treball de recerca paradoxes de la probabilitat
TRANSCRIPT
Índex
Pàgines
1. Teoremes de la Probabilitat
1.1 Teoria de la Probabilitat
1.1.1. Exemple de la teoria de la probabilitat
1.2 Probabilitat Condicionada
1.2.1. Exemple de la probabilitat condicionada
2. Origen del problema: Let’s make a deal
3.Definició del problema
3.1. Definició original
3.2. Explicació gràfica
4. Simulació del joc
4.1. Creació del simulador
4.1.1. Codi del simulador
4.2. Funcionament del simulador
4.2.1. Jugada manual
4.2.2. jugada Robot
5.Solució del problema
5.1. Solució popular
5.2 Solució intuïtiva
5.3 Solució matemàtica
5.3.1. Solució per probabilitats condicionades
5.4 Resultats de la simulació
5.4.1. Estadístiques i gràfics
6. Bibliografia
7. Annex
1. Teoremes de la Probabilitat
1.1. Teoria de la probabilitat
La teoria de la probabilitat és la teoria matemàtica que regula els fenòmens
aleatoris. Aquests han de contraposar-se als fenòmens deterministes, el
experiment dels quals en unes condicions determinades és un resultat únic, com
per exemple, l’aigua bull als cent graus Celsius i es transforma en vapor. Un
fenomen aleatori es aquell que no obstant sigui experimentat en les mateixes
condicions dona una gamma de possibles resultats, com el llançament d’un dau o
d’una moneda.
Els processos reals que es modelitzen com processos aleatoris poden no ser-ho
realment, com tirar un dau no és estrictament aleatori perquè no es produeix en
les mateixes condicions inicials. En els processos reals es coneixen tots els
paràmetres que intervenen.
En 1933, el matemàtic soviètic Andrei Kolmogórov va proposar un sistema de
axiomes* per a la teoria de probabilitat, basat en la teoria de conjunts i en al teoria
de la mesura, desenvolupada anys enrere per Lebesgue, Borel i Frechet.
Aquesta aproximació axiomàtica que generalitza el marc de la probabilitat, la qual
obeeix a la regla de càlcul de casos favorables sobre casos possibles, va permetre la
vigorització de molts arguments com l’estudi fora dels marcs cl{ssics. Actualment,
la teoria de la probabilitat es troba a les rames més variades del coneixement.
Definició clàssica de probabilitat
La probabilitat és la característica d’un succés, quan existeixen raons per creure
que aquest es realitzarà.
La probabilitat p de que succeeixi un succés S de un total de n casos possibles
igualment probables és igual a la raó entre el numero de ocurrències h del succés
(casos favorables) i el numero total de casos possibles n.
La probabilitat és un número (valor) que varia entre 0 i 1. Quan el succés es
impossible direm que la seva probabilitat és 0. Si l’esdeveniment és cert i sempre
ocorre la seva probabilitat es 1.
La probabilitat de NO ocurrència d’un esdeveniment esta donada per q, on:
Sabem que p és la probabilitat que pot ocórrer un succés i q és la probabilitat de
que no ocorri, llavors p + q = 1
Simbòlicament l’espai de resultats, que normalment es denota per Ω, és l’espai que
consisteix en tots els resultats que són possibles.
1.1.1. Exemple senzill de la teoria de la probabilitat
Si en un estudi es fa una enquesta a 800 alumnes de una universitat sobre el grau
de satisfacció amb la carrera i el grau de satisfacció amb el progrés de la mateixa.
Els resultats de la enquesta es troben a la taula següent:
Satisfet amb la
carrera
Satisfet amb el
progrés
NO satisfet amb el
progrés
Total
Si 362 350 712
No 18 70 88
Total 380 420 800
La probabilitat de que un alumne es trobi satisfet amb la carrera, es a dir, la
probabilitat d’ocórrer el succés A = “satisfet amb la carrera escollida” serà igual al
numero d’alumnes que estan satisfets dividit per el numero total d’alumnes
enquestats.
Tenint: h = 712 ; n = 800
Llavors: P(A)= h/n = 712/800 = 0.89
El 89% dels alumnes que han fet l’enquesta estan satisfets amb la carrera
1.2. Probabilitat condicionada
La probabilitat condicionada és la probabilitat de que ocorri un esdeveniment A,
sabent que succeeix un altre esdeveniment B. La probabilitat condicionada es
descriu com P(A|B) i es llegeix «la probabilitat de A donat B.
No es necessari que hi hagi una relació causal o temporal entre A i B. Les relacions
causals i temporals son nocions que no pertanyen al àmbit de la probabilitat. El
condicionament de probabilitats es pot aconseguir aplicant del teorema de Bayes.
Definició
Donat un espai de probabilitat (Ω,F,P) i dos successos amb P(B) > 0, la
probabilitat condicional de A donat de B esta definida com:
Interpretació
es pot interpretar com, prenent els
espais en els quals B es compleix, la fracció en els
que també es compleix A. Si el succés B és, per
exemple, tenir la grip i el succés A tenir mal de cap
seria la probabilitat de tindre mal de cap
quan tenim la grip.
Gràficament, la zona lila de la il·lustració seria l’espai on es te mal de cap i la zona
groga el mon on es te la grip. Finalment la zona verda es la intersecció dels dos
mons, on es té mal de cap i la grip i es representaria com .
En , és a dir, la probabilitat de que algú tingui mal de cap i la grip alhora,
seria la proporció dels espais amb grip i amb mal de cap. Com l’{rea verda
representa i l’{rea de B representa P(B), formalment es diu que:
Independència de successos
Dos successos aleatoris A i B son independents si i només si:
Si A i B son independents, la seva probabilitat conjunta ó P(A,B)
pot ser expressada com el producte de les probabilitats individuals.
Equivalentment:
En altres paraules, si A i B son independents, la
probabilitat condicional de A donat B és
simplement la probabilitat de A i viceversa.
1.2.1 Exemple de la probabilitat condicional
Satisfet amb la
carrera
Satisfet amb el
progrés
NO satisfet amb el
progres
Total
Si 362 350 712
No 18 70 88
Total 380 420 800
Considerarem les dades de la enquesta als 800 estudiants i seguint la notació
donada, es vol calcular:
P[esta satisfet amb la carrera | esta satisfet amb el progrés de la mateixa] = P[A|B]
El numero d’estudiants satisfets amb la carrera dins dels 380 estudiants satisfets
amb el progrés es 362, llavors es verifica que:
P[A|B] = 362/380 = 0.9526
S’han d’observar 3 coses en aquesta igualtat:
1) Si no disposem de la informació sobre B, llavors P[A] = 712/800 = 0.89. La
probabilitat de A sense més informació sobre el succés B es menor que P(A|B)
2) 362 és el numero d’estudiants que estan satisfets amb la carrera i amb el
progrés d’aquesta. Pertanyen al succés conjunt “A i B”.
3) 380 és el numero d’estudiants que pertanyen al succés B,els estudiants satisfets
amb el progrés de la carrera.
Si es divideix el succés conjunt “A i B” i el succés B de la igualtat per 800, és a dir, el
numero total d’estudiants, s’obté:
P [A|B] =
2. Origen del problema. Let’s Make a Deal
Let’s make a deal es un concurs de televisió que es va originar en els estats units i que més
tard es va produir en molts països de tot el món. El programa consisteix en les ofertes que
dona l’amfitrió (presentador) al concursant, que aquests han d’escollir entre un premi
amb valor i un altre premi indesitjable,
conegut per “zonk”, una cabra. El
programa va ser organitzat molts anys
per Monty Hall que va produir el
programa amb Stefan Hatos. La versió
original va ser emesa des de 1963 fins
1976 en la NBC i la ABC.
Cada episodi de Let’s make a deal consistia de múltiples “acords” entre l’amfitrió i el
membre o els membres del públic com concursants. Els membres de l’audiència eren
seleccionats per el presentador per jugar com a concursant. Normalment les parelles eren
escollides per jugar com un sol concursant. Els acords (deals) eren els mini-jocs dins del
programa, que va prendre diferents formats. En el format més simple, al concursant se li
atorgava un premi de valor mig (com un televisor), i el presentador li oferia la oportunitat
de negociar per un altre premi. No obstant això el premi ofert era desconegut.
Un dels grans jocs era El gran acord ( The big deal). Consta de tres portes, àmpliament
conegudes per porta 1, porta 2 i porta 3, cadascuna amb un premi o paquet de premi. El
màxim guanyador de dos concursants se li oferia la primera opció d’elecció d’una porta i al
segon concursant se li oferia l’elecció d’una de les dues portes restants. Nomes una porta
amagava el “Big Deal” del dia, que era un premi més gran que e premi més gran donat
aquell moment. Sovintment incloïen en premi més car del dia, com un automòbil, un
viatge o joieria. Les altres dues portes eren premis o paquets de premi amb menys valor,
però mai eren premis no desitjats, es a dir , mai eren zonks. Les portes s’obrien segons el
valor de cadascuna, anant del més baix al més alt.
Al llarg de molts anys de popularitat de Let’s Make a deal, els matem{tics van quedar
fascinats amb les possibilitats presentades per les tres portes, i una llegenda urbana
matem{tica s’ha desenvolupat entorn al problema de Monty Hall, canviant el format d’un
dels jocs. El problema matemàtic ofereix una solució molt concreta de plantejament amb
cabres, cotxes i un sol concursant.
3. Definició del Problema
El concursant en el programa de televisió ha d’escollir una de entre tres portes,
totes tancades, per guanyar el premi que consisteix en emportar-se el que es troba
darrera de la porta escollida. Se sap amb certesa que en una de les portes s’oculta
un automòbil, i a les altres dues hi ha 2 cabres (zonks). Una vegada el concursant
hagi escollit una porta i li comuniqui al públic i al amfitrió, Monty ( el presentador )
obrirà una de les dues portes que resten i mostrarà que darrera hi ha una cabra. En
aquest moment se li donarà la oportunitat al concursant de canviar la elecció ( te
dos opcions ). El concursant ha de obrir la porta que havia escollit originalment o
ha d’escollir l’altre porta? No es el mateix?
La resposta correcta sembla contradir els conceptes basics de la probabilitat i per
això es pot considerar una paradoxa i, a més a més, la resposta es basa en
suposicions que no es troben expressades en el plantejament del problema, en
altres paraules, es pot considerar com una pregunta amb trampa.
3.1 La premissa original
Aquest és l’enunciat més famós del problema, extret d’una carta de Craig F.
Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant* en Parade Magazine l’any 1990 .
Suposa que estàs en un concurs, i t’ofereixen escollir entre tres portes: Darrera d’elles hi ha
un cotxe, i darrera de les altres dues cabres. Esculls una porta, diguem-ne la número 1, i el
presentador, que no sap el que hi ha darrera de les portes, obre una altra, diguem-ne la
número 3, que conté una cabra. Llavors et pregunta: “ No prefereixes la numero 2? Es millor
per a tu canviar la teva elecció?
Existeixen algunes ambigüitats en aquesta formulació del problema: no esta clarament
exposat si l’amfitrió sempre obre una altre porta, sempre ofereix l’opció de canviar, o
inclús si alguna vegada podria obrir la porta que revela el cotxe (Mueser i Granberg, 1999).
L’an{lisi estàndard del problema suposa que l’amfitrió es certament limitat sempre a obrir
la porta que revela una cabra, per oferir un canvi, i obrir una de les dues portes restants al
atzar si el concursant havia escollit un cotxe a la primera tirada.
Sense una comprensió clara de la pregunta, Krauss i Wang van donar una formulació del
problema on es donaven totes les dades, sent així la definició complerta.
Suposem que estàs en un joc i et donen la opció de tres portes. Darrera de les portes hi ha un
cotxe i de les altres dues, cabres. El cotxe i les cabres van ser col·locades al atzar darrera de
les portes abans del show. Les regles del concurs son les següents: després de haver escollit
una porta, la porta queda tancada en aquell moment. El presentador de televisió, Monty Hall,
que sap el que hi ha darrera de les portes, haurà d’obrir una de les dues portes restants, i la
porta que s’obre sempre ha de tindre una cabra amagada. Si en les dues portes restants n’hi
ha cabres, escollirà una al atzar. Després Monty obre una porta amb una cabra i li demana al
concursant que decideixi si vol mantenir la seva primera elecció, o canviar a la porta restant.
Suposem que escollim la porta numero 1 i l’amfitrió obre la porta 3, que te una cabra. A
continuació, li pregunta ” Desitges canviar a la porta numero 2?” “Es un avantatge canviar
d’elecció?”
3.2Explicació Gràfica
1) El Presentador ens fa escollir entre una de les 3 portes, sabent que hi ha un premi i dues
cabres amagades en les tres portes. Nosaltres escollim la porta número 1.
2) Després d’haver escollit la porta número 1, el presentador ens obrira una porta (que no
serà la que hem escollit) i ens mostrarà una cabra. Ens mostrarà, per exemple, la porta
número 3.
3) El presentador, després de descobrir una cabra, ens farà la següent pregunta: Vols
quedar-te amb la porta escollida en la primera elecció, o prefereixes canviar a l’altra porta?
Quina és l’elecció correcte?
?
4. Simulació del problema
4.1 Creació del simulador
Un cop compreses les diferents definicions i les teories basiques de la probabilitat
farem un estudi estadistic de les probabilitats de guanyar presentant-nos dos tipus
de jugadors, els que sempre canvien de porta i els que mai canvien de porta.
Aquests son els jugadors que ens interessa estudiar per esbrinar empíricament de
quina manera és més possible guanyar.
La creació del programa és basicament la simulació de la situació del concursant
enfront a les tres portes, on el mateix jugador o la maquina poden escollir entre
una porta o altre en infinites partides. El programa, ha estat creat de manera de
que després de cada partida les dades queden enregistrades en una taula, en unes
estadistiques i en uns gr{fics que s’actualitzen només acabar la partida.
La maquinaria de joc és:
1) Esculls una porta i el programa et mostra una altre porta a l’escollida. Això
s’anomena tirada numero u.
(El programa mostrara sempre una porta amb una cabra encara que no s’informa)
2) El programa et fa escollir entre una de les dues portes que queden. Després
d’aquesta tirada, que s’anomena tirada numero dos, s’acaba la partida.
Les dades es col·loquen en columnes on:
Numero de partida: Indica el numero de la partida realitzada.
1ª tria: Informa sobre la porta escollida en la tirada numero u. Els resultats poden
ser numeros compresos entre el 1 i el 3 (ambos inclosos).
2ª tria: Indica la porta escollida en la tirada numero dos. Els resultats poden ser
numero compresos entre el 1 i el 3 (ambos incolosos).
Premi: Indica si guanyes un cotxe o una cabra.Els resultats només poden ser o 0 ó
1. Si el resultat és 0, guanyes una cabra. Si el resultat és 1, guanyes un cotxe.
4.1.1. Codi del simulador
El codi que ara mostrarem és basicament el programa i el seu funcionament. El
codi que resta és el codi de la interficie. Totes les funcions del programa son
controlades pels següents comandos.
Declaració de Variables
La declaració de variables serveix per avisar al programa que més endavant
utilitzarem les variables, que són petitos trossos de memòria que s’emmagatzemen
en el ordinador. Aquests troços s’han de nombrar i donar una propietat( per
exemple si és un numero, text, ...) per a que el programa les reconegui.
En el codi del programa, nombrem algunes variables fora del codi de cada funció, ja
que s’utilitzaran fora de les funcions on declarem. Declarem, per exemple, numero
de la partida, numero de la tirada, el premi de la porta,...
<mx:Script>
<![CDATA[
import mx.controls.Alert;
import flash.net.FileReferenceList;
import mx.managers.PopUpManager;
[Bindable]
private var numPartida:Number = 1;
private var numTirada:Number;
private var portaTirada:Number;
private var portaDajuda:Number;
private var premiPorta:Array = new Array();
private var sumaCotxe:Number;
private var sumaCabra:Number;
private var sumaCanvi:Number;
La acció Iniciar Partida
Primerament, li direm a les portes que retornin al seu estat inicial, és a dir,
tancades i habilitades. Despres, li diem al programa que escolleixi una porta
aleatoriament per asignar-li un premi. Després, li direm al programa quines son
les possibilitats ( case1, case2, case3 ). Depenent del numero que surti de la
instrucció random mirarà les possibilitats i escollirà la possibilitat on se li ha
assignat la porta del premi.
private function iniciarPartida():void
{
porta1.text = "Tancada";
porta2.text = "Tancada";
porta3.text = "Tancada";
porta1btn.enabled = true;
porta2btn.enabled = true;
porta3btn.enabled = true;
canviaTirada(1);
var portaAmbPremi:Number = randomNumber(1,3);
switch(portaAmbPremi)
{
case 1: premiPorta[1] = "Cotxe";
premiPorta[2] = "Cabra";
premiPorta[3] = "Cabra";
break;
case 2: premiPorta[1] = "Cabra";
premiPorta[2] = "Cotxe";
premiPorta[3] = "Cabra";
break;
case 3: premiPorta[1] = "Cabra";
premiPorta[2] = "Cabra";
premiPorta[3] = "Cotxe";
break;
}
}
La acció Triar portes
Aquesta acció ser{ la responsable de escollir les portes que hem d’obrir despres de
cada tirada (tirada 1 o tirada 2). En la tirada 1, quan escollim una porta qualsevol,
el programa ha de saber quina porta ha d’obrir, per això, li assignem unes
condicions alhora de obrir una porta o una altra. Les condicions són que la porta
que obri no ha de ser la que amaga el premi i que la porta no sigui la porta que hem
escollit primerament, per tant, el programa buscarà una porta que compleixi les
dues condicions i la obrirà, que serà sempre una cabra. La tirada 2 mirarà quina es
la porta guanyadora i guardarà els resultats. Alhora de escollir la tercera porta ens
apareixerà un missatge dient-nos si hem guanyat o hem perdut.
private function triaPorta(porta:Number, actRes:Boolean):void
{
if(numTirada == 1)
{
portaTirada = porta;
var i:Number = 1;
while(premiPorta[i] == "Cotxe" || i == porta)
{
i++;
}
portaDajuda = i;
obrePorta(i, "Cabra");
canviaTirada(2);
}else if(numTirada == 2)
{
guardarResultat(portaTirada, porta, premiPorta[porta], actRes);
obrePorta(porta, premiPorta[porta]);
canviaTirada(3);
}else
{
obrePorta(porta, premiPorta[porta]);
var sms:String;
if(premiPorta[porta] == "Cotxe") sms = "Has perdut!";
else sms = "Has guanyat!";
Alert.show(sms+" Torna a intentar-ho!", "Monty Hall");
}
}
La acció Obre Porta
La següent acció es l’encarregada de obrir la porta que amaga el premi. Li direm
totes les possibilitats, i obrirà la porta segons el numero que entri, escollint una de
les possibilitats. Aquesta acció serà empleada per la acció Triar Portes abans
explicada.
Acció Canviar tirada
L’acció Canviar tirada només canviar{ un numero situat en la part superior de la
pantalla principal de la simulació. S’utilitza per indicar la tirada en la qual ens
trobem.
private function obrePorta(n:Number, premi:String):void
{
switch(n)
{
case 1: porta1.text = premi;
porta1btn.enabled = false;
break;
case 2: porta2.text = premi;
porta2btn.enabled = false;
break;
case 3: porta3.text = premi;
porta3btn.enabled = false;
break;
default:
}
}
private function canviaTirada(n:Number):void
{
this.numTirada = n;
tirada.text = n.toString();
}
La funció Random
La funció Random, és la creadora de números aleatoris que s’utilitzar{ en les
jugades automatitzades que s’explicaran més endavant. D’aquesta funció només en
sortiran 0 i 1, és a dir obtindrem numeros decimals compresos entre aquests dos
numeros. Assignarem un valor alt i un valor baix. Com nosaltres necesitem valors
entre el 0 i el 3 per assignar a les portes utilitzarem la instrucció Math.Round que
arrodonirà el producte del numero aleatori per la diferencia entre el valor alt i el
baix. Després li sumarem el valor baix, per aconseguir el rang entre el 0 i el 3. Per
tant, els valors compresos entre el 0 i el 1 seran arrodonits al 1, entre el 1 i el 2
seran arrodonits al 2, i del 2 al 3 seran arrodonits al 3.
L’acció Guardar resultat
La següent acció s’encarrega de guardar els resultats obtinguts dins dels apartats
de dades. Si el premi és un cotxe, guardarà 1 com a resultat en les dades, i si es una
cabra guardarà un 0. També guardarà la porta escollida per cada tirada.
private function randomNumber(low:Number, high:Number):Number
{
var low:Number = low;
var high:Number = high;
return Math.round(Math.random() * (high - low)) + low;
}
private function guardarResultat(t1:Number, t2:Number, r:String,
actRes:Boolean):void
{
var numr:Number;
if(r=="Cotxe") numr = 1;
else numr = 0;
var obj:Object = {n:numPartida++, tria1:t1, tria2:t2, res:numr};
dadesJoc.addItem(obj);
if(actRes) actualitzarEstadistiques();
}
L’acció Actualitzar Estadístiques
L’acció actualitzar estadístiques és
private function actualitzarEstadistiques():void
{
sumaCotxe = 0;
sumaCabra = 0;
sumaCanvi = 0;
for(var i:Number = 0; i<dadesJoc.length; i++)
{
if(dadesJoc.getItemAt(i)["res"] == 1)
sumaCotxe++;
else sumaCabra++;
if(dadesJoc.getItemAt(i)["tria1"] !=
dadesJoc.getItemAt(i)["tria2"]) sumaCanvi++;
}
statPartides.text = numPartida.toString();
statCotxes.text = sumaCotxe.toString();
statCabres.text = sumaCabra.toString();
statCanvis.text = sumaCanvi.toString();
statsPremis.removeAll();
var obj1:Object = {nom:"Cotxes", num:sumaCotxe};
statsPremis.addItem(obj1);
var obj2:Object = {nom:"Cabres", num:sumaCabra};
statsPremis.addItem(obj2);
statsPartides.removeAll();
var obj3:Object = {nom:"Canvis", num:sumaCanvi};
statsPartides.addItem(obj3);
var obj4:Object = {nom:"No canvis", num:numPartida-
sumaCanvi};
statsPartides.addItem(obj4);
}
La acció Robot
La funció de l’acció robot és fer un numero definit de partides aleatories. Les
partides aleatòries son aquelles on qui escull les portes és l’ordinador. Per dur a
terme aquesta acció utilitzarem la funció for. Li direm com condicions que la
variable i val 0, que la variable ha de ser mes petita que el maxim numero de
partides que es poden jugar aleatoriament i que a la variable se li sumara 1 despres
de cada partida. Es farà el procés de la partida i després depenent si escollim si
canviem sempre de porta sempre declararem la variable j i li assignarem un valor i
unes condicions. Després de tot el procés actualitzarem les estadistiques.
private function robot():void
{
for(var i:Number = 0; i<spinner.value; i++)
{
iniciarPartida();
var rand:Number = randomNumber(1,3);
triaPorta(rand, false);
if(canvi.selectedValue == "Sempre")
{
var j:Number = 1;
while(rand == j || portaDajuda == j)j++;
triaPorta(j, false);
}else
{
triaPorta(rand, false);
}
}
actualitzarEstadistiques();
}
]]>
</mx:Script>
4.2. Funcionament del Programa
1) Opertura del programa. Per començar a jugar al simulador, haurem de clicar en:
I)l’arxiu MontyHall.html(arxiu de navegador d’Internet)
II)l’arxiu MontyHall de Flash que s’ubiquen dins de la carpeta Monty Hall.
2)Un cop obert el programa se’ns obrirà la pantalla principal del simulador on es pot
començar a jugar.
Els botons de la pantalla principal son els següents:
Iniciar partida
Es el boto que encarregat de donar principi al joc manual. Per començar una
partida, és necesari clicar en el boto iniciar partida. La seva funcionalitat és tancar
totes les portes i col·locar aleatoriament els diferents premis, i també per crear una
nova dada en els apartats dades, estadistiques i grafics de la zona inferior de la
pantalla principal.
Porta 1, Porta 2 i Porta 3
Son els botons encarregats de la elecció de les portes dins del joc.
Iniciar robot
Es el boto encarregat de fer partides aleatories dirigides per la maquina. Aquest
boto esta determinat per els controls que te per sota d’ell, seleccionant el numero
de partides i el tipus de jugador ( el que canvia i el que no ).
Pestanyes Dades, Estadistiques, Grafic i Grafic
Son les pestanyes que porten tota la informació de les partides. El tractament de
totes les dades en la secció Dades esta organitzat en files i columnes. En la segona
secció, la secció Estadistiques hi surten les dades totals de les partides realitzades
fins al moment. Les dues seccions següents són gràfics de diferent tipus. Tot el
sistema de dades s’actualitza partida rere partida.
4.2.1. Jugada manual
La jugada manual és un procés no automatitzat on les eleccions de les portes les fa
la persona que esta utilitzant la aplicació. Els resultats obtinguts aniran als
apartats de la zona inferior de l'aplicació, en el nostre cas, un cotxe. Després de
cada partida jugada, el jugador haurà de premer el botò Iniciar partida per tornar
a jugar-hi.
Per exemple, després de premer el botó iniciar partida nosaltres escollim la porta 1
i el programa ens obre la porta 2 mostrant una cabra. Nosaltres canviarem de
porta i agafarem la porta 3. Els resultats queden mostrats i actualitzats en les
diferents fonts de dades de la part inferior. Per iniciar partida de nou, haura de
premer el botó indicat.
4.2.2. jugada Robot
La jugada robot consisteix en un procés automatizat que realitza partides on les
portes son escollides aleatoriament per la màquina. La jugada robot realitzarà un
numero de partides des de 1000 fins a 2000000000.
Per exemple, nosaltres farem una jugada automatitzada de 1000 partides, per tant
escollirem el número de partides a seleccionar. En el nostre cas, canviarem sempre
de porta, llavors escollirem l’opció sempre de les dues alternatives. Per iniciar la
jugada robot premerem el botó Iniciar robot. Les dades obtingudes seran mostrats
i actualitzats en les diferents fonts de dades de la part inferior. Per tornar a iniciar
el la jugada robot s’ha de seguir el procés de nou.
5. Solució del problema
5.1 Solució popular
Aquest problema ha portat a induir popularment que es el mateix canviar de porta
que no canviar. No obstant això, és una equivocació duta per la intuïció.
L’intuïció ens porta a dir el següent: Quan encara no hem obert cap porta,
analitzant-lo per probabilitat no és gens difícil deduir que tenim 1/3 de
probabilitat de agafar un cotxe en la primera elecció i 2/3 d’escollir una cabra.
Aquesta proposició serà encertada però on la intuïció ens porta a l’error és aquí:
Un cop feta l’elecció el presentador ens demana si volem canviar de porta, després
que ell hagi obert una porta qualsevol amb una cabra. Deduïm que ens queda
amagada una cabra i un cotxe i que per tant tenim 50% de probabilitat de guanyar
tant com un cotxe com una cabra. Llavors direm que dona igual canviar de porta, ja
que tenim la mateixa probabilitat de guanyar qualsevol dels dos premis.
Quan es va presentar per primera vegada el problema de Monty Hall gran part de
la gent suposava que en cada porta hi havia una probabilitat igual i concloïen que
el canvi no importava. En el 1990, Mueser y Granberg van fer un estudi on dels 228
subjectes, només el 13% va optar per canviar de porta, deixant-se portar així per la
intuïció.
5.2. Solució inductiva
La solució intuïtiva és un anàlisis de la situació en el concurs, fent-nos una
pregunta per no caure en la solució popular. Perquè la probabilitat no es del
50%?
Al començament tenim dues cabres i un cotxe darrera de les portes. Com hem dit,
es més fàcil escollir una cabra que un cotxe atès que la probabilitat de escollir una
cabra es de 2/3 i la del cotxe de 1/3. Ja que es més probable que l’elecció primera
sigui una cabra, es més difícil que sigui un cotxe. El presentador ens obre una porta
i revela una cabra, i com era més fàcil escollir una cabra en la primera elecció,
canviant de porta serà més probable arribar al cotxe. A continuació farem un
anàlisis gràfic del que passa quan canviem sempre de porta.
El concursant té la mateixa possibilitat d’escollir la porta amb el cotxe que la cabra
A i que la cabra B. Suposarem doncs, que té 1/3 d’escollir qualsevol de les 3 portes.
S’ha de tenir present, llavors, que encara que siguin cabres seran la cabra A i la
cabra B.
En el cas 1: El concursant escull aleatòriament la porta que conté el cotxe. El
presentador ha d’escollir una de les dues portes al atzar per mostrar una cabra.
Com el presentador només pot escollir o la cabra A o la cabra B, s’haur{ de
decantar entre una de les dues possibilitats(encara que les tenim presents) i la
probabilitat total que tenia al principi(1/3) es reduirà a la meitat per cada
cas(1/6). Canviant en aquest cas perdrà, ja que la primera elecció era la correcte.
En el cas 2: El concursant escull aleatòriament la porta que conté la cabra A. El
presentador haurà de mostrar la porta que conté la cabra B. Canviant en aquest
cas, el concursant guanyarà.
En el cas 3: El concursant escull aleatòriament la porta amb la cabra B. Un altre
cop haurà de mostrar una porta amb un una cabra, que en aquest cas serà la cabra
A. Canviant de porta en aquest cas, el concursant guanyarà.
Aquest esquema mostra totes les eleccions per a cada cas. Com es pot observar, en
els casos on mantens la porta guanyes un cotxe i dues cabres i ,en canvi, en els
casos on canvies la porta guanyes dos cotxes i una cabra.
La conclusió que arribem és que per a nosaltres es millor canviar la porta ja que
tenim el doble de possibilitats de guanyar que sense canviar. Com no és un sistema
perfecte, no vol dir que guanyis sempre canviant, però podràs guanyar el doble de
vegades que sense canviar.
4.3. Solució matemàtica
4.3.1. Solució per probabilitats condicionades
Aquesta és la forma més rigorosa, però probablement serà la que pitjor s’entengui.
Definim els següents successos. Direm que hi ha dos tipus de jugadors, els que mai
canvien de porta i els que sempre canvien. L’estudi de la probabilitat serà sobre
quin tipus de jugador té més possibilitat de guanyar el cotxe.
Succés Descripció
(A) El jugador selecciona la porta que conté el cotxe en la seva elecció inicial.
(B) El jugador selecciona una porta que conté una cabra en la seva elecció inicial.
(G) El jugador guanya el cotxe.
Estem interessats en calcular P(G) per cada tipus de jugador
Per calcular P(G), només fa falta amb notar que:
G=(G ∩ A) U (G ∩ B) ja que A ∩ B = Ø
y A U B = Ω ( esto es equivalente a decir que {A,B} es una partición de Ω )
P(G) = P((G ∩ A) U (G ∩ B)) =
P(G) = P(G ∩ A) + P(G ∩ B) =
P(G) = P(G/A)P(A) + P(G/B)P(B)
En qualsevol cas, , direm que P(A)= 1/3 i P(B) = 2/3 donat que hi ha un cotxe i dues
cabres.
Ara hem de definir quin tipus de jugador estem estudiant:
Jugador que mai canvia de porta
En aquest cas, ja que el jugador manté la seva elecció inicial:
P(G|A)= 1(probabilitat de guanyar donat que hagi escollit la porta del cotxe en la
primera elecció)
P(G|B) =0 (probabilitat de guanyar donat que hagi escollit una cabra en la
primera elecció)
Per tant P(G) = 1· 1/3 + 0 · 2/3 = 1/3
Jugador que sempre canvia de porta
En aquest cas, ja que el jugador sempre canvia a l’única porta tancada que queda (i
sabem que com el presentador sap on esta el cotxe, sempre mostrarà una cabra)
P(G|A) =0 (probabilitat de guanyar donat que hagi escollit la porta del cotxe en la
primera elecció)
P(G|B) = 1 (probabilitat de guanyar donat que hagi escollit una cabra en la
primera elecció)
Per tant P(G) = 0· 1/3 + 1· 2/3 =2/3.
Clarament la millor estratègia es canviar sempre, ja que la probabilitat de guanyar
es el doble de la corresponent al jugador que no canvia mai.
5.4. Resultats de la simulació
5.4.1. Estadístiques i Gràfiques
Canviant el 100% dels casos
Estadístiques per 100 partides:
Partides jugades 100
Cotxes guanyats 64
Cabres guanyades 36
Portes canviades 100
Estadístiques per 500 partides:
Partides jugades 500
Cotxes guanyats 312
Cabres guanyades 188
Portes canviades 500
Cotxes 64%
Cotxes 62,4%
Estadístiques per 1000 partides:
Partides jugades 1000
Cotxes guanyats 639
Cabres guanyades 361
Portes canviades 1000
Podem observar en les gràfiques que, canviant de porta sempre, obtenim una
probabilitat de guanyar el cotxe d’un 63% aproximadament. El valor obtingut és
un valor molt proper al valor de 66%, que equival a dir 2/3 de probabilitats de
guanyar el cotxe si canvies sempre de porta.
NO canviant el 100% dels casos
Estadístiques per 100 partides:
Partides jugades 100
Cotxes guanyats 38
Cabres guanyades 62
Portes canviades 0
Estadístiques per 500 partides:
Partides jugades 500
Cotxes guanyats 194
Cabres guanyades 307
Portes canviades 0
Estadístiques per 1000 partides:
Partides jugades 1000
Cotxes guanyats 369
Cabres guanyades 631
Portes canviades 0
Cotxes 63,9%
Cotxes 38%
Cotxes 36,9%
Cotxes 38,8%
Si observem les partides que hem guanyat un cotxe, resulta que tenim
aproximadament un 37% de partides amb cotxes guanyats. Els resultats obtinguts
s’apropen molt també als valors desitjats del 33%, que és igual a dir 1/3 de
probabilitats de guanyar un cotxe si no canvies de porta.