tehnicka mehanika 2 - grf.bg.ac.rs · pdf filekinematika krutog tela ravno kretanje krutog...

Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela

Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2017/18

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Sadrºaj

1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije

2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)

3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja

4 Primer - ravno kretanje




Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije

Sadrºaj









Kinematika krutog tela

Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)

Posmatra se telo koje vr²i sferno kretanje

Neka je telo izvr²ilo kona£an broj sukcesivnih elementarnihrotacija oko ta£ke A

�~θ1, �~θ2, �~θ3, . . .

Posmatra se proizvoljna ta£ka tela P sa vektorom poloºaja ~ρ

Traºi se UKUPNO elementarno pomeranje koje je rezultatsuperpozicije kona£nog broja elementarnih rotacija







Posle prve elemetarne rotacije �~θ1 elementarno pomeranjeta£ke je dato sa

d~ρ1 = �~θ1 × ~ρ

Vektor poloºaja ta£ke je tada dat sa:

~ρ1 = ~ρ+ d~ρ1 = ~ρ+ �~θ1 × ~ρ (1)







Posle druge elemetarne rotacije �~θ2 elementarno pomeranjeta£ke je dato sa

d~ρ2 = �~θ2 × ~ρ1Vektor novog poloºaja ta£ke je tada dat sa:

~ρ2 = ~ρ1 + d~ρ2 = ~ρ1 + �~θ2 × ~ρ1 (2)

Unose¢i (1) u (2) dobija se

~ρ2 = ~ρ+ �~θ1 × ~ρ+ �~θ2 × (~ρ+ �~θ1 × ~ρ)

odnosno, posle sre�ivanja

~ρ2 = ~ρ+ (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ) (3)S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2






Posle tre¢e elemetarne rotacije �~θ3 elementarno pomeranjeta£ke je dato sa

d~ρ3 = �~θ3 × ~ρ2Vektor novog poloºaja ta£ke je tada dat sa:

~ρ3 = ~ρ2 + d~ρ3

Unose¢i iz (3) ~ρ2 dobija se

~ρ3 = ~ρ+ (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)

+ �~θ3 × [~ρ+ (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)](4)







Sre�ivanjem izraza (4) se dobija

~ρ3 = ~ρ+ (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)

+ �~θ3 × (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ3 × �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)(5)







Posle svake od elementarnih rotacija prira²taj vektora poloºaja~ρ je dat sa

~ρ1 − ~ρ = �~θ1 × ~ρ

~ρ2 − ~ρ = (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)

~ρ3 − ~ρ = (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)

+ �~θ3 × (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ3 × �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)

(6)







Posle tri uzastopne elementarne rotacije ukupno elementarnopomeranje ta£ke P je dato sa

−−→PP ′ = d~ρ = ~ρ3 − ~ρ = (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3)× ~ρ

+∞ male veli£ine 2. i vi²eg reda(7)

Zanemaruju¢i ∞ male veli£ine 2. i vi²eg reda, dobija se,indukcijom, za proizvoljan kona£an broj �~θi:

d~ρ = (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3 + · · · )× ~ρ =n∑i=1

�~θi × ~ρ (8)







Ako se izraz (8) napi²e u obliku

d~ρ = �~θ × ~ρ

onda je vektor �~θ dat kao vektorski zbir uzastopnihelementarnih rotacija:

�~θ = �~θ1 + �~θ2 + �~θ3 + · · · (9)

Vaºi komutativnost u superpoziciji elementarnih rotacija





Sabiranje KONA�NIH rotacija





Sadrºaj










Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ

Posmatra se veza izme�u vektora elementarne rotacije �~θ ielementarne promene Ojlerovih uglova dψ, dϑ i dϕ

Trenutna osa rotacije je prava oko koje se telo obr¢e utrenutku t, a tako�e i kao materijalna prava linija u telu duºkoje su u tom trenutku brzine ta£aka jednake nuli

Vektor elementarne rotacije �~θ je de�nisan kao vektor koji imapravac trenutne ose rotacije

Vektor �~θ moºe da se razlaºe (kao i svaki vektor) na izabranekoordinatne ose: sistem xyz ili sistem ξηζ

�~θ = �θx~ı+ �θy~+ �θz~k �~θ = �θξ~λ+ �θη~µ+ �θζ~ν







Imaju¢i u vidu sabiranje elementarnih rotacija, PROIZVOLJANvektor elementarne rotacije �~θ moºe da se prikaºe kaovektorski zbir tri elementarne rotacije koje odgovarajuelementarnim prira²tajima Ojlerovih uglova:

�~θ = d~ψ + d~ϑ+ d~ϕ = dψ~k + dϑ~n+ dϕ~ν (10)

Relacija (10) se podeli sa dt, pa se dobija veza izme�u vektoraugaone brzine i Ojlerovih uglova:

~ω = ψ~k + ϑ~n+ ϕ~ν (11)







Imaju¢i u vidu de�niciju Ojlerovih uglova, kao i relacije izme�ujedini£nih vektora u fazama tri kona£ne rotacije za uglove ψ, ϑi ϕ, kao i veze izme�u elemenata matrice rotacije i Ojlerovihugolva, vektor elementarne rotacije (10) moºe da se prikaºe usistemu inercijalnih osa xyz kao:

�~θ =~ı(dϑ cosψ + dϕ sinψ sinϑ)

+ ~(dϑ sinψ − dϕ cosψ sinϑ)

+ ~k(dψ + dϕ cosϑ)

(12)







Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije usistemu xyz su

�θx = dϑ cosψ + dϕ sinψ sinϑ

�θy = dϑ sinψ − dϕ cosψ sinϑ

�θz = dψ + dϕ cosϑ

(13)

Koordinate vektora ugaone brzine u sistemu xyz su onda datesa

ωx = ϑ cosψ + ϕ sinψ sinϑ

ωy = ϑ sinψ − ϕ cosψ sinϑ

ωz = ψ + ϕ cosϑ

(14)







Na sli£an na£in, vektor elementarne rotacije (10) moºe da seprikaºe u sistemu materijalnih osa ξηζ kao:

�~θ = ~λ(dψ sinϕ sinϑ+ dϑ cosϕ)

+ ~µ(dψ cosϕ sinϑ− dϑ sinϕ)

+ ~ν(dψ cosϑ+ dϕ)

(15)







Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije usistemu ξηζ su

�θξ = dψ sinϕ sinϑ+ dϑ cosϕ

�θη = dψ cosϕ sinϑ− dϑ sinϕ

�θζ = dψ cosϑ+ dϕ

(16)

Tako�e, koordinate vektora ugaone brzine u sistemu ξηζ sudate sa

ωξ = p = ψ sinϕ sinϑ+ ϑ cosϕ

ωη = q = ψ cosϕ sinϑ− ϑ sinϕ

ωζ = r = ψ cosϑ+ ϕ

(17)




De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)

Sadrºaj









Ravno kretanje krutog tela

De�nicija ravnog kretanja

Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela prikome sve ta£ke tela vr²e kretanje paralelno jednoj istoj ravni ipri kome sve ta£ke tela koje pripadaju istoj pravoj, normalnojna ovu ravan, opisuju podudarne putanje, svaka u ravni kojojpripada

Alternativna de�nicija ravnog kretanja:

Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje telakod koga se tri ta£ke tela stalno kre¢u u istoj ravni(A,B,C ∈ π)






De�nicija ravnog kretanja

Ako su tri proizvoljne ta£ke tela A, B, C stalno u istoj ravni πtokom kretanja tela, onda telo moºe da se obr¢e SAMO okoose upravne na tu ravan π

Sve ta£ke tela na normali na ravan π vr²e ISTO kretanje

Da bi se pratilo kretanje tela koje vr²i ravno kretanje, dovoljnoje da se posmatra kretanje preseka tela sa ravni π

Umesto koordinate 3 ta£ke (kao kod op²teg kretanja tela),dovoljno je da su poznate koordinate dve ta£ke, A i B, koje sestalno kre¢u u ravni π

Telo koje vr²i ravno kretanje ima TRI stepena slobode kretanjan = 3







Broj stepeni slobode kretanja: n = 3

Posmatra se presek tela sa ravni kretanja π i usvajaju seinercijalni i materijalni sistem na slede¢i na£in:

Ose Oz i Aζ su stalno me�usobno paralelneRavni Oxy i Aξη se poklapaju me�usobno i sa ravni kretanja π

Ojlerovi uglovi su, prema tome,- z ‖ ζ ⇒ ϑ = 0- ∠(x, ξ) = ψ + ϕ = θ

Generalisane koordinate (za opisivanje poloºaja, odn. kretanjatela):

q1 = xA, q2 = yA, q3 = θ





Sadrºaj









Kona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela







Kona£ne jedna£ine ravnog kretanja krutog tela (n = 3)

q1 = xA(t)

q2 = yA(t)

q3 = θ(t)

Kona£ne jedna£ine ta£ke tela koje vr²i ravno kretanje

~r = ~rA + ~ρ







Vektori ~rA i ~ρ su, za ravansko kretanje, dati sa

~rA = xA~ı+ yA~ ~ρ = ξ~λ+ η~µ

Relacije izme�u jedini£nih vektora su date sa

~λ =~ı cos θ + ~ sin θ

~µ = −~ı sin θ + ~ cos θ(18)







Izraºavanjem ~λ i ~µ preko ~ı i ~, posle sre�ivanja se dobijajukona£ne jedna£ine kretanja ta£ke tela koje vr²i ravno kretanje

x = xA + ξ cos θ − η sin θ

y = yA + ξ sin θ + η cos θ

ili u matri£nom oblikuxyz

=

xAyAzA

+

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

T ξηζ





Sadrºaj










Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema

�alova teorema (specijalan slu£aj Dalamberove teoreme):Svako kona£no pomeranje pri ravnom kretanju moºe da sepredstavi kao kona£na rotacija oko odre�ene ose ⊥ na ravankretanja

Presek ose ekvivalentne rotacije i ravni kretanja je centarkona£ne rotacije

Ravno kretanje moºe da se shvati i kao grani£ni slu£aj sfernogkretanja kada je nepokretna ta£ka u ∞ (radijus sfere je ∞veliki)

Ose ekvivalentne rotacije su me�usobno ‖S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2






Posmatra se duº AB, kao reprezent ravnog kretanja tela

U trenutku t1 duº (odn. telo) je u poloºaju (I), AB, a utrenutku t2 duº je u nekom kona£no udaljenom poloºaju (II),A′B′

Bez obzira kakvo je stvarno kretanje iz poloºaja (I) u poloºaj(II), to kretanje moºe da se prikaºe kao jedna kona£na rotacijaoko neke ta£ke C (odn. oko ose upravno na ravan kretanja uta£ki C)







Ta£ka A se spoji linijom sa ta£kom A′, a ta£ka B se spojilinijom sa ta£kom B′

Ta£ka M je na sredini duºi AA′, dok je ta£ka N na srediniduºi BB′

Iz ta£ke M se povu£e osa simetrije za duº AA′, a iz ta£ke Nosa simetrije na duº BB′

Presek te dve ose simetrije je ta£ka C - centar kona£nerotacije tela (odn. duºi AB)





�alova teorema (centar kona£ne rotacije)







Uo£avaju se dva trougla 4ABC i 4A′B′C

Ova dva trougla su podudarna, jer su im sve tri stranice iste:- AC = A′C . . . kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije- BC = B′C . . . kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije- AB = A′B′ . . . pretpostavka o krutom telu

Prema tome, i uglovi izme�u odgovaraju¢ih stranica su isti:

∠ACB = ∠A′CB′ (19)







Relaciji (19) se doda isti ugao:

∠ACB + ∠BCA′ = ∠BCA′ + ∠A′CB′

Posle sabiranja uglova, dobija se jednakost uglova

∠ACA′ = ∠BCB′ (20)

Relacija (20) zna£i da su ta£ke A i B, pri datom kona£nompomeranju tela koje vr²i ravno kretanje, dospele u kona£anpoloºaj posle obrtanja za isti kona£an ugao oko zajedni£kogcentra C






Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije

Centar kona£ne rotacije se odnosi na proizvoljan kona£aninterval vremena ∆t

Trenutni centar rotacije je grani£ni poloºaj centra kona£nerotacije za ∆t→ dt→ 0

Presek trenutne ose rotacije i ravni kretanja je trenutni centarrotacije. To je

• ona ta£ka u ravni kretanja oko koje se presek tela u ravnikretanja obr¢e u posmatranom trenutku, ili• ona ta£ka tela £ija je brzina, u posmatranom trenutku,jednaka nuli







Ravno kretanje moºe da se posmatra kao sukcesivan niz ∞mnogo elementarnih rotacija oko trenutnih centara rotacije

Ose upravno na ravan kretanja u trenutnom centru su trenutneose rotacije

Sve trenutne ose rotacije su me�usobno ‖, odn. upravne naravan kretanja

U tom smislu, ravno kretanje moºe da se posmatra i kaosferno kretanje, pri £emu je nepokretna ta£ka u beskona£nostina pravcu upravno na ravan kretanja

Geometrijsko mesto svih trenutnih osa rotacije kod ravnogkretanja je cilindri£na povr², a ne konus, kao kod "pravog"sfernog kretanja




Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja

Sadrºaj










Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje

Ugaona brzina pri ravnom kretanju krutog tela je uvek ⊥ naravan kretanja π

~ω = ω~k = ω~ν gde je ω(t) = θ(t)

Vektor ugaone brzine je izvod ugla θ po vremenu

Brzina proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje, pa prematome i ravno kretanje, je data sa Ojlerovom relacijom

~v = ~vA + ~ω × ~ρ (21)







U slu£aju ravnog kretanja ~ω je uvek ⊥π, dok je ~ρ uvek u ravniπ: ~ρ ∈ πSkalarni proizvod ~ω × ~ρ se dobija u obliku

~ω × ~ρ =

∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν0 0 ωξ η 0

∣∣∣∣∣∣ = −ωη~λ+ ωξ~µ

Relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistemxy, kao

x = xA − ω(ξ sin θ + η cos θ)

y = yA + ω(ξ cos θ − η sin θ)(22)







Imaju¢i u vidu relacije (18) izme�u jedini£nih vektora,

~λ =~ı cos θ + ~ sin θ

~µ = −~ı sin θ + ~ cos θ(23)

inverzne relacije su date sa

~ı = ~λ cos θ − ~µ sin θ

~ = ~λ sin θ + ~µ cos θ(24)







Prema tome, brzina referentne ta£ke A: ~vA = xA~ı+ yA~ sedobija, posle sre�ivanja, kao

~vA = (xA cos θ + yA sin θ)~λ+ (−xA sin θ + yA cos θ)~µ

Sa ovim, relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosuna sistem ξη, kao

vξ = xA cos θ + yA sin θ − ωηvη = −xA sin θ + yA cos θ + ωξ

(25)

vξ i vη sa KVAZIBRZINE - NISU izvodi po vremenu nekihkoordinata





Sadrºaj











Ugaono ubrzanje pri ravnom kretanju krutog tela

~ε = ε~k = ε~ν gde je ε = ω(t) = θ(t)

Ugaono ubrzanje kod ravanskog kretanja je 2. izvod povremenu ugla obrtanja θ: ε = θ

Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje je datosa relacijom

~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)







Kako je, kod ravanskog kretanja uvek ~ρ⊥~ω, to se dvostrukivektorski proizvod svodi na

~ω × (~ω × ~ρ) = ~ω(~ω · ~ρ)− ω2 ~ρ = −ω2 ~ρ

Prema tome, ubrzanje ta£ke tela koje vr²i ravansko kretanje jedato sa

~a = ~aA + ~ε× ~ρ− ω2~ρ

- ubrzanje referentne ta£ke: ~aA- tangencijalno ubrzanje: ~ε× ~ρ- normalno ubrzanje: −ω2~ρ (usmereno ka referentnoj ta£ki A)





Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanju






Skalarni oblik ubrzanja ta£ke kod ravanskog kretanja

Ubrzanje ta£ke tela u sistemu inercijalnih osa xy

ax = x = xA − ε(ξ sin θ + η cos θ)− ω2(ξ cos θ − η sin θ)

ay = y = yA + ε(ξ cos θ − η sin θ)− ω2(ξ sin θ + η cos θ)

Ubrzanje ta£ke tela u sistemu materijalnih osa ξη

aξ = xA cos θ + yA sin θ − εη − ω2ξ

aη = −xA sin θ + yA cos θ + εξ − ω2η





Sadrºaj











Trenutni centar rotacije je ona ta£ka u ravni kretanja oko kojese obr¢e presek tela sa ravni kretanja u tom trenutku

Trenutni centar rotacije je ona ta£ka tela £ija je brzina u tomtrenutku jednaka nuli

Trenutni centar rotacije je ta£ka S(xS , yS) ili S(ξS , ηS)

Uslov za odre�ivanje ta£ke S je ~vS = 0, odnosno,

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 (26)







Uslovna jedna£ina (26) se transformi²e

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 /~ω×

Dobija se~ω × ~vA + ~ω × (~ω × ~ρS) = 0

odnosno, razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda,

~ω × ~vA + ~ω(~ω · ~ρS)− ω2 ~ρS = 0







Kako je ~ω · ~ρS = 0, zbog ortogonalnosti vektora, to se dobijare²enje za vektor poloºaja ta£ke S u odnosu na referentnuta£ku A:

~ρS =~ω × ~vAω2

Vektor poloºaja trenutnog centra rotacije u osnosu na ta£ku Oje dat sa

~rS = ~rA + ~ρS = ~rA +~ω × ~vAω2







Vektorski proizvod ~ω × ~vA, izraºen u sistemu xyz, iznosi

~ω × ~vA =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k0 0 ωxA yA 0

∣∣∣∣∣∣ = −ω yA~ı+ ω xA ~

Vektor poloºaja u odnosu na nepokretnu ta£ku O,~rS = ~rA + ~ρS , dobija se, razlaganjem na prostorne koordinatexy, kao:

xS = xA −1

ωyA

yS = yA +1

ωxA

(27)







Posmatra se poloºaj trenutnog centra rotacije u materijalnomsistemu ξη

Uslov za odre�ivanje ta£ke S je ~vS = 0, odnosno

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 (28)

Vektor brzine referentne ta£ke A u sistemu ξη je dat sa

~vA = (xA cos θ + yA sin θ)~λ+ (−xA sin θ + yA cos θ)~µ







Skalarni proizvod ~ω × ~ρS se dobija u obliku

~ω × ~ρ =

∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν0 0 ωξS ηS 0

∣∣∣∣∣∣ = −ω ηS ~λ+ ω ξS ~µ

Uslovna jedna£ina (28) se projektuje na ose materijalnogsistema

~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 / ·~λ~µ

pri £emu se brzina ~vA posmatra u sistemu ξη







Dobija se:

xA cos θ + yA sin θ − ω ηS = 0

−xA sin θ + yA cos θ + ω ξS = 0

Re²avanjem se dobijaju materijalne koordinate trenutnogcentra rotacije:

ξS =1

ω(xA sin θ − yA cos θ)

ηS =1

ω(xA cos θ + yA sin θ)

(29)






Ravno kretanje krutog tela - baza i ruleta

Trenutni centar rotacije u sistemu inercijalnih koordinata:

xS = xA −1

ωyA

yS = yA +1

ωxA

(30)

Trenutni centar rotacije u sistemu materijalnih koordinata:

ξS =1

ω(xA sin θ − yA cos θ)

ηS =1

ω(xA cos θ + yA sin θ)

(31)







Jedna£ine (30) su parametarske jedna£ine (vreme t jeparametar) krive linije u sistemu inercijalnih osa Oxy

Jedna£ine (31) su parametarske jedna£ine (vreme t jeparametar) krive linije u sistemu materijalnih osa Aξη

Geometrijsko mesto ta£aka (30) u sistemu nepokretnih osa sezove NEPOKRETNA CENTROIDA ili BAZA (kriva linija uravni Oxy)

Geometrijsko mesto ta£aka (31) u sistemu pokretnih osa sezove POKRETNA CENTROIDA ili RULETA (kriva linija uravni Aξη)







Baza je geometrijsko mesto ta£aka (izraºeno u sistemu Oxy)oko kojih se telo obrtalo tokom ravanskog kretanja

Baza je geometrijsko mesto ta£aka u prostoru Oxy kojepretstavljaju trenutne centre rotacije

Ruleta je kriva linija u telu koja predstavlja geometrijsko mestota£ka u kojima je, u pojedinim trenucima vremena, brzina bilajednaka nuli

Ruleta se pomera u odnosu na Oxy ravan i pri tome se usvakom trenutku vremena po jedna ta£ka rulete POKLAPA sapo jednom ta£kom baze (to je trenutni centar rotacije u tomtrenutku)







Izme�u baze i rulete postoje slede¢i odnosi:- U zajedni£koj ta£ki (u trenutnom centru rotacije u tomtrenutku) baza i ruleta imaju zajedni£ku tangentu (dodir prvogreda)

- Brzine kojima se trenutni centar pomera po jednoj i po drugojkrivoj su me�usobno jednake

- Ruleta se kotrlja po bazi bez klizanja







Kada se poznaje poloºaj trenutnog centra rotacije S, ondamoºe da se ta£ka S usvoji za novu referentnu ta£ku

U tom slu£aju je brzina referentne ta£ke jednaka nuli: ~vS = 0,pa je brzina bilo koje ta£ke tela P , koje vr²i ravansko kretanje,data sa

~v = ~ω × ~ρ (32)

gde se podrazumeva da se ~ρ meri od nove referentne ta£ke

~ρ =−→SP







Imaju¢i u vidu relaciju (32), odnosno izraz za brzinu ~v = ~ω × ~ρ,moºe da se zaklju£i slede¢e

1 Vektor brzine svake ta£ke tela je upravan na pravac potegapovu£enog iz trenutnog centra rotacije ka toj ta£ki

2 Intenzitet brzine ta£ke je proporcionalan sa rastojanjem ta£keod trenutnog centra rotacije

3 Smer brzine ta£ke zavisi od smera ugaone brzine







Poloºaj trenutnog centra rotacije se obi£no odre�uje direktno,iz zadatih uslova kretanja i postoje¢ih veza, a neizra£unavanjem relacija (27) ili (29)

Pravac brzine ta£ke je upravan na liniju koja spaja ta£ku satrenuntim centrom rotacije

Prema tome, ako je poznat pravac brzina dve razli£ite ta£ketela, trenutni centar rotacije se nalazi na preseku normala napravce brzina te dve ta£ke

Ako je telo koje vr²i ravansko kretanje u nekoj ta£ki vezanonepokretnim osloncem, onda je ta ta£ka trenutni centarrotacije (odn. telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose koja jeupravna na ravan kretanja, a nalazi se u toj ta£ki, odn. unepokretnom osloncu)






Ravno kretanje krutog tela - Teorema o tri centra

Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema):Ako su dve plo£e koje vr²e ravno kretanje me�usobno zglobnopovezane, onda se trenutni centri rotacija plo£a i me�uzglobnalaze na jednoj liniji

Posmatraju se dve krute plo£e, (1) i (2), koje se kre¢u u ravniOxy, pri £emu su plo£e me�usobno zglobno vezane u ta£ki C

Pretpostavlja se da su poznati trenutni centri rotacija plo£a:ozna£eni, redom, sa S1 i S2





Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijevateorema)







Posmatra se plo£a (1) i neka je ~ρ1 vektor poloºaja zajedni£keta£ke C u odnosu na S1Ako je ~ω1 vektor ugaone brzine plo£e (1), onda je vektorbrzine ta£ke C, posmatrane kao deo tela (1), dat sa

~vC1 = ~ω1 × ~ρ1

Sli£no, ako je ~ω2 vektor ugaone brzine tela (2), a ~ρ2 vektorpoloºaja ta£ke C u odnosu na S2, onda je brzina ta£ke C,posmatrane kao deo tela (2), data sa

~vC2 = ~ω2 × ~ρ2







Ta£ka C je zajedni£ka za obe plo£e, pa brzina ta£ke C mora dabude jedinstvena, odn., mora da bude

~vC1 = ~vC2 t.j. ~ω1 × ~ρ1 = ~ω2 × ~ρ2 (33)

Vektori ugaonih brzina kod ravanskog kretanja moraju da buduupravni na ravan kretanja, tako da je

~ω1 = −ω1~k ~ω2 = ω2

~k

Znak ugaone brzine tela (1) je negativan zbog prikazanogpretpostavljenog smera obrtanja (u smeru kazaljke na satu)







Unose¢i ugaone brzine u relaciju (33) dobija se

−ω1~k×~ρ1 = ω2

~k×~ρ2 odnosno ~k×(ω1~ρ1+ω2~ρ2) = 0 (34)

Vektorski proizvod (34) ¢e da bude jednak nuli, samo ukolikoje izraz u zagradi jednak nuli:

ω1~ρ1 + ω2~ρ2 = 0 odnosno ~ρ1 = −ω2

ω1~ρ2 (35)

Relacija (34) zna£i da su vektori ~ρ1 i ~ρ2 me�usobno kolinearni,odnosno da se ta£ke S1, C = S12 i S2 nalaze na jednom pravcu





Sadrºaj









Trenutni centar ubrzanja


Trenutni centar ubrzanja tela koje vr²i ravansko kretanje je onata£ka tela u kojoj je, u posmatranom trenutku, ubrzanjejednako nuli

Ubrzanje ta£ke tela koje vr²i ravansko kretanje je dato sa

~a = ~aA + ~ε× ~ρ− ω2 ~ρ

Ako je ta£ka C trenutni centar ubrzanja, onda je ~aC = 0







Relacija ~aC = 0 se mnoºi sa leve strane vektorski sa ~ε, a zatimi sa ω2:

~aC = ~aA + ~ε× ~ρC − ω2 ~ρC = 0 /~ε×ω2· ⇒

Dobija se:

~ε× ~aA + ~ε× (~ε× ~ρC)− ω2(~ε× ~ρC) = 0

ω2~aA + ω2(~ε× ~ρC)− ω4~ρC = 0(36)

Sabiranjem jedna£ina (36) se dobija

~ε× ~aA + ~ε× (~ε× ~ρC) + ω2~aA − ω4~ρC = 0 (37)







Dvostruki vektorski proizvod u (37) se razvije

~ε× (~ε× ~ρC) = ~ε · (~ε · ~ρC)− ε2~ρC = −ε2~ρC

jer su vektori ~ε i ~ρC me�usobno ortogonalni

Sa ovim, relacija (37) postaje

~ε× ~aA − ε2~ρC + ω2~aA − ω4~ρC = 0 (38)

odakle se direktno dobija vektor poloºaja ta£ke C:

~ρC =ω2~aA + ~ε× ~aA

ω4 + ε2(39)







Relacijom (39) je odre�en poloºaj trenutnog centra ubrzanja uodnosu na referentnu ta£ku A

Sa odre�enim poloºajem trenutnog centra ubrzanja C, ta£ka Cse usvaja za novu referentnu ta£ku

U tom slu£aju je ubrzanje bilo koje druge ta£ke tela P dato sa

~aP = ~ε× ~ρP − ω2 ~ρP

gde je ~ρP vektor poloºaja ta£ke P u odnosu na ta£ku C:

~ρP =−−→CP

Ukupno ubrzanje se tada sastoji SAMO iz tangencijalnog inormalnog ubrzanja u odnosu na trenutni centar ubrzanja




Ravno kretanje - primer

U prikazanom poloºaju klipnog mehanizma koji se kre¢e u ravnixy poznati su brzina i ubrzanje klipa A. Odrediti brzinu iubrzanje ta£ke B




Ravno kretanje

primer: re²enja

Mehanizam se sastoji iz dva tela. Telo (1) zaklapa 300 saosom x, a telo (2) je u pravcu ose y

Trenutni centar rotacije tela (2) je u osloncu C, a trenutnicentar tela (1) je u ∞ u pravcu ose y

Prema tome, telo (1) vr²i trenutno translatorno kretanje

Sve ta£ke tela (1), pa i ta£ka B, imaju istu brzinu:

vB = vA

Ugaona brzina tela (2) je, prema tome

ω2 =vBR

=vAR




Re²enja: Brzine




Ravno kretanje

primer: re²enja

Ta£ka B je zajedni£ka za oba ²tapa. Imaju¢i u vidu da je za²tap (1) poznato ubrzanje ta£ke A, onda je to referentna ta£kaza telo (1) i ubrzanje ta£ke B, posmatrane kao ta£ka tela (1),je dato sa

~aB1 = ~aA + ~ε1 × ~ρBA (40)

U relaciji (40) je uzeto u obzir da je ugaona brzina tela (1)jednaka nuli, a pretpostavljen je smer ugaonog ubrzanja usmeru kazaljke na satu

Ako se ta£ka B posmatra kao deo tela (2), onda je ubrzanjeta£ke B dato sa

~aB2 = ~ε2 × ~ρBC − ω22 ~ρBC (41)




Ravno kretanjea

primer: re²enja

Za telo (2) je ta£ka C referentna ta£ka (jer je to nepokretnata£ka) i ubrzanje je nula

Tako�e je pretpostavljen smer ugaonog ubrzanja tela (2) ε2:suprotno od kazaljke na satu (kao i stvaran smer ω2)

Ta£ka B je zajedni£ka ta£ka za oba tela, tako da mora da bude

~aB1 = ~aB2 (42)

Uno²enjem relacija (40) i (41) u jedn. (42), dobija se

~aA + ~ε1 × ~ρBA = ~ε2 × ~ρBC − ω22 ~ρBC (43)




Re²enj: Ubrzanja

Ubrzanje ta£ke B se posmatra dvojako:

kao ubrzanje ta£ke koja pripada ²tapu AB

kao ubrzanje ta£ke koja pripada ²tapu CB




Ravno kretanje

Test broj 2: re²enja

Projektovanjem jedn. (43) na ose x i y se dobija

aA + ε1 2R sin 300 = ε2R

ε1 2R cos 300 = ω22 R

(44)

Iz druge od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (1):

ε1 =v2AR2

√3

3(45)

Kao ²to se vidi, ugaono ubrzanje ε1 je pozitivno, ²to zna£i daje stvaran smer kao ²to je pretpostavljen




Ravno kretanje

primer: re²enja

Iz prve od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (2):

ε2 =aAR

+v2AR2

√3

3(46)

Kao ²to se vidi, i ugaono ubrzanje ε2 je pozitivno, ²to zna£i daje stvaran smer kao ²to je pretpostavljen

Komponente ubrzanja ta£ke B (videti sliku sa ubrzanjima),posmatraju¢i ta£ku B kao deo tela (2), su date sa

aBx = −ε2R = −aA −v2AR

√3

3

aBy = −ω22 R = −

v2ARS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Ravno kretanje

primer: re²enja

Prema tome, vektor brzine ta£ke B, izraºen u odnosu nasistem Cxy, dat je sa

~vB = −vA~ı

Vektor ubrzanja ta£ke B je dat sa

~aB = −(aA +v2AR

√3

3)~ı−

v2AR~

gde su vA i aA poznati pozitivni skalari


tehnicka mehanika 2 - grf.bg.ac.rs · pdf filekinematika krutog tela ravno kretanje krutog...

Documents