tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske studije, iii semestar · 2020. 12. 1. · rotacija krutog...

Rotacija krutog tela oko nepokretne ose

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Doc. dr Stanko �ori¢email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2020/21

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2


Sadrºaj

1 Rotacija krutog tela oko nepokretne ose

Rotacija tela oko nepokretne ose - op²ti slu£aj

Rotacija tela oko nepokretne ose - specijalni slu£ajevi

Primer


Rotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija tela oko nepokretne ose - op²ti slu£ajRotacija tela oko nepokretne ose - specijalni slu£ajeviPrimer

Sadrºaj




Primer




Rotacija oko nepokretne ose - op²ti slu£aj

Osa rotacije je osa BC: u B je sferni zglob, a u C je cilindarski

zglob

Ta£ka A=O na osi BC je po£etak prostornog i materijalnog

sistema Oxyz i Aξηζ

Osa rotacije je Oz ≡ Aζ, dok se ravni Oxy i Aξη poklapaju

Kona£na jedna£ina kretanja tela je ϕ = ϕ(t) , jer je n = 1,

gde je ϕ = ϕ(x, ξ)

Koordinate oslonaca su B(0, 0,−hb) i C(0, 0, hc)Koordinate sredi²ta mase tela su S(ξS , ηS , ζS)





Ugaona brzina i ubrzanje tela su

~ω = {0, 0, ω} = {0, 0, ϕ̇}

~ε = {0, 0, ε} = {0, 0, ϕ̈}

Vektor momenta koli£ine kretanja je

~D(A) =

Jξ Jξη JξζJξη Jη JηζJξζ Jηζ Jζ

(A)00ω

=

JξζωJηζωJζω





Ubrzanje centra mase ~ρS

~aS = ~ε× ~ρS + ~ω × (~ω × ~ρS)

= (−ω2ξS − εηS)~λ+ (−ω2ηS + εξS)~µ

Glavni vektor spolja²njih sila

~FR = ~FR + ~RB + ~RC





Zakon o kretanju centra mase je

m~aS = ~FR / · ~λ, ~µ, ~ν

Dobija se sistem jedna£ina:

m (−ω2ξS − εηS) = FRξ +Bξ + Cξ

m (−ω2ηS + εξS) = FRη +Bη + Cη

0 = FRζ +Bζ

(1)





Izvod po vremenu momenta koli£ine kretanja je

d ~D(A)

dt=

∗~D + ~ω × ~D(A)

Pri tome je, imaju¢i u vidu izraz za ~D(A), dobija se

∗~D = Jξζ ε~λ+ Jηζ ε ~µ+ Jζ ε ~ν

kao i

~ω × ~D(A) = −Jηζω2~λ+ Jξζω2~µ





Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja je

d ~D(A)

dt= ~M(A)

R / ·~λ~µ~ν

odnosno, u skalarnom obliku:

Jξζ ε− Jηζ ω2 =MRξ +Bη hb − Cη hcJηζ ε+ Jξζ ω

2 =MRη −Bξ hb + Cξ hc

Jζ ε =MRζ

(2)





Dobijen je sistem (1) i (2) od ukupno 6 skalarnih jedna£ina

Poslednja jedna£ina od (2) je diferencijalna jedna£ina kretanja:

Jζ ϕ̈ =MRζ (3)

a iz prvih 5 se odre�uju reakcije veza ~RB i ~RC (kada se

prethodno re²i dif.jed.kretanja)





Diferencijalna jedna£ina kretanja i poznati po£etni uslovi su:

Jζ ϕ̈ =MRζ t = 0 : ϕ(0) = ϕ0, ϕ̇(0) = ω(0) = ω0

Re²avanje d.j.k. zavisi od MRζ =MRζ(t)

Za slu£aj MRζ = 0 se dobija ravnomerno obrtanje oko ose:

ϕ(t) = ω0 · t+ θ0, ω(t) = ω0 = const



Sadrºaj




Primer




Rotacija oko nepokretne ose - specijalni slu£ajevi

Ako su ose ξηζ glavne ose inercije u ta£ki A (na osi rotacije),

onda su jedna£ine jednostavnije:

m (−ω2ξS − εηS) = FRξ +Bξ + Cξ

m (−ω2ηS + εξS) = FRη +Bη + Cη

0 = FRζ +Bζ

0 =MRξ +Bη hb − Cη hc0 =MRη −Bξ hb + Cξ hc

Jζ ε =MRζ

(4)




Rotacija oko nepokretne ose - specijalni slu£ajevi

Ako su ose ξηζ glavne ose inercije u ta£ki A, a pri tome se

sredi²te mase nalazi na osi rotacije (ξS = ηS = 0):

0 = FRξ +Bξ + Cξ

0 = FRη +Bη + Cη

0 = FRζ +Bζ

0 =MRξ +Bη hb − Cη hc0 =MRη −Bξ hb + Cξ hc

Jζ ε =MRζ

(5)

To je slu£aj dinami£ki uravnoteºenog obrtanja (kineti£ki

pritisci na leºi²ta ose su nula - samo stati£ke reakcije)




Rotacija oko nepokretne ose - napomene

Uvek mogu da se odrede glavni pravci inercije u referentnoj

ta£ki A

Ako osa rotacije nije jedna od glavnih osa, bolje je da se u

jedna£inama kretanja ra£una sa Jξζ i Jηζ , ali da pri tome

ostane ~ω = {0, 0, ω}, kao i ~ε = {0, 0, ε}, nego da ~ω i ~ε imaju

projekcije na sve tri (glavne) ose, ali uz dijagonalnu matricu

inercije



Sadrºaj




Primer




PRIMER:

Dva homogena ²tapa CD i DE masa m i duºina L spojena su

me�usobno pod pravim uglom u ta£ki D, kao i za osu AB u ta£ki

C. U ta£ki E na ²tap DE deluje horizontalna sila F (t) = F0 cosα£iji je pravac stalno upravan na ravan koju obrazuju ²tapovi.

Odrediti zakon obrtanja tela i kineti£ke pritiske na leºi²ta osovine

(tj. reakcije veza u osloncima A i B).



Primer: Rotacija krutog tela oko nepokretne ose


tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske studije, iii semestar · 2020. 12. 1. · rotacija krutog...

Documents