repaso inferencia estadística
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UNIVERSIDAD DEL VALLE
ESCUELA DE ESTADÍSTICA
RESUMEN DE INFERENCIA ESTADÍSTICA
CURSO: ESTADÍSTICA NO PARAMETRICA
PROFESOR: GABRIEL CONDE A.
FEBRERO DE 2015
Diapositivas basadas en material anterior del profesor de
la Escuela de Estadística Javier Olaya.
1
CONTRASTES DE HIPÓTESIS
En muchas situaciones el objetivo de un estudio
no es estimar un parámetro a partir de datos
muestrales, si no más bien verificar el
cumplimiento de una hipótesis acerca de una
población.
UNA HIPÓTESIS
Acojamos la siguiente definición: “una hipótesis
es un enunciado acerca de una población”.
Nuestro interés es construir una procedimiento
que nos permita tomar una decisión sobre si
rechazamos esta hipótesis o no.
VERDAD Y VEROSIMILITUD
Como resultado final se producirá una decisión,
que puede o no ser cierta. Pero, basados en
algún tipo de evidencia probabilística, no diremos
que es cierta… diremos que es creíble.
ALGUNAS HIPÓTESIS POSIBLES
1. La población es Normal
2. El contenido promedio de las botellas es
350ml
3. El candidato A ganará las elecciones
4. El catalizador 1 es mejor que el catalizador 2
5. El desempleo femenino ha aumentado
¿Cómo opera un contraste de hipótesis?
Población (N)
Muestra (n)
¿µ? Evidencia
¿ ? l
Decisiones en un contraste de hipótesis
La decisión se fundamenta en la evidencia
recogida a través de una muestra
representativa.
Por ejemplo, si la media de la muestra es muycercana al valor l, uno tenderá a asumir que la
media de la población es l.
DOS ELEMENTOS
•La decisión se toma partiendo de la evidencia
que se recaba a través de una muestra
aleatoria
•Se determina, mediante cálculo de
probabilidades, si el cumplimiento de la
hipótesis es admisible
Una definición más formal
Una hipótesis de investigación es una
idea o conjetura que se enuncia a priori y que se
desea contrastar a través de la realidad.
“Es la suposición de una verdad que aún no
se ha establecido, es decir, una conjetura que se
hace sobre la realidad que aún no se conoce y
que se ha formulado precisamente con el objeto
de llegar a conocimiento de nuevos hechos”
Grasseau (Teoría de la Ciencia. Pág. 103)
Hipótesis estadística
10
Por otra parte, una hipótesis estadística es una
representación de la hipótesis de investigación en
forma de ecuación matemática y en función de
parámetros poblacionales.
Por ejemplo: = l
O también: > l
¿Contraste?
11
Las hipótesis de investigación se desglosan en
dos hipótesis estadísticas que se denominan
Hipótesis nula e Hipótesis Alterna, las cuales se
contrastan.
Hipótesis nula: H0
12
La hipótesis nula se plantea como una
igualdad (semejanza, identidad), y es la
afirmación que se contrasta. Es decir, las
pruebas se diseñan para valorar la fuerza de la
evidencia en contra de la hipótesis nula. En
general es una afirmación de ausencia de
efecto.
Hipótesis alterna: Ha
13
La hipótesis alterna dependerá del conocimiento
que tenga el investigador acerca del problema o
de la hipótesis de investigación. Es una
afirmación acerca de la población sobre la cual
queremos hallar evidencia a favor
Es decir:
Si se tiene un resultado poco probable, basado
en la muestra, dado que Ho es cierta, entonces
tenemos una evidencia en contra de Ho y a
favor de Ha
14
Por ejemplo15
Se presume que la media de la población tomael valor l (afirmación en contra de la cual
intentamos hallar evidencia) y se desea
contrastar esta presunción contra otra
afirmación que defiende que la media de lapoblación es mayor que l.
Las hipótesis estadísticas a contrastar serían:
Hipótesis nula H0: = l
Hipótesis alterna Ha: > l
Otros contrastes
16
Otras posibles hipótesis estadísticas a
contrastar podrían ser:
1.Hipótesis nula H0: = l
Hipótesis alterna Ha: ≠ l2.
Hipótesis nula H0: = l
Hipótesis alterna Ha: < l
¿Con qué criterios rechazo o no la hipótesis nula?
La verdad o falsedad de la hipótesis no puede
conocerse con total seguridad, a menos que
pueda examinarse toda la población
La única herramienta de la cual se dispone
para rechazar o no la hipótesis nula se basa
en lo que se observa en una muestra
aleatoria.
Un contraste
Se cree que la pobreza en Cali (medida a
través del índice NBI) ha cambiado a un nivel
diferente del 30%.
Hipótesis nula H0: p = 0.3
Hipótesis alterna Ha: p ≠ 0.3
NBI = Necesidades Básicas Insatisfechas
¿Cómo se decide?
0.25 0.30 0.35
Región crítica Región de “aceptación” Región crítica
Se rechaza H0 No se rechaza H0 Se rechaza H0
p 0. 30 p = 0.30 p 0.30
Valores Críticos
Se define un estadístico de prueba y se evalúa
si su valor se encuentra en la región crítica
ACEPTACIÓN20
“Se debe entender que la “aceptación” de una
hipótesis nula implica tan solo que los datos no
arrojaron suficiente evidencia que indique que
esta no se cumple (o se rechace)”.
EJECUCIÓN DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS
21
1. Plantear una hipótesis de investigación.
2. Traducir la hipótesis de investigación en
hipótesis estadísticas
3. Fijar Nivel de Significancia
4. Determinar un estadístico de prueba con
distribución conocida (verificar supuestos)
EJECUCIÓN DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS (2)
22
5. Determinar la región de rechazo
6. Evaluar el valor de estadístico de prueba en la
muestra obtenida aleatoriamente, asumiendo
que la H0 es cierta
7. Contrastar el valor del estadístico de prueba
con la región de rechazo. Rechazar Ho si y
solo si el valor del estadístico de prueba cae
en la región de rechazo
Forma de la Región de Rechazo
La forma región de rechazo depende de cómo se
plantee la hipótesis alterna:
1. Hipótesis alterna unilateral (Una sola cola)
2. Hipótesis alternas bilaterales (dos colas)
PENSIONES
ASOFONDOS es la asociación que regula los fondos de
pensiones. Esta entidad sugiere que la edad de
jubilación debe incrementarse, debido a que las
condiciones de riesgo de los individuos en la actualidad
ha disminuido, logrando incrementar su esperanza de
vida, que hasta hace algunos años se había calculado
en 70 años. Su afirmación la plantean fundamentándose
en una muestra de 100 registros de muertes que dio
como resultado una edad promedio de muerte de 71,8
años con desviación de 15 años.
¿Qué opina?
¿Cree Usted que los resultados de este estudio
demuestran que se ha incrementado la edad
promedio de los colombianos y que, por tanto, se
justifica aumentar la edad de jubilación?
26
SOLUCIÓN
Paso 1. Planteamiento de Hipótesis de Investigación
La edad promedio de muerte es superior a 70 años
Paso 2. Planteamiento de Hipótesis Estadísticas
Paso 3. Selección nivel de significancia
Paso 4. Selección y cálculo del estadístico de prueba
0 1: 70 VS : 70 H H
05.0
2,110015
708.710
n
xzc
70
27
SOLUCIÓN
Paso 5. Determinación Región de Aceptación, Rechazo
Paso 6. Contraste del estadístico de prueba
Paso 7. Decisión
No se rechaza Ho No existe suficiente evidencia para pensar que la esperanza de vida ha aumentado
Región de
Aceptación 0.05 1.64z
2,1cZ
El valor P como Criterio de Decisión
Diremos que el valor p es la probabilidad de que
el estadístico de contraste arroje un resultado
tan extremo o más extremo que el observado
cuando la Hipótesis nula es verdadera. Cuanto
menor sea el valor p mayor es la evidencia, que
proporciona la muestra, en contra de Ho
El valor P como Criterio de Decisión
Por tanto, si el valor p es relativamente grande
(valor p > significancia), es razonable pensar
que la hipótesis nula puede sea cierta.
Pero si el valor p puede juzgarse como muy
pequeño (valor p < significancia), es razonable
pensar que la hipótesis nula no es cierta.
Decimos entonces que los datos son
“estadísticamente significativos a un nivel ”
El valor P como Criterio de Decisión
Significativo en estadística expresa que “es poco
probable que ocurra por el azar”
Significativo a un nivel 0.01 se expresa diciendo que
“los resultados son significativos (p < 0.01)”
El valor p nos da más información que el nivel . Ya
que podemos valorar la significación para diferentes
valores que escojamos. Así es como:
p = 0.03 es significativo a un nivel de significación =
0.05 y no lo es a un nivel = 0.01
Muestras pareadas
En un programa de Control de Enfermedades
Crónicas, la hipertensión está incluida como la
primera patología a controlar. 15 pacientes
hipertensos son sometidos al programa y
controlados en su tensión asistólica antes y
después de 6 meses de tratamiento. Los datos
son los siguientes:
Hipertensos
Inicio 180 200 160 170 180 190 190 180 190 160 170 190 200 210 220
Fin 140 170 160 140 130 150 140 150 190 170 120 160 170 160 150
¿Es eficaz este tratamiento?
Estadístico de prueba
En este caso se obtienen las diferencias por
parejas y el análisis se hace con la muestra de las
diferencias observadas.
1
n
d
o tns
ddT
ERRORES EN LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Condición real
Decisión H0 verdadera H0 falsa
Rechazar H0 Error Tipo I ok
No rechazar H0 ok Error Tipo II
35
Se debe entender que la “aceptación” de una hipótesis
nula implica tan solo que los datos no arrojaron
suficiente evidencia que indique que esta no se cumple.
La hipótesis nula se plantea como una igualdad
(semejanza, identidad), y es la afirmación que se
contrasta (evidenciar su rechazo).
ERRORES EN LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Condición real
Decisión H0 verdadera Ha verdadera
Rechazar H0 Error Tipo I ok
No rechazar H0 ok Error Tipo II
36
Si reconocemos la lógica binaria (falso – verdadero)
podemos re-escribir la tabla de la siguiente forma:
ES DECIR
37
Un error tipo I ocurre cuando se rechaza una
hipótesis nula que es verdadera
Un error tipo II ocurre cuando no se rechaza una
hipótesis nula que es falsa
PROBABILIDADES DE EQUIVOCARNOS
38
P(Error Tipo I) = = P(RHoHoV) = P(RHoHaF)
P(Error Tipo II) = = P(NHoHoF) = P(NHoHaV)
Potencia de la prueba = 1- = P(RHoHaV) = P(RHoHoF)
NOMBRES RESERVADOS
39
Llamaremos “nivel de significancia”, del
contraste, al valor
Y definiremos como “potencia del contraste” a la
cantidad 1-, que no es otra cosa que la
capacidad que tiene el contraste de rechazar
una hipótesis nula cuando esta es falsa.
Comentariosobre y
40
Lo ideal seria que tanto como sean muy
pequeños, pero cuando disminuye, crece.
Así que se debe llegar a algún tipo de acuerdo
entre los valores de estas dos probabilidades
de error. Una alternativa es fijar y aumentar el
tamaño de la muestra para disminuir .
41
Nótese cómo los errores en contrastes de
hipótesis depende de una manera inversa
y se relacionan de manera inversa
Cálculo de
42
Ejemplo:
Partamos de la siguiente prueba de hipótesis
Ho: = 15 vs Ha: > 15
n = 36.
media y varianza de las 36 muestras: 17 y 9
= 0.05
43
Nótese cómo el error tipo II en contrastes de
hipótesis depende de Ha (un valor en especial)
44
El error tipo II en contrastes de
hipótesis depende de Ha (un valor
en especial)
45
El error tipo II en contrastes de
hipótesis depende de Ha (un valor
en especial)
46
TAMAÑO DE MUESTRA47
n = ((Z + Zβ)22)/(a - 0)
2
¿La deducimos?
Aplicar para ejemplo anterior con
= β = 0.05
= P[Xt > Kµ = µ0] =
P[(Xt - µ0)/(/n) > (K - µ0) /(/n)] = P[Z > Z]
β = P[Xt Kµ = µa] =
P[(Xt - µa)/(/n) (K - µa) /(/n)] = P[Z -Zβ]
(K - µ0) /(/n) = Z
(K - µa) /(/n)] = -Zβ
Eliminando k de las dos ecuaciones obtenemos una
expresión para el tamaño de muestra n (dada en la
diapositiva anterior).
48
DEDUCCIÓN FORMULA TAMAÑO DE MUESTRA
Ejercicios para entregar
Una muestra aleatoria de 37 estudiantes que practican deporte obtuvieron
calificaciones de habilidad manual con una media de 32.19 y una S = 4.34.
Una muestra independiente del mismo grupo que no practican deporte
obtuvieron calificaciones de habilidad manual con una media de 31.68 y una
desviación estándar de 4.56.
a) Aplique una prueba para ver si hay suficiente evidencia que indique que
los estudiantes que practican deporte poseen un promedio de habilidad
manual mayor de aquellos que no lo practican. Escoja usted el nivel .
b) Con la región de rechazo utilizada en a) calcule β cuando 1 - 2 = 3.
c) Calcule los tamaños de muestra cuando = β = al nivel escogido en a) y
1 - 2 = 3.
49
Entregar por escrito la solución de los problemas
6.67 y 6.68 del libro de D. Moore.
En el problema 6.67 utilice su software preferido
para obtener una curva característica de operación.
50
52
PRUEBAS DE HIPÓTESIS REFERENTES A
VARIANZAS
PRUEBAS PARA UN VALOR FIJO DE LA VARIANZA
53
X1, X2 …, Xn muestra aleatoria de una
distribución normal (, 2)
Ho: 2 = 20
Ha: 2 > 20 (cola superior)
2 < 20 (cola inferior)
2 20 (dos colas)
Estadístico de prueba (n – 1)S2 /20 2
RR:
2 > 2 (cola superior)
2 < 21- (cola inferior)
2 > 2/2 ó 2 < 2
1-/2 (dos colas)
En cada caso la distribución 2 tiene n-1 g.l.
Tener en cuenta que P(2 > 2) =
54
PRUEBAS PARA VALOR FIJO DE LA VARIANZA
… continuación
RR:
2 > 2 (cola superior)
RR:
2 < 21- (cola inferior)
RR:
2 > 2/2 ó 2 < 2
1-/2 (dos colas)
EJEMPLO 1: Una fabrica de partes de
automóviles, cuyos diámetros tienen una varianza
no mayor de 0.0002 (los Ø están en pulgadas).
Una muestra aleatoria de 10 partes arrojó una
varianza muestral de 0.0003. Pruebe Ho: 2 =
0.0002 vs Ha: 2 > 0.0002
58
SOLUCIÓN:
Suponemos que las mediciones provienen de una
población normal.
Estadístico de prueba: (n – 1)S2 /20
2 (v = 9)
Cola superior: rechazamos Ho para valores de este
estadístico mayores que 20.05 = 16.919, con 9 g.l.
Valor calculado del estadístico: 9*0.0003/0.0002 = 13.5
Entonces no rechazamos Ho.
Ejercicio: calcular o aproximar el valor p
59
Ejemplo: Un investigador está convencido de que
su equipo de medición tiene una variabilidad
referida por una desviación estándar de 2.
16 mediciones arrojaron un resultado de S2 = 6.1.
¿Contradicen los datos su apreciación?
Determine el valor de p para esta prueba. ¿Qué
ocurre si = 0.05
60
SOLUCIÓN:
Ho: 2 = 4 vs Ho: 2 4
Valor para el estadístico de prueba 15*6.1/4 = 22.875.
Basándonos en la tabla de la 2 observamos que
para 15 gl 20.10 = 22.3070 y 2
0.05 = 24.9958. la
porción de p de la cola superior está entre 0.05 y
0.10, lo que implica que 0.1 < p < 0.2.
Si = 0.05 < 0.1 entonces < p no rechazamos.
61
COMPARACIÓN DE VARIANZAS
62
X1, X2 …, Xn1 y X1, X2 …, Xn2 m. a. con
distribución normal, medias desconocidas y
varianzas desconocidas 21 y 2
2
Consideremos la siguiente prueba:
Ho: 21 = 2
2
Ha: 21 > 2
2
Estadístico de prueba:
F = {(n1 – 1) S21/(n1 – 1) 2
1}/{(n2 – 1) S22/(n2 – 1) 2
2}
= (S21/
22)/(S
22/
21) =, bajo Ho, = S2
1/S2
2
Región de rechazo: F > F donde F se elige de tal
manera que P(F > F) =
F tiene n1 – 1 g.l en el numerador y n2 – 1 g.l. en el
denominador
63
COMPARACIÓN DE VARIANZAS… continuación
La distribución F (u, v)
EJEMPLO:
Queremos comparar la variación de los diámetros de las partes
producidas por una compañía de autos con la variación de los
diámetros de las partes producidas por un competidor. La
varianza muestral de la compañía, basada en n = 10 es S21 =
0.0003. La varianza muestral de las mediciones de los diámetros
de 20 partes de la competencia es S22 = 0.0001, ¿Proporcionan
los datos suficiente información que indique una variación menor
en los diámetros de la competencia. Calcule el valor p, además
use un nivel de significancia = 0.05 para obtener una
conclusión.
65
Ho: 21 = 2
2
Ha: 21 > 2
2
Estadístico de prueba: F = S21/S
22 con v1 = 9 y v2 =
19.
Rechazaremos Ho con valores F mayores que F0.05 =
2.948
FCALCULADO = S21/S
22 = 0.0003/0.0001 = 3.00 > 2.948
Rechazamos Ho
66
NOTA:
Si queremos probar Ho: 21 = 2
2 frente a Ha: 21 2
2
a un nivel podemos emplear el estadístico
F = S21/S
22 (n1 – 1, n2 – 1) rechazar Ho si el valor
calculado de F se localiza en la cola superior o en la
cola inferior de /2 de la distribución F.
La siguiente relación puede facilitar la búsqueda de
algunas áreas bajo la curva de la distribución F:
F1-,u,v = (F,v,u)-1 = 1/ (F,v,u)
67
EJEMPLO:
Un experimento para estudiar los umbrales de dolor
provocados por descargas eléctricas en hombres y
mujeres reveló los datos que aparecen en la tabla.
¿Muestran estos datos evidencia suficiente que indique
que la variabilidad de los umbrales de dolor en hombres y
mujeres difiere en forma significativa entre unos y otros?
Utilice = 0.10. ¿Qué se puede decir del valor de p?
68
HOMBRES MUJERES
n 14 10
yt 16,2 14,9
S2 12,7 26,4
Ejercicio:
En 1993 investigadores norteamericanos tomaron mediciones de la
presión muscular (en mm de Hg) en 10 corredores y 10 ciclistas
saludables. También tomaron mediciones de la presión en
corredores y ciclistas cuyo consumo de oxígeno era máximo. En la
siguiente tabla se resumen los datos
70
CORREDORES CICLISTAS
ESTADO MEDIA S MEDIA S
REPOSO 14,5 3,92 11,1 3,98
80% DE
CONSUMO DE
O2
12,2 3,49 11,5 4,95
CONSUMO
MAX O219,1 16,9 12,2 4,67
¿Hay suficiente evidencia que apoye la afirmación de
que la variabilidad de la presión muscular entre
corredores y ciclistas en reposo es diferente? = 0.05.
¿Qué se puede decir del valor p asociado?
¿Hay suficiente evidencia que apoye la afirmación de
que la variabilidad de la presión muscular entre
corredores y ciclistas con consumo máximo de O2 es
diferente? = 0.05. ¿Qué se puede decir del valor p
asociado?
71
74
INFERENCIAS PARA RELACIONES ENTRE
VARIABLES CATEGORICAS
(TABLAS DE CONTINGENCIA)
EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA
EDUCACION VS EDAD
ESCOLARIDAD SEGÚN EDAD
EDUCACION
GRUPO DE EDADES
TOTAL25 a 34 35 a 54 > 55
No completaron Bto 5325 9152 16035 30512
Completaron Bto 14061 24070 18320 56451
1 a 3 cursos U 11659 19926 9662 41247
> 4 cursos U 10342 19878 8005 38225
TOTAL 41387 73026 52022 166435
ESCOLARIDAD SEGÚN EDAD
EDUCACION
GRUPO DE EDADES
TOTAL25 a 34 35 a 54 > 55
No completaron Bto 0,03199 0,05499 0,09634 0,18333
Completaron Bto 0,08448 0,14462 0,11007 0,33918
1 a 3 cursos U 0,07005 0,11972 0,05805 0,24783
> 4 cursos U 0,06214 0,11943 0,0481 0,22967
TOTAL 0,24867 0,43877 0,31257 1
EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA
EDUCACION VS EDAD
EDUCACION0,183330,339180,247830,229671.00000
EDADES 0,24867 0,43877 0,31257 1.00000
EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA
EDUCACION VS EDAD
ESCOLARIDAD SEGÚN EDAD
EDUCACION
GRUPO DE EDADES
25 a 34 35 a 54 > 55
No completaron Bto 0,12866 0,12533 0,30823
Completaron Bto 0,33974 0,32961 0,35216
1 a 3 cursos U 0,28171 0,27286 0,18573
> 4 cursos U 0,24989 0,2722 0,15388
TOTAL 1 1 1
P(completo Bto edad 25 a 34) = P[(completo Bto)(25 a 34)]/P[(25 a 34)] = 0.33974
(CONDICIONAL)
EJEMPLO DISTRIBUCION CONJUNTA
EDUCACION VS EDAD
PREGUNTA: ¿QUE DEBE CUMPLIRSE PARA QUE
LAS DOS VARIABLES SEAN INDEPENDIENTES?
INDEPENDENCIA ESTADISTICA ENTRE VARIABLES
EJEMPLO
En este
ejemplo,
observamos
que se cumple
la condición:
fij = fi. X f.jpara todo
i = 1,2,3.
j = 1,2,3,4
Las variables
X e Y son e.i.
OTRO EJEMPLO
DEPENDENCIA (mas ilustrativo)
INDICADORES DE DEPENDENCIA O
INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES
EJEMPLO:
Nota: En toda tabla de frecuencias esperadas
se cumplirá que:
¿Qué tanto se aleja la tabla real de la tabla con
valores esperados?
Para responder propongamos el siguiente indicador
Entonces hagamos la siguiente modificación:
Es necesario estandarizar
Si queremos que este indicador no dependa de
n entonces podemos dividir por n para obtener
el cuadrado medio de contingencia
En nuestro ejemplo de las alturas y pesos tenemos:
COMENTARIO SOBRE LA CHI – CUADRADO
INFERENCIA PARA TABLAS DE CONTINGENCIA
Comparaciones múltiples: se quieren comparar más de
dos proporciones. Por ejemplo:
p1 = p2 = p3 ?
Tenemos las hipótesis:
H0 : p1 = p2
Ho : p1 = p3
H0 : p2 = p3
Si se hacen las tres pruebas obtenemos tres valores P
CONTEOS ESPERADOS
Queremos probar la hipótesis de que las tres proporciones
son iguales conjuntamente:
H0 : p1 = p2 = p3
Ha no se cumple p1 = p2 = p3
Si H0 es cierta se cumple que los conteos observados son
iguales a los conteos esperados (excepto por azar).
Si tales diferencias son grandes es una evidencia en contra
de H0
CONTEOS ESPERADOS
El conteo esperado para cualquier celda en una tabla de
contingencia cuando H0 es cierta, es:
ESTADISTICO JI CUADRADO
El estadístico Ji cuadrado es una medida de la diferencia
de los conteos observados y los conteos esperados en una
tabla de contingencia:
la suma se hace sobre el total de celdas (#Fx#C)
DISTRIBUCIONES JI CUADRADO
El gráfico muestra las funciones de densidad de algunas
distribuciones Ji cuadrado. Observar la asimetría. La
distribución Ji cuadrado tiene un solo parámetro: los
grados de libertad.
X2
1 g. l.
X2
4 g. l.
X2
8 g. l.
LA PRUEBA Ji CUADRADO PARA TABLAS DE
CONTINGENCIA
Los valores críticos de la distribución Ji cuadrado, con (f-
1)x(c-1) g. l. en relación a una tabla de contingencia de f
filas y c columnas, se usan para la prueba de diferencias
de proporciones en la tabla.
El valor P es el área a la derecha de X2 calculado por
debajo de la curva.
Ejemplo: La siguiente tabla resume la relación
entre tratamiento y las proporciones de algún
efecto
TRATAMIENTO GRUPO #SUJETOS EFECTO PROPORC
T1 1 24 14 0,583
T2 2 24 6 0,250
T3 3 24 4 0,167
LA TABLA DE CONTINGENCIA CORRESPONDIENTE
ES:
Hacer la prueba para H0 : p1 = p2 = p3
Utilizar calculadora y comparar con salidas en
Minitab
EFECTO
TRATAMIENTO SI NO TOTAL
T1 14 10 24
T2 6 18 24
T3 4 20 24
TOTAL 24 48 72