Tema III: SistemasHamiltonianos: Variables accionangulo

1. Transformaciones canonicas

Sea H(q, p, t) un hamiltoniano tal que

p = −∂H

∂q

q =∂H

∂p(1.1)

Una transformacion en el espacio de fases

Q = Q(q, p)

P = P (q, p) (1.2)

es canonica, si existe un hamiltoniano H ′(Q,P, t)

H ′(Q,P, t) = H(q, p, t) +∂F

∂t(1.3)

tal que Q y P son variables canonicas

P = −∂H ′

∂Q

Q =∂H ′

∂P(1.4)

La funcion F es la funcion generatriz construida como

dF1(q,Q, t) = pdq − PdQ

dF2(q, P, t) = pdq + QdP

dF3(p,Q, t) = −qdp− PdQ

dF4(p, P, t) = −qdp + QdP (1.5)

(1.6)

1

2 Capıtulo 3

1..1 Ejemplo: Oscilador armonico amortiguado

Lagrangiano

L = ebtm

(m

2q2 − k

2q2

)

La ecuacion del movimiento es:

d

dt(e

btm mq) + e

btm kq = 0

o sea

mq + bq + kq = 0

Hamiltoniano

p =∂L

∂q= e

btm mq =⇒ q = e

−btm

p

m

H = e−btm

p2

2m+ e

btm

kq2

2

Este Hamiltoniano es dependiente del tiempo por lo que no es una constante delmovimiento. Veamos si hay una transformacion canonica que pase a un Hamilto-niano constante.

Transformacion canonica

Utilicemos la siguiente funcion generatriz

F2(q, p, t) = ebt2m qp

En tal caso

∂F2

∂q= e

bt2m p = p

∂F2

∂p= e

bt2m q = q

∂F2

∂t=

b

2me

bt2m qp

Las nuevas variables son por tanto:

p = e−bt2m p

q = ebt2m q

2.. ECUACION DE HAMILTON-JACOBI 3

y el nuevo Hamiltoniano

H(q; p) =p2

2m+

kq2

2+

b

2mqp

Las ecuaciones de Hamilton son:

˙q =p

m+

b

2mq

− ˙p = kq +b

2mp

Puesto que el nuevo hamiltoniano H no depende explıcitamente de t, es constantedel movimiento. Si lo expresamos en terminos de las variables iniciales

H = e−btm

p2

2m+ e

btm

kq2

2+

b

2mpq

donde no es dıficil comprobar que

[H, H] +∂H

∂t= 0

Dado que p = ebtm mq, la constante H puede escribirse como

H = ebtm

(q2

2m +

k

2q2 +

b

2qq

)

2. Ecuacion de Hamilton-Jacobi

El procedimiento standard de resolucion de un sistema hamiltoniano consiste enobtener tantas constantes del movimiento como grados de libertad de manera queel problema sea soluble por cuadraturas.

Por otra parte, hemos visto que toda coordenada cıclica lleva asociada una inte-gral primera (su momento conjugado), de forma que una transformacion canonicaque nos pasase a un conjunto de coordenadas cıclicas nos asegurarıa la resoluciondel problema.

2..1 Funcion principal de Hamilton

La funcion generatriz que mas drasticamente verifica la finalidad buscada serıaaquella para la que el nuevo hamiltoniano fuese estrictamente cero. En concreto se

4 Capıtulo 3

denomina funcion principal de Hamilton a una funcion generatriz de segundaespecie S(q, P, t) tal que:

H ′ = H +∂S(q, P, t)

∂t= 0

p =∂S

∂q

Q =∂S

∂P(2.1)

Puesto que H ′ = 0, todas las Q son cıclicas y sus momentos conjugados con-stantes

P = α (2.2)

La ecuacion

H

(q,

∂S

∂q, t

)+

∂S

∂t= 0 (2.3)

se denomina Ecuacion de Hamilton-Jacobi y puede interpretarse como unaecuacion en derivadas parciales para S. En esta ecuacion hay n+1 variables: las nq y el tiempo. La solucion general de S ha de depender de n+1 constantes. Una deellas ha de ser aditiva, ya que (2.3) solo depende de las derivadas de S y por tantosi S es una solucion S+cte tambien lo es. Puesto que la transformacion canonicasolo depende de las derivadas de S, la constante aditiva es irrelevante. Las otrasn constantes las podemos identificar con los n momentos constantes P = α demanera que, la resolucion de la ecuacion de H-J ha de proporcionar

S = S(q, α, t) (2.4)

Como H ′ = 0, las ecuaciones de Hamilton son:

P = α

Q = β (2.5)

y la condicion de transformacion canonica implica

Q =∂S

∂P=⇒ β =

∂S(q, α, t)

∂α(2.6)

Esta ultima ecuacion (2.6) permite despejar las q en la forma

q = q(α, β, t) (2.7)

con lo que el problema esta resuelto. Las n qi dependen de 2n constantes arbitrariasα y β (que son las nuevas variables canonicas)

2.. ECUACION DE HAMILTON-JACOBI 5

2..2 Sistemas autonomos: Funcion caracterıstica de Hamil-ton

Si H no depende explıcitamente del tiempo, la ecuacion de H-J es:

H

(q,

∂S

∂q

)+

∂S

∂t= 0 (2.8)

que admite para S la forma

S(q, αi, t) = W (q, αi)− α1t (2.9)

con lo que (2.8) es:

H

(q,

∂W (q, αi)

∂q

)= α1 (2.10)

De manera que en este caso la constante α1 (uno de los nuevos momentos) es elpropio Hamiltoniano (que solo sera la energıa si el sistema es natural)

La funcion W se denomina funcion caracterıstica de Hamilton.

2..3 Separacion de variables en la ecuacion de H-J

Se dice que el sistema es separable en las variables qi si para W de la forma

W (qi, αi) =n∑

j=1

Wj(qj, αi) (2.11)

la ecuacion de H-J se puede separar en n ecuaciones de la forma

Hj(qj,dWj

dqj

, αi) = αj (2.12)

Hamilton-Jacobi

Vamos ahora a aplicar H-J a

H(q; p) =p2

2m+

kq2

2+

b

2mqp

Puesto que H no depende de t

S(q, α, t) = −αt + W (q, α)

y la ecuacion de H-J es:

α =1

2m

(dW

dq

)2

+k

2q2 +

b

2mq

(dW

dq

)

6 Capıtulo 3

Se puede separar haciendo:

W = M − b

4q2

en cuyo caso

2mα =

(dM

dq

)2

+ q2(mk − b2

4) = 0

y por tanto

dM =

√2mα− (m2ω2 − b2

4)q2dq

La funcion principal de Hamilton es, por tanto

S = −αt− b

4q2 +

∫ √2mα− (m2ω2 − b2

4)q2dq

y la ecuacion del movimiento

β =∂S

∂α= −t +

∫ (√2mα− (m2ω2 − b2

4)q2

)−1

mdq

La integral se resuelve con el cambio

(m2ω2 − b2

4)q2 = 2mα sin2 θ

de manera que

β = −t +m√

m2ω2 − b2

4

θ

con lo que

q =

√2α

m(ω2 − b2

4m2 )sin

[√ω2 − b2

4m2(t + β)

]

y por tanto la variable fısica es:

q = e−bt2m

√2α

mγ2sin[γ(t + β)]

donde γ =√

ω2 − b2

4m

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 7

3. Variables accion-angulo

Nos vamos a restringir, por el momento a sistemas autonomos, tales que la ecuacionde H-J sea separable en la forma:

S(q1...qn, α1...αn) = −α1t +n∑

k=1

Wk(qk, α1...αn) (3.1)

donde H = α1.

3..1 Un grado de libertad

En tal caso, la funcion de Hamilton es:

S(q, α, t) = W (q, α)− αt

donde W satisface la ecuacion

α = H

(q,

∂W

∂q

)

siendo los antiguos momentos

p =∂W

∂q

y las nuevas coordenadas

β =∂S

∂α= −t +

∂W

∂α

• El procedimiento que vamos a describir resulta particularmente util para sis-temas cuyas trayectorias de fases son cerradas. La constancia del Hamiltonianodefine una curva H(q, p) = α en el espacio de fase. Cuando dicha curva es cerrada,se define I como

I = I(α) =1

2π

∮pdq (3.2)

cuya inversion proporcionaH = α = H(I) (3.3)

• Veamos ahora una forma alternativa de transformacion canonica. Busquemosnuevos momentos constantes I, de tal manera que el nuevo Hamiltoniano sea elmismo que el anterior y que la funcion generatriz sea W (q, I) = W (q, α(I)). Lasnuevas variables seran ahora cıclicas pero no constantes y las denominaremos θ

H(q, p) = α →W (q,I)→ H(I) = α (3.4)

8 Capıtulo 3

p =∂W (q, I)

∂q(3.5)

θ =∂W (q, I)

∂I(3.6)

• Las ecuaciones del movimiento para H(I) seran

I = cte

θ =∂H

∂I= cte = ω (3.7)

y por tanto la solucion

θ = ωt + θ0 (3.8)

ejemplo: Oscilador armonico

H =p2

2m+

mω2

2q2

Los puntos de retroceso son

q0 =

√2α

mω2

de manera que la variable de accion se calcula como

I = 41

2π

∫ q0

0

√2m

(α− mω2

2q2

)dq

Haciendo sin γ = qq0

I =2

π

∫ π2

0

2α

ωcos2 γdγ

=4α

πω

[γ

2+

(sin 2γ

4

)]π2

0

=α

ω

luego

H = α = Iω

de manera que

θ = ω =⇒ θ = ωt + θ0

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 9

Ejemplo: Potencial lineal

xo

E

El hamiltoniano es:

H =p2

2m+ k | x |

El punto de retroceso es:

x0 = ±α

ky por tanto

I =2

π

∫ x0

0

√2m(α− kx)dx

I =2

π

(−2

3

1

2mk

) [(2m(α− kx))3/2

]x0

0=

(2

3mkπ

)(2mα)3/2

α =

(9mk2π2

8

)1/3

I2/3

ω =2

3

(9mk2π2

8

)1/3

I−1/3

10 Capıtulo 3

Ejemplo: Pendulo

–4 –2 2 4t

El hamiltoniano es:

H =p2

2ml2−mgl cos θ = α

El punto de retroceso es:

θ0 = arcos

( −α

mgl

)

y por tanto

I =2

π

∫ θ0

0

√2ml2(α + mgl cos θ)dθ

Hacemos los cambios

k2 =mgl + α

2mgl

x = sinθ

2=⇒ cos θ = 1− 2x2

dθ =2dx√1− x2

con lo cual

I =8

π

√m2gl3

∫ x0

0

√k2 − x2

1− x2dx

Haciendo x = k sn(u, k)

I =4

π

√m2gl3

∫ K=arsn1

0

k2cn2udu

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 11

3..2 Varios grados de libertad. Separabilidad

Sea un hamiltoniano autonomo H(q1...qn, p1..pn) tal que la ecuacion de H-J seaseparable en la forma:

S(q1...qn, α1...αn) = −α1t +n∑

k=1

Wk(qk, α1...αn) (3.9)

donde H = α1.

• En tal caso, tomando como funcion generatriz la funcion

W (q1...qn, α1...αn) =n∑

k=1

Wk(qk, α1...αn) (3.10)

obtenemos

pk =∂

∂qk

Wk(qk, α1...αn) (3.11)

• y por tanto, es posible definir las variables de accion

Ik(α1..αn) =1

2π

∮pkdqk (3.12)

como los nuevos momentos generados por la transformacion canonica

W (q1...qn, I1...In) =n∑

k=1

Wk(qk, I1...In) (3.13)

• de forma que las nuevas coordenadas, conjugadas de las de accion, seran lasvariables de angulo definidas como

θk =∂W

∂Ik

=n∑

i=1

∂Wi(qk, I1...In)

∂Ik

(3.14)

• En cuanto al nuevo hamiltoniano sera:

H = α1 = H(I1...In) (3.15)

y las ecuaciones de H-J

Ik = 0

θk =∂H

∂Ik

= ωk(I1...In) (3.16)

12 Capıtulo 3

o bien

Ik = cte

θk = ωk(I1...In)t + δk (3.17)

El conjunto de constantes (I1...In), (δ1...δn) son las 2n constantes requeridas. Noobstante, las δi son triviales, una vez conocidas las Ii. En consecuencia: Un hamil-toniano se dice completamente integrable si existen n integrales Ii en involucion

[Ii, Ij] = 0 (3.18)

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 13

Ejemplo: Partıcula en un rectangulo

El Hamiltoniano es:

H =1

2m

(p2

x + p2y

)

con

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ b

de forma que tanto px como py son constantes en modulo

I1 =1

2π

∮pxdx =

1

π

∫ a

0

| px | dx =a

π| px |

I2 =1

2π

∮pydy =

1

π

∫ b

0

| py | dy =b

π| px |

de forma que

H =π2

2m

(I21

a2+

I22

b2

)

0

2

I1

2I2

Para cada valor de la energıa, los posibles valores de I1 y I2 estn situados sobreuna elipse. Las frecuencias son por tanto

ω1 =π2

ma2I1

ω2 =π2

mb2I2

que dependen de las condiciones iniciales a traves de I1 y I2.

n =ω2

ω1

=a

b

√2mEa2

π2I21

− 1

14 Capıtulo 3

Ası pues,para una energıa dada, la relacion entre las frecuencias sera racional oirracional dependiendo de los valores de I1

Las dos variables angulares son

θ1 = πx

a

θ2 = πy

b

que pueden identificarse con los dos angulos de un toro. Las trayectorias en elespacio de fases se encuentran pues arrolladas sobre un toro de radios I1 e I2 yangulos θ1 y θ2.

Para un mismo valor de la energıa tenemos varios posibles toros ya que laenergıa es degenerada pues todos los valores de I1 e I2 situados sobre una elipsetienen la misma energıa. En la figuras siguientes se muestran secciones de losdiversos toros correspondientes a una misma energıa

–2

–1

0

1

2

1 2 3 4

Las trayectorias sobre estos toros seran ergodicas o no dependiendo el valor deI1

Toro racional con n=3 Trayectoria irracional

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 15

Ejemplo: Partıcula en un potencial central

El lagrangiano sera

L =m

2

(r2 + r2ϕ2

)− V (r) (3.19)

y los momentos

pr = mr

pϕ = mr2ϕ (3.20)

Por tanto el hamiltoniano es:

H =p2

r

2m+

p2ϕ

2mr2+ V (r) (3.21)

Los momentos de H-J seran

P1 = α1 = H

P2 = α2 = pϕ (3.22)

Ejemplo: Potencial de Coulomb

El movimiento se realiza en un plano y el Hamiltoniano es:

H =p2

r

2m+

p2ϕ

2mr2− k

r

y por tantoα1 = H α2 = pϕ

y

pr =√

Ar2 + Br + C1

r

donde

A = 2mα1 < 0

B = 2mk > 0

C = −α22 < 0

de manera que

•Iϕ =

1

2π

∮ 2π

0

pϕdϕ = α2

16 Capıtulo 3

•Ir =

1

2π

∮prdr =

1

π

∫ r2

r1

√Ar2 + Br + C

1

rdr

donde r1 y r2 son las raices de Ar2 + Br + C = 0

Ir =1

π

[Bπ

2√−A

− π√−C

]

Ir =mk√−2mα1

− α2

de manera que

Iϕ = α2 α2 = Iϕ

Ir = mk√

1−2mα1

− α2 α1 = − mk2

2(Ir + Iϕ)2

y la energıa es degenerada a lo largo de las rectas de la grafica

En las figuras siguientes se ven los cortes de diferentes toros de la misma energıa

–2

–1

0

1

2

1 2 3 4 5

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 17

• En cuanto a las frecuencias son iguales

ω =mk2

(Ir + Iϕ)3= mk2

(−2E

mk2

)3/2

y todos los toros son racionales con las trayectorias cerradas como muestra la figura

Como el semieje mayor es:

a =r1 + r2

2= − B

2A= − k

2E

se verifica

ω2a3 =k

m

que es la ley de Kepler

18 Capıtulo 3

Ejemplo: Potencial Dipolar

• Sea el potencial central V = −kr+ λ

r2 . El correspondiente Hamiltoniano sera:

H =p2

1

2m+

p22

2m− k

r+

λ

r2

.

• Las constantes de separacion de Hamilton-Jacobi seran:

α1 = H, α2 = p2

S = −α1t + α2ϕ +

∫ √−2mr2 | α1 | +2kmr − α2

2 − 2λmdr

r

y el potencial efectivo (ver figura) es:

Vef =α2

2

2m− k

r+

λ

r2

donde los puntos de retroceso son

r1 =k

2 | α1 |

(1−

√1− 4α1

k2

(λ +

α22

2m

))

r2 =k

2 | α1 |

(1 +

√1− 4α1

k2

(λ +

α22

2m

))

• Las variables de accion seran

I1 =1

π

∫ r2

r1

√−2mr2 | α1 | +2kmr − α2

2 − 2λmdr

r=

√mk2

2 | α1 |−√

α22 + 2mλ

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 19

I2 =1

2π

∮α2dϕ = α2

invirtiendolas

α2 = I2

α1 = −mk2

2

1(I1 +

√I22 + 2mλ

)2

• Ası que en el formalismo de accion-angulo, el Hamiltoniano es:

H = −mk2

2

1(I1 +

√I22 + 2mλ

)2

En las figuras se ven los cortes de los toros de la misma capa de energıa

–1

–0.5

0

0.5

1

0.5 1 1.5 2

• y las frecuencias

ω1 =mk2

(I1 +

√I22 + 2mλ

)3

ω2 =mk2

(I1 +

√I22 + 2mλ

)3

I2√I22 + 2mλ

y por tanto la relacion entre las frecuencias sera

n =ω1

ω2

=

√I22 + 2mλ

I2

que sera racional o no dependiendo del valor de I2

En la siguiente figura se ve la variacion de n con I2

20 Capıtulo 3

0

1

2

3

4

n

1 2I2

• Toros racionales (n=3)

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 21

• Toros irracionales

22 Capıtulo 3

Ejemplo: Potencial de Hartman

Sea el potencial

V = −k

r+

λ

ρ2θ

el lagrangiano sera:

L =m

2

(x2 + y2 + z2

)+

k

r− λ

ρ2

• El problema es separable en coordenadas parabolicas

x =√

ab cos φ

y =√

ab sin φ

z =a− b

2

cos θ =a− b

a + b

sin2 θ =4ab

(a + b)2

r =a + b

2

ρ =√

ab (3.23)

en cuyo caso

x2 + y2 + z2 =(ab + ba)2

4ab+ abφ2 +

(a− b)2

4

Por tanto

L =m

2

[a2

4

(1 +

b

a

)+

b2

4

(1 +

a

b

)+ abφ2

]+

2k

a + b− λ

ab

• Los momentos seran:

pa =m

4

(1 +

b

a

)a

pb =m

4

(1 +

a

b

)b

pφ = mabφ

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 23

• y el Hamiltoniano

H =2

m

[a

a + bp2

a +b

a + bp2

b +p2

φ

4ab

]− 2k

a + b+

λ

ab

• Para emplear H-J

H = α1

S = −α1t + Wa(a) + Wb(b) + Wφ(φ)

α1 =2

m

[a

a + b

(dWa

da

)2

+b

a + b

(dWb

db

)2

+

(dWφ

dφ

)21

4ab

]− 2k

a + b+

λ

ab

Como ϕ es cıclica, podemos hacer

α2 = pϕ

con lo que la ecuacion de H-J es:

4a

(dWa

da

)2

+4b

(dWb

db

)2

− 4mk +2mλ

(1

a+

1

b

)− 2mα1(a+ b) = −α2

2

(1

a+

1

b

)

de manera que podemos separar el problema en la forma

pa =

(dWa

da

)=

√mα1

2+

α3

4a− α2

2 + 2mλ

4a2

pb =

(dWb

db

)=

√mα1

2+

4mk − α3

4b− α2

2 + 2mλ

4b2

pϕ =

(dWϕ

dϕ

)= α2 (3.24)

donde α3 es la constante de separacion

Las variables de accion seran:

•IΦ =

1

2π

∮pΦdΦ = α2

•Ia =

1

2π

∮pada =

1

π

∫ a2

a1

√Aa2 + Ba + C

ada

24 Capıtulo 3

donde

A =mα1

2< 0

B =α3

4

C = −α22 + 2mλ

4< 0

y a1, a2 son las raices de Aa2 + Ba + C = 0.

Ia =1

π

[Bπ

2√−A

− π√−C

]

Ia =α3

8

√2

−mα1

− 1

2

√α2

2 + 2mλ

•Ib =

1

2π

∮pbdb =

1

π

∫ b2

b1

√Ab2 + Bb + C

bdb

donde

A =mα1

2< 0

B =4mk − α3

4

C = −α22 + 2mλ

4< 0

y b1, b2 son las raices de Ab2 + Bb + C = 0.

Ib =1

π

[Bπ

2√−A

− π√−C

]

Ib =4mk − α3

8

√2

−mα1

− 1

2

√α2

2 + 2mλ

• Para eliminar α3 sumamos Ia e Ib

Ia + Ib = −√

I2Φ + 2mλ +

4mk

8

√2

−mα1

despejando α1

H = α1 = −mk2

2

(Ia + Ib +

√I2φ + 2mλ

)−2

3.. VARIABLES ACCION-ANGULO 25

• Las frecuencias asociadas a a y b son iguales

ωa = ωb = mk2(Ia + Ib +

√I2φ + 2mλ

)−3

mientras que

ωΦ = ωaIφ√

I2φ + 2mλ