tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske …...posebni oblici kretanja krutog tela brzina i ubrzanje...

Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela

Sloºeno kretanje ta£ke po telu

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Doc. dr Stanko �ori¢email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2019/20

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Sadrºaj

1 Posebni oblici kretanja krutog tela

Translatorno kretanje krutog tela

Rotacija krutog tela oko nepokretne ose

Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke

2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela

Brzina ta£ke krutog tela

Ubrzanje ta£ke krutog tela

3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu

Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke

Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju




Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke

Sadrºaj















Sadrºaj














Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela

Sadrºaj















Kinematika krutog tela

Brzina ta£ke krutog tela: translacija i rotacija oko nepokretne ose

Kod translatornog kretanja vektor brzine proizvoljne ta£ke

jednak je brzini referentne ta£ke A:

~v = ~vA

Kod rotacije tela oko nepokretne ose vektor elementarnog

pomeranja proizvoljne ta£ke dat je sa (Rodrigov obrazac):

d~r = d~ρ = d~θ × ~ρ

pa je vektor brzine jednak

~v =d~r

dt=d~θ

dt× ~ρ






Brzina ta£ke krutog tela: rotacija oko nepokretne ose

Brzina ta£ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je

~v = ~ω × ~ρ gde je ~ω =d~θ

dt

Vektor ~ω je vektor ugaone brzine tela i dat je sa

~ω =dθ

dt~s0 = θ ~s0 jer je d~θ = dθ ~s0 (~s0 = const)

Kod rotacije oko nepokretne ose ugaona brzina je izvod po

vremenu ugla obrtanja ω(t) = θ(t)






Brzina ta£ke krutog tela - sferno kretanje

Brzina ta£ke tela pri rotaciji oko nepokretne ta£ke je

~v = ~ω × ~ρ gde je ~ω =�~θ

dt

Vektor ~ω je vektor ugaone brzine tela koji je samo koli£nik

vektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvod

nekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!)

Naravno, vektor ugaone brzine je i kod rotacije oko nepokretne

ta£ke promenljiv sa vremenom, ~ω = ~ω(t) , jer se stalno

menjaju pravci trenutnih osa rotacije






Brzina ta£ke krutog tela - sferno kretanje

Vektor ugaone brzine tela ~ω kod sfernog kretanja (kao i kod

op²teg kretanja) je samo koli£nik vektora elementarne rotacije

i diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacije

oko nepokretne ose!)

Vektor ~ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja)

spada u KVAZIBRZINE, jer ~ω nije izvod po vremenu t nekogvektora (t.j. nije izvod nekog ugla u ravni, ve¢ je vezan za

trenutnu osu rotacije)






Brzina ta£ke krutog tela - op²te kretanje

Op²te (proizvoljno) kretanje slobodnog krutog tela, kako

kona£no, u intervalu ∆t, tako i beskona£no malo, u vremenu

dt, moºe da se prikaºe kao superpozicija translacije i rotacije

oko ose kroz referentnu ta£ku (ekvivalentne ili trenutne)

Kako je vektor poloºaja ta£ke tela dat sa

~r = ~rA + ~ρ

onda je vektor elementarnog pomeranja jednak

d~r = d~rA + d~ρ

gde je d~ρ = �~θ × ~ρ (Rodrigov obrazac)






Brzina ta£ke krutog tela - op²te kretanje

Vektor brzine ta£ke tela je dat sa

d~r = d~rA + d~ρ / : dt ⇒

Dobija se izraz za brzinu (Ojlerov obrazac):

~v = ~vA + ~ω × ~ρ (1)

gde je

~v =d~r

dt, ~vA =

d~rAdt

, ~ω =�~θ

dt






* Teorema o projekcijama brzina

Posmatra se telo koje vr²i proizvoljno kretanje

Uo£e se dve proizvoljne ta£ke tela P i Q

Brzine ovih ta£aka su date, redom, sa:

~vP = ~vA + ~ω × ~ρP~vQ = ~vA + ~ω × ~ρQ

(2)

Jedna£ine (2) se me�usobno oduzmu:

~vP − ~vQ = ~ω × (~ρP − ~ρQ) (3)





Teorema o projekcijama brzina







De�ni²e se ort pravca koji povezuje ta£ke tela P i Q

~e =

−−→PQ

|−−→PQ|

=~ρQ − ~ρP|~ρQ − ~ρP |

Jedna£ina (3) se skalarno pomnoºi sa ~e, odn. projektuje sa na

osu PQ:

(~vP − ~vQ) · ~e = ~ω × (~ρP − ~ρQ) · ~e (4)

Izraz na desnoj strani (4) je me²oviti proizvod u kome �guri²u

dva kolinearna vektora:

(~ρP − ~ρQ) = −|PQ|~e







Prema tome, me²oviti proizvod u (4) je jednak nuli:

~ω × (~ρP − ~ρQ) · ~e = 0

Jedna£ina (4) postaje:

(~vP − ~vQ) · ~e = 0 odn. ~vP · ~e = ~vQ · ~e (5)

Teorema o projekcijama brzina: Projekcije brzina dve ta£ke

krutog tela na osu koja spaja te dve ta£ke su me�usobno

jednake





Teorema o projekcijama brzina






** Teorema ...

Ugaona brzina i ugaona ubrzanje krutog tela ne zavise od

izbora referentne ta£ke






*** Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje

Trenutna osa rotacije je geometrijsko mesto ta£aka tela £ije su

brzine u tom trenutku jednake nuli (prava u telu):

~v = ~ω × ~ρ = 0

Jedna£ina trenutne ose rotacije je, prema tome:

~ω × ~ρ = 0 (6)

(²to predstavlja kolinearnost vektora ~ω i ~ρ)

Vektori se posmatraju u prostornom sistemu x, y, z:

~ρ = {x, y, z} ~ω = {ωx, ωy, ωz}







Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku

kao

~ω × ~ρ = 0 ⇒ x

ωx=

y

ωy=

z

ωz(7)

Jedna£ina (7) je jedna£ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u

prostornim koordinatama

Jedna£ine (7) odre�uju pravu u prostoru Oxyz sa kojom se u

datom trenutku poklapa trenutna osa rotacije

To su parametarske jedna£ine konusne povr²i - NEPOKRETAN

AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja

tela)







Vektori se posmatraju u materijalnom sistemu Aξηζ:

~ρ = {ξ, η, ζ} ~ω = {ωξ, ωη, ωζ} = {p, q, r}

Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku

kao

~ω × ~ρ = 0 ⇒ ξ

p=η

q=ζ

r(8)

Jedna£ina (8) je jedna£ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u

materijalnim koordinatama







Jedna£ine (8) odre�uju skup ta£aka tela koje se u datom

trenutku poklapaju sa trenutnom osom rotacije

To su parametarske jedna£ine konusne povr²i - POKRETAN

AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja

tela, u materijalnim koordinatama)

Zajedni£ka izvodnica OBA aksoida je trenutna osa rotacije (u

datom trenutku)

Moºe da se pokaºe da se poktretan aksoid kotrlja bez klizanja

po nepokretnom aksoidu






*** Pokretan i nepokretan aksoid - sferno kretanje

Skup svih pravih duº kojih je brzina ta£aka bila jednaka nuli u

toku obrtanja tela oko nepokretne ta£ke predstavlja konusnu

materijalnu povr² u telu, sa vrhom u ta£ki A

Nepokretan aksoid predstavlja geometrijsko mesto pravih linija

u prostoru sa kojima se u odre�enom trenutku poklapala

trenutna osa rotacije tela i time predstavlja NEPOKRETAN

geometrijski objekat

Pokretan aksoid, kao materijalna povr² u telu, kre¢e se zajedno

sa telom pri njegovom obrtanju oko nepokretne ta£ke i time

predstavlja POKRETAN geometrijski objekat





Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje






**** Skalarni prikazi brzine ta£ke tela

Brzina ta£ke tela koje vr²i proizvoljno (op²te) kretanje je data

sa

~v = ~vA + ~ω × ~ρ (9)

Skalarni oblik (9) u odnosu na PROSTORNE koordinate je

~v =

vxvyvz

=

xAyAzA

+

ωy(z − zA)− ωz(y − yA)ωz(x− xA)− ωx(z − zA)ωx(y − yA)− ωy(x− xA)

Skalarni oblik (9) u odnosu na MATERIJALNE koordinate je

~v =

vξvηvζ

=

vAξvAηvAζ

+

ζ q − η rξ r − ζ pη p− ξ q






**** Skalarni prikazi brzine ta£ke tela

U MATERIJALNOM opisu (u odnosu na sistem Aξηζ) se prati

kretanje jedne odre�ene ta£ke tela

(ξ = const, η = const, ζ = const)

To je Lagrange-ov opis kretanja (brzine)

u PROSTORNOM opisu (u odnosu na sistem Oxyz) seprikazuje brzina one ta£ke tela koja se u datom trenutku nalazi

u ta£ki prostora sa koordinatama (x, y, z). U narednom

trenutku se u toj ta£ki prostora nalazi neka druga ta£ka tela

To je Euler-ov opis kretanja (brzine)





Sadrºaj
















Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje

Vektor poloºaja ta£ke tela

~r = ~rA + ~ρ

Vektor brzine ta£ke tela (izvod vektora poloºaja)

~v =d~r

dt= ~vA + ~ω × ~ρ

Vektor ubrzanja ta£ke tela (izvod vektora brzine)

~a =d~v

dt=

d

dt(~vA + ~ω × ~ρ)

Vektori su izraºeni u inercijalnom i u pokretnom sistemu






Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa

Posmatra se proizvoljan vektor izraºen u sistemu pokretnih osa:

~b = ~b(t) = {bξ, bη, bζ} = bξ~λ+ bη~µ+ bζ~ν

Izvod po vremenu vektora ~b(t) je dat sa:

d~b

dt= bξ~λ+ bξ

d~λ

dt+ bη~µ+ bη

d~µ

dt+ bζ~ν + bζ

d~ν

dt(10)

Pokretan sistem Aξηζ se obr¢e (kao deo tela) oko ta£ke A, u

odnosu na nepokretan sistem Oxyz, sa ugaonom brzinom ~ω







Sistem materijalnih osa moºe da se posmatra kao rogljasto

telo. Ta£ke P1, P2 i P3 su krajevi jedini£nih veltora ~λ, ~µ i ~ν.

Tako je, npr., vektor ~λ vektor poloºaja ta£ke P1: ~λ =−→AP 1

Kao ²to se iz relacije d~ρ = �~θ × ~ρ dobija

d~ρ = �~θ × ~ρ / : dt ⇒ d~ρ

dt=

�~θ

dt× ~ρ = ~ω × ~ρ

tako se i za vektor ~λ, kao za vektor poloºaja ta£ke P1 (vektor~λ je vektor ~ρ za ta£ku P1), moºe da napi²e:

d~λ

dt= ~ω × ~λ







Na isti na£in se i za vektore ~µ i ~ν, kao za vektore poloºaja

ta£aka P2 i P3, moºe da napi²e:

d~µ

dt= ~ω × ~µ, d~ν

dt= ~ω × ~ν

Unose¢i ovo u relaciju (10), dobija se

d~b

dt= bξ~λ+ bξ ~ω × ~λ+ bη~µ+ bη ~ω × ~µ+ bζ~ν + bζ ~ω × ~ν

odnosno, izdvajanjem zajedni£kog faktora ~ω,

d~b

dt= bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν + ~ω × (bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν) (11)







Prema tome, izvod vektora ~b(t) po vremenu, izraºenog u

sistemu pokretnih osa, se sastoji iz dva £lana:

~b(t) = {bξ, bη, bζ} ⇒ d~b

dt=

∗~b+ ~ω ×~b

gde je∗~b lokalni izvod vektora ~b:

∗~b = {bξ, bη, bζ} = bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν

dok je £lan ~ω ×~b posledica rotacije pokretnog sistema sa

ugaonom brzinom ~ω







Izvod po vremenu vektora poloºaja ~ρ

~ρ =∗~ρ+ ~ω × ~ρ ⇒ ~ρ = ~ω × ~ρ

jer je ~ρ = const, pa je∗~ρ = 0 (kruto telo)

Izvod po vremenu vektora ugaone brzine ~ω

~ω =∗~ω + ~ω × ~ω ⇒ ~ω =

∗~ω = ~ε

jer je ~ω × ~ω = 0 (kolinearni vektori)

Vektor ~ε je vektor ugaonog ubrzanja tela







Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela je dato sa:

~a =d~v

dt=

d

dt(~vA + ~ω × ~ρ)

pa se dobija

~a = ~aA +d~ω

dt× ~ρ+ ~ω × d~ρ

dt

Imaju¢i u vidu diferenciranje vektora ~ω i ~ρ, dobija se

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)







Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela je dato sa

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ) (12)

U izrazu (12) su:

~aA . . . ubrzanje referentne ta£ke A

~ε× ~ρ . . . rotaciono ubrzanje

(posledica promene intenziteta ugaone brzine)

~ω × (~ω × ~ρ) . . . aksipetalno ubrzanje

(posledica promene pravca ugaone brzine)







Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje je dato

sa:

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)

Rotaciono ubrzanje ~ε× ~ρ ima pravac tangente na deo kruºnice

u ravni ⊥ na trenutnu osu rotacije

Aksipetalno ubrzanje ~ω × (~ω × ~ρ) je usmereno ka trenutnoj osi

rotacije (u pravcu polupre£nika dela kruºne putanje)




Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju

Sadrºaj















Sloºeno kretanje materijalne ta£ke

Ta£ka se kre¢e relativno u odnosu na telo

Ta£ka P se kre¢e po telu koje se tako�e kre¢e

Dvostruko kretanje ta£ke:

- ta£ka se kre¢e po telu . . . relativno kretanje

- telo se pri tome kre¢e . . . prenosno kretanje

Ukupno kretanje ta£ke je apsolutno (sloºeno) kretanje

Ta£ka tela M na kojoj se trenutno nalazi pokretna ta£ka se

zove koincidentna ta£ka (P ≡M)

Vektor poloºaja ta£ke koja se kre¢e po telu:

~r = ~rA + ~ρ pri £emu je ~ρ = ~ρ(t) = {ξ(t), η(t), ζ(t)}





Sadrºaj
















Sloºeno kretanje ta£ke - brzina i ubrzanje

Vektor poloºaja ta£ke koja vr²i sloºeno kretanje

~r = ~rA + ~ρ

pri £emu je

~r = {x, y, z} ~rA = {xA, yA, zA}

~ρ = {ξ(t), η(t), ζ(t)} = ξ(t)~λ(t) + η(t) ~µ(t) + ζ(t)~ν(t)

Vektor brzine je izvod po vremenu vektora poloºaja

~v =d~r(t)

dt=d~rAdt

+d~ρ

dt







Imaju¢i u vidu diferenciranje po vremenu vektora u sistemu

materijalnih koordinata, u ovom slu£aju vektora ~ρ, dobija se

~v = ~vA +∗~ρ+ ~ω × ~ρ

Vektor poloºaja ta£ke ima promenljive koordinate, jer se ta£ka

kre¢e po telu, tako da postoji i lokalni izvod vektora ~ρ

Izraz za brzinu sloºenog kretanja ta£ke po telu (apsolutna

brzina) moºe da se pi²e u obliku

~vaps = ~vpren + ~vrel (13)







Apsolutna brzina je jednaka vektorskom zbiru prenosne i

relativne brzine

Prenosna brzina u izrazu (13) je brzina koincidentne ta£ke

(odn. brzina one ta£ke tela na kojoj se u tom trenutku nalazi

pokretna ta£ka) i data je sa

~vpren = ~vA + ~ω × ~ρ (14)

Relativna brzina u izrazu (13) je brzina pokretne ta£ke

relativno u odnosu na telo po kome se kre¢e i data je sa

~vrel =∗~ρ = {ξ, η, ζ} (15)







Apsolutno ubrzanje ta£ke koja vr²i sloºeno kretanje je jednaka

izvodu po vremenu apsolutne brzine:

~aaps =d~vapsdt

=d~vprendt

+d~vreldt

Dobija se

~aaps =d~vAdt

+d~ω

dt× ~ρ+ ~ω × d~ρ

dt+d

dt(∗~ρ)

odn.

~aaps = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (∗~ρ+ ~ω × ~ρ) +

∗∗~ρ + ~ω ×

∗~ρ (16)







Grupisanjem i sre�ivanjem izraza (16) se dobija

~aaps = ~apren + ~arel + ~acor (17)

U izrazu (17) su, redom, prenosno, relativno i Koriolisovo

ubrzanje:

~apren = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)

~arel =∗∗~ρ = {ξ, η, ζ}

~acor = 2 ~ω ×∗~ρ = 2 ~ω × ~vrel

(18)






Primer

Horizontalna plo£a se konstantnom ugaonom brzinom obr¢e

oko vertikalne ose. U idealno glatkom ºljebu koji je za b udaljenod ose obrtanja moºe da se kre¢e materijalna ta£ka mase m.

Odrediti brzinu ta£ke, ubrzanje ta£ke, i napisati diferencijalnu

jedna£inu relativnog kretanja ta£ke unutar ºljeba.





Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta£ke


tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske …...posebni oblici kretanja krutog tela brzina i ubrzanje...

Documents