4)!=

20!

16!=

20.19.18.17.16!

16!= 20.19.18.17 = 116280

: 116280

COMBINACIONES

Es todo arreglo de elementos en donde NO nos interesa el lugar o posicin que ocupa

cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

FRMULA:

nCr=!

()!!

Ejemplo: Mano de pker

Una mano de pker consiste en cinco cartas repartidas de una baraja ordinaria de 52

cartas Cuntas manos de pker distintas existen?

8

Solucin: una mano posible es

2 corazones, 3 de diamantes, 6 de bastos, 4 de espaldas, rey de corazones que pueden

abreviarse como 2C, 3D, 6B, 4E, RC.

El orden en que se reparten las cartas no importa, por lo tanto esta mano es la misma

que

RC, 4E, 6B, 3D, 2C

As el nmero de manos posibles es el nmero de formas en que 5 objetos pueden

seleccionarse de entre 52, sin importar el orden. Es un problema de combinaciones

525 =52!

5! (52 5)!=

52!

5! 47!

=52.51.50.49.48.47!

5.4.3.2.1.47!

=52.51.50.49.48

5.4.3.2= 2598960

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Definicin:

Los valores observados solo pueden presentarse en puntos aislados a lo largo de una

escala, por lo tanto se pueden listar en una tabla todos los valores numricos de la

variable con sus probabilidades correspondientes valores enteros.

DISTRIBUCIN BINOMIAL

Definicin: es aplicable como un modelo de toma de decisiones en las que se supone

que el proceso de muestreo que en cada ensayo solo puede presentarse dos resultados

(xito y fracaso) y los resultados de una serie de ensayos son eventos independientes.

9

FRMULA:

Ejemplo:

AUDITORIA AL IMPUESTO SOBRE LA RENTA:

Para un grupo particular de individuos la probabilidad de que se auditan es el 0.2 de sus

declaraciones de impuesto sobre la renta cada ao. De 5 personas elegidas al azar Cul

es la probabilidad de que exactamente 2 sean auditados?

DATOS:

p=0.2

q=0.8

k= 2

n= 5

SOLUCIN

(p=2)=9n520.220.85-2

(p=2)= (10) (0.04) (0.512)

(p=2)=0.02048

R= Por lo tanto, la probabilidad de que haya 2 auditados entre 5 personas elegidas al

azar es el 20.48%

DISTRIBUCIN GEOMTRICA

Definicin:

Es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la

consecucin del xito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los

10

muestreos realizados de esta manera. Tambin implica la existencia de una dicotoma de

posibles resultados y la independencia de las pruebas entre s.

FORMULA:

Ejemplo:

1. S la probabilidad de que un cierto dispositivo de medicin muestre una

desviacin excesiva es de 0.05, cul es la probabilidad de que; a) el sexto de

estos dispositivos de medicin sometidos a prueba sea el primero en mostrar una

desviacin excesiva?, b) el sptimo de estos dispositivos de medicin sometidos

a prueba, sea el primero que no muestre una desviacin excesiva?

Solucin:

a) x = 6 que el sexto dispositivo de medicin probado sea el primero que

muestre una variacin excesiva

p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medicin muestre una

variacin excesiva

q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medicin no muestre una

variacin excesiva

p(x = 6) =

b) x = 5 que el quinto dispositivo de medicin probado, sea el primero que

no muestre una desviacin excesiva

p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medicin no muestre una

variacin excesiva

038690050950 16 .).().(

11

q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medicin muestre una

variacin excesiva

p(x = 5) =

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Definicin:

Este tipo de distribucin es aplicable cuando:

El muestreo se hace sin devolver es decir sin reemplazar los elementos del experimento;

cada elemento que se toma de una poblacin finita es nico para el clculo ya que la

probabilidad cambia sistemticamente a medida que se va sustrayendo elementos de la

poblacin y los elementos ya utilizados se restan de la muestra.

FRMULA:

Ejemplo:

Una urna contiene 2 canicas negras y 4 blancas, cinco de las cuales se extraen al azar.

Hallar la probabilidad de que cuatro de las cinco canicas extradas aleatoriamente sean

blancas.

(4) =[44

][6 45 4

]

[65

]

DATOS

N: 6

00000590950050 15 .).().(

12

P (4) =1

3= 0.333

n: 5

x: 4

(4) =[44

] [21

]

[65

]

(4) =[1][2]

[6]

DISTRIBUCIN DE POISSON

Definicin:

Esta distribucin es una de las ms importantes distribuciones de variable discreta. Sus

principales aplicaciones hacen referencia a la modelizacin de situaciones en las que

nos interesa determinar el nmero de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un

intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas

circunstancias restrictivas.

FRMULA:

Ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se

realizan 300 viajes, cul es la probabilidad de tener 3 accidentes?

13

Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10,

entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson.

Luego,

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9%

DISTRIBUCIN MULTINOMIAL

La distribucin multinomial es similar a la distribucin binomial, con la diferencia de

que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber mltiples

resultados.

FRMULA:

Ejemplo:

Segn una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darn por los

candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52%

votar por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos

restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la

probabilidad de que:

2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos.

Solucin:

14

n = 6

x1= 2 voten por partido verde;

x2= 1 vote por partido azul;

x3= 3 voten por otros partidos;

p1= probabilidad de que una persona vote por partido verde = 0.52

p2 = probabilidad de que una persona vote por partido azul = 0.40

p3 = probabilidad de que una persona

(1 = 2, 2 = 1, 3 = 3: = 6) =6!

2! 1! 3!(0.522(0.401)(0.08)3 = 0.0033226

TEOREMA DE CHEBYSHEV

El teorema de Chebyshev da una estimacin conservadora de la probabilidad de que una

variable aleatoria X tome un valor dentro de k desviaciones estndar de su media, es

aplicable a cualquier conjunto de datos (muestra o poblacin), sin importar la

distribucin de los mismos.

FORMULA:

2

11)(

kkXkP

Ejemplo:

El nmero de llamadas que recibe un servicio de contestacin entre las 10 a 11 de la

maana es una variable aleatoria cuya distribucin de la media es igual a =26, por

desviacin estndar es = 3.33 Que nos dice el teorema de Chebyshev con K=3 acerca

del nmero de llamadas que puede recibir el servicio telefnico de contestaciones entre

las 10 y las 11 de la maana?

15

Para obtener el intervalo

El nmero de llamadas telefnicas estar entre 16 a 36

Podemos afirmar una probabilidad de 89% que al servicio telefnico de contestacin

recibir entre 16 a 36 llamadas.

16

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Definicin:

En caso de esta variable no puede alistarse todos los posibles valores fraccionarios de la

variable y por tanto las probabilidades se determinan a travs de funcin matemtica se

puede graficar y representa valores con decimales.

DISTRIBUCIN NORMAL

Definicin:

En estadstica y probabilidad se llama distribucin normal, distribucin de

Gauss o distribucin gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable

continua que con ms frecuencia aparece aproximada en fenmenos reales.

La grfica de su funcin de densidad tiene una forma acampanada y es simtrica

respecto de un determinado parmetro estadstico. Esta curva se conoce como campana

de Gauss y es el grfico de una funcin gaussiana.

La importancia de esta distribucin radica en que permite modelar numerosos

fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que

subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la enorme

cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal

puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas

pocas causas independientes.

FRMULA:

17

Dnde:

x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa.

= media de la distribucin de la variable aleatoria.

= desviacin estndar de la distribucin.

z = nmero de desviaciones estndar que hay desde x a la media de la distribucin. (El

uso de z es solamente un cambio de escala de medicin del eje horizontal)

Ejemplo:

El dimetro interno medio de una muestra de 200 blusas producidas por una mquina es

de 0.502 cm y la desviacin estndar es de 0.005cm. Se permite una tolerancia mxima

en el dimetro de 0.496 a 0.508 cm, o sern consideradas defectuosas. Determine el

porcentaje de camisas defectuosas producidas por la mquina, suponiendo que los

dimetros estn distribuidos normalmente.

Solucin:

0.496 en unidades estndar:

0.496 0.502

0.005

= - 1.2

0.508 en unidades estndar:

0.508 0-502

0.005

= 1.2

Proporcin de camisas sin defecto:

18

= (rea bajo la curva normal entre z = -1.2 y z = 1.2)

= 2 (0.3849)

= 0.7698

= 77% aproximadamente

Por lo tanto, el porcentaje de camisas sin defecto es de:

100% - 77% = 23%

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Definicin:

Comportamiento de todo problema que cae en el terreno de los fenmenos de espera.

Tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson-Tiempo de

vida.

Tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo.

FRMULA:

Para intervalos

F(x)=

Para un solo valor

F(x)=

Espacio paramtrico: >0

Valor esperado: = 1

19

Varianza: =1

2

Ejemplo:

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una

distribucin exponencial con media de 16 aos.

1. Cul es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este

marcapasos se le deba reimplantar otro antes o en 20 aos?

Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 aos en un paciente,

2. Cul es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes o en los 25 aos?

Solucin 1:

= 1

F(x)=

= 1

=

1

16

Respuesta=71.3% de probabilidad de que se debe reimplantar el marcapasos antes o en

20 aos.

DENSIDAD TRIANGULAR

Definicin: es la distribucin de probabilidad continua que tiene un valor mnimo a, un

valor mximo b y una moda c, de modo que la Funcin de densidad de probabilidad es

cero para los extremos (a y b), y afn entre cada extremo y la moda, por lo que su

grfico es un tringulo es decir define por tres parmetros: el mnimo a, el mximo b,y

20

el valor ms probable c. Variando la posicin del valor ms probable con relacin a los

extremos, la distribucin puede ser simtrica o no.

Formula:

Ejemplo:

Triangular TR(a,b,c)

Funcin de densidad f(x)= 2(x-a)/(c-a)*(b-a) si a =< x

21

APROXIMACION DE LA NORMAL A LA BINOMIAL

Definicin:

Es cuando el clculo de probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy

aproximada con la distribucin Normal, esto puede llevarse a cabo si n y p= p

(xito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeo y p tiene un valor muy

cercano a ; esto es:

Formula:

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

m = np = media de la distribucin Binomial

= npq = desviacin estndar de la distribucin Binomial

Ejemplo:

22

Supngase una distribucin de probabilidad binomial, con n = 40 y u = 0.55. Calcule

lo siguiente:

a. La media y la desviacin estndar de la variable aleatoria.

= 40

= 0.55

= 40 0.55 = 22

2 = 22(1 0.55)

= 9.9 = 3.15

b. La probabilidad de que x sea igual o superior a 25.

=24.5 22

3.15= 0.79 = 0.2852

0.5 0.2852 = 0.2148

c. La probabilidad de que x sea igual o inferior a 15.

=15.5 22

3.15= 2.06 = 0.4803

0.5 0.4803 = 0.0197

APROXIMACION DE LA NORMAL A POISSON

Definicin:

Si una variable aleatoria X tiene distribucin Poisson con parmetros , entonces, si

es grande, la variable aleatoria tiene distribucin normal estndar.

FORMULA:

=

23

Esto es vlido porque si es mucho mayor que 1, entonces la forma de la distribucin

de Poisson, a pesar de ser discreta, se parece mucho a la de una distribucin normal.

En cambio la variable Z no es otra cosa que la estandarizacin de esa variable

aproximadamente normal (ya que es a la vez la media y la varianza de X).

Ejemplo:

El nmero de partculas de asbesto por 2 de polvo en una superficie sigue una

distribucin de Poisson con media igual a 1000. Determinar la probabilidad de que en

una muestra de 2 de polvo analizada, se encuentren a lo sumo 950 partculas de

asbesto

Datos:

X = 950

= 1000

ESPERANZA MATEMATICA

Definicin:

En estadstica la esperanza matemtica (tambin llamada esperanza, valor esperado,

media poblacional o media) de una variable aleatoria, es el nmero que formaliza la

idea de valor medio de un fenmeno aleatorio.

Ejemplo:

m = E(X) = x*P(x)

24

En una concesionaria llegaron 3 marcas nuevas de autos 10 Toyota, 20 Chevrolet y 25

Mercedes Benz y se busca vender en la semana 5 autos Toyota, 10 autos Chevrolet y 5

mercedes Benz.

Determinar el valor esperado:

Xi P(x) Xi * P(x)

10 5 50

20 10 200

25 5 125

55

375

E() = ()

E() =

= 6,82%

MEDIA, VARIANZA, DESVIACIN ESTNDAR DE UNA DISTRIBUCIN

BINOMIAL

MEDIA DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL

Es un valor particular que sirve para representar una distribucin probabilstica.

Tambin es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria. La media es

denominada tambin valor esperado.

FORMULA:

M=E(x)=(X.P(x))

En donde:

=

25

E(x)=valor esperado

=sigma o sumatoria

X= variable aleatoria

P(X)=probabilidad de los datos obtenidos

Ejemplo:

Dan Woodman es el propietario y gerente de Dans Truck Stop, y ofrece repeticin

gratis en todos los servicios de caf. Reuni la siguiente informacin acerca del nmero

de tales repeticiones. Calcule la media, la varianza y la desviacin estndar para la

distribucin del nmero de repeticiones de caf.

CALCULO DE LA MEDIA Y LA VARIANZA

Rellenos Probabilidad

0 0,30

1 0,40

2 0,20

3 0,10

1.00

Rellenos

X

Proba.

P(X)

x.P(X) (x-) (X-M)^2

0 0,30 0,00 0-1,10 1,21 0,363

1 0,40 0,40 1-1,10 0,01 0,004

2 0,20 0,40 2-1,10 0,81 0,162

3 0,10 0,30 3-1,10 3,61 0,361

1,00 E(x)=1,10

26

X x^2 P(x) x^ p(x)

0 0 0,30 0,00

1 1 0,40 0,40

2 4 0,20 0,80

3 9 0,10 0,90

1,00 2,10

VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL

La varianza describe el grado de dispersin (variacin) en una distribucin.

FORMULA:

DESVIACIN ESTNDAR DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL

La deviacin estndar o desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza, es decir la

raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.

FORMULA:

Se=

27

Ejemplo de varianza y desviacin estndar:

La siguiente tabla muestra la distribucin de probabilidad para premios en efectivo de

una rifa llevada a cabo en la tienda Lawsons Department Store

PREMIO (dlares) PROBABILIDAD

0 0.45

10 0.30

100 0.20

500 0.05

Xi P(xi) Pa(Xi) Xi * P(xi) (Xi-)2* P(Xi)

0 0.45 0.45 0 1036.80

10 0.30 0.75 3 433.20

100 0.20 0.95 20 540.80

500 0.05 1.00 25 10215.20

1.00 48 12226

Valor Esperado =

48 dlares

Varianza =

12226

Desviacin estndar =

110,57 dlares

28

Bibliografa

Aula Virtual Unal. (10 de 09 de 2013). Obtenido de

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_226_68.

html

EMIS. (08 de 09 de 2013). European Mathematical Information Service. Obtenido de

http://www.emis.de/journals/RCE/V32/v32n1a08OlivaresEtAl.pdf

Haeussler, E., Richard, P., & Wood , R. (2008). Matemticas para administracin y

economa. Mexico: Pearson.