distribuciÓ de probabilitat · distribució, en què n és el nombre de vegades que es realitza...

DISTRIBUCIÓ DE PROBABILITAT

Molts fenòmens naturals i socials, com ara el conjunt de les notes d’un examen dels alum-

nes d’una classe, el pes dels nadons nascuts en un determinat hospital o el coefi cient

d’intel·ligència d’una població, segueixen una distribució de probabilitat molt característica:

la distribució normal.

10

Unitat10_CCSS1_2008.indd 237Unitat10_CCSS1_2008.indd 237 5/12/07 12:00:305/12/07 12:00:30

238 BLOC 4. ESTADÍSTICA10

j 10.1 Funció de probabilitat d’una variable aleatòria

Un experiment aleatori es pot considerar de dues maneres:

j Després de realitzar-lo. En aquest cas els resultats obtinguts constitueixen els va-lors d’una variable estadística. El nombre de vegades que es repeteix cadascun dels valors són les freqüències.

j Abans de realitzar-lo. Els possibles resultats són els diferents successos que de-penen de l’atzar i que originen una variable, els valors de la qual tindran una certa probabilitat de repetir-se. Aquestes noves variables són les que s’anomenen variables aleatòries.

Considerem l’espai mostral Ω, associat a un experiment aleatori E. Una variable alea-tòria X associada a aquest experiment és una aplicació de l’espai mostral en el conjunt dels nombres reals.

X: Ω R

El conjunt imatge d’aquesta aplicació és el recorregut de la variable. Així, els elements del recorregut, que constitueixen un subconjunt dels nombres reals, són els valors que pren la variable.

El concepte de variable aleatòria sorgeix davant la necessitat de quantifi car els possi-bles resultats dels experiments aleatoris per poder fer-hi operacions.

Els conceptes de variable estadística i de freqüència van lligats al de mostra, ja que l’experiment es considera després de realitzar-lo. En canvi, els conceptes de variable aleatòria i de probabilitat són teòrics i resulten d’una abstracció dels anteriors.

Les variables aleatòries, com les estadístiques, poden ser discretes o contínues, i donen lloc a les respectives distribucions de probabilitat. Les representacions, en el cas de les variables aleatòries discretes, són semblants a les descrites per a les variables estadísti-ques discretes, i condueixen als diagrames de barres. Per aquest motiu, només cal que substituïm les freqüències per les probabilitats. En el cas de variables aleatòries contínu-es, el tractament és més complex. Començarem per les variables aleatòries discretes.

Una variable aleatòria és discreta si el conjunt de valors que pren és fi nit. Aquest conjunt es representarà per {x

1, x

2, x

3… xn}, on els valors xi habitualment són nombres

enters.

Defi nim la funció de probabilitat o llei de probabilitat de la variable aleatòria discreta X com la funció que assigna a cadascun dels valors xi que pren la variable la correspo-nent probabilitat pi.

En general, escrivim: p[X = xi] = pi , ∀i = 1, 2, 3, …, n.

Aquesta funció verifi ca les propietats següents:

1. pi ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3, …, n.

2. n

opii = 1

= 1

Representat de manera esquemàtica:

X p Ω R [0, 1]

Ai X(Ai) = xi p[X = xi] = pi

en què X és la variable aleatòria discreta; p, la funció de probabilitat; Ai, un succés elemental de l’experiment aleatori; xi, el valor que pren la variable X per al succés Ai, i pi, la probabilitat associada al succés X = xi.


10 239DISTRIBUCIÓ DE PROBABILITAT

De vegades no interessa tant conèixer la probabilitat que una variable discreta X pren-gui un determinat valor xi, com la probabilitat que prengui un valor més petit o igual que xi. És el concepte acumulatiu de la probabilitat.

Per aquest motiu, defi nim la funció de distribució com la funció:

F(xi) = p[X ≤ xi] =

i

opj = 1

[X = xj], ∀xi ∈ R

També se l’anomena funció de distribució de probabilitats acumulades.

No hem d’oblidar que, mentre la funció de probabilitat es defi neix únicament per als possibles valors de la variable X, el domini de defi nició de la funció de distribució són tots els nombres reals.

En una variable aleatòria discreta es poden calcular els paràmetres de la distribució de probabilitat:

j La mitjana de la variable o esperança matemàtica es calcula mitjançant l’ex-pressió:

μ = i

oi = 1

xi pi

en què xi són els diferents valors de la variable X i pi , les respectives probabilitats.

j La variància d’una variable aleatòria X és:

σ2 =

n

oi = 1

(xi − μ)2 pi =

n

oi = 1

xi pi2 − μ2

j S’anomena desviació típica de la variable l’arrel quadrada de la variància:

σ = √

n

o(xi − μ)2 pi i = 1

= √

n

oxi pi2 – μ2

i = 1

Els paràmetres d’una distribució de probabilitat són semblants als d’una distribució estadística. Només cal que canviem les fre-qüències relatives per les proba-bilitats.

EXEMPLE 1

En l’experiment aleatori de llançar dues monedes, l’espai mostral és:

Ω = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}

Resolució

Si defi nim la variable X: «nombre de cares», tindrem una funció que a cada element de l’espai mostral, és a dir, a cada resultat de l’experiment, li assigna el nombre de cares.

X(c, c) = 2, X(c, x), X(x, c) = 1 i X(x, x) = 0

Suposant que les monedes estiguin perfectament equi-librades i, per tant, que els successos elementals siguin equiprobables, s’obté la taula 10.1:

Resultats possiblesde l’experiment

Valors dela variable

Funció de probabilitat

(x, x) 0 p[X = 0] = 1

4

(c, x), (x, c) 1 p[X = 1] = 1

2

(c, c) 2 p[X = 2] = 1

4

Taula 10.1



La representació gràfi ca de la funció de probabilitat la podem observar en la fi gura 10.1.

Fig. 10.1

Per determinar-ne la funció de distribució corresponent, hem de calcular la imatge F(x) per a qualsevol valor x [ R.

Per a qualsevol valor x < 0 tindrem que:

F(x) = p[X < 0] = 0

F(0) = p[X ≤ 0] = p[X = 0] = 1

4

F(1) = p[X ≤ 1] = p[X = 0] + p[X = 1] = F(0) + p[X = 1] =

= 1

4 + 1

2 = 3

4

F(2) = p[X ≤ 2] = p[X = 0] + p[X = 1] + p[X = 2] =

= F(1) + p[X = 2] = 3

4 + 1

4 = 1

D’on obtenim la funció de distribució de la variable X:

F(x) =

0 si x < 0

1

4 si 0 ≤ x < 1

3

4 si 1 ≤ x < 2

1 si x ≥ 2

La representació gràfi ca de la funció de distribució la podem observar en la fi gura 10.2.

Fig. 10.2

A partir de la gràfi ca podem observar les propietats que verifi ca la funció de distribució:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. La gràfi ca de la funció F(x) és esglaonada.

3. F(x) = 0 per a qualsevol valor anterior al valor més petit de la variable aleatòria discreta.

4. F(x) = 1 per a qualsevol valor igual o posterior al valor més gran de la variable aleatòria discreta.

5. F(x) és una funció creixent.

Finalment, calcularem l’esperança matemàtica i la des-viació tipus.

μ =

3

oxi pii = 1

= 0 · 1

4 + 1 · 1

2 + 2 · 1

4 = 1

A partir de la taula 10.1 es dedueix que, efectivament, el valor més esperat de la variable és x = 1

s x p m 0 41 1 2

1 2 41 1

23 1 2

1

i ii

2 2 2 2 2

1

3

2 2= - = + + - =

= - =

$ $ $=

/

d’on s’obté la desviació típica:

,s x p m 21 0 7071i i

i

2

1

3

2= - = ==

/



j 10.2 La distribució binomialConsiderem un experiment aleatori qualsevol, amb dos únics successos A i A], als quals anomenarem èxit i fracàs, respectivament. La probabilitat de cadascun d’aquests suc-cessos és:

p(A) = p i p(A]) = 1 − p(A) = 1 − p = q

Es diu que un experiment amb aquestes característiques segueix una distribució de Bernouilli.

Si defi nim la variable aleatòria discreta X: «nombre d’èxits», en una distribució de Ber-nouilli la funció de probabilitat és:

P [X = 1] = p i p[X = 0] = q

Les característiques de qualsevol variable aleatòria discreta que segueixi una llei de Bernouilli són:

j L’esperança de la variable és μ = 0 · q + 1 · p = p.

j La variància σ2 = 02 · q + 12 · p − p2 = p − p2 = p(1 − p) = p q i, per tant, la desviació

típica és σ = √ p q.

Quan un experiment de Bernouilli es realitza un determinat nombre n de vegades, que constitueix un nombre n de proves independents, es diu que és un experiment que se-gueix el model de la distribució binomial B(n, p), on n i p són els paràmetres de la distribució, en què n és el nombre de vegades que es realitza l’experiment i p, la pro-babilitat d’èxit per a n = 1.

En una distribució binomial B(n, p) es donen les característiques següents:

j El resultat de cada prova pertany a una d’aquestes dues categories: èxit o fracàs.

j La probabilitat p d’èxit és la mateixa en cada prova.

j L’experiment dóna lloc a un nombre n de proves, que són independents entre elles.

j L’esperança és μ = n p.

j La variància i la desviació típica són, respectivament, σ2 = n p q i σ = √ n p q .

ACTIVITATS

1> Llancem tres monedes. Defi nim la variable aleatò-ria X com el nombre de creus que surtin.

a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distribució de la variable X.

b) Representa gràfi cament la funció de probabili-tat i la funció de distribució.

c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.

R: c) ; sm 23

23

= =

2> En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire defi nim la variable aleatòria X com X(a, b) = màx(a, b), on (a, b) són els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció de pro-babilitat i calcula l’espe rança matemàtica.

R: μ = 4,472X

3> La funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta està expressada en aquesta taula:

xi −2 −1 0 2 4

pi1

8

1

6

1

8

1

4

1

3 a) Determina la funció de distribució i representa-

la gràfi cament.

b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica.

R: b) μ = 1,416X ; σ2 = 4,99305X ; σ = 2,2345

4> La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren valors 1, 2, 3... n, amb probabilitats:

pi = 1

n ;i = 1, 2, 3…, n

Calcula la funció de distribució, l’esperança i la desviació típica d’aquesta variable.

Taula 10.2

Una distribució de Bernouilli és una distribució binomial B(1, p).



La funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta X: «nombre d’èxits» que se-gueix una distribució binomial B(n, p) és:

p [X = k] = ( nk ) pk (1 − p)n – k = ( n

k ) pk qn – k

en què k = 0, 1, 2, 3... n indica el nombre d’èxits.

Aquesta funció de probabilitat verifi ca que:

1. p[X = k] ≥ 0, ja que ( nk ) > 0, p ≥ 0 i q ≥ 0

2.

n

oi = 0

p[X = i ] = p[X = 0] + p[X = 1] + p[X = 2] + ... + p[X = n − 1] + p[X = n] =

= ( n0 )qn + ( n

1 )p qn−1 + ( n2 )p2 qn−2 + … + ( n

k )pn−1 q + ( nk )pn = (p + q)n = 1n = 1

Observa que en aquesta última demostració s’ha utilitzat el desenvolupament del bino-mi de Newton.

La funció de distribució d’una variable aleatòria binomial X és:

F(x) = p[X ≤ x] = p[X = 0] + p[X = 1] + p[X = 2] + … + p[X = k] =

= ( n0 )qn + ( n

1 )p · qn−1 + ( n2 )p2 · qn−2 + … + ( n

k )pk · qn−k = k

oi = 0

( ni )pi · qn−i

k és el nombre enter més gran que és més petit o igual que x. Aquesta funció assigna a cada valor real x la probabilitat que la variable X prengui valors més petits o iguals que x.

EXEMPLE 2

Resolució

Defi nim el succés A: «guanyar en una competició»:

p = p(A) = 1

5 i q = p(A]) = 4

5

La variable X: «nombre de competicions guanyades»

segueix una distribució binomial B(6, 1

5). Per tant, la

probabilitat de guanyar, com a mínim, quatre de les sis vegades serà:

p[X ≥ 4] = p[X = 4] + p[X = 5] + p[X = 6] =

= ( 64 )( 1

5 )4

· ( 45 )

2

+ ( 65 )( 1

5 )5

· 45

+ ( 66 )( 1

5 )6

=

= 240

56 + 24

56 + 1

56 =

265

56 = 53

55 =

53

3 125

I la probabilitat de guanyar menys de cinc vegades:

p[X < 5] = 1 − p[X ≥ 5] = 1 − (p[X = 5] + p[X = 6]) =

= 1 − (24

56 + 1

56) = 1 − 25

56 = 1 − 1

54 = 624

54

=

624

625

La funció de probabilitat d’aquest exemple és:

p[X = 0] = ( 60 )( 4

5 )6

= 46

56 =

4 096

15 625

p[X = 1] = ( 61 ) 1

5 · ( 4

5 )5

= 6 · 45

56 =

6 144

15 625

p[X = 2] = ( 62 )( 1

5 )2

· ( 45 )

4

= 15 · 44

56 = 3 · 4

4

55 =

768

3 125

p[X = 3] = ( 6

3 )( 15 )

3

· ( 45 )

3

= 20 · 43

56 = 4

4

55 =

256

3 125

La probabilitat de guanyar en una competició és p = 1

5. Si se celebren sis proves, quina

és la probabilitat de guanyar, com a mínim, quatre vegades? I la de guanyar menys de cinc vegades?



p[X = 4] = ( 64 )( 1

5 )4

· ( 45 )

2

= 15 · 42

56 = 3 · 4

2

55 =

48

3 125

p[X = 5] = ( 65 )( 1

5 )5

· 45

= 6 · 456

= 3 · 23

56 =

24

15 625

p[X = 6] = ( 66 )( 1

5 )6

= 156

=

1

15 625

j Els paràmetres de la distribució de probabilitat de la variable X defi nida en l’exemple són:

j L’esperança: μ = n p = 6 · 15

= 65

j La variància: σ2 = n p q = 6 · 15

· 45

= 2425

j La desviació típica: σ = √ n p q = √2425

= 2√ 65

- 0,98

ACTIVITATS

5> A partir de la variable aleatòria de l’exemple 2:

a) Comprova la segona propietat de la funció de probabilitat de la distribució binomial.

b) Defi neix la funció de distribució.

6> Calcula:

a) p[X = 5], en B (7, 13 ); b) p[X ≤ 2], en B (5, 1

2 ) c) p[X > 3], en B (8, 2

3 ); d) μ, σ2 i σ, en B (10, 35 )

R: a) 28729

; b) 12 ; c) 5 984

6 561 ;

d) μ = 6; σ 2 = 125

; σ = 2 √ 3

5

7> Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Esta-bleix la probabilitat d’obtenir:

a) 47 cares. b) 35 creus.

c) Almenys 2 cares. d) Cap creu.

8> Una família de Tarragona té cinc fi lls. Suposant que la probabilitat que un dels fi lls sigui nen és 0,45, calcula la probabilitat que siguin:

a) Tres nens i dues nenes. b) Menys nens que nenes.

c) Una sola nena. d) Cap nen.

R: a) 0,27565; b) 0,59313; c) 0,11277; d) 0,05033

9> El 2 % dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Calcula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles defectuosos en una co-manda de 10 000 unitats.

R: μ = 200; σ = 14

10> Determina el nombre esperat de nenes en una fa-mília de vuit fi lls, si suposem igualment probable la distribució de sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nombre esperat de nenes?

R: 4 nenes; p = 35128

11> Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre cares que són triangles equilàters. Nume-rem les cares de l’1 al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per a n = 5.

a) Estudia la distribució binomial corresponent.

b) Defi neix les funcions de probabilitat i de distri-bució.

c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica.

12> El 3 % de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascuna. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa?

R: p = 0,82804

13> Una determinada malaltia té un índex de mortali-tat del 20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.

R: p = 0,98304

14> El 55 % dels treballadors d’un organisme ofi cial són dones. Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien 5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin dones? I si l’elecció només es fa entre els alts càrrecs?

R: p = 0,33691; p = 0,08789



j 10.3 Variable aleatòria contínua

Alguns experiments poden arribar a prendre tots els valors d’un interval real. En aquest cas, la variable aleatòria associada és una variable aleatòria contínua. Quan es fa abs-tracció d’aquesta situació, de la mateixa manera que en el cas de les variables discretes, s’arriba al concepte de distribucions de probabilitat contínua.

En la taula 10.3 s’indiquen les notes de 100 alumnes distribuïdes en freqüències rela-tives:

X (0, 1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, 5] (5, 6] (6, 7] (7, 8] (8, 9] (9, 10]

fi 0,04 0,05 0,12 0,14 0,25 0,15 0,08 0,08 0,05 0,04

Taula 10.3

L’histograma associat és (fi g. 10.3):

Fig. 10.3

Si realitzéssim el mateix estudi per a totes les notes dels 100 alumnes i les aproximés-sim fi ns a les dècimes, centèsimes, mil·lèsimes, etc., obtindríem un polígon de freqüèn-cies semblant al de la fi gura 10.4.

Fig. 10.4

Aquest diagrama ens pot proporcionar una idea intuïtiva d’una distribució de probabi-litat contínua.

Per a una variable aleatòria contínua X, es defi neix la funció de densitat f(x) de la variable, de manera que:

1. f(x) ≥ 0, ;x [ R.

2. L’àrea del recinte que determina la gràfi ca de f(x) amb l’eix OX és 1.

La funció de distribució, igual que en el cas de les variables discretes, es defi neix:

F(x) = p[X ≤ x], ;x [ R

Per tant, aquesta funció acumula la funció de densitat corresponent a tots els valors reals més petits o iguals que x.

La funció de distribució és la que s’utilitza per al càlcul de probabilitats d’una variable aleatòria contínua, de manera que:

En les variables aleatòries dis-cretes es defineix la funció de probabilitat, mentre que en les variables aleatòries contínues es defineix la funció de densitat.



j F(x1) = p[X ≤ x

1] és l’àrea del recinte que determina la gràfi ca de la funció de densitat

amb l’eix OX en l’interval (−∞, x1].

j p[X ≥ x1] és l’àrea del recinte que determina la gràfi ca de la funció de densitat amb

l’eix d’abscisses en l’interval [x1, +∞). Com que l’àrea total és 1, tenim que:

p[X ≥ x1] = 1 − p[X ≤ x

1] = 1 − F(x

1)

j p[x1 ≤ X ≤ x

2] és l’àrea del recinte que determina la gràfi ca de la funció de densitat

amb l’eix OX en [x1, x

2]. És a dir,

p[x1 ≤ X ≤ x

2] = p[X ≤ x

2] − p[X ≤ x

1] = F(x

2) − F(x

1)

En una distribució contínua de probabilitat s’utilitza la nomenclatura p[X ≤ x1], tot i que

s’hagi de calcular p[X < x1], ja que:

p[X ≤ x1] = p[X < x

1] + p[X = x

1] i

p[X = x1] = p[x

1 ≤ X ≤ x

1] = F(x

1) − F(x

1) = 0

EXEMPLE 3

Esbrina si f(x) =

1 si − 1

2 ≤ x ≤ 1

2

0 per als altres valors de x [ R

és una funció de densitat.

Resolució

N’hi ha prou a comprovar que verifi ca les dues condici-ons de la defi nició de funció de densitat.

1. A partir de la defi nició de la funció f(x) tenim que f(x) ≥ 0, ;x [ R.

2. L’àrea del recinte que determina la gràfi ca de la fun-ció f(x) amb l’eix OX és:

A = [ 1

2 − (− 1

2)] · 1 = 1 · 1 = 1 (vegeu fi g. 10.5)

Per tant, f(x) és una funció de densitat.

Calculem algunes probabilitats a partir de la funció de distribució corresponent.

a) F ( 15 ) = p[X ≤ 1

5 ] és l’àrea del recinte determinat

per la funció f(x) en l’interval (−∞, 15 ], per tant:

F ( 15 ) = p[X ≤ 1

5 ] = [ 15

− (− 1

2)] · 1 = 7

10

(vegeu fi g. 10.5)

b) p[X ≥ 0] = 1

2 ja que l’àrea del recinte deter-

minat per f(x) en l’interval [0, +∞) és 1

2.

Al mateix temps, es verifi ca que

p[X ≥ 0] = 1 − p[X ≤ 0] = 1 − F(0).

c) p[– 14

≤ X ≤ 16 ] = [ 1

6 − (− 1

4 )] · 1 = 512

, que coinci-

deix amb:

p[X ≤ 16 ] − p[X ≤ – 1

4 ] = 16

− (− 12 ) − [– 1

4 − (− 1

2)] =

= 23

− 14

= 512

Fig. 10.5



j 10.4 La distribució normal

Una de les distribucions de probabilitat contínua més important és la distribució nor-mal, ja que molts fenòmens naturals i socials s’hi ajusten.

Es diu que una variable aleatòria contínua X segueix una distribució normal de mitjana μ i desviació típica σ, es designa per N(μ, σ), si es verifi quen les condicions següents:

j Els valors de la variable són tots nombres reals.

j La funció de densitat és:

f(x) = 1

σ √ 2π e

− 12 ( x − μ

σ )2

que és l’expressió algèbrica de la corba normal o campana de Gauss (fi g. 10.6).

Els valors de μ i σ s’anomenen paràmetres de la distribució normal.

Fig. 10.6

Propietats de la funció de densitat de la distribució normal N (μ, σ)

1. El seu domini de defi nició és tota la recta real R.

2. La seva gràfi ca és simètrica respecte de la recta x = μ.

3. No talla l’eix d’abscisses, ja que les funcions exponencials són estrictament positives. Talla l’eix d’ordenades en el punt d’ordenada:

y = 1

σ √ 2π e

− 12 (−μ

σ )2

ACTIVITATS

15> Si X representa una variable aleatòria contínua:

a) Demostra que f(x) és una funció de densitat:

1

2 si 0 ≤ x ≤ 2

f(x) =

0 si x ∉ [0, 2]

b) Representa-la gràfi cament.

16> Per a la funció de densitat de l’exercici anterior, calcula:

a) p[X ≤ 1] b) p[X ≥ 12 ] c) p[ 1

4 ≤ X ≤ 3

2 ] R: a) 1

2; b) 3

4; c ) 5

8

17> En una variable aleatòria contínua X es defi neix la funció:

k x si x ∈ [0, 5] f(x) = 0 si x ∉ [0, 5]

a) Calcula el valor de k per tal que la funció f(x) sigui una funció de densitat.

b) Troba p[2 ≤ X ≤ 3,5] per al valor de k calculat en l’apartat anterior.

R: a) k = 225

; b) 33100



4. Per a x > 0, els valors de la funció s’apropen a zero a mesura que augmenta x. Per a x < 0, els valors de la funció també s’apropen a zero a mesura que disminueix x.

5. L’àrea del recinte que determina la corba amb l’eix OX és 1, ja que es tracta d’una funció de densitat.

6. En els intervals (μ − σ, μ + σ); (μ − 2σ, μ + 2σ) i (μ − 3σ, μ + 3σ), s’hi troba el 68,26 %; 95,44 % i 99,74 %, respectivament, del total de l’àrea (fi g. 10.7).

Fig. 10.7

La forma de la gràfi ca de la funció de densitat dependrà dels valors de μ i σ. Tot seguit, mostrem les gràfi ques per a diferents valors dels paràmetres μ i σ (fi g. 10.8).

Fig. 10.8

La representació gràfi ca de la funció de distribució corresponent és (fi g. 10.9):

Fig. 10.9

Els valors de la variable, tals que x ≤ n – 3v o x ≥ n + 3v, es troben en una zona en què l’àrea és el 0,26 % del total, és a dir, pràcti-cament zero.



La relació que existeix entre la funció de densitat i la funció de distribució d’una varia-ble contínua amb distribució normal N(μ, σ) es representa en la fi gura 10.10.

Fig. 10.10

El valor de l’àrea assenyalada coincideix amb el valor de F(x1).

La distribució N(0, 1) es coneix amb el nom de distribució normal reduïda, la funció de densitat de la qual és:

f(x) = 1

√ 2π e

−x2

2

La seva gràfi ca és la que pots observar en la fi gura 10.11:

Fig. 10.11

Tipifi cació d’una variable X que segueix una distribució N(μ, σ)

Per poder treballar amb la funció de distribució d’una variable contínua amb distribució normal, és a dir, per calcular F(x

1) = p[X ≤ x

1], on X és una variable contínua que segueix

una distribució normal N(μ, σ), s’ha de tipifi car prèviament la variable.

Representem per X una variable que segueix una distribució normal N(μ, σ). Si considerem la

variable Z = X − μσ , obtenim una nova variable que segueix una distribució normal N(0, 1).

La variable Z defi nida d’aquesta manera es coneix amb el nom de variable tipifi cada.

És a dir, si la variable aleatòria contínua X segueix una distribució normal N(μ, σ), aleshores

la variable Z = X − μσ segueix una distribució normal N(0, 1).

Per facilitar el càlcul de F(z1) = p[Z ≤ z

1] en una distribució normal N(0, 1), s’ha elaborat

la taula 10.4, que pots trobar al fi nal de la unitat, d’utilització molt senzilla. Els valors que hi apareixen són els de la probabilitat que coincideixen amb l’àrea del recinte que determina la funció de densitat en l’interval (−∞, z

1] per a z

1 ≥ 0. És a dir, ens dóna

l’àrea que hi ha fi ns al valor Z = z1 ≥ 0.

Si la variable contínua X segueix una distribució normal N(μ, σ), la variable Y = Z – μ seguirà una dis-tribució normal N(0, σ) i la variable

Z = X − μσ

seguirà una distri-

bu ció normal N(0, 1).



En la taula només apareixen probabilitats per a valors positius de la variable Z, atesa la simetria respecte de la recta x = 0 de la gràfi ca de la funció de densitat de la distribució normal N(0,1).

La variable contínua no seguirà sempre una distribució normal reduïda. En aquests ca-sos, cal transformar la variable X en la variable tipifi cada Z.

EXEMPLE 4

Vegem com s’utilitza la taula 10.3 de distribució normal reduïda.

a) p[Z ≤ 0,56] és l’àrea assenyalada en la fi gura 10.12.

Aquesta probabilitat es troba directament en la taula. N’hi ha prou a bus-car el valor que tenen en comú la fi la 0,5 i la columna 0,06. Obtenim p[Z ≤ 0,56] = 0,7123.

b) p[Z ≥ 1,43] és l’àrea marcada en la fi gura 10.13.

p[Z ≥ 1,43] = 1 − p[Z ≤ 1,43] =

= 1 − 0,9263 = 0,0737

c) p[Z ≤ −1,43] és l’àrea que assenyalem en la fi gura 10.14.

Aquest valor no es troba en la taula, però tenint en compte que la corba és simètrica respecte de la recta x = 0, es dedueix que:

p[Z ≤ −1,43] = p[Z ≥ 1,43] = 0,0737

d) p[Z ≥ −2,42] és l’àrea que s’indica en la fi gura 10.15.

p[Z ≥ −2,42] = p[Z ≤ 2,42] = 0,9922

e) p[−0,94 ≤ Z ≤ 1,46] és l’àrea assenyalada en la fi gura 10.16.

p[−0,94 ≤ Z ≤ 1,46] == p[Z ≤ 1,46] − p[Z ≤ −0,94] == p[Z ≤ 1,46] − p[Z ≥ 0,94] =

= p[Z ≤ 1,46] − (1 − p[Z ≤ 0,94] == 0,9279 − (1 − 0,8264) =

= 0,9279 − 0,1736 = 0,7543

f) p[Z = 1,43] = 0 (fi gura 10.17).

En les distribucions de probabilitat contínua la probabilitat que Z prengui un únic valor és sempre 0.

Fig. 10.12

Fig. 10.13

Fig. 10.14

Fig. 10.15 Fig. 10.16



EXEMPLE 5

Es tracta ara de fer el procés invers, és a dir, determinar el valor de la va-riable Z si es coneix el valor de la probabilitat.

a) Si p[Z ≤ z1] = 0,9099, quin és el valor de z

1?

A partir de la gràfi ca (fi g. 10.17) podem deduir que serà un valor positiu, per tant, el trobarem directament en la taula. Com que el valor 0,9099 és comú a la fi la 1,3 i a la columna 0,04, tenim que z

1 = 1,34.

b) p[Z ≤ z2] = 0,4562 (fi g. 10.18).

El valor de z2 no es troba en la taula, ja que és un valor negatiu. Aleshores:

p[Z ≤ z2] = p[Z ≥ − z

2] =

= 1 − p[Z ≤ −z2] p[Z ≤ − z

2] =

= 1 − p[Z ≤ z2] = 1 − 0,4562 = 0,5438

Aquest últim valor de la probabi-litat sí que apareix en la taula. En conseqüència, tenim que:

−z2 = 0,11 z

2 = −0,11

c) p[Z ≥ z3] = 0,8461 (fi g. 10.19).

p[Z ≥ z3] = p[Z ≤ −z

3] = 0,8461 −z

3 = 1,02 z

3 = −1,02

Fig. 10.17

Fig. 10.18Fig. 10.19

EXEMPLE 6

Resoldrem exercicis semblants, però ara amb una variable contínua X que segueix una distribució normal no reduïda.

Si X és una variable amb una distribució normal N (64, 52 ), quan la tipifi quem

obtenim una variable Z = X − 64

2,5

amb distribució N(0, 1), de manera que:

a) p[X ≤ 70] = p[Z ≤ 2,4] = 0,9918, ja que z = 70 − 64

2,5 =

62,5

= 2,4.

b) p[X ≥ 61,3] = p[Z ≥ −1,08] = p[Z ≤ 1,08] = 0,8599.

c) p[59 ≤ X ≤ 68] = p[−2 ≤ Z ≤ 1,6] = p[Z ≤ 1,6] − p[Z ≤ −2] =

= p[Z ≤ 1,6] − p[Z ≥ 2] = p[Z ≤ 1,6] − (1 − p[Z ≤ 2]) =

= 0,9542 − (1 − 0,9772) = 0,9542 − 0,0228 = 0,9314

d) Si p[X ≥ x1] = 0,2358, quin és el valor de x

1?

Considerem:

p[Z ≥ z1] = 0,2358 p[Z ≤ z

1] = 1 − p[Z ≥ z

1] = 1 − 0,2358 = 0,7642

Tenim que p[Z ≤ z1] = 0,7642 z

1 = 0,72.

z1 = x1

− 64

2,5 x

1 = 2,5 z

1 + 64 = 2,5 · 0,72 + 64 = 1,8 + 64 = 65,8



EXEMPLE 7

El pes dels nadons en una població segueix una distri-bució normal amb mitjana μ = 3,5 kg i desviació típica σ = 0,2 kg.

a) Quina és la probabilitat que un nadó pesi més de 4 kg? I menys de 3,8 kg?

b) Quin és el pes que és superat pel 45 % dels nadons?

ResolucióLa variable X: «pes dels nadons» segueix una distribució normal N(3,5, 0,2).

Cal tipifi car la variable X mitjançant l’expressió Z = X − 3,5

0,2.

a) x1 = 4 z

1 = 4 − 3,5

0,2 = 0,5

0,2 = 2,5

p[X ≥ 4] = p[Z ≥ 2,5] = 1 − p[Z ≤ 2,5] = 1 − 0,9938 =

= 0,0062

x2 = 3,8 z

2 = 3,8 − 3,5

0,2 = 0,3

0,2 = 1,5

p[X ≤ 3,8] = p[Z ≤ 1,5] = 0,9332

b) Si el 45 % dels nadons supera un determinat pes, sig-nifi ca que p[X ≥ x

3] = 0,45, en què x

3 és el valor que

hem de determinar.

Considerem la mateixa probabilitat per a la variable tipifi cada p[Z ≥ z

3] = 0,45.

De p[Z ≥ z3] = 0,45, obtenim que

p[Z ≤ z3] = 1 − 0,45 = 0,55 z

3 = 0,13.

El valor de probabilitat 0,55 no surt en la taula. El que més s’hi aproxima és 0,5517, que correspon a z

3 = 0,13.

x3 = σ z

3 + μ

Si z3 = 0,13, aleshores

x3 = 0,2 · 0,13 + 3,5 = 0,026 + 3,5 = 3,526.

Podem afi rmar que un 45 % dels nadons pesa més de 3,526 kg.

ACTIVITATS

18> Contesta raonadament cadascuna d’aquestes qüestions a partir de la taula de la distribució normal reduïda:

a) Per què el primer valor de probabilitat que es troba en la taula és 0,5?

b) Quin és el valor de p[Z ≤ 4,5]? I el valor de p[Z ≤ −5]?

19> Si Z és una variable N(0, 1), calcula:

a) p[Z ≤ − 2,38] b) p[Z ≤ 1,64] c) p[Z ≥ − 1,03] d) p[Z ≥ 0,82] e) p[1,5 ≤ Z ≤ 3] f) p[−0,79 ≤ Z ≤ 0,79]

R: a) p = 0,0087; b) p = 0,9495; c) p = 0,8485; d) p = 0,2061; e) p = 0,06545; f) p = 0,5704

20> A partir de la taula, comprova a la distribució N(0, 1) que:

a) A l’interval (−1, 1) es troba el 68,26 % del total de la probabilitat.

b) A l’interval (−2, 2) es troba el 95,44 % del total de la probabilitat.

c) L’interval (−3, 3) inclou el 99,74 % del total de la probabilitat.

21> Considerem X una variable N(8, 3). Calcula:

a) p[X ≤ 9] b) p[X ≥ 7] c) p[6 ≤ X ≤ 7,5] d) p[7,2 ≤ X ≤ 8,7]

R: a) p = 0,6293; b) p = 0,6293; c) p = 0,1811; d) p = 0,9863

22> Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa refe-rència a una distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors de la variable Z en cadascun dels casos següents:

a) L’àrea entre 0 i z és 0,3770.

b) L’àrea a l’esquerra de z és 0,8621.

c) L’àrea entre −1,5 i z és 0,0217.

23> En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quocients intel·lectuals d’ambdós grups es distri-bueixen segons N(100, 30) i N(120, 35), respecti-vament. S’escull un individu de cada grup de ma-nera aleatòria i independent. Calcula:

a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quocient intel·lectual superior a 90.

b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quocient intel·lectual superior a 90.

c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel·lectual superior a 90.

R: a) p = 0,6293; b) p = 0,8051; c) p = 0,50665

24> Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una distribució normal N(62, 3,4).

a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.

b) El 70 % dels atletes no supera un determinat pes. Quin és aquest pes?

R: a) p = 0,1894; b) 63,768 kg



j 10.5 Aproximació d’una distribució binomial per una normal

En aquesta mateixa unitat hem vist que una distribució binomial B(n, p) té una funció de probabilitat:

p[X = k] = (nk ) pk qn – k, per a p + q = 1

Però el càlcul d’aquesta expressió és complicat quan el valor de n és gran, per la qual cosa la distribució binomial B(n, p) és pràcticament inaplicable per a valors grans de n.

De Moivre va demostrar que una distribució binomial B(n, p) s’aproxima a una distribuciónormal de paràmetres μ = n p i σ = √ n p q quan el valor de n és molt gran.

Aquesta aproximació es considera correcta si es verifi quen les condicions següents:

a) n ≥ 30.

b) Com més gran sigui n i més s’aproximi a 0,5 el valor de p, millor resultarà l’aproxi-mació.

En una distribució binomial té sentit parlar de p[X = x1], en què x

1 és un nombre en-

ter més gran o igual que zero, mentre que en les distribucions contínues succeix que p[X = x

1] = 0. Per tal que això no succeeixi, quan aproximem una distribució binomial

per una normal establim el criteri següent: si volem trobar p[X = x1], quan fem l’aproxi-

mació calcularem p[x1 − 0,5 ≤ X ≤ x

1 + 0,5].

Per exemple, per determinar p[X = 2] calcularem:

p[1,5 ≤ X ≤ 2,5] = p[X ≤ 2,5] − p[X ≤ 1,5]

Per aproximar una distribució B(n, p) per una distribució N(μ, σ), primer cal comprovar que es veri-fiquen les condicions esmentades, i després calcular la mitjana i la desviació típica de la distribució binomial.

EXEMPLE 8

En un estudi realitzat a 2 000 persones s’ha comprovat que la probabilitat que un individu tingui un nivell alt de colesterol és p = 0,6. Considera la variable X: «nom-bre d’individus que tenen un nivell alt de colesterol» i calcula:

a) p[1 180 ≤ X ≤ 1 220]

b) p[X ≥ 1 225]

c) p[X = 1 195]

ResolucióX és una variable aleatòria que segueix una distribu-ció binomial B(2 000, 0,6), la mitjana de la qual és μ = 2 000 · 0,6 = 1 200 i la desviació típica:

σ = √ 2 000 · 0,6 · 0,4 = √ 480 = 21,9

Com que n > 30 i p . 0,5, podem aproximar aquesta dis-tribució binomial per una normal N(1 200, 21,9).

a) Per calcular p[1 180 ≤ X ≤ 1 220] hem de calcular p[−0,91 ≤ Z ≤ 0,91], ja que:

z1 = 1 180 − 1 220

21,9 = −0,91 i z

2 = 1 220 − 1 200

21,9 = 0,91,

d’on obtenim que:

p[1 180 ≤ X ≤ 1 220] = p[−0,91 ≤ Z ≤ 0,91] =

= p[Z ≤ 0,91] − p[Z ≤ −0,91] = 2(p[Z ≤ 0,91] − 0,5) =

= 2(0,8186 − 0,5) = 2 · 0,3186 = 0,6372

b) En ser z = 1 225 − 1 20021,9

= 1,14, tenim:

p[X ≥ 1 225] = p[Z ≥ 1,14] = 1 − p[Z ≤ 1,14] =

= 1 − 0,8729 = 0,1271

c) Tenint en compte el criteri enunciat anteriorment, en aquest cas hem de trobar p[1 194,5 ≤ X ≤ 1 195,5] en la distribució normal. Primer calculem els valors de la variable tipifi cada:

z1 = 1 194,5 − 1 200

21,9 = −0,25

z2 = 1 195,5 − 1 200

21,9 = −0,21

p[1 194,5 ≤ X ≤ 1 195,5] = p[−0,25 ≤ Z ≤ −0,21] == p[Z ≤ −0,21] − p[Z ≤ −0,25] =

= p[Z ≥ 0,21] − p[Z ≥ 0,25] = p[Z ≤ 0,25] − p[Z ≤ 0,21] == 0,5987 − 0,5832 = 0,0155



ACTIVITATS

25> Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant:

a) La distribució binomial.

b) L’aproximació normal de la distribució bino-mial.

R: a) p = 0,73315; b) p = 0,7329

26> Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabi-litat d’obtenir el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses).

R: p = 0,3094

27> Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha es-tat trucada, de manera que la probabilitat d’obte-

nir creu és 2

5. Calcula la probabilitat que el nom-

bre de cares no difereixi de 300:

a) En més de 10 tirades.

b) En més de 20 tirades.

R: a) p = 0,663; b) p = 0,9386

28> Quan llancem 120 vegades un dau normal, quina és la probabilitat que la cara 4 surti exactament 24 vegades? I que surti 14 vegades com a màxim?

R: p = 0,0592; p = 0,0885

29> Troba la probabilitat d’obtenir més de 36 vegades el número 6 en 50 tirades d’un parell de daus no trucats.

R: p - 0

30> Es llança 2 500 vegades el dau de l’exercici 11. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 3:

a) 400 vegades.

b) La meitat de les vegades que es llança.

c) Més de 1 000 vegades.

R: a) p - 0; b) p - 0; c) p - 0

31> Calcula p[X = 8] per a una variable que segueix una

distribució binomial B (40, 15 ). Compara-ho amb el

resultat que s’obté fent ús de l’aproximació nor-mal. És bona aquesta aproximació? Per què?

R: p = 0,15231

32> La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitza-dor contra 100 mosquits, quina és la probabili-tat de matar-ne almenys 75? I de matar-ne menys de 50?

R: p = 0,5438; p - 0



Punt fi nal

Risc i interval de confi ança

Es tracta de determinar un interval (a, b), de manera que el paràmetre poblacional X desconegut es trobi en aquest inter-val amb una determinada probabilitat o nivell de confi ança. Per això, considerarem que ens trobem davant una població que segueix una distribució normal N(μ, σ).

Per trobar l’interval de confi ança prendrem la mitjana μ com a valor central. A partir del valor μ es construirà l’interval d’amplitud 2λ, de manera que l’interval de confi ança serà (μ − λ, μ + λ), amb la condició que la probabilitat que el paràmetre poblacional X es trobi en aquest interval sigui 1 − α, on α és el risc corresponent. És a dir:

p[μ − λ ≤ X ≤ μ + λ] = 1 − α

D’aquesta igualtat, se’n dedueix que p[X ≥ μ + λ] = α2

, d’on

p[X ≤ μ + λ] = 1 − α2

.

Aquesta última expressió ens permet trobar el valor de μ + λ, i, per tant, el valor de λ de l’interval de confi ança, a partir del valor del risc α.

Vegem-ne un exemple:

Llancem una moneda (p = q = 12 ) 100 vegades (n = 100) i

defi nim la variable X: «nombre de cares».

a) Quin serà el risc per a un interval de confi ança d’amplitud 2λ = 20?

b) Si fem una predicció amb un risc del 5 %, quin serà l’inter-val de confi ança?

c) Calcula el valor de λ de l’interval de confi ança per a α = 2,5 %.

La variable X segueix una distribució binomial B (100, 12 ),

que podem aproximar mitjançant una normal N(50, 5), ja que

μ = n p = 100 · 12

= 50 i σ = √ n p q = √100 ( 12 )

2

= √ 25 = 5.

a) Si λ = 10, l’interval de confi ança serà (40, 60), perquè μ − λ = 40 i μ + λ = 60.

Hem de calcular p[40 ≤ X ≤ 60]. Si tipifi quem prèviament la variable, obtenim:

p[40 ≤ X ≤ 60] = p[−2 ≤ Z ≤ 2] = 2 (p[Z ≤ 2] − 0,5) =

= 2 (0,9772 − 0,5) = 0,9544

Si la probabilitat és 0,9544, el risc serà α = 1 − 0,9544 == 0,0456 α = 4,56 %.

b) Si α = 5 %, signifi ca que la probabilitat de l’interval de confi ança serà 0,95, és a dir, p[50 − λ ≤ X ≤ 50 + λ] == 0,95, amb λ = σ · z.

Com que p[X ≥ 50 + λ] = 0,52

= 0,025, tenim que

p[X ≤ 50 + λ] = 1 − p[X ≥ 50 + λ] = 1 − 0,025 = 0,975.

Considerem p[Z ≤ z1] = 0,975 z

1 = 1,96

λ = σ z1 = 5 · 1,96 = 9,8; d’on obtenim l’interval de

confi ança (40,2, 59,8).

c) α = 2,5 % p[X ≥ 50 + λ] = 0,0252

= 0,0125

p[X ≤ 50 + λ] = 1 − 0,0125 = 0,9875

p[Z ≤ z2] = 0,9875 z

2 = 2,24 λ = σ z

2 =

= 5 · 2,24 = 11,2

En aquest exemple hem vist com es calcula el risc a partir de l’interval de confi ança i, a l’inrevés, com es determina l’inter-val de confi ança a partir del risc.

Ara intenta-ho tu. Repeteix el mateix problema de l’exem-ple, amb els mateixos apartats, però considerant n = 200 ve -gades.



z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,32,42,52,62,72,82,93,03,13,23,33,43,53,63,73,83,94,0

0,50000,53980,57930,61790,65540,69150,72570,75800,78810,81590,84130,86430,88490,90320,91920,93320,94520,95540,96410,97130,97720,98210,98610,98930,99180,99380,99530,99650,99740,99810,998650,999030,999310,999520,999660,999770,999840,999890,999930,999950,99997

0,05400,54380,58710,62170,65910,69500,72910,76110,79100,81860,84380,86650,88690,90490,92070,93450,94630,95640,96490,97190,97780,98260,98640,98960,99200,99400,99550,99660,99750,99820,998690,999060,999340,999530,999680,999780,999850,999900,999930,999950,99997

0,50800,54780,58710,62550,66280,69850,73240,76420,79390,82120,84610,86860,88880,90660,92220,93570,94740,95730,96560,97260,97830,98300,98680,98980,99220,99410,99560,99670,99760,99820,998740,999090,999360,999550,999690,999780,999850,999900,999930,999960,99997

0,51200,55170,59100,62930,66640,70190,73570,76730,79670,82380,84850,87080,89070,90820,92360,93700,94840,95820,96640,97370,97880,98340,98710,99010,99250,99430,99570,99680,99770,99830,998780,999130,999380,999570,999700,999790,999860,999900,999940,999960,99997

0,51600,55570,59480,63310,67000,70540,73890,77040,79950,82640,85080,87290,89250,90990,92510,93820,94950,95910,96710,97380,97930,98380,98750,99040,99270,99450,99590,99690,99770,99840,998820,999160,999400,999580,999710,999800,999860,999910,999940,999960,99997

0,51990,55960,59870,63680,67360,70880,74220,77340,80230,82890,85310,87490,89440,91150,92650,93940,95050,95990,96780,97440,97980,98420,98780,99060,99290,99460,99600,99700,99780,99840,998860,999180,999420,999590,999720,999810,999870,999910,999940,999960,99997

0,52390,56360,60260,64060,67720,71230,74540,77640,80510,83150,85540,87700,89620,91310,92790,94060,95150,96080,96860,97500,98030,98460,98810,99090,99310,99480,99610,99710,99790,99850,998890,999210,999440,999610,999730,999810,999870,999910,999940,999960,99998

0,52790,56750,60640,64430,68080,71570,74860,77940,80780,83400,85770,87900,89800,91470,92920,94180,95250,96160,96930,97560,98080,98500,98840,99110,99320,99480,99620,99720,99790,99850,998930,999240,999460,999620,999740,999820,999880,999920,999950,999960,99998

0,53190,57140,61030,64800,68440,71900,75170,78230,81060,83650,85990,88100,89970,91620,93060,94290,95350,96250,96990,97610,98120,98540,98870,99130,99340,99510,99630,99730,99800,99860,998970,999260,999480,999640,999750,999830,999880,999920,999950,999970,99998

0,53590,57530,61410,65170,68790,72240,75490,78520,81330,83890,86210,88300,90150,91770,93190,94410,95450,96330,97060,97670,98170,98570,98900,99160,99360,99520,99640,99740,99810,99860,999000,999290,999500,999650,999760,999830,999890,999920,999950,999970,99998

Taula 10.4 Funció de distribució N (0,1)



Activitats fi nals

1> Troba la probabilitat d’obtenir:

a) Dos èxits mitjançant la distribució B (4, 13 ).

b) Més de tres èxits mitjançant la distribució

B (6, 12 ).

c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució

B (4, 14 ).

R: a) p = 827

; b) p = 1132

; c) p = 13256

2> Un equip A té una probabilitat p = 23

de guanyar

un partit. Si l’equip juga 6 partits, calcula la pro-babilitat que:

a) Guanyi dos partits.

b) Perdi més de la meitat dels partits.

R: a) p = 20243

; b) p = 73729

3> Llancem 10 daus alhora. Definim la variable alea-tòria X: «nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula:

a) p[X = 3] b) p[X ≥ 7] c) p[X < 5]

R: a) p = 0,15505; b) p = 0,0002674; c) p = 0,98454

4> Determina el nombre esperat de respostes correc-tes en un examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de 4 possibles respostes, de les quals només una és correcta i se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar.

R: μ = 2,5 respostes correctes

5> Se sap que un determinat medicament millora els símptomes d’una malaltia en dos de cada tres pa-cients. Si administrem aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que:

a) Millorin quatre persones.

b) Millorin tres persones com a mínim.

c) Millorin les set persones.

R: a) p = 0,25606; b) p = 0,95474; c) p = 0,05853

6> Estudis recents han confirmat que el 70 % dels portadors del virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del virus. Determina la probabilitat que cap de les sis perso-nes hagi consumit drogues.

R: p = 0,000729

7> Se sap que només el 5 % de les persones que visi-ten un logopeda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda hi ha cinc persones, troba la probabilitat que:

a) Cap sigui de classe social baixa.

b) Almenys dues no siguin de classe social baixa.

R: a) p = 0,773781; b) p = 99997

8> Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal N(μ, σ). Determina:

p[μ − 32

σ ≤ X ≤ μ + 2σ] R: p = 0,9104

9> Demostra que el 99,74 % del total de l’àrea de re-cinte que determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distribució normal N(μ, σ) es troba a l’interval (μ − 3σ, μ + 3σ).

10> Troba la probabilitat que una variable contínua prengui valors compresos entre 32 i 40 en una dis-tribució N(50, 5).

R: p = 0,02264

11> La durada de l’embaràs de les dones segueix una dis-tribució normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació típica de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una durada màxima de 244 dies.

R: p = 8,38 %

12> La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació típica, 3 kg. Suposant que el pes es dis-tribueix normalment, determina el nombre de per-sones que pesa:

a) Entre 60 i 75 kg.

b) Més de 90 kg.

c) Menys de 64 kg.

R: a) 476; b) 0; c) 11 persones

13> La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos tots els estudiants amb una nota supe-rior a 6 i considerant que la distribució és normal:

a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos?

b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada deu estudiants fossin admesos?

c) Si haguessin admès el 55 % dels estudiants, quina hauria estat la nota de tall en aquesta facultat?

R: a) 45,62 %; b) p = 0,23522; c) 5,57



14> La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre d’un any determinat. Sabem que, després d’aquesta data, l’efectivitat del medicament se-gueix una distribució normal la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de 100 dies.

a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desembre de l’any següent.

b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80 % de probabilitat que sigui efectiu?

R: a) p = 0,7422; b) 216 dies després de la data de caducitat

15> En un estadi esportiu es volen instal·lar focus per il·luminar el terreny de joc. El temps de funcio-nament dels focus segueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores i una desviació típica de 4 hores.

a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la proba-bilitat que il·lumini un mínim de 30 hores?

b) Si es compren 1 500 focus, quants podem espe-rar que funcionin 30 hores com a mínim?

R: a) p = 0,9938; b) 1 491 focus

16> Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una prova 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i una desviació típica de 15 punts.

a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor?

b) Si es presenten 1 000 opositors i només es dispo-sa de 300 places, quants punts s’hauran d’acon-seguir per guanyar una d’aquestes places?

R: a) p = 0,7486; b) p = 117,8 punts

17> El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35 %. Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que entre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant:

a) La distribució binomial.

b) L’aproximació normal a la binomial.

18> El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una distribució normal, amb una mitjana de 1 000 fulls i una desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si en té entre 995 i 1 005. Es demana:

a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat.

b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu siguin acceptats.

c) Si el 65 % dels paquets té més d’un determi-nat nombre de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets?

R: a) p = 0,383; b) p = 0,13864; c) 996 fulls

19> Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabili-tat d’obtenir el número 5:

a) Menys de 18 vegades.

b) Més de 14 vegades.

c) Exactament 20 vegades.

R: a) p = 0,6879; b) p = 0,8023; c) p = 0,0721

20> El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a l’hora a un hospital es distribueix normal-ment amb una mitjana de 12 minuts i una desvia-ció típica de 3 minuts.

a) Determina la probabilitat que el temps que tri-gui a arribar es trobi entre 10 i 19 minuts.

b) Calcula el temps en minuts per al qual la pro-babilitat que l’ambulància es retardi sigui del 15 %.

R: a) p = 0,7387; b) 8,88 minuts

21> La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg, amb una desviació típica de 5 kg. Su-posant una distribució normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir una persona a l’at-zar pesi més de 100 kg? Justifica’n la resposta.

22> Se sap que les notes d’un determinat examen se-gueixen una distribució normal. El 17,5 % dels alumnes que s’han examinat ha obtingut una no-ta que supera els 7 punts, mentre que la nota del 15,7 % no arriba als 5 punts. Calcula:

a) La nota mitjana de l’examen.

b) El percentatge d’alumnes que van obtenir una nota compresa entre 5 i 7 punts.

R: a) μ = 6; b) p = 0,668

23> Llancem una moneda 50 vegades. Troba la proba-bilitat que el nombre de cares que obtinguem es trobi entre 12 i 16 (ambdues incloses). Utilitza:

a) La distribució binomial corresponent.

b) L’aproximació normal a la binomial.

24> Suposem una distribució normal N(50, σ) en què p[X ≥ 70] = 0,0228. Determina el valor de σ i cal-cula p[X ≤ 45].

R: a) σ = 10; b) p = 0,3085

25> Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una distribució normal la mitjana de la qual és ze-ro. A més, p[X ≥ 2] = p[Y ≥ 3] = 0,1587. Calcula’n les variàncies corresponents.

R: a) σ 21 = 4; b) σ 2

2 = 9



Avaluació

1> Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució perquè segueixi el mo-del binomial?

2> Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6 vegades la moneda. Calcula la probabilitat de:

a) Treure dues vegades creu.

b) Treure com a màxim dues vegades creu.

3> De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de 165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la distribució és normal i es demana:

a) Quantes mesures són més petites de 157 cm?

b) Quantes estan entre 167 i 181 cm?

4> Si l’alçada mitjana de les persones adultes d’un país és de 167 cm i les alçades es distribueixen normalment, amb una desviació tipus de 5 cm:

a) Quin percentatge de la població adulta té una alçada compresa entre 160 i 180 cm?

b) Quin percentatge té una alçada no superior a 175 cm?


distribuciÓ de probabilitat · distribució, en què n és el nombre de vegades que es realitza...

Documents