tema 4 fonaments de probabilitat - uv · 2010-02-05 · interpretacions de la probabilitat n f n a...
TRANSCRIPT
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
TEMA 4
Fonaments de probabilitat
Dep. Estadística i Inv. Operativa
Univ. de València
Concepte de probabilitat• La probabilitat és la mesura de la incertesa dels esdeveniments.
• Jacob Bernoulli (1654-1705): La probabilitat és el grau de certesa,
el qual és a la certesa com una part ho és a un tot.
• COM MESUREM LA INCERTESA O EQUIVALENTMENT EL GRAU
DE CERTESA D‟UN ESDEVENIMENT?
• PRIMER CALDRÀ FORMALITZAR LA SITUACIÓ ON ES PRODUEIX
LA INCERTESA.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Definicions
Espai Mostral : Conjunt de tots els resultats possibles d‟un experiment
aleatori.
1. Llançament d‟una moneda =C,+
2. Loteria Primitiva =A1,2,..,49:|A|=6
3. Quiniela =(r1, r2,.., r15): ri1,x,2
4. Baralla francesa (52 cartes) =1,..,52 1=“As de”,..,52= “rei de ”
Esdeveniment : Subconjunt de resultats A .
1. A = “Traure cara”= C
2. E = “Encertar la combinació guanyadora” = 12,21,22,23,37,48
3. F = “Encertar els 15 resultats” = (2,1,1,x,1,1,2,2,x,1,1,2,x,1,1)
4. G = “Traure un as” = As de Pic, As de Cors, As de Diamants, As de Trèbol
Experiment Aleatori: És un experiment el resultat del qual desconeguem a
priori i que podem conèixer una vegada realitzat l‟experiment.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Interpretacions de la probabilitat
nAf n
r
A ocorre que vegades)()(
granent suficientm és quan )()( )( nAfAP n
r
srepeticion de nombren
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Freqüencialista: La probabilitat d‟un esdeveniment A és una aproximació a
la freq. relativa d‟A després d‟una llarga sèrie de repeticions de l‟experiment
en idèntiques condicions.
Llançament d’una moneda. ¿P(C)?
Llancem n=10 vegades. Resultat observat: +CC+CCC++C
La freqüència relativa de cara després de 10 llançaments és 0,60
n freq.
1 0,00
2 0,50
3 0,67
4 0,50
5 0,60
6 0,67
7 0,71
8 0,63
9 0,56
10 0,60
Freq. de cara
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
Serie1
Observem una
gran variabilitat en
les freqüències
relatives de cara.
Augmentem nLlancem n = 1000 vegades. (Simulació amb ordinador). Ho fem 2 vegades
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
freq. cara
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
1 101 201 301 401 501 601 701 801 901
n
Freq. de cara
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
1 101 201 301 401 501 601 701 801 901
n
Les gràfiques són diferents però s‟estabilitzen entorn a 0,50
Podem aproximar la probabilitat de cara per P(C)0,50, per aquesta
moneda.
Interpretacions de la probabilitat (2)
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Subjectiva: Basada en l‟opinió d‟un expert, es a dir el seu grau de creença
sobre l‟ocurrència d‟un esdeveniment.
Exemple: Quina és la probabilitat que el PAMESA guanye la lliga ACB?
Notem que l‟experiment no es pot repetir amb idèntiques condicions.
El fet que una persona assigne un valor, per exemple 0.6, a aquesta
pregunta, reflexa únicament la seua opinió personal.
Diverses persones poden donar respostes distintes a aquesta pregunta i
és impossible fins i tot quan acabe la lliga saber qui tenia raó.
Exemple: Quina és la probabilitat que un conductor principiant ocasione
danys a tercers per més de 600 euros en un any?
Les companyes d’assegurances es basen en historials d’accidents i, en
funció de l’edat, sexe, cotxe/moto calculen la prima del segur.
L‟usuari sempre opina que la prima és excessiva.
Operacions entre esdeveniments
Són idèntiques a les que fem amb conjunts. El llenguatge amb
esdeveniments és diferent al dels conjunts però hi ha una analogia total.
Esdeveniment Conjunt Simbologia
Espai Mostral / Esdev. Segur Conjunt universal
Esdeveniment Subconjunt de A
Esdev. Impossible Conjunt buit
Complementari Complementari Ac, Ā
A ó B ocorren A unió B AB
A i B ocorren A interssecció B AB,AB
A,B incompatibles A i B disjunts AB=
Si A ocorre B també A subconjunt de B A B
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Lleis de Morgan
BABAii
BABAi
)(
)(
A
B
La família de tots els esdeveniments, la representarem per A i ha de
ser tancada respecte de: (numerables) i Ā (complementari) i rep
el nom de -àlgebra d’esdeveniments.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
ParticionsUna colecció d‟esdeveniments B1,B2,…,Bn és una partició de B si:
jiBB
BB
ji
n
i
i
.2
.11
Exemple: Traure una carta d‟una baralla espanyola.
= O C E B només pot ser d‟una de 4 classes
possibles (formen una partició).
O=“ors”, C=“copes”, E=“espases”, B=“bastos”
Exemple: Tipus de sang a l‟analitzar una mostra.
= A B ”AB” 0 només pot ser d‟un dels 4 tipus
anteriors (formen una partició).
B1
B2
B3
B4
B5
B
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Donat el parell (,A) una distribució de probabilitat és una funció:
P: A R
B P(B)
Distribució de Probabilitat
Que cumpleix per a tot esdeveniment BA
1. P(B) 0 (no negativitat)
2. Si B1,B2,…,Bn és una partició de B, tenim que P(B)=P(B1)+ P(B2)+…+P(Bn)
(aditivitat)
3. P()=1
Els axiomes 1,2 i 3 es deuen a Kolmogorov (1933) i són extensions
naturals de les propietats de les freqüències.
És fàcil veure (a partir dels axiomes) que P(B) ≤ 1.
El TSAR DE L‟ATZAR
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Propietats de les distribucions de probabilitat
)(1)( APAP c
)()( BPAPBA
•Complementari
•Monotonia
•Principi Inclusió-Exclusió
n
i
i
nn
i
n
i ji kji
kjijiii APAAAPAAPAPAPii
ABPBPAPBAPi
1
1
1 1
)()1()()()()()
)()()()()
TOTES LES PROPIETATS ANTERIORS ES PODEN DEDUIR
DELS AXIOMES DE KOLMOGOROV.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Exemples• Quina és la probabilitat de traure almenys un 5 al llançar un dau bén
construït 6 vegades?
A = “traure almenys un 5 al llançar un dau 6 vegades”
Ac = “no traure cap 5 al llançar un dau 6 vegades”
P(A) = 1 - P(Ac) = 1 - (5/6)6 = 0,5561
• En una loteria hi ha tiquets numerats 1…6000. S‟extrau un a l‟atzar .
Quina és la probabilitat que siga múltiple de 2,3 ó 5?
Ai = “ser múltiple de i” per i = 2,3,5
P(A2 A3 A5) =
= P(A2) + P(A3) + P(A5) - P(A2A3) - P(A2A5) - P(A3A5) + P(A2A3A5) =
=1/2 + 1/3 + 1/5 - 1/6 - 1/10 - 1/15 + 1/30 = 11/15 = 0,7333
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Equiprobabilitat
• Si tots els resultats d‟un experiment aleatori tenen idèntica probabilitat
estem en una situació d‟equiprobabilitat.
• =w1,…,wn, P(wi)=1/n
• Fòrmula de Laplacetotal resultats en
( )total resultats possibles
A AP A
Exemples:
Jocs d‟atzar com ruleta, cartes, daus, llançaments de monedes,…
Mostreig Aleatori: Totes les mostres tenen idèntica probabilitat, tots
els individus de la població tenen idèntica probabilitat de ser triats.
D‟ara endavant, si no es diu el contrari suposarem que els daus,
monedes, baralles, etc… no estan trucats(des).
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Equiprobabilitat - Exemples Es llancen dos daus. Quina és la probabilitat que la suma valga 5?
Siga A = “traure un total de 5” tenim 36 resultats possibles equiprobables i A=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), per tant P(A) = 4/36 = 1/9.
Es llancen 3 monedes i sense veure el resultat, han d‟elegir-se 2. Es guanya si les 2 elegides són cara. Quina és la probabilitat de guanyar?
Evidentment la moneda no elegida no compta. Siga B = “les dos monedes triades són cara”, tenim 4 resultats equiprobables, per tant P(B)=1/4=0,25.
Et donen una mà de cinc cartes a l‟atzar d‟una baralla francesa. Quina és la probabilitat d‟obtindre un “pòquer d'asos”?
La probabilitat d‟obtindre un pòquer qualsevol seria 13 vegades més gran.
48 4
1 4 48 1("pòquer d'asos")= 0,00001847
52 2598960 54145
5
P
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Experiments probabilísticament equivalents
• Dos experiments aleatoris amb idèntica distribució de probabilitat es
diuen “probabilísticament equivalents”.
• És la base de la simulació. No és necessari tindre daus perfectes,
baralles ben barallades, etc…
• Un programa d‟ordinador pot simular qualsevol experiment aleatori
sempre que conegam la seua distribució de probabilitat.Exemple
Imaginem un dau deforme com el de la figura on t>0
Suposem que la
probabilitat de cada
cara és proporcional
a la seua àrea
t1
t1
11
t
tpppp
tpp
tST
42)6()5()3()1(
42
1)4()2(
6,5,4,3,2,142
Superfície
total del dau
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Exemple (cont.)Tenim infinites distribucions de probabilitat possibles (una per a cada
valor de t>0. En particular per a t=1/2
Considerem ara una loteria on hi ha N=16 tiquets dels quals 4 són “2”, 4 són “4”
i hi ha 2 de cada “1”,”3”,”5” i “6”. Extraure un tiquet a l‟atzar és
probabilísticament equivalent a llançar el dau deforme ja que les distribucions
de probabilitat són idèntiques.
És molt més fàcil fabricar una loteria com l‟anterior que fabricar un dau
deformat.
Probabilísticament és equivalent un experiment o l‟altre.
8
1)6()5()3()1(
4
1)4()2(
6,5,4,3,2,14
pppp
pp
ST
Els valors „2‟ i „4‟
tenen el doble de
probabilitat d‟eixir
que la resta.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Probabilitat CondicionadaUna informació parcial sobre el resultat d‟un experiment aleatori pot
alterar les probabilitats.
Exemple: Llancem una moneda 3 vegades.
Informació:”El primer llançament és cara”
És a dir, sabem que l‟esdeveniment
B = CCC,CC+,C+C,C+C ha ocorregut.
Com s‟alteren les probabilitats, després d‟aquesta informació?
Quina és la probabilitat de, per exemple, l‟esdeveniment
A =“Han eixit almenys 2 cares” = CCC,CC+,C+C,+CC?
Sabem que sense la informació donada per B, P(A) = 0,5
La informació que disposem rep el nom de “condició” o “esdeveniment
que condiciona”.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Probabilitat Condicionada (cont.)Distingim entre: Probabilitat inicial/a priori i Probabilitat final/ a posteriori.
=CCC,CC+,C+C,+CC,C++,+C+,++C,+++ espai mostral inicial
A=CCC,CC+,C+C,+CC P(A) = 0,5 (prob. Inicial d‟A)
B=CCC,CC+,C+C,C++ P(B) = 0,5 (prob. Inicial de B)
P(A|B) (prob. d’A condicionada a B)
B és el nou espai mostral (resultats possibles després que ocorre B)
AB
AB (única part d’A que pot ocórrer)
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Probabilitat Condicionada (cont.)
P(A|B) (prob. d‟A condicionada a B)
AB = CCC,CC+,C+C única part d‟A compatible amb B.
En aquest cas, B afavoreix la realització d‟A ja que P(A|B) > P(A).
Inicial Condicionat a B
Espai Mostral B = B
Esdeveniments A AB
Probabilitat P(A) P(A|B) = P(AB)/P(B)
33 ( ) 8( |D )
44 ( )e forma natural
8
P ABP A B
P B
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Definició formal (Probabilitat Condicionada)
0)()(
)()|( BPsi
BP
ABPBAP
La probabilitat d‟A sabent que ha ocorregut B és:
Prob. d‟A
condicionada a B
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
suposant ( ) 0, ( )
Forma multiplica i
0
t va: P AB P A B P B P B A P A
P A P B
Exemple300 persones estan classificades
depenent de si disposen o no
d‟ADSL en sa casa i de si tenen o no
ordinador portàtil, segons la taula
Portàtil
SI NO
ADSL
SI 27 84
NO 45 144
Experiment Aleatori: Seleccionar una persona a l‟atzar
Considerem A=“Tindre portàtil” B=“Tindre ADSL”
Calcular P(A|B),P(B|A),P(A),P(B) i P(AB). Interpretar-les.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
ExerciciUn sistema de seguretat disposa de 2 alarmes. La primera falla amb probabilitat
0,10. Si la primera falla, la probabilitat que la segona falle és 0,20, però si no falla
la primera, la probabilitat que ho faça la segona és 0,05.
Calcular les probabilitats següents:
a) Almenys una alarma no falle.
b) Exactament una alarma no falle.
c) La segona alarma no falle.
Solucions
a) 0,98 b) 0,125 c) 0,935
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Independència (2 esdev.)Dos esdeveniments A i B són independents si l‟ocurrència d‟un qualsevol d‟ells
no altera la probabilitat de l‟altre. En altre cas, direm que són dependents.
)()|( ó )()tsindependen , BPABPAPP(A|BBA
Forma multiplicativa
)()()tsindependen , BPAPP(ABBA
Propietat: Si A i B són independents, també ho són A,Bc; Ac,B, Ac, Bc.
Exemple: Es trau una carta a l‟atzar d‟una baralla de 40 cartes.
Determinar si A =“Traure as” i B=“Traure basto” són independents o no.
R: Són Independents.
Esdeveniments incompatibles no han de ser independents i vice-versa.
ABBA
BAAB
que implica no tsindependen ,
tsindependensiguen , que implica no bles)(incompati
Exemple: Se trau una carta a l‟atzar d‟una baralla de 40 cartes. B=“Traure
basto” i O=“Traure or” són incompatibles però dependents.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Independència (n esdeveniments)Direm que els esdeveniments Ai, i=1,…,n són independents si:
11
1) ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ) ( ) ( )
1) ( ) ( )
i j i j
i j k i j k
n n
i i
ii
P A A P A P A i j
P A A A P A P A P A i j k
n P A P A
Exemple: Esdeveniments 2 a 2 independents però dependents.
Es llança una moneda 2 vegades, considerar els esdeveniments:
E = “Idèntic resultat en els dos llançaments”
A1 = “Primer llançament és cara” A2 = “Segon llançament és cara”
Solució:
Notem que P(EA1A2) = P(A1A2) = ¼ però P(E) = P(A1) = P(A2) = ½ per tant
no es compleix la condició 2, d‟altra banda P(EA1)=P(E A2)=P(A1A2)=¼ i és
compleix la condició 1. Són 2 a 2 independents però en conjunt els tres no
són independents.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Siga Bi i=1,…,n una partició de i suposem que P(Bi)>0 i.
Considerem un esdeveniment A qualsevol.
Aleshores
Teorema de la Probabilitat Total
B1
B2
B3
B4
B6
A
B5
n
i
ii BPBAPAP1
)()|()(
Partició d‟A induïda per
una partició de Ω
Ω
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Fórmula de Baies
Siga Bi i=1,…,n una partició de i suposem que P(Bi)>0 i.
Considerem un esdeveniment A qualsevol.
Aleshores:
ni
BPBAP
BPBAPABP
n
i
ii
iii ,...,1
)()|(
)()|()|(
1
Prob. “a posteriori” Prob. “a priori”
Conegut també per
“Teorema de les causes”
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
El denominador
val P(A)
Exemple
Tenim tres caixes amb distintes composicions
1 2 3
Ens diuen que la bola extreta és blanca. Quina és la probabilitat que vinga de la caixa 3?
S‟elegeix una caixa a
l‟atzar i es trau d‟ella
una bola també a
l‟atzar.
Tenim una partició d‟Ω formada per les boles de les caixes 1,2 i 3
P(1)=P(2)=P(3)=1/3. Siga B=“Traure una bola blanca”
3 1
( | 3) (3) 94 3(3 | ) 0,3911 1 2 1 3 1( |1) (1) ( | 2) (2) ( | 3) (3) 23
2 3 3 3 4 3
P B PP B
P B P P B P P B P
Notem que sense informació, seleccionar la caixa 3 té una probabilitat de 1/3.
La informació en aquest cas ha augmentat la probabilitat a 0,391
aproximadament (un 17,4% d‟augment).
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Exemple (Falsos +)
Un test de laboratori per a detectar una malaltia pot donar dos resultats: (+)
indicant que la pateix i (-) indicant que no la pateix. El test no està lliure d‟errors
i pot donar “falsos +” i “falsos -”. Se sap que en un 2% de la gent que no té la
malaltia li dóna (+), i que al 95% de la gent que pateix la malaltia li dóna (+).
•Si aquest test s‟utilitza en una població on es pensa que aproximadament l‟1%
pateix la malaltia i agafem una persona a l‟atzar i el test li dóna +, quina és la
probabilitat que efectivament patisca la malaltia? Creus que aquest test és
recomanable?
•Contesta les preguntes anteriors per a una població amb el 75% de malalts.
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
Encadenament d‟esdevenimentsEn experiments composts de diverses fases, la fórmula de la probabilitat en forma
multiplicativa ens pot ajudar a resoldre situacions com la següent:
D‟una baralla de 52 cartes s‟extrau a l‟atzar una mà (5 cartes sense reemplaçament)
quina és la probabilitat que siguen totes del mateix pal? (En pòquer aquesta mà
s’anomena color)
Primer calculem la probabilitat de traure una mà amb 5 diamants, per exemple.
Definim Di=“La carta i-ésima és diamant” i=1,…,5
1 2 3 4 5 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 5 1 2 3 4
4
( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )
13 12 11 10 9 1544404,95x10
52 51 50 49 48 311875200
P D D D D D P D P D D P D D D P D D D D P D D D D D
Estadística - Grau de Nutrició
Humana i Dietètica. Tema 4
L‟explicació de la fórmula anterior és que P(D1)P(D2|D1) = P(D1D2). I ara encadenant
amb el següent terme P(D1D2)P(D3|D1D2) = P(D1D2D3) i així successivament