inferencia estadística

INFERENCIA ESTADÍSTICAMINE José Alejandro López Rentería

4 de mayo de 2013

Objetivos

• Calcular los parámetros de la distribución de medias o proporciones muestrales de tamaño n, extraídas de una población de media y varianza conocidas. • Estimar la media o la proporción de una

población a partir de la media o proporción muestral.

4 de mayo de 2013 | MINE José Alejandro López Rentería

Objetivos

• Utilizar distintos tamaños muestrales para controlar la confianza y el error admitido. • Contrastar los resultados obtenidos a

partir de muestras. • Visualizar gráficamente, mediante las

respectivas curvas normales, las estimaciones realizadas.


Proceso de inferencia


Estadísticos muestrales

• Si tomamos varias muestras de una población, los estadísticos que calcularíamos para cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo mas probable es que variaran de una muestra a otra.


Estadísticos muestrales

• La tarea que nos ocupa ahora es conocer las distribuciones de la probabilidad de ciertas funciones de la muestra, es decir, variables aleatorias asociadas al muestreo o estadísticos muestrales.


Distribuciones de muestreo

Sea una población donde se observa la variable aleatoria . Esta variable , tendrá una distribución de probabilidad, que puede ser conocida o desconocida, y ciertas características o parámetros poblacionales.


Distribuciones de muestreo

El problema será encontrar una función que proporcione el mejor estimador de . El estimador, , del parámetro debe tener una distribución concentrada alrededor de y la varianza debe ser lo menor posible.


Estadísticos más usados

•Media muestral

•Cuasivarianza


Media muestral

• La media muestral se distribuye como una normal de parámetros:


Distribución de medias muestrales

µ

Varianza muestral

• La varianza muestral o cuasivarianza se distribuye como una Ji-Cuadrada con parámetros


Varianza muestral


Parámetros poblacionales

Las inferencias sobre el valor de un parámetro poblacional se pueden obtener básicamente de dos maneras: a partir de estimación o bien a partir de la contrastación de hipótesis.


Parámetros poblacionales

• En la estimación, basta seleccionar un estadístico muestral cuyo valor se utilizará como estimador del valor del parámetro poblacional.• En la contrastación de hipótesis, se hace una

hipótesis sobre el valor del parámetro y se utiliza la información proporcionada por la muestra para decidir si la hipótesis se acepta o no.


Bondad de la inferencia

Cuando se utiliza la inferencia para estimar un parámetro poblacional debemos decir cómo de buena es esa inferencia, o sea debemos de dar una medida de su bondad. Para ello será necesario conocer la diferencia existente entre la estimación del parámetro poblacional, calculada a partir de una muestra específica de tamaño n, y el valor verdadero del parámetro poblacional.


Estimación puntual

La estimación puntual consiste en obtener un único número, calculado a partir de las observaciones muestrales, y que es utilizado como estimación del valor del parámetro . Se le llama estimación puntual porque a ese número, que se utiliza como estimación del parámetro , se le puede asignar un punto sobre la recta real.


Estimación por intervalos

En la estimación por intervalos se obtienen dos puntos (un extremo inferior y un extremo superior) que definen un intervalo sobre la recta real, el cual contendrá con cierta seguridad el valor del parámetro .


Propiedades de la estimación puntual

• Las propiedades deseables de un buen estimador (insesgadez, consistencia, eficiencia, etc.). El problema es de cómo obtener estimadores y además que sean buenos. Para ello existen varios métodos de obtención de estimadores. La bondad de un método de estimación se deduce de las propiedades que verifiquen los estimadores obtenidos por dicho método.


Métodos de estimación puntual

Existen diferentes métodos de estimación puntual, entre los que se encuentran:

• Método de los momentos• Método de la máxima verosimilitud• Método de los mínimos cuadrados


Método de los momentos

Fue introducido por K. Pearson y es el método general más antiguo y sencillo para la obtención de estimadores de parámetros poblacionales. En algunas ocasiones se suele utilizar para obtener una primera aproximación de los estimadores.


Método de los momentos

Consiste en igualar tantos momentos muestrales como parámetros haya que estimar, a los correspondientes momentos poblacionales, que son funciones de los parámetros desconocidos, y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante tendríamos los estimadores de los parámetros.


Cómo se calcula un momento


Método de la máxima verosimilitud

• Es desde el punto de vista teórico, el método general de estimación más conocido. Este método ya fue utilizado por Gauss, en casos particulares, pero como método de estimación fue introducido por Fisher 1922, siendo muy importantes las contribuciones realizadas por otros autores en su desarrollo posterior.


Método de la máxima verosimilitud

El método de la máxima verosimilitud consiste en elegir como estimador del parámetro desconocido aquel valor que hace máxima la función de verosimilitud.

A este estimador se le llama estimador máximo-verosímil o estimador de máxima verosimilitud (EMV) del parámetro .


¿Qué es la función de verosimilitud?

• Para una muestra aleatoria simple , al ser independientes las observaciones, la función de verosimilitud quedará como:


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